Modelagem Matemática com turmas do 6º ano do Ensino Fundamental de duas diferentes escolas

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1 Modelagem Matemática com turmas do 6º ano do Ensino Fundamental de duas diferentes escolas Janaina de Ramos Ziegler 1 GD 10 Modelagem Matemática O projeto aqui apresentado tem por objetivo examinar os resultados decorrentes da exploração de atividades envolvendo Modelagem Matemática e o tema esporte com alunos do 6º ano do Ensino Fundamental de duas diferentes escolas, localizadas nas cidades de Lajeado e Muçum, municípios do Vale do Taquari/RS. Este é uma pesquisa qualitativa, sendo caracterizado como um estudo de caso em que os encontros com os alunos serão registrados por meio de diário de campo e filmagens. Com essa proposta pretende-se desenvolver atividades que envolvam a matemática e o tema esporte, explorando e identificando as relações existentes entre esses dois assuntos, assim como, comparar os resultados advindos dessa exploração entre as duas diferentes escolas. Espera-se que com as atividades desenvolvidas que os alunos participem ativamente das aulas de Matemática. Palavras-chave: Modelagem Matemática. Ensino Fundamental. Esporte. Introdução A matemática é comumente conhecida, pela maioria da população, como uma disciplina difícil, em que os alunos precisam decorar a tabuada, fórmulas e regras algébricas. No entanto, ela, é valorizada pela comunidade em geral devido a sua importância no desenvolvimento do pensamento crítico e lógico dos estudantes, uma vez que promove a interação entre conhecimentos, ou seja, permite traduzir fatos reais em linguagem matemática, através de representações geométricas e/ou algébricas. Em geral, o ensino da matemática é organizado de forma tradicional, ou seja, o programa de conteúdos segue uma forma sequencialcomo se cada assunto fosse pré-requisito para o que está por vir. Este fato pode ter ligação com o uso excessivo do livro didático, instrumento que apresenta uma ordem determinada de temas, de acordo com Brasil (1998). Não se pretende discutir o uso do livro didático, apenas exemplificar o que se observa na prática pedagógica de muitas instituições de ensino brasileiras. O IDEB (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica),instrumento criado para realizar análise da situação da educação no país, é composto por alguns fatores como evasão escolar, taxa de aprovação, correspondência entre idade e série, proficiência na Prova 1 Centro Universitário Univates, janarziegler@gmail.com, orientador: Profª Dra. Marli Teresinha Quartieri, coorientador: Profª Dra. Márcia J. H. Rehfeldt.

2 Brasil. Esta prova é aplicada para alunos do 5º e 9º anos doensino Fundamental e do 3º do Ensino Médio, sendo composta por questões de Língua Portuguesa e Matemática em que são avaliadas habilidades descritas em uma matriz de referência disponibilizada no Plano de Desenvolvimento da Educação (PDE). Em relação à Matemática,encontram-se os temas de referência denominados como: I) Espaço e forma; II) Grandezas e medidas; III) Números e Operações/Álgebra e Funções e IV) Tratamento da informação. Esses temas por sua vez, apresentam descritores, ou melhor, enumeram habilidades a serem desenvolvidas com os alunos das séries que realizam a avaliação. Por exemplo, os descritores do tema IV para o 5º ano do Ensino Fundamental, avaliam a capacidade dos estudantes de reconhecer informações representadas em gráficos, principalmente em gráficos de colunas. Já no 9º ano, este tema examina se os alunos conseguem solucionar problemas e unificar informações apresentadas em gráficos e/ou tabelas (BRASIL, 2008). Na região do Vale do Taquari RS existem escolas que possuem uma diferença significativa entre os valores obtidos em seus índices, pelos estudantes do 5º ano e do 9º ano do Ensino Fundamental. Neste sentido, está sendo desenvolvido no Centro Universitário Univates, o projeto nº do Observatório da Educação denominado Estratégias Metodológicas visando à Inovação e Reorganização Curricular no Campo da Educação Matemática no Ensino Fundamental, apoiado financeiramente pela CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), o qual foi aprovado no edital nº 049/2012/CAPES/INEP. Integram esse projeto um grupo de pesquisadores constituído por quatro docentes do Ensino Superior (três professoras da área da Matemática e uma da área da Pedagogia), três mestrandos do Programa de Pós-Graduação Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas, seis graduandos todos estudantes da Univates - e seis professores representantes das escolas públicas. O objetivo da referida pesquisa é propor estratégias metodológicas para melhorar o desempenho das escolas participantes do projeto na Prova Brasil, bem como diminuir este intervalo de notas, ou seja, promover ações que ensejam uma aproximação entre os índices alcançados pelo 5º e 9º anos do Ensino Fundamental. Foi possível perceber, em todas as escolas integrantes do grupo de pesquisa, que o índice apresentado no 5º ano era superior ao do 9º ano. Com a intenção de melhorar o índice e reduzir a distância entre as notas, a equipe de pesquisadores do referido Observatório da Educação, pretende promover

3 intervenções nas escolas parcerias, à luz de três tendências educacionais intituladas: Etnomatemática, Modelagem Matemática e Investigação Matemática. Este estudo, aqui proposto, faz parte dessa pesquisa e tem como foco a Modelagem Matemática como metodologia de ensino em turmas de 6º ano do Ensino Fundamental, de dois educandários de Educação Básica cujas escolas participam do Observatório da Educação. A escolha deste ano de escolaridade, para o desenvolvimento da prática pedagógica, foi determinada em função da compatibilidade dos meus horários e os das escolas, assim como o consentimento dos professores regentes em disponibilizar suas aulas para a realização das atividades. Lembrando que, o projeto do Observatório da Educação, pretende elaborar intervenções nos diferentes anos do Ensino Fundamental, em particular, nos terceiro e quarto ciclos. Assim, apresento como tema deste trabalho a Modelagem Matemática e o Esporte: uma proposta de ensino e aprendizagem com alunos do 6º ano do Ensino Fundamental de duas escolas públicas do Vale do Taquari RS. O objetivo geral é examinar os resultados decorrentes da exploração de atividades envolvendo Modelagem Matemática e o tema esporte com alunos do 6º. ano do Ensino Fundamental de duas diferentes escolas. E para analisar os dados, pretendo utilizar a metodologia indicada por Yin (2010), que consiste nos registros das atividades por meio de gravações em vídeo e apontamentos em um diário de campo. 2Referencial Teórico Segundo Biembegut (2009), o termo Modelagem Matemática já aparecia no início do século XX. O debate sobre modelagem na Educação Matemática, no exterior, ocorre desde a década de 1960, entendida como uma aplicação prática dos conhecimentos matemáticos para a ciência e a sociedade. No Brasil, em estudos realizados por Biembengut (2009), a Modelagem Matemática na educação aparece entre o final dos anos 1970 e o começo dos anos Dentre os nomes que começaram esse movimento no país estão, Aristides Camargo Barreto, Ubiratan D Ambrósio e Rodney Carlos Bassanezi. A partir desses autores, debates sobre como se faz um modelo matemático e como se ensina matemática, ajudaram a difundir este tema no ensino brasileiro.

4 Para Bassanezi (2011, p. 16), A modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. Destaca-se que o uso da modelagem na pesquisa tem se mostrado eficaz em diferentes áreas do conhecimento como física, química, economia, entre outras. Burak (1992) reforça a concepção apresentada por Bassanezi (2011) no que se refere à modelagem como uma aproximação entre conceitos abstratos e o contexto vivenciado pelo aluno. Destaca que esta, "[...] constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é estabelecer um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões" (BURAK, 1992, p. 62). Para que seja possível explorar a modelagem como metodologia de ensino, autores como Barbosa (2004), Biembengut e Hein (2011) e Bassanezi (2011) concordam que o tema a ser desenvolvido deve vir ao encontro da realidade da comunidade escolar. Do mesmo modo, Silveira e Caldeira (2010) afirmam que uma atividade desenvolvida por professores será considerada modelagem quando ela discute algum problema da realidade, empregando teorias e conceitos matemáticos. Para o desenvolvimento de uma prática em sala de aula, Bassanezi (2011) sugere uma sequência de etapas como: experimentação, abstração, resolução, validação e modificação. A primeira fase refere-se à verificação dos dados alcançados ou observados no decorrer do processo, após isso, segue-se para abstração, que consiste em criar um modelo que traduza o fato. Nesse estágio, Bassanezi (2011, p , grifos do autor) detalha o que é preciso averiguar, a. Seleção das variáveis A distinção entre as variáveis de estado que descrevem a evolução do sistema e as variáveis de controle que agem sobre o sistema. [...] b. Problematização ou formulação aos problemas teóricos numa linguagem própria da área em que se está trabalhando. [...] c. Formulação de hipóteses As hipóteses dirigem a investigação e são comumente formulações gerais que permitem ao pesquisador deduzir manifestações empíricas específicas. [...] A geração de hipóteses se dá de vários modos: observação dos fatos, comparação com outros estudos, dedução lógica, experiência pessoal do modelador, observação de casos singulares da própria teoria, analogia de sistemas etc [...] d. Simplificação [...] Não são raras as situações em que o modelo dá origem a um problema matemático que não apresenta a mínima possibilidade de estudo devido à sua complexidade. Neste caso, a atitude será voltar ao problema original e tentar restringir as informações incorporadas ao modelo a um nível que não desfigure irremediavelmente o problema original, mas que resulte em um problema matemático tratável.

5 A resolução constitui-se em transformar as hipóteses em um modelo matemático. A validação, conforme Bassanezi (2011) é o confronto entre as hipóteses e o modelo obtido, sendo a leitura dos resultados alcançados realizados por gráficos que podem auxiliar na análise ou até indicar um modelo mais adequado para o estudo. Caso seja necessário ajustar o modelo ou até mesmo refazê-lo, uma vez que novas informações podem aparecer ou que alguma das hipóteses esteja errada, é fundamental modificá-lo. Assim, é necessário corrigir o modelo obtido anteriormente para que atenda às novas exigências. Para Biembengut e Hein (2011), o uso da Modelagem Matemática segue uma série de procedimentos agrupados em três etapas identificadas como: interação, matematização e modelo matemático. O primeiro consiste em uma exploração do tema a ser trabalhado. Este é realizado após uma listagem de questões que podem ser relacionadas ao assunto estudado. Na matematização são elaborados e resolvidos os problemas que tratam do tema em questão, assim como o desenvolvimento de saberes necessários para determinar o modelo matemático que melhor representa o problema. E este modelo é A questão formulada, que permite a resolução da questão e de outras similares, [...] (BIEMBENGUT E HEIN, 2011, p. 22). No que se refere à relação entre professor e aluno no decorrer da prática desta metodologia, Barbosa (2001) traz uma divisão em três casos, que pode ser visualizado no quadro 1 que segue: Quadro 1: Classificação de casos de Modelagem Matemática Elaboração de situação-problema Caso 1 Caso 2 Caso 3 Professor professor professor/aluno Simplificação Professor professor/aluno professor/aluno Dados qualitativos e quantitativos Professor professor/aluno professor/aluno Resolução professor/aluno professor/aluno professor/aluno Fonte: Barbosa (2011, p. 40). Observando o quadro 1, pode-se perceber que nos casos 1 e 2 o professor apresenta aos alunos a situação-problema com os dados e eles necessitam realizar apenas a resolução. No caso 2, o discente também se envolve no processo de coleta de dados. No caso 3, a interação entre aluno e professor é maior, pois ambos buscam resolver juntos cada etapa. Bassanezi (2011) concorda que se a escolha do tema parte dos alunos, os mesmos, se

6 identificam. Isso fica evidente quando relata, [...] o professor não deve propor problemas mas deve atuar como monitor em cada grupo, sugerindo situações globais que devem ser incorporadas pelos alunos (BASSANEZI, 2011, p. 46). Portanto, o educador orienta os estudantes para que suas ideias, indagações, projeto adquiram um formato e essa atitude pode ser vista como [...] uma forma de o professor controlar as ações do estudante, conduzir sua conduta, tornando-o corresponsável pela aprendizagem e interessado pela matemática escolar (QUARTIERI, 2012, p. 6). Burak (1992, p ) comenta que nesta proposta, o professor tem o papel de mediador da relação ensino-aprendizagem isto é, orientador do trabalho, tirando as dúvidas, colocando novos pontos de vista com relação ao problema tratado [...]. Porém, é preciso que o mesmo saiba que a modelagem segue alguns passos ou etapas, e também que essa metodologia necessita deixar em aberto alguns pontos, entre eles, que os alunos sejam os autores dos trabalhos e que o professor seja o orientador dos projetos. Logo, a escolha do tema deve ser realizada juntamente com os estudantes, dando liberdade para que eles façam uso de suas estratégias, intuições e formas de pensar e agir perante uma problemática. Proporciona uma maior interação entre professor e alunos, em que o professor auxilia no desenvolvimento do trabalho, pois Na Modelagem Matemática não existe o modelo certo ou errado ou modelo verdadeiro ou falso ; existe o modelo mais ou menos refinado, e isto é muito diferente de estar certo ou errado. Um modelo é mais refinado quando diz mais a respeito do objeto de estudo, é de predizer com maior exatidão, pois relaciona mais variáveis significativas do problema (BURAK, 1992, p. 314). Assim, com base no exposto acima e objetivando investigar trabalhos que também apresentam a Modelagem Matemática como metodologia com alunos de Ensino Fundamental, particularmente com estudantes do 6º ano, realizei uma pesquisa no site da CAPES e nos anais do VIII CNMEM. A partir dessa pesquisa obtive um número de quarenta resultados, distribuídos entre teses e dissertações. Destes, apenas nove retratavam pesquisas realizadas envolvendo Modelagem Matemática no Ensino Fundamental, mais especificamente com alunos do 6º ano/ 5ª série. Com a leitura desses trabalhos constatei que, em sua maioria, a Modelagem Matemática está inserida em estudos cujo propósito foi melhorar o entendimento do aluno sobre conceitos matemáticos existentes nas mais diferentes temáticas. E pude averiguar que das pesquisas anteriormente citadas, apenas uma faz ligação entre a modelagem e esporte. No entanto, o mesmo dá ênfase na construção de um ginásio de esportes e não em outros aspectos como a prática de

7 atividades físicas, o que se pretende trabalhar durante aintervenção pedagógica que será desenvolvida neste projeto. Para efetuar uma busca por trabalhos publicados em eventos, realizei um levantamento sobre artigos apresentados na VIII Conferência Nacional sobre Modelagem Matemática na Educação Matemática, ocorrida em abril de 2013, no município de Santa Maria/RS. As produções apresentadas, no evento abrangem o uso da modelagem, tanto na Educação Básica quanto no Ensino Superior. No entanto, detive minha atenção em publicações que tiveram como público alvo estudantes do 6º ano do Ensino Fundamental, contudo, nenhuma das produções inscritas no evento faz referência à utilização da Modelagem Matemática neste nível de ensino, demonstrando que a modelagem tem um campo em aberto para estudo, no que se refere ao ensino de matemática com alunos do 6º ano do Ensino Fundamental. 3 Procedimentos Metodológicos Para a determinação do tema que será utilizado juntamente com a metodologia da Modelagem Matemática, inicialmente decidi quais deveriam ser as escolas em que a proposta seria aplicada. Como o Observatório da Educação conta com seis escolas públicas integrantes da pesquisa e três mestrandos para aplicação de seus respectivos projetos definiu-se que as instituições localizadas nas cidades de Lajeado e Muçum, ambas situadas no Vale do Taquari RS seriam os educandários em que a prática, aqui proposta, seria desenvolvida. Após a escolha das escolas, foi determinado que os alunos do 6º ano do Ensino Fundamental seriam o público alvo do estudo, ambas com aulas no turno da tarde. A instituição localizada no município de Lajeado/RS atende 344 (trezentos e quarenta e quatro) alunos, divididos entre Educação Infantil e Ensino Fundamental. A turma do 6º ano do Ensino Fundamental, turno da tarde, é composta por 26 (vinte e seis) estudantes com idades entre 11 (onze) e 12 (doze) anos. É importante destacar que um dos alunos tem 14 (quatorze) anos, ou seja, está fora da idade/série considerada ideal. Em sua maioria, os educandos são filhos de industriários e comerciários, tendo em vista que no bairro em que a escola está localizada tem-se uma indústria alimentícia. A escola situada na cidade de Muçum/RS oferece Ensino Fundamental e Ensino Médio Politécnico, nos turnos diurno e noturno, acolhendo 453 (quatrocentos e cinquenta e três)

8 estudantes, provenientes dos diferentes bairros do município. Entre esses alunos, 20 (vinte) constituem a turma do 6º ano do Ensino Fundamental, turno da tarde, cujas idades variam entre 10 (dez) e 15 (quinze) anos, dos quais, dois são repetentes. Nesta turma em que será desenvolvida a intervenção pedagógica, a maioria dos alunos é oriunda de famílias cujos pais são industriários, uma vez que, este município abriga indústrias de móveis, couro e calçados. Com base nessa breve contextualização dos educandários e tendo por objetivo trabalhar a metodologia da Modelagem Matemática, método em que é preciso determinar o tema de acordo com o interesse do aluno, foi necessário produzir questionários para que os estudantes pudessem expressar suas preferências e assim decidir o assunto que seria desenvolvido, e posteriormente problematizado, na dissertação de mestrado. Assim, elaborei dois questionários, os quais foram respondidos pelos estudantes, de ambas as escolas, individualmente em dois encontros em datas diferentes. Após o preenchimento dos mesmos, realizei conversas com os estudantes para esclarecer algumas respostas e também permitir uma maior interação entre mim e os educandos. Com a análise desses documentos, foi possível determinar que o tema de pesquisa seria o esporte e a partir disto, elaborei, conforme será apresentado a seguir, a organização dos encontros que terei com as turmas. No período de três semanas que compreenderão, aproximadamente, a quinze períodos em cada escola, serão desenvolvidas as atividades. Elas serão registras por instrumentos que, segundo Yin (2010), fazem parte das chamadas de fontes de evidência, entre elas estão registros em arquivos, entrevistas, observação direta e artefatos físicos. Os registros em arquivos podem ser dados de levantamentos, como os dados previamente coletados (YIN, 2010, p. 132). Já que a pesquisa terá caráter qualitativo e utilizará procedimentos vinculados ao estudo de caso, visto que, pretendo comparar os resultados advindos da exploração de atividades envolvendo Modelagem Matemática em duas diferentes escolas, identificando semelhanças/diferenças nos processos de resolução, bem como nas percepções das situações Detalhamento das atividades Apresento a seguir uma proposta do que poderá ser desenvolvido em sala de aula. Assim, farei uma projeção do que pretendo elaborar com os estudantes, juntamente com as justificativas para tal planejamento. Saliento que é apenas um planejamento prévio, o qual

9 poderá sofrer alterações durante seu desenvolvimento, pois ao utilizar Modelagem Matemática o interesse e o contexto da realidade dos envolvidos, é importante para o prosseguimento das atividades. Os procedimentos foram divididos em seis encontros, com duração de aproximadamente noventa minutos (2 horas/aula) cada encontro, os quais estão organizados conforme exposto a seguir. Encontro 1: No primeiro encontro, inicialmente realizarei uma apresentação dos resultados obtidos a partir da análise dos questionários respondidos por eles anteriormente. Dessa forma poderei comunicar aos educandos, que conforme as respostas que eles concederam, foi possível identificar que os mesmos, em sua maioria, relataram que sentem satisfação na prática de esporte, tanto na escola na disciplina de Educação Física quanto em suas horas de lazer. Neste encontro, pretendo efetuar os seguintes procedimentos: - Esclarecimento sobre como serão desenvolvidas as aulas; - Elaboração, juntamente com os alunos, de um questionário sobre a prática de atividades físicas na comunidade escolar; - Realização das entrevistas, com o questionário anteriormente elaborado, com alunos e professores da escola; Inicialmente esclarecerei como serão os encontros em que iremos desenvolver o tema esporte (escolhido pela maioria dos alunos) nas aulas de matemática. Após este momento, elaborarei um questionário, juntamente com os educandos, sobre a prática de esporte, o qual será aplicado para alunos da escola provenientes de uma turma, a qual os participantes desta pesquisa irão escolher. Este questionário tem o propósito de envolver os alunos em uma pesquisa sobre o tema, levantando dados e também para atender uma das orientações dos PCNs, em que destaca, a atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas e definitivas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade (BRASIL, 1998, p. 56). Encontro 2: De posse dos dados, anteriormente coletados nas entrevistas realizadas com professores e alunos da escola, pretendo realizar algumas atividades como as descritas abaixo:

10 - Tabulação dos dados obtidos nas entrevistas utilizando tabelas; - Construção de gráficos usando papel quadriculado, em particular o gráfico de barras; - Construção de gráficos (barras e setores) no software Excel; - Elaboração de um texto para expor a análise dos gráficos. Para que os alunos expressem suas observações quanto à tabulação dos dados e aos gráficos desenvolvidos, pretendo propor a confecção de um texto, em que eles exponham seu entendimento sobre o que foi desenvolvido nos dois encontros. Encontro 3: Neste encontro apresentarei os dois subtemas com os quais os alunos poderão trabalhar. Para a realização do trabalho, as turmas serão dividas em pequenos grupos, os quais poderão ter entre três e quatro membros, tendo em vista que as turmas que serão o alvo do projeto têm o número de integrantes diferentes. Apresentarei textos sobre as regras tanto do vôlei quanto do futebol, logo os grupos poderão escolher sobre qual assunto querem trabalhar. Portanto, neste encontro pretendo realizar as seguintes atividades: - Apresentação dos documentos oficiais dos comitês de vôlei e futebol; - Escolha pelos integrantes dos grupos do subtema a ser investigado; - Estudo e análise dos documentos, pelos grupos, observando curiosidades e assuntos de interesse; - Realização de uma pesquisa, nos diferentes meios, sobre o tema escolhido e apresentação dos resultados em sala de aula no próximo encontro. Acredito que deixando a escolha sobre qual tema, entre futebol e vôlei, cada grupo pretende investigar, estarei de acordo com os preceitos da modelagem. Cabe ainda destacar que como o Brasil será palco, neste e nos próximos anos de eventos mundiais relacionados a esporte, em outras palavras, nosso país sediará a Copa do Mundo de Futebol e os Jogos Olímpicos, eventos a serem realizados em 2014 e Encontro 4: Por se tratar de um trabalho cuja metodologia adotada é a Modelagem Matemática, o tema de interesse do aluno é primordial para o desenvolvimento das atividades. O quarto

11 encontro caracterizar-se-á por ser o momento de socialização, em que os grupos formados anteriormente, realizarão uma apresentação sobre o assunto escolhido, em forma de seminário. A partir da fala dos estudantes sobre o assunto, poderei realizar intervenções sobre a matemática envolvida no trabalho que os educandos estarão apresentando. Com essa interação entre alunos e professora poderão surgir os conteúdos matemáticos, os quais serão desenvolvidos no próximo encontro. Encontro 5: Este encontro será dedicado ao desenvolvimento dos conteúdos matemáticos a partir dos assuntos investigados pelos alunos anteriormente. Os estudantes, juntamente com a professora, irão explorar os possíveis conceitos matemáticos existentes nos diferentes temáticas apresentadas pelos mesmos. Encontro 6: Nesta reunião com os alunos, pretendo dar continuidade ao trabalho elaborado no encontro anterior, com a finalidade de finalizar as atividades pendentes. Com a conclusão dos projetos, disponibilizarei aos estudantes um questionário, composto por uma pergunta acerca das percepções dos alunos sobre as práticas desenvolvidas em aula. Neste, eles poderão destacar sobre qual etapa do trabalho foi mais prazerosa ou o que de novo aprenderam. Destaco que poderá surgir a necessidade de mais um encontro para finalizar o trabalho, já que, como mencionado anteriormente, esta é uma proposta de atividades a serem desenvolvidas utilizando a Modelagem Matemática, tendo como aspecto principal o interesse do aluno envolvido na pesquisa. Assim, a evolução das atividades dependerá do envolvimento dos educandos com o tema. Espera-se que com o desenvolvimento dessa intervenção que os alunos consigam elaborar trabalhos que envolvam a matemática e o tema esporte, mostrando o quanto essa disciplina escolar pode ser explorada nesta temática, tão presente em nosso país. Referências BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: concepções e experiências de futuros professores f. Tese (Doutorado) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2001.

12 BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Veritati, n. 4, p , BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. 3. ed. São Paulo: Contexto, BIEMBENGUT, Maria Salett. 30 Anos de Modelagem Matemática na Educação Brasileira: das propostas primeiras às propostas atuais. Alexandria Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v. 2, n. 2, p.7-32, jul BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson.Modelagem matemática no ensino. 5ª. ed. São Paulo: Contexto, BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: matemática/secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, BRASIL. Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da Educação: Prova Brasil: ensino fundamental: matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática: ações e interações no processo de ensinoaprendizagem. Campinas. Tese (Doutorado em Educação). Programa de Pós-Graduação em Educação. Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP, QUARTIERI, Marli Teresinha. A Modelagem Matemática na escola básica: a mobilização do interesse do aluno e o privilegiamento da matemática escolar f. Tese (doutorado) - Universidade do Vale do Rio dos Sinos, Programa de Pós- Graduação em Educação, São Leopoldo, SILVEIRA, E., CALDEIRA, A. D. Modelagem na Educação Matemática: é possível fazer sem saber? In. Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática. Salvador YIN, Robert K. Estudo de caso: planejamento e métodos. 4 ed. Porto Alegre: Bookman, 2010.