Instituto de Matemática - UFRGS

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1 Considerações sobre a prova de Matemática do ENEM Marcus Vinicius Basso Elisabete Zardo Búrigo Instituto de Matemática - UFRGS Neste texto apresentamos algumas considerações sobre características da prova de Matemática do Exame Nacional de Ensino Médio, com o objetivo de contribuir para os debates a respeito da sua possível utilização como mecanismo de ingresso, total ou parcial, na Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Inicialmente, revisamos os objetivos e critérios que orientam o atual processo de avaliação (Concurso Vestibular) para ingresso na Universidade. A seguir, examinamos um conjunto de questões de provas do ENEM, confrontandoas com os objetivos e critérios de avaliação propostos para o Exame, segundo os documentos do INEP. Consta no Manual do Candidato ao Concurso Vestibular 2014: Avaliação O Concurso Vestibular constitui-se de provas que visam a avaliação dos conhecimentos adquiridos pelos candidatos nas matérias do núcleo comum do Ensino Médio, matérias essas que, para fins deste concurso, são as seguintes: Física, Literatura de Língua Portuguesa, Língua Estrangeira Moderna, Língua Portuguesa e Redação, Biologia, Química, Geografia, Matemática e História. Cada conjunto de questões de uma matéria constitui uma prova. Especificamente sobre a prova de matemática, o texto de apresentação, no que se refere ao que é esperado dos candidatos, contém a seguinte redação: Matemática A prova de Matemática pretende identificar o aluno matematicamente alfabetizado, capaz de ler, compreender, interpretar e resolver situações-problema apresentadas na linguagem do cotidiano, na simbólica ou na linguagem dos gráficos, diagramas e tabelas. Privilegia, ao invés da memorização de definições, teoremas e fórmulas isoladas, a capacidade de o candidato usar o pensamento dedutivo e indutivo, o combinatório, o estimativo, o geométrico e o algébrico, entre outros, para resolver problemas e estabelecer conexões entre várias áreas dentro da própria Matemática. Enfatiza, pois, mais os conceitos e as ideias matemáticas do que os símbolos e os procedimentos de cálculo longos e formais. Apresenta, quando possível, questões que envolvam uma visão integrada da Matemática com outras áreas de conhecimento do candidato. As questões propostas abrangem conteúdos de Ensino Fundamental (1 1

2 Grau) e Ensino Médio (2 Grau) que possam servir de subsídio para os estudos posteriores do aluno nos diferentes cursos de graduação. Acompanhando essa redação, são listados os tópicos e subtópicos que serão abordados no exame de matemática. Conjuntos Numéricos Números naturais e inteiros: números primos e compostos decomposição em fatores primos; divisibilidade, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Números racionais: operações com frações, com representações decimal e em notação científica; razões, proporções, porcentagem e juros. Números reais: operações e propriedades; simplificação de expressões numéricas e algébricas; ordem, valor absoluto e desigualdades. Intervalos: representação gráfica e operações. Números complexos: expressões algébrica, geométrica e trigonométrica; operações na forma algébrica. Variáveis e Funções Variáveis discretas e contínuas; grandezas diretamente e inversamente proporcionais; construção e interpretação de gráficos (cartesianos, por setores circulares, de barras), de tabelas numéricas e de diagramas. Funções reais de variável real: domínio e imagem; classificação quanto ao crescimento; representação gráfica de y=f(x) e de suas transformadas (y=f(x+k), y=f(x)+k, y=f(k*x) e y=k*f(x), com k constante real não nula); função inversa; resoluções algébrica e gráfica de equações e de inequações. Função linear e afim: expressão algébrica; construção e interpretação de gráficos (raiz, coeficientes angular e linear); resoluções algébrica e gráfica de inequações de 1 grau. Função quadrática: expressão algébrica; construção e interpretação de gráficos (raízes, pontos de máximo e de mínimo, concavidade); resoluções algébrica e gráfica de inequações de 2 grau. Progressões Sequências numéricas: descrição pelo termo geral e por recorrência; construção e interpretação de gráficos Progressões Aritméticas: termo geral, interpolação e soma dos termos. Progressões Geométricas: termo geral, interpolação e soma dos termos. Logaritmo e Exponencial Funções exponenciais: expressão; construção e interpretação de gráficos; propriedades. Funções logarítmicas: expressão; construção e interpretação de gráficos; propriedades. Equações exponenciais e logarítmicas: resolução Polinômios Polinômios: grau e propriedades; operações; teorema do resto Equações algébricas: resolução (raízes simples e múltiplas, racionais e complexas); teorema fundamental da Álgebra Funções algébricas: expressão; construção e interpretação de gráficos (raízes, sinal) 2

3 Trigonometria Arcos e ângulos: medidas (graus e radianos), conversão de medidas Relações trigonométricas nos triângulos retângulos: seno, cosseno e tangente Funções trigonométricas circulares: expressão; construção e interpretação de gráficos; periodicidade; valores das funções nos arcos básicos Relações fundamentais: identidades trigonométricas simples; fórmulas da adição e subtração de arcos Resolução de triângulos quaisquer: leis dos senos e dos cossenos Geometria Euclidiana Plana Figuras geométricas planas: retas, semirretas, segmentos; ângulos; elementos, propriedades e construção de polígonos (triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio e hexágono regular) e do círculo; relações de congruência e semelhança Áreas e perímetros: polígonos; círculos e partes do círculo Relações métricas: nos triângulos, polígonos, polígonos regulares e círculos; inscrição e circunscrição de polígonos e círculos Geometria Espacial Figuras geométricas espaciais: poliedros e poliedros regulares Áreas de superfícies e volumes: prismas, pirâmides, cilindros, cones, esferas e partes da esfera Relações métricas: inscrição e circunscrição de sólidos Geometria Analítica Plana Pontos: coordenadas cartesianas e polares; distância entre dois pontos e ponto médio em coordenadas cartesianas. Retas: equações geral e reduzida; construção e interpretação gráfica; condições de paralelismo e perpendicularismo; intersecção de retas; distância de ponto à reta e entre retas paralelas. Círculo: equações normal e reduzida; construção e interpretação gráfica. Posições relativas entre pontos, retas e círculos. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Matrizes: construção, operações e propriedades. Determinantes: cálculo e propriedades Sistemas lineares m x n, com m, n 4: discussão e resolução. Análise Combinatória e Probabilidade Princípios de contagem Permutações, arranjos e combinações simples Binômio de Newton: desenvolvimento e termo geral Probabilidade: espaço amostral; resultados igualmente prováveis; probabilidade condicional e eventos independentes Tomando como referência as provas de matemática dos anos de 2010, 2011, 2012 e 2013, constata-se que, nesses quatro exames, todos os tópicos do programa de matemática foram contemplados. Desse modo, as provas sinalizam, 3

4 para as Escolas, que tais tópicos são considerados relevantes para a formação dos estudantes do Ensino Médio em termos de conceitos e habilidades básicos de Matemática. Acrescenta-se que as questões apresentam algumas características importantes em termos da formação que se espera de um aluno postulante a uma vaga na Universidade: - domínio de conceitos básicos de Matemática; - habilidade para interpretar textos contendo linguagem natural e linguagem matemática; - habilidade para resolver situações-problema; - habilidade para estabelecer relações. O ENEM, existente desde 1998 como exame de avaliação dos concluintes do Ensino Médio, teve seu caráter alterado em 2009, quando passou a ser utilizado como mecanismo de ingresso nas universidades públicas. A nova estrutura do Exame, organizado segundo áreas do conhecimento, foi Portaria nº 109/2009 do INEP. estabelecida pela A avaliação dos candidatos que realizam a prova do ENEM tem por referência uma Matriz, anexa à Portaria, contendo cinco eixos cognitivos: I. Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das linguagens matemática, artística e científica e das línguas espanhola e inglesa. II. Compreender fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos históricogeográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. III. Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema. IV. Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente. V. Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural. Para cada área do conhecimento, a Matriz é desdobrada em competências e habilidades a serem avaliadas. Para a área denominada Matemática, a Matriz apresenta as competências e habilidades que seguem. 4

5 Competência de área 1 - Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. H1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais. H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos. Competência de área 2 - Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. H6 - Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano. Competência de área 3 - Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida. H11 - Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano. H12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente. H14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas. Competência de área 4 - Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H15 - Identificar a relação de dependência entre grandezas. H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas. Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos. Competência de área 6 - Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. 5

6 H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos. Competência de área 7 - Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. H27 - Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. H28 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. H29 - Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. H30 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade. A seguir, apresentamos um conjunto de questões das provas do ENEM dos anos de 2010, 2011 e 2012, para examiná-las do ponto de vista de critérios que têm sido divulgados como características relevantes do Exame: a contextualização das questões, a avaliação de habilidades, a ênfase na modelagem e na resolução de situações-problema. Como um primeiro exemplo, comentamos a questão 146 da prova amarela do ENEM Observa-se que, no enunciado da questão, o contexto da siderúrgica e do material utilizado é irrelevante para a construção e para a avaliação da compreensão do conceito de volume pelo candidato. 6

7 Caberia ainda perguntar: essa questão envolve resolver uma situaçãoproblema? De acordo com a literatura, resolver um problema envolve selecionar dados, construir uma estratégia. Que seleção de dados e que estratégia o candidato precisaria utilizar para marcar a resposta correta? Examinando as questões 157 e 162 (prova amarela ENEM 2010), apresentadas a seguir, podemos observar que nelas são dadas diferentes aproximações para a constante : 3 e 3,1. Provavelmente, a intenção era a de facilitar os cálculos necessários para se resolver cada questão. Entretanto, ao dar as aproximações, as questões deixam de avaliar a habilidade do candidato de obtê-las, e reforçam as confusões, recorrentes nos livros didáticos, entre os números irracionais e suas aproximações

8 2010 Na questão de número 168 (prova amarela ENEM 2010), temos novamente um enunciado com um contexto artificial e que, à semelhança de outros tantos enunciados das provas do ENEM, apresenta textos longos e que distraem o leitor em termos do que é essencial para resolver a questão

9 A questão 157 (ENEM 2012 prova amarela) aborda a nomenclatura da ordem dos números. Esse é um exemplo de questão que não avalia nenhuma das habilidades constantes da Matriz de Referência do ENEM Na questão 137 (prova amarela ENEM 2011), temos uma questão cuja resposta está praticamente dada no enunciado, ou que avalia uma habilidade muito básica de leitura de relógios analógicos

10 Já na questão de número 149 (prova amarela ENEM 2011), temos um exemplo de uma redação longa, mas que avalia habilidades simples de cálculo e que apresenta alternativas dentre as quais é muito fácil selecionar a correta Sobre a questão 151 (ENEM 2012 prova amarela), questiona-se a necessidade informar ao candidato que a área do forro, após ser lavado, é (5-x)(3-y). A intenção é apresentar essa informação para auxiliar o candidato a resolvê-la? Nessa situação, como em outras, é beneficiado o candidato que, ao invés de ler cuidadosamente o enunciado, identifica rapidamente as pistas dadas no enunciado e nas ilustrações. 10

11 2012 Na questão 153 (ENEM 2012 prova amarela), temos outro exemplo de questão que apresenta um excesso de informações. A figura é apresentada na suposição de que o candidato não será capaz de imaginá-la, a partir do texto? Com esse formato, a questão deixa de avaliar o pensamento geométrico, que pode ser facilmente substituído pela aplicação de uma fórmula bem conhecida. 11

12 2012 As questões que abordam o conteúdo funções limitam-se aos modelos mais simples, e em geral às funções lineares, afins ou quadráticas. Além disso, nas questões 141 e 167 (Prova Cinza, ENEM 2012), observamos que não é avaliada a habilidade de construir gráficos ou equações, bastando ao candidato escolher dentre as alternativas dadas, dentre as quais as erradas podem ser facilmente descartadas

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14 Sistematizando as considerações já feitas, podemos apontar que: - são frequentes, nos enunciados, os contextos artificiais e que, além de conterem enunciado longo e com informações em excesso ou distratoras, não contribuem para a avaliação de habilidades e domínio de conceitos; 14

15 - em geral, para resolver as questões, o candidato não necessita equacionar, construir gráficos, desenhar ou imaginar figuras, pois são dados no enunciado, ou é suficiente que o candidato reconheça as respostas erradas; - embora a prova seja longa (45 questões), avalia poucos conceitos e habilidades, que se repetem em várias questões; - o volume e o formato das questões favorecem a leitura e a escolha rápida de uma alternativa, isto é, uma interpretação superficial, contrariando o discurso interdisciplinar segundo o qual haveria a análise de situações-problema envolvendo as diferentes áreas. Além disso, a organização da matriz do Enem segundo habilidades genéricas oferece ampla liberdade ao INEP para escolher conteúdos que estarão (ou não) envolvidos nas questões. Tópicos usualmente abordados no Ensino Médio, como logaritmos, funções exponenciais, Trigonometria e Geometria Analítica, não têm sido avaliados nas provas. O grande volume de questões, a serem resolvidas em tempo exíguo, só se justifica como mecanismo de produção de diferentes escores, permitindo a classificação dos candidatos, uma vez que poucas habilidades, conceitos e conteúdos têm sido de fato avaliados. Esse formato de prova favorece os candidatos mais bem treinados e revela pouco acerca das aprendizagens em Matemática. Na prova de 2013, ainda não divulgada pelo INEP, pôde-se observar que os enunciados foram, de maneira geral, mais breves, e que foram valorizadas algumas habilidades mais complexas, como a do equacionamento. Entretanto, ainda persistem contextualizações artificiais, ausência de alguns conteúdos usualmente abordados nas Escolas de Ensino Médio e o tempo reduzido para resolução de grande número de questões continua sendo um obstáculo para que a maioria dos candidatos apresentem suas melhores habilidades e conhecimentos. Para finalizar, diante da possibilidade da adoção do ENEM como instrumento de avaliação para ingresso na UFRGS, propomos que seja discutida a Matriz de Referência, pois trata-se de documento emanado pelo INEP, que não encontra amparo na Lei de Diretrizes e Bases (Lei nº 9394/96). Propomos também que seja solicitada ao INEP a divulgação de dados sobre as provas, como: 15

16 - critérios adotados para a seleção de questões, com indicação das habilidades que cada questão pretende avaliar e de quais são as questões consideradas fáceis, médias e difíceis, de modo que se possa avaliar a coerência entre provas e documentos legais que orientam o Exame; - o número de acertos por questão e, preferencialmente, o número de marcações para cada item a, b, c, d e e, com desagregação regional, para seja possível entender o que os candidatos estão acertando ou errando e como; - análises de desempenho, tais como as que constam nos Relatórios Pedagógicos, elaborados pelo INEP até Referências Silva. Patrícia Lima da. ENEM versus aprendizagem em matemática. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Instituto de Matemática. Curso de Matemática: Licenciatura, Disponível em Acesso online em 14 nov UFRGS. Manual do Candidato, vestibular Disponível em: /manual_CV2014.pdf/at_download/file. Acesso online: 14 nov