ADECIS~AOSEQUENCIALEMPROJECTOSDE INVESTIMENTO. DuarteTrigueiros

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1 ADECIS~AOSEQUENCIALEMPROJECTOSDE INVESTIMENTO DuarteTrigueiros MestradoemCi^enciasEmpresariais SistemasdeApoioaDecis~ao, INDEG/ISCTE

2 DuarteTrigueiros ccopyright1991 by Estacopiaefornecidasobcondic~aodequequemaconsultarreconhecequeosdireitosdeautorpermanecem serpublicadasemapreviaautorizac~aoescritadoautor. dapossedoautorequenenhumacitac~aodestetrabalho,nemnenhumainformac~aoderivadadele,podera ii

3 Deentreosinstrumentosqueajudamosgestoresatomardecis~oes,destacam-seaqueles resultadodeumaacc~aoqueseempreenda,raramentepodeserprevistocomdetalhe.o quepermitemfazerfaceasituac~oesdeincerteza.ovolumedevendas,oscustos,qualquer Introduc~ao futuroesempreincerto,emboraalgunsresultadospossamcomhecer-secommaiscerteza osmodelosqueajudamosgestoresatomardecis~oesdevemsercapazesdeincluiresta doqueoutros.noscasosemqueaincertezaeelevada,apontodepesarnasdecis~oes, asarvoresdedecis~ao,requeraintroduc~aopreviadealgunstemascomplementares.assim, componente.existemvariastecnicasquepermitementraremlinhadecontacomaincerteza aolongodestalic~ao,abordar-se-~aoosseguintestopicos: emmodelosdesuporteadecis~ao.aqui,ocupar-nos-emosdaschamadasarvoresdedecis~ao. 1.Temasaseremabordadosnestalic~ao:Oestudodoassuntogenericodestalic~ao, 1.ProbabilidadeseValoresEsperados. 2.AFunc~aoUtilidade. Estesassuntosser~aoorganizadosemdoiscorpos,oprimeiroorientadoparaquest~oesgerais 5.OvalordaInformac~aoImperfeita. 4.OvalordaInformac~aoPerfeita. 3.ArvoresdeDecis~ao. importantemeiodesuporteadecis~oesnosmaisvariadoscampos,masespecialmenteem eoseguinteparaasmaisespeccas. 2.Import^anciaactualdasarvoresdedecis~ao:Asarvoresdedecis~aot^emsidoum iii

4 deconanca. projectosdeinvestimentoeemplaneamentonanceirooudevendas.porem,nemporisso sepodemconsiderarmuitopopularesentreosgestores.variasraz~oesest~aonabasedesta prazoseralgodecapitalmasqueescapavaaestesinstrumentos.nessaalturacitou-se inciodadecadadeoitentaemprestigiosasrevistasdegest~ao.araz~aoparatalcontestac~ao comoexemploocasodaindustriajaponesa,contrapondo-oaomododeplanearocidental. Acusou-seasimplesprocuradooptimodeserumfactorgeradordeestreitezadevistasja residianofactode,emplaneamentoestrategico,oganhodecertasposic~oeseopc~oesalongo 3.Emprimeirolugar,aideiadooptimocomocriteriodedecis~aofoimuitocontestadano que,armou-se,olucroimediaton~aodeixavaosgestoresvermaislonge1. deovaloractuallquidodosmeioslibertospeloprojectoserpositivo)comounicocriterio deaceitac~aodeumempreendimento. osgestoresdousodearvoresdedecis~ao.outrofactordedesconancaeofactodeesta 4.Masasraz~oesaduzidaspeloplaneamentoestrategicon~aos~aoasunicasaafastarem Estascrticasvinhamgeralmenteassociadascomarejeic~aodeumNPVpositivo(ofacto ^enfasenasubjectividadedafunc~aoutilidade,transmitamumaimagemdistorcidadesta. dequeosvaloresoptimosprevistospelomodelos~aoarticiaisen~aot^emgrandeaplicac~ao praticaemprojectosunicos.porsuavez,efrequentequeosanalistas,aoporemdemasiado umgestorn~aopercebeanalidadeobjectivadessafunc~ao,podecarfacilmenteconvencido tecnicaexigir,paraumaaplicac~aocorrecta,queogestorpercebabemqualopapelda func~aoutilidadequandoosacontecimentosaplanearseapresentamcomounicos.quando abandonodeumprojectoeaquanticac~aodasopc~oeseposic~oes,pormeiodaanalogiacom mentodeestudosemplaneamentoestrategico,porexemploosrespeitantesaoprecodo quemerecem,especialmenteemprojectosdeinvestimento.istocaadever-seaorena- 5.Hoje,existemcondic~oesparaqueasarvoresdedecis~aoganhemdenovoaimport^ancia pp pp.71-79; Aug.1980,pp.67-77; Hodder,J.andIggs,E.PitfallsinEvaluatingRiskyProjects.HarvardBusinessReview,Jan-Feb.1985, Hayes,R.andGarvin,D.ManagingAsIfTomorrowMattered.HarvardBusinessReview,May-Jun.1982, 1Hayes,R.andAbernathy,W.ManagingOurWaytoEconomicDecline.HarvardBusinessReview,Juliv

5 omodocomoasopc~oess~aocotadasnosmercadosdecapitais(modelodeblack-scholes)2. vistasaumainterpretac~aomaisfacileinformativadomodelo,temsidobastantedescuidado comotemadeinvestigac~ao.existemhojealgoritmoscapazesdetornarmuitomaissugestiva eutilqualquerarvorededecis~ao.trata-seapenasdeaplica-los. 6.Alemdisso,oestudodemeiosefectivosdepos-processamentodearvoresdedecis~aocom incertezae,pelomenoscomobaseparaelaborac~aoposterior,n~aohanadaqueaspossa tarefasdeplaneamento.elass~aoaformanaturaldedescreveradecis~aosequencialcom substituir. 8.Conhecimentosrequeridos:Paraalemdenoc~oesdenancasdaempresa,estalic~ao 7.Poristotudoedeesperarqueasarvoresdedecis~aoganhemdenovoumlugarem sup~oeoconhecimentoefamiliariedadecomanoc~aodeprobabilidadeecomosteoremas basicosaelaligados,incluindoaregradebayeseanoc~aodeprobabilidadecondicional, a-prioriea-posteriori. segundoemaissistematicoemaisprofundo.podeserusadocomolivrodetexto. emifps,alinguagemdemodelac~aonanceirainstaladanoslaboratoriosdoiscte.o dumaformaamenamuitosproblemasdateoriadasdecis~oes.alemdisso,utilizaexemplos podemservirparaaprofundarconceitos.oprimeirodelestemumcarizpraticoeaborda 9.Bibliograa:Oslivroscitadosaseguirencontram-senabibliotecadoISCTEe S.Bodily.ModernDecisionMaking.McGrawHill,NewYork,1985. H.Raia.DecisionAnalysis.RandomHouse,NewYork,1968. dedecis~aopublicadonarevistadegest~aocujacitac~aosesegue.estarevistaeassinadapela bibliotecadoiscte. 10.Etambemrecomendavelaconsultadeumexcelentetrabalhodivulgadordasarvores 2Kester,K.Today'sOptionsforTomorrowGrowth.HarvardBusinessReview,Mar-Apr1984,pp v

6 J.Magee.\DecisionTreesforDecisionMaking".HarvardBusinessReview,July-August 1964,pages126{138,and\HowtoUseDecisionTreesinCapitalInvestment",September eumtextoorientadoparaosproblemasnanceiros,comumaboadiscuss~aodafunc~ao investigac~aoemtornodasarvoresdedecis~ao,dafunc~aoutilidadeemetodosans.osegundo 1964,pages79{96. utilidade.oterceirocontemadescric~aodeumnovometodoparainterpretac~aodearvores seguirseindicam.oprimeiroeumacolect^aneadeartigosversandoosprincipaistemasde dedecis~aoemprojectosdeinvestimento.eoultimoexplicacomoasarvoresdedecis~ao, 11.Porultimo,paraummaioraprofundamentopodemtambeminteressarostextosquea C.HaleyandL.Schall.TheTheoryofFinancialDecisions.McGrawHill,NewYork, projectos. G.Kaufman.ModernDecisionanalysis.PinguinBooks,UK,1977. quandoconjugadascomanoc~aodeopc~ao,podemajudaraquanticaraexibilidadedos D.Trigueiros.RobustezComoCriteriodeDecis~aoemModelosFinanceirosSequenciais. nancejournal,vol5,(1),spring1987,pp Dissertac~ao,ISCTE,Lisboa,1991. L.TrigeorgisandP.MasonValuingManagerialFlexibility.MidlandCorporateFi- vi

7 Indice 1ValoresEsperadoseUtilidade Introduc~ao 1.1Decis~aoeDesenlaces CalculodoValorEsperado OCriteriodoValorEsperadoeasDecis~oesRepetitivas...4 iii 1.4AFunc~aoUtilidade AtitudesPeranteoRisco ArvoresdeDecis~ao 2.1OElementoBasicodeUmaArvoredeDecis~ao CalculodoValorEsperadoemArvoresdeDecis~ao OValordaInformac~aoImperfeita OValordaInformac~aoPerfeita Exerccios 3TopicosAvancados 3.3UmCaso:\PrismPaintsInc." OPesoCausaldeumaDecis~ao AQuantidadedeInformac~ao vii

8 Captulo1 porpartedeumgestoreumdesenlaceincertodeentrevariospossveis.tambemseabordara Nestecaptulovai-seaprenderacalcularolucroesperadoquandooresultadodeumadecis~ao oproblemadasdecis~oesn~aorepetitivas.porm,introduzir-se-amuitosumariamentea ValoresEsperadoseUtilidade conceitosservir~aodepois,nasegundapartedestalic~ao,paraexplorarastecnicasconhecidas noc~aodeutilidadeedescrever-se-aaformadedetermina-laemcadacasoconcreto.estes pelonomedearvoresdedecis~ao. 1.1Decis~aoeDesenlaces Umgestorestaapensarfabricarevenderumnovoproduto.Elesabequeessenegocio podeoriginarumdesenlacedeentretr^espossveis:seaprocuradoprodutoforbaixa,os lucroede3.000;porultimo,seaprocuraforalta,olucroserade6.000.averosimilhanca prejuzoss~aode4.000milhares(umadadaunidademonetaria).seaprocuraformedia,o decadadesenlaceetambemconhecida. daquiloaquesechamaumadecis~ao.asdecis~oesqueosgestoresenfrentams~aosemelhantes aolancamentodedadosouaojogodaroleta:antesdejogar,ojogadorpoderesolvern~ao jogar.masumavezlancadososdadossolherestaesperarpelodesenlace. 12.Ogestortemderesolversesimoun~aoirafazeronegocio.Esteactoeumexemplo disporosseguintesdados: 13.Paratomarumadecis~aoaqualseseguemdesenlacesincertos,ogestortemaoseu 1

9 Onumerodedesenlaces.Olancamentodedadostemseispossveisdesenlaces.Um Averosimilhancadecadadesenlace.Certosdesenlacess~aomuitoprovaveiseoutros delesteraforcosamentequeacontecer.masojogoda\moedaaoar"temdois.o decadaumdelespodegeralmenteserconhecida.existemmuitasmaneirasdeexpressarverosimilhanca.amaispopulareousodeprobabilidades.asprobabilidades pouco.quandoosdesenlacesassociadosaumadecis~aos~aoincertos,averosimilhanca cadadesenlace,paracalcularaincertezadadecis~ao. numerototaldedesenlacespossveiseusado,juntamentecomaverosimilhancade Conhecendoestestr^esdadosogestorsabetudooqueepossvelsaber-seacercadadecis~ao Ovalordecadadesenlace.Olucroouprejuzoquecadapossveldesenlaceoriginapode outrosoriginamprejuzos.n~aoeomesmoarriscarummilh~aoouarriscarmil. tambemsermuitovariado.desenlaceshaquetrazemlucroselevadosaopassoque obt^em-seatravesdaanalisedaexperi^enciapassada. 1.2CalculodoValorEsperado mostremqualadecis~aoaconselhavel. Quandoepossvelconhecerem-seasprobabilidadesassociadasacadadesenlace,pode quetemquetomar.adiculdadeestaeminterpretartaisdadosdeformaqueeleslhe essadecis~aoconduz.suponha-sequeumadadadecis~aopodeterdoispossveisdesenlaces, AouB.OdesenlaceAsignicariaumlucrode5.000eodesenlaceBumlucrode6.000.Mas aprobabilidadedequeaacontecaede8=10(eportantoaprobabilidadedebacontecere 1 8=10=2=10).Qualseraovaloresperadodessadecis~ao? calcular-seovaloresperadodeumadecis~ao.ovaloresperadoeovaloraqueemmedia riscosera: dadede2=10,n~aohaduvidadeque,emmedia,ovalormonetariodadecis~aodecorrereste que8ocorr^enciasemcada10originemessedesenlace,esemelhantementeparaaprobabili- Umavezqueaprobabilidadede8=10associadaaumdesenlacesignicaqueeesperavel VALORESPERADO=5: :0002 =5:200 =4:000+1:

10 lucrosser~aotambemosmaiorespossveis. oferecaomaiorvaloresperado.seassimzer,teraagarantiadeque,emmedia,osseus cadaumadelascomoseuconjuntodedesenlacespossveis,eledeveescolheraquelaquelhe juzosdecadadesenlace.quandoumgestortiverquedecidirentrediversasalternativas, Ovaloresperadoeportantoamedia,ponderadapelasprobabilidades,doslucrosoupre- gestordeveescolherumadelas.osdesenlacesassociadosacadaalternativas~ao: 14.Suponhamosqueexistemduasalternativas,o\ProjectoX"eo\ProjectoY",eo ProbabilidadeLucroProbabilidadeLucro PROJECTOX 8=10 2= PROJECTOY 2=10 (2.000) decadaumdosprojectoseoptardepoisporaquelequelheofereceummaiorvaloresperado. 6=10 1= Vejamosqualdelesserianestecasooescolhido. Paraquepossatomarumadecis~aocorrecta,ogestordevecalcularosvaloresesperados Proj.X: Proj.Y: =106:000=1:200 8=105:000=4:000 Prob.LucroV.Esp. Total=5:200 2=105:000=1:000 1=10(2:000)=(200) 1=108:000=800 Prob. 6=107:000=4:200 Lucro Total=5:800 V.Esp. desenlacesseracalculadopelaformulae(x)=nxi=1xipi Portanto,aalternativaaprivilegiarseriao\ProjectoY"jaqueoseuvaloresperadoe superioraodo\projectox". 15.Resumo.OvaloresperadoE(x)decorrentedeumadecis~aoenvolvendoNpossveis 3

11 muitasvezes. E(x)eportantoovalorqueseobteriaemmediaquandoamesmadecis~aofossetomada ondexiepis~ao,respectivamente,ovaloreaprobabilidadeassociadoscomodesenlacei. Ver-se-aaseguirqueocriteriodovaloresperado,tambemconhecidopelonomedecriterio Bayesiano,n~aopodeseraplicadocomtodaageneralidade. Peranteanecessidadedeescolherentreasalternativas1;;j;;M,ocriterioe: 1.3OCriteriodoValorEsperadoeasDecis~oesRepetitivas EscolheraalternativajtalqueEj(x)=max emboramodesto,aoriscodeteremprejuzos. odesenlacepiorpossvelnocasodexeumlucrode5.000aopassoquequemescolheo projectoypodeincorreremperdasde2.000.algunsgestoresprefeririamumlucrocerto, pelocriteriodovaloresperado,n~aodeixariaconvencidotodoequalquergestor.defacto, Noexemplodadoanteriormente,aprefer^enciadoprojectoYsobreX,ditadacomoesta mais.estevalorebastantetentador.nenhumdesenlacedoprojectoxseaproximadetal de70%parecetornartallucroverosmil. lucro.algunsgestoresquereriamcertamentearriscar,tantomaisqueumaprobabilidade 16.Oquetransparecenasobservac~oesacimaeofactode,perantedecis~oesunicas,o Poroutrolado,nocasodeY,existem70%dehipotesesdequeolucrosejade7.000ou aescolhadoprojectoxouytemqueserfeitaumasovezeodesenlacequeseseguir, queeolucroobtidoemmediaseadecis~aofosserepetidamuitasvezes possasatisfazer comocriteriodedecis~ao. qualquerqueeleseja,tambemaconteceraumasovez,n~aoparecequeumvaloresperado criteriodovaloresperadodeixardeserconvincente.defacto,umavezqueadecis~aosobre umdirectordevendasestaatentardecidirseiraoun~aoorganizarumgrupodevendas pelotelefonecompostodedezpessoas.oscustosxosdetalgruposeriamde80.000eos queumavez ocriteriodovaloresperadoeoadequado.porexemplo,suponhamosque custosvariaveisseriam5%dasvendas.oscustosvariaveisdeproduc~aos~ao65%dasvendas. 17.Claroquenosproblemasemqueosdesenlacesn~aos~aounicos acontecemmaisdo 4

12 incerto.averosimilhancadecadapossvelhipotesedeaumentoe: Oaumentoesperadonovolumedevendasanualporcadaumdestesdezvendedoresseria volumedevendasalcancadopelosoutrosnove. ProbabilidadeIncr.VolumedeVendas 35=100 25=100 4= docriteriodovaloresperado.edamesmaforma,ofactodeesteconjuntodedesenlaces Ovolumedevendasatingidoporumqualquermembrodogrupoeindependentedo Umavezqueexistemdezvendedores,ovolumedevendaspodeserprevistopormeio possveisserepetirtodososanos,tambemfaracomqueovolumedevendassejaaquele que,emmedia,eatingido. Ovaloresperadodasvendasporvendedorsera: Portanto,cadavendedoriraaumentarasvendasde29.750emmedia. ProbabilidadeVendasValorEsperado Umavezqueosencargosvariaveiss~ao65%+5%=70%dasvendas,restam30%para 25=100 35=100 4=10 45:000= 30:000= 20:000= Total= 29:750 11:250 10:500 8:000 lucroincrementalde9.250eadecis~aoedetomar. emmedia,umlucrode istocobreos80.000decustosxos.portanto,existeum cobriroscustosxos.30%de29.750s~ao8.925porvendedor.dezvendedoresconseguir~ao, calcular-semultiplicandoasverosimilhancasindividuaisdecadaumdeles. perder20.000aomdeumano.porem,averosimilhancadetaleventualidadeemnima. Defacto,comoesabido,averosimilhancademaisdeumdesenlaceindependentepode 18.Setodososdezvendedoresconseguissemapenasvender20.000extra,oprojectoiria emuitoforte. repetidos,atend^enciaparaqueosvaloresobtidossejam,emmedia,proximosdosesperados oquedamenosdeumcentesimoporcento.comosev^e,ondequerqueexistamdesenlaces Havendodezvendedores,comoP(1;20:000)=410elaseria:P(10;20:000)=

13 sujeitosenvolvidosemaisdoqueum,querquandoodesenlaceeobtidoparamaisdeum perodo. conduzemadesenlacesincertoss~aorepetitivas.istoacontece,querquandoonumerode 19.Resumo.Ocriteriodovaloresperadodeveusar-sesemprequeasdecis~oesque Consideremosaseguintetabeladeincertezaparaumdadoprojecto: repetic~ao. 1.4AFunc~aoUtilidade Desviosemrelac~aoaovaloresperadoser~aotantomenosprovaveisquantomaiorfora Ovaloresperadoe100: ( 200:000)2 ResultadoProbabilidadeMeiosLibertos Insucesso Sucesso 8=10 2=10 10=40:000 ( ) Emboraovaloresperadosejapositivo,haduashipotesesemdezdequeonegociolevea perdasde umdesenlacedestetipoteriaconsequ^enciasseriasparaaviabilidade tamenteiguaisaquartapartedosanteriores: demuitasempresas.seasperdasde foreminaceitaveis,ter-se-aquedesistirdo negocio.poroutraspalavras,ocriteriodovaloresperadodeixoudefazersentido. Comparemosagoraoprojectoacimacomumoutroondeosmeioslibertosfossemexac- poderiaagoradecidiraceitareste.umprejuzode50.000,emboraserio,poden~aoser ResultadoProbabilidadeMeiosLibertos desastrosoparaalgumasempresas.paraestegestor,umaperdade emuitomais Ovaloresperadoeagora Omesmogestorquerejeitouoprimeiroprojecto Insucesso Sucesso 8=10 2=10 (50.000) dequatrovezespiordoqueaperdade aprimeiralevariaaliquidac~aodaempresa aopassoqueasegundan~aoinviabilizariaumarecuperac~ao. 6

14 UtilidadeGanha DinheiroGanho- Func~ao Utilidade Linhade Indiferenca%% ""!!!!((((((((( - masdeutilidade.autilidadeeumavariavelnovaquemedeoefeitorealdeumganhoou deumaperdanaeconomiadeumaempresa. tomadadedecis~oes.consisteemcalcularosvaloresesperados,n~aoemtermosdedinheiro Figura1:Afunc~aoUtilidadepermitemediroefeitorealdeumganhooudeumaperda. 20.Existeumaformatradicionaldeincorporaroproblemaacimanoscriteriosparaa que,paratalempresa,omontantedosmeioslibertosincertosn~aoafectavaasdecis~oes. usardinheiroesperadoouutilidadecomocriteriodedecis~ao.nessecasoeraforcosoconcluir esperado(emabcissas)emutilidadeparaumadadaempresa.alinharectaa45oindicaa linhadeindiferenca.setallinhafosseafunc~aoutilidadedeumaempresa,seriaindiferente Consideremosogracodagura1.Estegracopodeserusadoparaconverterdinheiro eumnveldeaceitabilidademoderado,aopassoqueasperdasdaordemdos t^em umautilidadenegativa,muitosevera,de-5. menoresdoqueosganhosemdinheiro.perdasde40.000t^emumautilidadede-1,oque s~aomaioresdoqueasperdasemdinheirocorrespondentes;eosganhosemutilidades~ao bastantetpicodeformadafunc~aoutilidade.porelapodever-sequeasperdasemutilidade 21.Porem,emregra,afunc~aoutilidaden~aoeumalinharecta.Agura1mostraumcaso menordoqueodinheiroesperado.istoestarelacionadocomotamanhodaempresaecom averosimilhancadeganhosouperdaselevadosparaadimens~aodecadaprojecto. Podeaprincpiojulgar-seestranhoque,nocasodosganhos,autilidadesejatambem 7

15 utilidadeesperadafosseusadoemvezdoanteriorcriteriodolucroesperado: 22.Vamosagoraveroqueaconteceriaaoprojectodiscutidoacimaquandoocriterioda 8=10 Prob.MeiosLibertosUtilidadeUtilidadeEsperada esperadoparaapoiardecis~oesn~aorepetitivas. dafunc~aoutilidadepodecorrigir,emcertamedida,aincapacidadedocriteriodovalor Umavezqueoprojectotemumautilidadenegativa,eleseriarejeitado.Portanto,ouso 2=10(200:000) 100: Total: 2=10 8=10 1 quandoasdecis~oess~aounicas. deveradegenerarnodovaloresperado.sofazsentidousarutilidadeemvezdedinheiro basesopodeserointeressedaempresa,asuadimens~aoepoltica,vistospelosolhosdo 23.Note-seque,semprequeasdecis~oesforemrepetitivas,ocriteriodautilidadeesperada exigeaobjectivac~ao,porpartedogestor,dealgoquegeralmenteaspessoasn~aoest~ao gestor.portanto,adescobertadafunc~aoutilidadeapropriadaaumproblemadedecis~ao habituadasaobjectivar:aquiloque,noseupontodevista,eoriscoaceitavelparaumlucro esperado. 24.Qualeabaseparaestabelecerumarelac~aoentredinheiroesperadoeutilidade?Esta Jogosderefer^encia,osquaiss~aocomparadoscomolucroeoriscodecadadesenlace.Os jogosderefer^enciat^emapenasdoisdesenlaces.oanalistacomecapordeterminaropiore omelhordosdesenlacespossveisnoprojectoemestudo.aopior,eleatribuiumautilidade dezero.aomelhor,umautilidadede1(podeusar-sequalqueroutraescala,porexemplo 0a100ou-5a+5,comonocasodescritoacima).Depois,oanalistap~oeogestorperante 25.Ometodogeralmenteempregueparadeterminarafunc~aoutilidadeconsisteemusar projectomassesasse\coroas"perdiaoequivalenteaopiordosdesenlaces,qualseriao ar"emque,sesasse\caras",ganhavaovalorcorrespondenteaomelhordesenlacedoseu valordessetallucrocertoqueofariadesistirdojogo? aseguintequest~ao:setivessequeescolherentreumlucrocertoeumjogode\moedaoa jogo.essevaloreconhecidopelonomedevalorcertoequivalenteadesenlacesincertos.a Aoresponderaestaperguntaogestoreobrigadoadeterminarqualovalorquedaao 8

16 ValorUtil.ValorUtil.ValorUtil.ValorUtil.ValorUtil. (10)0(5)1=452=4183=4404=4 t"""""" Utilidade (10) t t10 t t Figura2:Determinac~aodarelac~aoutilidade-lucroparaumprojecto Lucro - incerteza,nestecaso,vemdadapelasprobabilidadesdesaircarasoucoroas:1=2.portanto, ovalorcertoequivalentetemumautilidadede1=2.oanalistairiamarcarnacurvade utilidadeovalor1=2comocorrespondendoaolucrocertoequivalente(numaescalade0a repetiraperguntausandoametadesuperioreainferioredepois,seforpreciso,osquatro quartos.vejamosumexemplo. 100usar-se-ia50;numaescalade-5a+5usar-se-iaovalorzero). analistacomecariapordeterminarqualolucrocertoquelevariaarmaadesistirdeum 26.Numprojectocujomelhorepiordesenlacess~ao40.000e(10.000)respectivamente,o Agoraoanalistajatemtr^espontosdacurvadeutilidade.Paraacharoutros,basta premioe5.000depenalizac~ao.setallucrocertofosse18.000,olucrode18.000teriaa utilidadede3=4.porultimo,oanalistaachariaolucrocertoequivalenteaumjogocom umpremiode5.000eumapenalizac~aode seaempresasojogassetaljogocaso analistadeterminariaolucrocertoequivalenteaumjogodemoedaaoarcom40.000de Seestelucrofosse5.000,umautilidadede1=2corresponderiaa5.000.Depois,o jogodemoedaaoaremque,sesassecarasganharia40.000massesassecoroasperderia ovalorcorrespondenteaumautilidadede1=4:aempresapagariaparaselivrardojogo. recebessedeantem~ao5.000,ovalorcertoequivalenteseriade(5.000)eesseseriatambem 9

17 empresaparaoprojectoemestudo.essespontos,earespectivarepresentac~aograca, encontram-senagura2.acurvasobrepostaaospontospodeobter-seporsimplesinterpolac~ao. Oanalistaestaagoradepossedecincopontosquedenemacurvadeutilidadeda earbitraria.istodecorredofactodaescalausadaparamedirutilidadeser,elapropria, deutilidadezeroemrelac~aoaopontodelucrozero. riscoequivalente.note-sequeaposic~aodoeixodasabcissasrelativamenteaodasordenadas arbitraria.nagura2essefactofoipostoemrelevopormeiododeslocamentodoponto Destemodo,conseguiu-seestabelecerarelac~aoentredinheiroeutilidade,baseadano sersubstitudopelocriteriodautilidadeesperada.afunc~aoutilidadedescreve,idealmente, arelac~aoexistenteentreriscoedinheiroganhonocasoconcretodeumaempresa. 27.Resumo.Nasdecis~oesquen~aoserepetem,osimplescriteriodovaloresperadodeve 1.5AtitudesPeranteoRisco estivessememcausaolucromaximoeapiorperdadessenegocio. venderumaoportunidadedenegocioarriscada,traduzvelnumjogodemoedaaoaronde Olucrocertoequivalenteeovalormnimopeloqualumaempresaestariadispostaa Umacaractersticavaliosadafunc~aoutilidadeeadepermitiraogestordistinguirentre expectativaseprefer^encias.passaaserpossveldiscutirseparadamenteavalidezdasprevis~oeseadoscriteriosaadoptarperanteorisco.umaexpectativaacercadofuturoe daverosimilhancadosdesenlacesteriaqueseguir-seumanovadiscuss~aosobreointeresse geralmenteexpressapormeiodeprobabilidades;mastaismedidaspodemserobjectode controversiaourevis~aonoseiodaempresa.n~aoexistindoafunc~aoutilidade,acadareajuste doprojecto. empresaperanteorisco.v~ao-sedescreverbrevementeosprincipaiscriteriosperanteorisco. ouacertodasprobabilidadesencontradas.autilidadetornaobjectivavelocriteriodeuma dautilidade,serdiscutidaemtermosdessamesmautilidade,independentementedavalidade 28.Adiferencaentreovaloresperadodojogoeovalorcertoequivalentechama-seo Umaprefer^encia,criteriooupolticadaempresaemfacedoriscopode,comaexist^encia premiodorisco.seumaempresasemostraindiferenteentrereceber1.000ouatiraruma 10

18 Util. 6Avers~aoaorisco ((( Valor -Util. 6Indiferencaaorisco Valor -Util. Anidadeaorisco 6((((,, pontodasuafunc~aoutilidadee moedaaoarearriscar-seaganhar10.000ouaperder5.000,opremiodoriscoparaesse Figura3:Aformadafunc~aoutilidadeemcadaumadastr^esatitudesperanteorisco. 1210: :000 1:000=2:500 1:000=1:500 Valor - aabrirm~aoparaevitaroriscodeperder. incertode2.500.opremiodoriscoeportantoodinheirodequeumaempresaestadisposta Paratalempresa,umlucrocertode1.000et~aotentadorcomoumlucroesperadomas negativo,diz-sequeapolticadeumaempresaeamaorisco.aindapodedar-seocaso premiodoriscoexigidoparaaceitarumjogo,maioreaavers~ao.quando,pelocontrario,o deumgestorouumaempresaseremindiferentesaorisco,quandoovalorcertoequivalente valorcertoequivalenteexcedeovalormonetarioesperado eportantoopremiodoriscoe parada,diz-sequeasuapolticamostraavers~aoaorisco.nestecaso,quantomaiorforo 29.Quandoopremiodoriscodeumaempresaesemprepositivoparajogoscomqualquer igualaovaloresperado.emtalcaso,afunc~aoutilidadeseriadesnecessaria. func~aoutilidadeeamemoutra.porexemplo,umacurvaemsmostrariaavers~aoaorisco anidade.havendoindiferenca,autilidadeeumalinharecta.agura3ilustraestas tr^espossibilidades. 30.N~aoharaz~aoparaqueumaempresan~aosejaavessaaorisconumaregi~aodasua Afunc~aoutilidadeec^oncavanocasodeavers~aoaoriscoeconvexaquandoexiste paramontanteselevadoseanidadeparamontantespequenos.amaioriadasempresas, perderiadinheiro emmedia jaqueestariaapagar,variasvezesseguidas,maisdoque porem,tendemaseravessasaoriscoperantequalquermontantequeestejaemjogo.ha umaboaraz~aoparaisso:seumaempresafosseamaoriscoemtodososseusprojectos, ovaloresperadodessesprojectos.alongoprazo,aanidadeaoriscoconduzaruna. 11

19 umvalorconstanteaodesenlace.aproximatabelailustraestetipodeavers~aodecrescente. decresceregularmentecomjogosques~aoid^enticosexceptonofactodequesevaisomando jogo,afunc~aoutilidadeelogartmica.diz-senestecasoqueexisteumaavers~aoconstanteao risco.ocasomaiscomumeporemaavers~aodecrescente.da-sequandoopremiodorisco 31.Quandonumaempresaaavers~aoaoriscoeamesma,sejaqualforomontanteem (10.000), , , , Desenlace ValorEsperadoValorCertoEquivalentePremiodoRisco (5.000) (6.339) emqueaestabeleceograudeavers~aoaorisco.umaelevadosignicamenoravers~ao. Aequac~aocapazdemodelarumautilidadedestetipoe Utilidade=log(valormonetario+A) 314 empresas,amaiscorrenteeaavers~ao.umafunc~aoutilidadedeformac^oncavaindicaavers~ao factodeariquezatornaraspessoasmenoscautelosasemaispropensasaarriscarmasn~ao apontodeastransformaremansaorisco. Muitosinvestidoresparecemreger-sepelocriterioacima.Istopodeterumaexplicac~aono aorisco.otipomaiscomumdeavers~aoaoriscoeaavers~aodecrescentelogartmica. 32.Resumo.Hatr^esatitudesperanteorisco:avers~ao,anidadeeindiferenca.Nas 12

20 Captulo2 umasequ^enciadedecis~oeseocorr^enciasincertas.elasmostramesquematicamentetodoo Asarvoresdedecis~aos~aodiagramascapazesdeenumerartodasaspossibilidadeslogicasde ArvoresdeDecis~ao conjuntodeacc~oesalternativaseacontecimentospossveisaolongodeumprojecto. 2.1OElementoBasicodeUmaArvoredeDecis~ao alternativaspodemver-senagura4,napagina14. o\projectoy",deveriaserescolhida.osdesenlacesincertosassociadosacadaumadestas sup^os-sequeumgestorerachamadoadecidirqualdasduasalternativas,o\projectox"ou Aoserintroduzidoocriteriodomaximovaloresperado(secc~ao1.2),fez-sealus~aoaum problemaquejacontinhaoelementobasicodequalquerarvorededecis~ao.nessaaltura maticamenterepresentadoouniversodedecis~oesedesenlacesqueogestorenfrenta. desenlacesincertos.oconjuntoformaportantoumaestruturahierarquicaondecaesque- embaixo.cadaumadaspossveisdecis~oesqueogestorpodetomareum\ramo"desta arvore.estes,porsuavez,dividem-seem\folhas",cadaumacontendoumdospossveis Aarvorededecis~aocorrespondenteaesteproblemaseriaaqueaparecenamesmagura, apartirdetr^eselementossimples,japresentesnocasoqueagura4documenta.esses elementoss~ao: Umaestruturahierarquica:Chama-seestruturahierarquicaaquelaemqueexisteum 33.Asarvoresdedecis~aopodemsermuitocomplexasemestruturamass~aosemprefeitas sotroncoprincipaldoqualsaemosramos.cadaramo,porsuavez,eumapequena 13

21 Projecto\X" \Y" a! aaaa!!!!! a PPPP(!!!!! ````` (h h((( hhh (2.000) (6=10) (1=10) (2=10) (8=10) Figura4:Umelementobasicodequalquerarvorededecis~ao.Aumadecis~aodeumgestor ProbabilidadeLucroProbabilidadeLucro 8=10 2=10 ProjectoX =10 ProjectoY ciadasacadaumdestesdesenlacesaparecementrepar^entesis. (\X"ou\Y")segue-seumdesenlaceincertodeentreospossveis.Asprobabilidadesasso- 6=10 1=10 (2.000) estruturahierarquica.estetipodeestruturadecorredofactodeasarvoresdedecis~ao descreveremsequ^enciasdeacontecimentosnotempo.osprimeiroscondicionamos Umacolecc~aodeatributos:Nospontosondeotroncosedivideouondeosramosse Decis~oesqueogestorpodeviratomarnumadadaaltura.S~aogeralmenterepresentadasporrect^angulos.Naarvoredagura4,existeumatributoqueeuma capazesdeinuenciarodesenlace.estesatributoss~aodedoistipos: seguintes. sub-dividem,aparecemasvariaveisdoproblema,istoe,osfactoresconhecidoscomo Ocorr^encias,tambemconhecidascomo\jogadasdanatureza",ques~aoacontecimentosincertos(podemserumaentrevariashipoteses)queogestorn~aodominamasacercadosquaisconheceasprobabilidadesdeocorr^encia.Costumam representar-sepormeiodeumcirculo.nagura4,existemdoisatributosque decis~ao:aescolhaentreoprojectoxouy. Umacolecc~aodedesenlaces:Cadadesenlacetemumvalorassociado,olucroouperda queogestorenfrentaseeleseder.nagura4existemseispossveisdesenlacese s~aoocorr^enciasoujogadasdanaturezaequeseseguematomadadeumadecis~ao porpartedogestor. 14

22 2.2CalculodoValorEsperadoemArvoresdeDecis~ao primeirodeles,aestruturahierarquica,determinaacomplexidadeaparentedoproblema. Qualquerproblemadedecis~aosequencialpodecaracterizar-seporestestr^eselementos.O respectivosvalores. Umaarvorededecis~aopermiteusaroscriteriosdescritosnaprimeirapartedestalic~ao, facilitaroestudologicodoproblemaeoscalculos,masn~aointroduzemmodicac~oesnos mascomgeneralidade.ogestordeixadeestarconnadoaproblemassimples,compoucos atributos.pormaiscomplicadosqueparecamasestruturasdedecis~ao,osprincpioss~ao id^enticosaosvistosnaprimeirapartedesteestudo.asarvoresdedecis~aoservempara procedimentoseraciocniospropriosdestesproblemas. coisas.demomento,elest^emduaspossveisacc~oesaseguir:fazeremumtestedevendado produto,ouabandona-lo.seresolvemtesta-lo,istocustar-lhes-a earespostado publicopodeserpositivaounegativa,comprobabilidadesde6=10e4=10respectivamente. produc~aoouoproduzememgrandeescala.nocasodedecidiremproduziremgrandeescala, 34.Umaempresatememestudoumnovoprodutodoqualosgestoresesperamgrandes mediaoriginarialucrosde eumarespostaelevadacriarialucrosde arespostadopublicopodeserbaixa,mediaoualta,comprobabilidades2=10,5=10e3=10 respectivamente.umarespostabaixairiacifrar-seemperdasde umaresposta Sesederumarespostapositiva,ent~aoosgestorester~aoquedecidirseabandonama oproduto.ondequerqueosgestoresdecidamabandonaroproduto,hasempreumlucro de50.000porvendadematerial. Seoresultadodotestedemercadoenegativo,osgestoresjadecidiramqueabandonariam pagina16.elavai-nospermitirilustrarometododecalculodovaloresperado.talmetodo consistesimplesmenteem,apartirdosdesenlaces,ircalculandoosvaloresesperadosintermediosatechegaraotronco. 35.Aarvorededecis~aocorrespondenteadescric~aoacimaencontra-senagura5na Todososvaloresapresentadosencontram-sejadescontados:s~aovaloresactuais. Assim,nestecaso,ovaloresperadoparaoatributoFseracalculadocombasenos 15

23 Lancamentodeumnovoproduto A XXXXXX D XXXXXX FG:Abandonar1.000 (200) B236 hhhhhhh C:Abandonar E:Abandonarhhhhhhh desenlaces: Figura5:Arvorededecis~aoparaolancamentodeumnovoproduto. Agorav~ao-secalcularparatrasosrestantesvaloresesperados.Umavezqueovalordo 5=10 Probabilidade 3=10 200:000= 1:000:000= ValorEsperado abandonoe50.000,ovaloresperadoemfemaior.portanto,adecis~aoatomaremdea 2=10 (200:000)= TotalG:= (40:000) 100: : :000 emmassa.vamoscalcularovaloresperadodaformahabitual. deavancarcomaproduc~aoemmassa.esendoassim,ovaloresperadoemdeomesmo queemf. fracadoprodutoqueestaasertestado oqueoriginariaoseuabandono ouuma procuraelevada,oqueoriginariaumvalorde ovaloresperadodasuaproduc~ao OatributoBeumajogadadanatureza.Osdesenlacesintermedioss~aoumaprocura 6=10 Probabilidade360:000= ValorEsperado ede ( ,subtradodocustodoteste)aopassoqueovalordoramoa-ce Portanto,adecis~aoaconselhadapelaarvore quandoocriteriousadoeodovalor monetarioesperado edeavancarcomotestejaqueovaloresperadodoramoa-b 4=10 50:000= TotalB:= 236: :000 apenasde ogestor,nestafase,temaliberdadededecidirsesimoun~aoaceitao 20:000 resultadodestaanalise.depoisdedecidirtestar,poderasempreabandonaroprodutosea procuran~aoforencorajadora.nessecasoeleiriaperdermenos50.000doqueosprejuzos. 16

24 emmedia,osvaloressemelhantesaosesperados. ospercursosdescritospelaarvorededecis~aos~aotrilhadosvariasvezes,iraogestorobter, osvaloresesperadosn~aorepresentamnadaderealen~aoser~aoatingidosnunca.soquando n~aos~aorepetitivas.estudandoatentamenteometodoseguidonocasoacima,caclaroque 36.Recorde-sequeocriteriodovaloresperadoedediscutvelinteressequandoasdecis~oes osvaloresesperadosintermediosvir~aotambememutilidade.oexemploseguinteilustrao esteproblema.asarvoresdedecis~aoqueusamutilidadecalculam-sedamesmaforma. Apenasosdesenlacess~aoexpressosemutilidadadeen~aoemdinheiro.Comoconsequ^encia, usodafunc~aoutilidadeemarvoresdedecis~ao. 37.Comovimos,ousodeutilidadeemvezdedinheiropode,emcertamedida,mitigar decis~aoencontra-senagura7(pagina19). seuslucrosir~aodependerdaqualidadedacolheitaemduaszonas,aeb.asuaarvorede 38.Umagricultortemquedecidirseaceitaourejeitaumcontratosegundooqualos decis~oescombaseemvaloresmediosumavezqueascolheitasaqueocontratoserefere sov~aoacontecernesseano.assim,oanalistaencarregadodoestudoresolvedeterminara agricultorn~aodeveriaaceitarocontrato. passoqueadecis~aoderejeita-lotemumvaloresperadode portanto,pareciaqueo Masoagricultorn~aoestasatisfeito.Elepensaquen~aofazsentidonestecasotomar Efacildeverqueadecis~aodeaceitarocontratotemumvaloresperadode33.500ao func~aoutilidadedoagricultorparaessasituac~ao. possedafunc~aoutilidadedescritapelagura6napagina18. emdinheiro,s~ao-noemutilidade.comosev^epelagura8(napagina20)aacc~aocom maisutilidadeesperadaeagoraaceitarocontrato. Depoisdeaplicaratecnicadescritanaprimeirapartedestalic~ao,oanalistacade aformaavessaaoriscodautilidadedoagricultor,oquefazcomquearejeic~aodocontrato, Aarvorededecis~aoedenovocalculadamasagora,emvezdosdesenlacesseremexpressos utilidadeparecermuitosemelhante,oslucroscertosequivalentesparacadaalternativat^em maisarriscada,sejapenalizadamaisfortementedoqueaaceitac~ao.note-seque,apesarda umvalormonetariobemdiferente. Ousodautilidadesugere,nestecaso,adecis~aoopostaadovaloresperado.Istodeve-se 17

25 t"""""" Utilidade t t t t sersimplesoucomplexa;atributos,quepodemserdecis~oesoujogadasdanatureza;e Figura6:Func~aoutilidadequereectearelac~aorisco-lucrosnocasodeumagricultor. 39.Resumo:Asarvoresdedecis~aocomp~oem-sedeestruturahierarquica,quepode Lucro - inversoaodesenrolardosacontecimentos.estemetodopodeajudaradecidirqualomovimentodogestorquemaisplausivelmenteconduzaoresultadodesejado. desenlaces,quepodemserdiscretosoudeevoluc~aocontnua. 2.3OValordaInformac~aoPerfeita Ovaloresperadodoslucrosoudautilidadecalcula-seresolvendoaarvorenosentido esperadoavaliaoprecodainformac~aoperfeita. lucrativascomacertezadeacertarem.portanto,qualquergestorestariadispostoapagar umdadoprecoporpossuirtalinformac~ao.vamosveraformacomoocriteriodovalor Umainformac~aoperfeitafariacomqueosgestorespudessemescolherasdecis~oesmais Ainformac~aoperfeitaeoconhecimentodofuturodesenlacequesesegueaumadecis~ao. com2=10;eestado3,com3=10.osdesenlaces,emtermosdelucroedosestadospossveis determinadoslucros.masoslucrosdependemdasituac~aodomercado.omercadopodevir aterumdostr^esestadosseguintes:estado1,comumaverosimilhancade5=10.estado2, domercado,seriam: 40.Umaempresatemtr^esprojectospossveisparainvestir.Cadaumdelesdariaorigema 18

26 H H HHBoa Fraca 1212 H H HHBoa Fraca 1212 H H HHBoa Fraca 1212 H H HHBoa Fraca 1212 l llll l llll Contrato SSSSSSSS SAceitar:E.V.=33:5 rejeitar:e.v.=35:1 Fraca Boa Fraca Boa NOCAMPOANOCAMPOB Lucro Qualidadedacolheita Figura7:Arvorededecis~aorepresentandoasequ^encialogicaquesesegueaoactodeaceitar ourejeitarumcontratodevendadecolheitas.primeirocriterio:maximizac~aodoslucros esperados. 19

27 H H HHBoa Fraca 1212 H H HHBoa Fraca 1212 H H HHBoa Fraca 1212 H H HHBoa Fraca 1212 l llll l llll Contrato SSSSSSSS SAceitar rejeitar Fraca Boa Fraca Boa ,87 0,70 0,63 0,47 0,93 0,50 0,82 0,37 0,60 0,71 0,55 0,78 0,67 0,65 NOCAMPOANOCAMPOB Utilidade Qualidadedacolheita Figura8:Arvorededecis~aorepresentandoasequ^encialogicaquesesegueaoactodeaceitar ourejeitarumcontratodevendadecolheitas.segundocriterio:maximizac~aodautilidade esperada. 20

28 Projectoestado1estado2estado3 A Lucroconsoanteomercado domercado? aceitavel?equalovalor,paraaempresa,dainformac~aoperfeitaacercadofuturoestado Qualdosprojectosdeveriaserescolhidoseocriteriodovaloresperadofosseconsiderado CB Calculemosovaloresperadodecadaprojectoemfacedaincertezadomercado: Estadodo Total: MercadoProb.LucroV.Esp.LucroV.Esp.LucroV.Esp =1075 2=1020 3=105ProjectoA ProjectoB ProjectoC Aeoquedeveriaserescolhido.Nessecaso,olucroseriade75.Seoestado2fosseoprevisto, escolhidooprojectomaisrentavelparaesseestado:seoestado1fosseoprevisto,oprojecto 41.Comperfeitainformac~aoacercadofuturoestadodomercado,estaempresateria OprojectoCdeveriapoisseroescolhidojaqueapresentaomaiorvaloresperado ent~aooprojectoaescolherdeveriaserobeolucroseriade80.porultimo,seoestado3 fosseoprevisto,tambemsedeveriaescolheroprojectobeolucroseriade55. Ovaloresperadodoslucros,nocasodeinformac~aoperfeita,seriaportanto: ProjectolucroProb.V.Esp. A 755=10 802= C),ovalordainformac~aoperfeitaseriaoincrementodovaloresperadoqueseobteriapor Total: B 553= disp^ordessainformac~ao.nestecaso,oincrementoede70 55:5=14:5:umgestorestaria Umavezqueovaloresperadodoslucrosseminformac~aoperfeitaerade55.5(projecto

29 logicahaemconsiderarprobabilidades?umaprobabilidadedenotainformac~aoimperfeita. dispostoapagarateummaximode14.500emestudosdemercadoquelhepermitissem docriteriodovaloresperadon~aoparecemuitoconvincente:seainformac~aoeperfeita,que conhecercomcertezaoseuestadonofuturoproximo.porem,nestecasoconcreto,ouso opiorquandoseconsideramosdesenlacesindividuais. cadonofuturo.araz~aoparataleofactodecseromelhorprojectoemmedia masser perfeita,nuncaseriaescolhidocasoogestorpossusseumcompletoconhecimentodomer- 42.EinteresantenotarqueoprojectoC,aquelequeoseriaescolhidoseminformac~ao informac~aoperfeitanestecaso. osfenomenosemestudos~aorepetitivos.vejamosumexemplodecalculodovalorda semnecessidadederecorreradeterminac~aodafunc~aoutilidade.istoda-sesempreque 44.Umaempresadeassist^enciamartimainstalourecentementenovamaquinariaemtodos 43.Emmuitassituac~oesocriteriodemaximizac~aodovaloresperadoevalidoporsi, cadaumamassoest~aodisponveisseforemencomendadasagora.quandoumamaquinase osestaleirosondetemclientes.masaindan~aodecidiuqualaquantidadeaencomendarde certaspecassuplentesnecessariaspararepararessasnovasmaquinas.aspecascustam2.000 avariaen~aohapecassuplentesdisponveis,oprecodoconsertoporforasobepara Cadainstalac~aotemumavidautildedezanoseadistribuic~aodeprobabilidadesdeavarias distribuic~aodepoisson.podetomar-seaseguintetabelacomoumaaproximac~aoaceitavel. duranteestetempo,baseadanaexperi^enciadeoutrasinstalac~oessemelhantes,eproximada durantedezanos N.deavariasProbabilidade 012 0,4 donumerodeavariasduranteoperododedezanosporestaleiro.qualonumerooptimode Ignorandoosdescontosparavaloresactuais,pretende-sesaber:Qualovaloresperado 5oumais 34 nula 0,3 22 0,1

30 pecassuplentesquedevemserencomendadasja,porestaleiro.ovalordeumainformac~ao perfeitaacercadonumerodeavariasnessesdezanos. Onumeroesperadodeavariascalcula-secomodecostume: ProbabilidadeNumerodeavariasNumeroesperado 0;4 0;3 0;1 Totalavarias:= = 1;7 0;6 0;3 0;4 0 S~aoesperadas1,7avariasporestaleiroduranteoperododedezanos.Vai-seagoraconstruir Comoresultadodesteraciocnio,areferidatabelae: custos.assim,senumestaleiroforamcompradasapartida3pecaseonumerodeavarias Massesoforamcompradasduaspecassuplenteseonumerodeavariasetr^es,ent~aoocusto foidezeronosdezanos,ocustoede6.000 correspondenteaoprecodaspecassuplentes. sobepara19.000:4.000docustodeduaspecasemais15.000devidoaumarranjofora. atabelaquerelacionaasquantidadescompradascomonumerodeavariasemtermosde Comprar Pecasa N.deavarias esperadoaparecenacolunadetotaisdaproximatabela. demcalcular-seosvaloresesperadosdetodasaspossibilidadesreferidasacima.essevalor Eapartirdestatabela,sabendoasprobabilidadesassociadasacadadesenlace,po- 23

31 Comprar0 Pecasa0,10,40,30,10,1 012 Probabilidadesen.deavarias Total valoresperadodomenorcustoseja7.500,ocustoimediatoseriade6.000.orestanteeo maisdetr^especas. valoresperado consisteemcomprartr^especassuplentesagora.note-seque,emborao dinheiroque,emmedia,eprecisodesembolsardevidoaofactodequepodemserprecisas Conclui-seportantoqueasoluc~aomaisbarataemmedia aqueconduzaomenor emcadacaso,seriamsempre2.000amultiplicarpelonumerodepecas. tabelasacima,acoluna\comprar"eacoluna\n.deavarias"fossemamesma.oscustos, igualaonumerodeavariasquesabiaiaterdeenfrentar.tudosepassariacomose,nas 45.Cominformac~aoperfeita,cadaestaleirocomprariaumnumerodepecassuplentes Ovaloresperadodoscustosviriaportantodadopor: 0;1 0;3 ProbabilidadeCustoCustoesperado 0;4 8:000= 6:000= 0= 4:000= 2:000= Total:= 1:200 3: eovalormaximodainformac~aoperfeitaseriaadiferencaentreoscustosmnimosesperados formac~aoditaperfeitaseraadiferencaentreoslucrosesperadosantesedepoisdeconhecido esco-lheramelhoralternativaemvezdamelhoralternativaemmedia.ovalordessain- valepois seminformac~ao,7.500,eoscustosesperadoscominformac~ao,ques~ao3.400.ainformac~ao 46.Resumo:Umconhecimentocertoacercadofuturodesenlacepermiteaogestor 24

32 Ainformac~aoeumbemetemumpreco.Aestimativadocustodainformac~aoperfeita aqueosproblemasanterioressereferem,deveriaajudarogestoradecidirsesimoun~ao odesenlacefuturo. 2.4OValordaInformac~aoImperfeita maislongesetenhapretendidover. ostestes-pilotopodemacertarouerrar.isto,independentementedasuaqualidade,porque n~aohameiodeconhecerofuturocomcerteza. pratica,porem,ainformac~aoacercadofuturonuncaeperfeita.asanalisesdomercadoou valeriaapenaenfrentaroscustosdaobtenc~aodetalinformac~aosobreodesenlace.na quandoepossvelquanticaraincertezaquetalinformac~aon~aoremoveu,podetambem calcular-seovalor eportantoomaximoprecoapagar poressainformac~aoimperfeita. 47.Quandoseconheceamedidaemqueainformac~aoconseguidaeimperfeita,istoe, Daqueainformac~aosobreofuturoesempreimperfeitaes^e-lo-atantomaisquanto Esteproblemarequerconsiderac~oesBayesianasparaasuaresoluc~ao.Deveentrar-seem linhadecontacomanoc~aodeprobabilidadesa-posteriori,contidanoteoremadebayes. seguintesprobabilidadesapriori: seravendvel.ashipotesesdesucessodependemdoestadodomercadoeconhecem-seas 48.Umaempresaquerlancarnomercadoumnovoprodutomasn~aohaacertezadeque Ovaloresperadodoslucrosseria: EstadodomercadoProbabilidadea-prioriLucroouperda Mau Normal Bom 0,3 0,5 0,2 (30.000) ;5 Probabilidade 0;3 10:000= (30:000)= Lucro Lucroesperado (9:000) 5: ;2 40:000= Total:= 25 8:000 4:000

33 cado,amdetomarumadecis~aomaisabalizada.pensa-sequeumbomestudodomercado Aadministrac~aoachaqueseriavantajosodisp^ordemaisalgumainformac~aosobreomer- seriacapazdefornecerinformac~aoimperfeitadaformaqueaseguirsemostra: SeoestudoOestadodomercadoe: indicarmaunormalbom mesmomauede0,8.seoestudodizqueomercadoestaranormal,aprobabilidadedeque Normal0,20,6 0,80,2 eleestejamesmonormalede0,6,aopassoqueasprobabilidadesdequeelesejabomou Querdizer,seoestudoapontaparaummercadomau,aprobabilidadedequeeleseja 0,3 0,2 maus~aode0,2ambas eporafora. 0,7 doestudo,maisoacrescimoemconhecimentoqueoestudotrasconsigo. duasfontesdeinformac~ao:oconhecimentoincertoquedomercadot^emosgestoresantes expressaraverosimilhancadomercadoserbom,normaloumau,depoisdosresultadosdo estudoseremconhecidos.s~aoestasasprobabilidadesditasa-posterioriporenglobarem 49.Oproblemaagoraconsisteemsaberquantomedemasprobabilidadescapazesde easprobabilidadesa-posterioriobtidas. dadescorrespondentesaacontecimentossubsequentes.atabelaseguintemostraestecalculo Estasprobabilidadesa-posterioricalculam-se(nestecaso)multiplicandoasprobabili- ProbabilidadeEstadodo a-priori 0,3 0,5 MercadoEstadoProbabilidadea-posteriori NormalMau Oestudodiz: 0,8 0,6 0,24 Total: 0,2 BomNormal 0,3 0,2 0,7 0,30 0,06 0, ,00 0,14

34 paraummercadonormaledeapenasseishipoteseem100. desejarsaberqualaprobabilidadedeomercadosernormaloubomquandooestudoaponta mauede24hipotesesem100.eaprobabilidadedeelesermauquandooestudoaponta 50.Asprobabilidadesa-posterioripodemagrupar-seporsoma.Seogestordestaempresa Portanto,aprobabilidadedeomercadosermauquandooestudodizqueelevaiser vaiserlancado.umresultadodoestudoqueapontasseparaummercadomaulevaria aempresaacancelaracomercializac~aodoproduto.sendoassim,adecis~aodelancaro paraumdesenlacen~ao-mau(normaloubom)podeobtertalinformac~aosomandotodasas probabilidadesqueobedecemaoseucriterio:0;30+0;10+0;06+0;14=0;60. indicarummercadobom.vamosverqualeolucroesperadonestecaso. produtoestaligadaapenasaduassituac~oes:oestudoindicarummercadonormal,ou 51.Assume-se,eclaro,queoestudodomercadoiradeterminarsesimoun~aooproduto OestudoOmercadoAdecis~ao IndicavamostrouserfoideProb.LucroEsperado NormalMauouN~aolancar 0 Valor Bom Lancar0,06(30.000)(1.800) 0, , , gestorestaradesejosodepagarateesselimiarparaobt^e-la. valoresperadoseminformac~aoede4.000,conclui-sequeainformac~aovale6.200eum Umavezqueovaloresperadodolucrocominformac~aoimperfeitaede10.200eoseu Total: Bom "" 0, , conjuntodeprobabilidadesditasa-posteriori.ovalordetalacrescentoeminformac~aosera adiferencaentreosdoislucrosesperados:antesedepoisdanovainformac~ao. 52.Resumo:Umacrescentoeminformac~aoacercadodesenlacetraduz-senumnovo 27

35 Captulo3 mentodemodoatorna-lasinterpretaveis.primeiro,introduzir-se-aanoc~aodequantidade deinformac~ao.ver-se-adepoiscomoestanoc~aopodeserusadaparacompararaincerteza Nestecaptulomostrar-se-acomosimplicarasarvoresdedecis~aoemprojectosdeinvesti- TopicosAvancados associadaadoisjogos.aseguir,explicar-se-acomomediropesocausalrelativodosatributospresentesnumaarvorededecis~ao,obtendoassimumahierarquizac~aodarobustez dasdecis~oesquandocomparadascomadasjogadasdanatureza. 3.1AQuantidadedeInformac~ao Aideiademediraquantidadedeinformac~aovemdaengenhariadetelecomunicac~oes.Para s~aoincertos,ogestorpodeusaresteconceitoparasaberqualaquantidadedeinformac~ao queetransmitidomasapenasaquantidade.aotomarumadecis~aoemqueosdesenlaces quelhefaltaparaconhecerodesenlacecomcerteza. efeitosdecomunicac~ao,ainformac~aoeaditiva:n~aoimportaosignicadoouinteressedo possveiseproporcionalaologaritmodonumerondeacontecimentospossveis.porexemplo,perante99acontecimentospossveis,amensagemindicadoradequeumdelesacabou pordar-serequerdoisdgitosdecimais.seforem999osacontecimentospossveis,amensagemrequeririatr^es.diz-sequelognmedeavariedadedeumacolecc~aodeacontecimentos Onumerodedgitosnecessariosparadistinguirumacontecimentodeentretodosos possveis,paraefeitosdecomunicac~ao.estavariedadeeaquantidadedeinformac~aoque faltaparaqueumdesenlace,entrevariospossveis,passeaserconhecido. 28

36 e,todoselespartilhamumacaractersticacomum.oconhecimentodetalatributotraz aosaber-seque,porexemplo,kdosnacontecimentosest~aoagrupadosnumaclasse,isto c~aoquefaltaparasepoderdistingui-losdeixadeserlogn.da-seumganhoeminformac~ao classicac~aodevepoissersubtradoavariedadetotalsemprequesepretendasaberaquantidadedeinformac~aoquefalta.peranteumaclassicac~aomultipla,i.e.,quandoexistem consigoumacertaquantidadedeinformac~aoapriorisobreodesenlace.esteganhopor Quandoexistemregularidadesnacolecc~aodeacontecimentos,aquantidadedeinformaseraadiferenca,H,entreainformac~aoquefaltavaantesdaclassicac~aoeaquantidadede informac~aomedia,g,quetalclassicac~aotrouxeconsigo.como tidadedeinformac~aoqueaindafaltaconhecerparaidenticarcorrectamenteodesenlace Matributoscomunsagruposdeacontecimentoscomk1;ki;kMcasoscada,aquan- aquantidadedeinformac~aoquefaltaparapreverodesenlacesera H=logN G=logN MXi=1ki G=MXi=1ki Nlogki; Nlogki: (1) Heconhecidapelonomede\entropia".Eadiferencaentreavariedadeeoganhoem informac~aoobtidocomoconhecimentoapriori. nenhumafaltadeinformac~aosobreodesenlace.osignicadodelogn=gequecadaum AEntropiaeumamedidadaincertezadedesenlacesfuturos.QuandoH=0,n~aoexiste (2) desenlacecerto.nopolooposto,h=logn,n~aoexistenenhumainformac~aoapriorisobre dosdesenlacespodesercompletamentedescritopelosseusatributos.trata-sepoisdeum odesenlace.aincertezaemaximaeigualaapropriavariedade. informac~aoapriorisera duasclassesdebolas,1e2,comumnumerodecasosk1=8ek2=2.logo,oganhoem deumabolaquesevaiextrairdeumaurna,quandosesabequeexistemapenasduascores equedas10bolasqueaurnacontem,duass~aodeumacoreasoitorestantess~aodeoutra? 53.Qualaquantidadedeinformac~aoquefaltaequalajaexistenteapriorisobreacor Nestecaso,N=10eavariedadeseralog10=1.Massabe-sequeexistemapenas G=k1 =810log8+2Nlogk2 Nlogk1+k2 2910log2

37 Nocasodeexistirem12bolastambemdeduascores,sendok1=9ek2=3, eainformac~aoquefaltasera,emvezdelog10, H=log12 912log9+3 H=log10 810log8+210log2=0;217 jogossimplescomoosenunciadosacimaqualquergestorchegainstintivamenteamesma conclus~ao.porem,quandosepretendecompararaincertezaassociadaadecis~oesquedesencadeiamrespostascomplicadasdanatureza,comoacontecenasarvoresdedecis~ao,pode n~aoserevidentequaldasalternativasacarretamenorincerteza. averosimilhancadecadadesenlace,i.masaformacomoasprobabilidadesmedemexpectativasn~aoesugestiva.seriadesejavelmedir,comumasoobservac~ao,aexpectativa podeserescritaemtermosdacolecc~aodeprobabilidades,p1;pi;pmquecaracteriza Istofacilitariaatomadadedecis~oes.EfacildeverqueH,talcomofoidenidaem(2), associadaajogossequenciaiscomplicadoscomoosqueseencontramemarvoresdedecis~ao. 54.Nasarvoresdedecis~aoecostumeusarem-seprobabilidades,pi,paraquanticar Conclui-sequeafaltadeinformac~aoquantoaodesenlaceemaiornestesegundocaso.Em =1;079 (0;750;954+0;250;477)=0;244: 12log3 desenlaceimedealgomuitodiferenteconsoantesetratedeumjogocomdoisoucomseis umjogo: desenlaces.noprimeirocaso,expressaexpectativasnulasouaus^enciadeinformac~aoa priori.nosegundo,expressaumaexpectativaforteafavordaocorr^enciadei.umoutro ParaentenderointeressedeH,bastapensarqueumaprobabilidadede1=2associadaao H=logN MXi=1ki Nlogkitendopresentequeki N=piviraH= MXi=1pilogpi(3) possveisdesenlacescomprobabilidadesdeocorr^enciadep1ep2=1 p1.aocontrariodo exemplodautilidadedehedadopelaarvorededecis~aorepresentadanagura9. queseriaintuitivo,adiferencaentreumaincertezadadapor Estaguramostraumadecis~aoaqualsesegueumentredoisjogosenvolvendodois p1=12;p2=12eaincertezageradaporp1=13;p2=23 30

38 Decis~ao\A" \B"!!!!! AzarXXXX (2=3) (1=3) (1=2) ` X ``` ` Desenlace1 Figura9:Umelementobasicodequalquerarvorededecis~ao.Aumadecis~aodeumgestor! aaaaaa 234 desenlaceest~aoentrepar^entesis. (\A"ou\B")segue-sea\respostadanatureza".Asprobabilidadesassociadasacada enegligenciavelen~aomerecesertidaemconsiderac~aoexceptoquandoojogoassociado PROBABILIDADESENTROPIAPROBABILIDADESENTROPIA acadadecis~aotemquerepetir-semuitasvezes.talfactotorna-sevisvelaocomparar Tabela1:Relac~aoentreEntropiaeprobabilidadenumjogocomdoisdesenlaces. 1=2e1=2 1=3e2=3 1=4e3= =20e19=20 1=10e9=10 1=5e4= bilidadespareceremindicarumaquebranaincertezaquandoadecis~aoe\b",estaena diferencassocomecamaserimportantesapartirde1=3.nagura9,apesardasproba- aentropiadecadaumdeles(tabela1).n~aohadiferencasignicativanaentropiade realidademnima. umjogoondeasprobabilidadess~aof1=2;1=2gedeoutroondeelass~aof1=3;2=3g.as dadedeinformac~aoquefaltaparapreverumdesenlace,ou\entropia",e 55.Resumo.DadosNdesenlacespossveis,chama-se\variedade"alogN.Aquanti- numerodecasosdecada.aentropiaeadiferencaentreavariedadeeoganhoeminformac~ao ondemeonumerodeatributoscomunsagruposdeacontecimentosek1;ki;kmeo obtidocomumconhecimentoapriorideregularidadesnacolecc~aodeacontecimentos.h medeaincertezadedesenlacesfuturosepodeserexpressaemfunc~aodasprobabilidades H=logN MXi=1ki Nlogki associadasaosdesenlaces, H= MXi=1pilogpi; 31