Nota prévia. Notas de Apoio de Complementos de Probabilidades e Estatística. Manuel Cabral Morais. Secção de Probabilidades e Estatística

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1 Nota prévia Notas de Apoio de Complemetos de Probabilidades e Estatística Mauel Cabral Morais Atrevo-me a dizer que a leccioação e o desempeho da disciplia de Complemetos de Probabilidades e Estatística beeficiarão com estas otas de apoio. Elas pressupõem que o registo das aulas seja teórico-prático e respeite a filosofia apreder por exemplos e fazedo. Assim, a matéria é tedecialmete motivada, as defiições e os resultados euciados (estes são ocasioalmete demostrados o quadro) e, de um modo geral, ilustrados com exemplos ou exercícios trabalhados em cojuto Importa fazer algus reparos sobre estas otas de apoio. Para já, o poto de partida destas otas são, sem sombra de dúvida, os slides da autoria do meu colega Prof. Paulo Soares, dispoíveis em psoares/cpe/. Decidi complemetálos com material de diversas fotes. De etre elas destacaria: as otas de apoio quer de Probabilidades e Estatística, quer de Teoria da Probabilidade, ambas da miha autoria e dispoíveis em mjmorais/materialpemcm.htm (e em papel a Secção de Folhas da AEIST) e semestre/material-didactico, respectivamete; as otas mauscritas da disciplia de Probabilidades e Estatística II, getilmete cedidas pela miha colega Profa. Rosário Oliveira; e, sobretudo, Rohatgi (1976), cuja leitura recomedo vivamete. Secção de Probabilidades e Estatística Istituto Superior Técico Lisboa, Fevereiro Maio 011 As defiições, os resultados, etc. são acompahados por um cabeçalho e, por vezes, por uma referêcia que serviu de fote. Estou em crer que a exposição gaha com estes cabeçalhos e que a idetificação das fotes é ão só de elemetar justiça, como absolutamete essecial em qualquer texto de apoio. A resolução dos exemplos/exercícios das otas de apoio é apresetada em pequeas secções com cabeçalho, logo com um carácter aparetemete repetitivo que se tem revelado ii

2 útil para apredam a estruturar devidamete a resolução de qualquer exercício da disciplia de Complemetos de Probabilidades e Estatística. Os erros e imprecisões evetualmete existetes estas otas são, aturalmete, aleatórios muitas das vezes fruto de operações de copy/paste e da iteira resposabilidade do autor, que muito agradece que eles lhe sejam comuicados pelo e- mail Não posso deixar de expressar os meus mais siceros agradecimetos aos meus colegas Profa. Rosário de Oliveira e Prof. Paulo Soares, que leccioaram as disciplias de Probabilidades e Estatística II e Complemetos de Probabilidades e Estatística (respectivamete), por terem directa e idirectamete cotribuído para estas otas de apoio. Por fim, ão resisto a referir que se há coisa que cerca de duas décadas de leccioação de disciplias da área de Probabilidades e Estatística me esiaram é ão acreditar que haja um método ideal para esiar estas disciplias. Apeas sei que os devemos setar, deixar que a matéria, os exemplos, os exercícios falem por si e esforçarmoos pela maior clareza de exposição possível. Com o pragmatismo de uma troca e sem qualquer presução. Boa leitura e um excelete semestre... Mauel Cabral Morais Lisboa/ Frakfurt (Oder), 15 de Fevereiro de 010. iii iv

3 Coteúdo Nota prévia i 1 Variáveis aleatórias uidimesioais Coceitos básicos. Novas famílias de distribuições Uma defiição rigorosa de variável aleatória Variáveis aleatórias discretas revisitadas e uma ovidade Variáveis aleatórias cotíuas revisitadas e três ovidades Variáveis aleatórias mistas Mometos e parâmetros de ordem. Fução geradora de mometos Mometos Parâmetros de ordem Fuções geradoras de probabilidade e de mometos Trasformações de variáveis aleatórias Trasformações de v.a., caso geral Trasformações de v.a. discretas Trasformações de v.a. absolutamete cotíuas Distribuições trucadas. Famílias de localização e escala Vectores aleatórios 15.1 Distribuições cojuta, margiais e codicioais. Idepedêcia Vectores aleatórios discretos Vectores aleatórios absolutamete cotíuos Mometos e fução geradora de mometos. Covariâcia e correlação Mometos Covariâcia e correlação Mometos de combiações de v.a Determiação de mometos margiais à custa de mometos codicioais Fução geradora de mometos cojuta Misturas de distribuições e modelos hierárquicos Trasformações de vectores aleatórios Trasformações de vectores aleatórios discretos Trasformações de vectores aleatórios absolutamete cotíuos Distribuições multiomial e ormal bivariada Distribuição multiomial Distribuição ormal bivariada Amostragem aleatória Amostragem aleatória da distribuição ormal Estatísticas ordiais Covergêcia de sucessões de v.a Covergêcia em probabilidade Covergêcia em distribuição Um caso otável de covergêcia em distribuição: o Teorema do Limite Cetral Outro caso otável de covergêcia em distribuição: o Teorema de Slutsky Aida outro caso otável de covergêcia em distribuição: o Teorema de Gedeko Aálise prelimiar de dados Medidas descritivas e agrupameto de dados Agrupameto de dados Medidas descritivas Métodos gráficos Fução de distribuição empírica Ajustameto de distribuições e de modelos paramétricos: métodos gráficos e aalíticos Papel de probabilidade v vi

4 4.3. Teste de Kolmogorov-Smirov Teste de ajustameto do qui-quadrado de Pearso Iferêcia em modelos paramétricos Estimação potual Método dos mometos e da máxima verosimilhaça Propriedades de estimadores potuais: cosistêcia e suficiêcia Testes de hipóteses Coceitos básicos Testes de hipóteses para o valor esperado, variâcia cohecida Testes de hipóteses sobre a igualdade de dois valores esperados, variâcias cohecidas Fução potêcia de um teste Testes de hipóteses para o valor esperado, variâcia descohecida Um método alterativo de decisão em testes de hipóteses: cálculo do p-value Testes de hipóteses sobre a igualdade de valores esperados de duas populações, variâcias descohecidas Testes de hipóteses para a variâcia de uma população ormal Testes de hipóteses sobre a igualdade de variâcias de duas populações ormais idepedetes Outro método alterativo de decisão em testes de hipóteses: relação etre itervalos de cofiaça e testes bilaterais Testes assitóticos sobre uma probabilidade de sucesso Testes sobre a igualdade de duas probabilidades de sucesso Testes mais potetes e uiformemete mais potetes. Teorema de Neyma-Pearso Teste de idepedêcia por recurso à razão de verosimilhaças de Wilks em tabelas de cotigêcia Avaliação da associação etre as v.a. categorizadas o modelo multiomial Modelo multiomial multiplicativo e estimação de MV Testes assitóticos de homogeeidade em tabelas de cotigêcia Iferêcias o modelo ormal bivariado Predição o modelo ormal bivariado Estimação o modelo ormal bivariado Teste de idepedêcia Itervalos e testes assitóticos sobre ρ Testes de comparação de valores esperados Aálise de modelos multivariados Iferêcias em tabelas de cotigêcia bidimesioais Modelo multiomial Estimação de MV o modelo multiomial Teste de idepedêcia do qui-quadrado de Pearso em tabelas de cotigêcia vii viii

5 Posto isto reveremos as defiições de v.a. discreta e (absolutamete) cotíua e acrescetaremos a oção de v.a. mista. Capítulo 1 Variáveis aleatórias uidimesioais Procurar-se-á ilustrar cada um dos três tipos de v.a., os dois primeiros casos com algumas distribuições já cohecidas mas também com algumas ovidades. A exposição será potuada pela apresetação de exemplos e a resolução de exercícios que requerem uma modelação probabilística mais sofisticada que aquela a que estamos habituados a disciplia de Probabilidades e Estatística. Em algumas situações os resultados das experiêcias aleatórias (e.a.) são uméricos, como é o caso de medições, cotages, etc. Noutras os resultados possíveis costituem um espaço ão umérico; basta pesar a classificação de artigos, seleccioados da produção de uma fábrica, quato a serem defeituosos ou ão defeituosos. Ao realizar esta e outras e.a. é frequete ão estarmos iteressados os resultados detalhados da mesma mas somete uma quatidade umérica determiada pelo resultado da e.a., por exemplo, o úmero de artigos defeituosos. Ates de apresetarmos uma defiição rigorosa de variável aleatória (v.a.) passaremos em revista algus coceitos básicos a secção seguite. São eles: experiêcia aleatória; espaço de resultados; eveto; σ álgebra (de Borel); espaço mesurável; espaço de probabilidade; 1.1 Coceitos básicos. Novas famílias de distribuições Na maioria dos ramos do cohecimeto, fazer experiêcias é um modo de vida. De um modo geral, cohecemos de atemão todos os resultados possíveis da experiêcia que realizaremos, pese embora o facto de descohecermos à partida qual o resultado de qualquer realização específica da experiêcia... Defiição 1.1 Experiêcia aleatória (Rohatgi, 1976, p. 19) Uma experiêcia diz-se aleatória se: se cohecer de atemão todos os resultados possíveis da mesma; ão for possível predizer o seu resultado exacto ates da realização da mesma; e a experiêcia puder ser repetida as mesmas codições. Nota 1. Ao repetir-se a e.a. um grade úmero de vezes, em codições semelhates, os resultados globais apresetam certa regularidade estatística... probabilidade. 1

6 Exemplo 1.3 Experiêcias aleatórias Desigação Experiêcia aleatória (E.a.) Nota 1.8 Em relação a uma dada E.A. diz-se que o eveto A ocorreu sse o resultado da E.A. pertecer a A. E 1 E Registo do úmero de viaturas que atigem os 100Km/h em meos de 6 segudos, em 7 viaturas testadas Cotagem do úmero aual de acidetes de automóvel a A1 Exemplo 1.9 Evetos De seguida apresetam-se algus evetos associados às três experiêcias aleatórias descritas o Exemplo 1.3: E 3 Medição da resistêcia de uma mola da suspesão de uma viatura E.a. Eveto Defiição 1.4 Espaço de resultados Cojuto de todos os resultados possíveis de uma E.A. É cohecido ates de a E.A. se realizar e é usualmete represetado pela letra grega Ω. E 1 A ehuma das 7 viaturas testadas atigiu os 100Km/h em meos de 6 segudos {0} B pelo meos 4 das 7 viaturas testadas atigiram os 100Km/h em meos de 6 segudos {4, 5, 6, 7} Nota 1.5 Ω diz-se: discreto caso #Ω seja fiito ou ifiito umerável; cotíuo se #Ω for ifiito ão umerável. Exemplo 1.6 Espaços de resultados Na tabela seguite figuram os espaços de resultados das três experiêcias aleatórias apresetadas o Exemplo 1.3: E.a. Espaço de resultados (Ω) Classificação de Ω E 1 {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7} Discreto (fiito) E {0, 1,, } Discreto (ifiito umerável) E E 3 C registo de mais de 5 acidetes auais a A1 {6, 7, } D resistêcia superior a 8 uidades (8, + ) Nota 1.10 O eveto A diz-se: elemetar quado costituído por um úico elemeto de Ω, i.e., #A 1; certo se A Ω; impossível caso A. E 3 IR + Cotíuo (ifiito ão umerável) A oção de probabilidade deve ser precedida pela apresetação da oção de σ álgebra de evetos (probabilizáveis). Defiição 1.7 Acotecimeto (eveto) Desigação dada a qualquer subcojuto do espaço de resultados. 3 4

7 Defiição 1.11 σ álgebra (Resick, 1999, p. 1) A diz-se uma σ álgebra caso se trate de uma colecção ão vazia de subcojutos de Ω, classe esta fechada para uiões umeráveis, itersecções umeráveis e complemetação. Eis um cojuto míimo de características que garatem que A seja uma σ álgebra de evetos de Ω: 1. Ω A;. A A A c A; 3. A 1, A, A + i1 A i A. Nota 1.1 σ álgebra e eveto É curioso otar que Rohatgi (1976, p. 1) defie eveto como sedo qualquer cojuto A A. Exemplo 1.13 σ álgebra A 1 {, Ω}; A IP (Ω) que represeta as partes de Ω (ou power set), i.e., a colecção de todos os subcojutos de Ω. Um dos exemplos mais importates de um espaço de resultados ifiito ão umerável é Ω IR (ou etão um itervalo de IR). Neste caso pretedemos que todos os cojutos sigulares ou umeráveis de Ω, bem como os itervalos (fechados, abertos ou semifechados) sejam evetos pertecetes a uma σ álgebra. 5 Defiição 1.14 σ álgebra de Borel (Karr, 1993, p. ) A σ álgebra de Borel defiida sobre IR é deotada por B(IR) e gerada pela classe de itervalos semi-fechados {(a, b] : < a < b < + }. (1.1) Gerada a medida em que coicide com a meor das σ álgebras que se obtém à custa da itersecção de todas as σ álgebras que cotêm a classe de itervalos semi-fechados (a, b]. Os elemetos de B(IR) são desigados por cojutos de Borel. Nota 1.15 σ álgebra de Borel (Karr, 1993, p. ; Rohatgi, 1976, p. 1) Qualquer cojuto razoável de IR tais como cojutos sigulares ou umeráveis, itervalos fechados, abertos ou semi-fechados, semi-rectas, etc. B(IR). Por exemplo: {a} + 1 (a 1/, a]; (a, b) (a, b]\{b} (a, b] {b} + 1 (a, b 1/]; [a, b] {a} (a, b]; [a, b) {a} (a, b]\{b}; (, a] + 1 (, a]; (a, + ) (, a]. pertecem a Mais, B(IR) também pode ser gerada pela classe de itervalos {(, a] : < a < + } ou pela de itervalos {(b, + ) : < b < + }. B(IR) IP (IR). 1 Defiição 1.16 Espaço mesurável (Resick, 1999, p. 74) O par (Ω, A), costituído pelo espaço de resultados Ω dotado da σ álgebra A, é desigado de espaço mesurável. Aos cojutos pertecetes a A damos o ome de cojutos (evetos) mesuráveis (probabilizáveis). 1 B(IR) é tão ampla que parece icocebível que algum subcojuto de IR ão perteça a esta σ álgebra. Cotudo, é possível criar tais cojutos um deles deve-se ao matemático russo Nikolai Nikolaevich Luzi ( ). Borel set. Para mais detalhes cosulte-se 6

8 A probabilidade é uma fução defiida sobre evetos; deve ser σ aditiva, i.e., a probabilidade de uma uião umerável de evetos disjutos deve coicidir com a soma das suas probabilidades idividuais. Defiição 1.17 Fução de probabilidade (Rohatgi, 1976, p. 4) Seja (Ω, A) um espaço mesurável. Uma fução defiida sobre A diz-se uma fução de probabilidade se satisfizer os seguites... Axiomas 1. P (A) 0, A A.. P (Ω) Seja {A 1, A, } uma colecção umerável de evetos disjutos de A (i.e. A i A j, i j). Etão ( + ) + P A i P (A i ). (1.) i1 i1 Proposição 1.18 Cosequêcias elemetares dos axiomas (Rohatgi, 1976, p. 6) Os axiomas ão os esiam a calcular probabilidades mas estabelecem regras para o seu cálculo muito em particular algumas das suas seguites cosequêcias elemetares: 1. P ( ) 0;. P (A) 1 P (A); 3. A B P (A) P (B); 4. P (B\A) P (B) P (A B); 5. P (A B) P (A) + P (B) P (A B). Defiição 1.0 Espaço de probabilidade (Rohatgi, 1976, p. 5) O trio (Ω, A, P ) é desigado de espaço de probabilidade Uma defiição rigorosa de variável aleatória Defiição 1.1 Variável aleatória (Rohatgi, 1976, p. 53) Seja (Ω, A) um espaço mesurável. Uma fução X fiita (e uívoca) que trasforme Ω em IR é deomiada de variável aleatória (v.a.) uidimesioal se a imagem iversa de qualquer cojuto de Borel de IR for um eveto pertecete a A, i.e., se X 1 (B) {ω Ω : X(ω) B} A, B B(IR). (1.3) Teorema 1. Variável aleatória (Rohatgi, 1976, p. 53) X diz-se uma v.a. sse X 1 ((, x]) {ω Ω : X(ω) x} {X x} A, x IR. (1.4) O teorema aterior matém-se válido caso se substitua {X x} por {X > x}, {X < x} ou {X x}. Notas 1.3 Variável aleatória (Rohatgi, 1976, pp. 53 e 56) Caso X seja uma v.a., os cojutos {X a}, {a < X b}, {X < a}, {a X < b}, {a < X < b} e {a X b} são evetos pertecetes à σ álgebra A, logo probabilizáveis (mesuráveis). Importa referir que a oção de probabilidade ão está evolvida a defiição de v.a., o etato, pode adiatar-se que a probabilidade de ocorrêcia do eveto {X a} é igual a P [X 1 ((, a])]. Com efeito, a v.a. X defiida o espaço de probabilidade (Ω, A, P ) iduz um outro espaço de probabilidade (IR, B(IR), Q) por itermédio da relação Nota 1.19 Um eveto pode aida ser classificado de: quase-certo se P (A) 1 o etato A Ω; quase-impossível caso P (A) 0 mas A. Q(B) P [X 1 (B)] P ({ω Ω : X(ω) B}), B B(IR). (1.5) Uma variável aleatória ão passa de uma fução mesurável de um espaço de probabilidade (Ω, A, P ) para um espaço mesurável (IR, B(IR)). 7 8

9 Exemplo 1.4 Variável aleatória Experiêcia aleatória Laçameto de um dado equilibrado e observação do úmero de potos. Espaço de resultados Ω {1,, 3, 4, 5, 6} σ álgebra defiida sobre Ω Cosidere-se uma ão trivial: A {, {1, 3, 5}, {, 4, 6}, Ω} Defiição 1.6 Fução de distribuição (Rohatgi, 1976, pp ) Seja X uma v.a. defiida em (Ω, A, P ) e defia-se uma fução F X (x) em IR do seguite modo: F X (x) P X ((, x]) P (X 1 ((, x]) P (X x), x IR. (1.7) A fução F X (x) é deomiada de fução de distribuição (f.d.) de X. Notas 1.7 Fução de distribuição (Rohatgi, 1976, pp ) Importa otar que qualquer fução real F (x) defiida em IR que seja ão decrescete e cotíua à direita e que satisfaça F ( ) 0 e F (+ ) 1 é uma f.d. Cadidata a variável aleatória X : Ω IR tal que X(1) X(3) X(5) 0 e X() X(4) X(6) 1. A fução defiida em (1.7) é de facto uma f.d. Images iversas Tome-se B B(IR). Etão, se 0 B, 1 B X 1 {1, 3, 5}, se 0 B, 1 B (B) {, 4, 6}, se 0 B, 1 B Ω, se 0 B, 1 B A, B B(IR). (1.6) Proposição 1.8 Algumas propriedades da f.d. (decorretes da defiição e ão só) 0 F X (x) 1, x IR. F X (x) F X (x + h), h > 0, x IR (fução moótoa ão decrescete). F X ( ) lim x F X (x) 0. F X (+ ) lim x + F X (x) 1. Logo X é uma v.a. defiida em A. F X (x + ) F X (x), x IR (fução cotíua à direita). 3 Motivação 1.5 Fução de distribuição A fução Q (ou P ) está defiida sobre evetos, pelo que ão é de trato fácil. Posto isto itroduza-se uma fução defiida em IR tedo em ateção que X se diz uma v.a. se X 1 ((, x]) A, x IR, e que deveremos ser capazes de calcular a probabilidade de a v.a. tomar valores ão superiores a um real arbitrário x. P (X x) F X (x) F X (x ), x IR. Teorema 1.9 Potos de descotiuidade da f.d. (Rohatgi, 1976, p. 57) O cojuto dos potos de descotiuidade de F X (x), D X, é quado muito umerável. A demostração deste resultado pode ecotrar-se em Rohatgi (1976, pp ). 3 F X (x + ) represeta o limite à direita da f.d., um poto real x arbitrário. Recorde-se que este limite é defiido por F X (x + ) lim h 0 F X (x + h), h > 0. Note-se também que este limite em sempre é igual ao limite à esquerda o poto x, F X (x ) lim h 0 F X (x h), h >

10 1 uma variável aleatória trasporta o cálculo de probabilidades de (Ω, A) para (IR,B), em que B é a σ-álgebra dos boreliaos de R, gerada, por exemplo, pelas semi-rectas ],r]. Ao cojugar a cardialidade de D X e a probabilidade de X tomar valores em D X 1 P(X A) P(X 1 (A)), A B. somos capazes de classificar embora de modo iformal as v.a. quato ao seu tipo: discretas, (absolutamete) cotíuas e mistas. Notas 1.30 Classificação iformal das v.a. Seja D X cojuto dos potos de descotiuidade da f.d. da v.a. X. D X Teorema v.a. 1 cotíua O cojuto dos potos de descotiuidade de F X (x), D, ão sedo vazio, é fiito D X, P (X D X ) 1 v.a. discreta ou umerável. D X, P (X D X ) < 1 v.a. mista. Tipos de variáveis aleatórias 1 D a variável aleatória diz-se cotíua. Exercício 1.31 Classificação iformal das v.a. 1 Escreva as expressões D gerais e P(X das D) três 1 f.d. a variável cujos gráficos aleatória se diz-se ecotram discreta. abaixo 4 e classifique as v.a. a elas associadas. 1 D e P(X D) < 1 a variável aleatória diz-se mista Variáveis aleatórias discretas revisitadas e uma ovidade Defiição 1.3 V.a. discreta (Rohatgi, 1976, p. 61) Uma v.a. X defiida em (Ω, A, P ) diz-se discreta, caso exista um cojuto umerável IR X IR, tal que P (X IR X ) 1. (1.8) Os potos de IR X saltos da f.d. de X. 4 Fote: Soares (007). com probabilidade positiva correspodem a potos em que ocorrem ➋ (x,y) IR : x < y F X (x) F X (y) (fução ão decrescete) ➌ lim x F X(x) 0 e lim x + F X(x) 1 ➍ lim F X (x) F X (x 0 + ) F X(x 0 ), x 0 IR (fução cotíua à direita) Nota 1.33 V.a. discreta (Rohatgi, 1976, p. 61) x x + 0 ➎Note P(X que x) o cojuto F X (x) F IR X (x X ), x B(IR) IR já que se trata da reuião (evetualmete) umerável de cojutos sigulares. Assim sedo, {X IR X } é um eveto probabilizável. Mais, a v.a. X toma valor x i IR X com probabilidade Defiição 3 p i P (X x i ) P ({ω : X(ω) x i }), i 1,,. (1.9) A fução (massa) de probabilidade de X é defiida por Defiição 1.34 { Fução de probabilidade (Rohatgi, 1976, p. 61) P(X x), x D A colecção def X úmeros (x) {p 0, x / D P(X x)i i }, que satisfazem D(x). p i P (X x i ) 0, i 1,, Caracterização de uma fução de probabilidade i p i i P (X x i ) x IR X P (X x) P (Ω) 1 ➊ f X (x) 0, x IR é desigada de fução de probabilidade (f.p.) de X. ➋ f X (x) P(Ω) 1 Represetá-la-emos doravate por: x D P (X x i ), se x x i IR X P (X x) P ({ω Ω : X(ω) x}) 0, c.c. 4 Proposição 1.35 Propriedades da f.d. de uma v.a. discreta (1.10) Para além das propriedades já mecioadas a Proposição 1.8, a f.d. da v.a. discreta X, F X (x), é uma: fução em escada que possui tatos potos de descotiuidade quatos os valores distitos de IR X ; P (X < x) F X (x ) lim h 0 F X (x h), h > 0; P (X x) 1 F X (x ); e aida, para a < b, P (a < X b) F X (b) F X (a) P (a < X < b) F X (b ) F X (a) 1

11 P (a X < b) F X (b ) F X (a ) P (a X b) F X (b) F X (a ). Relembre-se por fim que, a f.p. da v.a. discreta X, P (X x), pode escrever-se à custa da f.d. de X: P (X x) F X (x) F X (x ). (1.11) Importa otar que todas as propriedades aqui referidas à excepção da primeira e de (1.11) são igualmete satisfeitas pela f.d. de qualquer v.a. cotíua. Refira-se também que algumas destas propriedades serão rescritas de modo a reflectir o carácter cotíuo da v.a. Defiição 1.36 Distribuição degeerada (Rohatgi, 1976, p. 181) A mais simples das distribuições discretas correspode à da v.a. X degeerada um poto x 0, i.e., X possui f.p. igual a 1, x x 0 P (X x) 0, c.c. e f.d. dada por 0, x < x 0 F X (x) 1, x x 0. (1.1) (1.13) É evidete que E(X r ) x r 0, r 1,,. Em particular V (X) 0, propriedade que caracteriza uma v.a. degeerada. Nota 1.37 Distribuição degeerada (Rohatgi, 1976, p. 181) Teremos ocasião de costatar o Capítulo 3, as v.a. degeeradas desempeham um papel importate o estudo da covergêcia de sucessões de variáveis aleatórias. É altura de passarmos etão em revista algumas distribuições discretas já ossas cohecidas e adiatarmos uma ovidade. 13 Distribuição Uiforme Discreta Motivação 1.38 Distribuição Uiforme Discreta Esta distribuição é razoável quado a v.a. discreta toma valores distitos, todos com a mesma probabilidade. Sem perda de geeralidade cosidere-se que esta v.a. toma valores distitos, x 1, x,, x, em que x 1 < x < < x. Defiição 1.39 Distribuição Uiforme Discreta A v.a. discreta X diz-se ter distribuição uiforme discreta o cojuto {x 1, x,, x }, caso a sua f.p. seja igual a 1 P (X x), x x 1, x,, x 0, c.c. Uiforme Discreta Notação X Uiforme({x 1, x,, x }) Parâmetro {x 1, x,, x } (x i IR, i 1,, ) Cotradomíio {x 1, x,, x } 1 F.p. P (X x), x x 1, x,, x 0, c.c. Valor esperado E(X) 1 i1 x i ( Variâcia V (X) 1 ) ( i1 x i 1 ) i1 x i Nota 1.40 F.d. da Uiforme Discreta (1.14) A f.d. de X Uiforme({x 1, x,, x }) pode escrever-se à custa de ( + 1) ramos (como?), ou de modo um pouco mais sofisticado à custa da fução de Heaviside 5 F X (x) 1 H(x x i ). (1.15) i1 É curioso otar que H(x x i ) é a f.d. de uma v.a. degeerada o poto x i. 5 H(x) 0, se x < 0, e H(x) 1, se x 0. 14

12 Exemplo 1.41 F.p. e f.d. da Uiforme Discreta Na figura que se segue podem ecotrar-se os gráficos das f.p. e f.d. da v.a. X Uiforme({a, a + 1,, b 1, b}), ode a IR, b a + 4 e b a P (X x), x 1,,, 0, c.c. De otar que se teve em cosideração que a ispecção é feita sem reposição e que: X 1 se a 1a. amostra ispeccioada estiver cotamiada; X se a 1a. amostra ispeccioada ão estiver cotamiada mas a a. estiver cotamiada; etc. Distribuição de X X Uiforme({1,,, }) Exemplo 1.4 Distribuição Uiforme discreta Um cojuto de amostras de solo das quais só uma está cotamiada por uma perigosa substâcia química chega a um laboratório. Admita aida que a amostra de solo cotamiado ão foi etiquetada previamete. Cosidere agora a v.a. X que represeta o úmero total de amostras ispeccioadas sem reposição até ser idetificada a amostra de solo cotamiado. (a) Idetifique a distribuição de X. (b) Obteha a f.d. de X. F.d. de X 0, x < 1 1, 1 x < F X (x) P (X x), x < x < 1, x ode [x] represeta a parte iteira do real x. 7 0, x < 1 [x], 1 x < 1, x, V.a. X úmero de amostras ispeccioadas sem reposição até à detecção da amostra cotamiada Cotradomíio de X IR X {1,,, } F.p. de X P (X 1) 1 P (X ) P (X 3) Fote: distributio (discrete). (c) Calcule o valor esperado e a variâcia desta v.a. e de Y X 1, que correspode ao úmero de isucessos que precedem a detecção da amostra de solo cotamiado. [TPC] Nota Relembra-se para o efeito que: ( + 1) x ; x1 x ( + 1)( + 1). 6 x1 7 Relembre-se que a parte iteira do real x correspode ao maior iteiro meor ou igual a x. Assim, [0.3] 0, [.8], [ 0.7]

13 Valor esperado de X E(X) x P (X x) Variâcia de X Nova v.a. x1 x1 x ( + 1)/ + 1 V (X) E(X ) E (X) x1 x ( ) + 1 ( + 1)( + 1)/6 ( + 1) ( ) Y X 1 Valor esperado de Y E(Y ) E(X 1) E(X) Variâcia de Y V (Y ) V (X 1) V (X) 1 1. Exercício 1.43 Distribuição Uiforme Discreta São seleccioados dez úmeros do cojuto {1,, 3,, 30}, selecção esta feita de modo uiforme e sem reposição. Obteha o valor esperado da soma dos úmeros seleccioados. 8 8 Fote: Walrad (004, p. 63). Seja X i o i ésimo úmero seleccioado (i 1,, 10). Deduza a f.p. de X 1, para de seguida obter a de X, usado a lei das probabilidades totais e tirado partido da distribuição de X 1. Tete geeralizar este resultado para X 3, etc., usado ão só a lei das probabilidades totais como a lei das probabilidades composta. 17 Distribuição Biomial Motivação 1.44 Distribuição Biomial A distribuição biomial é particularmete útil a caracterização probabilística do úmero de sucessos em provas de Beroulli realizadas de forma idepedete e com probabilidade de sucesso comum p. Defiição 1.45 Distribuição Biomial A v.a. X úmero de sucessos um cojuto de provas de Beroulli idepedetes com probabilidade de sucesso comum e igual a p diz-se com distribuição biomial de parâmetros (, p) e possui f.p. igual a ( ) x p x (1 p) x, x 0, 1,,, P (X x) 0, c.c., ode ( ) x! represeta as combiações de elemetos tomados x a x. x!( x)! Biomial Notação X Biomial(, p) Parâmetros úmero de provas de Beroulli ( IN) p P (sucesso) (p [0, 1]) Cotradomíio {0, 1,,, } F.p. ( ) x p x (1 p) x, x 0, 1,,, P (X x) 0, c.c. Valor esperado E(X) p Variâcia V (X) p (1 p) (1.16) A v.a. X Biomial(, p) está também associada à cotagem do úmero de elemetos com determiada característica (sucesso), um total de elemetos extraídos ao acaso e com reposição. Pode também ser etedida como a geeralização atural da distribuição de Beroulli. 18

14 Nota 1.46 F.d. da v.a. biomial A f.d. da v.a. X Biomial(, p) é dada por 0, x < 0 ( F X (x) P (X x) [x] i0 i) p i (1 p) i, 0 x < 1, x, (1.17) ode [x] represeta a parte iteira do real x. Esta fução está tabelada para algus pares de valores de e p; refira-se que os valores de e p ão excedem (as tabelas dispoíveis para esta disciplia) 0 e 0.5, respectivamete. Exemplo 1.47 F.p. e f.d. da distribuição Biomial Na figura que se segue ecotram-se os gráficos da f.p. (resp. f.d.) de X Biomial(, p), ode (, p) (0, 0.5), (0, 0.7), (40, 0.5) da esquerda para a direita. 9 Proposição 1.49 A distribuição biomial e a fiabilidade de estruturas k-de- com compoetes idepedetes Uma estrutura k de fucioará sse fucioarem pelo meos k das suas compoetes. 10 Caso a fiabilidade (ou probabilidade de fucioameto) de cada uma das compoetes seja igual a p e estas sejam idepedetes, a estrutura k de possui fiabilidade dada por r(p) P (fucioarem pelo meos k das compoetes) ( ) p i (1 p) i i ik 1 F Biomial(,p) (k 1). (1.18) Exemplo/Exercício 1.50 Cosidere-se uma aeroave com 4 motores. Supoha-se que ela só será capaz de voar se possuir pelo meos dos motores a fucioar. Determie a probabilidade de a aeroave estar em codições de voar (i.e., a fiabilidade), caso a fiabilidade de cada motor seja de p 99%. V.a. X úmero de motores a fucioar em 4 existetes Exemplo 1.48 Utilização das tabelas da f.d. da v.a. biomial V.a. x Valor tabelado de F X (x) P (X x) X Biomial( 5, p 0.05) 0 F X (0) X Biomial( 10, p 0.4) 8 F X (8) X Biomial( 0, p 0.5) 11 F X (11) Fote: distributio. Distribuição de X X Biomial(, p) Parâmetros 4 motores p fiabilidade de cada motor 0.99 F.p. de X P (X x) ( ) 4 x 0.99 x (1 0.99) 4 x, x 0, 1,, 3, 4 10 De otar que uma estrutura em série (resp. paralelo) correspode a uma estrutura de (resp. 1 de ). 19 0

15 Probabilidade pedida r(0.99) P (X ) 1 F Biomial(4,0.99) ( 1) 1 [ (1 0.99) (1 0.99) 3] Proposição 1.53 Somas de v.a. idepedetes com distribuição biomial Sejam X i idep Biomial( i, p), i 1,, k. Etão ( k k ) X i Biomial i, p. (1.19) i1 i1 Proposição 1.54 Aproximações da distribuição biomial Proposição 1.51 Uma propriedade da distribuição biomial Seja X o úmero de sucessos em provas de Beroulli idepedetes com probabilidade de sucesso p, i.e., X Biomial(, p). Etão o úmero de isucessos essas mesmas provas de Beroulli, Y, verifica: 1. Y X Biomial(, 1 p);. F Y (y) 1 F X ( y 1). Exemplo/Exercício 1.5 Demostre a seguda das propriedades da Proposição 1.51 e ilustre a sua utilização recalculado a probabilidade pedida o Exercício 1.50, fazedo uso das tabelas dispoíveis. V.a. X Biomial(, p) Y X Biomial(, 1 p) v.a. origial v.a. aproximativa Codições aprox. Obs. X Biomial(, p) X Poisso(p) > 0 e p < 0.1 (1) X Biomial(, p) X Normal(p, p(1 p)) p > 5 e (1 p) > 5 () Estas aproximações ecotram justificação em resultados de covergêcia: (1) X Biomial(, p) X Poisso(p) lim + p 0 p λ fixo ( ) p x (1 p) x p (p)x e. (1.0) x x! () X Biomial(, p) X Normal(p, p(1 p)) Teorema do Limite Cetral (TLC): X i i.i.d. Beroulli(p), i 1,, S i1 X i Biomial(, p) a figura seguite: 11 S p p(1 p) a Normal(0, 1), como, aliás, ilustra Demostração da a. propriedade F Y (y) P (Y y) P ( X y) P (X y) 1 P (X y 1) 1 F X ( y 1) Ilustração da a. propriedade r(0.99) 1 F Biomial(4,0.99) (1) 1 [1 F Biomial(4,1 0.99) (4 1 1)] tabela 1 ( ) um histograma das proporções de caras observadas em bastates sequêcias de laçametos de um dado equilibrado. 11 Fote: distributio.

16 Exercício 1.55 Um erro de cálculo combiatório (Righter, ) Foram colocadas as seguites questões a uma série de pessoas: 1. Quatas comissões distitas de duas pessoas podemos costituir a partir de um grupo de dez pessoas?. Quatas comissões distitas de oito pessoas podemos costituir a partir de um grupo de dez pessoas? Curiosamete, a mediaa das respostas à primeira questão foi de 70 e das respostas à seguda igual a 0. Qual a resposta correcta de ambas as questões? Exercício 1.56 Distribuição biomial e questões de discrimiação (Righter, ) No caso EEOC 1 vs. Uited Virgiia Bak (1980), a argumetação da EEOC assetava o facto de um total de 53 pessoas cotratadas por um gestor somete das pessoas cotratadas para determiados cargos eram afro-americaas, ao passo que a percetagem de pessoas desta etia cotratadas para cargos similares a região era de 4.8%. (a) Qual a probabilidade de quado muito duas pessoas afro-americaas serem cotratadas pelo baco para tais cargos, caso as 53 pessoas sejam escolhidas ao acaso? Ao ivés de recorrer às tabelas de que dispõe, recorra à calculadora o-lie dispoível em west/applets/biomialdemo.html por forma a obter a probabilidade pedida. (b) Recorra à mesma calculadora o-lie para obter a moda e a mediaa da v.a. com que lidámos em (a). Haverá certamete discrimiação a região mas ão ecessariamete este baco em particular. Comete esta afirmação. Distribuição Hipergeométrica Motivação 1.57 Distribuição Hipergeométrica A distribuição Biomial(, p) está associada à cotagem do úmero de sucessos, em extracções ao acaso com reposição. Ao cosiderar-se um processo de extracção casual sem reposição, passamos a lidar com uma v.a. discreta com distribução distita da biomial. Defiição 1.58 Distribuição Hipergeométrica Cosidere-se que N úmero total de elemetos de uma população (dimesão da pop.); M úmero de elemetos dessa população que possuem certa característica (sucesso); úmero de extracções sem reposição. Etão a v.a. X úmero de elemetos com certa característica (sucesso), em extraídos ao acaso sem reposição da população acima diz-se com distribuição hipergeométrica com parâmetros (N, M, ) e a sua f.p. é dada por ( M x )( N M x ), x max{0, (N M)},, mi{, M} P (X x) ( N ) (1.1) 0, c.c. X correspode ao úmero de sucessos um cojuto de provas de Beroulli depedetes com probabilidade de sucesso comum e igual a p M/N. Exercício 1.59 F.p. da v.a. hipergeométrica Supoha que foram abertas três vagas uma compahia, tedo-se cadidatado oito homes e sete mulheres para as mesmas. Assuma que qualquer está igual qualificado para qualquer das vagas. Qual a probabilidade de as três vagas virem a ser ocupadas somete por homes? 13 1 Equal Employmet Opportuity Commissio. 13 Fote: berg/sta535/files/sta535-1.pdf. 3 4

17 Na tabela seguite podem ecotrar-se a f.p. bem como outras características da distribuição hipergeométrica. Hipergeométrica Notação X Hipergeométrica(N, M, ) Parâmetros N (N IN) M (M IN, M N) ( IN, N) Cotradomíio {max{0, (N M)},, mi{, M}} F.p. ( M x ) ( N M x ), x max{0, (N M)},, mi{, M} P (X x) ( N ) 0, c.c. Valor esperado Variâcia E(X) M N V (X) M N ( ) 1 M N N N 1 Exercício 1.60 Valor esperado da distribuição hipergeométrica Deduza o valor esperado da distribuição hipergeométrica, tirado partido das seguites igualdades: 14 ( ) M x x ( ) N ( ) M 1 M (1.) x 1 N ( ) N 1. (1.3) 1 Nota 1.61 Distribuição Hipergeométrica E(X) e V (X) fazem lembrar o valor esperado e a variâcia da distribuição Biomial(, p) com factores de correcção que se devem à ão reposição das extracções. Com efeito, sob certas codições, a (f.p./f.d. da) v.a. Hipergeométrica(N, M, ) pode ser aproximada pela (f.p./f.d. d)a v.a. Biomial(, M N ): v.a. origial v.a. aproximativa Codições aprox. Obs. X Hipergeométrica(N, M, ) X Biomial(, M/N) < 0.1N (1) Com efeito, fazer ou ão reposição deixa de ser relevate quado a dimesão da amostra é muito pequea quado comparada com a dimesão da população. Esta aproximação também ecotra justificação um resultado de covergêcia: ( ) ( ) M N M ( ) (M ) x x x ( lim ( N + N 1 x N ) M ) x. (1.4) N fixo M/N fixo Distribuição Geométrica Motivação 1.6 Distribuição Geométrica A distribuição Biomial(, p) está associada à cotagem do úmero de sucessos em provas de Beroulli idepedetes que possuem em qualquer dos casos probabilidade de sucesso igual a p. Caso estejamos iteressados em cotabilizar o o úmero total de provas de Beroulli realizadas até ao registo do primeiro sucesso, passamos a lidar com uma v.a. discreta com distribuição distita da biomial. Defiição 1.63 Distribuição Geométrica Seja X úmero de provas de Beroulli (idepedetes com probabilidade de sucesso comum e igual a p) realizadas até à ocorrêcia do primeiro sucesso. Etão a v.a. X diz-se com distribuição geométrica com parâmetro p e a sua f.p. é dada por (1 p) x 1 p, x 1,, 3, P (X x) 0, c.c. (1.5) A distribuição geométrica é por vezes desigada por distribuição discreta do tempo de espera pelo primeiro sucesso. 14 Para mais detalhes cosulte-se: berg/sta535/files/sta535-1.pdf. 5 6

18 Da tabela que se segue costam ão só a f.p. mas também outras características da distribuição geométrica. Notação Geométrica X Geométrica(p) Parâmetro p P (sucesso) (p [0, 1]) Cotradomíio IN {1,, 3, } (1 p) x 1 p, x 1,, 3, F.p. P (X x) 0, c.c. Valor esperado Variâcia E(X) 1 p V (X) 1 p p Nota 1.64 F.d. da v.a. geométrica A f.d. da v.a. X Geométrica(p) ão está tabelada pois obtém-se sem grade dificuldade, por estar a lidar-se com uma série geométrica. Com efeito, 0, x < 1 F X (x) P (X x) [x] i1(1 p) i 1 p 1 (1 p) [x], x 1, ode [x] represeta ovamete a parte iteira do real x. Exemplo 1.65 F.p. e f.d. da distribuição Geométrica (1.6) Na figura seguite podem ecotram-se os gráficos da f.p. (resp. f.d.) de X Geométrica(p), ode p 0., 0.5, 0.8 de baixo para cima. 15 Nota 1.66 Defiição alterativa da v.a. geométrica A v.a. geométrica é frequetemete defiida à custa do úmero de isucessos que precedem o primeiro sucesso uma sucessão de provas de Beroulli i.i.d. com probabilidade de sucesso p. Represetemos esta v.a. por Y. Y toma valores 0, 1,, escreve-se Y Geométrica (p) e lida-se agora com a f.p. (1 p) y p, y 0, 1,, 3, P (Y y) 0, c.c. Ao cosiderar-se X Geométrica(p), tem-se Y X 1 Geométrica (p), pelo que E(Y ) E(X 1) 1 p 1 1 p p Exemplo 1.67 Distribuição Geométrica e V (Y ) V (X) 1 p p. Estudos prelimiares idicaram que a probabilidade de ser detectada a preseça de alto teor de metais pesados uma amostra de solo proveiete de certo local é de (a) Obteha o valor esperado do úmero total de amostras seleccioadas ao acaso até que seja detectada a primeira amostra de solo com alto teor de metais pesados. V.a. X úmero total de amostras seleccioadas até que seja detectada a primeira amostra de solo com alto teor de metais pesados Distribuição de X X Geométrica(p) Parâmetro p Fote: distributio. 7 F.p. de X P (X x) (1 0.01) x , x 1,, 3, Valor esperado de X E(X) form. 1 p amostras. 16 Adaptado do Exame de PE de a. Época, 4 de Fevereiro de

19 (b) Determie a probabilidade de serem ispeccioadas mais de amostras até à detecção da primeira amostra de solo com alto teor de metais pesados, sabedo que já foram ispeccioadas mais de 100 amostras sem que semelhate detecção tivesse ocorrido. Probabilidade pedida Tirado partido da expressão geral da f.d. da v.a. geométrica tem-se sucessivamete: P (X > X > 100) P (X > , X > 100) P (X > 100) P (X > ) P (X > 100) 1 P (X ) 1 P (X 100) 1 [1 (1 0.01) ] 1 [1 (1 0.01) 100 ] (1 0.01) (1 0.01) 100 (1 0.01) 50 P (X > 50). Este resultado deve-se a uma propriedade desta distribuição que será euciada de seguida. Proposição 1.68 Falta de memória da distribuição geométrica Seja X Geométrica(p). Etão P (X > k + x X > k) P (X > x), k, x IN, (1.7) Importa otar que a falta de memória é uma propriedade que caracteriza a distribuição Geométrica, i.e., X Geométrica(p) P (X > + m X > ) P (X > m),, m IN. (1.9) No exercício seguite demostrar-se-á a implicação da direita para esquerda (codição ecessária). Exercício 1.69 Falta de memória da distribuição geométrica Mostre que, caso a v.a. X seja iteira, positiva e goze da propriedade de falta de memória, X possui distribuição geométrica. 17 Proposição 1.70 Relação etre as distribuições geométrica e expoecial Para além de serem as duas úicas distribuições com falta de memória, a geométrica e a expoecial relacioam-se do seguite modo. Seja Z Expoecial(λ). Etão a parte iteira de Z, [Z], possui distribuição Geométrica (p 1 e λ ). Exercício 1.71 Relação etre as distribuições geométrica e expoecial Demostre a proposição Proposição 1.7 Outra propriedade da distribuição geométrica Sejam X i idep. Geométrica(p i ), i 1,,. Etão ( ) mi X i Geométrica p 1 (1 p i ). (1.30) i1,, i1 Equivaletemete, a v.a. (X k X > k), que represeta o úmero de provas de Beroulli adicioais sabedo que já foram efectuadas mais de k provas, também possui distribuição geométrica com parâmetro p: (X k X > k) Geométrica(p), k IN. (1.8) Exercício 1.73 Demostre e iterprete a proposição 1.7. Esta propriedade é deomiada de falta de memória uma vez que (1.8) sugere um recomeço probabilístico. Não surpreede que a distribuição geométrica seja cosiderada o aálogo discreto da distribuição expoecial Sugestão: cosidere, m IN e P (X > ) a ; ote que a propriedade de falta de memória se escreve a +m a a m, pelo que a m a m 1 ; por fim reescreva a f.p. à custa da fução de sobrevivêcia do seguite modo P (X m) P (X > m 1) P (X > m) a m 1 a m. 30

20 Distribuição de Poisso Motivação 1.74 Distribuição de Poisso A distribuição de Poisso é frequetemete usada a cotagem de ocorrêcias de certo tipo de eveto em períodos fixos de tempo, evetos tais como: chegadas, partidas, acidetes, falhas de equipameto, testemuhos verdadeiros em tribual, úmero de excedêcias de íveis elevados de pluviosidade/odas/marés, úmero de colisões de detritos espaciais com diâmetro superior a 1cm um satélite uma região orbital abaixo dos.000km de altitude, etc. A distribuição de Poisso foi origialmete itroduzida em 1838 por Siméo Deis Poisso ( ) a sua obra Recherches sur la probabilité des jugemets e matiére crimielle et e matiére civile. Esta obra cetra-se em v.a. que cotabilizam o úmero de certas occurrêcias (por vezes deomiadas de chegadas ) em períodos de amplitude fixa. 18 Aos mais tarde vo Bortkiewicz (1898) recorre à distribuição de Poisso para descrever o comportameto probabilístico do úmero de mortes por coices de cavalo o exército prussiao. Defiição 1.75 Distribuição de Poisso A v.a. X com distribuição tem a particularidade de possuir o valor esperado e a variâcia iguais ao parâmetro que defie a distribuição, λ, e f.p. a tabela abaixo Nota 1.76 F.d. da v.a. de Poisso A f.d. da v.a. X Poisso(p), 0, x < 0 F X (x) P (X x) [x] λ λi i0 e, x 0 (1.31) i! (ode [x] é a parte iteira do real x) está tabelada para algus valores de λ. Exemplo 1.77 Utilização das tabelas da f.d. da v.a. de Poisso V.a. x Valor tabelado de F X (x) P (X x) X Poisso(λ 0.05) 0 F X (0) X Poisso(λ 3) 1 F X (1) X Poisso(λ 0) 14 F X (14) Exemplo 1.78 F.p. e f.d. da distribuição de Poisso Nos gráficos abaixo represetam-se a f.p. e a f.d. de X Poisso(λ), ode λ 1, 4, 10 de cima para baixo. 19 Poisso Notação X Poisso(λ) Parâmetro λ (λ IR + ) Cotradomíio IN 0 F.p. e λ λx x!, x 0, 1,, P (X x) 0, c.c. Valor esperado Variâcia E(X) λ V (X) λ 18 Para mais detalhes veja-se: distributio. 19 Fote: distributio. 31 3

21 Exemplo 1.79 Distribuição de Poisso A procura semaal de uma luxuosa marca de automóvel segue uma lei de Poisso. Sabe-se aida que a probabilidade de uma semaa ão existir procura é igual a e 3. 0 (a) Determie a probabilidade de a procura semaal exceder pelo meos automóveis. V.a. X procura semaal de automóveis da referida marca Distribuição de X X Poisso(λ) F.p. de X P (X x) e Parâmetro λ λx x!, x 0, 1,, λ : P (X 0) e 3 λ λ0 e 0! e 3 λ 3 Probabilidade pedida P (X ) 1 P (X < ) 1 P (X 1) 1 F P oisso(3) (1) tabela (b) Qual a probabilidade de a procura em 4 semaas ser de pelo meos automóveis? V.a. Y procura de automóveis da referida marca em 4 semaas Distribuição de Y Y Poisso(4 λ) 0 Adaptado do Exame de a. Época, 1 de Julho de 001. F.p. de Y P (Y y) e 1 1y y! Probabilidade pedida, y 0, 1,, P (Y ) 1 F P oisso(1) (1) tabela Esta alíea ilustra o fecho da família de distribuições de Poisso para a soma de v.a. idepedetes. Proposição 1.80 Somas de v.a. idepedetes com distribuição de Poisso Sejam X i idep Poisso(λ i ), i 1,, k. Etão ( k k ) X i Poisso λ i. (1.3) i1 i1 Exemplo 1.81 Somas de v.a. idepedetes com distribuição de Poisso Os úmeros de kits de teste vedidos semaalmete por duas sucursais de uma empresa de biotecologia são duas v.a. idepedetes com distribuição de Poisso cujas variâcias são iguais a 10 e 15, respectivamete. 1 Obteha o valor exacto para a probabilidade de o úmero total de kits de teste vedidos semaalmete pelas duas sucursais da empresa exceder 5 uidades. V.a. X i úmero de kits vedidos semaalmete pela sucursal i (i 1, ) Distribuição de X i X i idep Poisso(λ i ), i 1, Parâmetros λ 1 E(X 1 ) V (X 1 ) 10 λ E(X ) V (X ) 15 1 Adaptado do Exame de PE de 4 de Fevereiro de

22 Nova v.a. Y X 1 + X úmero total de kits de teste vedidos semaalmete pelas duas sucursais Distribuição de Y Tratado-se da soma de duas v.a. idepedetes com distribuição de Poisso, pode afirmar-se que Parâmetro Y Poisso(E(Y )). E(Y ) E(X 1 ) + E(X ) Probabilidade pedida P (Y > 5) 1 P (Y 5) 1 F P oisso(5) (5) tabela Proposição 1.8 Aproximação ormal da distribuição de Poisso v.a. origial v.a. aproximativa Codições aprox. Obs. X Poisso(λ) X Normal(λ, λ) λ > 5 (1) Atete-se que existem tabelas da f.d. da v.a. X Poisso(λ) para diversos valores de λ > 5, e esses casos ão há qualquer ecessidade de efectuar a aproximação. aproximação ecotra justificação o TLC: X i i.i.d. Poisso(λ/), i 1,, Esta S i1 X i Poisso(λ) S λ λ a Normal(0, 1). Proposição 1.83 Relação etre as distribuições expoecial e de Poisso / Processo de Poisso Sejam: 35 Etão X o tempo etre duas ocorrêcias cosecutivas de um eveto; N x o úmero de ocorrêcias do eveto o itervalo (0, x]. N x Poisso(λ x) X Expoecial(λ) (1.33) e a colecção de v.a. {N x, x > 0} diz-se um processo de Poisso de taxa λ. Exemplo 1.84 Relação etre as distribuições expoecial e de Poisso O itervalo de tempo etre duas chegadas cosecutivas de mesages electróicas a um computador tem distribuição expoecial com valor esperado igual a miutos. (a) Determie a probabilidade de chegarem mais de 10 mesages em meia-hora. V.a. X tempo (em miutos) etre chegadas cosecutivas de mesages electróicas Distribuição de X X Expoecial(λ) Parâmetro Nova v.a. λ : E(X) 1 λ λ 0.5 (mesages/miuto) N x N 30 úmero de mesages chegadas em 30 miutos Distribuição de N 30 De acordo com o resultado (1.33) tem-se F.p. de N 30 N 30 Poisso(λ x ). P (N 30 y) e 15 15y y! Probabilidade pedida, y 0, 1,, P (N 30 > 10) 1 P (N 30 10) 1 F P oisso(15) (10) tabela

23 (b) Assuma que a probabilidade de uma mesagem electróica ser SPAM é 0.1 e determie a probabilidade de chegarem mais de 10 mesages SPAM em meia-hora. Nova v.a. Ñ 30 úmero de mesages SPAM chegadas em 30 miutos Distribuição de Ñ30 codicioal a N 30 ( 1,, ) (Ñ30 N 30 ) Biomial(, p 0.1) F.p. de (Ñ30 N 30 ) P (Ñ30 y N 30 )! y!( y)! py (1 p) y, y 0, 1,,, F.p. de Ñ30 Aplicado a lei da probabilidade total tem-se sucessivamete: P (Ñ30 y) Distribuição de Ñ P (Ñ30 y N 30 ) P (N 30 ) e λ p y + y! (1 p) y y e λ p (λ p) y y! Ñ 30 Poisso(λ p ) Probabilidade pedida P (Ñ30 > 10) 1 P (Ñ30 10) 1 F P oisso(1.5) (10) tabela , [(1 p) λ] y ( y!) substacialmete iferior à probabilidade obtida a alíea (a). A alíea (b) do exercício aterior sugere o seguite resultado. Proposição 1.85 Filtragem da distribuição de Poisso Sejam X Poisso(λ) e (Y X ) Biomial(, p). Etão coclui-se que Y Poisso(λ p). 37 Exercício 1.86 Filtragem da distribuição de Poisso A circulação de viaturas uma auto-estrada processa-se de acordo com um processo de Poisso com taxa igual a uma viatura por miuto. Assuma que 5% da viaturas são da marca PeugeOt e calcule a probabilidade de passar pelo meos uma viatura da marca PeugeOt durate uma hora. Proposição 1.87 Uma distribuição codicioal importate Sejam X i idep Poisso(λ i ), i 1,, k. Etão ( ) k λ X i X j y i Biomial y, kj1, y IN. (1.34) λ j j1 Exercício 1.88 Uma distribuição codicioal importate Prove a Proposição 1.87 para k. Exercício 1.89 Uma distribuição codicioal importate (bis) Retome o Exercício 1.86 e assuma que sabe de atemão que passaram 50 viaturas. Qual a probabilidade de 5 dessas viaturas serem da marca PeugeOt? Nota 1.90 Filas de espera M/M/1 e M/M/ Um sistema diz-se uma fila de espera do tipo M/M/1 caso o tempo etre chegadas cosecutivas possua distribuição Expoecial(λ) 3 e o tempo de serviço, prestado pelo úico servidor, seja idepedete do tempo etre chegadas cosecutivas e possua distribuição Expoecial(µ). Assuma que a itesidade de tráfego ρ λ < 1. Etão µ a distribuição do úmero de clietes que um cliete ecotra à sua chegada ao sistema em M/M/1 em equilíbrio, L s, possui distribuição Geométrica (1 ρ). Ao lidar-se com um sistema M/M/ (e.g. o sistema opera em regime de self-service), tem-se L s Poisso(ρ). Adaptado de Ross (1989, p. 43, Exercise 3). 3 M de memoryless. 38

24 Distribuição Biomial Negativa Defiição 1.91 Distribuição Biomial Negativa A v.a. X úmero provas de Beroulli (idepedetes com probabilidade de sucesso comum e igual a p) que é ecessário realizar até à ocorrêcia do r ésimo sucesso diz-se com distribuição biomial egativa de parâmetros (r, p) e possui as características abaixo Exemplo 1.94 Distribuição Biomial Negativa O Bob joga basquetebol a equipa do liceu que frequeta e, ao que tudo idica, marca potos em 70% dos laces livres que efectua. Qual a probabilidade de o Bob marcar potos em 3 laces livres somete ao fim de 5 laces livres efectuados? 4 V.a. X úmero total de laces livres efectuados até à marcação do 3o. lace livre Biomial Negativa Distribuição de X Notação X BiomialN(r, p) X BiomialN(r, p) Parâmetros r úmero de sucessos (r {1,, 3, }) Parâmetros p P (sucesso) (p [0, 1]) r 3 laces livres marcados Cotradomíio {r, r + 1, r +, } F.p. ( x 1 P (X x) r 1) (1 p) x r p r, x r, r + 1, r +, 0, c.c. Valor esperado E(X) r p p P (marcar lace livre) 0.7 F.p. de X P (X x) ( ) x (1 0.7) x , x 3, 4, Variâcia V (X) r(1 p) p Nota 1.9 Caso particular da distribuição Biomial Negativa Geométrica(p) d BiomialN(r 1, p); Probabilidade pedida P (X 5) ( ) 5 1 (1 0.7) Exercício 1.93 F.p. da distribuição Biomial Negativa Procure justificar a expressão da f.p. da v.a. com distribuição biomial egativa. Exercício 1.95 Distribuição Biomial Negativa (bis) Para levar a cabo uma ivestigação relativa à eficácia de um ovo tratameto para uma doeça rara, cuja icidêcia a população em geral é de 0.5%, é preciso usar 30 pessoas com a doeça para realizar um esaio clíico. (a) Calcule a fução de probabilidade do úmero de pessoas que é preciso observar até ecotrar as 30 pessoas ecessárias para realizar o esaio. (b) Qual é o úmero médio de pessoas que é preciso etrevistar? 4 Fote:

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