CÁLCULO III - MAT0021. Ly + Ry = Ee iωx, E R. Ly + Ry = Esenωx. y = 1 + y

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1 . Considere a equação UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza onde L, R, E e ω são constantes positivas. CÁLCULO III - MAT002 3 a Lista de eercícios (a) Calcule a solução φ satisfazendo φ(0) = 0 Ly + Ry = Esen ω, (b) Mostre que esta solução pode-se escrever na forma φ() = onde α és um ângulo satisfazendo EωL E R 2 + ω 2 L 2 e (R/L) + sen(ω α), R2 + ω 2 L2 cos α = R R2 + ω 2 L 2 e senα = ωl R2 + ω 2 L 2. (c) Esboçar o gráfico da solução dada em (b). 2. Considere a equação Ly + Ry = Ee iω, onde L, R, E e ω são constantes positivas. (a) Calcule a solução φ satisfazendo φ(0) = 0 (b) Usando a equação diferencial mostre que φ = Re(φ) satisfaz Ly + Ry = E cos ω. Calcule φ. (c) Usando a equação diferencial mostre que φ 2 = Im(φ) satisfaz Ly + Ry = Esenω. Calcule φ (a) Encontre uma solução φ da equação linear y = + y satisfazendo φ(0) = 0. Observe que esta solução eiste para todo real. (b) Encontre uma solução real valorada ψ da equação não linear y = + y 2 satisfazendo ψ(0) = 0. Observe que esta solução eiste só para (π/2) < < (π/2). 4. Considere a equação y + (cos )y = e sen. (a) Encontre a solução φ que satisfaz φ(π) = π. (b) Mostre que qualquer solução φ tem a seguintes propriedade φ(πk) φ(0) = πk, onde k é qualquer inteiro.

2 5. Usando variáveis separáveis, obtenha a solução geral das seguintes equações: (a) y + ( + 2)y 2 = 0 (b) y = 2 sec y (c) y = (y + 9) 2 (d) yy + 36 = 0 (e) y = 42 + y 2 y (f) y sen(π) = y cos(π) (g) y = y2 2 + y (h) y e π = y 2 + (i) 2 + y (k) d = e3+2y (m) (4y + y 2 ) d = (2 + y2 ) (j) d = + 2 seny (l) e y d = e y + e 2 y (n) ( y y 2 ) (o) (e y + ) 2 e y d + (e + ) 3 e = 0 (p) e y sen2d + cos (e 2y y) = 0 (q) (e + e ) (r) ( + ) d = y + y 6. Usando variáveis separáveis, resolva os seguintes PVI s: (e y + )send = ( + cos ) (a) y(0) = 0 y = 4(y 2 + ) /2 d (c) y(0) = 2 y = y y (e) y( ) = 7. Resolva as equações ( + 4 ) + ( + 4y 2 )d = 0 (b) y() = 0 (d) 2 y(2) = 2 y + y = y (f) y() = 3 (a) d = + 2y (c) d = 2 y y (e) y + y y2 = d (b) 2y 2 (d) d = y 2 y + 2 (f) d = 2 + 2y 2 y (g) (2y 2 2 )y + 3y = 0 (h) y = y 2 + y 2 (i) y = y(2 + y + y 2 ) ( 2 + 3y + y 2 ) (j) 2 y + y + 2y 2 = 0 (k) y 2 + ( 2 y + y 2 )y = 0 (l) (y + 4)y + y( + 4y) = 0 2

3 8. Verifique se as equações a seguir são eatas. Em caso afirmativo, resolva-as. Em caso negativo, utilize um fator integrante. (a) 3 d + y 3 = 0 (b) ( y)(d ) = 0 (c) πsen πsenhyd + cos π cosh y = 0 (d) (e y ye )d + (e y e ) = 0 (e) e (cos yd sen y) = 0 (f) e 2θ dr 2re 2θ dθ = 0 (g) (2 + y y ) 2 d + (2y + y ) 2 = 0 (h) ( y ) ( ) cos 2 d + 2sen 2y = 0 9. Mostre que a substituição y = at + b + c muda = f(at + b + c) em uma equação com variáveis separáveis e aplique este método para resolver as equações seguintes: (a) = ( + t) 2 (b) = sen 2 (t + ) 0. (a) Provar que a equação a + by + m = d c + + n, onde a, b, c, d, m e n são constantes, sempre podemos reduzi-lo a uma equação homogênea fazendo a mudança = z h, y = w k onde h e k são constantes, sempre que ad bc 0. (b) Encontre a solução geral de. (a) Suponha que (3 y + )y = + 3y + 5. M(, y)d + N(, y) = 0 é uma equação homogênea. Mostre que as substituições = r cos θ, y = r senθ; reduzem a equação a uma de variáveis separáveis. (b) Encontre a solução geral de: d = y(y2 2 ) (y ) 2. Estabeleça uma fórmula para as soluções da equação de Bernoulli d + p()y = q()yα, y 0, onde p() e q() são supostas contínuas num mesmo intervalo I e α 0 um real dado. 3. Considere y > 2 para a equação diferencial (a) Determine um fator integrante. (b) Encontre a solução geral implícita. d = y 2 4 (y 2 4) 4 y Considere > 2 para a equação diferencial du d u = 4 arctan u / (a) Mostre que a mudança de variável y = u transforma a equação diferencial anterior na equação de Bernoulli d y = 4 arctan + 2 y/2. (b) Encontre a solução geral a equação de Bernoulli. 3

4 (c) Usando (b) e a mudança de coordenadas, encontre a solução geral da equação diferencial. 5. Considere f() g() para a equação diferencial (a) Mostre que é um fator integrante. yf(y)d + g(y) = 0. u(, y) = (b) Encontre a solução geral implícita da equação 6. Considere y 0 para a equação diferencial (a) Encontre a solução geral implícita. y(f(y) g(y)) (y 2 + 2y)d + (3 2 y 4) = 0. 2y d = y2. (b) Encontre a solução particular que passa pelo ponto (0, 5) e o intervalo maimal onde está definida. 7. Considere 2π < < π para a equação diferencial y + 3. (a) Encontre a solução particular da forma y p () = α cot ( ). (b) Encontre a solução geral fazendo y = y p +, onde z é uma função de. z 8. Considere 0 para a equação diferencial d = (2 + )y y 2. (a) Mostre que a mudança de coordenada z = y + transforma a equação com variáveis separáveis dz d = z2 z 2. (b) Encontre as soluções constantes e solução geral implícita. (c) Encontre a solução particular da primeira equação que passa pelo ponto (, ) e o intervalo maimal onde esta definida. 9. Considere 0 < < π, 0 < y < π encontre a solução geral implícita para a equação diferencial (2 cot() + e ) d sen() cot(y) csc(y) = Encontre a solução geral implícita para a equação diferencial 2(3y + 2y sen())d 3( y 2 ) = (a) Dadas as funções A(, y) e B(, y) e um número inteiro positivo n, considere a equação diferencial (A B + nab )d + (A y B + nab y ) = 0. Mostre que u(, y) = B(, y) n é um fator integrante e que sua solução geral implícita é A(, y)b(, y) n = c. 4

5 (b) Use o item anterior para encontrar solução implícita da equação diferencial [( ) ( 2 ( + ) 2 ( + y ln( + y)) + 2 y + ) ( + y )] d+ + + y [ ( + y ln( + y) + 2 y + ) ( ln( + y) + y )] = y (c) Encontre a solução particular y() que verifique a condição y() = 2 onde esta definido. e o intervalo maimal 22. Considere 0. Resolva a equação diferencial (y )d y 2 = 0. Determine a solução particular que passa pelo ponto (, 2). 23. Considere a equação diferencial (a) Encontre a solução geral eplícita. y (2 + e y) = 2 (y e y) (b) Encontre a solução particular que passa pelo ponto (0, e ) e o intervalo maimal onde está definida. 24. Considere y > 0. Determine a solução geral da equação diferencial Encontre a solução particular se y() =. (2y ln y 2y)d + (2 + y 3 e y ) = 0. Foz do Iguaçu, 2 de março de 207 Víctor Arturo Martínez León 5