APOSTILA 1 Funções e Estatística Básica

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1 ' Disciplina de Matemática Aplicada II Curso Técnico em Mecânica Professora Valéria Espíndola Lessa APOSTILA 1 Funções e Estatística Básica 014

2 FUNÇÕES Noção de Função A ideia de função surgiu de observações de fatos que ocorrem na natureza. A partir dessas observações é que surgiram os enunciados de leis que estabeleceram relações entre causas e efeitos. Em muitas situações práticas, o valor de uma grandeza depende do valor de uma outra grandeza. Existe, portanto, uma relação de dependência entre essas grandezas. Essas relações são expressas por fórmulas que no meio matemático recebem o nome de funções. Exemplos: O preço da gasolina e o preço do barril de petróleo. O preço de um artigo e os fatores envolvidos na sua fabricação. O valor da renda arrecada em um estádio de futebol depende da quantidade de torcedores que irão assistir ao jogo, logo, o valor arrecadado é em função do número de torcedores. A altura de uma planta depende do tempo de vida dessa planta, logo, a altura é em função do tempo de vida da planta. O lucro mensal de uma empresa depende da quantidade vendida durante o mês, logo, o lucro é em função da quantidade vendida. A área de uma superfície depende da medida de suas dimensões. O volume de um sólido também depende das dimensões desse sólido. Os fenômenos biológicos, sociológicos, estatísticos ou econômicos na maioria das vezes podem ser expressos em tabelas ou gráficos e na observação destas tabelas e gráficos surgem as sentenças matemáticas que tentam reproduzir o mais próximo possível a relação entre as grandezas, mesmo que essas sentenças representem apenas um pequeno intervalo de valores. Praticamente em tudo que vemos e fazemos existe uma relação de dependência entre duas ou mais grandeza, assim, podemos dizer que em quase tudo há função, tornando esse conteúdo um dos mais importantes da Matemática. Chamamos de relações as associações entre elementos de dois conjuntos. As relações servem para descrever situações que ocorrem no nosso dia-a-dia. Uma relação entre dois conjuntos A e B é uma associação de elementos de A com elementos de B. Para entender melhor vamos resolver algumas situações que envolvem a relação entre as grandezas, suas causas e efeitos. Exemplo: O preço do estacionamento de um automóvel é cobrado da seguinte maneira: uma taxa fixa de R$ 1,00 pela entrada mais R$ 0,50 por hora de permanência. O preço y pago pelo motorista que utiliza desse serviço, depende do número de horas x de permanência. Observe: N.º de horas de Valor a pagar permanência (x) (y) Para x = 0 horas, y = 1 + 0,50. 0= 1,00 0 1,00 Para x = 1 hora, y = 1 + 0,50. 1= 1,50 1 1,50 Para x = horas, y = 1 + 0,50. =,00,00 Para x = horas, y = 1 + 0,50. =,50,50 Para x = 4 horas, y = 1 + 0,50. 4=,00 4,00 Para x horas, y = 1 + 0,50. x x y = 1 + 0,5 x A expressão y = 1 + 0,5 x é o valor final a ser pago em função do número x de horas de permanência do veículo no estacionamento.

3 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento de A a um único elemento de B. Notação: f: A -> B y = f(x) EXEMPLO: Dados os conjuntos A = {0, 1,, } e B = {0, 1,,, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: A B que transforma x A em x B, ou seja, f(x) = x. A B Vemos que a função é uma transformação de elementos de A em elementos de B, mas nem todos os elementos de B são resultados dessa transformação. Dada uma função f: A B, o conjunto A chama-se domínio D(f) da função e o conjunto B chama-se contradomínio da função. Para cada elemento x A existe um elemento y B que chama-se imagem de x pela função f. O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem de f, Im(f). Assim temos: Domínio => D(f) = {0, 1,, } Contradomínio = {0, 1,,, 4, 5, 6} Lei da função => f(x) = x Imagem => Im(f) = {0,, 4, 6} Exemplo: Seja a função f(x) = 4x -, encontre: (a) f(-1) (b) f(x) = -1

4 FUNÇÕES DE 1º GRAU OU FUNÇÕES AFIM Matemática Aplicada II Toda a função cuja lei de formação pode ser escrita por f(x) = ax + b, com a e b reais e a 0, é chamada função polinomial de 1º grau ou função afim. Exemplos de funções de 1º grau: (a) y x 1 (b) f ( x) x 7 (c) f ( x) 4x (d) 1 f ( x) x 5 I) Gráfico de uma função de 1º grau Uma das formas de se obter o gráfico de uma função afim é atribuindo valores para x e encontrando seu par ordenado y. Com dois pontos (x, y) já é possível construir o gráfico. Exemplo 1: f(x) = x Exemplo : f(x) = -x + Exemplo : Função Constante f(x) = 4 4

5 II) Função Crescente e Decrescente: a > 0 => função crescente a < 0 => função decrescente Volte nos exemplos anteriores e classifique as funções em crescente ou decrescente. III) Pontos de interseção com os eixos ordenados Quando estamos construindo o gráfico de uma função do 1º grau, podemos encontrar apenas os pontos em que a reta corta os eixos ordenados e traça-la. EIXO X (eixo das abscissas) => Chama-se zero ou raiz da função de 1º grau o valor de x na qual o valor de f(x) seja zero. Para isso igualamos a lei da função a zero, ou seja, f(x) = 0 => ax + b = 0. Ao resolver a equação, encontramos o valor de x, logo teremos o ponto (x, 0). EIXO Y (eixo das ordenadas) => Neste caso, encontramos o valor de f(x) para x = 0 => y = a.0 +b => y = b. Consequentemente, o ponto de corte no eixo y será sempre o valor do b. Logo temos o ponto (0, b) Exemplo 4: Construir o gráfico da função f(x) = x + 6, encontrando os pontos de interseção com os eixos ordenados. 5

6 IV) Lei da função a partir de dois pontos dados Vamos descobrir a lei da função que passa pelos pontos (, ) e (, 1) e descreve a reta abaixo. V) Exercícios 1) Um encanador A cobra por serviço feito um valor fixo de R$ 100,00 mais R$ 50,00 por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$ 80,00 mais R$ 60,00 por hora de trabalho. Expresse a fórmula matemática que dá o valor total cobrado pelo encanador A e pelo encanador B em função do número de horas trabalhadas? ) O preço de uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y é composta de duas partes; uma parte fixa denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número de quilômetros rodados. Supondo que a bandeirada esteja custando R$,00 e o quilometro rodado, R$ 1,50. Complete a tabela abaixo com os valores que faltam e responda. a) Qual o preço de uma corrida se o táxi rodou 60 quilômetros? b) Se o valor pago foi de R$ 6,00 quantos quilômetros foi percorrido? ) Para entrar num parque de diversões você paga um valor de R$ 77,00, uma taxa adicional de R$,00 para cada brinquedo que utilizar e R$ 5,00 para cada show que assistir. Determine: 6

7 a) Qual o valor total pago por uma pessoa que utilizou dez brinquedos somente? b) Qual o valor pago para uma pessoa que somente assistiu cinco shows? c) Qual a fórmula matemática que dá o valor total pago em função do número de brinquedos utilizados? d) Qual a fórmula matemática que dá o valor total pago em função do número de shows assistidos? e) Qual o valor pago por uma pessoa que assistiu três shows e utilizou oito brinquedos? f) Expresse o valor total pago em função dos números de brinquedos utilizados e shows assistidos. 4) Um produtor de leite diz que uma vaca leiteira produz litros de leite por ano, em média, que é vendido por R$ 0,0 o litro. Este produtor tem um gasto fixo anual de R$ para a manutenção das instalações. Expresse o ganho anual do produtor de leite em função do número de vacas que ele cria. 5) Certa loja de departamentos paga a seus funcionários um salário mensal de R$ 40,00 mais % de comissão sobre as vendas brutas, em reais. Isso significa que o valor do salário mensal tem uma parte fixa de R$ 40,00 mais uma parte que depende da quantidade, em reais, de mercadorias vendidas no mês. Encontre a função que expressa o salário dos funcionários em função da venda x e depois complete a tabela Total de vendas do mês (R$) 0 Salário mensal (R$) x 6) Considere a função f(x) = x e encontre: (a) f() (b) f(1/) (c) f(-9) (d) f(x) = (e) f(x) = 0 (f) f(x) = -1/ 7) Encontre a lei da função, na forma f(x) = ax + b, para cada item abaixo: a) f(1) = 5 e f(-) = -7 b) f(-1) = 7 e f() = 1 8) Construa o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = 6x - 1 c) f ( x) x e) f(x) = - -x g) f ( x) x b) f(x) = x + d) f(x) = -x +5 f) f(x) = + x 9) Determine a lei da função afim cuja reta intersecta os eixos em (-8,0) e (0,4). Essa função é crescente ou decrescente? 10) A função afim que tem o gráfico ao lado é definida por: 7

8 4x a) f(x) 4 x b) f(x) 4 4 c) y 4x d) y x 4x e) f(x) 4 y Matemática Aplicada II 4 x ) (UFPA - modificada) Certa loja aluga microcomputadores para usuários que desejam navegar pela internet. Para utilizar esse serviço, o usuário paga uma taxa de R$,00, acrescida de R$,00 por hora pela utilização da máquina. O gráfico que melhor representa o preço desse serviço é: Valor total da compra (R$) a) b) c) 150 Valor total da compra (R$) R$ R$ R$ h h h 50 R$ d) 50 e) ade de unidades 0 5 0compradas 0 Quantidade de unidades compradas h Quantidade de unidades compradas GABARITO 1) A = h e B = h ) (a) R$ 9,00; (b) 40 km ) (a) R$ 107,00; (b) R$ 10,00; (c) V =.x + 77; (d) V = 5.y + 77; (e) R$ 116,00; (f) V = x + 5y ) y = 900x ) 40; 1000; 100;.000; y = ,0x 6) (a) 0; (b) -5/; (c) -8; (d) 6; (e) ; (f) 5/ 7) (a) f(x) = x+; (b) f(x) = -x+5 8) verificar em aula 9) f(x) = x/ +4; crescente. 10) a 11) c 8

9 FUNÇÕES DE º GRAU I) Definição A função f: R R dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a 0, denomina-se função polinomial do segundo grau ou função quadrática. O números a, b e c são os coeficientes da função. Note que se a = 0 temos uma função do 1º grau ou uma função constante. Assim, são funções do º grau: f(x) = x² - x + 4 f(x) = 8x² -1 f(x) = -x² + x f(x) = -5x² Para o exemplo abaixo iremos utilizar a Fórmula de Bháskara: x = b± b 4ac a Lembrando que também é usada com o símbolo grego delta, na qual chamamos de discriminante: x = b± a, sendo = b 4ac Exemplo 1: Dada a função f(x) = x² - 4x - 5 determine: a) f(0) b) f(-1) c) f() d) f(x) = 7 e) f(x) = 0 f) f(x) = -5 9

10 II) Gráfico de uma função do º grau pela tabela Exemplo : Construa o gráfico das funções seguintes, atribuindo valores para x. a) y = x² b) y = x² - 4x + c) y = -x² + 18 III) Concavidade Pelos gráficos anteriores, podemos perceber que em alguns casos a concavidade de parábola é para cima, e em outros, a concavidade é para baixo. Assim, a concavidade de uma parábola, depende do sinal do coeficiente a. a > 0: Concavidade para cima a < 0 Concavidade para baixo 10

11 IV) Zeros de uma função quadrática Já vimos que os zeros ou raízes de uma função f(x) são os valores do x para que f(x) = 0. Geometricamente raiz é a interseção do gráfico com o eixo x. Assim, os zeros ou raízes de uma função do quadrática f(x) = ax² + bx + c são as raízes da equação do º grau ax² + bx + c = 0. Uma função de 1º grau tem, necessariamente, uma raiz real. Uma função de º grau pode ter duas, uma ou nenhuma raiz real. A interpretação Geométrica das raízes se faz mediante o valor do discriminante: Se > 0, a função possui duas raízes reais, então a parábola vai cortar o eixo x em dois pontos. Se = 0, a função possui uma raiz real, então a parábola vai encostar no eixo x em um ponto. Se < 0, a função não possui raízes reais, então a parábola não cortará nem encostará no eixo x. V) Vértice da parábola O vértice da parábola é o ponto (x v, y v) em que ela muda sua direção. A coordenada x deste ponto, fica exatamente no ponto médio entre as raízes. Ao acharmos a coordenada x, podemos achar y, ou podemos aplicar uma fórmula: V = ( b a, 4a ) Exemplo : Determine o vértice da função f(x) = x² - 6x + 1 VI) Gráfico de uma Função do º grau pelas raízes, vértice e ponto de corte no eixo y Quando uma função de º grau possui uma ou dias raízes reais, podemos construir o esboço do gráfico seguindo os seguintes passos: 1º) Encontrar as raízes. º) Encontrar o ponto de intersecção com o eixo y, observando o coeficiente c => (0, c) º) Encontrar o vértice da parábola. Exemplo : Construir o esboço do gráfico das funções a seguir pelas raízes, vértice e corte do eixo y. a) f(x) = x² - 7x

12 b) f(x) = -x² +x -1 c) f(x) = x² - x + 4 VII) Lei da função a partir de três pontos Exemplo 4: Considere a função do º grau, em que f(0) = 5, f(1) =, f(-1) = 1. Escreva a lei de formação desta função e calcule f(5). R. f(x) = -x² + x + 5; f(5) = -65 1

13 VIII) Aplicações Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com problemas relacionados a áreas e perímetros. Exemplo 5: Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma área retangular junto a um rio para confinar alguns animais. Quais devem ser as medidas do retângulo para que a área cercada seja a maior possível? E qual seria esta área? Exemplo 6: Observe a figura abaixo: a) Determine a relação matemática que representa a área da figura pintada de cinza em função do lado x. b) Quais são os possíveis valores para x? c) Qual a medida da área pintada de cinza quando x =? E quando x =? d) Encontre o valor de x para que a área pintada de cinza tenha uma medida de 57 unidades de área. e) Qual será a área máxima e a mínima da parte cinza? Para responder esboçe o gráfico. 1

14 Exemplo 7: A lei seguinte representa o número de quilômetros de congestionamento, em função da hora do dia (a partir das 1 horas), registrado em uma cidade: f(t) = - t² + 1t + 0. Em que f(t) é o número em quilômetros e t é a hora dada pela seguinte convenção: t = 0 corresponde às 1 horas; t = 1 corresponde às 1 horas, e assim por diante, até t = 8 (0 horas). Em que horário o número de quilômetros de congestionamento é máximo? E qual é esse número de quilômetros? (Resposta: 18h e 56km) IX) Exercícios 1) De uma folha de papel retangular de 0 cm por 0 cm são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x. ) Dada a função f(x) = x² - 5x + 4, calcule: a) f(0) b) f(-1) c) f ( 1 ) d) f(4) e) f(x) = 0 f) f(x) = ) Quando variamos a medida l do lado de um quadrado, a área da região quadrada também varia. Então, a área é dada em função da medida l do seu lado, ou seja, f(l) = l ². Faça então o que se pede. a) calcule f(10), f(1,5) e f( ); b) calcule l tal que f(l) = 56; c) determine quais os valores possíveis para l (domínio). 4) A área de um círculo é dada em função da medida r do raio, ou seja, f(r) = πr², que é uma função quadrática. Considerando π =,14, calcule: a) f(r) quando r = 5 cm. b) r quando f(r) = 00,96 m² 5) Dada uma função do º grau tal que f(1) = 0, f(0) = 8 e f(-) = 4. Ache a lei da função de º grau determinada pelos pontos abaixo: a) f(1) = 0, f(0) = 8 e f(-) = 4 b) f(0) = 14, f(-1) = 4 e f() = 0 6) Construa um esboço do gráfico das funções abaixo, indicando as raízes, o ponto que corta o eixo y e o vértice, se possível. a) f(x) = x² + x b) f(x) = x² - 7x + 10 c) f(x) = 4 - x² d) f(x) = x² - x + 4 e) f(x) = x² + x + 1 f) f(x) = -x² - 8x - 16 g) f(x) = -x² + 6x

15 7) Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento seja h = -t² + 4t + 6. Determine: a) o gráfico da função h (achar as raízes, o vértice e ponto que corta eixo y) b) o instante em que a bola atinge a altura máxima. c) a altura máxima da bola. d) quantos segundos após o lançamento a bola toca o solo. 8) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por C = x² - 80x Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. b) o valor mínimo do custo. 9) Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular. O retângulo onde a casa será construída tem 80 m de perímetro. Calcule as dimensões desse retângulo sabendo-se que a área se sua região deve ser a maior possível. 10) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R - C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x) = 6000x - x² e C(x) = x² - 000x. Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? Gabarito: 1) A(x) = 600-4x² ) (a) 4; (b) 10; (c) 7/4; (d) 0; (e) 1 e 4; (f) 5± 17 ) (a) f(10) = 100; f(1,5) =,5; f( 5) = 1; (b) 16; (c) D(f) = R + ; Im(f) = R +. 4) (a) f(5) = 78,5 cm²; (b) r = 8 m. 5) (a) y = f(x) = 7 x 17 x + 8; (b) y = x² - 9x ) verificar em aula 7) (a) verificar em aula; (b) segundos; (c) 10 metros; (d) aproximadamente 5,16 segundos. 8) (a) 40 unidades; (b) R$ 1.400,00 9) f(x) = -x² + 40x; x do vértice = 0, então o terreno deve ser quadrado e ter 0m de lado. 10)L(x) = -x² x; 000 unidades. 15

16 ESTATÍSTICA BÁSICA I) INTRODUÇÃO Ciências Estatísticas, ou simplesmente Estatística, é um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que apresenta processos próprios para coletar, apresentar, analisar e interpretar conjuntos de dados a fim de possibilitar a tomada de decisões. Divide-se a Estatística em Descritiva e Inferencial, conforme a figura: Nesta disciplina, iremos estudar a Estatística Descritiva, na qual trabalharemos com tabelas, gráficos e medidas como média, mediana, moda, variância e desvio padrão e uma parte da Estatística Inferencial no que se refere à análise de regressão linear (interpolação). Para iniciar o estudo, vamos definir alguns conceitos. População: Conjuntos de elementos para os quais se deseja investigar uma ou mais características. Pode ser formada por pessoas, domicílios, peças de produção, cobaias, etc. Amostra: subconjunto da população. Uma pesquisa que envolve toda a população => Censo ou Recenseamento Uma pesquisa com parte/subconjunto da população => Pesquisa por Amostragem Quando fazer Amostragem? Economia de tempo; Economia de recurso financeiro; População muito grande ou infinita; Testes destrutivos; 16

17 Quando fazer Censo? População menor; Quando se exige o resultado exato => Censo Demográfico Técnicas de Amostragem Existe uma técnica especial para recolher amostras, que garante o acaso na escolha. Dessa forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido, o que garante o caráter de representatividade da amostra. Esta técnica está alicerçada nos cálculos de probabilidade. Nesta disciplina não iremos aprofundar este estudo. Variáveis: são características específicas que podem assumir valores e/ou aspectos distintos e podem ser classificadas em: a. Qualitativa: quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino/feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.: b. Quantitativa: quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos alunos de uma escola, etc.). Uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor numérico, recebe o nome de variável contínua; uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta. Assim, o número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dos valores do conjunto N={1,,,...,58,...}, mas nunca valores como,5 ou,78 ou 4,5, etc. Logo é uma variável discreta. Já o peso desses alunos é uma variável contínua, pois um dos alunos pode tanto pesar 7 kg, como 7,5 kg, dependendo da precisão da medida. De um modo geral, as medidas dão origem a variáveis contínuas e as contagens ou enumerações, a variáveis discretas. Designamos as variáveis por letras latinas, em geral: x, y, z. II) TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. E isso ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos, que irão nos fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo. Composição de uma tabela: Título Produção de Café no Brasil Anos 1991 Produção (1000 t) 55 Cabeçalho Linhas Fonte: IBGE Rodapé As tabelas podem trazer os dados absolutos (contagem real) e dados relativos (percentuais) Preencha a coluna dos dados relativos! 17

18 Matrículas nas escolas da cidade A - 01 CATEGORIAS NÚMERO DE % ALUNOS Ensino Fundamental Séries Iniciais Ensino Fundamental Séries Finais Ensino Médio 4 TOTAL ,00 Dados Fictícios. Considere o próximo exemplo: Matrículas nas escolas das cidades A e B -004 Categorias Cidade A Cidade B Nº de alunos % Nº de alunos % EF - SI EF - SF EM 4 44 Total , ,00 Dados fictícios Qual das cidades tem, comparativamente, maior número de alunos em cada grau? Em alguns casos, os dados coletados são muito variados e a tabela ficaria com muitas linhas, conforme o exemplo a seguir: Tabela: Idade dos Alunos da Escola X Dessa forma, reorganizamos os dados em classes, usando o símbolo. Para saber o número mais adequado de classes, faz-se a raiz quadrada do número total de objetos pesquisados, no caso os alunos. Então k = n, ou seja, k = 4,7 5 classes. Para saber a amplitude de cada classe, dividimos a amplitude total pelo número de classes, assim temos: A t = 8 18 = 0; A classe = 0 : 5 = 4. Depois, manualmente ou com o auxílio de software, conta-se a frequência dos dados em cada classe. 18

19 Anos População do Brasil (milhões) Matemática Aplicada II III) GRÁFICOS A representação gráfica das séries estatísticas tem por finalidade representar os resultados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série. Não há uma única maneira de representar graficamente uma série estatística. A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério do analista. Contudo, os elementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados quando da elaboração de um gráfico. Eis os principais tipos de gráficos: 1. Gráfico em Colunas População Brasileira Anos. Gráfico em Barras É semelhante ao gráfico em colunas, porém os retângulos são dispostos horizontalmente. Eis uma configuração: População Brasileira População do Brasil (milhões) 19

20 . Gráficos em Setores É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de setores. É utilizado principalmente quando se pretende comparar cada valor da série como o total. Para construí-lo, dividese o círculo em setores, cujas áreas serão proporcionadas aos valores da série. Essa divisão poderá ser obtida pela solução da regra de três. Total Parte x Exemplo: Receita do Município X de 000 a 00 Anos Receita (em R$ 10000,00) Total 60 Fonte: Departamento da Fazenda, Município X. Receita do Município X de 000 a % 5% 001 % Gráficos em Curvas Vendas da Companhia Beta Ano Vendas (R$ 1000,00) Fonte: Departamento e Marketing da Companhia 0

21 Vendas (em R$ 1000,00) Matemática Aplicada II Vendas da Companhia Beta Anos 4. Histograma Para dados agrupados em classes. IV) MEDIDAS DE POSIÇÃO (OU TENDÊNCIA CENTRAL) Foi visto nas seções anteriores a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e distribuições de frequências. Aqui, destaca-se o cálculo de medidas que possibilitam representar um conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma reduzida. São as medidas de posição. Tais medidas orientam-nos quanto à posição da distribuição no eixo x, possibilitam comparações de séries de dados entre si pelo confronto desses números. São chamadas medidas de tendência central, pois representam seus fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. Média Aritmética Simples e Ponderada Notação: x ou M A média aritmética é o quociente entre a soma dos elementos da série e o número (n) desses elementos. Assim temos para o caso de dados apresentados: 1

22 Isolados => M n x i Numa distribuição de frequências: Média Ponderada => M xi n f i Numa distribuição por classes, onde x i é o valor médio da classe => M xi n f i A média é influenciada por elementos grandes da série, como por exemplo, a série cujos elementos são: 18, 0,, 4 e 850 (onde a média aritmética é igual a 186,8; resultado que foi muito influenciado pelo elemento 850). Exemplos: 1) Qual é a média final de um estudante que obteve as notas 7,5; 8,0;,5; 6,0;,5;,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos? Se a média para aprovação é 6,0, ele foi aprovado? ) Calcular a média nas distribuições abaixo: a) x i F i b) NOTAS (X) PESO (Fi) 4 4,5 5 5, ,

23 c) PESO (kg) ALUNOS ALUNAS TOTAL Mediana Notação: M d, M e, x Colocados os dados em ordem crescente, a mediana é o valor que divide a amostra, ou população, em duas partes iguais. Md 0 50% 100% A) Mediana com dados não agrupados: n ímpar => a mediana será o elemento central dos dados em ordem crescente ou decrescente. A posição da mediana é dada por n+1. Exemplo: 5, 1, 10,, 18, 15, 6, 16, 9, De acordo com a definição de mediana, o 1 passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente):, 5, 6, 9, 10, 1, 15, 16, 18. O valor central é o valor mediano: n+1 = 9+1 = 5, ou seja, o quinto número => Md = 10. n par => usa-se a média aritmética dos dois termos centrais, o termo n e o termo n + 1. Veja o exemplo:, 6, 7, 10, 1, 1, 18, 1 Como n = 8, temos, 8/ = 4 e ((8/ )+1) = 5. Assim, a mediana é a média aritmética do 4 e 5 termo: Md = (10+1) / => Md = 11

24 B) Mediana com dados agrupados: Matemática Aplicada II Cálculo semelhante ao anterior, vejamos: Exemplo: NOTAS (X) PESO (Fi) , Somando os pesos temos n = 18. Sendo par, faremos a média entre o 9º e 10º termo. O 9º e o 10º termos são iguais a 9, logo a mediana é 9. C) Mediana com dados agrupados em classes É o mesmo procedimento anterior. Quando a classe da mediana for encontrada, basta tomar o valor médio da classe. Exemplo: Calcule a mediana da distribuição de frequências a seguir: Estaturas(cm) Fi fac Soma=40 Moda Notação: Mo Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, ou seja, o salário recebido pelo maior número de empregados. Utilizamos a moda quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição, ou quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição. Exemplos: 1) Qual a moda da sequência 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 1, 1? ) Qual a moda da sequência, 5, 8, 10, 1, 1? ) Qual a moda da sequência,,,,4,5,6,6,6,7,8? 4) Qual a moda da distribuição a seguir 4

25 Idade N de crianças Σ 4 5) Qual a moda da distribuição por classe abaixo Estaturas(cm) Fi V) EXERCÍCIOS SOBRE TABELAS, GRÁFICOS E MEDIDAS DE POSIÇÃO 1) Complete a tabela abaixo: ESCOLAS Nº DE ALUNOS DADOS RELATIVOS unitário % A 175 0,098 9,8 B C 0 D 6 E 80 F 540 ) Calcule as porcentagens: a) Produção de borracha natural Anos Toneladas % Fonte: IBGE 5

26 b) Avicultura Brasileira Espécies Número (1000 cabeças) Galinhas Galos, Frangos, Frangas e Pintos Codornas 488 % Fonte: IBGE c) Vacinação contra Poliomelite Regiões Quantidade % Norte 1109 Nordeste Sudeste Sul Centro- Oeste 1858 Fonte: Ministério da Saúde ) Dada a amostra:, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, construir uma tabela de distribuição de frequência e um gráfico; 4) Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir: a) Construir a tabela de distribuição de frequência b) Construir os gráficos da distribuição. 5) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 6,0;,5;,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado. 6) Calcule a média, a moda e a mediana para cada uma das distribuições: a) X Fi

27 b) X Fi c) d) Aluguel em $ 100) Quantidade de casas Classes Fi e) f) Classes Fi ) A seguir, estão dadas as notas de 0 alunos: Pede-se: a) Determinar a amplitude total da amostra. b) N de classes. c) Amplitude das classes. d) Quais as classes? e) Frequências absolutas das classes. f) Frequências relativas. g) Pontos médios das classes. h) Histograma das frequências absolutas. i) Calcular a média, a moda e a mediana. VI) MEDIDAS DE DISPERSÃO Medidas que avaliam o grau de variabilidade, ou dispersão dos valores (dados) em torno da média. Vejamos o exemplo: Sejam três grupos distintos de alunos, com as seguintes notas: Grupo A: 7,0 5,0,0 Grupo B: 5,0 4,0 6,0 Grupo C: 4,0 4,0 7,0 Calculando a média aritmética de cada grupo, verificamos que é a mesma para todos, embora eles sejam constituídos de elementos distintos. A média 5 representa perfeitamente os três grupos, mas temos dificuldade de definir qual é o mais homogêneo, nos baseando apenas na visualização das notas. Assim, para analisar a dispersão dos dados faremos uso de algumas medidas complementares. 7

28 Amplitude Total Matemática Aplicada II É diferença entre o menor e o maior valor da série. Exemplo: Amplitude dos grupos A, B e C. Amplitude Grupo A => 7,0,0 = 4,0 Amplitude Grupo B => 6,0 4,0 =,0 Amplitude Grupo C => 7,0 4,0 =,0 Infelizmente, o intervalo total não é uma medida capaz de quantificar de modo eficiente a dispersão de uma série, uma vez que no seu cálculo interferem apenas os extremos, não avaliando o comportamento dos demais elementos. Desvio Médio É a média aritmética da diferença entre cada elemento e a média. Dados não agrupados: d m = x i x n Dados agrupados: d m = f i. x i x n Exemplo: Vamos calcular o desvio médio dos grupos A, B e C, sabendo que a média é 5. d d d m(a) m(b) m(c) , , , Conclusão: Grupo mais regular, ou seja, o que menos se desviou da média, foi o Competidor B. Mas temos um empate entre A e C. Como saber o que foi mais regular nas suas notas? Variância Eleva-se a diferença entre os dados e a média ao quadrado. Há uma diferenciação nas notações e nas fórmulas quando estamos lidando com dados de toda uma população ou com dados de uma amostra; Variância Populacional: σ e N Variância Amostral: s e n 8

29 9 Quanto maior o valor da variância, maior a dispersão dos dados amostrais. Fórmulas mas práticas sem o uso da média: Exemplo: Vamos calcular o desvio médio dos grupos A, B e C, sabendo que a média é 5. Estamos lidando com toda a população. Usando a fórmula para a população com médias Usando a fórmula sem as médias , , ) ( ) ( ) ( C B A

30 ( A) ( B) ( C) , , Grupo Média Amplitude Desvio Variância Médio A 5 4 1,,66 B 5 0,66 0,66 C 5 1, Comparando A e C, vemos que o grupo C está mais próximo da regularidade do que o grupo A. Entretanto, ao calcular a variância observa-se que o resultado será dado em unidades quadráticas, ou seja, os valores não são mais notas dos alunos, o que dificulta a sua interpretação. O problema é resolvido extraindo-se a raiz quadrada da variância, definindo-se, assim, o desvio padrão. Desvio Padrão Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, por isso imaginou-se uma nova medida que tem utilidade prática, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância, s Exemplo: Calcular o desvio padrão dos grupos A, B e C. s ( A) ( A),66 1,6 ( B) ( B) 0,66 0,8 ( C) ( C) 1,41 Conclusão: O desvio padrão é a medida que melhor informa a regularidade dos dados. Se fossemos ordenar os competidores teríamos: 1º lugar B º lugar C º lugar A 0

31 Usar o Desvio Padrão para comparar a variabilidade, quando: - mesmo número de observações (mesmo n) - mesma unidade; (mesmo tipo de elementos) - mesma média aritmética. Se quisermos comparar duas ou mais amostras de valores expressas em unidades diferentes, (ex. peso e altura) não poderemos fazer a comparação por meio do desvio-padrão. Daí usa-se o Coeficiente de Variação. Coeficiente de Variação É uma medida de dispersão expressa em Porcentagem (medida relativa). Pode ser usado para comparar amostras em mesma unidade ou unidades diferentes. E pode ser usado para comparar a variabilidade dos dados tendo médias diferentes. desvio padrão s CV.100 CV. 100 média M Exemplo: Seis pessoas possuem massas corporais, em kg, iguais a: 68; 70; 86; 55; 75 e 90. Estas mesmas pessoas têm altura, em cm, de: 170; 160; 164; 164; 170 e 180. Estas pessoas apresentam maior variabilidade na massa ou na altura? Veja que as grandezas que devem ser comparadas são diferentes, e suas médias também são, logo teremos que calcular o coeficiente de variação de cada grandeza e compará-los. Primeiro vamos montar uma tabela, depois aplicar a fórmula do desvio padrão e então encontrar o coeficiente de variação. Massa (kg) Altura (cm) xi xi xi xi Soma Tabelas realizadas no Microsoft Excel. Como a pesquisa não fala sobre amostra, usaremos a fórmula para população. 1 xi x i N N kg , => 15, ,

32 cm , 6 6 => 41, 6, Média (massa) = 444 = 74 6 Média (altura) = 1008 = CV(massa) = 11, = 15,74% 74 CV(altura) = 6, =,84% 168 Conclusão: Os indivíduos possuem maior variabilidade na massa corporal. VII) EXERCÍCIOS DE MEDIDAS DE DISPERSÃO 1) Calcule a amplitude total, o desvio padrão e o coeficiente de variação das séries abaixo. Após, coloque-as em ordem crescente de dispersão: A: 8; 10; 7; 9; ; 15; 1; 10 B: ; 8; 16; 7; 6; ; 9; 18 C: 15; ; 8; 14; 1; ; ; 0 ) Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação das séries: a) b) Idade dos alunos Fi da escola A (X) Idade dos alunos Fi da escola B (X) ) Calcule a variância e o desvio padrão das séries: a) Estaturas (cm) (X) Fi b) Classes (X) Fi

33 4) Abaixo temos uma tabela com as idades de 50 funcionários da Empresa X. Determinar o desvio padrão e o coeficiente de variação. Intervalos Fi (X) ) Em uma empresa o salário médio dos homens é de R$ 4000,00, com desvio padrão de R$ 1500,00; e o salário médio das mulheres é de R$ 000,00, com desvio padrão de R$ 100,00. A dispersão relativa dos salários é maior para homens? 6) Um fabricante de caixas de cartolina fabrica tipos de caixas. Testa-se a resistência de cada caixa, tomando-se uma amostra de 100 caixas e determinando-se a pressão necessária para romper cada caixa. São os seguintes os resultados dos testes: Tipos de caixa A B C Pressão média de ruptura Desvio padrão das pressões a) Que tipo de caixa apresenta a maior variação absoluta na pressão de ruptura? b) Que tipo de caixa apresenta a maior variação relativa na pressão de ruptura? 7) Cronometrando o tempo para várias provas de uma gincana automobilística, encontramos: Equipe 1 40 provas Tempo médio: 45 segundos Variância: 400 segundos ao quadrado Equipe Tempo (X): N de provas (Fi): a) Qual o coeficiente de variação relativo à equipe 1? b) Qual a média da equipe? c) Qual o desvio padrão relativa à equipe? d) Qual equipe tem resultados mais homogêneos?

34 VIII) REGRESSÃO LINEAR - INTERPOLAÇÃO A análise de regressão compreende a análise de dados amostrais para saber como duas ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra. A regressão dá uma equação que descreve o relacionamento em termos matemáticos. Diagrama de Dispersão Primeiramente precisamos visualizar através de um gráfico se as variáveis em questão demonstram algum tipo de relacionamento. Construímos então o Diagrama de dispersão. Diagrama de dispersão é simplesmente uma representação de pontos de dados em um gráfico xy. O eixo y é utilizado para representar a variável dependente que interessa a quem toma as decisões, enquanto o eixo x é para representar uma variável que pode ser controlada ou medida por quem toma a decisão. Exemplo 1: A tabela abaixo nos fornece o valor investido em propaganda (em R$) e valores de venda (em R$) numa semana, que imaginamos estarem relacionadas de alguma forma. Neste caso a variável independente é valor em propaganda, pois, as vendas dependem das propagandas realizadas. Propaganda (em R$) Vendas (em R$) Vendas (em R$) Diagrama de Dispersão Propaganda (em R$) O diagrama nos sugere que pode existir uma relação entre as vendas e os custos de propaganda. Em particular ele sugere que, quanto mais dinheiro for gasto em propaganda, maior será o valor das vendas (propaganda é a variável independente e a venda é a variável dependente). O padrão dos pontos forma aproximadamente uma linha reta, sugerindo que é possível que exista uma associação linear entre as duas variáveis. Determinação da Reta de Regressão No caso dos dados estarem distribuídos linearmente (reta), conforme o exemplo, iremos encontrar um modelo matemática na forma de uma função do 1º grau y = a.x + b, assim, precisamos encontrar os valores de a e b, sendo: a => inclinação da reta (função INCLINAÇÂO) b => o valor que intercepta o eixo y (função INTERCEPTAÇÃO) Para calcular os valores dos parâmetros a e b utilizamos as fórmulas: Organizar uma tabela para obter estes somatórios. n x.y x. y a n x x b y ax onde: x média dos valores de x y média dos valores de y É preciso calcular a média da coluna x e y. 4

35 Propaganda Vendas x y xy x y n x.y x. y 690 8,496 n x x 7584 a b 145,5 8,49615,4 15,684 y a x b y 8,496x 15,684 Resposta: Reta de regressão y = 8,4x + 15,7 Exemplo : Ache a reta de regressão: Investimento (R$) Solução: 1º) Construir o diagrama, X investimento Y - Lucro Lucro (R$) 1,00 5,00 1,50 6,10,0 6,0,50 7,00 4,00 8,10 5,00 8,50 º) Organizar a tabela com os valores da fórmula: 5

36 º) Aplicar as fórmulas IX) EXERCÍCIOS DE REGRESSÃO LINEAR 1) Um grupo de pessoas fez uma avaliação de peso aparente de alguns objetos. Com o peso real e a média dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela a seguir. Encontre a reta de regressão linear. Peso Real Peso Aparente ) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra de aço varia conforme a temperatura. Encontre a reta de regressão: Temperatura C Comprimento (mm) ) A tabela abaixo apresenta os custos (Reais por hora) de manutenção de máquinas conforme sua idade (meses). Determinar a reta dos custos sobre a idade e fazer uma previsão de custo para uma máquina de 45 meses. Idade (meses) Custos 9,7 16,5 19, 19, 6,9 4) Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em relação à variação de preço de venda, obteve a tabela: Preço (X) Demanda (Y) a)estabeleça a equação da reta ajustada. b) Estime a demanda para o preço de venda de R$ 60,00 e R$ 10,00 6

b) a 0 e 0 d) a 0 e 0

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