UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

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1 1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA A CIRCUNFERÊNCIA NA GEOMETRIA DO TAXISTA Anna Paula Souza Leal Anápolis-GO 2011

2 2 ANNA PAULA SOUZA LEAL A CIRCUNFERÊNCIA NA GEOMETRIA DO TAXISTA Trabalho de Curso apresentado à Coordenação Adjunta de TC, como parte dos requisitos para obtenção do título de Graduado no Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Goiás, sob a orientação da Prof.ª Msc. Selma Marques de Paiva. Anápolis-GO 2011

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4 4 Ao meu Deus que a tudo presidiu e me deu forças nos momentos mais difíceis.

5 5 AGRADECIMENTOS Em primeiro, lugar agradeço a Deus pelo maravilhoso dom da vida, por sua misericórdia e cuidado em todos os momentos da minha jornada. A minha orientadora, professora Selma Marques de Paiva por sua excelência técnica e profissional, paciência e solicitude, seu apoio foi imprescindível para a construção deste trabalho. Aos professores e amigos que fiz ao longo desses quatro anos, meu sincero agradecimento. A todos meus familiares. Em especial ao meu pai que o Papai do Céu levou em Nossa! Como foi difícil chegar até aqui sem você, meu paizinho. E só consegui, porque pensei em você em todos os momentos, pois você sempre lutou para que isto acontecesse. Tenho em você um verdadeiro exemplo a ser seguido. Te amo pai e sempre te amarei! A minha mãe, por ser sempre um porto seguro onde eu posso me abrigar. Obrigada por suas constantes orações, sem as quais eu não teria aqui chegado. A minha irmã e ao meu cunhado, com os quais eu posso contar em todos os momentos. Ao meu esposo, por sempre me apoiar nas dificuldades. Ao meu filho que é tudo na minha vida, te amo. Enfim, gostaria de agradecer a todos que de alguma maneira me ajudaram a realizar este projeto.

6 6 RESUMO A Geometria do Taxista pode ser considerada como uma coadjuvante no ensino de vários tópicos da matemática, inclusive da própria Geometria Euclidiana, ela ressalta o cotidiano das pessoas nos seus deslocamentos, com o propósito de trazer uma contribuição para se pensar e produzir matemática de forma mais flexível e criativa. O objetivo deste trabalho é utilizar alguns conceitos da Geometria do Taxista e tentar mostrar, por meio de exemplos, como esses conteúdos podem ser trabalhados no Ensino Fundamental e Médio. Pretende-se ainda, que os professores de matemática possam diversificar suas aulas, tendo neste mais uma ferramenta para desenvolver sua prática docente. Além disso, deseja-se também, convidar o leitor com interesse em estudar geometria, a tomar conhecimento da Geometria do Taxista, dando ênfase ao estudo da circunferência. Simultaneamente, realizou-se um paralelo entre a Geometria Euclidiana e a Geometria do Taxista com relação a alguns tópicos. Para a realização deste trabalho, empregou-se a pesquisa bibliográfica em livros, revistas, artigos e também na rede mundial de computadores. Ao final do estudo, verifica-se que o emprego da Geometria do Taxista apresenta uma possibilidade de diversificação metodológica para facilitar o processo ensino-aprendizagem da Matemática. Palavras-chave: Geometria do Taxista; Circunferência; Métrica.

7 7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 8 CAPÍTULO VIAJANDO POR DIFERENTES GEOMETRIAS Histórico Função de Distância CAPÍTULO CAMINHOS VARIADOS CAPÍTULO A TÁXI-CIRCUNFERÊNCIA CAPÍTULO APLICAÇÕES NO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO...28 CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 36

8 8 INTRODUÇÃO De acordo com Imenes (1992), em seu livro intitulado Geometria da coleção Pra que serve matemática?, a palavra geometria vem da língua grega: geo = terra e metria = medida. Geometria significa medida da terra, isso porque os egípcios cultivavam terras que eram divididas em lotes, nas margens do rio Nilo, e, na época das chuvas, o rio transbordava e as divisórias dos lotes eram apagadas. Assim, vinham funcionários do faraó refazer a divisão da terra. Para tanto, mediam comprimentos, larguras, ângulos, etc. Os gregos então aprenderam com os egípcios esses conceitos, os desenvolveram ainda mais e os nomearam de Geometria, já que inicialmente serviam para medir terras. Apesar de trazer no nome medida, a Geometria tem muito a ver com a forma. O interesse pelas formas geométricas, sem a preocupação com medidas, acompanha os seres humanos desde o começo da história até hoje. A Geometria, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN s), tem tido pouco destaque nas aulas de matemática e, muitas vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas. Ela desempenha um papel fundamental no currículo, à proporção que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Com isso, constata-se que é necessário repensar o ensino da Geometria para que haja uma maior aprendizagem, pois ainda há dificuldades com o seu ensino. Estudamos, na Geometria, que uma circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão a uma certa distância fixa, chamada raio, de um certo ponto fixo, chamado centro. Neste trabalho, aborda-se seu estudo inserido na Geometria do Taxista, que é um modelo de geometria não-euclidiana. O adjetivo não-euclidiana surgiu do fato de a mesma estar ligada a alguns princípios diferentes dos estabelecidos por Euclides, como por exemplo, a negação do 5º axioma. Lembrando que foi Euclides quem organizou os cinco Axiomas e Postulados em sua obra Os Elementos. A Geometria do Taxista foi desenvolvida por Hermann Minkowski ( ), um matemático nascido na Rússia. Trata-se da geometria aplicada na malha quadriculada, na qual as intersecções das linhas horizontais com as verticais correspondem às ruas da cidade ideal ou cidade imaginária.

9 9 A Geometria do Taxista pode ser considerada como uma coadjuvante no ensino de vários tópicos da matemática, inclusive da própria Geometria Analítica. Ela ressalta o cotidiano das pessoas nos seus deslocamentos, com o propósito de trazer uma contribuição para se pensar e produzir matemática de forma mais flexível e criativa. É pouco conhecida, mas faz parte do dia a dia de cada um de nós, na maior parte do tempo. Diante da importância desse estudo, percebe-se que a mesma facilitará o entendimento do que acontece nas vias de trânsito, pois é algo concreto, que faz parte da nossa rotina. Trata-se também de um modelo muito útil na geografia urbana, já que as pessoas são obrigadas a viajar ao longo das ruas ou calçadas. De acordo com isso, Krause (1986), afirma que A Geometria do Taxista é quase o mesmo que a Geometria Euclidiana. Os pontos são os mesmos, as linhas são as mesmas, e os ângulos são medidos da mesma maneira. Somente a função de distância é diferente. Com a presente pesquisa, pretende-se mostrar que através do ensino da Geometria do Taxista, pode-se suprir certas deficiências na Educação Matemática, levando em conta a sua aplicação prática, ao mesmo tempo, conseguir uma melhor compreensão dos alunos. No capítulo 1 aborda-se um pouco a respeito do histórico das geometrias não-euclidianas, em especial, da Geometria do Taxista, fazendo-se um paralelo com a Geometria Euclidiana. O capítulo 2 trata de ambas as Geometrias, destacando, por exemplo, o fato de que na Geometria Euclidiana a distância mínima entre dois pontos define uma linha reta, enquanto que na Geometria do Taxista podem existir inúmeros caminhos que vão de um ponto a outro e que tenham a mesma distância. No capítulo 3, define-se a Táxi-Circunferência, na qual a distância é determinada por uma métrica diferente da Geometria Analítica, em que o círculo têm a forma de quadrado (de acordo com a Geometria Euclidiana) e nem sempre o raio e o diâmetro serão em linha reta, ou seja, pela Geometria do Taxista segue-se horizontalmente e verticalmente. Com isso, existem vários formatos de raios e diâmetros de mesmo tamanho. O é dado da mesma maneira que na Geometria Euclidiana, ou seja, é a razão entre o perímetro e o diâmetro da circunferência; e há alguns teoremas Euclidianos que não são satisfeitos pela Geometria do Taxista como, por exemplo, o que diz que duas circunferências se interceptam no máximo

10 10 em dois pontos, enquanto que na Táxi-Circunferência podem ficar tangentes em inúmeros pontos. Como a Geometria do Taxista é de simples compreensão, pode ser muito bem inserida no Ensino Básico, tendo em vista que fornece um modelo mais útil para a realidade e assim acaba-se por sugerir, no capítulo 4, alguns exemplos de como seria possível a aplicação desse conteúdo nas aulas de matemática. Observando-se o fato de que nas aulas de matemática há sempre um questionamento por parte do aluno sobre a aplicabilidade e utilização dos conteúdos em sua vida cotidiana, vemos que a Geometria do Taxista vem ao encontro dessa reflexão, fornecendo ao aluno uma perspectiva mais adequada à disciplina de matemática e ao aprendizado da mesma, permitindo fazer ligações com o mundo em que vive, além de contextualizar o conteúdo.

11 11 CAPÍTULO 1 VIAJANDO POR DIFERENTES GEOMETRIAS Neste capítulo aborda-se um pouco do histórico das geometrias nãoeuclidianas e, em especial, sobre a Geometria do Taxista, fazendo-se um paralelo com a Geometria Euclidiana. A descoberta da primeira Geometria não-euclidiana foi uma revolução no mundo da matemática, pois a comunidade científica do século XIX acreditava que a Geometria de Euclides era única e verdadeira interpretação do espaço em que vivemos. A Geometria Euclidiana dominou a visão do mundo real e a noção de distância por linha reta durante algum tempo. Ela é ensinada na escola e tem esse nome em homenagem a um matemático grego chamado Euclides, que nasceu em 325 a.c. e morreu em 265 a.c.. Euclides, de Alexandria, ficou conhecido pelo seu mais famoso trabalho Os Elementos. Desde a publicação dos Elementos, suspeitavam que o V Postulado de Euclides poderia ser demonstrado utilizando os quatro Postulados anteriores, e muitos foram os matemáticos que tentaram demonstrá-lo, mas só por volta de 1830 surgiram suspeitas que talvez outras geometrias pudessem ser desenvolvidas contradizendo o Postulado das paralelas e, portanto, ele não poderia ser demonstrado a partir dos outros. A não existência da prova do V Postulado de Euclides levou os matemáticos a interpretarem que este não é uma consequência dos outros quatro anteriores, e que poderiam criar outras geometrias consistentes como a de Euclides tentando contradizer o V Postulado, foi então que tentaram axiomatizar que existe mais de uma reta paralela a uma outra reta passando por um ponto dado, ou axiomatizar a não existência de retas paralelas, daí surgiram as Geometrias não-euclidianas. Para melhor entender esses enunciados e outros colocados posteriormente, faz-se necessário lembrar os cinco postulados de Euclides: I Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos a vontade. II Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente. III Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários. IV Todos os ângulos retos são iguais.

12 12 V Por uma reta P exterior a uma reta m, consideradas em um mesmo plano, existe uma única reta paralela à reta m. Na geometria do Taxista, o V Postulado de Euclides é substituído pelo que afirma que, por um ponto dado P, fora de uma reta m, existe mais de uma paralela a esta reta m. Devemos nos lembrar de que existem também outras Geometrias ditas não-euclidianas, como por exemplo, a Geometria Elíptica, Geometria Hiperbólica, entre outras. As Geometrias não-euclidianas foram criadas no início do século XIX e abriram grandes perspectivas para o desenvolvimento da matemática Histórico A Geometria do Taxista foi desenvolvida por Hermann Minkowski ( ), um matemático nascido na Rússia. Essa é aplicada na malha quadriculada, na qual as intersecções das linhas horizontais com as verticais correspondem às ruas da cidade ideal ou cidade imaginária. A Geometria do Taxista fornece um modelo útil na vida urbana, pois é capaz de modelar as trajetórias por linhas quebradas, das pessoas e de veículos que se deslocam entre quadras, ao longo de avenidas. Na Geometria do Taxista a menor distância nem sempre é a linha reta. A distância é medida como a viagem de um táxi nas ruas de uma cidade, onde as ruas são horizontais e verticais, daí seu nome Função de Distância Em 1637, o matemático francês René Descartes pretendeu integrar a Álgebra e a Geometria, dando origem à Geometria Analítica, que é um tipo de Geometria Euclidiana, que estuda figuras geralmente em duas, três ou mais dimensões. No estudo da Geometria Analítica é utilizado o plano cartesiano, um sistema formado por dois eixos ortogonais entre si no ponto O, como na Figura 1.

13 13 Figura 1 Onde O x representa o eixo das abscissas e O y o eixo das ordenadas. Cada ponto no plano possui uma abscissa e uma ordenada que é indicado pelo par ordenado (x, y) que é chamado de coordenadas cartesianas. Para o cálculo da distância Euclidiana entre dois pontos consideram-se, por exemplo, os pontos A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ) representados na figura abaixo: Figura 2 Considerando-se que a distância Euclidiana entre os pontos A e B é o segmento de reta AB e que é possível construir um triângulo retângulo ABC, conforme a figura abaixo, e utilizando - se a relação de Pitágoras obtém-se:

14 14 Figura 3 ( ) 2 = ( ) 2 + ( ) 2 ou d 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Conclui-se, então, que a distância Euclidiana entre dois pontos, A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ) quaisquer do plano, é dada por: d E (A, B) = (x x ) + (y y ) Na Geometria do Taxista, pode-se pensar em um piso quadriculado, como o plano cartesiano e a maneira para localizar pontos através de coordenadas é como na Geometria Analítica. No entanto, o caminho de menor distância entre dois pontos na Geometria do Taxista só será um segmento de reta se os mesmos estiverem na horizontal ou na vertical. As pessoas e os carros são obrigados a fazer o percurso das ruas de uma cidade, onde as ruas não têm largura e correm no sentido vertical e horizontal e os prédios e as casas são representados por pontos. Assim, para calcular a distância entre dois pontos que não estão na mesma horizontal ou vertical, é preciso somar os segmentos horizontais e verticais percorridos. Na Geometria do Taxista devem-se considerar apenas os pontos de coordenadas inteiras, e neste caso, as distâncias são sempre inteiros, como são medidos em números de blocos que o táxi deve ultrapassar para se deslocar de um ponto a outro, número definido que é construído e pertence ao conjunto dos números inteiros.

15 15 Portanto, pode-se definir a distância entre dois pontos, assim como na Geometria Analítica, a distância horizontal x entre quaisquer dois pontos é a diferença entre os valores das coordenadas de x desses pontos. Análogo, a distância vertical y é a diferença entre os valores correspondentes y. Logo, para dois pontos A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ), tem-se: Figura 4 Na Geometria do Taxista a definição de distância entre dois pontos será x + y, onde significa a diferença: d T (A, B) = + Em que refere-se à distância do táxi do ponto A ao ponto. A Geometria do Taxista apresenta algumas propriedades semelhantes às da Geometria Analítica, já que tratamos de distância. 1) A distância entre dois pontos é sempre positiva, d T (A, B) 0; 2) É simétrica, d T (A, B) = d T (B, A); 3) Só é igual a zero, se os pontos coincidirem, d T (A, B) = 0 se, e somente se, A = B;

16 16 4) Satisfaz a desigualdade triangular, ou seja: d T (A, C) + d T (C, B) d T (A, B). Uma função como a d T que satisfaz as propriedades acima é chamada métrica. Conclui-se que a Geometria do Taxista utiliza uma métrica diferente da usual e dependendo do contexto é mais condizente com a realidade das pessoas. Sabe-se que as Geometrias não Euclidianas são também muito importantes e utilizam funções de distância diferentes, sem deixarem de ser valorizadas.

17 17 CAPÍTULO 2 CAMINHOS VARIADOS Na Geometria Euclidiana a distância mínima entre dois pontos, é dada pelo tamanho do segmento reto que liga os pontos, enquanto que na Geometria do Taxista podem existir inúmeros caminhos que vão de um ponto a outro e que tenham a mesma distância. Na Figura 5 abaixo, os quadrados representam as quadras de uma cidade, e entre elas passam as ruas e avenidas. Supondo que um táxi vai deslocar do ponto A ao ponto F, quantos caminhos mínimos e de mesmo tamanho seriam possíveis? Figura 5 Considera-se que existem vários caminhos distintos ligando o ponto A ao ponto F. Considera-se também que o deslocamento entre dois pontos de cada quadra seja equivalente a movimentos na vertical (v) ou movimentos na horizontal (h). Sendo assim tem-se: Caminho 1: equivale a vvhhh Caminho 2: equivale a hhhvv Caminho 3: equivale a vhhhv Caminho 4: equivale a hvhvh Caminho 5: equivale a hhvvh Caminho 6: equivale a vhvhh

18 18 Caminho 7: equivale a hhvhv Caminho 8: equivale a vhhvh Caminho 9: equivale a hvhhv Caminho 10: equivale a hhvhv Portanto, para percorrer do ponto A ao ponto F, existem 10 caminhos mínimos e de mesmo tamanho. Nem sempre é mais viável descrever as possibilidades para descobrir o número de caminhos mínimos possíveis. Observando-se os caminhos acima, notase que todos possuem a mesma quantidade de movimentos na horizontal (três) e a mesma na vertical (dois), e o que difere é apenas a ordem com que os elementos v e h aparecem, obtendo-se assim uma permutação com repetição. Devido a isso, o problema torna-se combinatório, devendo-se escolher dentre o total de ruas, h ruas horizontais e v ruas verticais. Lembrando que a fórmula da permutação com repetição é dada pela relação, onde somente dois elementos se repetem v e h : (, ) =!!! Onde n é o total de elementos permutados, α, β é o número de vezes que cada elemento distinto se repete e α + β = n Considere o caso da Figura 6 abaixo: Figura 6

19 19 tem-se: Calculando-se as distâncias do ponto A ao ponto B de cada retângulo, Em I: P (, ) =!!! =.!!! = = 3 caminhos Em II: (, ) P! =!! =...!!! Em III: = (, ) P! =!! =....!!! = 84 caminhos = = 220 caminhos Conclui-se assim, que na Geometria do Taxista existem vários caminhos a percorrer de um ponto ao outro de mesmo módulo, enquanto que na Geometria Euclidiana só existiria um caminho entre dois pontos de menor tamanho. Nem sempre a Geometria Euclidiana é mais viável que a Geometria do Taxista, vejamos um exemplo nas próximas linhas: Exemplo: Seja o ponto O (0, 0) (Figura 7), a localização do serviço de Ana, e seja A (3, 5) o local onde o marido de Ana trabalha e B (1, 6), o local do trabalho da filha do casal. Sabendo que os serviços são de expedientes iguais, para qual dos dois é mais viável levar ou buscar Ana? Figura 7

20 20 Resposta: Pela Geometria Euclidiana, o serviço de Ana está mais perto de onde trabalha o marido, pois: d E (A, O) = ( 3 0 ) 2 + ( 5 0 ) 2 = 34 5,83 d E (B, O) = ( 1 0 ) + ( 6 0 ) = 37 6,08 Logo d E (A, O) 5,83 < d E (B, O) 6,08. Mas pela Geometria do Taxista, é melhor que a filha vá buscar a mãe, pois o caminho a percorrer é menor que o caminho do pai: d T (A, O) = 3 (0) + 5 (0) = 8 d T (B, O) = 1 (0) + 6 (0) = 7 Então: d T (B, O) = 7 < d T (A, O) = 8 Observe que d E (B, O) < d T (B, O) e d E (A, O) < d T (A, O) A distância do taxi é sempre maior do que ou igual à distância na métrica Euclidiana. Para verificar esta afirmação, considere os pontos A(x A, y A ) e B(x B, y B ) e a desigualdade: 2 x A - x B. y A, y B 0 obtemos: Somando (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 aos dois membros desta desigualdade (x A x B ) 2 + (y A y B ) x A - x B. y A, y B (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 Logo: ( x A - x B + (y A y B ) 2 (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2

21 21 Como os dois membros desta desigualdade são maiores do que ou iguais a zero, extraindo a raiz quadrada dos dois membros a desigualdade continua válida, ou seja, ( x x + y y ) (x x ) +(y y ) Portanto, x A - x B + y A - y B (x x ) +(y y ), ou seja, d T (A, B) d E (A, B). Percebe-se assim, a simplicidade e a facilidade com que a Geometria do Taxista pode ser explorada, envolvendo problemas de contagem e análise combinatória.

22 22 CAPÍTULO 3 A TÁXI-CIRCUNFERÊNCIA Neste capítulo define-se a Táxi-Circunferência, na qual a distância é determinada por uma métrica diferente da Geometria Euclidiana. Neste contexto, os círculos assumem a forma de quadrados da Geometria Euclidiana observa-se que existem vários formatos de raios e diâmetros de mesmo tamanho. Trata-se sobre o que é dado da mesma maneira que na Geometria Euclidiana, ou seja, é a razão entre o perímetro e o diâmetro da circunferência. Na Geometria Analítica, uma circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistante de um ponto fixado, denominado centro da circunferência. Assim, sendo C(x 1, y 1 ) o centro e P(x 2, y 2 ) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(x 2, y 2 ) é o raio da mesma. Figura 8 A distância de C a P pelo teorema de Pitágoras é dada por: d CP = r 2 = ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 ou d CP = r = ( x x ) + ( y y ) que é denominada equação da circunferência de centro C(x 1, y 1 ) e raio r.

23 23 Na Geometria do Taxista, a definição permanecerá a mesma utilizada pela Geometria Euclidiana. Porém, a distância é determinada por outra métrica, o que resultará numa figura também de forma diferente: Figura 9 Pode-se perceber que a menor distância (raio) é igual para todos os pontos, onde o centro é Q(a, b) e um ponto qualquer P(x, y), a equação se escreve: x a + y b = r Para x a, se x a -x + a, se x a Para y - b y b, se y b x a + y - b r = 0 - x + a + y b r = 0 -y + b, se y b x a y + b r = 0 - x + a y + b r = 0 Utilizando a Figura 9, com Q(3, 3) e raio 3, tem-se: + = 3 Para x 3, se x 3 -x + 3, se x 3 Para y - 3 y 3, se y 3 x + y 6 = 0 - x + y = 0 -y + 3, se y 3 x y = 0 - x y + 6 = 0

24 24 Lembrando-se que o raio é a distância do centro a um ponto da circunferência e que o diâmetro é o segmento de reta passando pelo centro que liga dois pontos da circunferência, vê-se que existem vários formatos de raios e diâmetros de mesmo tamanho. Veja alguns exemplos: Para o raio: Figura 10 Para o diâmetro: Figura 11 O também é dado da mesma maneira que na Geometria Analítica. Ele é a razão entre o perímetro (comprimento) e o diâmetro da circunferência. De acordo com a Figura 12, tem-se uma circunferência de raio 1 u., com perímetro igual a 8 u. e 4 pontos, de raio 2 u., com perímetro 16 u. e 8 pontos, de raio 3 u., com perímetro 24 u. e 12 pontos, e assim por diante. Nota-se que para o perímetro, forma-se uma Progressão Aritmética de razão 8; logo o perímetro será dado por 8r e o diâmetro continua sendo 2r, onde r é o raio da circunferência.

25 25 Generalizando: Figura 12. = = 4 Exemplos: De r = 2 π = = = 4 Figura 13 Figura 14

26 26 De r = 3 π = = = 4 Portanto, o π na geometria do taxista vale 4. Há alguns teoremas Euclidianos que não são satisfeitos pela Geometria do Taxista como que duas circunferências se interceptam no máximo em dois pontos. Vê-se que duas Táxi-Circunferências podem ficar tangentes em um único ponto, ou até mesmo em inúmeros pontos, como nas figuras abaixo: Figura 15 Mas também pode ocorrer que duas Táxi-Circunferências sejam tangentes em um único ponto: Figura 16

27 27 Portanto nota-se algumas diferenças entre a Táxi-Circunferência e a circunferência Euclidiana, o que era de se esperar, já que a Táxi-Circunferência segue da Geometria do Taxista, que é não Euclidiana e assim nega o V Postulado de Euclides e logo nega todos os teoremas que se baseiam nele, mas existem também semelhanças.

28 28 CAPÍTULO 4 SUGESTÕES PARA USO NO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO Neste capítulo, deixam-se algumas sugestões práticas de como a Geometria do Taxista pode ser abordada de forma significativa e motivadora na educação matemática. Serão mostrados alguns exercícios que podem ajudar professores de matemática em sua prática pedagógica. Os problemas apresentados aqui podem ser solucionados, utilizando os conteúdos de Geometria do Taxista e podem ser adaptados para serem trabalhadas no Ensino Básico. Obs.: Os exercícios 1 e 2 terão como referência o mapa abaixo: Fonte: LANNES, Wagner; LANNES; Rodrigo. Matemática, volume 2, 6 série. São Paulo: Editora do Brasil, Figura 17 Exercício 1. Pedro, enquanto voltava da escola, sentiu vontade de saborear o gostoso pão quentinho que a padaria perto de sua casa produz. Qual seria o menor percurso possível para Pedro chegar à sua casa, passando antes pela padaria?

29 29 Solução: Um possível método seria o da contagem ou outro mais seguro seria pela definição do Taxista. Como neste trabalho está sendo apresentada a Geometria do Taxista, será seguido pela mesma. Considerando que a Rua Tupis seja o eixo da ordenada (y) e que a Rua Rio de Janeiro seja o eixo da abscissa (x), e que a padaria está situada na coordenada (2, 1) e a escola de Pedro na coordenada (0, -1), calculando primeiramente a menor distância do taxista entre a escola e a padaria e em seguida, quantos menores caminhos possíveis da escola à padaria. Tem-se: Figura 18 Onde, E = Escola, P = Padaria, C = Casa de Pedro e F = Farmácia d T (E, P) = ( 1 ) = 4 u. Como a quadra entre a escola e a padaria tem 2 u. na horizontal e 2 u. na vertical, obtém-se: (, ) P! =!! =..! =!! = 6 caminhos Portanto, serão 6 caminhos de tamanho 4 u. Agora, fazer o mesmo processo considerando o caminho da padaria à casa de Pedro, supondo que esta se situa na coordenada (-3, 2): d T (P, C) = 2 ( 3) = 6 u.

30 Como a quadra entre a padaria e a casa de Pedro tem 2 u. na vertical e 5 u. na horizontal, obtém-se: 30 (, ) P! =!! =..! = 42 = 21 caminhos!! 2 Portanto, serão 21 caminhos de tamanho 6 u. Logo, somando os dois menores possíveis percursos para Pedro chegar à sua casa, passando antes pela padaria será de 10 u. Exercício 2. Pedro lembrou que sua mãe o estava esperando para almoçar, então resolveu ir direto para casa. Qual seria o menor percurso se ele não passasse pela padaria? Solução: Como a escola está situada na coordenada (0, -1) e a casa de Pedro na coordenada (-3, 2), temos: d T (E, C) = 0 ( 3) + ( 1) 2 = 6 u. Como a quadra entre a escola e a casa de Pedro tem 3 u. na vertical e 3 u. na horizontal, obtém-se: (, ) P! =!! =...!!! = = 20 caminhos Portanto, serão 20 caminhos de tamanho 6 u. Exercício 3. O Departamento de Polícia de uma cidade ideal recebe uma chamada de um acidente no ponto X(-1, 4). Há dois carros de polícia nas redondezas, um carro em C(2, 1) e outro carro em D(-1, -1). Qual carro deveria ser enviado para o local do acidente?

31 31 Figura 20 Solução: Primeiramente, calcular a distância do táxi de D a X: d T (D, X) = -1 (-1) + 4 (-1) = 5 u. Agora de C a X: d T (C, X) = = 6 u. Como a distância entre D e X é menor, o carro D deveria ir ao local do acidente. Exercício 4. Um construtor quer construir um prédio que esteja a uma distância de cinco quadras do centro comercial S(- 3, 0) e a uma distância de quatro quadras do campo de tênis T(2, 2). Onde o edifício deve ser construído? Solução: Primeiramente, é necessário buscar os pontos comuns às duas Circunferências do Táxi, com 5 e 4 quadras de raio e centradas, respectivamente, em S e em T. Usando a definição da Táxi-Circunferência, obtém-se: Para o centro comercial Para o campo de tênis y = - x + 2 y = - x + 8 y = x 2 y = x 4 y = x + 8 y = x + 4 y = - x 8 y = - x

32 32 Figura 21 Logo, o local que deve ser construído o prédio é no ponto (-1, 3) ou (1, -1). Exercício 5. Uma estação Policial recebe um chamado de roubo no Supermercado Preço Feliz. A telefonista Clotildes promete enviar um carro de patrulha o mais rápido possível. Para isso, dona Clô, como era chamada, decide enviar o carro mais próximo do Supermercado, supondo que este chegará mais rápido. Sabendo que há duas patrulhas fazendo ronda na área em que está localizado o Supermercado, que são os motoristas Farias e o Gomes, ela olha para o mapa em suas mãos com a posição dos dois carros e do Supermercado e, depois de muito pensar, decide enviar o Gomes. Sendo: F-Patrulha Farias; G-Patrulha Gomes; S-Supermercado Preço Feliz ; E-Estação Policial, onde está dona Clô.

33 33 Mapa da cidade Figura 22 Mas, a telefonista não estava contando com o senhor José, que estava por perto e escutou a conversa. José tinha 60 anos e depois que decidiu se alfabetizar e a ser o melhor aluno da classe, passou a intrometer em tudo no trabalho. Após dona Clô ligar para o Gomes, José nem contou um segundo para dizer: Ihhh, dona Clô, a senhora não pensa não, é??!! A senhora não vê que o carro do Farias estava mais próximo do Supermercado??!! 01- E aí, você acha que José é intrometido, mas inteligente, e deu o pitaco correto? Ou você concorda com dona Clô e acha que a experiência na profissão lhe ajuda na hora de tomar decisões como esta? Solução: De acordo com a Geometria do Taxista, utilizando o método da contagem, Farias se encontra a 6 quadras do hotel, enquanto Gomes a 7 quadras, então, José estava correto e a experiência não ajudou dona Clô na hora de tomar esta decisão. Termina-se este capítulo convidando o leitor a buscar outros exemplos do cotidiano em que podem ser aplicados a Geometria do Taxista e espera-se que os exemplos acima tenham sido de fácil assimilação.

34 34 CONCLUSÃO Menciona-se neste trabalho que a Geometria, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN s), tem tido pouco destaque nas aulas de matemática e, muitas vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas. Espera-se que ela passe a desempenhar um papel fundamental no currículo, à proporção que venha possibilitar ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Com isso, constatamos que, é necessário repensar o ensino da Geometria para que haja uma maior aprendizagem, pois ainda há dificuldades com o seu ensino. Ao longo de nossa caminhada como acadêmicos, é possível perceber que, aparentemente, o fracasso da aprendizagem matemática ocorre por causa da metodologia empregada para transmitir o conteúdo, que se dá por meio de reprodução de procedimentos e acumulação de informações. A ineficiência do ensino da matemática em nossas escolas ocorre também por ser caracterizado pela preocupação dos professores em transmitir aos alunos, definições, regras, técnicas, procedimentos e nomenclaturas, da maneira mais rápida possível, sem promover o desenvolvimento das ideias matemáticas que permitam a compreensão e, consequentemente, a aprendizagem. Essa prática de ensino já se mostrou pouco eficiente, pois o aluno, na maioria das vezes, não aprende, simplesmente decora o conteúdo e o esquece logo após a avaliação. É preciso buscar então uma aprendizagem significativa, utilizando materiais didáticos eficientes, procurando associar o conhecimento com o contexto do aluno, ou seja, buscando conexões entre fatos cotidianos e os diferentes temas matemáticos e até mesmo conexões entre as demais disciplinas. Segundo Ausubel (1982), a aprendizagem significativa no processo de ensino necessita fazer algum sentido para o aluno e, nesse processo, a informação deverá interagir e ancorar-se nos conceitos relevantes já existentes na estrutura do discente. A Geometria do Taxista poderá contribuir para o desenvolvimento de uma aprendizagem significativa, pois propõe que os conhecimentos prévios dos alunos sejam valorizados para que possam construir estruturas mentais que permitam descobrir e redescobrir outros conhecimentos, caracterizando assim, uma aprendizagem prazerosa e eficaz.

35 35 As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática. Portanto, o professor deve valorizar o conhecimento de seus alunos, não subestimando a sua capacidade de aprendizagem e propondo atividades que despertem a curiosidade e o desejo de superar desafios. Sendo assim, essa mudança no papel do aluno exige nova postura do professor de matemática: a função de mediador da aprendizagem dos alunos. Com isso, surge a necessidade de buscar novas metodologias que estimulem o aluno a aprender e, consequentemente, novas tendências de ensino matemática. Diante dessas reflexões, é possível perceber que não podemos dizer que existe maneira exata ou perfeita para ensinar qualquer conteúdo ou disciplina, mas é preciso elaborar diferentes estratégias de trabalho em sala de aula. Portanto, a proposta deste trabalho baseou-se em utilizar uma metodologia de Resolução de Problemas, mas ela é apenas uma indicação a ser pensada e alterada conforme o ambiente escolar. Deseja-se ter acrescentado e possibilitado melhoras no ensino das geometrias, proporcionando uma verdadeira e concreta aprendizagem, tendo em vista que a Geometria do Taxista poderá auxiliar no desenvolvimento da construção do conhecimento matemático e tornar as aulas bem mais interessantes.

36 36 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AUSUBEL, D. P. A. Aprendizagem Significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo: Morais, BUZATO, Felipe G.; PARRA, Tiago R.. Geometria do Taxista. Campinas, < > Acesso em 02/ 02/ COUTINHO, Lázaro. Convite às geometrias não-euclidianas. 2 Ed. Rio de Janeiro: Interciência, DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. São Paulo: Ática, GARDNER, Martin. As últimas recreações. Trad. Jorge Nuno Silva. Portugal: Gradiva, IMENES, Luiz Márcio Pereira. Geometria Imenes, Jakubo, Lellis. São Paulo: Atual, Coleção Pra que serve matemática? KALLEF, A. M.; NASCIMENTO, R. S.. - Atividades Introdutórias às Geometrias Não-Euclidianas: o exemplo da Geometria do Táxi. Boletim Gepem, Rio de Janeiro, nº 44, dezembro 2004, < Acesso em 03/ 03/ KRAUSE, Eugene F. Taxicab Geometry An Adventure in Non-Euclidean Geometry. Nova York: Dover, MIRANDA, Dimas Felipe de; BARROSO, Leônidas Conceição; ABREU, João Francisco de. Geometria Táxi: Uma Geometria Não-Euclidiana Descomplicada. In: ENCONTRO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DE OURO PRETO. UFOP, NORONHA, Claudianny Amorim. As geometrias urbanas e isoperimétrica: uma alternativa de uso em sala de aula. p.191. Tese (Doutorado em Educação) Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, < Acesso em 03/ 03/ TENÓRIO, Renato G.. Geometria do taxista. p.34. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação de Licenciatura em Matemática) - Universidade Estadual de Goiás, Anápolis, WANDERLEY, A. J. M.; CARNEIRO, J. P. Q.; WAGNER, E.. Como melhorar a vida de um casal usando uma geometria não-euclidiana. Revista Professor de Matemática, N. 50, 2002, p