Abordagem de conceitos de funções de duas variáveis com o uso do software MAXIMA

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1 Abordagem de conceitos de funções de duas variáveis com o uso do software MAXIMA

2 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA P á g i n a

3 Fabio Luiz de Oliveira Orientação: Regina Helena de Oliveira Lino Franchi Abordagem de conceitos de funções de duas variáveis com o uso do software MAXIMA ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 3 P á g i n a

4 Ouro Preto 014 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA 4 P á g i n a

5 014 Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Matemática Programa de Pós-Graduação Mestrado Profissional em Educação Matemática Reitor (a) da UFOP Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza Vice-Reitor (a) Prof a Dr a Célia Maria Fernandes Nunes INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLOGIAS Diretor (a) Prof a Dr a Raquel do Pilar Machado Vice-Diretor (a) Prof. Dr. Fernando Luiz Pereira de Oliveira PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO Pró-Reitor (a) Prof. Dr. Valdei Lopes de Araújo Drietor (a)-adjunto Prof. Dr. André Talvani Pedrosa da Silva Coordenação Prof. Dr. Dale Willian Bean MEMBROS Prof a Dr a Ana Cristina Ferreira; Prof a Dr a Célia Maria Fernandes Nunes; Prof. Dr. Dale William Bean; Prof. Dr. Daniel Clark Orey; Prof. Dr. Dilhermando Ferreira Campos; Prof. Dr. Frederico da Silva Reis; Prof a Dr a Marger da Conceição Ventura; Prof a Dr a Maria do Camo Vila; Prof. Dr. Milton Rosa; Prof. Dr. Plínio Cavalcanti Moreira; Prof a Dr a Regina Helena de Oliveira Lino Franchi; Prof a Dr a Teresinha Fumi Kawasaki Viana. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 5 P á g i n a

6 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA O48a Oliveira, Fabio Luiz de. Abordagem de conceitos de funções de duas variáveis com o uso do software MAXIMA. / Fabio Luiz de Oliveira. Ouro Preto: UFOP, p.: il.; color.; grafs.; tab. Orientadora: Prof a Dr a. Regina Helena de Oliveira Lino Franchi. Produto Educacional do Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto. 1. Software de aplicação.. Funções de variáveis complexas. 3. Cálculo. 4. Multimídia interativa. I. Franchi, Regina Helena de Oliveira Lino. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Título Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br CDU: 51: Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei de fevereiro de Todos os direitos reservados. 6 P á g i n a

7 Expediente Técnico Organização Fabio Luiz de Oliveira Pesquisa e Redação Fabio Luiz de Oliveira Regina Helena de Oliveira Lino Franchi Revisão Afonso Celso Henriques Projeto Gráfico e Capa Editora UFOP Ilustração Fabio Luiz de Oliveira ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 7 P á g i n a

8 Índice ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Apresentação...9 Introdução...10 O Cálculo de funções de várias variáveis...11 A visualização...1 Apresentando o software MAXIMA...14 As atividades...33 Considerações finais Referências P á g i n a

9 Apresentação Caro(a) Professor(a) de Cálculo, Este Produto Educacional é resultado do desenvolvimento da pesquisa intitulada A produção de conhecimento matemático acerca de funções de várias variáveis realizada no âmbito do Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto. Neste material apresentamos atividades exploratórias acerca de temas abordados no cálculo de duas variáveis com a utilização do software MAXIMA. Estas atividades referem-se a: construção de gráficos de funções de duas variáveis, domínio, curvas de nível, derivadas parciais e extremos de funções de duas variáveis. Comentamos sobre a aplicação das atividades, as dificuldades que tivemos e a forma como as contornamos, sobre os recursos e as limitaçoes do software utilizado e apresentamos sugestões tendo como base a experiência de aplicação das atividades apresentadas. Para conhecer em detalhes o contexto do desenvolvimento desta pesquisa, bem os estudos teóricos que a subsidiaram, você pode acessar a dissertação na página Esperamos que este material possa contribuir para sua prática docente. Fabio e Regina ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 9 P á g i n a

10 Introdução ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Sendo o cálculo uma das ferramentas indispensáveis para a resolução de problemas em diversas áreas do conhecimento, a disciplina de Cálculo está presente em uma grande diversidade de cursos superiores no Brasil. Apesar de sua importância, o ensino e a aprendizagem do Cálculo vem enfrentando problemas no contexto universitário, como por exemplo, o elevado número de reprovações e as dificuldades dos estudantes para aprendizagem dos conceitos. Estes temas são abordados em muitas pesquisas, entre elas as de Baruffi (1999) e Rezende (003). Grande parte das pesquisas sobre o ensino de Cálculo busca investigar as causas dessas dificuldades e desses fracassos, propondo alternativas para enfrentamento desses problemas. No entanto são poucas as que focalizam especialmente o Cálculo de funções de duas vaariáveis. Nossa pesquisa procurou investigar a produção do conhecimento matemático acerca de funções de duas variáveis com uso de tecnologias. Para tanto concebemos e aplicamos atividades com uso de software Tivemos como norte o constructo teórico Seres-humanos-com-mídias, descrito por Borba e Villarreal (005), segundo o qual o pensamento é reorganizado e o conhecimento é produzido por um coletivo pensante com atores humanos e não humanos. Procuramos criar ambientes de aprendizagem nos quais os estudantes, com uso de Tecnologias Digitais e outras mídias, como o lápis-papel, explorassem conceitos matemáticos acerca de funções de duas variáveis, de modo a elaborar e testar conjectura e produzir ideias matemáticas referentes ao tema. Para tanto buscamos aproveitar características que as mídias utilizadas oferecem, como as possibilidades de trabalhar diferentes representações: gráficas, numéricas e algébricas. Neste Produto Educacional apresentamos alguns aspectos teóricos que norterarm a pesquisa realizada, assim como as atividades desenvolvidas seguidas de comentários e sugestões. 10 P á g i n a

11 O cálculo de funções de várias variáveis Sabemos que muitas das dificuldades com o ensino e a aprendizagem do Cálculo de várias variáveis aparecem em decorrência de deficiências na aprendizagem de conceitos da matemática da Educação Básica. Outras se referem aos conceitos relativos ao Cálculo de uma variável e às características do pensamento matemático avançado. Porém muitas delas são específicas do Cálculo de várias variáveis. Não encontramos muitas pesquisas que abordam esse tema quando comparado com o cálculo de funções de uma variável. Esse fato é citado por autores como Alves (011) e Imafuku (008). Entre as dificuldades no ensino-aprendizagem do cálculo de funções de várias variáveis podemos citar: Aspectos relacionados à visualização no cálculo de funções de várias variáveis são mais complexos quando comparado com o cálculo de funções de uma variável. As dificuldades na transição dos conceitos de funções de uma variável com os correspondentes no cálculo de funções de várias variáveis. Em sua pesquisa Imafuku (008) relata que mesmo os alunos que foram bem sucedidos nas disciplinas do Cálculo de uma variável, muitas vezes apresentam dificuldades diante de situações que envolvam funções definidas por mais de uma variável. Estas dificuldades estão relacionadas ao seu significado, à sua representação gráfica, entre outras. Muitos destes alunos bem sucedidos podem ter apenas decorado os procedimentos e técnicas do Cálculo de uma variável. Isso enfatiza mais uma vez a ênfase dada à técnica procedimental para a resolução dos exercícios em detrimento da atribuição de significados e da compreensão. Alves (011) também aborda as dificuldades na transição interna do Cálculo de uma para várias variáveis como a representação simbólica mais complexa, as argumentações envolvidas nas demonstrações e a natureza geométrica dos objetos envolvidos. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 11 P á g i n a

12 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Procuramos elaborar sequências de atividades nas quais os estudantes fossem estimulados a explorar conceitos do cálculo de funções de duas variáveis utilizando o software MAXIMA. Os conceitos eram explorados primeiramente e depois trabalhados de forma teórica pelo professor. Demos especial atenção às possibilidades de visualização que o software oferece. Também procuramos resgatar conceitos relativos a funções de uma variável que pudessem facilitar a abordagens de conceitos equivalentes para duas variáveis, favorecendo a transição interna do Cálculo. Para oferecer suporte a esse tipo de abordagem, buscamos no constructo teórico "seres-humanos-com-mídias, descrito por Borba e Villarreal (005), bem como estudos relacionados à visualização na Educação Matemática, que abordaremos na próxima seção. A visualização As possibilidades da visualização na Educação Matemáica são descritas por diversos autores como Borba e Villarreal (005), Couy (008), Guzmán (00), Machado (008), Presmeg (006), entre outros. Esses teóricos apresentam diferentes estudos e abordagens sobre o termo visualização, bem como a sua importância na Educação Matemática. Dentre as potencialidades cognitivas da imagem, Machado (008) destaca que as imagens provocam processos mentais como abstrações, associações e articulações, dessa forma, propriciando a descoberta. Assim, Machado (008) acrescenta: A imagem na qual a matemática está interessada vai além de uma simples ilustração: são as visualizações matemáticas, ou seja, são imagens que, por si só permitem a compreensão de uma determinada propriedade (MACHADO, 008, p. 104). Frota (013) também destaca a importância da visualização tanto para o desenvolvimento da Matemática como para a Educação Matemática. Refere-se à visualização 1 P á g i n a

13 como um processo de interpretar e criar imagens para comunicar ideias usando diferentes formas para expressar essas ideias. Borba e Villarreal (005), citando Zimmermann e Cunningham (1991), apontam que a visualização em matemática é um processo de formação de imagens (mentalmente, ou com papel e lápis, ou com o auxílio da tecnologia) e defendem utilizá-las com o objetivo de obterse uma melhor compreensão, estimulando o processo de descoberta matemática. Para Kawasaki (008), uma das vantagens de incorporar as tecnologias computacionais nos processos de ensino e aprendizagem é a possibilidade de visualizar e manipular ideias matemáticas, articulando diferentes tipos de representações dos objetos matemáticos. Parece haver consenso entre educadores matemáticos sobre o valor pedagógico da visualização no ensinar, no aprender e, até mesmo, no fazer matemática. Dessa forma, recursos visuais (não necessariamente, os computacionais) sempre foram utilizados, por professores, para introduzir ideias matemáticas abstratas e complexas. No caso do ensino de Cálculo, alguns educadores exaltam, no uso do computador, a possibilidade de visualizar e alterar uma representação gráfica, simultânea e continuamente articulando-a, de forma dinâmica, a suas representações numérica e algébrica. (KAWASAKI, 008, p. 43) As possibilidades de visualização potencializadas pelos computadores e sua relação com a construção de conceitos matemáticos também é destacada por Machado (008): A visualização matemática, através da tela do computador, dá possibilidade de se elaborar um conjunto de argumentos (conjecturas) e ainda utilizá-los para resolver problemas, permitindo aos estudantes construir e relacionar as várias representações da informação e construir os conceitos matemáticos. (MACHADO, 008, p. 107) As estratégias com foco na visualização são favorecidas com o uso das tecnologias digitais, sendo esta o principal meio de feedback fornecido pelos computadores (BORBA e VILARREAL, 005). Para esses autores, O processo de visualização atinge uma nova dimensão quando se considera o ambiente computacional de aprendizagem como parte de um pensamento ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 13 P á g i n a

14 coletivo, onde estudantes, professor-pesquisador, mídia e conteúdos matemáticos residem juntos (BORBA E VILLARREAL, 005, p. 96). ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Consideramos que a visualização, associada às tecnologias digitais, proporciona novos cenários para a exploração e investigação matemática, se tornando um importante elo entre o estudante e o objeto em estudo. Dessa forma, na concepção das atividades da dissertação A produção de conhecimento matemático acerca de funções de várias variáveis trazidas para este Produto Educacional, a visualização não teve o papel de apresentar imagens, mas de utilizar os recursos oferecidos pelas mídias informáticas para a exploração de conceitos, a fim de propiciar a discussão e a descoberta, contribuindo para a produção das ideias matemáticas acerca de funções de várias variáveis. Apresentando o software MAXIMA Entre os diversos softwares matemáticos disponíveis atualmente, optamos pela utilização do MAXIMA por entendermos que neste, no coletivo formado por um software e outras mídias (oralidade e escrita), encontramos recursos que permitem a exploração conceitos e a produção do conhecimento. Os recursos do MAXIMA possibilitam a exploração de diversos conceitos do Cálculo de duas variáveis, como gráficos, curvas de nível, cálculo de derivadas, entre outros. O MAXIMA é um software de livre acesso, disponível para os sistemas operacionais atuais, inclusive uma versão para tablets. Trata-se de um sistema de computação algébrica, o qual permite realizar cálculos numéricos e simbólicos, representações gráficas e 14 P á g i n a

15 possibilidades para programação, possuindo uma grande variedade de comandos para os mais variados fins em Matemática e suas aplicações. O MAXIMA é derivado do sistema Macsyma, desenvolvido no Massachusetts Institute of Technology (MIT), nos anos de 1968 a 198, como parte do Projeto Machine Aided Cognition (MAC), e sua versão atualizada está disponível no seguinte endereço eletrônico: Após a instalação do MAXIMA, serão apresentadas duas versões do software: a XMAXIMA e a WXMAXIMA, as quais são identificadas respectivamente na área de trabalho pelos ícones: Na realização das atividades aqui propostas, optamos por utilizar a versão WXMAXIMA uma vez que há uma interface gráfica mais interativa com o usuário e permite o acesso às funções através de menus e caixas de diálogos. Assim, esta é a nossa sugestão para o professor de Cálculo: utilizar a versão WXMAXIMA. A versão utilizada, nas atividades deste Produto, é a 5.8, mas provavelmente, quando o leitor acessar o endereço eletrônico acima, estarão disponíveis versões mais recentes. Como se trata de um software livre, o mesmo está em constante desenvolvimento e as versões posteriores provavelmente contarão com recursos adicionais e melhoramentos. Abaixo, apresentamos a tela inicial do WXMAXIMA. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 15 P á g i n a

16 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Algumas funções do software MAXIMA Apresentaremos, nesta seção, alguns comandos básicos para a utilização do MAXIMA. Também é importante destacar que outras funções necessárias para o desenvolvimento das atividades serão apresentadas em conjunto com as mesmas. Ao final deste Produto, deixaremos sugestões de leitura referentes ao uso do software MAXIMA e também relacionadas aos aportes teóricos utilizados para a análise dos dados da dissertação de mestrado os quais foram norteadores para a construção e desenvolvimento das sequências de atividades aqui propostas. Para visualizarmos o valor de uma expressão, é necessário empregar ao final de cada instrução o ponto e vírgula (;) e em seguida Shift+Enter. 16 P á g i n a

17 Exemplos: 1) Cálculo do valor de 3 + : (%i1) 3+; (%o1) 5 ) Cálculo de 9 (%i) sqrt(9); OU (%i3) 9^(1/); (%o) 3 (%o3) 3 3) Fatorial de 6 (%i1) 6!; (%o) 70 4) Atribuição da constante : (%i) % pi; (%o) %pi o output do programa será a mesma expressão que se escreveu. No entanto, se colocarmos o comando float, visualizaremos um valor aproximado de : (%i3) float (%pi); (%o3) será impresso no programa um valor numérico aproximado da constante. 5) Atribuição da constante e: (%i4) %e; (%io4) %e; 6) Cálculo de :: (%i) sqrt(); ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 17 P á g i n a

18 (%o) No entanto, se colocarmos o comando float, visualizaremos o valor aproximado de : (%i3) float(sqrt()); (%o3) ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Operadores aritméticos Funções básicas Comando Descrição do Comando abs(expressão) Calcula o valor absoluto da expressão. Se a expressão for um número complexo, retorna a bi a b. factorial(x) Fatorial de um número x. sqrt(x) Operadores Operação + Adição - Subtração / Divisão * Multiplicação ^ Potenciação Raiz quadrada de x x^(a/b) Raiz de índice b de x com expoente a b a x log(x) Calcula o logaritmo natural de x (base e) exp(x) Calcula a exponencial de x: e x 18 P á g i n a

19 Funções trigonométricas Função Trigonométrica sin(x), sinh(x) cos(x), cosh(x) tan(x), tangh(x) Descrição Seno, seno hiperbólico Cosseno, cosseno hiperbólico Tangente, tangente hiperbólica acos(x) Arco-seno asin(x) Arco-cosseno atan(x) Arco-tangente Manipulação de variáveis Uma ferramenta importante, no MAXIMA, é a capacidade de atribuir e manipular variáveis. Uma variável, em programação, é um identificador ao qual se pode atribuir valores. No MAXIMA, a instrução de atribuição concretiza-se empregando o símbolo : (dois pontos) Assim, por exemplo, o comando a:7 significa que está sendo atribuído o valor numérico 7 à variável a. Então, toda vez que aparecer a letra a em uma expressão, será entendida como numericamente igual a 7. (%i1) a:7; (%o1) 7 (%i3) b:3; (%o3) 3 (%i4) c:a+b; (%o4) 10 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 19 P á g i n a

20 (%i5) *c; (%o5) 0 (%i6) b*c; (%o6) 30 Expressões algébricas ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA No MAXIMA, podemos resolver e fatorar expressões algébricas, para esse propósito, utilizamos os comandos expand e factor respectivamente. (%i) expand(expressão); Esse comando desenvolve a expressão algébrica. (%i3) factor(expressão); Esse comando fatora a expressão ou o número. Exemplos: 1) Vamos desenvolver a expressão ) Para fatorar a expressão 3) Fatorando o número 36: ( x 4) : 3 ( x 1) : 0 P á g i n a

21 No MAXIMA, é possível resolver equações, calcular valores numéricos, raízes e plotar gráficos de funções de uma e de duas variáveis. Equações Uma das possibilidades de resolver uma equação é com a utilização do comando solve: solve (expr, x): Resolve a equação algébrica expr para a variável x e retorna uma lista de soluções em x. Exemplos: 1) Resolver a equação 4x x 5 0. ) Resolver a equação x 3 6x 11x ) Resolver a equação x x 1 0. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 1 P á g i n a

22 Observamos que essa equação possui raízes complexas, nesse caso, o MAXIMA indica a unidade imaginária por %i. Outra opção para resolver uma equação é através do menu Equações Resolver como mostrado na figura abaixo: ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Em seguida, na caixa de diálogo, digitamos a equação e a variável da mesma: Muitas das funções disponíveis, no MAXIMA, podem ser utilizadas como vimos acima, digitando a linha de comando ou usando a janela gráfica. Desse ponto em diante, apresentaremos e daremos ênfase à utilização da janela gráfica, sempre que essa opção estiver disponível. P á g i n a

23 Entendemos que essa funcionalidade é um importante facilitador para a utilização do MAXIMA, pois não é necessário digitar e saber extensas linhas de comandos e seu uso é semelhante à maioria dos softwares disponíveis atualmente. Dessa forma, reduzem-se erros na digitação dos mesmos e agiliza o desenvolvimento das atividades. Funções de uma variável e construção de gráficos Para inserirmos uma função no MAXIMA, digitamos o nome da função seguido de := (dois pontos igual): f(x):= Exemplo: 1) Para definir a função f ( x) x 5x 6 : ) Calcule os valores de f (1), f (), f (3) para a função definida no item anterior. 3) Encontre os zeros de f ( x) ou as raízes de f ( x) 0 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 3 P á g i n a

24 4) Construa o gráfico da função f ( x ). Para construir o gráfico de uma função, podemos utilizar o comando plotd: plotd (expr, intervalo_x,..., opções,...); ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA No MAXIMA, podemos contruir vários gráficos em uma mesma janela: 5) Represente na mesma janela os gráficos das funções Utilizando o comando plotd: f ( x) x 4x e g( x) x. 4 P á g i n a

25 Outra forma de construir um gráfico de uma função de uma variável é através do: Menu gráfico gráfico d : ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 5 P á g i n a

26 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA A possibilidade da mudança dos intervalos das variáveis x e y constitui uma importante ferramenta para a exploração e investigação de funções. Esse aspecto pode contribuir para a produção de ideias matemáticas, permitindo ao estudante explorar e observar as mudanças na visualização de um gráfico na medida em que se alteram os intervalos de x e y. 6) Construa o gráfico da função f ( x) sen x É importante observar a forma de inserir o intervalo [ 6,6 ]. Outra opção de construir esse gráfico é pela janela gráfica: 6 P á g i n a

27 Assim, obtemos o seguinte gráfico: ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 7 P á g i n a

28 Funções de duas variáveis Nesta seção, apresentaremos a construção de gráficos de funções de duas variáveis e suas respectivas curvas de nível. As demais funções referentes às funções de duas variáveis serão apresentadas ao longo do desenvolvimento das atividades. Para construir um gráfico de uma função de duas variáveis, temos a opção na barra de ferramentas: Menu gráfico gráfico d, como observamos na figura abaixo: ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA A B C D A: Nesse campo, digite a função a qual deseja construir o gráfico. B: Nesse campo, digite os intervalos das variáveis x e y. C: Nesse campo, Grade identifica a quantidade de pontos a serem utilizados na construção do gráfico. D: Nesse campo, o formato gnuplot é o pacote gráfico mais avançado entre os disponíveis no MAXIMA e possibilita, por exemplo, realizar a rotação do gráfico. Exemplos: 8 P á g i n a

29 1) Insira a função f ( x, y) cos x sen y. (%i1) f(x,y):=cos(x)*sin(y); Shift+Enter (%o1) f(x,y):=cos(x)sin(y) ) Encontre os valores de f 0, e 3 f 0, 3) Construa o gráfico de f x, y Na barra de ferramentas: Menu gráfico gráfico 3d Dessa maneira, obtemos o seguinte gráfico: Neste campo, digite a função que deseja construir o gráfico. Caso a função não esteja definida, é necessário digitar a mesma da seguinte forma: cos(x)*sin(y) ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 9 P á g i n a

30 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Curvas de nível O MAXIMA oferece muitos recursos para a construção das curvas de nível. Mostraremos, nesta seção, algumas formas de construção das mesmas e os resultados obtidos. Uma delas é através da seguinte linha de comando: contour_plot(f(x,y),[x,-10,10],[y,-10,10]); Assim, construímos as seguintes curvas de nível para a função f ( x, y) cos x sen y : 30 P á g i n a

31 Também podemos plotar, em uma mesma janela, o gráfico de f ( x, y ) e suas curvas de nível, para isso, usamos: Observação: both: plota as curvas de nível na superfície da função e no plano xy; base: plota as curvas de nível no plano xy; surface: plota as curvas de nível na superfície do gráfico da função. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 31 P á g i n a

32 Utilizando a função both ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Utilizando a função base 3 P á g i n a

33 Utilizando a função surface As atividades As atividades foram divididas em grupos relacionados aos temas do cálculo de funções de duas variáveis. Essa divisão em grupos foi motivada pelo fato de que a constituição do coletivo seres-humanos-com-mídias aconteceu em diversos momentos, não apenas durante as aulas realizadas no laboratório de informática, mas também em sala de aula. Em todos esses momentos, ficou evidente a utilização das tecnologias da inteligência, como a oralidade, a escrita e a informática. Apresentaremos, nas próximas seções, os grupos de atividades, bem como seus objetivos, sugestões e nossas impressões durante a sua realização. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 33 P á g i n a

34 O primeiro grupo de atividades: Gráfico e domínio de uma função de duas variáveis Esse grupo de atividades tem como principais objetivos: ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Proporcionar condições ao aluno de compreender a definição de funções de duas variáveis, através de uma atividade exploratória com o auxílio do computador, em que discente terá a oportunidade plotar e visualizar de diferentes ângulos e intervalos, o gráfico de uma função de duas variáveis. Dessa maneira, identificando as funções representadas algebricamente por uma expressão algébrica com seus respectivos gráficos os quais são representados por superfícies no R 3. Compreender, identificar e descrever o domínio de uma função de duas variáveis, relacionando-o com uma região do plano xy a qual pode ser uma limitada ou não limitada. Para o desenvolvimento dessas atividades, sugerimos o seguinte roteiro: 1) Defina, no MÁXIMA, a função f ( x, y) x y. Você pode fazer isso digitando na linha de comando f(x,y):=x^+y^; Shift+Enter a) Esboce o gráfico da função f ( x, y) nos intervalos x e y, utilizando, na barra de menu, as opções: Gráfico Gráfico 3d..., no campo Expressão digite f(x,y), variável x de - para, variável y de - para e no Formato selecione gnuplot. b) Com o cursor sobre a janela do gráfico, mantenha pressionado o botão esquerdo do mouse. Movimente o gráfico em diferentes direções. c) Salve o gráfico que, em sua opinião, apresentou melhor visualização. Para isso, na janela gnuplot graph em que está o seu gráfico, selecione. 34 P á g i n a

35 d) Utilizando, na barra de menu, as opções: Gráfico Gráfico 3d..., esboce novamente o gráfico da função f ( x, y ) alterando os intervalos de variação de x e de y Comentário: Essa atividade foi importante, pois é foi primeiro contato do estudante com os gráficos de uma função de duas variáveis, compreendendo que o seu gráfico é uma superfície em três dimensões enquanto o gráfico de uma função de uma variável é uma curva no plano. Também foram utilizados pela primeira vez os recursos do MAXIMA que foram fundamentais no desenvolvimento das atividades seguintes, como rotacionar o gráfico e modificar os intervalos das variáveis. Na figura abaixo, temos a construção do gráfico da função f ( x, y) x y. ) Defina, no MÁXIMA, a função x y g ( x, y) cos 100. Você pode fazer isso digitando na linha de comando g(x,y):=cos((x^+y^)/100); Shift+Enter. Para saber como as diferentes constantes e funções devem ser digitadas, você pode recorrer à Ajuda do MAXIMA. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 35 P á g i n a

36 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA a) Utilizando a barra de menu as opções: Gráfico Gráfico 3d... plote diversos gráficos da função g( x, y) alterando apenas os intervalos de x e y: I. 5 x 5 e 5 y 5 x e 10 y 10 II x e 0 y 0 III. 0 0 x e 30 y 30 IV b) Observe os gráficos esboçados da g( x, y ) em diferentes intervalos de x e de y. Você observa alguma modificação na aparência da superfície obtida? Existe mais de um gráfico para a mesma função g( x, y )? Explique. Comentário: Nos itens a e b, os estudantes têm a oportunidade de compreender que uma função f ( x, y ) qualquer possui apenas um gráfico, mudando apenas a visualização em função dos intervalos das variáveis x e y. Observamos que, em alguns casos, essa compreensão não é tão imediata, como aconteceu durante a exploração da função x y g ( x, y) cos em que as alterações, na forma do gráfico, são muito significativas 100 na medida em que alteramos os intervalos indicados no item a dessa atividade. Nos intervalos sugeridos em I e II, não existe uma mudança significativa na visualização. Mas, nos intervalos sugeridos em III e IV, existe uma grande variação na visualização do gráfico. Na figura seguinte, construída pelo grupo D1, observamos gráficos de g( x, y ) nos intervalos solicitados nessa atividade. 36 P á g i n a

37 c) É possível esboçar o gráfico da função g( x, y) para quaisquer valores de x e de y? d) Chamamos de domínio de uma função ao conjunto de valores das variáveis independentes para os quais a função está definida. No caso das funções de duas x, y, para os variáveis x e y, o domínio é um conjunto de pares ordenados quais é possível obter o valor da função. No caso da função g( x, y ), qual é o domínio? Comentário: Essa etapa da atividade proporciona discussão em relação à possibilidade de existir o valor de (, ) g x y para qualquer ponto x, y. Também ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 37 P á g i n a

38 constitui uma oportunidade para o professor explorar aspecto do domínio de uma função de uma variável, com o objetivo de estender conceitos para o domínio de funções de duas variáveis, sendo um dos elos de transição do cálculo de funções de uma variável para o cálculo de funções de duas variáveis. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA 3) Defina, no MÁXIMA, a função h( x, y) 16 x y. a) Esboce gráficos da função h( x, y) usando opções diferentes para as variações de x e de y. O que acontece quando usamos intervalos de variação maiores? b) Encontre os valores de h (,), h( 1,), h(4,0) e h (3,3) valores da função nos pontos acima indicados? Por quê?. É possível obter os c) Movimente o gráfico da função de modo a visualizar a região para a qual não é possível calcular h( x, y ). Para melhor determinação da região, ao esboçar o gráfico, aumente os valores da grade. d) Que região do plano xy corresponde ao domínio da função h( x, y )? Faça um e) esboço do domínio da função h( x, y ). Comentário: Nessa atividade, o estudante percebe, de forma mais clara, a região do domínio da função h( x, y) pelo fato de essa região ser limitada no plano. Ao calcular os valores solicitados no item b, os estudantes podem compará-los com a região plana obtida no item c, percebendo algebrica e graficamente que não é possível obter valores de h( x, y ) para x, y. Aumentando-se os valores da grade, obtemos gráficos com melhores qualquer contornos, como mostramos na figura abaixo, construída pelo Grupo D5. 38 P á g i n a

39 No item d, quando os estudantes determinaram e esboçaram o gráfico da região que representa o domínio de h( x, y ), foi utilizada também a mídia lápis-papel, possibilitando aos estudantes a utilização de diferentes mídias. A estratégia do aumento da grade possibilita a superação de uma das limitações do MAXIMA no que se refere à visualização. A região correspondente ao domínio da função h( x, y) não é percebida como uma circunferência utilizando uma grade, por exemplo, de 30x30 (primeiro gráfico na figura acima), mas, aumentando a grade, melhora a percepção de que essa região é uma circunferência. Outra sugestão para o professor é o a utilização de outras mídias, como a lápis-papel, para formalizar a expressão algébrica do domínio, incluindo a explicação sobre a região de fronteira, pois, com a movimentação do gráfico da função h( x, y ) gerada pelo MAXIMA, não é possível verificar se a região que delimita o domínio é uma região aberta ou fechada. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 39 P á g i n a

40 Essa exposição também pode ser realizada após a próxima questão, pois, nesta, são exploradas outras funções com características diferentes quanto ao domínio e a sua região no plano. 4) Explore as funções indicadas abaixo. Procure uma boa visualização do gráfico, movimente o gráfico de modo a visualizar também o domínio, determine o domínio. a) f x, y x y 4 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA b) f x, y f 1 y x x, y y x c) d) f x, y log( y x ) f x, y x. e ( x y ) e) f) f x, y x. sen y.(. x) y x Comentário: Nessa atividade, foram propostas diversas funções com características diferentes das regiões planas de seu domínio. O fato de deixar o estudante livre para explorar essa função permite que o mesmo escolha o seu caminho para encontrar o domínio das funções. Assim, podemos observar quais foram as ideias matemáticas produzidas acerca do tema central desse grupo de atividades: gráfico e domínio de uma função de duas variáveis. O segundo grupo de atividades: Curvas de nível de uma função de duas variáveis. Esse grupo de atividades tem como principais objetivos: Proporcionar ao aluno condições de identificar, descrever, construir e compreender as curvas de nível de uma função de duas variáveis. 40 P á g i n a

41 Relacionar o gráfico de uma superfície obtido a partir de função de duas variáveis com as suas respectivas curvas de nível. Roteiro da atividade: Com esta atividade, temos o objetivo de explorar um importante conceito relativo a funções de duas variáveis, que é o conceito de curva de nível. Uma curva de nível ou curva de contorno de uma função f de duas variáveis é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é igual a c, sendo que c é uma constante. As curvas de nível f ( x, y) horizontal z conceito. c projetados sobre o plano xy (plano z=0). c são cortes (traços) do gráfico de f no plano Vamos utilizar alguns dos recursos gráficos do software MAXIMA para explorar esse 1. Considere a função uma superfície em f ( x, y) y f x y é 9 x. Sabemos que o gráfico de (, ) 3 R. Vamos utilizar o MAXIMA para visualizar o gráfico de f ( x, y ) e os cortes na superfície de f por planos z=c. Salve todas as imagens possíveis e escreva, em um arquivo Word, suas observações e conclusões relativas às etapas indicadas abaixo, inserindo as imagens correspondentes. Para isso, sugerimos: a) Defina, no MÁXIMA, a função f; b) Esboce o gráfico de f; c) A sequência de comandos a seguir possibilita traçar na superfície de f ( x, y ) as curvas obtidas pelo corte por planos z=c. Execute e observe as curvas identificadas na superfície. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 41 P á g i n a

42 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA d) Como definido no início, uma curva de nível é uma projeção do corte (traço) do gráfico de f no plano xy (z=0). Movimente o gráfico de f ( x, y ) de modo a visualizar o que seriam essas curvas projetadas no plano z=0. Comentário: Para essa primeira atividade relacionada às curvas de nível, escolhemos a função f ( x, y) 9 x y. A escolha dessa função foi motivada pelo fato de ela possuir uma boa visualização com os recursos do MAXIMA e de suas curvas de níveis serem circunferências. Assim, alguns aspectos dessa função já eram conhecidos pelos estudantes. Acreditamos que a construção indicada no item d favorece a compreensão das curvas de nível como cortes na superfície de uma função f ( x, y ). Espera-se que, até essa etapa, após os estudantes realizarem a rotação do gráfico, estes tenham condições de identificar e descrever as curvas de nível da função f ( x, y) 9 x y. Sugerimos ao professor que deixe gravado em um arquivo do MAXIMA as linhas de comandos para a execução do item c. Dessa forma, evitam-se erros de digitação dos comandos que podem ocasionar atraso no desenvolvimento da atividade. Na figura abaixo, a sequência da visualização obtida pelo do Grupo D15. 4 P á g i n a

43 z z x y -1 x y z y 1 x e) Existe um comando do MAXIMA que traça as curvas de nível de uma determinada função f: é o comando contour_plot. Faça isso para a função f em estudo, digitando contour_plot(f(x,y),[x,-3,3],[y,-3,3]); Shift+Enter. f) Compare as imagens obtidas na visualização pedida no item d com as curvas do item e. O que você observa? Comentário: No desenvolvimento dos itens e e f, os estudantes podem utilizar e comparar os resultados obtidos por dois recursos para a obtenção das curvas de nível, dessa forma, favorecendo a compreensão do mapa de contorno de uma função. Essa ação é completada no próximo item. Abaixo, aparece a construção do Grupo D5. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 43 P á g i n a

44 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA g) x Com os recursos do MAXIMA, é possível obter a imagem do gráfico de f ( x, y ), dos cortes da superfície por planos z=c e das respectivas projeções. Experimente isso para a função f ( x, y) y h) Escreva as expressões das curvas de nível obtidas a partir da função y sqrt(-y^-x^+9) x f ( x, y) valores de z=0, z=1, z= e z=3. Que tipo de curvas são essas? Esboce os gráficos. 1 para 44 P á g i n a

45 i) Você acha que as curvas de nível dão algum tipo de informação sobre o gráfico da função? É possível imaginar o gráfico de uma função conhecendo os traçados das curvas de nível e os respectivos valores de z? Explique. Comentário: No desenvolvimento do item h, observamos a preferência pela utilização da mídia lápis-papel. Assim, como afirma Villarreal (1999), as abordagens algébricas e visuais complementam-se no processo de aprendizagem da matemática. Em todas as atividades já desenvolvidas, essa complementação e a utilização de diferentes abordagens (visual e algébrica), em diferentes mídias, são importantes na produção das ideias matemáticas acerca de funções de várias variáveis. No constructo seres-humanos-com-mídias, o conhecimento é sempre produzido na presença de determinada tecnologia da inteligência: oralidade, escrita e informática.. Explore livremente as funções abaixo, procurando sempre estabelecer uma relação entre o gráfico, os cortes e as curvas de nível de cada uma das funções. Monte arquivos com as imagens e as observações feitas. a) f ( x, y) 4x y b) b) f ( x, y) x y f ( x, y) x x y c) 1 4 5x d) f ( x, y) x y 1 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 45 P á g i n a

46 Comentário: Nessa atividade, os estudantes têm a oportunidade de explorar livremente diversas funções e suas respectivas curvas de nível utilizando habilidades desenvolvidas e o conhecimento produzido acerca de funções de duas variáveis. O terceiro grupo de atividades: Derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis. ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Este grupo de atividades divide-se em duas partes: I) Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem e II) Interpretação geométrica das derivadas parciais. Com a primeira parte desta atividade, temos o objetivo de explorar os recursos algébricos do MAXIMA para o cálculo das derivadas parciais de uma função de duas variáveis. Apesar de esta atividade não ter feito parte da análise da pesquisa de mestrado A produção de conhecimento matemático acerca de funções de várias variáveis, apresentamos aqui porque ela foi feita na sequência das aulas por julgamos importante o estudante conhecer os recursos do MAXIMA para o cálculo das derivadas parciais. É um bom momento para introduzir as diferentes notações das derivadas parciais e retomar alguns conceitos das derivadas parciais de uma função de uma variável. Abaixo, o roteiro desta atividade. O MÁXIMA possui um recurso para o cálculo de derivadas de uma função. Esse recurso pode ser usado tanto para o cálculo de derivadas ordinárias (funções de uma variável) como também para o cálculo de derivadas parciais. Para essa finalidade, temos a seguinte linha de comando: 46 P á g i n a

47 Ordem da derivada Variável Função a ser derivada Comando para a diferenciação Nesse caso, o comando calcula da derivada de primeira ordem da função f(x,y) em relação à variável x. 1) Encontre as derivadas parciais de primeira ordem (em relação às variáveis que aparecem na função) das funções indicadas abaixo. Realize todos os cálculos necessários. Depois, utilize o MAXIMA para o cálculo e compare as duas respostas. a) b) c) f ( x, y) 3x y f ( x, y) x 3x y 3xy z xe 3y d) z y ln x e) f) x f ( x, y) x f ( x, y) y x y y g) w sen cos 3 h) f ( x, y, z) xy z 3yz 4 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 47 P á g i n a

48 i) f ( x, y, z) x e yz j) w ln( x y 3z) l) f 4 3 ( x, y) x 3x y m) f ( x, y) ln(3x 5y) ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA A segunda parte deste grupo de atividades tem o objetivo de proporcionar ao estudante uma sequência de atividades para a exploração e a interpretação geométrica das derivadas parciais, tendo como referência a interpretação geométrica das derivadas ordinárias, as quais sugerimos serem retomadas ao longo do desenvolvimento da mesma. Abaixo, apresentamos o texto inicial e a sequência desta parte da atividade: Com esta atividade, temos o objetivo de explorar graficamente o conceito das derivadas parciais de uma função de duas variáveis. Para esse propósito, vamos utilizar alguns dos recursos gráficos do software MAXIMA para explorar esse conceito. Uma questão que frequentemente se apresenta nas aplicações de funções de várias variáveis é Como o valor da função será afetado por variações em uma das variáveis independentes? Podemos respondê-la considerando as variáveis independentes uma de cada vez. Dessa forma, a derivada parcial de f ( x, y ) em relação à x em ( x0, y 0) é obtida derivando a variável x mantendo-se y fixo. Analogamente, a derivada parcial de f ( x, y ) em relação à y em ( x0, y0) é obtida derivando a variável y mantendo-se x fixo. Como você já sabe, podemos utilizar as seguintes notações para as variáveis parciais: f ( x, y) ou f x x 48 P á g i n a

49 f (, ) y x y ou f y ponto? O que representa o valor numérico de cada derivada parcial aplicada em determinado 1) Vamos analisar o caso da derivada parcial de f ( x, y) 8 x y em relação à variável x. Vamos escolher o ponto inicial P(1,). Nas derivadas parciais, consideramos uma das variáveis como constante. No caso de f x (1,) dessa constante?, qual variável deve ser considerada constante e qual deve ser o valor Quando fazemos y = constante, temos um plano paralelo ao plano xz. Esse plano tem interseção com a superfície do gráfico de f ( x, y ). Podemos visualizar essa situação com o auxílio do MAXIMA, para isso inserimos as seguintes linhas de comandos: Plota o gráfico de f(x,y) ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 49 P á g i n a

50 Plota o gráfico do plano y = Define a escala dos eixos x e y ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Você consegue visualizar a interseção do gráfico de f ( x, y ) e do plano y =? O que é essa interseção? Faça a rotação desse gráfico. Para relacionar a derivada parcial de f ( x, y) 8 x y em relação a x no ponto (1,), vamos manter y constante em. Assim, temos que f ( x,) x. Agora vamos plotar essa curva no plano com o auxílio do MAXIMA. Compare a representação dessa curva no plano com o gráfico que mostra a interseção de f ( x, y) com o plano y=. Faça a rotação de modo a visualizar essa curva na mesma posição que aparece na representação plana. Comentário: Nessa etapa, sugerimos que o professor disponibilize as linhas de comandos acima, a exemplo do que já foi feito em atividades anteriores, com o objetivo de que não se dispenda tempo com a digitação dos mesmos e a correção de possíveis erros de digitação. A sequência de comandos acima produz o gráfico abaixo: 50 P á g i n a

51 Com essa construção, o professor pode instigar os estudantes a identificarem a interseção das duas superfícies. Talvez, apenas com essa visualização, não seja suficiente para que os estudantes percebam que essa interseção é uma parábola, mas com o incentivo do professor e percepção dos estudantes, eles podem concluir esse item com a análise do gráfico e da expressão algébrica que obteram quando calcularam também poderá ser superada com a próxima etapa da atividade. f ( x,) x ) Vamos, agora, interpretar o valor numérico das derivadas parciais.. Essa dificuldade No caso das funções de uma variável, a derivada aplicada em um ponto representa o coeficiente angular da reta tangente à curva naquele ponto. dy Para a curva y x, calcule, determine a reta tangente à curva no ponto dx x=1 e esboce o gráfico no mesmo sistema de eixos que a curva. 1 Vamos, agora, construir o gráfico da reta tangente à superfície f ( x, y ), para isso digite as seguintes linhas de comando: ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 51 P á g i n a

52 ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Para comparar com o que fizemos no plano e no espaço, vamos deletar os comandos iniciais digitados anteriormente, ficando apenas: Plota o gráfico da reta tangente a f(x,y) Plota o gráfico da curva Comentário: As duas últimas sequências de comandos geram os gráficos das figuras abaixo. Com o primeiro gráfico, o estudante pode explorar a ideia da derivada parcial como a 5 P á g i n a

53 inclinação da reta tangente à interseção da superfície com o plano obtido mantendo-se x ou y fixos Com a segunda construção, a visualização da interseção da curva com a reta tangente da superfície fica mais evidente. Novamente, nesse momento, surge a oportunidade de oportunizar a transição e extensão dos conceitos do Cálculo de uma variável para o Cálculo de duas variáveis ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 53 P á g i n a

54 O quarto grupo de atividades: Extremos de uma função de duas variáveis ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWARE MAXIMA Este grupo de atividades tem o objetivo de explorar e estimar os extremos de funções de duas varáveis e posteriormente encontrar os pontos críticos, finalizando com a classificação dos extremos em máximos, mínimos ou sela. Todo esse processo é realizado através dos recursos visuais do MAXIMA em conjunto a outras mídias. Para este grupo de atividades, sugerimos que sejam divididas de modo a serem desenvolvidas em quatro encontros. Para o primeiro encontro, siga o seguinte roteiro: a) Construa, no MAXIMA, o gráfico da função f ( x, y) 1 x y. b) Modifique os intervalos de variação de x e y. Faça a rotação em diferentes direções e procure identificar se a função tem extremos relativos (máximos ou mínimos). Registre suas observações. c) É possível para você estimar as coordenadas dos pontos que você indicou no item anterior? Em caso afirmativo, quais são essas coordenadas? Caso não seja possível, por quê? d) Faça o mesmo para a função observações. g( x, y) x x y 4y 3 e registre as suas Comentário: O objetivo dessa sequência foi explorar graficamente as funções f ( x, y) 1 x y e g( x, y) x x y 4y 3 e identificar o seu extremo. Sugerimos ao professor não realizar anteriormente nenhuma explicação aos estudantes relacionada aos extremos de uma função. Pela exploração visual, muitos estudantes conseguem identificar o extremo da função f ( x, y ), encontrando suas coordenadas: (0,0,1). O mesmo não ocorre com a função g( x, y ), pois a visualização do extremo desta função não é favorecida apenas com o uso do software. Neste momento, surge a oportunidade de iniciar a introdução de conceitos relativos aos extremos de funções de duas variáveis: 54 P á g i n a

55 A função f ( x, y ) tem um máximo local no ponto P 0 se f ( P0 ) f ( P) pontos P próximos a P 0. A função f ( x, y ) tem um mínimo local no ponto P 0 se f ( P0 ) f ( P) pontos P próximos a P 0. para todos os para todos os Com isso, a sequência da atividade sugere: e) Com o auxílio do MAXIMA, calcule valores da função f ( x, y) nos extremos relativos estimados e em pontos das vizinhanças desses extremos. Compare os valores. f) Faça o mesmo com a função g( x, y ). Comentário: Com esses itens, surge novamente a oportunidade da utilização de outras mídias e a complementação das abordagens algébricas e gráficas. Em nossa pesquisa, os estudantes construíram tabelas e, com a ajuda do gráfico gerado pelo MAXIMA, estimaram o extremo dessas funções. Ressaltamos que, para a função f ( x, y ), todos conseguiram encontrar as coordenadas do extremo com exatidão. Fato que não aconteceu com a função g( x, y ), pois poucos grupos conseguiram encontrar corretamente os extremos, mas muitos encontraram uma boa estimativa para os mesmos. Sugerimos que o professor desenvolva essa etapa em até dois encontros. No segundo encontro, temos o objetivo de identificar e explorar características das derivadas parciais nos extremos. Nesse momento, surge a oportunidade dos estudantes relacionarem conhecimentos produzidos no terceiro grupo de atividades. Abaixo o texto desta atividade: ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS COM O USO DO SOFTWAREE MAXIMA 55 P á g i n a