viii Lista de Figuras 1 Introdução 1

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1 viii Sumário Lista de Figuras x 1 Introdução 1 2 Material Concreto no Ensino da Matemática A Origem do Uso do Material Concreto Cuidados a Serem Tomados com o Uso de Materiais Concretos Dicas para o Uso do Material Concreto em Sala de Aula Material Dourado Maria Montessori Apresentando o Material Dourado Construindo o Material Dourado Utilizando o Material Dourado Algumas Atividades com o Material Dourado Jogos Livres Montagem Fazendo um Trem Um Trem Especial Fazendo Trocas Blocos Lógicos Zoltan Paul Dienes Apresentando os Blocos Lógicos Construindo os Blocos Lógicos Utilizando os Blocos Lógicos Algumas Atividades com os Blocos Lógicos Jogos Livres Sopa de Pedras A História do Pirata Procurando a Forma Sorteada

2 ix O Princípio da Contradição Considerações Finais Metodologia e Análise Material Dourado Blocos Lógicos Resultados Conclusivos Futuras Direções Referências Bibliográ cas 37 Apêndice A 39

3 x Lista de Figuras 3.1 Representação do Material Dourado Representação do número Material Dourado construído com cartolina Um trem construído com o Material Dourado iniciando com um cubinho até duas barras Um trem especial construído com Material Dourado iniciando de duas barras até um cubinho Caixa de Blocos Lógicos Combinação das peças constituintes dos Blocos Lógicos Blocos Lógicos : atributos combinados Quadro preenchido com a comparação e negação dos atributos dos Blocos Lógicos na dinâmica do pirata

4 Capítulo 1 Introdução O papel da matemática é capacitar a criança a descrever o mundo, interpretálo, dar signi cado, construir esquemas conceituais e desenvolver o raciocínio lógico. E é por meio das interações com o meio físico e social, que a criança constrói seu conhecimento. O ensino da matemática deve respeitar e incentivar a criança nessa construção. O importante é eliminar regras que induzam a respostas automáticas e encorajar as crianças a pensar por si mesmas. Então, a aprendizagem torna-se muito mais uma exploração de potencialidades, um exercício de construção, de busca, do que o simples emprego mecânico de técnicas e de instrumentos teóricos, para que haja a condução a uma caminhada produtiva. Os conhecimentos matemáticos transformamse em componentes signi cativos de conhecimento do mundo real. Eles instigam a criança para a descoberta desse mundo e a habilitam a interagir com ele. Os currículos de matemática recomendados para a educação básica apresentam três vertentes comuns de trabalho, que visam à formação de uma pessoa matematicamente competente: Comunicar-se matematicamente, que signi ca interpretar e expressar-se utilizando a matemática; Resolver problemas, que signi ca utilizar-se da matemática para solucionar situ-

5 2 ações problemáticas; Utilizar a matemática no questionamento, na re exão e na representação, relacionado fatos e idéias para compreender o mundo físico e social. Considerar essas vertentes signi ca desenvolver o sentido das operações e do número, observar padrões, símbolos e modelos, considerar a geometria, o sentido espacial e a necessidade de grandezas e medidas, bem como organizar e analisar dados. É necessário também considerar a valorização dos processos matemáticos ao resolver problemas, investigar, representar, relacionar e comunicar idéias. Segundo os PCNs:... para a matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental, o conhecimento da história dos conceitos matemáticos precisa fazer parte da formação dos professores para que tenham elementos que lhes permitam mostrar aos alunos a matemática como ciência que não trata de verdades eternas, infalíveis e imutáveis, mas como uma ciência dinâmica, sempre aberta à incorporação de novos conhecimentos (Brasil, 2000: p.37). Atualmente, segundo [5]:... coexistem duas concepções antagônicas a respeito do processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos matemáticos propostos na escola. Enquanto numa concepção tradicional as crianças assimilam os conteúdos matemáticos por meio do processo de explicação, repetição e memorização, na outra, construtivista, a metodologia utilizada na forma de ensinar oferece às crianças oportunidades reais de assimilar o conhecimento, baseadas na descoberta, investigação, discussão e interpretação. O professor deve ter claro que o planejamento curricular é realmente exível, que seu empenho através de práticas diárias e concretas, interativas e inter-relacionadas em que os conteúdos trabalhados sejam articulados de modo a facilitar a compreensão e a aprendizagem do aluno. Cabe ainda que este seja capaz de adotar técnicas e dinâmicas que possibilitem ao aluno uma maior formação de novas estruturas, a partir de orientações básicas mas fundamentais, na construção de expectativas futuras

6 3 que possam contribuir na reversão do atual ensino da matemática. Maior conhecimento sobre como as crianças aprendem Matemática e que tipo de matemática pode ser aprendida, nos diferentes estágios de maturação, tem sido validado rapidamente, mas em geral, ignorado na prática. Educadores têm descoberto ou redescoberto, estratégias para tornar a estrutura da matemática mais compreensível para as crianças; entre tais estratégias está o uso de materiais concretos. O valor dos materiais concretos para a aprendizagem da Matemática não é uma nova descoberta. O homem primitivo deve ter usado os objetos que estavam ao seu redor para registrar informação e representar os dados importantes. Há 175 anos, Pestalozzi propunha que os exercícios de sala de aula fossem baseados nas experiências de vida das crianças e tratassem de assuntos do interesse da criança, fora da sala de aula. Ele sugeriu que os conceitos abstratos da aritmética poderiam ser melhor ensinados através de uso de objetos concretos. A moderna Psicologia tem fornecido uma análise racional para o uso de materiais concretos no desenvolvimento da criança. Para Piaget o conhecimento se dá através de um processo de interação. Quando o sujeito interage com o objeto, um modi ca o outro, assim ocorre a construção do conhecimento pelo sujeito. Através desta interação o sujeito vai modi cando suas estruturas e aprendendo pelos processos de assimilação e acomodação, ou seja, quando o sujeito se depara com algo novo ele inicia o processo de ADAPTAÇÃO que inclui estas duas formas: a ASSIMILAÇÃO e a ACOMODAÇÃO. Na ASSIMILAÇÃO o indivíduo utiliza os conhecimentos que já possui, já na ACOMODAÇÃO, se estes conhecimentos não forem su cientes, é preciso construir novas estruturas. Este processo de formação de estruturas envolvendo assimilação e acomodação é contínuo na construção do conhecimento durante a vida do indivíduo. A principal preocupação de Piaget tem sido mostrar que o desenvolvimento mental da criança ocorre através da maturação, experiência e auto-regulagem, conforme a criança passa por etapas no desenvolvimento da inteligência:

7 4 Sensório-motor: do nascimento até dois anos de idade; Pré-operacional: dos dois anos até os sete; Operações concretas: dos sete aos onze anos; Operações formais: dos onze aos quinze. As crianças do estágio operatório concreto, necessitam manipular objetos concretos para descobrir os conceitos matemáticos que estão sendo ensinados, já que a Matemática envolve ações efetuadas com objetos. Piaget apresenta fortes argumentos para se acreditar que se deva fornecer sistematicamente, à criança, até os onze anos, oportunidades para experimentar e descobrir princípios matemáticos e cientí cos, por si mesma. Piaget também sugere que a falta de sucesso na Matemática é devida a abordagem e não ao conteúdo e ocorre principalmente por causa da passagem, rápida demais, do concreto para o abstrato. A criança deveria começar com a manipulação de objetos físicos e então passar ao trabalho com representação de objetos físicos. No nível semi-concreto o uso de guras, cartazes, grá cos, tabelas e diagramas, podem fazer a ligação entre as manipulações físicas e os conceitos abstratos. As di culdades encontradas por alunos e professores no processo ensino-aprendizagem da matemática são muitas e conhecidas e a busca por materiais concretos que sirvam como recursos pedagógicos se torna cada vez mais freqüente. O professor nem sempre tem clareza das razões fundamentais pelas quais os materiais concretos são importantes para o ensino-aprendizagem da matemática e em que momento devem ser usados.os materiais concretos por si só não garantirão o desenvolvimento dos conceitos. Eles são instrumentos muito úteis para auxiliar as crianças a entenderem o sistema de idéias que é a Matemática e devem fazer parte do processo de aprendizagem desde os estágios iniciais do desenvolvimento do raciocínio-lógico da criança. Nossas escolas precisam de mudanças para poder atender adequadamente as crianças respeitando suas características e níveis de aprendizagem lembrado sempre que a atividade é essencial para o desenvolvimento do sujeito. Mas para que hajam essas

8 5 mudanças, os educadores precisam de conhecimentos a respeito do uso de materiais concretos para que esse processo possa acontecer de forma correta. Por trás de cada material, se esconde uma visão de educação, de matemática, do homem e do mundo; ou seja, existe, adjacente ao material, uma proposta pedagógica que o justi ca e que pode servir como um novo referencial para este professor. Este é um trabalho de caráter investigativo, onde iremos pesquisar a origem, nalidades, aplicações e contribuições do Material Dourado da italiana Maria Montessori e Blocos Lógicos do húngaro Zoltan Paul Dienes,no ensino da matemática e identi car através de uma análise, o conhecimento dos professores do 1 ano do ensino fundamental nas escolas municipais de Ipu, a cerca da utilização teórica-prática desses materiais. Visamos ainda que esse material sirva como fonte de pesquisa para levar os professores a uma re exão sobre o uso do Material Concreto na matemática e adicionar conhecimento teórico-pedagógico aos que já usam esses materiais em questão e aos que pretendem usá-los.

9 Capítulo 2 Material Concreto no Ensino da Matemática 2.1 A Origem do Uso do Material Concreto Antigamente, acreditava-se que as crianças aprendiam apenas recebendo informações do professor. Atualmente existem outras idéias sobre aprendizagem, que não negam completamente as metodologias antigas, mas defendem a idéia de que dessa maneira a compreensão daquilo que se aprende costuma ser pequena e que o mais adequado seria favorecer a criança um aprendizado com compreensão, explorando o mundo a sua volta. No caso da matemática parece ser mais difícil levar a criança a essa exploração. Por isso, os educadores têm procurado formas de facilitar esse processo, criando recursos didáticos que possam ser manipulados pelas crianças, facilitando assim a compreensão do mundo ao seu redor. De tempos em tempos, baseados nas evidencias da prática e da investigação, as propostas didáticas relativas ao ensino da Matemática vêm se modi cando. No período de , por exemplo, as operações eram trabalhadas tendo um destaque

10 7 nas técnicas operatórias, mas sem justi cativa para elas: a prova real e prova dos nove eram apresentadas como forma de veri cação dos resultados. Os cálculos mentais e escritos eram ensinados por meio de treinamentos e exercícios de xação constantes, até decorar os resultados. A aprendizagem do aluno era considerada passiva, consistindo basicamente em memorização de regras, fórmulas e procedimentos.o papel do professor era o de transmissor e expositor de um conteúdo pronto e acabado; o uso de materiais ou objetos era considerado pura perda de tempo, uma atividade que pertubava o silêncio ou a disciplina da classe. Os poucos que os utilizavam, o faziam de maneira puramente demonstrativa, servindo apenas para auxiliar a exposição, a visualização e memorização do aluno. Exemplos disso são: o anelógrafo, as réplicas grandes em madeira de guras geométricas, desenhos ou cartazes xados na parede. Nas décadas de 60/70, o ensino da Matemática foi in uenciado por um movimento que cou conhecido como Matemática Moderna. Foi a Matemática Moderna que deu início a preocupação com a didática da Matemática, porém priorizou as abstrações internas à própria Matemática. As operações eram trabalhadas nas séries iniciais com base na teoria dos conjuntos; a adição era apresentada por meio de dois conjuntos distintos. O cálculo mental não era enfatizado. Ganhou força de que nada deveria ser memorizado. O ensino passou a enfatizar a aprendizagem de símbolos e de uma terminologia especí ca da área(contido, não contido, intersecção, pertence...). As pesquisas de Piaget também re etiram no ensino da Matemática. Professores buscaram novas formas de ensinar, às vezes reproduzindo as provas piagetianas para trabalhar, por exemplo, a conservação das quantidades. O trabalho com operações, assim como a construção do conceito de número, passou a fazer largo uso de materiais: material dourado, os ábacos, jogos de troca, na tentativa de se explicar o que está oculto no sistema de numeração. Esta idéia também incentivou os professores, visando à construção de uma escrita numérica e à leitura dos números com maior compreensão, a explicar, logo de início, as ordens que compõem essa escrita unidade,

11 8 dezena, centena, etc. Há outros exemplos de materiais concretos, que podem ser divididos em dois tipos: Não-estruturados e estruturados. Os não-estruturados não têm função determinada e seu uso depende da criatividade do professor, sendo comum utilizá-los para trabalhar contagem e conceito de grupos e semelhanças nas séries iniciais. São eles: bolas de gude, carretéis, tampinhas de garrafa, palitos de sorvete e outros objetos do cotidiano Já os estruturados apresentam idéias matemáticas de nidas. geoplano, o material Cuisenaire, os Blocos Lógicos e o tangran. Entre eles temos o 2.2 Cuidados a Serem Tomados com o Uso de Materiais Concretos Os recursos didáticos nas aulas de matemática envolvem uma diversidade de elementos utilizados principalmente como suporte experimental na organização do processo de ensino e de aprendizagem. Consideramos que esses materiais devem servir como mediadores para facilitar a relação professor/aluno/conhecimento no momento em que um saber está sendo construído e que as relações matemáticas não estão no objeto em si, elas podem se formar na cabeça da criança, desde que o material seja bem utilizado. Contudo, há necessidade de superar a expectativa que muitos professores têm, quando justi cam a opção pela utilização de materiais concretos nas aulas de matemática, como um fator de motivação ou, como diz [3], "para que as aulas quem mais alegres e para que os alunos passem a gostar da matemática". Esses autores enfatizam ainda que os professores não podem "subjugar sua metodologia de ensino a algum tipo de material porque ele é atraente ou lúdico...nenhum material é válido por si só". Optar por um material concreto exige, então, por parte do professor, re exões teórico-pedagógicas sobre o papel histórico do ensino da matemática, que deverá cumprir sua função essencial: ensinar matemática!

12 9 Geralmente a expectativa da utilização de materiais manipuláveis por parte de professores que atuam no ensino fundamental, está na esperança de que as di culdades de ensino possam ser amenizadas pelo suporte da materialidade. Ao analisar a utilização de materiais concretos no ensino da matemática, observamos que deve haver um cuidado especial quando se pretende fazer uso desse recurso, e que nesse aspecto, o professor tem um papel fundamental. É necessário alertar o professor sobre alguns elementos importantes na utilização de materiais concretos: noções matemáticas se formam na cabeça da criança e não estão no próprio material; o material favorece o aprendizado, desde que seja bem utilizado. Na prática, primeiro, o material deve ser oferecido às crianças antes das explicações teóricas e do trabalho com lápis e papel. É preciso que os alunos tenham tempo e liberdade para explorar o material, brincar um pouco com ele, fazer descobertas sobre sua organização. Após algum tempo de trabalho livre, o professor pode intervir, propondo questões, estimulando os alunos a manifestarem sua opinião. Em resumo, são essenciais, neste início, a ação e o raciocínio do aluno, pois, é só ele mesmo que pode formar as noções matemáticas. A partir da observação e manipulação, da troca de idéias entre alunos e entre estes e o professor é que as relações matemáticas começam a ser percebidas e enunciadas. O professor deve então, aos poucos, ir organizando esse conhecimento. Segundo os estudos do psicólogo suíço Jean Piaget, a criança começa a realizar as operações aritméticas valendo-se da manipulação de objetos (contas, pedrinhas, sementes etc.). Essa experiência com materiais concretos é que permite a elas passar a realizar as contas internamente, raciocinando de forma abstrata. Isso não signi ca que basta colocar na frente de uma criança diversos objetos de contagem para que ela passe a compreender um determinado conteúdo. O entendimento depende de ações e de atividades que auxiliem essa compreensão. Para a utilização de um material

13 10 concreto, devemos observar que ele é um recurso, portanto: - não é uma fórmula mágica que sozinho leve o aluno a raciocinar; - deve estar envolvido em situações que levem o aluno a re etir sobre a experiência acumulada que possui; - deve ser apresentado ao aluno para que este compreenda a sua estrutura e re ita sobre o que está fazendo. A maioria dos materiais adapta-se a vários conteúdos, objetivos e a turmas de diferentes idades - da Educação Infantil ao nal do Ensino Médio. Eles despertam a curiosidade, estimulam o aluno a fazer questionamentos, a descobrir diferenças e semelhanças, a criar hipóteses e a chegar às próprias soluções - en m, a se aventurar pelo mundo da matemática de maneira leve e divertida. Para concluir, podemos dizer que a atitude adequada do professor, em relação ao uso do material concreto no ensino da matemática, deve proceder como um convite à exploração, à descoberta e ao raciocínio 2.3 Dicas para o Uso do Material Concreto em Sala de Aula -O trabalho.tem que ser planejado, determinando os conteúdos a serem desenvolvidos durante o ano e como eles poderão ser aprendidos com o uso de material concreto. - Utilizar o mesmo material para diferentes funções e em diferentes níveis, dependendo do objetivo. É interessante mostrar essa versatilidade aos alunos. - Deve haver uma permissão para que a turma explore bem o material antes de iniciar a atividade - o ideal é que cada aluno tenha o seu. Se isso não for possível, forme duplas. Depois explique como ele será usado. - Apresentar uma situação-problema signi cativa para o aluno: ele precisa ter

14 11 estímulo para resolvê-la. - Observar as crianças: para perceber o raciocínio de cada uma, ajude-as a pensar sobre o que estão fazendo. - Para saber se o aluno está de fato aprendendo, peça o registro das atividades realizadas com o material na forma de desenho ou na linguagem matemática. - A turma ca mais agitada e conversa mais que o normal durante esse tipo de atividade. Interprete como um momento de troca de conhecimentos e experiências.

15 Capítulo 3 Material Dourado 3.1 Maria Montessori Nascida em 1870, na cidade de Chiaravalle, Itália, foi a primeira mulher italiana a diplomar-se em medicina. Sua formação tinha um duplo interesse: a área médica e o ensino. Nos anos iniciais deste século, Maria Montessori dedicou-se à educação de crianças excepcionais, que, graças à sua orientação, rivalizavam nos exames de m de ano com as crianças normais das escolas públicas de Roma. Esse fato levou Maria Montessori a analisar os métodos de ensino da época e a propor mudanças compatíveis com sua loso a de educação. A grande contribuição de Maria Montessori à moderna pedagogia foi a tomada de consciência da criança, percebendo que estas respondiam com rapidez e entusiasmo aos estímulos para realizar tarefas, exercitando as habilidades motoras e experimentando autonomia. A educação sensorial propunha-se a desenvolver na criança a independência, o espírito de iniciativa, a criatividade, a concentração, a ordem, a coordenação psicomotora e a autodisciplina. Segundo Maria Montessori, a criança tem necessidade de mover-se com liberdade dentro de certos limites, desenvolvendo sua criatividade no enfrentamento pessoal com experiências e materiais.

16 13 O método Montessori parte do concreto rumo ao abstrato. Baseia-se na observação de que meninos e meninas aprendem melhor pela experiência direta de procura e descoberta. Para tornar esse processo o mais rico possível, a educadora italiana desenvolveu vários materiais didáticos que constituem um dos aspectos mais conhecidos de seu trabalho. São objetos simples, mas muito atraentes, e projetados para provocar o raciocínio. Entre seus materiais mais conhecidos, destacamos: os "Triângulos Construtores", os "Cubos para composição e decomposição de binômios, trinômios"e o "Material das Contas"que, posteriormente, deu origem ao conhecido Material Dourado Montessori. 3.2 Apresentando o Material Dourado O Material Dourado é um dos muitos materiais idealizados pela médica e e- ducadora italiana Maria Montessori para o trabalho com matemática. Embora especialmente elaborado para o trabalho com aritmética, a idealização deste material seguiu os mesmos princípios montessorianos para a criação de qualquer um dos seus materiais, a educação sensorial: desenvolver na criança a independência, con ança em si mesma, a concentração, a coordenação e a ordem; gerar e desenvolver experiências concretas estruturadas para conduzir, gradualmente, a abstrações cada vez maiores; fazer a criança, por ela mesma, perceber os possíveis erros que comete ao realizar uma determinada ação com o material; trabalhar com os sentidos da criança. Inicialmente, o Material Dourado cou conhecido por sua forma, como "Material das Contas Douradas". Embora esse material permitisse que as próprias crianças compusessem as dezenas e centenas, a imprecisão das medidas dos quadrados e cubos

17 14 Figura 3.1: Representação do Material Dourado se constituía num problema ao serem realizadas atividades com números decimais e raiz quadrada, entre outras aplicações possíveis para o material de contas. Foi por isso que Lubienska de Lenval, seguidor de Maria Montessori, fez uma modi cação no material inicial e o construiu em madeira na forma que encontramos atualmente. O nome "Material Dourado"vem do original "Material de Contas Douradas"e com o intuito de assemelhar-se às contas, o material apresenta cortes em forma de quadrados. O mateiral Dourado ou Material Montessori de acordo com a Figura 3.1 (disponível em: http : // www. educar. sc. usp. br) é constituído por cubinhos, barras, placas e cubo. Observe que o cubo é formado por 10 placas, que a placa é formada por 10 barras e a barra é formada por 10 cubinhos. Este material baseia-se em regras do nossso sistema de numeração. Veja na Figura 3.2 (disponível em: http : // www. educar. sc. usp. br) como representamos, com ele, o número 265.

18 15 Figura 3.2: Representação do número 265 Figura 3.3: Material Dourado construído com cartolina 3.3 Construindo o Material Dourado Este material pedagógico é confeccionado em madeira, mas pode ser construido usando cartolina ou um material semelhante como podemos ver na Figura 3.3 (disponível em: http : // www. somatematica. com. br). Os cubinhos são substituídos por quadradinhos de lado igual a 2 cm, por exemplo. As barrinhas são substituídas por retângulos de 2 cm por 20 cm a as placas são substituídas por quadrados de lado igual a 20 cm. Este material em papel possui a limitação de não ser possível a construção do bloco, o que é uma desvantagem em relação ao material em madeira.

19 Utilizando o Material Dourado O primeiro contato do aluno com o material deve ocorrer de forma lúdica para que ele possa explorá-lo livremente. É nesse momento que a criança percebe a forma, a constituição e os tipos de peça do material. Ao desenvolver as atividades o professor pode pedir às crianças que elas mesmas atribuam nomes aos diferentes tipos de peças do material e criem uma forma própria de registrar o que vão fazendo. Seria conveniente que o professor trabalhasse durante algum tempo com a linguagem das crianças para depois adotar os nomes convencionais: cubinho, barra, placa e cubo. Isso porque uma maneira de abordar notações e convenções na aula de matemática é incentivar o aluno a criar seus próprios métodos de resolver problemas com materiais concretos e pensar as notações e expressões que usará para representar suas soluções. O objetivo disto é levar o aluno a perceber que toda notação é um dos muitos modos válidos para expressar seu pensamento e suas formas de raciocínio. As primeiras atividades sistematizadas a serem propostas com o Material Dourado, ou sua representação em papel, têm como objetivos fazer com que o aluno perceba as relações entre as peças e compreenda as trocas no Sistema de Numeração Decimal. Onde: 1 cubinho representa 1 unidade; 1 barra equivale a 10 cubinhos (1 dezena ou 10 unidades); 1 placa equivale a 10 barras ou 100 cubinhos (1 centena, 10 dezenas ou 100 unidades); 1 cubo equivale a 10 placas 1000 ou 100 barras ou 1000 cubinhos (1 unidade de milhar,10 centenas, 100 dezenas ou 1000 unidades).

20 3.5 Algumas Atividades com o Material Dourado Jogos Livres Objetivo Tomar contato com o material, de maneira livre, sem regras. 17 Metodologia Durante algum tempo, os alunos brincam com o material, fazendo construções livres. O material dourado é construído de maneira a representar um sistema de agrupamento. Sendo assim, muitas vezes as crianças descobrem sozinhas relações entre as peças Montagem Objetivo Perceber as relações que há entre as peças. Metodologia Após permitir que os alunos, em grupos, brinquem livremente com o material dourado, o professor poderá sugerir as seguintes montagens: - uma barra feita de cubinhos; - uma placa feita de barras; - uma placa feita de cubinhos; - um cubo feito de barras; - um cubo feito de placas. O professor poderá estimular os alunos a chegarem a algumas conclusões perguntando, por exemplo:

21 18 - Quantos cubinhos eu preciso para formar uma barra? - Quantas barras eu preciso para formar uma placa? - Quantos cubinhos eu preciso para formar uma placa? - Quantas barras eu preciso para formar um cubo? - Quantas placas eu preciso para formar um cubo? Fazendo um Trem Objetivo Compreender os conceitos de sucessor e antecessor. Metodologia O professor pode pedir que os alunos façam um trem. O primeiro vagão do trem será formado por um cubinho, e os vagões seguintes por um cubinho a mais que o anterior. O último vagão será formado por duas barras, como podemos visualizar na Figura 3.4 (disponível em: http : // www. somatematica. com. br ). Quando as crianças terminarem de montar o trem o professor pode incentivá-las a desenhar o trem e registrar o código de cada vagão. É importante que o professor considere as várias possibilidades de construção do trem e de registro encontradas pelos alunos. Esta atividade leva à formação da idéia de sucessor. Fica claro para a criança o "mais um", na seqüência dos números. Ela contribui também para a melhor compreensão do valor posicional dos algarismos na escrita dos números Um Trem Especial Objetivo Compreender que o antecessor é o que tem "1 a menos"na seqüência numérica.

22 19 Figura 3.4: Um trem construído com o Material Dourado iniciando com um cubinho até duas barras Metodologia O professor combina com os alunos: - Vamos fazer um trem especial. O primeiro vagão é formado por duas barras (desenha as barras na lousa). O vagão seguinte tem um cubo a menos e assim por diante. O último vagão será um cubinho. Quando as crianças terminam de montar o trem, recebem papeletas nas quais devem escrever o código de cada vagão. Esta atividade trabalha a idéia de antecessor, facilitando o entendimento da criança para o "menos um"na seqüência dos números. Ela contribui também para uma melhor compreensão do valor posicional dos algarismos na escrita dos números. O trem especial está representado na Figura 3.5 (disponível em: http : // www. somatematica. com. br ).

23 20 Figura 3.5: Um trem especial construído com Material Dourado iniciando de duas barras até um cubinho Fazendo Trocas Objetivo Compreender as características do sistema decimal. - fazer agrupamentos de 10 em 10; - fazer reagrupamentos; - fazer trocas; - estimular o cálculo mental. Metodologia Para esta atividade, cada grupo deve ter um dado marcado de 4 a 9. Cada criança do grupo, na sua vez de jogar, lança o dado e retira para si a quantidade de cubinhos correspondente ao número que sair no dado. Veja bem: o número que sai no dado dá direito a retirar somente cubinhos. Toda vez que uma criança juntar 10 cubinhos, ela deve trocar os 10 cubinhos por uma barra e aí ela tem direito de jogar novamente. Da mesma maneira, quando tiver

24 21 10 barrinhas, pode trocar as 10 barrinhas por uma placa e então jogar novamente. O jogo termina, por exemplo, quando algum aluno consegue formar duas placas. O professor então pergunta: - Quem ganhou o jogo? - Por quê? Se houver dúvida, fazer as "destrocas". O objetivo do jogo das trocas é a compreensão dos agrupamentos de dez em dez (dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena, etc.), característicos do sistema decimal. A compreensão dos agrupamentos na base 10 é muito importante para o real entendimento das técnicas operatórias das operações fundamentais. O fato de a troca ser premiada com o direito de jogar novamente aumenta a atenção da criança no jogo. Ao mesmo tempo, estimula seu cálculo mental. Ela começa a calcular mentalmente quanto falta para juntar 10, ou seja, quanto falta para que ela consiga fazer uma nova troca. cada placa será destrocada por 10 barras; cada barra será destrocada por 10 cubinhos. Variações 1. Pode-se jogar com dois dados e o aluno pega tantos cubinhos quanto for a soma dos números que tirar dos dados. 2. Pode-se utilizar também uma roleta indicando de 1 a 9.

25 Capítulo 4 Blocos Lógicos 4.1 Zoltan Paul Dienes Na década de 1950, este matemático húngaro elaborou um método para exercitar a lógica e desenvolver o raciocínio abstrato, a partir do trabalho de William Hull, sobre os estudos do psicólogo bielo-russo Lev Semenovich Vygotsky. Hull demonstrara que as crianças de 5 anos poderiam chegar a um pensamento lógico mais elevado desde que exercitassem num material concreto, bem adaptado à sua idade. Dr. Zoltan Paul Dienes cou mundialmente famoso por suas pesquisas e práticas na teoria de uma nova matemática em que o uso de material concreto surge como um suporte para o ensino da matemática para crianças. Ele imaginou um conjunto de materiais entre os quais as relações lógicas se estabeleciam por características sensoriais fáceis de serem observadas e diferenciadas por elas, surgiu então os Blocos Lógicos. Ver Figura 4.1 (disponível em http : // www. brinquedoteca. com. br).

26 Apresentando os Blocos Lógicos A utilização dos blocos lógicos em jogos surgiu a partir dos trabalhos realizados pelo educador Zoltan Paul Dienes, em pesquisas que ele realizou com seu grupo de trabalho em vários lugares do mundo e com a nalidade especí ca de desenvolver o raciocínio lógico-matemático segundo a perspectiva de Piaget. O material representado na Figura 4.2,(disponível em http : // didacticamatematica. planetaclix. pt) é constituído normalmente, por 48 peças (de madeira, plástico ou borracha) que diferem uma da outra segundo quatro atributos: Cor: amarelo, vermelho e azul Forma: quadrado, retângulo, triângulo e círculo Espessura: grosso e no Tamanho: pequeno e grande As peças dos blocos não representam guras planas uma vez que todas possuem espessura, mesmo assim, elas são consideradas um recurso importante para uma primeira familiarização dos alunos com os nomes das guras.os alunos do Ensino Fundamental, ainda se encontram no nível da visualização, no qual as crianças precisam ter as primeiras imagens e as primeiras percepções das formas, o que pode em parte ser trabalhado através dos blocos. O trabalho com blocos lógicos também auxilia os alunos a classi carem formas, ou seja, juntá-las por semelhanças ou separá-las por diferenças. A classi cação é uma estrutura lógica que no caso da geometria está relacionada a formação das noções do que são as guras geométricas e de suas propriedades. Por exemplo, quando a criança é capaz de separar o quadrado das outras guras ela executou a ação de classi car e estabeleceu observações sobre as características dessa gura que a distinguem das demais. Nesse sentido é importante trabalhar com blocos ainda no início da formação dos alunos, pois além deste material permitir um trabalho com classi cação, ele pode dar início ao reconhecimento e nomeação de guras geométricas, já que é um modelo

27 24 Figura 4.1: Caixa de Blocos Lógicos visual para as crianças. Uma criança entenderá melhor os números e as operações matemáticas se puder torná-los palpáveis. De fato, materiais concretos como pedrinhas, barras e blocos lógicos, fazem as crianças arrancar no raciocínio abstrato. Particularmente, os blocos lógicos não ensinam a fazer contas, mas exercitam a lógica. Sua função é dar às crianças a chance de realizar as primeiras operações lógicas, como correspondência e classi cação conceitos que para nós, adultos, são automáticos quando pensamos nos números. Essa importância atribuída aos materiais concretos tem raiz nas pesquisas do psicólogo suíço Jean Piaget ( ). Segundo Piaget, a aprendizagem da Matemática envolve o conhecimento físico e o lógico-matemático. No caso dos blocos, o conhecimento físico ocorre quando a criança pega, observa e identi ca os atributos de cada peça. O lógico-matemático se dá quando ela usa esses atributos sem ter o material em mãos. 4.3 Construindo os Blocos Lógicos Um jogo de blocos lógicos contém 48 peças divididas em três cores (amarelo, azul e vermelho), quatro formas (círculo, quadrado, triângulo e retângulo), dois tama-

28 25 Figura 4.2: Combinação das peças constituintes dos Blocos Lógicos Figura 4.3: Blocos Lógicos : atributos combinados nhos (grande e pequeno) e duas espessuras ( no e grosso). As peças podem ser de madeira, cartolina ou outro material semelhante, sem medidas padronizadas. Antes de começar, combine com os alunos uma convenção para indicar separadamente cada atributo das peças, conforme a Figura 4.3 (Dispopnível em http : // www. ensino. net / novaescola / 111-abr98). Esses códigos farão as crianças pensar nos atributos dos blocos, sem a necessidade de tê-los à mão. Um exercício que vai estimular o raciocínio abstrato.

29 Utilizando os Blocos Lógicos O trabalho com blocos lógicos deve ser desenvolvido em atividades que exijam da criança a manipulação, construção e representação de objetos estruturados, tendo com objetivos o auxilio ao desenvolvimento das habilidades de discriminação e memória visual; também a constância de forma e tamanho, sequência e simbolização. As atividades com esse material permitirão à criança avançar do reconhecimento das formas para a percepção de suas propriedades, ou seja, caminhar do nível da visualização para o da análise. 4.5 Algumas Atividades com os Blocos Lógicos Jogos Livres Objetivos Manipulação, construção e representação de objetos estruturados, desenvolvimento de habilidades de discriminação e memória visual; constância de forma e tamanho. Metodologia No momento em que as crianças têm o primeiro contato com o material, é interessante que o professor garanta que possam explorar livremente os blocos lógicos e circule pela classe para observar: o envolvimento dos alunos, o que cada grupo faz com o material, como as crianças se organizam para distribuí-lo, etc. Assim, o professor deve criar motivação para a melhor exploração e permitir uma exploração livre, pois durante esta fase a criança percebe as principais características dos objetos, relaciona estas características, organiza as peças segundo suas próprias observações. O professor deve levar o seu aluno a falar sobre as arrumações que fez com o mate-

30 27 rial. Essa prática permite a ele perceber o momento certo para começar a direcionar as atividades. Tal dinâmica pode ser repetida outras vezes de acordo com a necessidade da classe em explorar os blocos. É muito comum as crianças montarem inicialmente torres, sanduíches, ou outros objetos que possam sugerir o empilhamento. É possível observar nesse momento as hipóteses das crianças. Algumas após a primeira ou segunda aula de exploração já começam a montar guras e posteriormente passam a organizar algumas peças dos blocos seguindo um critério de classi cação. O professor deve estimular seus alunos a falarem sobre as características das peças. Isto os levará a perceber seus atributos. Em nenhum momento se deve forçar resposta alguma por parte das crianças. Sempre que elas não conseguirem responder o que se esperava é interessante perguntar novamente, apresentando outra atividade com a mesma estrutura, orientando e mediando até que elas consigam atingir o que se esperava. É possível fazer isso através de perguntas: As peças são todas iguais? O que vocês perceberam de diferente? Há peças com pontas, sem pontas?... En m é possível propor problemas para que os alunos explicitem suas observações, o que pode ser feito através de explorações verbais sobre os atributos das peças: Eu vou mostrar uma peça e gostaria que vocês falassem tudo o que sabem sobre ela! Agora vou mostrar outra e vocês vão fazer o mesmo! Tal procedimento pode ser seguido enquanto as crianças se mostrarem interessadas. Em outro momento o professor pode fazer o contrário - fala sobre a peça e pede que ela seja mostrada, como por exemplo: É azul, grossa, grande e tem três lados. Uma outra variação é mostrar uma peça e pedir para que os alunos encontrem

31 28 uma outra que tenha com aquela uma semelhança. O que sugerimos até aqui, deve ser proposto algumas vezes até que o professor perceba que isso não é mais necessário porque os alunos conhecem as guras e suas características. No entanto, independente dessa exploração existir, muitas vezes é preciso um momento de exploração livre do material entre os alunos Sopa de Pedras Objetivo Que as crianças percebam que todas as peças dos blocos lógicos são diferentes entre si. Metodologia O material é oferecido para explorarem livremente. Em seguida, o professor pede que coloquem as peças no chão, no meio da roda, escolhe uma criança para "cozinheira"e diz: Vamos fazer de conta que estas peças são pedras e que nós vamos fazer uma sopa com elas, para um bicho muito esquisito que gosta de comê-las! A criança "cozinheira"pede uma pedra para pôr na sopa, falando sobre uma das peças dos blocos. Ela deve levantar a maioria dos atributos da peça, senão mais de uma peça lhe será entregue, por exemplo: se a "cozinheira"falar: vermelho, grosso, as crianças podem pegar qualquer forma, de qualquer tamanho.o professor propõe como variação, passos mais detalhados que levem a uma observação apurada dos atributos do objeto. Por exemplo, a cozinheira irá separar peças dentro do "caldeirão"e dará as pistas para as outras crianças trazerem peças iguais e, no m, as crianças veri cam se acertaram ou não através do bloco:

32 29 Eu preciso de uma pedra que é azul, grande, na e tem todos os lados do mesmo tamanho. Eu preciso de uma pedra que é vermelha, na, pequena e tem três lados. Espera-se com a dinâmica, que as crianças percebam que todas as peças dos blocos lógicos são diferentes entre si e que para determinar cada uma é preciso falar das suas características A História do Pirata Objetivo Estimular o reconhecimento e compreensão dos atributos dos Blocos Lógicos. Metodologia Conte a seguinte história: "Era uma vez um pirata que adorava tesouros. Havia no porão de seu navio um baú carregado de pedras preciosas. Nesse porão, ninguém entrava. Somente o pirata tinha a chave. Mas sua felicidade durou pouco. Numa das viagens, uma tempestade virou seu barco e obrigou todos os marinheiros a se refugiarem numa ilha. Furioso, o pirata ordenou que eles voltassem a nado para resgatar o tesouro. Mas, quando retornaram, os marujos disseram que o baú havia sumido. Um de vocês pegou, esbravejou o pirata descon ado."nesse ponto, começa o jogo com as crianças. Peça que cada uma escolha um bloco lógico. Ao observar as peças sorteadas, escolha uma delas sem comunicar às crianças qual é. Ela será a chave para descobrir o "marujo"que está com o tesouro. Apresente então um quadro com três colunas de acordo com a Figura 4.4 (disponível em http : // www. ensino. net / novaescola / 111-abr98). Supondo que a peça escolhida seja um triângulo pequeno, azul e grosso, você diz: "Quem pegou o tesouro tem a peça azul". Pedindo a ajuda das crianças, preencha os atributos no quadro. Em seguida, dê outra dica: "Quem

33 30 Figura 4.4: Quadro preenchido com a comparação e negação dos atributos dos Blocos Lógicos na dinâmica do pirata pegou o tesouro tem a forma triangular". Siga até chegar ao marinheiro que esconde o tesouro. A atividade estimula mais que a comparação visual. Também exercita a comparação entre o atributo, agora imaginado pela criança, e a peça que a criança tem na mão. A negação, segunda coluna do quadro, leva à classi cação e ajuda a compreender, por exemplo, que um número pertence a um e não a outro conjunto numérico Procurando a Forma Sorteada Objetivo Estimular o reconhecimento e compreensão dos atributos dos Blocos Lógicos. Metodologia Construa um dado de cartolina, com uma forma de um bloco lógico desenhado em cada face. As crianças sentam no chão numa rodinha. Espalhe o conteúdo da caixa de blocos lógicos no chão. Cada criança irá jogar o dado e procurar entre as peças uma que tenha a forma sorteada. Pode-se fazer duas ou três rodadas ou jogar até que todas

34 31 as peças sejam sorteadas. Neste caso, quando for sorteada uma determinada forma e não havendo mais nenhuma peça com essa forma, leva-se as crianças a construírem uma regra que pode ser, passar a vez ou jogar ainda uma vez. No nal do jogo as crianças farão o relatório, mostrando através do desenho as peças conseguidas no jogo O Princípio da Contradição Objetivo Estimular o reconhecimento e compreensão dos atributos dos Blocos Lógicos. Metodologia A classe deve ser dividida em dois grupos e as 48 peças distribuídas de forma aleatória. Após a divisão, cada grupo deve tentar ganhar, do adversário, uma peça que não possui. Só terá direito à peça desejada o aluno que nomear as quatro características dela. Caso enumere as características de uma peça que seu grupo já possui o jogador perde a chance da jogada. Ganha o jogo o grupo que, ao nal, conquistar o maior número de peças. O professor deve estipular um prazo para a duração da disputa.

35 Capítulo 5 Considerações Finais 5.1 Metodologia e Análise Esse trabalho investigativo do uso de materiais concretos no ensino da Matemática, dividiu-se nas seguintes fases: Pesquisa sobre as implicações psico-pedagógicas do uso de materiais concretos; Pesquisa especí ca sobre o Material Dourado e Blocos Lógicos; Questionário aplicado a cinco professores da rede municipal de Ipu, que lecionam no 1 o ano do Ensino Fundamental, a respeito do conhecimento teórico e prático do Material Dourado e Blocos Lógicos. No que se trata ao uso de materiais concretos na matemática, foi feito uma pesquisa bibliográ ca e alguns critérios foram enfatizados para a escolha de um bom material: Os materiais devem representar claramente o conceito matemático; Os materiais devem ser motivadores; Os materiais devem proporcionar uma base para abstração; Os materiais devem proporcionar manipulação individual.

36 Material Dourado 1. Conhecimento e Utilização Todas as cinco professoras pesquisadas conhecem o material. Duas já utilizaram em sua sala de aula e duas não utilizam porque na escola não tem.a quinta professora tem um conhecimento apenas visual e não sabe como utilizar o material. 2. Fundamentação Teórica De acordo com as respostas pude perceber que apenas três professoras têm uma fundamentação teórica acertada dentro das nalidades desse material. Uma das professoras equivocou-se ao responder que esse material é indispensável para a aprendizagem do aluno, pois sabemos que nenhum material é válido por si só. 3. Experiência e Construção As professoras que utilizam o material dourado relataram haver mais atenção, participação, melhor compreensão do conteúdo e maior interesse dos alunos durante o uso do material. No entanto, nenhuma delas, construiu o material; utilizam apenas um, servindo na maioria do tempo como exposição, ou seja, de maneira equivocada, já que o material deve ser manuseado para atingir todo o seu objetivo na aprendizagem. Isto deve ocorre no mínimo em duplas, para que as discussões que vierem a acontecer sirvam de crescimento para ambos Blocos Lógicos 1. Conhecimento e Utilização Todas as cinco professoras pesquisadas conhecem o material. Quatro já utilizaram em sua sala de aula e uma não utiliza porque na escola não tem.

37 34 2. Fundamentação Teórica De acordo com as respostas pude perceber que quatro professoras têm uma fundamentação teórica acertada dentro das nalidades desse material. A quinta professora respondeu da seguinte forma: É um material ótimo e indispensável em sala de aula. Pela resposta vaga e o termo indispensável, analisei que ela não possui um bom embasamento na nalidade teórica desse material. 3. Experiência e Construção As professoras que utilizam os blocos lógicos relataram haver mais atenção e alunos mais estimulados. O material proporciona momentos de criação, construção, descobertas, percepção, comparação e socialização. A construção do material foi vivenciada apenas por duas das professoras, perdendo assim um bom momento de interação dos alunos que ocorre quando o material é construído por eles. 5.2 Resultados Conclusivos Aprender a utilizar materiais concretos no ensino da matemática não é simples como parece. Os materiais precisam ser usados de maneira correta e no tempo certo. Certamente não teremos situações de ensino iguais quando um material é utilizado como instrumento de comunicação do professor que explica mostrando objetos que só ele manipula e quando os alunos o manipulam, interpretando suas características. O Material Dourado baseia-se nas regras do sistema de numeração e é de grande importância para facilitar a aprendizagem. Um aspecto importante é que os alunos, ao fazer as atividades, utilizem o material concreto e registrem com desenhos o que foi feito. Ele desperta no aluno a concentração, o interesse, ajuda a desenvolver a

38 35 inteligência, a imaginação criadora, a contar e calcular. Já geometria exige uma maneira especí ca de raciocinar, explorar e descobrir; esses fatores desempenham importante papel na concepção de espaço pela criança. Os blocos lógicos são inspirados nas guras geométricas mais conhecidas pelos alunos, que são: o quadrado, o retângulo, o triângulo e o círculo; eles são bastante e cientes para que os alunos exercitem a lógica e evoluam no raciocínio abstrato. Eles facilitam os futuros encontros com números, operações, equações e outros conceitos na matemática. Uma de suas funções é dar ao aluno idéias das primeiras operações lógicas, como correspondência e classi cação. Nos blocos lógicos o conhecimento físico ocorre quando o aluno manuseia, observa e identi ca os atributos de cada peça. O lógico- matemático se dá quando o aluno usa esses atributos sem ter o material em mãos. Concluiu-se que nas escolas do município de Ipu, apesar da maioria conhecer os materiais concretos em questão e terem um certo conhecimento do uso desses materiais, a fundamentação teórica e a metodologia, não correspondem à expectativa para que o uso do Material Dourado e Blocos Lógicos atinjam todo o seu objetivo no processo ensino-aprendizagem. 5.3 Futuras Direções Um curso de formação para os professores da área, incluindo informação teórica e laboratório, é fundamental, pois se observa uma de ciência de formação em parte dos docentes investigados, no que concerne a aplicação dos instrumentos de aprendizagem sugeridos. Por outro lado, torna-se necessário que os próprios professores busquem conhecimentos e saibam aproveitar todas as oportunidades de formação que forem disponibilizadas. O professor precisa identi car as principais características dessa ciência, de seus métodos, de suas rami cações e aplicações; conhecer a história de vida dos seus alunos; ter clareza de suas próprias concepções, uma vez que as escolhas pedagógicas, a de nição de objetivos e conteúdos de ensino e as formas de avaliação,

39 36 estão intimamente ligadas a essas concepções. O educador deve ter o intuito de superar os obstáculos encontrados na construção dos conceitos, transformando o saber cientí co em saber escolar, não deixando de considerar o contexto sócio-cultural do educando.

40 Referências Bibliográ cas [1] DALTOÉ, Karen e STRELOW, Sueli. Trabalhando com Material Dourado e Blocos Lógicos nas Séries Iniciais, Disponível em: <http : // www. somatematica. com. br>. Acesso em: 18/01/2007. [2] FALZETTA, Ricardo. Construa a lógica, bloco a bloco. In: NOVA ES- COLA, 111 ed., abr1998, p [3] FIORENTINI, D. e MIORIM, M.A. Uma re exão sobre o uso de materiais concretos e jogos no Ensino da Matemática. Boletimda SBEM-SP. São Paulo: SBM/SP, Ano 4, n.7, [4] BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 2a edição. Rio de Janeiro: DP & A, [5] ZUNINO, Délia Lerner. A Matemática na Escola: aqui e agora. 2a edição. Porto Alegre-RS: Artes Médicas, [6] BERMAN, Barbara. Como as crianças aprendem matemática: redescobrindo materiais manipulativos. In: Curriculum Review, volume 21, n.2, maio1982. [7] VIOLANTE, Renata. Materiais Didáticos em Matemática, Disponível em: <http : // www. tvebrasil. com. br / SALTO / boletins2002 / mp / tetxt3. htm>. Acesso em: 15/02/2007.