APOSTILA DE RACIOCÍNIO LÓGICO

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1 APOSTILA DE RACIOCÍNIO LÓGICO (NÍVEL MÉDIO-TRIBUNAIS-FCC-VUNESP-CESPE-CESGRANRIO) NOTAS DAS AULAS DO PROFESSOR JOSELIAS Dados do professor Joselias S. da Silva. Joselias é Bacharel em Estatística, formado pela Escola Nacional de Ciências Estatísticas(ENCE). Foi Diretor de Orçamentos do Tribunal Regional Federal(TRF- 3ªRegião) e atualmente é professor em universidades paulistas e cursinhos preparatórios para concursos públicos. Livro de sua autoria: É autor do livro Matemática Para Concursos Públicos com Teoria e 500 Questões Resolvidas e Comentadas-Editora Policon. O livro pode ser adquirido pela Internet na Livraria dos Concurseiros através do site Dúvidas e convite para aulas podem ser feitas pelo site: ou ou VEJA O HD VIRTUAL NO ENDEREÇO ABAIXO: Entre nele e digite a senha joselias. Outro endereço onde você pode baixar vários materiais é: Boa Sorte. Joselias. ESTE MATERIAL APRESENTA AS NOTAS DAS AULAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO PARA OS CONCURSOS DE NÍVEL MÉDIO DO PROFESSOR JOSELIAS. O MATERIAL É UM RASCUNHO E ESTÁ EM FASE DE REVISÃO. É PROIBIDA A VENDA.

2 01) Três dados idênticos, nos quais a soma das faces opostas é 7, são colocados em uma mesa, conforme a figura abaixo, de modo que cada par de faces coladas tenha o mesmo número. Sabendo-se que a soma das faces visíveis é 36, qual a soma das faces, não visíveis, que estão em contato com a mesa? a) 8 b) 11 c) 13 d) 15 e) 18 Seja x, y, z os números das faces superiores. Então, temos: x + y + z = 36 x + y + z = x + y + z = 8 Logo,a soma das faces em contato com a superfície será: 7 x + 7 y + 7 z = 21 (x + y + z) = 21 8 = 13 Resposta: C 02) (FCC) A figura abaixo mostra três dados iguais. O número da face que é a base inferior da coluna de dados: a) é 1 b) é 2 c) é 4 d) é 6 e) pode ser 1 ou 4 Observe que podemos concluir que os pontos das faces do dado são: Logo o ponto da face que é base inferior da coluna de dados é 4. Resposta: C 03) Um dado é lançado 4 vezes. Sabendo-se que a soma das faces superiores é 16; qual a soma das faces inferiores? Obs.: Em todo dado a soma das faces opostas é 7. a) 12 b 13 c) 15

3 d) 21 e) 28 Sejam x, y, z e w os números das faces superiores. Daí x + y + z + w = 16. Logo as faces opostas são tais que: 7-x + 7-y + 7-z + 7-w = 28 - (x + y + z + w) = = 12 Resposta A 04) Um jogador joga um dado, de forma que ele enxerga o total de pontos da face superior e da face imediatamente a sua frente. Se ele considera o total de pontos nestas duas faces, qual das opções não contém um resultado impossível? a) 2, 3, 5 b) 3, 5, 7 c) 8, 9, 10 d) 7, 8, 11 e) 8, 11, 12 É evidente que nunca em um dado a soma de duas faces adjacentes pode ser 2, 7 ou 12. Resposta C 05) (FCC) Um certo número de dados de seis faces formam uma pilha única sobre uma mesa. Sabe-se que: - os pontos de duas faces opostas de um dado sempre totalizam 7; - a face do dado da pilha que está em contato com a mesa é a do número 6; - os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais. Sendo verdadeiras as três afirmações acima, na pilha, a face do dado da pilha mais afastada da mesa a) necessariamente tem um número de pontos ímpar. b) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for par. c) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for ímpar. d) tem 1 ponto, se o número de dados da pilha for par. e) necessariamente tem um número par de pontos. Observe que: Se temos um dado: 1 6 Se temos dois dados: Resposta 1

4 6 1 Resposta Se temos três dados: Logo: - Se o número de dados é ímpar, a face do dado da pilha mais afastado é 1. - Se o número de dados é par, a face do dado da pilha mais afastado é 6. Resposta: B 06) (FCC) Nos dados bem construídos, a soma dos pontos das faces opostas é sempre igual a 7. Um dado bem construído foi lançado três vezes. Se o produto dos pontos obtidos foi 36, o produto dos pontos das faces opostas pode ser a) 48 b) 30 c) 28 d) 24 e) 16

5 Resultados possíveis: 1) 1, 6, 6==> Faces opostas: 6, 1, 1 => Produto = 6 2) 2, 3, 6==> Faces opostas: 5, 4, 1 => Produto = 20 3) 3, 3, 4==> Faces opostas: 4, 4, 3 => Produto = 48 Resposta: A 07) Movendo alguns palitos de fósforo da figura, é possível transformá-la em uma afirmação verdadeira: O menor número de palitos de fósforo que devem ser movidos para fazer tal transformação é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Logo, o menor número de palitos que deve ser movido é 1. Resposta: A 08) (FCC) A figura abaixo mostra uma pilha de três dados idênticos. O número da face do dado inferior que está em contato com o dado intermediário a) certamente é 1. b) certamente é 2.

6 c) certamente é 5. d) pode ser 1 e pode ser 2. e) pode ser 5 e pode ser 6. Observe que podemos concluir que os pontos das faces do dado são: Logo o número da face do dado inferior que está em contato com o dado intermediário é 2. Resposta: B 09) (FCC) Considere que o cubo mostrado na figura foi montado a partir de pequenos cubos avulsos, todos de mesmo tamanho. O número de cubos que podem ser visualizados nessa figura é a) 9 b) 18 c) 27 d))36 e) 48 Temos 27 cubinhos. Temos 8 cubos formados com 4 cubinhos cada. Temos 1 cubo formado com os 27 cubinhos. Logo, podemos visualizar: = 36 cubos Resposta: D 10) (FCC) Uma pessoa pretende montar uma caixa de papelão, totalmente fechada, como a mostrada na figura abaixo.

7 Qual das seguintes planificações lhe permitirá montar essa caixa? Observe que na planificação temos 10 quadrados. Logo, a opção correta é C. Resposta: C 11) (FCC) Na sucessão de triângulos seguintes, o número no interior de cada um é resultado de operações efetuadas com os números que se encontram em sua parte externa. Se a seqüência de operações é a mesma para os números dos três triângulos, então o número X é a) 13 b) 10 c) 9 d)) 7 e) = = 12 x = = = Logo, x = 7. Resposta: D 12) Assinale a opção correta:

8 A figura é equivalente a: = = 23 3 Resposta: D 13) (UFRJ) Os dados são usados para sortear números de 1 a 6. Sempre que um dado é jogado, o resultado do sorteio é o número que aparece na face virada para cima. Todo dado é construído de forma que a soma dos números colocados em faces opostas seja sempre 7. Um dado foi jogado duas vezes com resultados diferentes. Em ambas as vezes a soma das cinco faces visíveis foi um número primo. Quais os números sorteados? a) 3 e 5 b) 3 e 4 c) 1 e 5 d) 1 e 3 e) 1 e 6 Seja x o ponto da face superior. x Então a soma das faces visíveis é x = x + 14.Isto é: Resultado Soma das faces visíveis

9 Como em ambas as vezes a soma das faces visíveis foi um número primo, temos que x = 3 ou x =5. Resposta: A 14) Em um dado comum a soma dos pontos sobre faces opostas é sempre 7. Beatriz construiu uma torre com 4 dados comuns iguais, colando as faces como mostrado na figura. Qual é o menor número de pontos que Beatriz pode obter somando todos os pontos das dezoito faces da superfície da torre? a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59 Seja x o ponto da face superior do primeiro dado. Seja y o ponto da face inferior do último dado Então a soma das dezoito faces é x + y = x + y Portanto o menor valor de x + y + 56 ocorrerá quando x = y = 1, e será = 58 pontos. Resposta: D 15) (FCC) Todo dado é construído de forma que a soma das faces opostas é sempre 7. Em um lançamento de três dados ocorreram resultados distintos de forma que o produto das três faces era 36. Sabendo-se que em um dos dados a soma das faces visíveis era um número primo, qual foi o resultado desse dado? a) 1 b) 2

10 c) 3 d) 4 e) 5 O produtos dos resultados dos dados é 36. Logo os resultados possíveis são: 1) 1, 6, 6 2) 2, 3, 6 3) 3, 3, 4 Como os resultados foram distintos eliminamos os casos 1 e 3. Portando os resultados foram 2, 3, 6. Temos então para cada resultado o seguinte: Resultado 2 ==> A soma das faces visíveis é 16. Resultado 3 ==> A soma das faces visíveis é 17. Resultado 6 ==> A soma das faces visíveis é 20. Logo o resultado era 3. Resposta: C 16) (OMRJ) As faces opostas de um dado bem construído somam sempre sete pontos. Um dado percorre um circuito como ilustrado nos dois movimentos feitos. Inicialmente, a face superior é três pontos. Qual será a face superior ao final de percorrer o circuito? Posição inicial Primeiro movimento feito a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Como as faces opostas sempre somam 7, temos que: 1 é oposto a 6. 2 é oposto a 5. 3 é oposto a 4. Então percorrendo o caminho temos, conforme a figura:

11 Portanto a face superior ao final de percorrer o circuito será igual a 6. Resposta: E 17) Se os três cubos abaixo são idênticos, qual a letra da face inferior do cubo do meio? a) a b) b c) c d) d e) e Como os dados são idênticos, temos: Resposta: B 18) Duas pessoas estão sentadas frente a frente e, entre elas há um dado. Cada um vê 3 faces do dado. Uma pessoa vê 9 pontos, a outra 15 pontos. Quantos pontos tem a face na qual está apoiado o dado? a) 1

12 b) 2 c) 3 d) 45 e) 54 Resposta: B x + y + z = 9 x y z = 15 x (y + z) = 15 x x = 15 2 x = 10 x = 5 Logo a face em que está apoiado o dado é 2 19) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos: Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é a) 45 b) 49 c) 51 d) 57 e) 61 Com 1 triângulo temos 3 palitos (2 x 1 + 1) Com 2 triângulo temos 5 palitos (2 x 2 + 1) Com 3 triângulo temos 7 palitos (2 x 3 +1) Com 4 triângulo temos 9 palitos (2 x 4 + 1) Logo, com 25 triângulos teremos: 2 x = = 51 palitos Resposta: C 20) Movendo alguns palitos de fósforo da figura, é possível transformá-la em uma afirmação verdadeira:

13 O menor número de palitos de fósforo que devem ser movidos para fazer tal transformação é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Basta fazer o seguinte movimento: Resposta: A 21) (FCC) Para formar a seguinte seqüência de pedras de dominó, considere que elas foram dispostas sucessivamente e da esquerda para a direita, seguindo um determinado critério. Segundo esse critério, a pedra que deve corresponder àquela que tem os pontos de interrogação é Primeiramente vamos relacionar os pontos do dominó com uma seqüência de números naturais. Veja a seqüência de pontos do dominó: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 6, 5, 4, 3,... Portanto, a parte superior é 3. Para a parte inferior temos: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 6,...

14 Portanto, a parte inferior é 5. Sendo assim, a resposta correta é: Resposta: A 22) (FCC) Observe que com 10 moedas iguais é possível construir um triângulo: Movendo apenas três dessas moedas é possível fazer com que o triângulo acima fique com a posição invertida, ou seja, a base para cima e o vértice oposto para baixo. Para que isso aconteça, as moedas que devem ser movidas são as de números a) 1, 2 e 3 b) 1, 8 e 9 c) 1, 7, e 10 d) 2, 3 e 5 e) 5, 7 e 10 Observe que basta mover as moedas 1, 7 e 10, conforme a figura abaixo: Resposta: C 23) (FCC) Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível transformá-la na figura II:

15 O menor número de palitos de fósforo que devem ser movidos para fazer tal transformação é a) 3 b) 4 c))5 d) 6 e) 7 Basta mover o fundo da casa, isto é, 5 palitos. Resposta: C 24) Movendo alguns palitos de fósforo da figura, é possível transformá-la em uma afirmação verdadeira: O menor número de palitos de fósforo que devem ser movidos para fazer tal transformação é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resposta: A 25) Três dados idênticos, nos quais a soma das faces opostas é 7, são colocados em uma mesa, conforme a figura abaixo, de modo que cada par de faces coladas tenha o mesmo número. Sabendo-se que a soma das faces visíveis é 43, qual a soma das faces, não visíveis, que estão em contato com a mesa?

16 a) 6 b) 8 c) 13 d) 15 e) 21 Seja x, y, z os números das faces superiores. Então, temos: x + y + z = 43 x + y + z = x + y + z = 15 Logo, a doma das faces em contato com a superfície, será: 7 x + 7 y + 7 z = 21 (x + y + z) = = 6 Resposta: A 26) Todo dado é construído de modo que a soma das faces opostas é sempre 7. Um dado é lançado 3 vezes. Sabendo-se que a soma das faces superiores é 10. Qual a soma das faces opostas. a) 10 b) 11 c) 14 d) 20 e) 21 Sejam x, y, z as faces superiores logo x + y + z = 10 Soma das faces opostas 7 - x y z = 21 - (x + y + z) = = 11 Resposta: B 27) Movendo alguns palitos de fósforo da figura, é possível transformá-la em uma afirmação verdadeira: O menor número de palitos de fósforo que devem ser movidos para fazer tal transformação é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17 Resposta: A 28) (FCC) Observe com atenção a figura abaixo: Dos desenhos seguintes, aquele que pode ser encontrado na figura dada é Observamos facilmente que a opção certa é a C. Resposta: C 29) (FCC) As pedras de dominó mostradas abaixo foram dispostas, sucessivamente e no sentido horário, de modo que os pontos marcados obedeçam a um determinado critério.

18 Com base nesse critério, a pedra de dominó que completa corretamente a sucessão é Observamos facilmente que em uma das partes dos dados vamos obter 1 e na outra 1. Portanto a opção correta E. Resposta: E 30) (FCC) Em cada linha do quadro abaixo, as figuras foram desenhadas obedecendo a um mesmo padrão de construção. Segundo esse padrão, a figura que deverá substituir corretamente o ponto de interrogação é

19 Basta observar os elementos de cada linha, para concluir que a opção correta é B. Resposta: B 31) (FCC) Na seqüência seguinte o número que aparece entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação. 63(21)9; 186(18)31; 85(? )17 O número que está faltando é a)15 b) 17 c) 19 d) 23 e) 25 Basta efetuar a conta: 85 3= 15, conforme opção A. 17 Resposta: A 32) Se Calcule: a) 64 b) 128 c) 216 d) 512 e) 729

20 Resposta: D 33) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... a) 14 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21 É a seqüência dos números primos Resposta: C 34) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... a) 15 b) 17 c) 21 d) 22 e) 25 Cada termo é a soma dos dois termos anteriores ( = 21). Resposta: C 35) Calcule o valor de x.y, sabendo que x e y são termos da seqüência abaixo: 1, 2, 3, x, 6, 8, 9, 12, y, 24, 36, 72 a) 48 b) 64 c) 68 d) 72 e) 90 Os números são os divisores de 72. Logo x = 4 e y = 18, portanto x y = 72 Resposta: D 36) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13,... a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

21 2 + 2 = = = = = = = = 14 Resposta: C 37) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,... a) 29 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36 São divisores de 36. Resposta: E 38) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 6, 12, 20, 31, 46,... a) 48 b) 50 c) 54 d) 56 e) 66 Resposta: E 39) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 39 É só somarmos = 36. Resposta: D

22 40) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, 9, 19, 11, 23, 13, 27,... a)14 b)15 c) 25 d) 28 e) 29 Basta observar a seqüência: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 Resposta: B 41) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34 Cada termo é a soma dos dois termos anteriores, logo a opção correta é 34. Resposta: E 42) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 4, 9, 16, 25, 36,... a) 48 b) 49 c) 54 d) 64 e) 81 Evidente que a opção correta é 7 2 = 49. Resposta: B 43) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 2, 4, 6, 10, 16,... a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 Cada termo é a soma dos dois termos anteriores, logo a opção correta é 26. Resposta: E 44) (FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um triângulo segundo determinado critério.

23 Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de interrogação é a) P b) Q c) R d) S e) T Basta observar que cada letra ocorre 3 vezes, logo teremos: P P Q P R S Q R S T Q R S T T Resposta: E 45) (FCC) O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostas segundo determinado critério. Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então, segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra que deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é a) C b) I c) O d) P e) R É a ordem alfabética começando pela base do triângulo.

24 P O N M L J I H G F E D C B A Resposta: D 46) Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82,..., temos a) 236. b) 244. c) 246. d) 254. e) 256. Observe que: 3 x 4 2 = 10 3 x 10 2 = 28 3 x 28 2 = 82 3 x 82 2 = 244 Resposta: B 47) Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H,...,... temos, respectivamente, a) O, P. b) I, O. c) E, P. d) L, I. e) D, L. É o alfabeto alternado em ordem crescente e decrescente: F, N, G, M, H, L, I. Resposta: D 48) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26,..., temos a) 23. b) 22. c) 21. d) 24. e) 25. Resposta: A 49) Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação.

25 Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é a) 210 b) 206 c) 200 d) 196 e) 188 A seqüência é 0, 6, 24, 60, 120,... Isto é, 0x6; 4x6; 10x6; 20x6,... Observe a seqüência: Logo teremos: Logo o termo que falta é 35 x 6 = 210 Resposta: A 50) (FCC) No quadriculado seguinte os números foram colocados nas células obedecendo a um determinado padrão. Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que a) X > 100 b) 90 < X <100 c) 80 < X < 90 d) 70 < X < 80 e) X < 70 Basta observar a seqüência de somas que ocorre em cada coluna, assim teremos:

26 X = 108. Resposta: A Questões de Seqüências Especiais Sejam a 1, a 2, a 3,..., a n uma seqüência de números reais. Dizemos que a 1, a 2, a 3,..., a n é uma progressão aritmética(p.a.) de ordem r se a r-ésima diferença é constante. Exemplo: 51) 2, 5, 8, 11, 14, 17,... é uma P.A. de 1ª ordem pois r = 1 52) 1, 4, 9, 16, 25, 36,.... é uma P.A. de 2ª ordem pois... 3, 5, 7, 9, 11, , 2, 2, 2, 2,... r = 2 Proposição: Se um seqüência é uma progressão aritmética de ordem r então o termo geral é de grau r em n. Exemplo: 53) Qual o termo geral da seqüência 2, 5, 8, 11, 14, 17,..., e qual o 15ª termo? 2, 5, 8, 11, 14, 17,... é uma P.A. de 1ª ordem pois r = 1 Logo o termo geral é de grau 1. Isto é a n = An + B (1ª grau em n). Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema: n = 1 A + B = 2 (equação 1) n = 2 2A+ B = 5 (equação 2) Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 3. Substituindo A = 3 na equação 1 temos B = -1 Logo o termo geral é a n = 3n -1 O 15ª termos será a 15 = 3x15-1 = 45-1 = 44. Exemplo: 54) Qual o termo geral da seqüência 1, 4, 9, 16, 25, 36,..., e qual o 15ª termo? 1, 4, 9, 16, 25, 36,.... é uma P.A. de 2ª ordem pois

27 ... 3, 5, 7, 9, 11, , 2, 2, 2, 2,... r = 2 Logo o termo geral é de grau 2. Isto é a n = An 2 + Bn + C (2ª grau em n). Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema: n = 1 A + B + C = 1 (equação 1) n = 2 4A + 2B + C = 4 (equação 2) n = 3 9A + 3B + C = 9 (equação 3) Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 3 (equação 4) 8A + 2B = 8 4A + B = 4 (equação 5) Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos: A = 1 Substituindo A = 1 na equação 4 temos B = 0. Substituindo A = 1 e B = 0 na equação 1 temos C = 0. Logo o termo geral é: a n = An 2 + Bn + C a n = 1n 2 + 0n + 0 a n = n 2 O 15ª termos será a 15 = 15 2 = 225. Exemplo: 55) Considere que uma mesa quadrada acomoda apenas 4 pessoas; juntando duas mesas desse mesmo tipo, acomodam-se apenas 6 pessoas; juntando-se três mesas, acomodam-se apenas 8 pessoas e, assim sucessivamente, como é mostrado na figura abaixo: Nas mesmas condições, juntando 16 mesas, o número de pessoas que poderão ser acomodadas é: a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e) 40 4, 6, 8, 10, 12, 14,... é uma P.A. de 1ª ordem pois...

28 r = 1 Logo o termo geral é de grau 1. Isto é a n = An + B (1ª grau em n). Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema: n = 1 A + B = 4 (equação 1) n = 2 2A+ B = 6 (equação 2) Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2. Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 2 Logo o termo geral é a n = 2n +2 O 16ª termos será a 16 = 2x16+2 = = 34 Resposta: B Exemplo: 56) Mariana resolveu construir quadrados com palitos de fósforo. Para construir um quadrado 1 x 1 ela utilizou 4 palitos. Para fazer um 2 x 2 ela utilizou 12 palitos. a) Quantos palitos serão necessários para a construção de um quadrado 10x10? b) Quantos quadrados haverá nessa construção? Veja que na 1ª figura abaixo, só há um quadrado, mas na 2ª há cinco. a) 4, 12, 24, 40, 60, é uma P.A. de 2ª ordem pois , 16, 20, 24, , 4, 4, 4, 4,... r = 2 Logo o termo geral é de grau 2. Isto é a n = An 2 + Bn + C (2ª grau em n). Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema: n = 1 A + B + C = 4 (equação 1) n = 2 4A + 2B + C = 12 (equação 2) n = 3 9A + 3B + C = 24 (equação 3) Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 8 (equação 4) 8A + 2B = 20 4A + B = 10 (equação 5) Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos: A = 2 Substituindo A = 2 na equação 4 temos B = 2. Substituindo A = 2 e B = 2 na equação 1 temos C = 0. Logo o termo geral é: a n = An 2 + Bn + C

29 a n = 2n 2 + 2n + 0 a n = 2n 2 + 2n O 10ª termos será a 10 = 2x x10 = = 220 b) Os quadrados formam a seqüência 1, 5, 14, 30, 55, 36, , 5, 14, 30, 55, é uma P.A. de 3ª ordem pois , 16, 25, 36, , 7, 9, 11, 13, , 2, 2, 2, 2,... r = 3 Logo o termo geral é de grau 3. Isto é a n = An 3 + Bn 2 + Cn + D (3ª grau em n). Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema: n = 1 A + B + C +D = 1 (equação 1) n = 2 8A + 4B + 2C +D = 5 (equação 2) n = 3 27A + 9B + 3C +D= 14 (equação 3) n = 4 64A + 16B + 4C +D= 30 (equação 4) Fazendo cada equação menos a anterior temos: 7A + 3B + C = 4 (equação 5) 19A + 5B + C = 9 (equação 6) 37A + 7B + C = 16 (equação 7) Subtraindo a equação 5 das equações 6 e 7 temos: 12A + 2B = 5 (equação 8) 30A + 4B = 12 (equação 9) Resolvendo o sistema em A e B temos: A = 1/3 e B = ½ Substituindo A = 1/3 e B = ½ na equação 5 temos C = 1/6. Substituindo A = 1/3, B = ½ e C = 1/6 na equação 1 temos D = 0. Logo o termo geral é de grau 3. Isto é a n = An 3 + Bn 2 + Cn + D e portanto o termo

30 geral será: a a n n 3 2 n n n = = n + n + n Logo a = = = = Exemplo: 57) Pedro está construindo casas de cartas. Na figura estão representadas as cartas de um, dois e três andares que ele construiu. Quantas cartas João precisará para construir uma casa de 30 andares? 2, 7, 15, 26, 40, é uma P.A. de 2ª ordem pois... 5, 8, 11, 14, 17, , 3, 3, 3, 3,... r = 2 Logo o termo geral é de grau 2. Isto é a n = An 2 + Bn + C (2ª grau em n). Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema: n = 1 A + B + C = 2 (equação 1) n = 2 4A + 2B + C = 7 (equação 2) n = 3 9A + 3B + C = 15 (equação 3) Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 5 (equação 4) 8A + 2B = 13 (equação 5) Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos: A = 3/2 Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2. Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0. Logo o termo geral é: a n = An 2 + Bn + C

31 a a n n 2 3n n = n + n = 2 a x x = = = = Exemplo: 58) (FCC) Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundo determinado padrão. Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105 5, 9, 13, 17, 21, 25,... é uma P.A. de 1ª ordem pois r = 1 Logo o termo geral é de grau 1. Isto é a n = An + B (1ª grau em n). Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema: n = 1 A + B = 5 (equação 1) n = 2 2A+ B = 9 (equação 2) Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 4. Substituindo A = 4 na equação 1 temos B = 1 Logo o termo geral é a n = 4n +1 O 25ª termos será a 25 = 4x25+1 = = 101. Resposta: C

32 Exemplo: 59) 2, 7, 15, 26, 40, é uma P.A. de 2ª ordem pois... 5, 8, 11, 14, 17, , 3, 3, 3, 3,... r = 2 Logo o termo geral é de grau 2. Isto é a n = An 2 + Bn + C (2ª grau em n). Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema: n = 1 A + B + C = 2 (equação 1) n = 2 4A + 2B + C = 7 (equação 2) n = 3 9A + 3B + C = 15 (equação 3) Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 5 (equação 4) 8A + 2B = 13 (equação 5) Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos: A = 3/2 Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2. Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0. Logo o termo geral é: a n = An 2 + Bn + C 2 3n n an = n + n an = 2

33 a x x = = = = ) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos: Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é a) 45 b) 49 c) 51 d) 57 e) 61 3, 5, 7, 9, 11, 13,... é uma P.A. de 1ª ordem pois r = 1 Logo o termo geral é de grau 1. Isto é a n = An + B (1ª grau em n). Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema: n = 1 A + B = 3 (equação 1) n = 2 2A+ B = 5 (equação 2) Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2. Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 1 Logo o termo geral é a n = 2n +1 O 25ª termos será a 25 = 2x25+1 = = 51. Resposta: C 61) (FCC) Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 100 reais por cédulas de 5, 10, e 50 reais, recebendo cédulas de todos esses valores e o maior número possível de cédulas de 50 reais. Nessas condições, qual é o número mínimo de cédulas que ela poderá receber? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 Sejam: x o número de cédulas de R$ 5,00.

34 y o número de cédulas de R$ 10,00. z o número de cédulas de R$ 50,00. Logo 5x + 10y + 50z = 200 ou x + 2y + 10z = 40 Como queremos o menor número de cédulas teremos que achar o maior número possível de notas de R$ 50,00. Sendo assim temos que z = 3. Sendo assim temos: x + 2y = 10 Logo x = 2 e y = 4 ( total: 6 ) x = 4 e y = 3 ( total: 7 ) x = 6 e y = 2 ( total: 8 ) x = 8 e y = 1 ( total: 9 ) Como queremos o mínimo de cédulas, temos x = 2, y = 4 e z = 3, no total 9 cédulas. Resposta: B 62) (FCC) Das 30 moedas que estão no caixa de uma padaria, sabe-se que todas têm apenas um dos três valores: 05 centavos, 10 centavos, e 25 centavos. Se as quantidades de moedas de cada valor são iguais, de quantos modos poderá ser dado um troco de 1 real a um cliente, usando-se exatamente 12 dessas moedas? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Primeiramente vamos resumir os dados importantes: 1)Temos 10 moedas de 5 centavos. 2) Temos 10 moedas de 10 centavos. 3) Temos 10 medas de 25 centavos. Sejam x, y e z os números necessários de moedas de 5, 10 e 25 centavos respectivamente. Então: 5x + 10y + 25z = 100 (equação 1) x + y + z = 12 (equação 2) Pela equação 1) temos: x = 12 y z (equação 3) Substituindo a equação 3 na equação 1 temos: 5(12-y-z) + 10y + 25z = y 5z + 10y + 25z = 100 5y + 20z = 40 ( simplificando por 5) y + 4z = 8 ( equação 4) Logo y = 8 4z Como y é um número pertencente ao intervalo [0,10] temos que (8-4z) pertence ao intervalo [0,10].

35 Logo os valores possíveis para z são z = 0 ou z = 1 ou z = 2. Logo pela equação 4 e pela equação 3 podemos acha os valores de y e x. Se z = 0, então y = 8 e x = 4. Se z = 1, então y = 4 e x = 7. Se z = 2, então y = 0 e x = 10. Portanto temos três possibilidades. Resposta: C 63) (FCC) Uma pessoa dispõe de moedas de 5 e 10 centavos, totalizando a quantia de R$ 1,75. Considerando que ela tem pelo menos uma moeda de cada tipo, o total de moedas que ela possui poderá ser no máximo igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38 Seja x o número de moedas de 5 centavos. Seja y o número de moedas de 10 centavos. Logo o total de moedas será T = x + y. Vamos calcular o valor máximo para T. Pelo enunciado temos: 5x + 10y = 175 dividindo por cinco temos: x + 2y = 35 (1) Observamos que os valores possíveis para y são:1, 2, 3, 4, 5, Observamos que os valores possíveis para x são:1, 2, 3, 4, 5, Mas x + 2y = 35 (1) Logo temos x + y = 35 - y Então T = 35 - y. Portanto o valor máximo de T ocorrerá quando y for mínimo(y=1) e neste caso teremos o valor máximo de T = 35-1 = 34. Resposta: C 64) (FCC) Para pagar integralmente uma dívida no valor de R$ 7,80, foram usadas apenas moedas: 9 de 50 centavos, 7 e 25 centavos e algumas de 5 centavos. O número de moedas de 5 centavos era: a) 29 b) 31 c) 33 d) 35 e) 37 Seja: x = o número de moedas de 5 centavos. Logo:

36 x = x = x = 780 5x = x = x = 5 x = 31 Resposta: B 65) (FCC) Uma pessoa tem apenas uma nota de 10 reais para pagar a quantia de R$ 9,35 gasta em uma padaria. Se o caixa dessa padaria só dispõe de moedas de 25, 10 e 5 centavos, de quantas maneiras poderá ser dado o troco a tal pessoa? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 O caixa deverá dar o troco de R$ 0,65. Então teremos: x = o número de moedas de 25 centavos y = o número de moedas de 10 centavos z = o número de moedas de 5 centavos Logo: 25x + 10y + 5z = 65 Dividindo a equação por 5 teremos: 5x + 2y + z = 13 Temos que, se x = 0 2y + z = 13 Então: y = 0, z = 13 y = 1, z = 11 y = 2, z = 9 y = 3, z = 7 y = 4, z = 5 y = 5, z = 3 y = 6, z = 1 Se x = 1 2y + z = 8 Então: y = 0, z = 8 y = 1, z = 6 y = 2, z = 4 y = 3, z = 2

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