UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA ANDREIA DOS SANTOS GOMES

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1 For evauatio oy. UNIVERSIDDE FEDERL DO PRNÁ CURSO DE ESPECILIZÇÃO PR PROFESSORES DE MTEMÁTIC NDREI DOS SNTOS GOMES MOTIVÇÃO DO ESTUDO DE ÁRES E PERÍMETROS DE FIGURS GEOMÉTRICS TRVÉS DE FRCTIS Moografia apresetada como requisito parcia à cocusão do Curso de Especiaização para Professores de Matemática, Setor de Ciêcias Exatas, Uiversidade Federa do Paraá - UFPR. Orietador: Profª. Dra. Eizabeth Weger Karas CURITIB 7

2 For evauatio oy. GRDECIMENTOS Deus, a miha famíia e todos que estiveram ao meu ado durate todo o decorrer da especiaização. os coegas de curso, em especia, essadra Beatriz Pachas Zavaa, Deise Maria Paesi, Kátia Ferada Biaco e Márcia Luciaa Charevski peas horas de estudo, trocas de idéias e pricipamete pea amizade. todos os professores que ecioaram durate o curso, em especia, a Profª. Forida Katsume Miyaòka. miha orietadora Profª. Eizabeth Weger Karas pea dedicação dispesada durate o decorrer do curso e a execução da moografia. À istituição, Uiversidade Federa do Paraá, que dispoibiizou este curso que será de imesa vaia durate os aos de docêcia.

3 For evauatio oy. mete humaa, uma vez ampiada por uma ova idéia, uca mais vota ao seu tamaho origia. Oiver Wede Homes

4 For evauatio oy. RESUMO O presete trabaho tem como objetivo utiizar a Geometria Fracta como motivadora o esio de áreas e perímetros de figuras geométricas Eucidiaas. partir deste objetivo demostram-se as reações o cácuo de área e perímetro dos seguites poígoos: paraeogramo, quadrado, triâguo e hexágoo. Demostram-se também as reações existetes o círcuo como a área e comprimeto. presetam-se os fractais tradicioais: Curva de Koch, Foco de Neve de Koch, Triâguo de Sierpiski, Carpete de Sierpiski e a Curva de Peao e os fractais iovadores: Esquadriha érea, Fracta em X, Fracta tipo Dürer, Fracta Circutexto e o Fracta Tetracírcuo. Discuti-se detahadamete o agoritmo de obteção de cada um destes fractais, peo processo de costrução geométrica simpes, ressatado a beeza da figura gerada em cada um dos íveis de costrução. cada íve de iteração o úmero de segmetos, úmero de figuras adicioadas ou subtraídas, comprimeto de cada segmeto, comprimeto do ado, perímetro uitário, perímetro tota, comprimeto uitário, comprimeto tota, área uitária e área tota são formaizados através de tabeas, com ituito de faciitar e evar o docete a trabahar com estas reações. Mostram-se as reações etre o perímetro e área em cada íve de costrução do fracta, iiciado pea figura geométrica eucidiaa e fiaizado com a figura fracta em um íve, possibiitado a verificação que a cada íve o perímetro aumeta e em cotrapoto sua área dimiui coforme as iterações sucessivas. Ressata-se a possibiidade de geeraizar e ituir íveis, ampiado o iteresse do auo pea Geometria Eucidiaa. Cocuí-se que a Geometria Fracta possibiita ao auo cotempar o beo e descobrir a harmoia existete estas figuras sem deixar de formaizar o seu cohecimeto. Paavras-chave: Área, Perímetro, Fractais.

5 For evauatio oy. SUMÁRIO RESUMO... LIST DE FIGURS... LIST DE TBELS... v viii x INTRODUÇÃO... 1 Porque a geometria Fracta?... 1 ÁRES E PERÍMETROS Paraeogramo... 6 Retâguo... 6 Quadrado Triâguo... 8 Triâguo Retâguo... Triâguo Eqüiátero Hexágoo Reguar Círcuo... 1 CURV DE KOCH Curva de Koch Obteção da Curva de Koch Obteção da Curva do Foco de Neve de Koch Perímetro do Foco de Neve de Koch Área deimitada pea Curva do Foco de Neve de Koch Curva do ti-foco de Neve Obteção da Curva do ti-foco de Neve Área e Perímetro da Curva do ti-foco de Neve de Koch... FRCTIS POR REMOÇÃO....1 Fractais por remoção.... Triâguo de Sierpiski Obteção do Triâguo de Sierpiski..... Cácuo da Área e Perímetro do Triâguo de Sierpiski Carpete de Sierpiski Esquadriha Áérea Fracta em X....6 Fracta Hexagoa Tipo Dürer... 4 CURV DE PENO Curva de Peao... 6

6 For evauatio oy. 4. obteção da curva de Peao FRCTIS CIRCULRES Fractais Circuares Fracta Circutexto Fracta Tetracírcuo... 4 CONCLUSÃO REFERÊNCIS... 48

7 For evauatio oy. LIST DE FIGURS Figura 1 - Poígoos ão-covexos... 5 Figura - Poígoos covexos... 5 Figura - Paraeogramo... 6 Figura 4 - Retâguo... 6 Figura 5 - Quadrado... 7 Figura 6 - Triâguo... 8 Figura 7 - Paraeogramo costruído a partir do triâguo... 8 Figura 8 - Triâguo Retâguo... Figura - Triâguo Eqüiátero... 1 Figura 1 - Hexágoo Reguar Figura 11 - Obteção da Curva de Koch Figura 1 - Costrução do Foco de Neve de Koch Figura 1 - Costrução ti-foco de Neve de Koch... 1 Figura 14 - Costrução Triâguo de Sierpiski... 4 Figura 15 - Costrução Carpete de Sierpiski... 7 Figura 16 - Costrução do Fracta Esquadriha érea... Figura 17 - Costrução do Fracta em X... 1 Figura 18 - Costrução do Fracta Hexagoa Tipo Dürer... 4 Figura 1 - Costrução Geométrica da Curva de Peao... 7 Figura - Fracta Circutexto... 4

8 For evauatio oy. Figura 1 - Costrução do Fracta Circutexto Figura - Costrução Geométrica do Fracta Tetracírcuo... 4 Figura - Reação etre raios Fracta Tetracírcuo... 4

9 For evauatio oy. LIST DE TBELS Tabea 1 - Comprimeto da Curva de Koch Tabea - Perímetro do Foco de Neve de Koch Tabea - Números de triâguos e cácuo da área Tabea 4 - Números de triâguos, cácuo da área e perímetro... 1 Tabea 5 - Área e perímetro do Triâguo de Sierpiski... 6 Tabea 6 - Área do Carpete de Sierpiski... 8 Tabea 7 - Cácuo da área - Fracta Esquadriha érea... Tabea 8 - Perímetro e Área do Fracta em X... Tabea - Perímetro e Área Fracta Hexagoa Tipo Dürer... 5 Tabea 1 - Perímetro e Área da Curva de Peao... 7 Tabea 11 - Comprimeto e Área do Fracta Circutexto Tabea 1 - Comprimeto e Área do Fracta Tetracírcuo... 44

10 For evauatio oy. ii INTRODUÇÃO credita-se que os profissioais da área de Educação, equato professores de Matemática do esio fudameta e médio, deparam-se com iúmeras dificudades e também com a fata de motivação dos auos para etederem a discipia em questão, em especia temas reacioados à Geometria. Este trabaho, etão propõe como aterativa, uma estratégia de esio apredizagem sob o títuo Motivação do estudo de áreas e perímetros de figuras geométricas através de fractais, ode será exporada a Geometria Eucidiaa através da Geometria Fracta. Serão mostradas as reações uméricas dos fractais e seus eemetos coforme as iterações sucessivas, abragedo o cácuo de área e perímetro, sempre cotempado a beeza e a harmoia existete estas figuras. O trabaho está orgaizado em cico capítuos, como segue: Na itrodução aborda-se o iteresse peo tema e as pricipais características dos fractais. No Capítuo 1 o presete trabaho apreseta agumas defiições e as pricipais reações para o cácuo de área, perímetro e comprimeto dos poígoos e do círcuo de acordo com a situação. Nos Capítuos a 6, tem-se os Fractais de Koch, Fractais por Remoção, Curva de Peao e os Fractais Circuares, ode discuti-se o agoritmo de costrução, o cácuo de área, perímetro e comprimeto coforme o caso. Fiamete, cocuí-se o trabaho propodo o uso da Geometria Fracta em ovos estudos com o objetivo de motivar o processo esio apredizagem do auo e icetivar os educadores para uma abordagem difereciada de um coteúdo curricuar tradicioa.

11 For evauatio oy. Porque a geometria fracta? Geometria ão só é um dos ramos mais fasciates da Matemática é, um dos mais otáveis produtos do iteecto do Homem e desempeha um pape importate e abragete a sua civiização. Muitas vezes a Matemática esiada a escoa permaece a mesma e ão propícia o cohecimeto de áreas como a geometria, que abrage uma eorme variedade de discipias técicas e teóricas. Essa costatação é percebida por Basso (6) quado escreve: Muitos são os que opiam que o esio de Matemática é muito semehate ao que ocorria a Idade Média, descosiderado competamete o íve tecoógico o qua se desevove a ciêcia modera. Educação tem se distaciado dos ovos probemas coocados à humaidade em face da rápida evoução técica. Nós, professores, recohecemos o quão distates ossa prática a Escoa está em reação a outros processos que ocorrem a sociedade. Referido-se às dificudades de apredizagem da Geometria, o Esio Fudameta, Médio e Superior Pavaeo (1) diz que: maioria dos auos do 1º grau [Esio Fudameta] deixa de apreder Geometria, pois os professores das séries iiciais imitam-se, em gera, a trabahar somete a aritmética e as oções de cojuto. O estudo de Geometria passa a ser feito quado ão é eimiado apeas o º grau [Esio Médio], com o agravate de que os auos apresetam uma dificudade aida maior em idar com as figuras geométricas e sua represetação porque o Deseho Geométrico é substituído, os dois graus do esio, pea Educação rtística. Neste trabaho, o objetivo é que os auos coheçam a Geometria Eucidiaa por camihos diferetes dos tradicioais e que desta forma isso estimue o apredizado, torado o coteúdo mais atrativo. Dessa forma ecotramos a Geometria Fracta a possibiidade de exporar coceitos de Matemática reacioados com a área e o perímetro de figuras paas. Segudo Gouvea e Murari (4): Podemos cosiderar os Fractais como formas que se caracterizam por repetir um determiado padrão (auto-simiaridade). Em coseqüêcia da auto-simiaridade, quado vistas através de uma ete de aumeto, as diferetes partes de um Fracta se mostram simiares à forma como um todo. Os Fractais são formas geométricas abstratas de uma beeza icríve, com padrões compexos que se repetem ifiitamete, mesmo imitados a uma área fiita.

12 For evauatio oy. geometria fracta traz cosigo um forte apeo visua e artístico, mas por trás desta beeza visua, se escode muita matemática, muitas vezes de fáci compreesão e etedimeto devido à simpicidade a ei de formação. E essa simpicidade a ei de formação é o que faz crer que é iteressate e muito produtiva, uma abordagem da geometria fracta em saa de aua. o aaisarmos um fracta é possíve verificar três características, ao escohermos quaquer parte e ampiá-a, teremos images idêticas ao todo, esta propriedade geométrica de mater o seu formato, idepedete da ampiação deomiou-se auto-simiaridade. seguda característica dos fractais refere-se a sua costrução, que sempre utiiza agum tipo de processo iterativo, ode um determiado procedimeto será repetido ifiitamete. Esta característica é resposáve peo fascíio que os fractais provocam, pois a maioria das vezes são costruídos a partir de eemetos extremamete simpes e após um razoáve úmero de iterações geram figuras de extrema beeza e compexidade extraordiária. terceira característica dos fractais refere-se a sua dimesão que em gera é expressa por um vaor ão iteiro. No esio médio, Saum (5) descreve como deveria ser a itrodução dos fractais: itrodução de fractais o esio médio, aém de satisfazer a curiosidade de quatos já ouviram faar ees, propicia a oportuidade trabahar com processos iterativos, escrever fórmuas gerais, criar agoritmos, cacuar áreas e perímetros de figuras com compexidade crescete, itroduzir uma idéia ituitiva do coceito de imite e é um exceete tópico para apicação de progressões geométricas e estímuo ao uso de tabeas. Uma das formas que Barbosa () propõe é estudar as reações uméricas dos Fractais: seqüêcias, cotagem, perímetro, áreas e voumes. Outra forma é exporar os fractais despertado e desevovedo o seso estético pea visuaização dos mesmos, quado o professor, o osso eteder, deve procurar evar o auo a cotempar o beo e a descobrir a harmoia existete os fractais. O estudo de fractais peo processo iterativo é atura, pois muitas das images de fractais cohecidas são obtidas por processos recursivos

13 For evauatio oy. (iterativos), desta forma os auos podem acompahar passo a passo cada íve de costrução, idetificado o agoritmo de costrução. Trabahar com a geometria fracta possibiita ampiar a capacidade do auo em ituir íveis e imagiar figuras ifiitas, costruido tabeas, geeraizado e formaizado seu cohecimeto.

14 For evauatio oy. 1 ÁRES E PERÍMETROS Como o efoque do trabaho é utiizar a Geometria Fracta como motivadora o cácuo de área, perímetro e comprimeto das figuras geométricas tradicioais, as reações dos pricipais poígoos, do círcuo e agumas defiições serão baseadas a obra de Moise e Dows (171). De acordo com esta obra, poígoo é uma figura formada pea jução de segmetos, extremidade a extremidade, Figura 1. Figura 1 Poígoos ão-covexos Um poígoo é covexo se ehum par de seus potos está em semipaos opostos reativamete a uma reta que cotém um ado do poígoo, de maeira mais usua, todo o segmeto de reta com extremos o iterior desse poígoo tem todos os potos o iterior do poígoo, como iustra a Figura. Figura Poígoos covexos Tem-se que um poígoo é reguar se covexo, todos seus ados são cogruetes e todos seus âguos são cogruetes. Por exempo, o triâguo eqüiátero e o quadrado, que possuem ados e âguos com medidas iguais.

15 For evauatio oy. 1.1 Paraeogramo Dado um paraeogramo de base b e atura h, Figura, tem-se que sua área é o produto da base pea atura. Figura Paraeogramo área do paraeogramo será deotada por p. Logo, P = b h (1) O perímetro do paraeogramo é cacuado através da soma de seus ados. Retâguo Como o retâguo é um caso especia de paraeogramo, pois possui quatro âguos retos, sua área é cacuada através da mesma reação etre sua base b e sua atura h, (1). Figura 4 Retâguo área do retâguo será deotada por R.

16 For evauatio oy. Logo, R = b h () E o perímetro deotado pea etra P R, como o caso do paraeogramo também é cacuado através da soma de seus ados. Logo, P R = b + h () Quadrado O quadrado trata-se de um caso especia do retâguo que possui os quatro ados cogruetes, ode sua base será represeta por e sua atura por. Figura 5 - Quadrado Utiizado (1), e represetado a área do quadrado por Q, temos: Q = Q = (4) Para o cácuo do perímetro, cosiderado os quatro ados de medidas iguais, () temos: P = 4 (5) Q

17 For evauatio oy. 1. Triâguo Queremos estabeecer a área atura h, coforme iustra a Figura 6. T de um triâguo quaquer de base b e Figura 6 Triâguo partir do triâguo, costruir um paraeogramo de base b e atura h, coforme Figura 7. Figura 7 Paraeogramo costruído a partir do triâguo área deste paraeogramo é o dobro da área do triâguo, ou seja, = (6) P T Por outro ado, por (1), tem-se que a área do paraeogramo é dada por: p = b h Por (1) e (6), cocuí-se que a área do triâguo de base b e atura h é: b.h T = (7)

18 For evauatio oy. O perímetro de um triâguo quaquer será represetado pea etra ode o seu vaor é ecotrado somado os três ados do poígoo. P T Triâguo Retâguo Um triâguo é retâguo quado um de seus âguos é reto. O ado oposto ao âguo reto é dito hipoteusa e os demais ados são deomiados por catetos. Cosiderado o triâguo retâguo com catetos medido b e h e hipoteusa medido, como mostra a Figura 8. Figura 8 Triâguo Retâguo Peo Teorema de Pitágoras, temos que o quadrado da hipoteusa é igua à soma dos quadrados dos catetos. = b + h (8) Triâguo Eqüiátero Um triâguo eqüiátero é um triâguo especia que possui os três ados com medidas iguais. Devido a esta particuaridade é possíve uma fórmua para o cácuo de sua área em fução do ado.

19 Seja um triâguo eqüiátero de ado, Figura. Traçado uma de suas aturas h, dividimos o triâguo em dois triâguos retâguos cogruetes de catetos h e e hipoteusa. Figura Triâguo Eqüiátero Por (), temos que: = = = = = + = h h h h h h, Substituido em (8), temos: Geerated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evauatio oy.

20 For evauatio oy. T TE TE TE b h = = = = 4 Logo: TE = 4 () Para o cácuo do perímetro, como o triâguo eqüiátero possui os três ados iguais, já deomiados ateriormete por, temos: P = (1) TE 1. Hexágoo reguar Discuti-se aqui a área e perímetro de um hexágoo reguar com os seis ados de mesmo comprimeto, digamos. Cosidere O o cetro do hexágoo reguar. Ligado o cetro O aos vértices do hexágoo obtemos seis triâguos, Figura 1. Na seqüêcia, argumeta-se que estes triâguos são eqüiáteros de ado. Figura 1 Hexágoo Reguar

21 For evauatio oy. Note que o âguo itero de vértice O de cada um desses triâguos é 6º e que os dois ados que cotém O são cogruetes. Tem-se assim que os outros dois âguos também medem 6º e os três ados têm a mesma medida. Daí resuta, uma maeira iteressate de costruir um hexágoo reguar de ado e cetro O. Basta costruir uma circuferêcia de cetro O e raio e dividi-a em seis arcos cogruetes de medida, e a cada arco desehar a corda correspodete de medida. ssim, a área do hexágoo reguar é seis vezes a área do triâguo eqüiátero de ado, ou seja, usado (), temos: H = 4 6. = (11) Como o hexágoo em questão é reguar, para o cácuo do perímetro temos: P =6 (1) H 1.4 Círcuo área de um círcuo de raio R é: = π R (1) C e o seu comprimeto, deotado por C, é dado por: C= πr (14)

22 For evauatio oy. CURV DE KOCH.1 Curva de Koch O matemático Nies Fabia Hege vo Koch asceu o dia 5 de jaeiro de 187 em Estocomo, Suécia. Ficou cohecido em 14, através de um artigo pubicado sobre o processo de criação de curvas cotíuas sem tagetes ou semitagetes em ehum de seus potos. tuamete, esta curva cotíua e sem ehuma tagete é cohecida como curva de Koch. Koch estudou a auto-simiaridade o fia do sécuo 1 e desevoveu uma forma fasciate, chamada de foco de eve de Koch.. Obteção da Curva de Koch obteção do agoritmo da curva de Koch ocorre da apicação repetida de um processo bem simpes que utiiza a costrução geométrica, podedo ser visuaizada a Figura 111. goritmo Ι - Costrução geométrica da curva de Koch. 1 Cosiderar um segmeto de reta B de comprimeto. Dividir o segmeto em três segmetos iguais, e suprir o terço médio, coocado em seu ugar os segmetos CE e DE, cada um com um 1 comprimeto de do segmeto removido. Ficado, assim, com a poigoa CEDB, com comprimeto 4. Repetir com cada um dos quatro segmetos da poigoa CEDB a mesma operação feita com o segmeto origia, e assim sucessivamete e iterativamete.

23 For evauatio oy. Figura Obteção da Curva de Koch Exporar a Geometria Eucidiaa através da Geometria Fracta sugere a aáise do úmero de segmetos, comprimeto destes e o comprimeto tota da curva em cada íve da costrução da curva de Koch como seguem a Tabea 1. Nesta tabea em cada iha verifica-se o aumeto do úmero de segmetos e a redução do comprimeto dos mesmos, coforme o íve em questão. Tabea 1 - Comprimeto da curva de Koch. Níve 1... Número segmetos de Comprimeto de cada... 7 segmeto Comprimeto tota da curva

24 For evauatio oy. Cosiderado que o comprimeto para um dado íve é 4 do íve aterior; o comprimeto da curva o íve é 4, ou seja, de um íve para outro o comprimeto é mutipicado peo fator 4 >1. Tem-se assim, que o comprimeto aumeta de um íve para outro, e cresce idefiidamete tededo a ifiito quado o íve de costrução tede a ifiito.. Obteção da Curva do Foco de Neve de Koch O agoritmo de costrução do Foco de Neve de Koch, que iiciamete parte de um triâguo eqüiátero, mas que pode ser gerado através de um poígoo covexo quaquer, utiiza a curva de Koch em substituição a cada um dos ados do poígoo reguar, Figura 111. goritmo ΙΙ - Costrução geométrica do foco de eve de Koch. 1 Cosiderar um poígoo reguar, tedo o ado de comprimeto. Dividir em três partes iguais cada ado do poígoo e, o terço médio de cada um, costruir um triâguo eqüiátero, apotado para fora. pagar as partes comus ao triâguo ovo e o atigo poígoo. Dividir em três partes iguais cada ado da figura aterior e, ovamete, o terço médio de cada ado, costruir um triâguo eqüiátero apotado para fora. pagar as partes comus às figuras atiga e ova, e assim sucessivamete e iterativamete. Figura 1 mostra os resutados depois de se reaizar a iteração três vezes, a partir do triâguo iicia, mas se o processo for efetuado vezes o comprimeto de cada segmeto tede a zero e o comprimeto tota da curva tede para o ifiito.

25 For evauatio oy. Figura 1 - Costrução do Foco de Neve de Koch aisar o Foco de Neve possibiita ao auo determiar o perímetro da curva do foco de eve e a área deimitada por ea, existido a possibiidade de iiciar o processo com outros poígoos covexos, como sugestão o quadrado e o hexágoo..4 Perímetro do Foco de Neve de Koch Iiciamete idicar como c o comprimeto do ado do poígoo reguar iicia e s o úmero de ados deste poígoo. Utiizar o agoritmo de costrução da Curva de Koch e o mesmo processo para a costrução da tabea, iserido este ovo item o úmero de segmetos e o comprimeto em cada iteração, podedo desta forma cacuar o perímetro tota da figura, Tabea. Tabea - Perímetro do Foco de Neve de Koch Níve Nº. de segmetos Comprimeto de cada Perímetro segmeto s c s c 1 4. s 4. s 4 s c c c 4 s c 4 s c 4 s c 4. s c 4 s c 1

26 For evauatio oy. O perímetro do Foco de Neve tem seu úmero de segmetos mutipicado por 4 a cada íve de costrução, desta forma, o perímetro do Foco de Neve e o comprimeto da Curva de Koch crescem tededo ao ifiito coforme o íve de costrução aumeta..5 Área deimitada pea Curva do Foco de Neve de Koch Sabedo que o Foco de Neve de Koch pode ser gerado a partir de quaquer poígoo reguar, o objetivo é determiar a área deimitada pea curva do Foco de Neve de Koch. Nesse setido, será discutida a área deimitada peo Foco de Neve (Figura 1), deotada por, tedo como figura iicia um triâguo eqüiátero de ado, utiizado () tem-se: = 4 No íve 1, a cada ado do triâguo iicia é acrescetado um triâguo eqüiátero de área 1 do triâguo iicia. Ou seja, tem-se ovos triâguos de 1 área. 1 No íve tem-se 4 ovos triâguos eqüiáteros de área da área dos triâguos acrescidos o íve aterior. Ou seja, tem-se 4 ovos 1 triâguos de área. No íve a área é acrescida de 16 triâguos eqüiáteros, cada um 1 de área. De forma gera, temos que o íve da costrução do Foco de Neve são iseridos ovos triâguos eqüiáteros de ado 1. Está discussão é sumarizada a Tabea.

27 For evauatio oy. Níve Tabea Números de triâguos e cácuo da área Número de Área dos Área tota Área tota triâguos triâguos acrescetada iseridos iseridos Cosequetemete, a área deimitada pea curva de Koch é dada por: k T = 1+ (15) k 1 = Verificou-se que S = geométrica ifiita de razão k = 1 k 1 4 correspode à soma de progressão 4 q = e primeiro termo é a 1 1 =. Sabemos que, quado 1 < q < 1, o somatório da PG coverge para ( 1 q) S = 5 a1. ssim:

28 For evauatio oy. Substituido em (15), temos que a área tota da curva de Koch, que parte de um triâguo eqüiátero de ado, tede para: T 8 = 1 + = = (16) Note que a Curva do Foco de Neve tem comprimeto ifiito e, o etato deimita uma região de área fiita que tede para comprimeto do ado do triâguo iicia. 5, ode é o O trabaho com a Curva do Foco de Neve pode motivar os auos à medida que ee mesmo costrói, geeraiza e cofeccioa sua tabea e sua figura a cada íve. Possibiita observar o crescimeto do perímetro, de forma expoecia (ZVL, 7), evado o auo a ituir ovos íveis de costrução e possibiitado ao docete abordar de forma difereciada outro coteúdo curricuar..6 Curva do ti-foco de Neve O ti-foco de Neve também cohecido como iha de Koch, está sedo apresetado este trabaho com o objetivo de mostrar ao auo que é possíve apeas mudado uma ordem o agoritmo de costrução, obter outra figura fracta de aparêcia totamete diferete. Figura 1 - Costrução ti-foco de Neve de Koch

29 For evauatio oy..6.1 Obteção da Curva do ti-foco de Neve de Koch O agoritmo de costrução do ti-foco de Neve de Koch, que iiciamete parte de um triâguo eqüiátero, mas que pode ser gerado através de um poígoo covexo quaquer, utiiza a curva de Koch modificada em substituição a cada um dos ados do poígoo reguar. goritmo ΙΙ - Costrução geométrica do ti-foco de Neve de Koch. 1 Cosiderar um poígoo reguar, tedo o ado. Dividir em três partes iguais cada ado do poígoo e, o terço médio de cada um, costruir um triâguo eqüiátero, apotado para detro. pagar as partes comus do atigo poígoo e do ovo triâguo gerado. Dividir em três partes iguais cada ado da figura aterior e, ovamete, o terço médio de cada ado, costruir um triâguo eqüiátero apotado para detro. pagar as partes comus às figuras atiga e ova, e assim sucessivamete e iterativamete. O ti-foco de Neve tem como figura iicia, ão apeas um segmeto uitário, mas sim um poígoo reguar de ado, este caso um triâguo eqüiátero (Figura 1). aisar o ti-foco de Neve possibiita ao auo determiar o perímetro da curva do e a área deimitada por ea, existido a possibiidade de iiciar o processo com outros poígoos reguares..6. Área e Perímetro da Curva do ti-foco de Neve de Koch Iiciar o cácuo da área e perímetro com um triâguo eqüiátero (Figura 1), de ado. Cosiderar a área do triâguo iicia, utiizado (), temos: = 4 Em cada ado da figura iicia, retirar um triâguo eqüiátero de área 1 do triâguo eqüiátero iicia, deotada ateriormete por.

30 For evauatio oy. No íve a área é removida de 4 ovos triâguos eqüiáteros com área iguais a 1 da área do triâguo eqüiátero aterior. No íve a área é removida de 16 triâguos eqüiáteros, cada um de área igua 1 da área de cada triâguo eqüiátero aterior. Pode-se verificar a Tabea 4, que a cada íve de iteração o úmero de triâguos removidos aumeta e que o íve da costrução do ti-foco de Neve são removidos 4 1 triâguos. Figura Tabea 4 - Números de triâguos, cácuo da área e perímetro. Níve Número de triâguos removidos Área uitária Perímetro tota = = = = 4

31 For evauatio oy. Nota-se aida, a Tabea 4, que a partir do íve 1 de costrução a cada ovo íve o perímetro aterior é mutipicado peo fator 4, desta forma o perímetro cresce à medida que avaça o íve de costrução. Logo, o perímetro do ti-foco de Neve o íve de costrução é dado por P = 4, que cresce idefiidamete, tededo a ifiito quado o íve de costrução tede a ifiito. Em cotrapoto, a área uitária de cada triâguo eqüiátero é reduzida a cada ova iteração, tededo a zero quado tede a ifiito, matedo-se o mesmo ocorrido com o Foco de Neve.

32 For evauatio oy. FRCTIS POR REMOÇO.1 Fractais por remoção Existem vários processos para costrução de fractais, etre ees o de remoção, ode o mais famoso é o triâguo de Sierpiski, que matém o processo de auto-simiaridade em todos os íveis de costrução. Exporar esses fractais possibiita ao auo acompahar cada passo de sua costrução e a mudaça que ocorre com a área da figura em questão, evado-o a cacuar a -ésima iteração.. Triâguo de Sierpiski Wacław Sierpiski, matemático poôes, asceu em Varsovia em 14 de março de 188 e faeceu em 1 de outubro de 16, fiho de médico, seu taeto a matemática foi ogo recohecido por seu primeiro professor da área. pesar de dificudades impostas pea ocupação da Poôia peo Império Russo, Sierpiński etrou para o departameto de Física e Matemática da Uiversidade de Warsaw em 18. Wacaw Sierpiski era um dos mais ifuetes matemáticos do seu tempo a Poôia, suas áreas de pesquisa predomiates foram a Teoria dos Cojutos e a Teoria dos Números...1 Obteção do Triâguo de Sierpiski obteção do agoritmo do triâguo de Sierpiski ocorre da apicação de diferetes processos simpes como o sorteio de potos, (BINCO, 7), e outras costruções geométricas. Neste trabaho como o objetivo é aaisar o perímetro e a área da figura fracta, o processo para obteção do agoritmo será o por remoção de triâguos, descrito a seguir:

33 For evauatio oy. goritmo ΙΙΙ - Costrução geométrica do Triâguo de Sierpiski 1 - Partir de uma superfície deimitada por um triâguo quaquer. Sugere-se iiciamete um triâguo eqüiátero por motivo estético e de simpicidade. - Iiciar peo triâguo eqüiátero, de ado, marcar os potos médios de cada um dos seus ados que se uem por segmetos, dividido-o em quatro ovos triâguos semehates ao iicia. - Retirar o triâguo cetra e repetir o mesmo processo em cada um dos triâguos restates. E assim iterativamete, coforme Figura 14. Figura Iicia Níve Níve 1 Níve Figura 14 Costrução triâguo de Sierpiski Exporar o Triâguo de Sierpiski possibiita ao auo determiar o perímetro e a área desta figura fracta em cada íve da iteração, como também

34 For evauatio oy. trabahar com progressão geométrica e fução expoecia, ver (ZVL, 7) e (PLLESI, 7)... Cácuo da Área e Perímetro do Triâguo de Sierpiski Para o cácuo da área e do perímetro iicia-se a costrução peo agoritmo, fazedo com que haja o iteresse em efetuar mais uma iteração e descobrir este ovo íve qua serão a área e o perímetro fia da figura em questão. Como já mecioado é possíve iiciar com um triâguo quaquer, mas optou-se peo triâguo eqüiátero, de comprimeto de ado. ssim, utiizado (), tem-se que a área do triâguo iicia é: = 4 No primeiro íve de costrução teremos a área do triâguo iicia dividida em quatro ovos triâguos semehates e retira-se o triâguo cetra, ficado assim com a área tota de, 4 No íve seguite temos cada um dos triâguos ateriores divididos em quatro ovos triâguos e retira-se o triâguo cetra de cada um dos triâguos costruídos, resutado em uma área tota de. 16 Nos íveis subseqüetes o mesmo processo será repetido em cada um dos ovos triâguos eqüiáteros, iterativamete. Pode-se verificar a Tabea 5 que a cada íve de iteração o úmero de triâguos aumeta e o comprimeto do ado dimiui à medida que o úmero de iterações cresce. área do triâguo iicia tede a zero quado o íve de costrução tede a ifiito, o fracta tede a uma área ua.

35 For evauatio oy. Tabea 5 - Área e Perímetro do Triâguo de Sierpiski Níve Número de Comprimeto Área de Soma das Perímetro Perímetro Triâguos do ado cada triâguo áreas de cada triâguo tota o 4 4 No etato, o perímetro do triâguo de Sierpiski, dado por: P = = cresce idefiidamete, tededo a ifiito quado o íve de costrução tede a ifiito.. Carpete de Sierpiski O Carpete de Sierpiski traz a possibiidade de trabahar o processo de remoção a partir de um quadrado, apesar do processo de remoção ser o mesmo do Triâguo de Sierpiski é possíve evar o auo a reacioar a difereça etre o cácuo da área do quadrado e do triâguo. goritmo ΙV Costrução do Carpete de Sierpiki. 1 - Iiciar com um quadrado de ado.

36 For evauatio oy. - Dividir o quadrado em ove quadrados semehates ao iicia e remover o quadrado cetra. - Repetir este processo os quadrados gerados, dividido-os em ove quadrados e retirado os quadrados cetrais. 4 - Repetir o processo iterativamete, coforme Figura 15. Figura Iicia Níve 1 Níve Níve Figura 15 - Costrução Carpete de Sierpiski Para o cácuo da área, defiir como sedo a área do quadrado iicia, de ado, dada por (4): = Q = Costruir a Tabea 6, passo a passo, eva o auo a perceber que a cada íve de costrução o ado do quadrado é reduzido em 1 e com isto a área uitária tede a zero, coforme o íve de costrução aumeta. Tem-se que o úmero de quadrados iseridos em cada íve é o íve aterior mutipicado peo fator 8, desta forma a -ésima iteração o Fracta Carpete de Sierpiski é composto com 8 quadrados de ado.

37 For evauatio oy. Tabea 6 - Área do Carpete de Sierspiski Níve Número de Comprimeto Área Área Tota Quadrados do ado Portato, o fracta terá sua área tota aumeta o íve de iteração. tededo a zero coforme.4 Esquadriha érea obteção do fracta esquadriha aérea parte de um quadrado iicia de área e comprimeto. Esse fracta permite a visuaização de uma figura que após cada remoção, aproxima-se da forma de uma esquadriha aérea. goritmo V - Costrução do Fracta Esquadriha érea: 1 - Iiciar com um quadrado, dividir em ove quadrados semehates ao quadrado iicia, umerar de 1 a, e remover os quadrados 1,, 6 e. - Nos quadrados restates repetir o processo, dividido cada um em ove quadrados semehates e retirado quatro quadrados como os da etapa aterior. - Repetir o processo iterativamete, coforme Figura 16.

38 For evauatio oy. Níve Níve Níve Níve Figura 16 - Costrução do Fracta Esquadriha érea Para determiar a área do Fracta Esquadriha érea iicia-se peo cácuo da área do quadrado iicia, =, em cada íve de iteração o quadrado terá o comprimeto do ado reduzido a razão. Pode-se verificar a Tabea 7, que a cada íve de costrução o úmero de quadrados aumeta e que a e-ésima iteração a figura fracta será composta de 5 quadrados de ado ifiito., tededo a ifiito quado teder a

39 For evauatio oy. Tabea 7- Cácuo da área Fracta Esquadriha érea Níve Número de Comprimeto Área Área Tota Quadrados do ado Em cotrapartida a área tota do fracta tede a zero quado o íve de costrução tede ao ifiito, pois a cada etapa a área de cada ovo quadrado é reduzida em 1 a área do quadrado aterior..5 Fracta em X O processo de obteção do fracta em X é semehate ao Fracta Esquadriha Área, mas a figura fia é diferete. obteção do Fracta em X parte de um quadrado iicia de área e comprimeto, Figura 17. goritmo VI - Costrução do Fracta em X: 1 - Iiciar com um quadrado, dividir em ove quadrados semehates ao quadrado iicia, umerar de 1 a, e remover os quadrados, 4, 6 e 8.

40 For evauatio oy. - Nos quadrados restates repetir o processo, dividido cada um em ove quadrados semehates e retirado quatro quadrados como os da etapa aterior. - Repetir o processo iterativamete, coforme Figura 17. Níve Níve Níve Níve Níve Níve 4 Figura 17 - Costrução do Fracta em X Para determiar a área e o perímetro do Fracta em X iicia-se peo cácuo da área do quadrado iicia, em cada íve de iteração o quadrado terá o comprimeto do ado reduzido a razão, como é possíve verificar a Tabea 8.

41 For evauatio oy. Tabea 8 - Perímetro e Área do Fracta em X Níve Número de Comprimeto Perímetro Perímetro Área Área Tota Quadrados do ado Tota De acordo com a Tabea 8 é possíve verificar que, como o caso do Fracta Esquadriha Área, o Fracta em X a -ésima iteração é composto por 5 quadrados de ado, ode é o íve de iteração. 5 cada íve a área de cada quadrado iserido é reduzida em a área do quadrado aterior, desta forma a área tota deste fracta em um íve é de 5, em que é a área do quadrado iicia, ( = ), que tederá a zero coforme aumeta o íve costrução. No etato, o perímetro tota aumeta a cada iteração e o íve de costrução tede a ifiito se o íve teder a ifiito. P 5 = 4 5 = 4 Note que quato maior o íve de costrução maior será o perímetro da figura fracta em questão.

42 For evauatio oy..6 Fracta Hexagoa tipo Dürer brecht Dürer ( ), matemático, físico, botâico, zoóogo, desehista e pitor profissioa aemão, ascido a cidade imperia ivre de Nuremberg a emaha, itrodutor da arte da represetação gráfica em três dimesões, é cosiderado a figura pricipa da arte aemã do sécuo XVI. Segudo Barbosa (), Dürer foi o autor de uma costrução aproximada do petágoo reguar. Neste trabaho iremos verificar as reações matemáticas existetes o Fracta Hexagoa, figura de extrema beeza, mas ão podemos deixar de mecioar que há o Fracta petagoa e octogoa. Exporar o Fracta tipo Dürer eva o auo a trabahar com um poígoo reguar iicia pouco exporado e possibiita ao educador mostrar as reações existetes etre este poígoo e o triâguo eqüiátero. goritmo VII Costrução do Fracta Hexagoa Tipo Dürer. 1 - Costruir um hexágoo reguar, Figura 18. Sugere-se um hexágoo reguar iscrito, ode r =. - Seja B um de seus ados. Coocar hexágoos meores, de ta maeira que um dos seus âguos coicida com âguo do hexágoo reguar iicia, com a codição de que teham um vértice em comum. - Repetir essa ação em cada ado costruido 6 ovos hexágoos reguares, ficado formado ao cetro um hexágoo reguar estreado. 4 - Remover os triâguos itermediários e o hexágoo estreado cetra, obtedo assim o primeiro íve de costrução do fracta. 5 - Repetir este processo em cada um dos ovos hexágoos, e assim iterativamete. Para o cácuo da área iicia-se com um hexágoo reguar (Figura 18), de ado, cuja área dada por (11), demostrada o capítuo 1: = H 6 = 4

43 For evauatio oy. Níve Níve Níve 1 Níve Níve Figura 18 - Costrução Fracta Hexagoa Tipo Dürer No primeiro íve a área é composta de 6 ovos hexágoos, semehates ao iicia, de ado. No íve a área é composta de 6 ovos hexágoos, semehates ao ateriores, de ado. No íve a área é composta de 16 ovo hexágoos, semehates ao ateriores de ado. 7 Pode-se verificar a Tabea que, o íve da costrução do Fracta Hexagoa são iseridos que tede a zero quado tede a ifiito. 6 ovos hexágoos de área uitária 6 4

44 For evauatio oy. Níve Tabea - Perímetro e Área Fracta Hexagoa Tipo Dürer Número de hexágoos Medida do ado Área de cada hexágoo Perímetro de cada hexágoo Perímetro tota = 6 = = 6. = = 16 = No etato, o perímetro do Fracta Hexagoa tipo Dürer o íve de costrução é: P 6 1 = 6 = + Desta forma, o perímetro do fracta em questão, ao cotrário da área, cresce idefiidamete tededo a ifiito quado o íve de costrução tede a ifiito.

45 For evauatio oy. 4 CURV DE PENO 4.1 Curva de Peao Giuseppe Peao asceu em 7 de agosto de 1858 em Cueo, Sardeha. Torou-se cohecido peo profudo iteresse pea ógica matemática. Os axiomas de Peao, formuados pea primeira vez em 188 a rithmetices pricipia ova methodo exposita, represetam a mais otáve tetativa de reduzir a aritmética comum a puro simboismo forma. Peao mostrou até que poto a matemática podia isutar o seso comum quado costruiu curvas cotíuas que echem o espaço, e despedeu muito esforço o desevovimeto da ógica simbóica. 4. obteção da Curva de Peao obteção da curva de Peao iicia com um segmeto de comprimeto uitário, que se tora um fracta quado o úmero de íveis tede para o ifiito, coforme Figura 1. goritmo VIII Costrução geométrica da Curva de Peao 1 - Iiciar com um segmeto de comprimeto uitário. - Marcar o terço médio o segmeto iicia, utiizar este terço médio como base de dois quadrados, um o semipao superior e outro o semipao iferior. - Repetir este processo os segmetos gerados iterativamete, Níve Níve 1 Níve

46 For evauatio oy. Níve Níve 4 Níve 5 Figura 1 - Costrução geométrica da Curva de Peao Para determiar o perímetro da Curva de Peao iicia-se peo cácuo do úmero e comprimeto uitário de cada segmeto gerado, Tabea 1. partir da primeira iteração é possíve determiar a área de cada quadrado gerado este processo de costrução. Tabea 5 - Perímetro e área da Curva de Peao Níve Nº. segmetos Comprimeto uitário do segmeto Comprimeto da curva Área de cada quadrado gerado 1-1 = = = = 4 4

47 For evauatio oy. Pode-se verificar a Tabea 1, que cada segmeto é substituído por ove ovos segmetos, com um fator de redução de, a cada etapa de iteração. Desta forma, a -ésima iteração a figura é composta de segmetos de comprimeto. Note que a área de cada quadrado gerado é de coforme o íve de iteração aumeta., que tede a zero No etato, o perímetro cresce à medida que o íve de iteração aumeta tededo a ifiito quado o íve de costrução teder a ifiito. P = = Trabahar com a Curva de Peao possibiita ao auo iiciar com um segmeto de comprimeto, e verificar que a cada ovo íve existe um aumeto o comprimeto da curva e uma dimiuição o comprimeto uitário do segmeto que a compõe, evado-o a refetir sobre a área que o fracta em questão ocupa.

48 For evauatio oy. 5 FRCTIS CIRCULRES 5.1 Fractais Circuares Neste trabaho serão abordados dois tipos de fractais circuares que possuem agoritmo de costrução semehate e que geram figuras de extrema beeza. Trabahar com este tipo de fracta possibiita ao auo ampiar seu cohecimeto reativo a tagêcias de retas, cácuos trigoométricos, utiização de tabeas aém de ampiar o coceito de área e o comprimeto de figuras circuares. 5. Fracta Circutexto Este fracta baseia-se a costrução de um círcuo de raio R e a iscrição de círcuos tagetes iteramete à circuferêcia dada, Figura 1. goritmo IX Costrução do Fracta Circutexto. 1 Iiciar com um círcuo de raio R. Iscrever três círcuos tagetes iteramete à circuferêcia aterior e tagetes etre si. Para iscrição destes círcuos se faz ecessário iserir um triâguo eqüiátero, ode cada um de seus vértices será o cetro de cada uma das ovas circuferêcias. Utiizado a reação abaixo é possíve ecotrar o raio s de cada círcuo meor. Segue o processo para obteção de s. Como mostra a Figura, o triâguo BC é eqüiátero e o âguo α = π OBT vae º ou. 6 O raio de cada círcuo meor é dado por: s = mcosα ode: m = OB.

49 For evauatio oy. O segmeto m tem por vaor: m = r s Ode r é o raio do círcuo maior. Substituido tem-se: s = mcosα e m = r s s = s ( r s) s = r cosα s cosα s + s cosα = r cosα ( 1+ cosα ) cosα s = r 1+ cosα cosα, ou aida : = r cosα Como α = 6 π rad, Cosiderar: s =, r s = a, 46 r (17) Repetir o processo iterativamete, coforme Figura 1. Figura - Fracta Circutexto

50 For evauatio oy. pós determiar o vaor do raio das circuferêcias iscritas, é possíve determiar a área e o comprimeto do Fracta Circutexto. Níve Níve 1 Níve Níve Figura 1 - Costrução do Fracta Circutexto Para determiar o comprimeto da circuferêcia será utiizado (14) mutipicado pea reação etre a circuferêcia aterior e a ova circuferêcia iserida, deotada por a, coforme (17), de acordo com o íve de costrução. Para o cácuo da área será utiizado (1) mutipicado por (17), coforme o íve de iteração. costrução de uma tabea paraeamete com a costrução geométrica do Fracta Circutexto possibiitará a orgaização de iformações quato ao úmero, comprimeto uitário e área uitária das circuferêcias iseridas em cada íve. Tabea 61 - Comprimeto e Área do Fracta Circutexto Níve Raio Compr. Circuf. Número de circuferêcias Área uitária R πr 1 πr 1 Ra πra πr a Ra πra πr a 4 Ra πra π(ra ) =πr a 6 Ra πra πr a

51 For evauatio oy. Tabea 11 reacioa a cada íve o comprimeto da circuferêcia, o úmero de circuferêcias e a área uitária em cada íve de costrução do Fracta Circutexto. Nesse setido, pode-se verificar que o úmero de circuferêcia iseridas é sempre o íve aterior mutipicado peo fator. Tem-se a cada iteração o raio da ova circuferêcia reduzido, resutado em uma área também meor a cada íve. Em cotrapartida tem-se o comprimeto uitário aumetado em cada íve, resutado em um comprimeto tota da circuferêcia cada vez maior. Cosequetemete, a e-ésima iteração o comprimeto da circuferêcia tederá a ifiito e a área uitária tederá a zero quado teder a ifiito. Tem-se a área tota do fracta através do somatório abaixo: πr + πr a + πr a πr a = π R O Fracta Circutexto possibiita a reação etre raios, adição de áreas e a ituição de íveis possibiitado a abordagem de vários tópicos a partir de uma mesma figura. i= i i a 5. Fracta Tetracírcuo Este fracta baseia-se a costrução de um circuo de raio R e a iscrição de círcuos tagetes iteramete à circuferêcia dada, Figura. goritmo X Costrução Fracta Tetracírcuo 1 Partir de uma circuferêcia de raio R. Iscrever quatro circuferêcias tagetes etre si e tagetes à circuferêcia exterior. Repetir o processo iterativamete.

52 For evauatio oy. Níve Níve 1 Níve Níve Figura Costrução Geométrica Fracta Tetracírcuo partir do agoritmo de costrução é possíve obter uma reação etre o raio da circuferêcia origia e os raios das circuferêcias iscritas em cada íve, coforme Figura. Figura - Reação etre raios Fracta Tetracírcuo Para obter esta reação etre os dois raios, chamar de x a distâcia etre o cetro da circuferêcia iicia e o cetro de uma das circuferêcias da próxima etapa. Logo: x = r x = r

53 For evauatio oy. R = r + x R = r + r r = r( 1+ ) ( 1+ ) = R R R r = 1+ Partir de uma circuferêcia de raio R, com R r 1 =. 1+ Ecotrar o raio de C 1, iscrever um quadrado de cetro C e vértice C 1. partir do vértice iserir quatro circuferêcias tagetes etre si e à C, O comprimeto da circuferêcia será determiado utiizado (14) mutipicado pea reação etre a circuferêcia aterior e a ova circuferêcia iserida, deotada por a, coforme (17), de acordo com o íve de costrução. Para o cácuo da área será utiizado (1) mutipicado por (17), coforme o íve de iteração. costrução de uma tabea paraeamete com a costrução geométrica do Fracta Tetracírcuo possibiitará a orgaização de iformações quato ao úmero, raio, comprimeto uitário e área uitária das circuferêcias iseridas em cada íve. Tabea 1 Comprimeto e Área do Fracta Tetracírcuo Níve Raio Comprimeto da Circuferêcia Número de circuferêcias Área uitária R π R 1 π R 1 Ra π Ra 4 π R a Ra π Ra 4 π R a 4 Ra π Ra 4 π R a 6 Ra π Ra 4 π R a

54 For evauatio oy. Tabea 1 reacioa a cada íve o comprimeto da circuferêcia, o úmero de circuferêcias e a área uitária em cada íve de costrução do Fracta Tetracírcuo. Nesse setido, pode-se verificar que o úmero de circuferêcia iseridas é sempre o íve aterior mutipicado peo fator 4. Tem-se a cada iteração o raio da ova circuferêcia reduzido, resutado em uma área também meor a cada íve. Em cotrapartida tem-se o comprimeto uitário aumetado em cada íve, resutado em um comprimeto tota da circuferêcia cada vez maior. Cosequetemete, a e-ésima iteração o comprimeto da circuferêcia tederá a ifiito e a área uitária tederá a zero quado teder a ifiito. Tem-se a área tota do fracta através do somatório abaixo: πr 4 + 4πR a + 4 πr a πr a = π R 4 i= i i a Com o estudo dos fractais circuares, é possíve exporar coteúdos do esio médio como: áreas circuares, reações etre raios, iscrição de círcuos, adição de áreas e tagêcia.

55 For evauatio oy. CONCLUSÃO través de uma visão difereciada este trabaho propôs motivar o esio da Geometria Eucidiaa o que diz respeito ao cácuo de área, perímetro e comprimeto de figuras geométricas tradicioais. Nesse setido, o trabaho cotempa a área do quadrado, do triâguo, do hexágoo e do círcuo, o úmero de poígoos iseridos ou retirados a cada íve de iteração. Discutiu-se o úmero de segmetos, o comprimeto de cada segmeto, perímetro uitário de cada figura iserida, o perímetro uitário e perímetro tota de cada poígoo e o comprimeto do círcuo. Geometria Fracta foi utiizada possibiitado cotempar o beo e, paraeamete descobrir as reações existetes em figuras harmôicas, sem deixar a formaização do cohecimeto reacioado à área e perímetro em segudo pao. O trabaho apresetou a Curva de Koch, os Fractais de Koch, os Fractais por Remoção, a Curva de Peao e os Fractais Circuares, demostrado a simpicidade a ei de formação, através dos agoritmos de costrução. s características apresetadas peas figuras fractais possibiitaram a adição e subtração de áreas, a geeraização de fórmuas, a costrução de tabeas e a ituição de íveis. Geometria Fracta possibiitou trabahar com um tema abordado há aos de forma tradicioa com um ovo efoque, desta forma, espera-se um retoro em reação à motivação, assimiação e ao comprometimeto do auo e do próprio docete em reação ao tema apresetado. Ressata-se a possibiidade de abordagem de outros tópicos curricuares com base essa Geometria reativamete ova, como fuções expoeciais e ogarítmicas (ZVL, 7), progressão geométrica e progressão aritmética (PLLESI, 7) e impemetações (BINCO, 7). Nesse setido, outros temas podem ser exporados com o ituito de cotiuar eriquecedo e desevovedo o tema.

56 For evauatio oy. Para um próximo trabaho de pesquisa pretede-se evar esta visão proporcioada pea Geometria Fracta, que ue simpicidade e beeza, comprovado através de pesquisas os resutados obtidos com este trabaho, torado dispoíve este cohecimeto a outros educadores, compartihado o prazer ecotrado ao esiar e apreder Matemática.

57 For evauatio oy. REFERÊNCIS BRBOS, R. M. Descobrido a Geometria Fracta - para a saa de aua. Beo Horizote: utêtica,. BSSO, M. V.. Educação Tecoógica e/a Educação Matemática: picações da Matemática a Saa de ua. Dispoíve em < cesso em: 7 dez. 6. BINCO, K. F. Fractais geométricos: características, costrução e impemetação. Moografia de Especiaização para Professores de Matemática, UFPR, a ser apresetada em out. 7. GOUVE, F. R.; MURRI, C. Fractais de bases caeidoscópicas. I: Ecotro Nacioa de Educação Matemática, 8, 4, Recife-PE. PVNELLO, R. N. O abadoo do esio da geometria o Brasi: causas e coseqüêcias. Revista Zetetiké, ao 1,. 1, p Campias: UNICMP, 1. MOISE, E. E.; DOWNS Jr, F. L. Geometria Modera, São Pauo: Edgard Bucher, 171. MURR, et a., Fractais: propriedades e costrução. Prodocêcia. UFPR, 7. PLLESI, D. M. Motivação do estudo de progressões aritméticas e geométricas através da geometria fracta. Moografia de Especiaização para Professores de Matemática, UFPR, a ser apresetada em out. 7. SLLUM, E. M. Fractais o esio médio. Revista do Professor de Matemática, SBM, º. 57, p. 1-8, maio/ago. São Pauo, 5. SERR, C. P.; KRS, E. W. Fractais gerados por sistemas diâmicos compexos. Curitiba: Champagat, 17.

58 For evauatio oy. SERR, C. P. O fracta Circutexto e sua geometria, Revista cadêmica, PUC, o II, Número, p. 5, março, Paraá, 11. ZVL,. B. P. Motivação do estudo de fuções expoeciais e ogarítmicas através da geometria fracta. Moografia de Especiaização para Professores de Matemática, UFPR, a ser apresetada em out. 7.