2. MODELOS DE FILAS E ESTOQUES COM CHEGADAS E ATENDIMENTOS INDIVIDUAIS

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1 2. MODELOS DE FILAS E ESTOQUES COM CHEGADAS E ATENDIMENTOS INDIVIDUAIS Uma forma simples de mostrar fisicamente o problema de acúmulos em um sistema (engenheiros, arquitetos e outros técnicos envolvidos no processo de planejar e operar sistemas, normalmente apreciam analogias físicas), é o de representar o sistema por um silo de armazenagem de grãos, ou uma caixa d`água, com um duto de entrada e um duto de saída, cada qual dotado de um registro que permite controlar a vazão através do duto. O duto de entrada com seu dispositivo de controle de vazão representa o processo de chegada ao sistema, e o duto de saída com os seu dispositivo de controle de vazão o(s) posto(s) de atendimento no caso de problemas de filas, e o processo de saída da área de armazenagem no caso de problemas de estoques. Para representar fenômenos reais é necessário admitir que, nos casos em que a natureza discreta dos "clientes" de um serviço é importante para a correta descrição do fenômeno, os grãos do silo têm dimensão comparável com o diâmetro dos dutos de entrada e saída, de forma que apenas um elemento consegue fluir através de uma seção de controle por vez.

2 10 Como em todo processo de aprendizado é necessário primeiro andar para depois correr, utilizaremos o modelo analógico para descrever inicialmente as filas mais simples, que são aquelas em que tanto o fluxo de chegadas como o fluxo de atendimento são de natureza determinística, ou seja, não existem oscilações de natureza aleatória no entorno de valores médios desses fluxos. Tentar-se-á dessa forma, apresentar o fenômeno de formação de filas ou estoques, através de uma representação gráfica, sem as complexidades associadas à representação matemática de modelos probabilísticos 1, forma tradicional de apresentação do problema em livros texto A Fila com Um Canal de Atendimento A Fila Determinística Fluxo discreto A Figura do tubo apresentada abaixo ilustra o problema: clientes (pessoas ou objetos) chegam a um sistema de processamento qualquer (e.g. caixa de supermercado), ultrapassando uma seção de controle de entrada no sistema, para serem processados em um canal de atendimento, neste caso representado pelo duto de saída onde cabe exatamente um cliente antes da válvula de liberação, cujo instante de abertura define o fim do atendimento e a conseqüente saída do cliente do sistema. 1 modelos probabilísticos de filas são o mesmo que modelos estocásticos de filas 2 ver por exemplo Hillier & Lieberman (1988) cap.9

3 11 14 início da fila tempo máximo de espera na início do atendimento fim do atendimento Número acumulado de clientes 8 6 fila máxima canal de atendimento ocioso cliente espera cliente é atendido Tempo Figura 2.1: Fila formada por elementos discretos No nosso modelo analógico os clientes do serviço a ser prestado são representados pelas bolas. Se no instante de chegada de uma bola não houver nenhuma dentro do tubo, a bola rola diretamente para o canal de atendimento. Uma vez dentro do canal de atendimento ocorre um tempo de atendimento T após o qual é aberta a válvula de liberação. Se já houver bolas dentro do tubo, como é o caso representado na Figura 2.1, então a bola entra na fila aguardando sua vez de ser atendida. O gráfico associado à representação analógica, descreve a evolução do sistema durante um intervalo de tempo, observando-se períodos de ociosidade do sistema, períodos onde a fila é zero e períodos onde existe fila.

4 12 Chamamos este modelo de determinístico pois admitimos implicitamente que o instante de chegadas das bolas ao tubo é conhecido e que o tempo de atendimento é fixo, no caso representado igual a 1 unidade de tempo. Em outras palavras, se as chegadas estão programadas na forma apresentada no gráfico da Figura 2.1, o tempo de atendimento é 1 unidade de tempo e temos apenas um canal de atendimento, então da para prever que se formará uma fila nos períodos 2-3 e 5-9. Vê-se portanto que no caso de fluxos determinísticos só há acúmulo no tubo quando, por razões previsíveis ou programas previamente estabelecidos, chegam mais bolas às caixas em um intervalo t do que o sistema consegue liberar através do canal de atendimento, ou seja, quando temporariamente o fluxo médio de chegadas é maior que o fluxo médio de atendimento. De uma forma mais sintética podemos descrever esse nosso sistema da seguinte forma: Seção de controle 1 (início da fila) Seção de controle 2 (fim da fila - início do atendimento) Seção de controle 3 (fim do atendimento) Fila Canal de atendimento SISTEMA Figura 2.2: Seções de controle de uma fila Como mostra a Figura 2.2 o nosso sistema é formado por dois componentes: a fila (ou as filas) e o canal de atendimento (ou os canais de atendimento). No nosso caso simples temos apenas uma fila e um canal de atendimento.

5 13 Para descrever o nosso fenômeno é necessário que conheçamos algumas das suas características. Essas características serão observadas nas seções de controle. Na seção de controle 1, observamos os instantes em que os elementos chegam ao sistema ( ou o intervalo entre chegadas sucessivas). Se não houver fila ( o tubo de bolinhas estiver vazio), a seção de controle 1 coincide com a seção de controle 2, ou seja, o elemento entra no sistema no momento em que ele entra no canal de atendimento. Se houver fila, a seção de controle 1 vai se deslocando à medida em que a fila cresce/decresce. Na seção 2 observamos os instantes em que os elementos entram no canal de atendimento e na seção 3 os instantes em que eles saem do canal de atendimento, liberando-o para o próximo atendimento. Com essa descrição do sistema é agora possível representar uma fila através de um gráfico (Figura 2.3) no qual plotamos os instantes tc i - instante de chegada do i- ésimo elemento ao sistema, t - instante de entrada do i-ésimo elemento no canal e i de atendimento, e ts i - instante de saída do i-ésimo elemento do canal de atendimento, o qual coincide, neste modelo, com a saída do sistema. Observando-se o gráfico da Figura 2.3 vemos que, para descrever precisamente o que ocorre dentro do nosso sistema é necessário estabelecer uma disciplina para a forma de atendimento dentro do sistema. Se, como é o caso do gráfico da Figura 2.3, os elementos entram no canal de atendimento exatamente na ordem em que chegam ao sistema, então diz-se que essa fila, se ela existir, tem disciplina FIFO "First In First Out", primeiro a entrar na fila é o primeiro a sair da fila.

6 chegada de um elemento entrada do elemento no canal de atendimento saída do elemento do canal de atendimento F max T s max Fluxo acumulado 8 6 A max T f max N = 12 t = 13 C(t) E(t) S(t) 4 2 te 4 ts 4 Tf k = 22,5, k=1..12 Ts k = 34,6, k=1..12 F(t) = C(t) - E(t) A(t) = C(t) - S(t) F 1,73 T f 1,88 F max = 4,0 T fmax = 3,5 A max = 5,0 T smax = 4, Tempo t a t b Figura 2.3: Descrição gráfica de uma fila FIFO A Figura 2.4 mostra um gráfico de uma fila onde a disciplina não é FIFO, mas sim LIFO "Last In First Out", ou seja, o último a entrar é o primeiro a sair.

7 chegada de um elemento entrada do elemento no canal de atendimento saída do elemento do canal de atendimento ordem de atendimento 9 11 Fluxo acumulado A max = F max + 1 F max = N = 12 t = 13 C(t) E(t) S(t) Tf k = 22,5, k=1..12 Ts k = 34,6, k=1..12 F 1,73 T f 1,88 F max = 4,0 T fmax = 9,5 A max = 5,0 T smax = 10, T f max T s max t a Tempo t b Figura 2.4: Descrição gráfica de uma fila LIFO Quando há mais de um canal de atendimento (e.g. nas caixas de um supermercado), é comum ocorrerem disciplinas aleatórias. Newell (82) as denominou SIRO "Service In Random Order" e apresenta como exemplo de transportes o fenômeno da fila em um ponto de ônibus, onde também não necessariamente entra primeiro no ônibus quem chegou primeiro no ponto. Como veremos adiante, a disciplina da fila pode não afetar a medida de mérito, dependendo do que se pretende medir.

8 16 Vemos também que é possível medir várias características do nosso sistema. Se estamos interessados em dimensionar a capacidade máxima de acúmulo do nosso tubo de bolinhas, então nos interessa medir a fila máxima no intervalo t = t b - t da Figura 2.3 ou da Figura 2.4, que no caso é F max = 4 elementos. Se por outro lado a medida importante é o tempo máximo que um elemento permanece na fila, então nos interessa medir esse tempo, que é igual a T max{ t t } 3, 5 f e c = max = unidades de tempo no caso de disciplina FIFO e 9.5 unidade de tempo no caso de disciplina LIFO. Ou ainda, se a medida importante é o acúmulo máximo no sistema, mediremos A max =5 elementos, ou o tempo máximo no sistema, então mediremos { t t } 4, 5 Ts = max s c = unidades de tempo no caso FIFO, e 10.5 unidades de max tempo no caso LIFO. i i i i a É muito comum entretanto, que estamos interessados em medir desempenhos médios do sistema durante um intervalo de tempo, ou seja, fila média, tempo médio de espera na fila, número médio de elementos no sistema, ou tempo médio de espera no sistema. Voltemos à Figura 2.3. O objetivo é medir o desempenho médio da fila no intervalo t = t b - ta Nesse intervalo chegaram n elementos ao sistema. O (j+1)-ésimo elemento esperou T f = te - t j+1 j+1 c na fila, ou seja os n elementos esperaram um tempo total j+1 igual a T tot f = j+ 1 + n Tf k= j+ 1 k (no exemplo das Figuras 2.3 e 2.4 admitiu-se j=0, ou seja, o sistema estava vazio quando se iniciou a observação). Se dividirmos o tempo total de espera por n elementos teremos o tempo médio de espera na fila que denominaremos:

9 17 1 n T = T (1) f tot f Se por outro lado dividirmos o tempo total de espera pelo intervalo t = t b - ta, neste caso considerado como o intervalo de tempo de interesse para a medida de desempenho, teremos a fila média no período que denominaremos: 1 F = Ttot (t - t ) f (2) b a Um detalhe interessante dessa descrição da fila é que alguns teoremas de prova relativamente sofisticada no caso de filas estocásticas, tornam-se evidentes nessa descrição de uma fila determinística. A fórmula tradicional de F = λ T, na literatura em língua inglesa apresentada como L = λ W, provada por Little (1961), nada mais descreve do que o seguinte: f n seja λ= (t b-t a) considerado. o fluxo médio de chegadas de elementos ao sistema no intervalo Então, de (1): n λ T= (t -t ) ) 1 f n T totf b a e portanto, λ T f = F. c.q.d. Em outras palavras, as medidas de desempenho médias da fila estão associadas através do parâmetro λ.

10 18 sistema. Verificaremos agora o que ocorre com as medidas de desempenho médias do O j+1 ésimo elemento ficou no sistema T s = ts - t j+1 j+1 c,ou seja,os j+1 elementos esperaram um tempo total igual a T tot s = j+ 1 + n T s k k = j+ 1 Por analogia temos: e 1 T s= n T totf 1 A = (t - t ) T totf b a e portanto, λ T = A S. Os gráficos das Figuras 2.3 e 2.4 foram desenvolvidos de forma que se atenda um mesmo número n = 12 elementos no intervalo tb - t a =13 unidades de tempo, com um tempo de atendimento constante, igual a 1 unidade de tempo. Se calcularmos numericamente as medidas de desempenho dessas duas filas (ver cálculo de Ttot s, F e T f nas Figuras), notamos que só diferem quanto ao tempo máximo de espera de um elemento na fila. Esse resultado não é um acaso, e é a razão porque, no caso mais complexo matematicamente de descrição de filas estocásticas, a literatura, apesar de citar as outras disciplinas, admite via de regra que o fenômeno real possa ser representado pela disciplina FIFO, em virtude da complexidade da solução matemática para as outras disciplinas.

11 19 Fluxo contínuo Da mesma forma como para o caso de fluxo discreto, podemos imaginar um silo de grãos onde conhecemos a priori a lei de chegada de grãos pelo duto de entrada e a lei de consumo de grãos através do duto de saída. A Figura 2.5 representa esse caso: Existem vários fenômenos de transporte onde essa aproximação por um contínuo é válida. Tomemos por exemplo o caso de chegadas de pessoas a uma plataforma de metrô. O número de pessoas que chegam durante períodos de pico é tão grande e o acúmulo na plataforma também, que variações decorrentes de um maior ou menor espaçamento entre dois elementos sucessivos (no caso pessoas), ou mesmo detalhes da disciplina da fila, têm efeito desprezível sobre as medidas de mérito que se busca normalmente nesse caso, ou seja, o número máximo de pessoas acumuladas na estação, ou o tempo máximo provável que uma pessoa espera na plataforma até conseguir embarcar no trem. Veremos adiante que essa aproximação do fluxo de chegadas por um meio contínuo é adequada para um conjunto bastante grande de problemas de transporte, onde estamos interessados em medir eventos macroscopicamente durante picos de tráfego, ou quando a quantidade estocada deve ser normalmente grande, ou quando o número de canais de atendimento é grande. Se descrevermos o que ocorre no nosso sistema com três seções de controle teremos, à semelhança do caso de eventos discretos, a medida de vazão de chegada no sistema c(t) na seção de controle 1, a medida de vazão de entrada no canal de atendimento e(t) na seção de controle 2 e a medida de vazão de saída do sistema s(t) na seção de controle 3, conforme mostrado na Figura 2.5. Como se pode perceber nessa representação por fluído, não estamos mais interessados na distribuição dos tempos entre chegadas sucessivas de elementos, mas sim na distribuição da vazão ao longo de um período de observação. C(t)

12 20 16 Fluxo acumulado de fluido tempo de espera ou permanência máxima acúmulo ou fila máxima C(t) S(t) Canal de atendimento parcialmente ocioso Te m po Canal de atendimento parcialmente ocioso Canal de atendimento a plena capacidade Figura 2.5: Fila formada por um contínuo A disciplina de fila, dependendo das características do processo em análise, pode ser irrelevante, e portanto pode-se admitir para efeito de medidas de desempenho, disciplina FIFO. Se, por exemplo no caso de estoque de produtos perecíveis, essa hipótese for crítica, é necessário que se garanta operacionalmente a conformidade do sistema a uma disciplina FIFO ou quase FIFO. As medidas de desempenho da fila e do sistema continuam sendo facilmente observáveis se plotarmos o fenômeno graficamente. A Figura 2.6 apresenta um gráfico mais detalhado de uma fila que pode ser representada pela analogia de meio fluído (e.g. o processamento nos balcões de despachos-"check-in" dos passageiros embarcando em um avião B 747).

13 X n = X m T f max T atd = 2 min 260 F max Fluxo acumulado (passageiros) C(t) E(t) S(t) 0 = t t i t n = t m 100 t j 120 Tempo (minutos) Figura 2.6: Descrição gráfica de uma fila representada por um contínuo A fila máxima é representada por F max = max { C(t) - E(t) } onde t C (t) = c(t)dt - fluxo acumulado de chegadas no sistema até o instante t. 0

14 22 E(t) = t 0 e(t)dt - fluxo acumulado de entradas no canal de atendimento até o e T f max instante t. 1 1 = C (x ) E (x ), com x n = c(t n ) n n onde tn é o instante em que ocorre F max. 3 Analogamente podemos calcular valores máximos no sistema A max = max { C(t) S(t) } e T s max 1 1 = C (x ) S (x ), com x m = c(t m ) m m onde t m é o instante em que ocorre A max. Na maioria dos casos de aplicação, admite-se que o tempo de atendimento é constante e portanto as curvas E(t) e S(t) são paralelas na região de F max, A max e x m = x n. Como no caso de fluxo discreto, é possível que em certos casos seja de interesse calcular valores médios de desempenho em um intervalo t = tb- ta. Neste caso teríamos para a fila: b tempo total de espera na fila T tot = [ C(t) E(t) ] f t t a dt 3 ver prova em Newell (1982), cap. 2

15 23 fila média 1 F = T t t b a tot f tempo médio de espera na fila 1 T = n f T totf número médio no sistema 1 A = T t t b a tot s tempo médio de espera no sistema 1 T = n s T tots também neste caso pode-se mostrar facilmente que se fluxo médio de chegada = λ, então, F = λ Tf A = λ T s Um aspecto que parece óbvio, tanto do exame do modelo de fluxo discreto como do exame do modelo de fluxo contínuo, mas que frequentemente é esquecido em análises de problemas de filas, é que só existe acúmulo de grãos no silo ou bolas no tubo, se C(t) > S(t) durante um intervalo t ( igual a tb-ta no caso exemplificado). Se S(t) max é a capacidade máxima de vazão do duto de saída, e C(t) S(t) max para todo t, então tudo o que entra no acumulador sai continuamente pelo duto de saída, de forma que S(t) = C(t) t, não ocorrendo formação de fila. É o que ocorre na Figura 2.6 no intervalo t = t i t 0.

16 24 Essa constatação, apesar de trivial, é fonte de muitos erros, conduzindo em caso de equívoco do analista, a fila negativa, a qual não tem justificativa física. Em outras palavras, um elemento, pessoa ou objeto, não pode ser atendido na fila se ainda não entrou no sistema. Em qualquer sistema de fila existe um princípio de conservação, ou seja, o que entra tem que sair e o que não entra não pode sair. Esse alerta é importante, pois não é incomum o analista representar um fluxo de chegada em que notoriamente ocorre um pico de tráfego, como por exemplo no histograma de chegadas de veículos a um posto de pedágio no período de 150 minutos apresentado na Figura 2.7, por uma distribuição probabilística, em geral Poisson, de fluxo médio constante, igual à média do fluxo no período 4. A utilização de um modelo "tradicional" da teoria das filas implica que os veículos no período de menor fluxo são atendidos antes que eles tenham entrado no sistema o que conduz obviamente a erro na medida de mérito, qualquer que seja a escolhida. Após essa discussão conceitual sobre filas formadas exclusivamente porque durante um certo período de tempo o fluxo medio de chegada é maior que o fluxo de atendimento, introduziremos através do emprego do nosso modelo analógico de fluxo discreto, o conceito tradicional da teoria das filas, de filas formadas exclusivamente devido a variações estocásticas das chegadas e do atendimento no entorno de um valor médio constante. 4 ver Ashford et alii (1976) para um exemplo de aplicação equivocada do modelo de fluxo estacionário a um caso de fluxo médio variável. freqüência acumulada de observações observações/10 minutos 2 1

17 Fluxo acumulado de veículos Fluxo observado de veículos Tempo (minutos) 0 Figura 2.7: Histograma de um processo de chegadas onde ocorre um pico de tráfego A Fila Estocástica No conceito tradicional apresentado na literatura sobre "teoria das filas" parte-se das seguintes hipóteses críticas: as medidas de mérito da fila ocorrem no intervalo de tempo t. as chegadas são regidas por um processo aleatório com distribuição de probabilidade conhecida (é comum admitir-se que as chegadas seguem uma distribuição de Poisson) de média constante no intervalo de tempo considerado.

18 26 os tempos de atendimento também são regidos por um processo aleatório com distribuição de probabilidade conhecida (é comum admitir-se que os tempos de atendimento seguem uma distribuição exponencial negativa) de média Ta constante. a disciplina da fila é FIFO. Ao contrário entretanto do que foi mostrado em 2.1.1, não pode ocorrer o caso de o fluxo médio de chegadas λ ser temporariamente maior que o fluxo médio de atendimentos µ, com.µ= 1 T a, pois se λ e µ devem ser constantes no período t de análise do fenômeno; a condição ρ λ implica em fila infinita. µ Para simular uma fila estocástica e mostrar graficamente o que ocorre, recorremos a uma tabela de números aleatórios 5 e escolhemos 50 números entre 1 e 99 para os intervalos entre chegadas sucessivas, e 50 números diferentes entre 1 e 99 para os tempos de atendimento correspondentes. Mediante a função de transformação t=e(x) ln(r), com E(x)=tempo médio entre eventos, e r um número randômico retirado da tabela, essas distribuições de tempo foram transformadas em distribuições exponenciais negativas para que a nossa simulação corresponda ao modelo tradicional da fila com chegadas Poissonianas e atendimento exponencial, e um canal de atendimento. Na simulação apresentada na Figura 2.8 utilizou-se E(x) =1 para a geração das chegadas e E(x) = 1,1 para os atendimentos, de forma a garantir a condição de ρ < 1. No caso desses 50 eventos, que obviamente não satisfazem a condição de t, mas satisfazem às outras condições críticas, pode-se observar alguns resultados interessantes: 5 utilizamos a tabela 6 do apêndice de Meyer (1983).

19 27 da ajustagem de uma reta através das observações de intervalos entre chegadas sucessivas (λ = cte) através da técnica de mínimos quadrados resulta o valor λ aproximadamente igual a 1 (0,96); da ajustagem de uma reta através das observações de instantes de início de atendimento resulta um valor de µ aproximadamente igual a 1.1 (1.06); as retas E(t) e S(t) são praticamente paralelas (o não paralelismo deve-se ao comprimento do período de simulação << ) e o intervalo entre elas corresponde a T a = 1 / µ. as oscilações em torno da média, neste caso de um único canal de atendimento em que o índice de congestionamento ρ 1,0, são relativamente grandes. Mesmo assim, nota-se que para um intervalo de tempo de 50 atendimentos, ou seja, aproximadamente 50 Ta,a fila máxima, apesar de relativamente grande em alguns períodos, é finita. 50 Fluxo acumulado Chegada ao sistema Início do atendimento Fim do atendimento Tempo Figura 2.8: Representação gráfica de uma fila estocástica

20 28 Não é objeto deste texto reproduzir o desenvolvimento teórico dos modelos analíticos de filas estocásticas, assunto este muito bem apresentado em vários textos clássicos sobre o assunto 6, mas apresentamos a seguir as formulações das principais medidas de mérito, para efeito de comparação dos resultados teoricamente esperados com os resultados obtidos da nossa simulação gráfica. probabilidade de zero elementos no sistema probabilidade de n elementos no sistema P P o n = 1 numero médio de elementos no sistema =1- ρ n ( ρ) ρ numero médio de elementos na fila F = 2 ρ e lembrando que F = λ T e A = λ Ts, f tempo médio de espera na fila ρ A = (1- ρ) (1- ρ) tempo médio de espera no sistema T 1 = s ((1- ρ) µ ) T ρ = f ((1- ρ) µ ) Nota-se dessas formulações que o tempo de espera tende a infinito quando ρ tende a 1, o que não se confirma na nossa simulação com período finito. 6 ver por exemplo Novaes(1975) cap 5 ou Hillier e Lieberman(1988) cap 10.

21 29 Em outras palavras, o modelo analítico só tende a resultados numericamente corretos se é válida a hipótese de fluxo estacionário para um grande número de ocorrências do fenômeno em observação. Esse resultado tem interesse prático para o analista de um problema de filas em transportes, pois é muito comum o fenômeno observado ter características nitidamente estocásticas, mas sua duração ser finita, e não gerar um número muito grande de eventos durante o período em que a fila é efetivamente um problema. Nesse caso a utilização do modelo analítico tende a conduzir a medidas de comprimento de fila e tempo de espera maiores do que as que seriam observadas na prática. Por outro lado podemos ter um problema prático que satisfaz razoavelmente bem essa condição crítica e onde esperas custam muito caro (e.g. acesso de navios a um porto, chegadas de aviões a uma pista de pouso). Nesse caso pode ser necessário que se avalie não só medidas médias da fila, mas também a probabilidade de que um elemento que chega à fila não espere mais do que um determinado tempo máximo praticamente aceitável. Este é o caso em que uma estimativa a favor da segurança é muito desejável, e se utilizarmos a formulação P ( T f T f max ) =1- n 1 µ n=1 P n m= 0 ( T f max ) m m! e ( -µ T f max ) o nosso erro a favor da segurança será tanto menor quanto maior for o número de eventos que ocorrem no período em que é válida a condição de fluxo estacionário. Um outro aspecto com o qual um analista de filas se confronta comumente é que a distribuição de probabilidades dos tempos de atendimento e/ou dos tempos entre chegadas sucessivas, não segue a distribuição exponencial negativa associada ao processo de geração e extinção que deu origem à formulação teórica do modelo analítico. A pergunta que surge naturalmente é: como e quanto esse fato influencia as medidas de mérito do sistema?

22 30 Esse problema foi analisado por muitos pesquisadores e atualmente existem soluções que foram tabeladas 7 e nos permitem fazer uma análise de sensibilidade. A Figura 2.9 mostra uma generalização dos valores esperados de fila média F para filas estocásticas do tipo M/M/1, M/D/1 e D/M/1 7 com t ->. As duas primeiras representam dois extremos teóricos de fila média F em função da distribuição de probabilidades dos tempos de atendimento para a distribuição de chegadas poissoniana. A primeira e a terceira representam dois extremos teóricos de F em função da distribuição de probabilidades dos tempos entre chegadas sucessivas para a distribuição de atendimento exponencial. Da Figura 2.9 é possível observar-se alguns resultados interessantes: nota-se que, para a variação da distribuição dos tempos de atendimento, os resultados de F ficam compreendidos entre dois extremos, com FM / FD = 2 qualquer que seja ρ. Esse resultado pode, para esse caso simples de fila monocanal, ser obtido também a partir da análise da equação de Pollaczek - Khintchine 8 desenvolvida para o modelo M/G/1, que é a seguinte: F = 2 ρ (1+ C 2(1- ρ) 2 v (T a )) com C (T) = V var [ Ta ] [ ] E T a a qual conduz a F M 2 ρ =, pois CV (Ta ) = 1 para o modelo M/M/1, 1 ρ e a F D = ρ 2 2 ( 1 ρ), pois C V (Ta ) = 0 para o modelo M/D/1. 7 ver Hillier e Yu (1981) 8 ver Novaes (1975), cap.3

23 31 para a variação da distribuição dos tempos entre chegadas sucessivas observa-se que F F M D varia em função de ρ, sendo que para ρ>0,9 os valores de fila média F tendem ao valor encontrado no modelo M/D/C, e para ρ=0,5, = 4. D F conclui-se portanto que, nos casos em que a estocasticidade dos processos de chegada e de atendimento é relevante para a estimativa de medidas de mérito do sistema em análise, e o sistema operar com índices de congestionamento ρ da ordem de 0,4 a 0,7, existe uma influência ponderável do coeficiente de variação das distribuições desses processos sobre as medidas médias de desempenho da fila monocanal. M 100,0 Fila M/M/1 Fila M/D/1 Fila D/M/1 Valores de "Fila Média" 10,0 1,0 0,1 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Valores de ρ Figura 2.9: Sensibilidade da fila monocanal à variação do processo de atendimento e de chegadas

24 32 Apesar da grande contribuição dada por Hillier e Yu com a publicação de "Queueing Tables and Graphs", resultados numéricos para a enorme quantidade de combinações possíveis de modelos intermediários aos casos extremos apresentados não existem à disposição dos planejadores, os quais normalmente recorrem a "soluções de engenharia", interpolando entre os valores extremos. Como veremos adiante, esse procedimento de gerar de forma rápida, estimativas de medidas de desempenho, se justifica pelo fato de fenômenos reais não satisfazerem normalmente a condição de fluxo estacionário, e o nível de conhecimento sobre os parâmetros λ e µ ser via de regra tão impreciso, que um excesso de refinamento na determinação da distribuição dos processos de chegada e de atendimento, não conduz necessariamente a melhores estimativas. Os resultados da Figura 2.9, quando confrontados com a simulação gráfica da Figura 2.8 (na qual ρ 1.0), fornecem uma clara ilustração das limitações dos resultados do modelo analítico quando utilizado para a análise de um fenômeno onde a hipótese de fluxo estacionário não é válida. Nota-se que, para uma condição próxima da saturação com ρ=1, a fila máxima foi da ordem de 10 elementos no período de simulação, enquanto o modelo analítico implica em fila infinita para essa mesma condição. Da análise desses casos mais simples de filas com apenas um canal de atendimento, infere-se que a técnica de modelagem de um fenômeno real requer do analista, em primeiro lugar, um amplo e profundo conhecimento do processo que gera a fila, e em segundo, uma clara definição do que se pretende medir, e qual o nível de precisão necessário nessa medição. Quando modelos gráficos, analíticos, ou valores previamente tabelados não satisfazem os requisitos considerados necessários para uma tomada de decisão, então justifica-se o maior investimento na montagem de um modelo de simulação digital.

25 A Fila com C Canais de Atendimento em Paralelo A Fila Determinística Uma vez vistos os casos mais simples relativos a um canal de atendimento, procuraremos agora extender os nossos modelos analógicos para os casos aparentemente mais complicados de uma fila com múltiplos canais de atendimento. Nesse primeiro caso o nosso modelo tem o aspecto físico mostrado na Figura 2.10 ou seja, forma-se uma fila única e o primeiro elemento na fila entra no primeiro canal que ficar livre, no caso o canal 1. Apesar de vários sistemas reais operarem de acordo com essa premissa de fila única, muitos não satisfazem essa condição (e.g. postos de pedágio, caixas num supermercado). Essa característica entretanto não invalida os resultados do nosso modelo teórico para a maioria dos casos práticos, pois tende a existir uma compensação, com os usuários procurando os canais onde a expectativa de espera é menor (fila mais curta). Essa forma operacional não garante o processo FIFO, mas a filas médias e máximas tendem a ser equivalentes ao modelo FIFO (ver item 2.1). NOTA: no nosso modelo admitimos que o tempo decorrido entre a liberação do canal 1 até o instante que ele é ocupado pelo cliente i+1 da fila é desprezível Figura 2.10: Modelo analógico de uma fila de fluxo discreto com C canais de atendimento paralelos

26 34 Na forma ilustrada pelo modelo analógico da Figura 2.10, a fila tem disciplina FIFO e valem portanto também inferências quanto a tempo máximo de espera. Se o nosso fenômeno real é determinístico, ou pode ser representado pelo modelo determinístico, então tempos de atendimento T A1 = T A2 = T A3 =... = TAC = valor fixo qualquer, e os C canais de atendimento podem, sem perda de generalidade, serem representados por um único canal, onde é possível processar até C elementos no período T A. Como no caso 2.1, só existirá fila se houver temporariamente um fluxo de chegada maior que o fluxo de atendimento. No caso de fluxo contínuo a analogia é até mais simples pois pode-se imaginar um duto de saída cuja vazão é C vezes a vazão k de um canal único, ou seja, para efeito de medidas de mérito sobre o acúmulo na caixa d'agua é irrelevante se temos C tubos de saída de capacidade k ou um tubo com capacidade kc. em 2.1. Portanto esse modelo é igual ao modelo de um canal de atendimento descrito A Fila Estocástica Nesse caso admitiremos, como no item 2.2, que a fila é formada apenas devido à estocasticidade do processo e que são válidas as hipóteses do conceito tradicional de "teoria das filas". Para um número pequeno de canais, é possível simular a fila graficamente utilizando o mesmo expediente do item 2.2, só que gerando, além dos intervalos entre chegadas sucessivas, tempos aleatórios de atendimento para cada um dos canais efetivamente em uso.

27 35 A Figura 2.11 mostra uma simulação dessa natureza para um sistema com 3 canais de atendimento paralelos e admitindo-se fila do tipo M/M/3. Vê-se que continuam válidos os princípios definidos anteriormente, só que, para se descrever o fenômeno matematicamente, este caso é bem mais complexo. As primeiras formulações analíticas desse problema datam dos trabalhos de Erlang (1909) para o caso M/M/C. O livro de Novaes (1975) apresenta, na língua portuguesa, uma análise matemática abrangente do modelo M/M/C e alguns resultados até então obtidos para filas GI/G/C. Mais recentemente Hillier e Yu (1981) Tabelaram as medidas de mérito para as filas E / E / C M K com M variando de 1 a e K variando de 1 a. Resultados analíticos dos casos extremos M/M/C e M/D/C já existem há mais de duas décadas e foram apresentados na literatura clássica sôbre o assunto 3. Para as filas do tipo GI/G/C houve considerável dificuldade para a aplicação do método de cadeia de Markov imersa. Detalhes matemáticos da forma de solução do caso geral E M / E K / C são descritos por Yu (1977), mas vários outros autores contribuiram com passos intermediários de solução durante mais de uma década de pesquisas, incluindo-se: Mayhug e McCormick (1968), Heffer (1969), Mayhug(1970), Hillier e Lo (1971). A transformação desses resultados teóricos em procedimentos computacionais, exigiu por sua vez um considerável grau de sofisticação em análise numérica, estando o sucesso relativamente recente, associado ao esforço de vários cientistas e à enorme evolução dos meios computacionais disponíveis. Detalhes desse desenvolvimento são apresentados em Hillier e Lo (1971) e Avis (1977). 3 ver Prabhu(1965) - cap 1.

28 Fluxo acumulado chegada ao sistema atendimento canal 1 atendimento canal 2 atendimento canal Tempo Figura 2.11: Representação gráfica de uma fila estocástica com 3 canais de atendimento em paralelo No caso computacionalmente mais simples, o do modelo M/M/C, desenvolvido a partir do processo de geração e extinção, obtem-se as seguintes formulações para as principais medidas de mérito da fila com múltiplos canais de atendimento em paralelo :

29 37 probabilidade de zero elementos no sistema P 0 = C-1 j=0 ( C ρ ) j! j 1 + probabilidade de n elementos no sistema número médio de elementos na fila P n P n n P0 = ( ρ C ). para 1 n C n! n P0 = ( ρ C ) para n > C ( n-c ) n! C c ( C ρ ) C!(1- ρ ) P0 ρ ( ρ C ) F = 2 (1- ρ ).C! número médio de elementos no sistema A = F + ρ C probabilidade de o número máximo de elementos no sistema não exceder um C determinado valor N max N max P ( n ) = tempo médio de espera na fila tempo médio no sistema N max P n T f = F λ T = A s λ probabilidade de o tempo de fila ser menor ou igual a um valor n= 1 T fmax P ( T f T f max ) = 1 P 0 ( ρ.c ) (1 ρ ) C! C e ( λ C µ ). Tfmax M / E K Nos casos computacionalmente complexos dos modelos / C, E M / M / C e E M / E K / C ( 2 K ;2 M ), a melhor ferramenta disponível são as Tabelas e gráficos apresentados em Hillier e Yu (1981), dos quais reproduzimos alguns no Anexo 2.

30 38 Da mesma forma que no item entretanto, antes de dedicar-se a um esforço de detalhamento da modelagem, é de interesse para o técnico envolvido na solução de um problema real, uma análise de sensibilidade das medidas de desempenho da fila com referência às variações das características do processo de chegadas e de atendimento. A Figura 2.12, à semelhança da Figura 2.9, apresenta os valores de fila média F para os casos extremos de distribuição dos tempos de atendimento, admitindo a chegada poissoniana, e C variando entre 1 e 15. Na Figura 2.13 são apresentados as curvas de F em função de ρ para os casos extremos da distribuição dos tempos entre chegadas sucessivas, admitindo-se atendimento exponencial e o mesmo campo de variação de C. Nota-se no comportamento das curvas de F em função de ρ apresentadas na Figura 2.12, uma grande semelhança de comportamento da medida de mérito em função da variação das distribuições de probabilidades, com o comportamento apresentado na Figura 2.9 para o caso mais simples de fila com apenas um canal de atendimento. De fato, se analisarmos os valores numéricos Tabelados por Hillier e Yu, apresentados no Anexo 2, veremos que para C = 15 e ρ =.99 a razão entre as filas médias obtidas para os modelos M/M/15 e M/D/15 é igual a 2.0, valor este igual ao encontrado para a fila com apenas um canal de atendimento. Para valores menores de ρ a razão entretanto diminui, observando-se valores da ordem de 1.8 no caso de ρ =.80 e C = 15, e 1.9 no caso de ρ =.80 e C = 5.

31 39 1,0E+02 Fila M/M/2 Fila M/M/5 Fila M/M/15 Fila M/D/2 Fila M/D/5 Fila M/D/15 1,0E+01 Valores de Fila Média 1,0E+00 1,0E-01 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 Valores de ρ Figura 2.12: Sensibilidade da fila multicanal à variação do processo estocástico dos tempos de atendimento Também a variação entre os modelos M/M/C e D/M/C segue um padrão de comportamento muito semelhante ao observado para o modelo de um canal de atendimento, observando-se razões de F M /F D variando entre 3.0 e 2.0 para valores de ρ tais que a fila tenha significado físico (F 1). Portanto valem para o modelo multicanal as mesmas conclusões qualitativas apresentadas no item 2.2, ou seja :

32 40 nos casos em que a estocasticidade dos processos de chegada e de atendimento é relevante para a estimativa de medidas de mérito do sistema em análise, existe uma influência ponderável do coeficiente de variação das distribuições desses processos sôbre essas medidas. apesar da grande contribuição dada por Hillier e Yu com as Tabelas e os gráficos das filas M/E K /C, E M /M/C e E M /E K /C, não existem facilmente acessíveis aos potenciais usuários, resultados numéricos para a enorme quantidade de combinações possíveis, mas apenas algumas Tabelas, que servem de referência para "soluções de engenharia". como fenômenos reais não satisfazem normalmente a condição de fluxo estacionário, e o nível de conhecimento sôbre os parâmetros λ e µ é via de regra impreciso, um excesso de refinamento na determinação das distribuições dos processos de chegada e dos tempos de atendimento, normalmente não se justifica. quando um elevado nível de precisão é requerido, recorre-se a pacotes de simulação digital tais como o GPSS, por exemplo.

33 41 1,0E+02 Fila M/M/2 Fila M/M/5 Fila M/M/15 Fila D/M/2 Fila D/M/5 Fila D/M/15 1,0E+01 Valores de Fila Média 1,0E+00 1,0E-01 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 Valores de ρ Figura 2.13: Sensibilidade da fila multicanal à variação do processo estocástico dos tempos entre chegadas sucessivas A Fila Estocástica que Não Satisfaz à Condição de Fluxo Estacionário Esse, que é o caso mais comum de formação de filas nos transportes e em vários sistemas do nosso cotidiano (e.g. filas de bancos em períodos de pico), é infelizmente o que oferece maior dificuldade para um tratamento analítico preciso.

34 42 Quando C é pequeno, e a natureza discreta dos elementos no sistema é relevante (filas devem ser pequenas), o atual estágio de desenvolvimento dos modelos analíticos não nos oferece nenhum auxílio, sendo que nesses casos a solução do problema passa por métodos de simulação digital. Por outro lado, nessas condições críticas, é comum que, para garantir que a fila fique pequena, se considere que condições de fluxo estacionário são válidas durante o período de pico e se calculam medidas de mérito que conduzem implicitamente a resultados superestimados (a favor da segurança). Um conjunto de problemas comum entretanto, é aquele de sistemas onde um número finito de elementos irá supersaturar o sistema durante um intervalo T conhecido, e onde, por razões de custo, é inviável a operação do sistema em uma condição de ρ<1. Nesse caso, onde a aproximação por um contínuo (F>>1) é em geral válida, mas onde nos sentimos inseguros de admitir a condição simples de C(t) e S(t) serem determinísticos, interessa ao menos uma estimativa da variação da fila em torno de valores médios obtidos a partir do modelo determinístico. Quando o número de elementos que serão processados é finito, como é o caso por exemplo de: passageiros de um voo que devem ser processados nos balcões de despacho, caminhões de uma empresa que devem ser atendidos durante um período de pico de carga e descarga, clientes de um banco durante um período de pico; então valem condições particulares que serão a seguir discutidas.

35 43 Suponhamos, por exemplo, que uma companhia aérea sabe que n passageiros são esperados para embarcar em um vôo programado qualquer. Apesar de alguns passageiros sempre chegarem cedo e outros sempre chegarem tarde para o embarque, e eles próprios conhecerem os seus hábitos, para a companhia aérea, ou para a administração do aeroporto, esses hábitos são em princípio aleatórios. Admitamos que de amostras anteriores de como os passageiros chegam ao aeroporto para se apresentarem nos balcões de despachos de um vôo específico, conseguimos determinar uma função distribuição empírica dos instantes de chegada em relação a um horário programado de partida. F C (t) = P{instante de chegada de um passageiro t} Suponhamos também que cada passageiro viaja individualmente e não chega ao aeroporto em um grupo de passageiros (e.g. ônibus, trem). Se numerarmos esses passageiros em uma ordem arbitrária (por exemplo, por nome), poderemos assumir que eles são eventos estatisticamente independentes e identicamente distribuídos, e portanto, a probabilidade P{passageiro 1 chegar antes de t 1, passageiro 2 chegar antes de t 2,..., passageiro n chegar antes de t n } = F C (t 1 ) F C (t 2 )... F C (t n ) A forma original de numerar os passageiros é irrelevante para o processo de formação de fila, pois não estamos interessados em quem chegou até o instante t, mas apenas na probabilidade de k passageiros quaisquer terem chegado até o instante t, ou seja, { C( t) k} P =. A medição deste fenômeno é um exercício clássico de teoria das probabilidades. Se imaginarmos a chegada até o instante t como um sucesso e a chegada após o instante t como um fracasso, com probabilidades F C (t) e ( F (t)) respectivamente, então a nossa questão central de estimar { C( t) k} 1 C, P =, resume-se ao cálculo da probabilidade de ter k sucessos em n tentativas, a qual é dada por:

36 44 P { C(t) = k} = n! k! ( n k)! k n k ( F (t)) ( 1 F (t ) C C ) ou seja, uma distribuição binomial com média E[C(t)] = n F C (t) 2 e variância σ [C(t)] = n F (t) (1- F (t) ) C C Esse resultado é muito interessante, pois se tomarmos uma unidade de desvio padrão como medida de dispersão no entorno da curva média E[C(t)], vemos que esse desvio é proporcional a n 1/2 e assume valor zero para F C (t) = 0 (nenhum passageiro chegou), e para F C (t) = 1 (todos os passageiros chegaram). Para uma distribuição F C (t) conhecida, é possível portanto determinar um gráfico como o apresentado na Figura 2.14, onde a curva sólida representa E[C(t)] e as curvas interrompidas representam E[ C(t) ] σ[ C(t) ] ±. Neste caso utilizou-se N=100, pois dessa forma E[ C(t)] pode ser tomada como a própria F C (t) em percentagem, e ser multiplicada por um N qualquer correspondente ao número efetivo de passageiros, admitindo-se que F C (t) não depende da quantidade de passageiros que irão embarcar, mas sim de outros fatores que introduzem aleatoriedade no processo (e.g. dificuldades de acesso dos passageiros ao aeroporto em função de tráfego no sistema viário). A interpretação das curvas da Figura 2.14 é a de que se espera que na maioria dos casos C(t) deva situar-se entre os limites estabelecidos pelas curvas pontilhadas de E[ C(t) ] σ[ C(t) ] ±.

37 45 A partir desse resultado é possível portanto obter-se uma estimativa do efeito de superposição da estocasticidade do processo de chegadas, à fila formada por supersaturação temporária, imposta muitas vezes pelas próprias condições operacionais do sistema, que no caso dos balcões de despacho de passageiros por exemplo, estão via de regra associadas a garantir um fluxo de atendimento tal que todos os passageiros possam ser atendidos antes da partida programada do vôo E[C(t)] Fluxo acumulado E[C(t)] + σ[c(t)] E[C(t)] σ[c(t)] Tempo Figura 2.14: Campo de variação de C (t) para chegadas seguindo uma distribuição binomial (fonte:adaptado de Newell(1982) Fig. 4.1)

38 Filas Estocásticas com C Grande A literatura que descreve técnicas de análise de problemas que caem nessa categoria é extensa, pois foi justamente esse o caso originalmente analisado por Erlang no contexto de serviços de telefonia. Em particular o caso de C tem grande destaque, pois nessas condições pode-se demonstrar que para a fila M/M/ a distribuição de probabilidade dos elementos no sistema tem a forma P n 1 λ = e n! µ ou seja, segue uma distribuição de Poisson 4. n λ µ No nosso estudo introdutório entretanto, estamos interessados apenas nos principais indicativos de como esses sistemas se comportam em termos reais, e sua sensibilidade em relação à variação dos parâmetros dos processos de chegada e de atendimento. A Tabela 2.1 apresenta comprimentos médios F para valores de C relativamente grandes (C 10) e nos da algumas respostas para o comportamento de filas nessas condições. Nota-se inicialmente que o número médio de elementos no sistema só é maior do que o número de canais C para valores relativamente altos de ρ. 4 para uma síntese dos métodos de análise matemática de filas com C grande ver Newell (1982) item 5.5

39 47 Mesmo nessas condições, tomando F = λ T F e ρ = λ µ C, tem-se T F F Ta =, ou seja, se os tempos de atendimento médio T a forem pequenos, os ρ C tempos de permanência na fila serão relativamente pequenos, mesmo para F aparentemente elevados. Tabela 2.1: Variação de F em função de ρ para valores de C grandes VALORES DE F Tipo de fila M/M/C M/D/C D/M/C ρ C (fonte:tabelas de Hillier and Yu (1981)) Assim sendo, fica relativamente fácil estimar, com razoável nível de precisão, a quantidade de canais de atendimento em paralelo necessários para alguns tipos de instalações de transporte, onde deve haver um balanceamento de fluxos de chegadas e fluxos de atendimento e onde a condição de C grande é válida. É o caso por exemplo de um posto de pedágio, onde se deseja dimensionar, na fase de projeto, o número de canais de atendimento que deverão ser construídos para que o fluxo máximo de atendimento no pedágio seja compatível com a capacidade máxima da via em períodos de pico de tráfego com "razoável" nível de serviço. Da Tabela 2.1 observa-se que a partir de 10 canais, qualquer valor de ρ<1 já garante esse nível "razoável", pois se tivermos uma fila M/M/C (condição mais crítica) e distribuirmos os veículos por 10 canais, a fila média máxima que ocorreria para valores de ρ da ordem de 0.99, seria de aproximadamente 10 carros em fila por canal, o que para um atendimento médio de 15 s/veículo implicaria em esperas da ordem de 2.5 min.

40 48 Nota-se que, a uma pequena redução do valor de ρ, correspondem desempenhos consideravelmente melhores, ou seja, se através de treinamento adequado dos caixas for possível reduzir o tempo médio de atendimento em 10% (passar de 15s para 13.5s) a fila tende praticamente a desaparecer. Como estimativas futuras tanto da demanda de tráfego em períodos de pico, como de tempos médios de atendimento são imprecisas, a simples técnica de balanceamento de fluxos conduz a estimativas bastante adequadas do número de canais necessários. Nota-se também nesse tipo de problema que, apesar de ocorrer uma variação do valor numérico de F do modelo M/M/C para os modelos M/D/C ou D/M/C, em termos de aplicabilidade prática, qualquer refinamento é desnecessário, a menos que haja um conhecimento extremamente preciso dos valores esperados de λ e µ. A situação descrita é comum a muitos problemas de engenharia em que usamos teoria das filas para planejamento e projeto de instalações que deverão atender a condições operacionais sôbre as quais se tem, no momento de elaborar o projeto, informações limitadas. Se por exemplo, por alguma razão (e.g. estabelecimento de uma tarifa de pedágio que exige um trabalho adicional de fazer troco) o tempo médio de atendimento futuro for maior que o utilizado no projeto, o sistema poderá entrar em colapso, por mais elaborado que tenha sido o modelo de filas utilizado. 2.3 A Fila com M Canais de Atendimento em Série A Fila Determinística Os problemas de filas em série são bastante comuns nos transportes onde um elemento é processado em m canais sucessivos (e.g. uma série de semáforos ao longo de uma avenida).

41 49 Um modelo analógico que representa bem esse fenômeno é o de um brinquedo de criança constituído de canaletas de madeira onde correm bolinhas de vidro conforme mostra a Figura 2.15., no qual se adapta um sistema de controle do fluxo de bolinhas em cada extremo. O modelo nos mostra claramente que o fluxo de chegada ao canal 2 está condicionado pelo processo de atendimento no canal 1 e que o fluxo de chegada no canal 3 está condicionado pelo processo de atendimento no canal 2, e assim por diante. Figura 2.15: Modelo analógico de filas em série com fluxo de elementos discretos As medidas de mérito de um sistema como este podem ser obtidas a partir de um gráfico de fluxo acumulado de eventos como o da Figura 2.16, onde se admitiu que o tempo que uma bolinha leva para deslocar-se da saída do canal i até a fila i+1 é desprezível frente ao tempo de atendimento mais tempo na fila i+1.

42 50 Em um sistema de filas em série é comum que se queira avaliar não só o desempenho das filas de cada um dos componentes do sistema, mas também medidas do sistema como um todo, ou seja, tempo máximo de permanência no sistema, número máximo acumulado no sistema, ou tempo médio de permanência no sistema. É o caso por exemplo de avaliar, quanto tempo uma pessoa que entra em um hospital para um "check-up" geral, levará em média para percorrer todas as clínicas, ou quanto tempo uma peça que entra em um processo de produção levará para ficar pronta Fluxo Acumulado (N) 10 5 chegada ao sistema entrada C1 saída C1 = entrada C2 saída C2 entrada C3 saída C3 = saída do sistema Tempo Figura 2.16: Representação gráfica de uma fila determinística de eventos discretos com 3 canais em série

43 51 No caso de fluxo de um fluido, um modelo analógico de representação é o de uma série de caixas d'água interligadas em série conforme ilustrado na Figura chegada ao sistema acumulador 1 acumulador 2 acumulador 3 saída do sistema Figura 2.17: Modelo analógico de filas em série de um fluido Neste caso, um gráfico do fluido acumulado em cada uma das caixas poderia ter o aspecto apresentado na Figura Na Figura 2.18 os valores F 1, F 2, F 3 e F 4 representam as filas ou acúmulos nos reservatórios; nos reservatórios 2, 3 e 4 admitiu-se que os elementos entram na fila seguinte no instante em que são liberados no canal de atendimento anterior, e que o seu atendimento termina no instante em que saem da fila, ou seja, saída da fila = saída do sistema.

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