GPEC. Cursos on-line. Matemática nas Séries Iniciais do Ensino Fundamental. Coletânea de textos, links de vídeos, Webgrafia e bibliografia.

Transcrição

1 GPEC Cursos on-line Coletânea de textos, links de vídeos, Webgrafia e bibliografia Matemática nas Séries Iniciais do Ensino Fundamental 60 horas

2 Coordenação e Tutoria Profa. Me. Patrícia Limaverde Nascimento Mestre em Educação:Currículo pela PUC-SP, Bióloga (CRBio /01-D), possui 14 anos de experiência em coordenação e direção pedagógica. Docente da Universidade Católica Virtual de Brasília. Foi orientanda de Maria Cândida Moraes e desenvolve projetos de assessoria pedagógica em escolas particulares e públicas. Trabalha na formação de professores da rede privada e pública sempre voltada para as inovações em didática e abordagens curriculares. Já apresentou seus trabalhos de educação transdisciplinar em diferentes estados no Brasil e também na Espanha, em Barcelona. Autora de 3 coleções de livros didáticos de educação infantil e co-autora de 4 coleções de livros didáticos de ensino fundamental. Já ministrou cursos sobre Transdisciplinaridade, Trabalho com Projetos em sala de aula, além de cursos nas áreas de matemática e semiótica aplicada no currículo de educação infantil e de ensino fundamental. Recebeu, em maio de 2006, o prêmio de Melhor Experiência em Educação Humanitária no Congresso Latino-Americano de Educação Humanitária realizado no Memorial da América Latina em São Paulo. Profa. Gisela Zampelli Bacharel em Comunicação Social (Jornalismo) possui mais de 22 anos de experiência nas áreas de: Publicidade (Planejamento, Mídia, Licitações Públicas e Atendimento), Assessoria de Imprensa, Desenvolvimento de Projetos Especiais em Comunicação & Marketing, Programa de Relacionamento, Marketing Cultural, Marketing Social, Prospecção Planejada, Estratégias para Captação de Recursos, Apoio e Patrocínio, Merchandising, PDV, Promoções, Feiras (Nacionais e Internacionais) e Eventos. Como Produtora Cultural, já realizou vários trabalhos junto às áreas de teatro, música, cinema e literatura, tais como: elaboração de projetos, captação de patrocínio, produção de shows e programas diversos. Foi Consultora de Cultura para o Sebrae/Ce. Agencia produtos do Ceará, Rio de Janeiro e São Paulo, tais como: Teatro, Música, Dança e Cinema. É assessora cultural do Centro Cultural do Banco do Nordeste na área de Cinema e Intercâmbio Cultural. Realiza produções culturais para à área da Educação como Teatro e Cinema. 2

3 Participantes da Turma Gisela Zampelli Endereço de Cidade/Município: São Paulo - SP, Brasil Patricia Limaverde Nascimento Endereço de patricia@gpeconline.com.br Cidade/Município: São Paulo, Brasil Janaína Corrêa - Suporte Gpec Endereço de janaina@gpeconline.com.br Cidade/Município: São Paulo - SP, Brasil Suporte GPEC - Avate Endereço de suporte@gpeconline.com.br Cidade/Município: São Paulo SP, Brasil Angela Salgado Almeida Endereço de angela_salgado@yahoo.com.br Cidade/Município: Apucarana, Brasil Luzia Corado Endereço de luzia_t@hotmail.com Cidade/Município: Miranda, Brasil 3

4 Elisabete Cano Sabino Endereço de Cidade/Município: Nova Andradina, Brasil Suely Ernestina Moraes da Silva Endereço de Cidade/Município: Porto Alegre, Brasil Vanessa da Silva Endereço de Cidade/Município: Getulina / SP, Brasil Fernanda Rove Carrel Endereço de fernandarovecarrel@gmail.com Cidade/Município: Jundiaí, Brasil Janaina Dias Fernandes Endereço de jana_dias_fernandes@hotmail.com Cidade/Município: Santo André, Brasil Eliane Maciel Endereço de helipb@gmail.com Cidade/Município: João Pessoa, Brasil 4

5 Celeste Ramos da Silva Tartari Endereço de Cidade/Município: sao gabriel do oeste, Brasil Sirley Alves Barcelos Borges Endereço de Cidade/Município: Getulina SP, Brasil Dafne Salvador da Silva Blume Endereço de Cidade/Município: Porto Alegre, Brasil Eliane Maria Paulino de Figueiredo Endereço de Cidade/Município: Rancharia - SP, Brasil Adauto Douglas Parré Endereço de adautoparre@gmail.com Cidade/Município: Itapetininga, Brasil Roberta Poltronieri Endereço de wrobertapoll@hotmail.com Cidade/Município: Ribeirão Preto - SP, Brasil 5

6 Cleusa Aparecida Mattos de Andrade Endereço de Cidade/Município: Analândia, Brasil Débora Nogueira Ramos Endereço de Cidade/Município: Rio de Janeiro, Brasil Liamara Lasch Endereço de Cidade/Município: Ijuí, Brasil Glauciane Cristina da Nóbrega Endereço de Cidade/Município: Belo Horizonte - MG, Brasil Gleicyane Abreu Endereço de gleicyaneabreu@hotmail.com Cidade/Município: São Paulo, Brasil Juliana Lopes Leocadio Endereço de juliana_ll@hotmail.com Cidade/Município: Taboão da Serra, Brasil 6

7 Sistemas de Numeração Muitos professores trabalham o ensino do sistema de numeração de maneira fragmentada. Assim, trabalham na pré-escola apenas os numerais de zero a nove, na 1a série até o cem, na 2a série até o mil, e assim por diante. No entanto, bem antes de ingressar na 1a série, as crianças já sabem muitas coisas acerca de numeração. O sistema de numeração aparece nas revistas, em etiquetas de preços, nos calendários, nas regras de jogos, as embalagens, nos anúncios, nos endereços das pessoas e assim por diante. Os números sempre estiveram presentes no cotidiano das crianças em idade préescolar. As crianças nascem e convivem em um mundo no qual o número apresenta-se como forma hegemônica de expressão e comunicação social na troca, na venda e na resolução de problemas concernentes a reunião e distribuição de objetos que fazem parte da cultura infantil. Constatando algumas limitações dos métodos tradicionais, os pesquisadores decidiram procurar uma abordagem no ensino do sistema de numeração que favorecesse uma compreensão mais profunda e operacional da notação numérica. Características No vídeo que você assistiu, percebeu a construção das numerações egípcia e romana. Vimos que elas são pouco práticas em comparação com o nosso sistema de numeração, pois, para representar certos números, os egípcios e romanos precisavam enfileirar uma grande quantidade de símbolos. Com o nosso sistema de numeração, usando apenas dez símbolos diferentes, podemos escrever qualquer número, enquanto que, nas numerações egípcia e romana, para se escrever números muito grandes seria preciso criar novos símbolos: um para o dez mil, outro para o dez milhões, outro para o cem milhões etc. Os sistemas de numeração egípcio e romano apresentavam ainda uma outra dificuldade: era muito trabalhoso efetuar cálculos usando esses critérios. Essas dificuldades foram superadas pelos hindus, que foram os criadores do nosso sistema de numeração. Eles souberam reunir três características que já apareciam em outros sistemas numéricos da Antiguidade: o sistema de numeração hindu é decimal (o egípcio, o romano e o chinês também o eram); o sistema de numeração hindu é posicional (o babilônio também era); o sistema de numeração hindu tem o zero, isto é, um símbolo para o nada. Estas três características, reunidas, tornaram o sistema de numeração hindu o mais prático de todos. Não é sem motivo que hoje ele é usado quase no mundo todo. Vamos analisar as características do nosso sistema de numeração para compreender suas regras de funcionamento. Sem esta compreensão é impossível entender as técnicas operatórias, os números decimais e o sistema métrico decimal. Sistema de Base 10 7

8 A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação. A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada. No comércio pedimos uma dúzia de rosas ou uma grosa de parafusos (base 12) e também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60). Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 2 4 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 2 3 (base 8 ou sistema octal). Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1. Na base 5, seriam 5: 0, 1, 2, 3 e 4. Podemos representar uma mesma quantidade em diferentes bases, por exemplo, a quantidade de uma dúzia seria representada da seguinte maneira: - na base 10: 12 - na base 5: 22 (lê-se "dois dois") - na base 2: 1100 (lê-se "um um zero zero") Sistemas Numéricos posicionais Para iniciar nossos estudos vamos entender o que é um sistema numérico posicional. Para este propósito vamos considerar os números 4664 (decimal) e XXXVII (37 em romano). Vamos observar algumas propriedades importantes nestes dois números: O valor do primeiro algarismo 4 é diferente do valor do último algarismo 4 no número decimal O primeiro indica 4 mil e o último indica 4 unidades. O mesmo acontece com o algarismo 6. O primeiro indica 6 centenas, enquanto o segundo indica 6 dezenas. No número romano, cada um dos X vale 10, independentemente de sua posição. O mesmo acontece com o V e com o I. A partir destas observações podemos concluir que no sistema decimal o valor de um determinado símbolo depende de sua posição, ou seja, este é um sistema posicional. O mesmo não acontece com o sistema romano e, portanto, o sistema romano não é posicional. Os sistemas binário e hexadecimal também são sistemas numéricos posicionais. Comparando sistemas de numeração Para favorecer a compreensão do nosso sistema de numeração, vamos confrontá-lo com os sistemas de numeração egípcio e romano. Faremos esta comparação apontando as características básicas desses sistemas. 1) Base Como vimos, a base de um sistema é a quantidade escolhida no processo de agrupar e reagrupar. no nosso sistema a base é dez; no egípcio a base é dez; 8

9 no romano a base é dez. Note que, no sistema romano, os símbolos são sempre reagrupados de dez em dez: dez "I" formam um "X", dez "X" formam um "C", dez "C" formam um "M". Neste ponto, pode surgir uma dúvida, pois cinco "I" são substituídos por um "V". Entretanto, não existem reagrupamentos de cinco. Cinco "V" não são trocados por um símbolo novo. Os símbolos "V", "L" e "D", que indicam 5, 50 e 500 são utilizados somente para simplificar a escrita. Portanto, podemos afirmar que a base do sistema romano é mesmo 10. 2) Valor posicional nosso sistema é posicional; 51 é diferente de 15; o egípcio não é posicional; é indiferente escrever doze assim: ou asssim: ; o romano é posicional, mas não no mesmo sentido do nosso sistema. É diferente escrever VI ou IV. 3) Zero nosso sistema tem um símbolo para o nada; o egípcio não tem zero; romano não tem zero. 4) Princípio multiplicativo O número posicional, como o nosso, baseia-se no princípio multiplicativo: cada algarismo representa o produto dele mesmo pelo valor de sua posição. Por exemplo: na nossa maneira de escrever o número 245. Nos sistemas egípcio e romano não vale o princípio multiplicativo. 5) Princípio aditivo O número representado é a soma dos valores que cada um dos símbolos representa. O princípio aditivo comparece nos três sistemas: no nosso sistema, 245 = ; no egípcio, = ; no romano, CXXVII = Entretanto, no sistema romano, o princípio aditivo precisa ser aplicado com cuidado, porque nele existe também o princípio subtrativo. Por exemplo: A leitura correta : CXLIX = 100+(50-10)+(10-1) Uma leitura errada seria: CXLIX = ) Quantidades de símbolos diferentes 9

10 Quantos símbolos diferentes são necessários para escrever qualquer número? no nosso sistema, com apenas dez sinais diferentes, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, escrevemos qualquer número (isto é fantástico!!); no egípcio e no romano, por mais que se criassem novos símbolos, sempre seria possível pensar num número que, para ser escrito, precisaria de um novo símbolo. Assim, seriam necessários infinitos símbolos. Cálculo Mental Os procedimentos de cálculo mental constituem a base do cálculo aritmético que se usa no cotidiano. De forma simples, pode-se dizer que se calcula mentalmente quando se efetua uma operação, recorrendo-se a procedimentos confiáveis, sem os registros escritos e sem a utilização de instrumentos. Por exemplo, a adição entre e pode ser calculada de formas diferentes, como, por exemplo: mais , que é igual a e mais que é igual a mais , que é igual a e menos que é igual a O cálculo mental apóia-se no fato de que existem diferentes maneiras de calcular e pode-se escolher a que melhor se adapta a uma determinada situação, em função dos números e das operações envolvidas. Assim, cada situação de cálculo constitui-se um problema aberto que pode ser solucionado de diferentes maneiras, recorrendo-se a procedimentos originais para chegar ao resultado. No cálculo mental, a reflexão centra-se no significado dos cálculos intermediários e isso facilita a compreensão das regras do cálculo escrito. O exercício e a sistematização dos procedimentos de cálculo mental, ao longo do tempo, levam-no a ser utilizado como estratégia de controle do cálculo escrito. Estimativas Grande parte do cálculo realizado fora da escola é feito a partir de procedimentos mentais, que nem sempre são levados em conta no trabalho escolar. Nas situações práticas, freqüentemente, não se dispõe de lápis e papel, tampouco é necessário, pois a maioria das respostas não precisa ser exata, basta uma aproximação. Existem ainda as balanças e as calculadoras que informam resultados com precisão. Por essas razões, uma das finalidades atuais do ensino do cálculo consiste em fazer com que os alunos desenvolvam e sistematizem procedimentos de cálculo por estimativa e estratégias de verificação e controle de resultados. Para atender a esse objetivo, é primordial que aprendam a reconhecer se certos resultados relacionados a contagens, medidas, operações são ou não razoáveis em determinadas situações. A estimativa constrói-se juntamente com o sentido numérico e com o significado das operações e muito auxilia no desenvolvimento da capacidade de tomar decisões. O trabalho 10

11 com estimativas supõe a sistematização de estratégias. Seu desenvolvimento e aperfeiçoamento depende de um trabalho contínuo de aplicações, construções, interpretações, análises, justificativas e verificações a partir de resultados exatos. Desde as primeiras experiências com quantidades e medidas, as estimativas devem estar presentes em diversas estratégias que levem os alunos a perceber o significado de um valor aproximado, decidir quando é conveniente usá-lo e que aproximação é pertinente a uma determinada situação, como, por exemplo, identificar unidades de medida adequadas às grandezas. Identificando intervalos, que tornam uma estimativa aceitável ou não, os alunos aprendem a justificar e comprovar suas opiniões e vão refinando suas habilidades em cálculo. Por isso as estimativas devem ir além da simples identificação das relações maior que, menor que e centrar-se na relação estar entre. A didática do Cálculo Mental A experiência é fundamental para estimativas mais seguras. A realização sistemática de estimativas aumenta a capacidade de fazê-las, bem como de utilizar outras modalidades de cálculo. Convém que o professor planeje regularmente atividades com o objetivo específico de exercitar o cálculo de estimativas, para que os alunos aperfeiçoem seus métodos, tomando consciência de que a estimativa é um recurso de cálculo. Uma boa estratégia consiste em apresentar no dia-a-dia situações variadas, que não exijam um cálculo exato e permitam fazer estimativas, ou aproximações. Alguns exemplos: dizer quantos minutos faltam para o final de uma aula sem olhar no relógio; estimar a distância de casa à escola; avaliar a altura de uma montanha ou de um edifício. Situações desse tipo, em que o objetivo da tarefa não é chegar ao resultado exato, contribuem para que as crianças desenvolvam estratégias próprias para fazer novas estimativas e para controlar um resultado, avaliando se é razoável. Quando o aluno está resolvendo uma siituação através de aproximações ou cálculo mental, é importante que o professor leve esse aluno a explicitar a técnica que está utilizando. Ao fazer isso e ao socializar sua linha de raciocínio com os colegas, todos aprimoram seus recursos, para poder resolver mentalmente cálculos mais complexos. Adição e Subtração e a problemática dos algoritmos fonte: 11

12 É de "mais" ou de "menos"? Mírian Louise Sequerra Disponível em As operações de adição e subtração sem dúvida precisam ser exploradas nas diversas séries do ensino fundamental. Ninguém questiona isso. Infelizmente, às vezes esse conteúdo é entendido como o ensino das contas que resolvem os problemas de adição e subtração. Essa atitude ignora a importância do significado dessas operações. Ao falar no significado de uma operação, estamos nos referindo basicamente às idéias ou às ações ligadas a ela. Por exemplo, quando vou à feira, sei que preciso somar os valores que gastei ao comprar laranjas, bananas e cebolas, para calcular o gasto total. Faço uma adição, porque sei que uma das ações associadas a essa operação é juntar diversos valores, para compor um valor total. Se, além de ensinar as contas, estivermos preocupados também com a compreensão que nossos alunos têm das operações, é importante refletir: Que situações nossos alunos associam à adição e à subtração? Essas situações são as únicas que podem ser relacionadas com tais operações? Posso ampliar a compreensão que eles têm dessas operações, propondo novas idéias que também estejam associadas a elas? Para que os alunos tenham a possibilidade de ampliar seus conhecimentos, é fundamental apresentar a eles situações variadas nas quais precisem operar com números: jogos que requeiram cálculos, situações cotidianas que peçam alguma contagem, comparação ou controle de quantidades (contagem de coleções, cálculo do total de uma compra, pontos ganhos por uma equipe após várias etapas de jogos), e tantas outras. Apresentaremos a seguir algumas atividades com problemas de enunciado; esta é uma das formas de aproximar os alunos das ações e das idéias envolvidas nas operações. O que os alunos sabem de adição e subtração? Cláudia, professora de 1a série, desde o início do ano propôs problemas bem variados a seus alunos. E orientou as crianças para desenhar os dados do problema, ou então representar as quantidades com palitos e bolinhas. A cada problema, Cláudia pede para algum aluno mostrar aos colegas seu modo de resolver ; e aproveita para relacionar a representação feita pela criança com os símbolos próprios da linguagem matemática. Esta foi uma forma que ela descobriu de ir familiarizando os alunos com a linguagem matemática. Ela propôs, por exemplo: Em nossa classe há 14 meninos e 17 meninas. 12

13 Quantas crianças há na classe? Juliana resolveu da seguinte maneira: Ela acrescentou 14 palitos ao número de meninos. Depois, fez a contagem a partir do 17 e chegou ao resultado: 31 Pouco a pouco, algumas crianças começaram a utilizar os sinais matemáticos para resolver os problemas propostos. Diante disso, Cláudia quis verificar quais as situações que as crianças associariam a essas operações e, para isso, desenvolveu algumas atividades: Atividade 1 Pediu para os alunos inventarem problemas de adição e de subtração. Ela pretendia verificar que idéias ocorreriam às crianças e como relacionariam essas idéias com as operações. Alguns dos problemas que inventaram: Eu tinha 22 figurinhas em meu álbum. Ganhei 14 do meu colega. Com quantas fiquei? [identificado como problema de adição]. Na hora do lanche, as crianças trouxeram 6 bananas e 12 laranjas. Quantas frutas trouxeram? [identificado como problema de adição]. Ganhei 10 reais de mesada. Gastei 3 reais para comprar um lanche. Com quanto fiquei? [identificado como problema de subtração]. Os problemas criados pelas crianças sem dúvida eram adequados, mas se restringiam a uma variedade bem pequena de idéias. Algumas idéias básicas de adição e subtração são construídas pelas crianças antes mesmo de entrarem na escola. É o caso das situações em que se acrescenta uma quantidade a um valor inicial, ou se junta quantidades que inicialmente estavam separadas (como nos dois primeiros problemas propostos), ou se quer retirar determinado valor de uma quantidade inicial (como no terceiro problema). Atividade 2 No entanto, nem sempre os alunos associam outras idéias às operações de adição ou subtração. Pensando em explorar novas idéias, Cláudia propôs o problema a seguir. Estou na página 64 de um livro de 80 páginas. Quantas me faltam para terminá-lo? Os alunos não conheciam o algoritmo da adição ou da subtração (as contas armadas). Precisariam resolver o problema recorrendo apenas a suas próprias estratégias de cálculo. Alguns fizeram assim: desenharam 80 palitos, correspondentes ao total de páginas do livro. Depois, riscaram 64 (correspondentes às páginas já lidas). Por fim, contaram os palitos restantes e chegaram ao resultado. 13

14 Outras crianças partiram do número 64 e foram acrescentando palitos e contando, até chegar ao 80. Em seguida, contaram quantos palitos haviam somado. Segundo as pesquisas mais recentes na área da Didática da Matemática, os problemas envolvendo a adição e a subtração devem ser trabalhados em conjunto, já que guardam entre si estreitas conexões, ou seja, compõem uma mesma família (PCN - Matemática, p. 67). Se analisarmos os dois caminhos percorridos, fica claro que as crianças do primeiro grupo se apoiaram na subtração, enquanto as outras utilizaram um raciocínio aditivo. Se a professora tivesse identificado esse problema com uma só operação, procurando garantir que o grupo todo associasse o problema apenas à adição ou à subtração, estaria limitando a possibilidade de desenvolver novas idéias. Na realidade, os dois caminhos são adequados: o problema pode ser associado à adição ou à subtração. Quando permitimos que nossos alunos descubram as soluções de seu próprio jeito, constatamos que os procedimentos variam muito. Se é assim, será que é necessário apresentar cada operação como um conteúdo isolado? Situações de adição e subtração Existem vários grupos de situações que envolvem a adição e a subtração. É importante desenvolver atividades em cada grupo, com uma grande variedade de situações, no decorrer dos dois ciclos. Apresentamos a seguir algumas idéias. Se quiser conhecer outras possibilidades, ou aprofundar as que damos aqui, consulte o livro de Matemática dos Parâmetros Curriculares Nacionais. 1o Combinar dois estados para obter um terceiro Paulo e João decidiram juntar seus carrinhos. Paulo tinha 25 e João, 12. Com quantos carrinhos ficaram? Esta situação pode dar lugar a duas outras: Paulo e João juntaram seus carrinhos e ficaram com 37. Quantos eram de Paulo, se 12 eram de João? Paulo tinha 25 carrinhos e resolveu juntá-los com os de João. Depois que juntaram tudo, ficaram 37. Quantos carrinhos João tinha? 2o Transformação: a um estado inicial é acrescentada ou diminuída determinada quantidade Maria estava na casa 24 de um jogo de trilha. Jogou o dado e tirou 6. Qual o número da casa em que caiu? Carlos tinha 12 peixinhos em seu aquário. Um dia, ficou muito triste ao perceber que 7 haviam morrido. Com quantos peixinhos ficou? Novamente, cada um destes problemas gera outros: 14

15 Maria estava jogando trilha. Tirou 6 no dado e caiu na casa número 30. Em que casa estava antes dessa jogada? Maria estava na casa 24 de um jogo de trilha. Em uma jogada, avançou até a casa número 30. Quanto ela tirou no dado para chegar aí? Carlos tinha um aquário com lindos peixinhos. Um dia, 7 deles morreram e só sobraram 5. Quantos peixinhos ele tinha antes disso? No aquário de Carlos havia 12 peixinhos. Um dia, ele percebeu que somente 5 estavam vivos. Quantos morreram? 3o Comparação Pedro e Antônio colecionam selos. Pedro tem 35 e Antônio, 42. Quantos selos Antônio tem a mais? A partir desse enunciado podemos formular estes outros: Antônio tem 42 selos. Pedro tem 7 a menos.quantos selos Pedro tem? Se Antônio tem 42 selos e Pedro tem 35, quantos selos Pedro precisa ganhar para ter o mesmo que Antônio? Em resumo Ao analisar as estratégias adotadas pelas crianças, constatamos que elas alcançam seus resultados a partir de diferentes raciocínios. Por isso, achamos discutível a necessidade de associar uma só operação a cada problema. Além disso, mostramos aqui como são próximas as situações relacionadas com a adição e com a subtração. Buscamos destacar como é importante levar em conta as formas que as crianças constroem para resolver os problemas apresentados, tanto para garantir que ampliem suas idéias e seus conhecimentos das operações, quanto para se sentirem confiantes em relação aos conhecimentos matemáticos que já construíram. Além de garantir que os alunos possam buscar suas estratégias de resolução, é fundamental proporcionar- lhes o contato com diferentes idéias relacionadas com as operações. Algumas conclusões Algumas idéias da adição (como por exemplo a de acrescentar uma quantidade a outra inicial) e da subtração (como a de diminuir determinado valor de uma quantidade dada) são familiares para as crianças. Mesmo antes de chegar à escola, elas já construíram boas estratégias que lhes permitem achar o resultado em situações desse tipo. No entanto, a adição e a subtração envolvem também idéias mais complexas. A construção de diferentes significados deve ser entendida como um processo, ou seja, para que se concretize, o aluno precisa trabalhar durante o tempo que for necessário com situações e idéias variadas. 15

16 É importante que os alunos tenham oportunidade de trabalhar problemas de adição e subtração nos dois ciclos, em função das dificuldades lógicas que vão sendo colocadas à medida que avançam no estudo dos números e dos procedimentos de cálculo (PCN - Matemática, p. 68). 16

17 As crianças e a aprendizagem Apostila do curso Como as crianças aprendem? Todas ao mesmo tempo? Todas da mesma maneira? Por que aprenderam algumas coisas melhor que outras? Como ensinar para obter um melhor aprendizado? Essas perguntas são feitas entre os educadores há bem pouco tempo. Antigamente, acreditava-se que as crianças aprendiam apenas recebendo informações de um professor. O professor explicava, ditava regras, mostrava figuras. A criança ouvia, copiava, decorava e devia aprender. Quando não aprendia, culpava-se a criança (desatenta, irresponsável) ou falta de "jeito" do professor. Atualmente existem outras idéias sobre aprendizagem. Elas são o produto do trabalho de certos educadores e psicólogos que têm procurado responder as perguntas apresentadas no início deste texto. O campo de estudo desses pesquisadores chamase Psicologia Cognitiva (piscologia é a ciência que estuda o pensamento e as emoções; a palavra cognitiva refere-se ao conhecimento). Os conceitos da Psicologia Cognitiva aplicam-se ao conhecimento e à aprendizagem em geral e naturalmente valem para o conhecimento matemático. Essas idéias não negam completamente as idéias antigas sobre o aprendizado. É possível aprender recebendo informações, treinando e decorando regras. Mas, dessa maneira, a compreensão daquilo que se aprende costuma ser bem pequena. E esta é a diferença: o que se procura através da Psicologia Cognitiva é favorecer o aprendizado com compreensão. A Psicologia Cognitiva fez importantes decobertas sobre o pensamento da criança. Os pesquisadores concluíram que: a) crianças pensam de maneira diferente dos adultos; b) cada criança pensa diferentemente de outra; c) o pensamento evolui, passa por estágios; em cada estágio, a criança tem uma maneira especial de compreender e explicar as coisas do mundo. Vamos exemplificar esta última afirmação. Experimentemos mostrar a uma criança duas bolachas iguais, uma inteira e a outra partida em quatro pedaços. Quase todas as crianças de cinco anos de idade vão dizer que as quantidades de bolacha não são iguais. Muitas vão achar que há maior quantidade na bolacha em pedaços. Já as crianças mais velhas reconhecerão facilmente que as quantidades são iguais. Esse exemplo mostra um fato comum: em certos estágios do pensamento as crianças pensam que a disposição das partes altera a quantidade. Por isso, para as crianças pequenas, pode parecer que a quantidade de bolacha aumenta se ela for partida em pedaços. Os pesquisadores da Psicologia Cognitiva também elaboraram idéias sobre o que é aprender. Eles declaram que aprender com compreensão é um processo pessoal, que acontece dentro da cabeça de cada um. Esse processo exige que o aprendiz pense por si próprio. Assim, para a Psicologia Cognitiva, simplesmente receber informações de um professor não é suficiente para que o aluno aprenda com compreensão, porque, nesse caso, a criança fica passiva, não pensa com a própria cabeça. A Psicologia estudou também quais objetos ou atividades ajudam a aprender. Ela tem mostrado que o pensamento e o aprendizado da criança desenvolvem-se ligados à observação e investigação do mundo. Quanto mais a criança explora as coisas do 17

18 mundo, mais ela é capaz de relacionar fatos e idéias, tirar conclusões; ou seja, mais ela é capaz de pensar e compreender. Por exemplo, as crianças que tiveram oportunidade de praticar relações comerciais (compras, pagamentos, trocas) costumam ser mais capazes de resolver problemas matemáticos envolvendo esses assuntos do que crianças que não tiveram tais experiências. É justamente esta última idéia que tem motivado os educadores a buscarem meios de fazer a criança explorar o mundo à sua volta. A matemática e a necessidade de materiais concretos No caso da matemática parece ser mais difícil fazer a criança explorar o mundo à sua volta, porque as noções matemáticas nem sempre aparecem com clareza nas situações do cotidiano. Por isso, procura-se criar um mundo artificial que facilita a exploração pela criança. Esse mundo artifical é constituído, em grande parte, por materiais concretos que a criança pode manipular, montar, etc. São objetos ou conjuntos de objetos que representam as relações matemáticas que os alunos devem compreender. Frisamos que as relações matemáticas não estão nos objetos em si. Elas podem se formar na cabeça da criança, desde que o material seja bem utilizado. Exemplos desses materiais concretos são o ábaco e o material dourado, que já foram examinados por nós nos módulos anteriores. Eles são utilizados na aprendizagem das regras de nosso sistema de numeração e das técnicas operatórias, temas fundamentais da matemática nas séries iniciais do 1º grau. Além do ábaco e do material dourado, existem muitos outros materiais que podem ser usados no aprendizado da matemática. Apesar da importância dos materiais na aprendizagem e da quantidade de escritos teóricos sobre eles, os materiais em si podem ser muito simples, facéis de construir e substituíveis (quando não se consegue obter um tipo de material, pode-se substituí-lo por outro, sem muita dificuldade). A utilização adequada dos materiais Parece-nos necessário, porém, alertar o professor sobre alguns elementos importantes na utilização de materiais concretos. Já dissemos que noções matemáticas se formam na cabeça da criança e não estão no próprio material. Dissemos ainda que o material favorece o aprendizado, desde que seja bem utilizado. Vejamos o que significam essas duas afirmações, em termos práticos: Primeiro, o material deve ser oferecido às crianças antes das explicações teóricas e do trabalho com lápis e papel. É preciso que os alunos tenham tempo e liberdade para explorar o material, brincar um pouco com ele, fazer descobertas sobre sua organização. Após algum tempo de trabalho livre, o professor pode intervir, propondo questões, estimulando os alunos a manifestarem sua opinião. Em resumo, são essenciais, neste início, a ação e o raciocínio do aluno, pois, como dissemos, é só ele mesmo que pode formar as noções matemáticas. 18

19 A partir da observação e manipulação, da troca de idéias entre alunos e entre estes e o professor é que as relações matemáticas começam a ser percebidas e enunciadas. O professor deve então, aos poucos, ir organizando esse conhecimento. Para concluir, podemos dizer que a atitude adequada do professor, em relação ao uso do material concreto, decorre de ele conceder o ensino de matemática nas séries iniciais como um convite à exploração, à descoberta e ao raciocínio. fonte: 19

20 O Material Dourado Montessori Apostila do curso O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e dos métodos para efetuar as operações fundamentais (ou seja, os algoritmos). No ensino tradicional, as crianças acabam "dominando" os algoritmos a partir de treinos cansativos, mas sem conseguirem compreender o que fazem. Com o Material Dourado a situação é outra: as relações numéricas abstratas passam a ter uma imagem concreta, facilitando a compreensão. Obtém-se, então, além da compreensão dos algoritmos, um notável desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado bem mais agradável. O Material Dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados pela médica e educadora italiana Maria Montessori. Quem foi Maria Montessori Nos anos iniciais deste século, Maria Montessori dedicou-se à educação de crianças excepcionais, que, graças à sua orientação, rivalizavam nos exames de fim de ano com as crianças normais das escolas públicas de Roma. Esse fato levou Maria Montessori a analisar os métodos de ensino da época e a propor mudanças compatíveis com sua filosofia de educação. Segundo Maria Montessori, a criança tem necessidade de mover-se com liberdade dentro de certos limites, desenvolvendo sua criatividade no enfrentamento pessoal com experiências e materiais. Um desses materiais era o chamado material das contas que, posteriormente, deu origem ao conhecido Material Dourado Montessori. O "Material das Contas" Vamos conhecer o material das contas pelas palavras de Maria Montessori: "Preparei também, para os maiorezinhos do curso elementar, um material destinado a representar os números sob forma geométrica. Trata-se do excelente material denominado material das contas. As unidades são representadas por pequenas contas amarelas; a dezena (ou número 10) é formada por uma barra de dez contas enfiadas num arame bem duro. Esta barra é repetida 10 vezes em dez outras outras barras ligadas entre si, formando um quadrado, "o quadrado de dez", somando o total de cem. Finalmente, dez quadrados sobrepostos e ligados formando um cubo, "o cubo de 10", isto é, Aconteceu de crianças de quatro anos de idade ficarem atraídas por esses objetos brilhantes e facilmente manejáveis. Para surpresa nossa, puseram-se a combinálos, imitando as crianças maiores. Surgiu assim um tal entusiasmo pelo trabalho com os números, particularmente com o sistema decimal, que se pôde afirmar que os exercícios de aritmética tinham se tornado apaixonantes. As crianças foram compondo números até O desenvolvimento ulterior foi maravilhoso, a tal ponto que houve crianças de cinco anos que fizeram as quatro operações com números de milhares de unidades". Essas contas douradas acabaram se transformando em cubos que hoje formam o Material Dourado Montessori. O material Dourado Montessori 20

21 O mateiral Dourado ou Montessori é constituído por cubinhos, barras, placas e cubão, que representam: Observe que o cubo é formado por 10 placas, que a placa é formada por 10 barras e a barra é formada por 10 cubinhos. Este material baseia-se em regras do nossso sistema de numeração. Veja como representamos, com ele, o número 265: Este material pedagógico, confeccionado em madeira, costuma ser comercializado com o nome de material dourado. Você pode construir um material semelhante, usando cartolina. Os cubinhos são substituídos por quadradinhos de lado igual a 2 cm, por exemplo. As barrinhas são substituídas por retângulos de 2 cm por 20 cm a as placas são substituídas por quadrados de lado igual a 20 cm. Embora seja possível representar o milhar, vamos evitá-lo trabalhando com números menores. 21

22 Damos a seguir sugestões para o uso do Material Dourado Montessori. As atividades propostas foram testadas e mostraram-se eficazes desde a primeira até a quinta série. Muitas delas foram concebidas pelos grupos de alunos, recomendandose que os grupos não tenham mais do que 6 alunos. O professor, com o conhecimento que tem de seus alunos, saberá em que série cada atividade poderá ser aplicada com melhor rendimento. Várias das atividades podem ser aplicadas em mais de uma série, bastando, para isso, pequenas modificações. Utilizando o material, o professor notará em seus alunos um significativo avanço de aprendizagem. Em pouco tempo, estará enriquecendo nossas sugestões e criando novas atividades adequadas a seus alunos, explorando assim as inúmeras possibilidades deste notável recurso didático. 1. JOGOS LIVRES Objetivo: tomar contato com o material, de maneira livre, sem regras. Durante algum tempo, os alunos brincam com o material, fazendo construções livres. O material dourado é construído de maneira a representar um sistema de agrupamento. Sendo assim, muitas vezes as crianças descobrem sozinhas relações entre as peças. Por exemplo, podemos encontrar alunos que concluem: - Ah! A barra é formada por 10 cubinhos! - E a placa é formada por 10 barras! - Veja, o cubo é formado por 10 placas! 2. MONTAGEM Objetivo: perceber as relações que há entre as peças. O professor sugere as seguintes montagens: - uma barra; - uma placa feita de barras; - uma placa feita de cubinhos; - um bloco feito de barras; - um bloco feito de placas; O professor estimula os alunos a obterem conclusões com perguntas como estas: - Quantos cubinhos vão formar uma barra? - E quantos formarão uma placa? - Quantas barras preciso para formar uma placa? Nesta atividade também é possível explorar conceitos geométricos, propondo desafios como estes: - Vamos ver quem consegue montar um cubo com 8 cubinhos? É possível? - E com 27? É possível? 3. DITADO Objetivo: relacionar cada grupo de peças ao seu valor numérico. 22

23 O professor mostra, um de cada vez, cartões com números. As crianças devem mostrar as peças correspondentes, utilizando a menor quantidade delas. Variação: O professor mostra peças, uma de cada vez, e os alunos escrevem a quantidade correspondente. 4. FAZENDO TROCAS Objetivo: compreender as características do sistema decimal. - fazer agrupamentos de 10 em 10; - fazer reagrupamentos; - fazer trocas; - estimular o cálculo mental. Para esta atividade, cada grupo deve ter um dado marcado de 4 a 9. Cada criança do grupo, na sua vez de jogar, lança o dado e retira para si a quantidade de cubinhos correspondente ao número que sair no dado. Veja bem: o número que sai no dado dá direito a retirar somente cubinhos. Toda vez que uma criança juntar 10 cubinhos, ela deve trocar os 10 cubinhos por uma barra. E aí ela tem direito de jogar novamente. Da mesma meneira, quando tiver 10 barrinhas, pode trocar as 10 barrinhas por uma placa e então jogar novamente. O jogo termina, por exemplo, quando algum aluno consegue formar duas placas. O professor então pergunta: - Quem ganhou o jogo? - Por quê? Se houver dúvida, fazer as "destrocas". O objetivo do jogo das trocas é a compreensão dos agrupamentos de dez em dez (dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena, etc.), característicos do sistema decimal. A compreensão dos agrupamentos na base 10 é muito importante para o real entendimento das técnicas operatórias das operações fundamentais. O fato de a troca ser premiada com o direito de jogar novamente aumenta a atenção da criança no jogo. Ao mesmo tempo, estimula seu cálculo mental. Ela começa a calcular mentalmente quanto falta para juntar 10, ou seja, quanto falta para que ela consiga fazer uma nova troca. cada placa será destrocada por 10 barras; cada barra será destrocada por 10 cubinhos. Variações: Pode-se jogar com dois dados e o aluno pega tantos cubinhos quanto for a soma dos números que tirar dos dados. Pode-se utilizar também uma roleta indicando de 1 a PREENCHENDO TABELAS Objetivo: os mesmos das atividades 3 e 4. 23

24 - preencher tabelas respeitando o valor posicional; - fazer comparações de números; - fazer ordenação de números. Apostila do curso As regras são as mesmas da atividade 4. Na apuração, cada criança escreve em uma tabela a quantidade conseguida. Olhando a tabela, devem responder perguntas como estas: - Quem conseguiu a peça de maior valor? - E de menor valor? - Quantas barras Lucilia tem a mais que Gláucia? Olhando a tabela à procura do vencedor, a criança compara os números e percebe o valor posicional de cada algarismo. Por exemplo: na posição das dezenas, o 2 vale 20; na posição das centenas vale 200. Ao tentar determinar os demais colocados (segundo, terceiro e quarto lugares) a criança começa a ordenar os números. 6. PARTINDO DE CUBINHOS Objetivo: os mesmos da atividade 3, 4 e 5. Cada criança recebe um certo número de cubinhos para trocar por barras e depois por placas. A seguir deve escrever na tabela os números correspondentes às quantidades de placas, barras e cubinhos obtidos após as trocas. Esta atividade torna-se interessante na medida em que se aumenta o número de cubinhos. 7. VAMOS FAZER UM TREM? Objetivo: compreender que o sucessor é o que tem "1 a mais" na seqüência numérica. O professor combina com os alunos: - Vamos fazer um trem. O primeiro vagão é um cubinho. O vagão seguinte terá um 24

25 cubinho a mais que o anterior e assim por diante. O último vagão será formado por duas barras. Quando as crianças terminarem de montar o trem, recebem papeletas nas quais devem escrever o código de cada vagão. Esta atividade leva à formação da idéia de sucessor. Fica claro para a criança o "mais um", na seqüência dos números. Ela contribui também para a melhor compreensão do valor posicional dos algarismos na escrita dos números. 8. UM TREM ESPECIAL Objetivo: compreender que o antecessor é o que tem "1 a menos" na seqüência numérica. O professor combina com os alunos: - Vamos fazer um trem especial. O primeiro vagão é formado por duas barras (desenha as barras na lousa). O vagão seguinte tem um cubo a menos e assim por diante. O último vagão será um cubinho. Quando as crianças terminam de montar o trem, recebem papeletas nas quais devem escrever o código de cada vagão. Esta atividade trabalha a idéia de antecessor. Fica claro para a criança o "menos um" na seqüência dos números. Ela contribui também para uma melhor compreensão do valor posicional dos algarismos na escrita dos números. 25

26 9. JOGO DOS CARTÕES Objetivos: compreender o mecanismo do "vai um" nas adições; estimular o cálculo mental. O professor coloca no centro do grupo alguns cartões virados para baixo. Nestes cartões estão escritos números entre 50 e 70. 1º sorteio: Um alunos do grupo sorteia um cartão. Os demais devem pegar as peças correspondentes ao número sorteado. Em seguida, um representante do grupo vai à lousa e registra em uma tabela os números correspondentes às quantidades de peças. 2º sorteio: Um outro aluno sorteia um segundo cartão. Os demais devem pegar as peças correspondentes a esse segundo número sorteado. Em seguida, o representante do grupo vai à tabela registrar a nova quantidade. Nesse ponto, juntam-se as duas quantidades de peças, fazem-se as trocas e novamente completa-se a tabela. Ela pode ficar assim: Isto encerra uma rodada e vence o grupo que tiver conseguido maior total. Depois são feitas mais algumas rodadas e o vencedor do dia é o grupo que mais rodadas venceu. Os números dos cartões podem ser outros. Por exemplo, números entre 10 e 30, na primeira série; entre 145 e 165, na segunda série. Depois que os alunos estiverem realizando as trocas e os registros com desenvoltura, o professor pode apresentar a técnica do "vai um" a partir de uma adição como, por exemplo, Observe que somar 15 com 16 corresponde a juntar estes conjuntos de peças. Fazendo as trocas necessárias, Compare, agora, a operação: 26

27 com o material com os números Ao aplicar o "vai um", o professor pode concretizar cada passagem do cálculo usando o material ou desenhos do material, como os que mostramos. O "vai um" também pode indicar a troca de 10 dezenas por uma centena, ou 10 centenas por 1 milhar, etc. Veja um exemplo: No exemplo que acabamos de ver, o "vai um" indicou a troca de 10 dezenas por uma centena. É importante que a criança perceba a relação entre sua ação com o material e os passos efetuados na operação. 27

28 10. O JOGO DE RETIRAR Objetivos: compreender o mecanismo do "empresta um" nas subtrações com recurso; estimular o cálculo mental. Esta atividade pode ser realizada como um jogo de várias rodadas. Em cada rodada, os grupos sorteiam um cartão e uma papeleta. No cartão há um número e eles devem pegar as peças correspondentes a essa quantia. Na papeleta há uma ordem que indica quanto devem tirar da quantidade que têm. Por exemplo: cartão com número 41 e papeleta com a ordem: TIRE 28. Vence a rodada o grupo que ficar com as peças que representam o menor número. Vence o jogo o grupo que ganhar mais rodadas. É importante que, primeiro, a criança faça várias atividades do tipo: "retire um tanto", só com o material. Depois que ela dominar o processo de "destroca", pode-se propor que registre o que acontece no jogo em uma tabela na lousa. Isto irá proporcionar melhor entendimento do "empresta um" na subtração com recurso. Quando o professor apresentar essa técnica, poderá concretizar os passos do cálculo com auxílio do material ou desenhos do material. O "empresta um" também pode indicar a "destroca" de uma centena por 10 dezenas ou um milhar por 10 centenas, etc. Veja o jogo seguinte: 28

29 11. "DESTROCA" Objetivos: os mesmos da atividade 10. Cada grupo de alunos recebe um dado marcado de 4 a 9 e uma placa. Quando o jogador começa, todos os participantes têm à sua frente uma placa. Cada criança, na sua vez de jogar, lança o dado e faz as "destrocas" para retirar a quantidade de cubinhos correspondente ao número que sair no dado. Veja bem: esse número dá direito a retirar somente cubinhos. Na quarta rodada, vence quem ficar com as peças que representam o menor número. Exemplo: Suponha que um aluno tenha tirado 7 no dado. Primeiro ele troca uma placa por 10 barras e uma barra por 10 cubinhos: Depois, retira 7 cubinhos: 29

30 Salientamos novamente a importância de se proporem várias atividades como essa, utilizando, de início, só o material. Quando o processo de "destroca" estiver dominado, pode-se propor que as crianças façam as subtrações envolvidas também com números. fonte: 30

31 Usando o ábaco para adicionar Apostila do curso Ao enfatizar a importância do cálculo metal, não estamos pondo de lado o processo usual de adicionar. Muito pelo contrário: é importante que as pessoas o dominem. No entanto, é preciso que as pessoas compreendam o processo. Para facilitar esta compreensão, sugerimos a utilização do ábaco. Nas explicações que seguem, utilizaremos o ábaco simplificado, que mencionamos na lição número um. Começaremos por um exemplo simples, adicionando 123 a 530:» representamos 530 no ábaco.» a seguir, acrescentamos 123 ao 530 representado no ábaco, ou seja, acrescentamos 3 unidades, 2 dezenas e 1 centena.» agora, lemos o resultado obtido: 6 centenas, 5 dezenas e 3 unidades ou = 653 É importante perceber a relação entre o que acontece no ábaco e o que fazemos com os símbolos do nossso sistema de numeração: Vamos agora adicionar 167 a 265:» representamos 265 no ábaco. 31

32 » acrescentamos 167 ao 265 representando no ábaco, ou seja, 7 unidades + 6 dezenas + 1 centena.» juntamos um grupo de 10 unidades e trocamos por uma dezena.» juntamos um grupo de 10 dezenas e trocamos por uma centena.» em seguida, lemos o resultado obtido: 32

33 4 centenas, 3 dezenas e 2 unidades, ou = 432. Utilizando o ábaco para subtrair Como dissemos no início desta lição, além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com a subtração, é preciso também que a criança aprenda a subtrair. Existem duas técnicas que são tradicionalmente apresentadas às crianças em nossas escolas. Alguns professores e professoras preferem uma enquanto outros colegas preferem trabalhar com a outra. Vamos procurar compreender as duas. Para favorecer esta compreensão é bastante útil usar o ábaco. Começamos por um exemplo simples, subtraindo 142 e 563: representamos o 563 no ábaco a seguir, das três unidades subtraímos 2, das 6 dezenas subtraímos 4 e das 5 centenas subtraímos 1 agora lemos o resultado 33

34 É importante perceber a relação existente entre o que fazemos com o ábaco e o que fazemos com os símbolos do nosso sistema de numeração: A compreensão desta técnica apóia-se na compreensão do nosso sistema numérico. Agora vamos subtrair 431 de 725: representamos o 725 no ábaco a seguir, das 5 unidades subtraímos 1 na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas, não podemos retirar 3; por isso desagrupamos uma centena convertendo-a em dez dezenas agora, na casa das dezenas, temos 12 bolinhas e podemos retirar 3 finalmente, das 6 centenas retiramos 4 Só é possível entender este processo de cálculo se entendemos a idéia de agrupamente, presente em nosso sistema de numeração. 34

35 fonte: Apostila do curso 35

36 Multiplicação Adição de parcelas iguais e a organização retangular É comum as crianças conhecerem a multiplicação a partir da adição de parcelas iguais. Mas, mais tarde, elas devem também relacionar a multiplicação diretamente com os arranjos retangulares. Os arranjos retangulares são importantes, primeiro porque são muito comuns no dia a dia. Aparecem: Em segundo lugar, eles facilitam a percepção de certas propriedades da multiplicação. Vamos ver um exemplo. Nesta figura, pode-se encontrar o total de quadradinhos fazendo 3 x 6 = 18, pois temos 6 fileiras de 6. Mas também é correto encontrar o total fazendo 6 x 3 = 18, pois há 6 colunas de 3. Conclusão: a ordem dos fatores não altera o produto, pois tanto 3 x 6 como 6 x 3 resultam em 18. Esse fato é conhecido como propriedade comutativa da multiplicação. Comutar significa trocar; no caso, troca-se a ordem dos fatores. Há ainda outra razão importante que justifica a ênfase nos problemas que envolvem a organização retangular: eles facilitarão, posteriormente, o cálculo de áreas. Quadradinho unitário 36