Mecanismos de Seleção de Gale-Shapley Dinâmicos em Universidades Brasileiras: b

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1 08 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU, SISU b Luis Abreu José Rimundo Crvlho FORTALEZA MARÇO 2014

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA - CAEN SÉRIE ESTUDOS ECONÔMICOS CAEN Nº 08 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU, SISU FORTALEZA CE MARÇO 2014

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4 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU α, SISU β Luis Abreu Deprtmento de Mtemátic/Universidde Estdul Vle do Acrú Lbortório de Econometri e Otimizção/CAEN/UFC luiscrlos.mt@gmil.com José Rimundo Crvlho CAEN/Universidde Federl do Cerá Lbortório de Econometri e Otimizção/CAEN/UFC josecrv@ufc.br Resumo No Brsil, busc pel redução ds ineficiêncis observds n locção de vgs em instituições de ensino superior vi o trdicionl vestibulr levou à formulção e implntção de um mecnismo lterntivo de seleção pr dmissão superior: o Sistem de Seleção Unificd (SISU), crido em O mecnismo é um lgoritmo de mtching com s seguintes crcterístics: (i) cd estudnte que recebe ofert de mtrícul decide por ceitr ou rejeitr ofert recebid; (ii) rejeições de oferts provocm relizção de novs proposts; e (iii) proposts são ceits temporrimente, podendo cd ofert ceit ser ''trocd'' por um ofert considerd ''melhor''. Ou sej, o SISU é um mecnismo semelhnte o Algoritmo Deferred Acceptnce (Algoritmo Gle-Shpley) com os cursos propondo. Apesr d importânci do SISU, litertur econômic sobre sus especificiddes é prticmente inexistente. Neste trblho busc-se entender e crcterizr os incentivos propicidos pelo SISU trvés de dois novos mecnismos teóricos desenvolvidos, o SISU α e o SISU β. Ambos são modeldos como mecnismos de mtching dinâmicos. Crcterizmos estrtégis não dominds pr o SISU β e o SISU α. Utilizndo o SISU α como melhor proximção disponível pr o SISU, concluímos que introdução do SISU presentou um importnte vnço em relção o vestibulr em termos de gnhos de eficiênci do mtching entre lunos e cursos. Plvrs-chve: SISU, Mecnismo de Gle-Shpley, Modelos de Mtching. Abstrct In Brzil, the quest for reducing observed inefficiencies in the lloction of sets in higher eduction institutions through trditionl exmintion (Vestibulr) led to the formultion nd implementtion of n lterntive mechnism of selection: the Unified Selection System (SISU), creted in The mechnism is mtching lgorithm with the following chrcteristics: (i) ech student who receives n offer decides to ccept or reject the received offer; (ii) rejections of offers prompt new proposls; (iii) proposls re ccepted temporrily, nd ech offer cn be ''replced'' by n offer considered ''better''. Tht is, the SISU is mechnism similr to the College-Proposing Deferred Acceptnce Algorithm (College-Proposing Gle-Shpley Algorithm). Despite the importnce of SISU, the economic literture bout its specificities is prcticlly nonexistent. In this work we seek to understnd nd chrcterize the incentives provided by SISU through two new developed theoreticl mechnisms, the SISU α nd SISU β. Both re modeled s dynmic mtching mechnisms. We chrcterize undominted strtegies for SISU β nd SISU α. Using SISU α s the best pproximtion vilble to SISU, we conclude tht the introduction of SISU showed significnt improvement on Vestibulr in terms of gins of efficiency from mtching between students nd courses. Keywords: SISU, Gle-Shpley Mechnism, Mtching Models. JEL Clssifiction: C73, C78, I28.

5 Série ESTUDOS ECONÔMICOS Nº 08 1 Introdução No Brsil, s instituições de ensino superior públics detêm sttus de mior qulidde em relção às privds. Bons cursos sofrem grnde procur e ocupção de um de sus vgs torn-se resultdo de um competitiv disput. A correlção entre nos de estudo e produtividde, juntmente com ssimetri de informção no mercdo de trblho qunto o nível de produtividde do trblhdor, fz com que este se utilize de mior ''consumo'' de nos de educção como um mecnismo de sinlizção de su mior produtividde. 1 Portnto, cesso um ensino de mior qulidde trduz-se em um expecttiv de mior poder competitivo no mercdo de trblho, consequentemente lcnce melhores empregos, miores slários e possibiliddes de melhores condições de vid. No entnto, qul seri o ppel fundmentl do ensino superior? Arrow (1973) contrst o hbitul ponto de vist de que o estudnte tem sus hbiliddes/produtividde primords trvés d educção superior e que, portnto, est cresce o vlor de mercdo de seu trblho, com um visão d educção como um filtro. Assim, Arrow explor possibilidde de que o invés d educção superior contribuir crescendo s hbiliddes cognitivs ou de socilizção do indivíduo, est serviri como um ferrment de clssificção de indivíduos em diferentes níveis de hbilidde e pont pr o fto de que se seleção dos estudntes é tl que produtividde esperd dos dmitidos é mior do que dos rejeitdos, então o procedimento de dmissão tem poder preditivo. Nos últimos nos, surgiu no Brsil um preocupção com o suprcitdo poder d educção em propicir scensão socil como gerdor de desiguldde socil, o que fez com que o processo de seleção deixsse sus origens de privilégio exclusivo à meritocrci e psssse considerr ftores socioeconômicos dos prticipntes, comumente trvés d doção de cots. Os procedimentos utilizdos no processo pelo qul os estudntes são seleciondos pr ingresso no ensino superior, processos de dmissão, vrim mplmente de pís pís. Helms (2008) descreve os principis formtos utilizdos nos processos de dmissão de diversos píses o redor do mundo. Os ftores pontdos por Helms como mis comumente considerdos no processo de dmissão podem ser grupdos em qutro principis ctegoris: exmes, preprção secundári, mtéris de plicção e ftores demográficos. No Brsil, durnte quse um século, o sistem de seleção utilizdo foi predominntemente o vestibulr, sistem descentrlizdo de seleção que por vezes lev o concorrente um trde-off: concorrer à vg em seu curso de mior preferênci ou um curso menos preferível ms pr o qul este dispunh de miores chnces de provção. Os mles desse trde-off vão d locção ineficiente ds vgs 2, consequentemente, miores txs de evsão. Sob ótic d teori econômic s instituições de ensino superior (IES) e os estudntes que buscm entrd no ensino superior são trtdos como gentes possuindo preferêncis sobre os indivíduos do outro grupo. O problem de prer estudntes e vgs é chmdo School Choice (ou College Admission, ou ind Student Plcement) e o processo pelo qul o premento é relizdo de um mecnismo de mtching. Desde os trblhos seminis de Gle nd Shpley 1 Ver Spence (1973). 2 A ineficiênci qui pontd refere-se o fto de que sendo o vestibulr um mbiente de incertez e grnde competitividde e, dinte d restrição impost os estudntes qunto o número de cursos que se pode concorrer ( sber, um único), o estudnte ge muito provvelmente de modo estrtégico e, de modo gerl, o resultdo será um locção instável. 4 Mrço 2014

6 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU α, SISU β (1962), Dubins nd Freedmn (1981), Blinski nd Sönmez (1999) e Abdulkdiroğlu nd Sönmez (2003), ess áre de pesquis se desenvolveu enormemente, sendo, inclusive, rzão do prêmio Nobel em Não é de hoje que são conhecids s vntgens d utilizção de um mecnismo de mtching no premento de indivíduos, tmpouco é exclusividde do sistem educcionl. Mecnismos de mtching têm sido utilizdos nos mercdos imobiliário (Hyllnd nd Zeckhuser, 1979), de trnsplnte de órgãos (Roth, Sönmez, nd Ünver, 2004), de trblho (Kelso Jr. nd Crwford, 1982), etc. De um mneir gerl, ess litertur contribuiu decisivmente pr diminuir os problems encontrdos em mecnismos de mtching ineficientes. No Brsil, busc pel redução de cert ineficiênci observd n locção ds vgs em instituições de ensino superior vi vestibulr levou à formulção e implntção de um mecnismo lterntivo de seleção pr dmissão superior. Tendo início com implntção, em 1998, de um exme ncionl (Exme Ncionl do Ensino Médio ENEM), os poucos justdo pr servir como exme de seleção pr o ensino superior. Sendo seguido em 2010 d implementção de um sistem de seleção unificdo (SISU), servindo de cnl de ofert e demnd por vgs no ensino superior e responsável pel locção ds mesms. Apesr d importânci do SISU, litertur econômic sobre sus especificiddes é prticmente inexistente. Nesse sentido, o presente trblho buscou, sob luz d teori dos jogos, entender os incentivos ddos pelo Sistem de Seleção Unificdo (SISU) trvés do desenvolvimento e nálise de modelos estilizdos, i.e., dos mecnismos SISU α e SISU β. Estes são modeldos como mecnismos de mtching dinâmicos e pr os mesmos crcterizmos estrtégis não dominds. Os resultdos encontrdos pr os mecnismos propostos e s similriddes destes com o mecnismo do SISU sinlizm pr o fto de que ftores externos 4 sejm os únicos responsáveis pelos ltos índices de não mtrícul em primeir chmd observdos no SISU. 5 Além desse cpítulo introdutório, desenvolvemos os resultdos em três cpítulos dicionis. N seção 2, introduzimos os principis conceitos e definições utilizdos no trblho. N seção 3, descrevemos vridos mecnismos de mtching (Boston, Shnghi, deferred cceptnce, top trding cycles e o vestibulr) nlisndo cd um destes segundo o tendimento ou não às proprieddes de estbilidde, Preto eficiênci e não mnipulbilidde. N seção 4, fzemos um descrição do SISU, pontndo o uso do mecnismo deferred cceptnce durnte sus etps. N seção 5, presentmos modelos estilizdos do SISU e prtir destes nlismos crcterístics do SISU em relção o vestibulr. N seção 6, tecemos considerções finis. Finlmente, presentmos s demonstrções no pêndice. 3 Luredo Alvin E. Roth e Lloyd S. Shpley. 4 Utilizmos o termo ftores externos pr nos referir ftores não incorpordos o modelo. A influênci desses ftores é percebid pel observânci, n prátic, de comportmento estrtégico dos jogdores não justificdo pelo modelo teórico. 5 Embor não hj divulgção oficil do Ministério d Educção cerc do percentul de lunos que não reliz mtrícul em primeir ou segund chmds, são frequentes notícis pontndo pr grnde mgnitude destes vlores. Ver, por exemplo, Cieglinski (2012) ou Universidde Federl do Cerá. (2013). 5

7 Série ESTUDOS ECONÔMICOS Nº 08 2 School Choice Um problem de school choice 6 constitui-se de dois conjuntos disjuntos: um conjunto de estudntes e um conjunto de cursos. Cd estudnte possui preferêncis estrits em relção os cursos e opção de não estudr. Cd curso possui preferêncis estrits em relção os estudntes (individulmente) e opção de mnter um vg desocupd lém de um quntidde fix de vgs disponíveis. Utilizremos o símbolo pr representr qulquer opção extern o problem (opção do estudnte de não estudr e opção do curso de mnter vgs desocupds). Denotremos por P s relção de preferêncis estrits do estudnte s, por exemplo, P s = c 1, c 2,, c 3,..., c m indic que o estudnte s prefere (estritmente) estudr no curso c 1 estudr no curso c 2, prefere (estritmente) estudr no curso c 2 não estudr e prefere (estritmente) não estudr estudr em qulquer dos demis cursos (nos referiremos esses últimos como cursos inceitáveis s, os demis cursos são denomindos ceitáveis). Usulmente representremos s preferêncis dos estudntes escrevendo somente o conjunto de cursos ceitáveis. Dess form, o exemplo nterior pode ser escrito como P s = c 1, c 2, e no cso em que nenhum curso é ceitável escrevemos P s =. Não hvendo dúvids, P s será por vezes escrito como s, então sentenç ''c é preferido por s c'' pode ser escrito como c P s c ou c s c. Denotremos ind por R s relção de preferêncis frcs ssocid à relção de preferêncis estrits P s do estudnte s ssim, escrevemos sentenç ''c é pelo menos tão preferível por s c'' como c R s c ou, não hvendo dúvids, c s c. Procedendo de mneir nálog com s preferêncis P c e R c do curso c. Tods s preferêncis considerds são ssumids rcionis. Formlmente, um problem de school choice é um quíntupl ( S, C, P S, P C, q ) consistindo de i.um conjunto de estudntes S = {s 1, s 2,..., s n }; ii.um conjunto de cursos C = {c 1, c 2,..., c m }; iii.um list de preferêncis dos estudntes P S = (P s1, P s2,..., P sn ), onde P s é relção de preferêncis estrits do estudnte s em relção os cursos, incluindo opção de não estudr, C { }; iv.um list de preferêncis dos cursos P C = (P c1, P c2,..., P cm ) onde P c é relção de preferêncis estrits do curso c em relção os estudntes (individulmente) incluindo opção de mnter um vg desocupd, S { }; v.um vetor de cpciddes q = (q c1, q c2,..., q cm ), onde q c é um número inteiro positivo indicndo o número máximo de estudntes que podem ser dmitidos no curso c. Um solução prticulr pr um problem de school choice é um mtching um locção de estudntes os cursos, onde cd estudnte é designdo um único curso (ou su opção extern) e cd curso se design um número de estudntes não superior o seu número de vgs. Descreveremos um mtching por um função µ : S C { } stisfzendo µ 1 (c) q c pr todo c C. Onde µ 1 (c) denot crdinlidde do conjunto {s S : µ(s) = c}. 6 Ver Abdulkdiroğlu nd Sönmez (2003b) 6 Mrço 2014

8 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU α, SISU β Um importnte propriedde n teori de mtching é propriedde de estbilidde. Um mtching é estável se ele é individulmente rcionl, i.e., pr todo pr (s, c) com µ(s) = c tem-se c s e s c, e ele é não bloquedo por pres, i.e., pr todo pr (s, c) com c s µ(s) tem-se que s c s pr todo s µ(c) 1 e, se µ(c) 1 < q c então c s. Outrs proprieddes de um mtching são: não desperdício, onde pr todo pr (s, c) se c s µ(s) então µ(c) 1 = q c ; Preto eficiênci, se não existe mtching µ tl que µ (s) s µ(s) pr todo s S e µ (s) s µ(s) pr lgum s S. Um mecnismo de mtching é um procedimento que determin um mtching pr cd problem de school choice. Considerremos que os cursos têm sus preferêncis provenientes de critérios previmente estbelecidos e de conhecimento comum (o que é o cso pr s instituições de ensino superior públics no Brsil). No entnto, s preferêncis dos estudntes são de conhecimento privdo, somente o próprio estudnte conhece sus preferêncis. Assim sendo, o mecnismo deve requerer dos estudntes o núncio de sus preferêncis. Dest form, sej Q s s preferêncis nuncids pelo estudnte s e denote o perfil de preferêncis nuncids por Q = (Q s1, Q s2,..., Q sn ). E, ind, Q é o espço de todos os possíveis núncios dos estudntes. Dess form, um mecnismo de mtching trduz-se num função com domínio em ( S, C, Q, P C, q ) e imgem no espço M de mtchings entre S e C. Como Q é o único elemento do domínio que não é primitivo do problem de school choice escreveremos somente φ : Q M. Se φ(q) é sempre estável com respeito às preferêncis nuncids Q, ele será dito um mecnismo de mtching estável. Se φ(q) é sempre Preto eficiente com relção às preferêncis nuncids Q então ele será dito um mecnismo de mtching Preto eficiente. Observe que estbilidde e optimbilidde de Preto do mecnismo são definids em relção às preferêncis nuncids, Q, e não às verddeirs preferêncis dos estudntes, P S. Deste modo, o mtching só será relmente estável ou Preto eficiente se os estudntes nuncirem sus verddeirs preferêncis. Ms como ter certez de que os estudntes revelrão sus verddeirs preferêncis? Evidentemente, se um estudnte por qulquer rzão é levdo crer que o núncio de um ordenmento de preferêncis diferente de sus verddeirs preferêncis lev-o um mtching preferível, 7 esse ssim o frá, pois o estudnte é um gente rcionl. Deste modo, podemos definir um jogo em form estrtégic S, Q, φ, P S, onde os jogdores são ddos pelo conjunto S de estudntes, o espço de estrtégis é ddo pelo espço Q de todos os possíveis núncios de preferêncis dos estudntes. O resultdo de um dd estrtégi Q dotd é ddo pelo mtching µ = φ(q), trvés d função pyoff, φ, (mecnismo de mtching dotdo pelo mtchmker). As preferêncis dos jogdores são dds pels verddeirs preferêncis dos estudntes P S. Tl jogo é chmdo o jogo induzido pelo mecnismo φ. Portnto, 7 As proprieddes dos mtchings são vlids pelo mtchmker em termos de preferêncis nuncids devido seu desconhecimento ds verddeirs preferêncis dos estudntes. Entretnto, os estudntes vlirão o mtching em termos de sus verddeirs preferêncis. 7

9 Série ESTUDOS ECONÔMICOS Nº 08 os mecnismos podem e devem ser nlisdos sob ótic d teori dos jogos. Nesse contexto, expressão ''jogr'' o mecnismo possui um dequção evidente. Um estrtégi Q s é dit dominnte pr um gente s se é um melhor respost todos os possíveis conjuntos de estrtégis Q s dotds pelos demis gentes, isto é, φ(q s, Q s ) s φ(q s, Q s ) pr todos Q s Q s e Q s Q s. E, um mecnismo de mtching φ será dito não mnipulável (ou à prov de estrtégi) se pr cd jogdor é estrtégi dominnte nuncir sus verddeirs preferêncis no jogo induzido pelo mecnismo φ. 8 Nest seção, nlismos lguns dos principis mecnismos de mtching utilizdos: deferred cceptnce, Boston e top trding cycles. São presentdos seus lgoritmos bem como pontd stisfção ou não de certs proprieddes teórics por cd um destes. Além disso, são crescentdos os mecnismos suprcitdos o peculir mecnismo de Shnghi, e um mecnismo historicmente utilizdo no Brsil, sber, o Vestibulr. Esper-se, nest seção, não só presentr o leitor diferentes mecnismos de dmissão utilizdos, ms tmbém introduzir ideis que drão suporte pr o cumprimento de nosso objetivo principl: modelgem e presentção de crcterístics do mecnismo do SISU. 3 Alguns Mecnismos de Mtching Nest seção, nlismos diversos mecnismos de mtching: deferred cceptnce, Boston, Shnghi, top trding cycles e um mecnismo historicmente utilizdo no Brsil, sber, o vestibulr. Pr trçrmos um nálise comprtiv entre mecnismos trdicionis e o vestibulr e, posteriormente, deste com o SISU, presentmos seus lgoritmos e pontmos stisfção ou não de certs proprieddes teórics por cd um destes. 3.1 Deferred cceptnce (Gle-Shpley) Em 1962 com o rtigo ''College Admission nd the Stbility of Mrrige'', Dvid Gle e Lloyd Shpley presentrm o problem enfrentdo por um curso que dispondo de q vgs e n cndidtos (n > q) e sus respectivs qulificções deve decidir que cndidtos dmitir. Tendo em mente que nem tods s oferts de dmissão serão ceits, o curso enfrent o dilem de qunts dmissões oferecer. Por outro ldo, cndidtos tendo tmbém plicdo pr outros cursos enfrentm o dilem de ceitr um dmissão já oferecid ou gurdr n espernç de ser dmitido em um curso de mior preferênci. Sem pretensão de solucionr esses problems, ms sim de presentr ideis úteis em certs fses do problem de dmissão, Gle e Shpley propuserm os seguintes lgoritmos: Deferred cceptnce com estudntes propondo e deferred cceptnce com cursos propondo. Algoritmo Deferred Acceptnce com Estudntes Propondo i.cd curso possui preferêncis em relção os estudntes. ii.cd estudnte submete um núncio de preferêncis em relção os cursos. 8 Jogos nos quis os jogdores devem nuncir sus preferêncis são lgums vezes chmdos jogos de revelção, e o mecnismo φ é chmdo mecnismo de revelção. 8 Mrço 2014

10 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU α, SISU β iii.os estudntes são locdos bsedo em sus preferêncis nuncids e ns preferêncis dos cursos. Etp 1: Cd estudnte envi propost seu curso preferido. Cd curso consider seus proponentes, designndo, temporrimente, vg pr estes um um, seguindo su ordem de preferênci, té que não hj mis vgs desocupds ou proposts serem tendids. Etp k, k 2: Cd estudnte rejeitdo n etp nterior envi propost seu curso preferido dentre queles que não o rejeitrm ind. Cd curso consider seus novos proponentes juntmente com os não rejeitdos n etp nterior, designndo, temporrimente, vg pr estes um um, seguindo su ordem de preferênci, té que não hj mis vgs desocupds ou proposts serem tendids. O lgoritmo termin qundo nenhum estudnte é rejeitdo ou qundo os rejeitdos já propuserm todos os cursos por eles desejáveis. As locções finis pssm de temporáris pr definitivs. O mecnismo deferred cceptnce com estudntes propondo é estável e, embor não sej Preto eficiente é Preto superior qulquer outro mecnismo estável (Gle nd Shpley, 1962). Um outr importnte propriedde desse mecnismo é su não mnipulbilidde (Dubins nd Freedmn, 1981; Roth, 1982). Algoritmo Deferred Acceptnce com Cursos Propondo i.cd curso possui preferêncis em relção os estudntes. ii.cd estudnte submete um núncio de preferêncis em relção os cursos. iii.os estudntes são locdos bsedo em sus preferêncis nuncids e ns preferêncis dos cursos. Etp 1: Cd curso envi propost seus q c,0 = q c estudntes preferidos. Cd estudnte consider seus proponentes, ocupndo, temporrimente, vg no curso ceitável que lhe é preferido dentre estes e rejeitndo os demis. Ao fim dess etp, cd curso c terá sido rejeitdo por q c,1 estudntes, 0 q c,1 q c. Etp k, k 2: Cd curso envi propost seus q c,k 1 estudntes preferidos dentre queles pr os quis não relizou propost em etps nteriores. Cd estudnte consider seus novos proponentes juntmente com o curso não rejeitdo n etp nterior, ocupndo, temporrimente, vg no curso ceitável que lhe é preferido dentre estes e rejeitndo os demis. Ao fim dess etp cd curso c terá sido rejeitdo por q c,k estudntes, 0 q c,k q c. O lgoritmo termin qundo nenhum curso é rejeitdo ou qundo os rejeitdos já propuserm todos os estudntes por eles desejáveis. As locções finis pssm de temporáris pr definitivs. O mecnismo deferred cceptnce com cursos propondo é estável (Gle nd Shpley, 1962). Não sendo, no entnto, Preto eficiente ou não mnipulável (Roth, 1982). 9

11 Série ESTUDOS ECONÔMICOS Nº Boston Segundo Chen nd Kesten (2011), é o mis comum mecnismo de school choice observdo em prátic. Nomedo devido seu uso pel cidde de Boston, 9 Msschusetts, reliz o mtching segundo o seguinte lgoritmo: Algoritmo de Boston i.pr cd curso prioriddes (preferêncis) sobre os lunos são determinds prtir de critérios previmente estbelecidos e de comum conhecimento. 10 ii.cd estudnte submete um núncio de preferêncis em relção os cursos. iii.os estudntes são locdos bsedo em sus preferêncis nuncids e em sus prioriddes nos cursos. Etp 1: Cd estudnte envi propost à su primeir escolh de curso. Cd curso consider seus proponentes e design, definitivmente, vg pr estes um um, seguindo su ordem de preferênci, té que não hj mis vgs desocupds ou proposts serem tendids. Etp k, k 2: Cd estudnte rejeitdo n etp nterior envi propost à su k-ésim escolh de curso. Cd curso com vgs remnescentes consider seus proponentes e design, definitivmente, vg pr estes um um, seguindo su ordem de preferênci, té que não hj mis vgs desocupds ou proposts serem tendids. O lgoritmo termin qundo não houver mis vgs desocupds nem proposts serem tendids. O mecnismo de Boston não é estável e é mnipulável, todvi, sob hipótese de não desperdício, é Preto eficiente (Abdulkdiroğlu nd Sönmez, 2003b). 3.3 Shnghi Chen nd Kesten (2011) descrevem um clsse de mecnismos utilizdos n Chin pr dmissão n fculdde, chmd de Chinese prllel mechnisms. O membro mis simples dess clsse é o mecnismo de Shnghi, utilizdo desde 2003 n cidde homônim. A seguir presentmos um lgoritmo descrevendo o processo segundo o qul esse mecnismo reliz o mtching. Algoritmo de Shnghi i.pr cd curso um preferênci em relção os lunos é determind bsed, predominntemente, n not obtid pelo estudnte em testes pdronizdos. 9 O mecnismo seguir definido foi utilizdo de , pr locção de estudntes em escols de ensino primário e secundário. 10 Ns escols de Boston, os critérios utilizdos pr determinção ds prioriddes sofrerm constntes modificções durnte o período de doção deste mecnismo, ms predominntemente form os seguintes: escolh dos pis, estudntes em educção especil e bilíngue, irmãos concorrendo por vg em mesm escol e proximidde d escol levndo em considerção zons n qul cidde foi dividid (Boston Public Schools. 2012). 10 Mrço 2014

12 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU α, SISU β ii.cd estudnte submete um núncio de preferêncis sobre os cursos. 11 iii.os estudntes são locdos bsedo em sus preferêncis nuncids e ns preferêncis dos cursos. Primeir rodd Etp 1: Cd estudnte envi propost o seu curso preferido. Cd curso consider seus proponentes, designndo, temporrimente, vg pr estes um um, seguindo su ordem de preferênci, té que não hj mis vgs desocupds ou proposts serem tendids. Etp 2: Cd estudnte rejeitdo n etp nterior envi propost à su segund opção de curso. Cd curso consider seus novos proponentes juntmente com os não rejeitdos n etp nterior (queles ceitos temporrimente), designndo definitivmente vg pr estes um um, seguindo su ordem de preferênci, té que não hj mis vgs desocupds ou proposts serem tendids. k-ésim rodd, k 2 Etp 1: Cd estudnte rejeitdo n rodd nterior envi propost o seu curso preferido dentre queles que não o rejeitrm ind. Cd curso com vgs remnescentes consider seus proponentes, designndo, temporrimente, vg pr estes um um, seguindo su ordem de preferênci, té que não hj mis vgs desocupds ou proposts serem tendids. Etp 2: Cd estudnte rejeitdo n etp nterior envi propost o seu curso preferido dentre queles que não o rejeitrm ind. Cd curso consider seus novos proponentes juntmente com os não rejeitdos n etp nterior (queles ceitos temporrimente), designndo definitivmente vg pr estes um um, seguindo su ordem de preferênci, té que não hj mis vgs desocupds ou proposts serem tendids. O lgoritmo termin qundo nenhum estudnte é rejeitdo ou qundo os rejeitdos já propuserm todos os cursos por eles desejáveis. O mecnismo de Shnghi não é estável ou Preto eficiente e é mnipulável (Chen nd Kesten, 2011). 3.4 Top Trding Cycles Em seu rtigo ''On Cores nd Indivisibility'' Shpley nd Scrf (1974) explorm mis simples economi de trocs (cd indivíduo possuindo pens um bem indivisível). Eles mostrm existênci de um core pr seu modelo e presentm um lgoritmo pr lcnçá-lo, o lgoritmo top trding cycles, o qul tribuem Dvid Gle. O lgoritmo top trding cycles tem sido utilizdo com enorme sucesso no mercdo estdunidense de trnsplntes de rins e começ ser utilizdo tmbém em problems de school choice Existem vrições regionis qunto o timing d submissão de preferêncis dos estudntes: ntes do exme (9 províncis), depois do exme, ms ntes do conhecimento dos escores do exme (1 provínci), e depois do conhecimento do escore dos exmes (21 províncis). 12 Apesr de ter sido recomenddo pel Forç-Tref de Alocção Estudntil ds Escols Públics de Boston (BPS Student Assignment Tsk Force) como mecnismo pr substituição do mecnismo de Boston, o mecnismo top trding cycles pssou ser utilizdo n locção estudntil pens em 2012, pel cidde de Nov Orleães, Luisin. (Sönmez 2012) 11

13 Série ESTUDOS ECONÔMICOS Nº 08 Pr descrição do mecnismo top trding cycles precisremos estbelecer definição de um ciclo. Um ciclo é um list ordend de distintos cursos e estudntes d form (c 1, s 1, c 2, s 2,..., c k, s k ), onde c 1 escolhe s 1, s 1 escolhe c 2, c 2 escolhe s 2,..., c k escolhe s k e s k escolhe c 1. Algoritmo Top Trding Cycles i.cd curso possui preferêncis em relção os estudntes. ii.cd estudnte submete um núncio de preferêncis em relção os cursos. iii.os estudntes são locdos bsedo em sus preferêncis nuncids e ns preferêncis dos cursos. Primeir rodd Etp 1: Admite-se que cd estudnte desej lgum curso e vice-vers. Designe um contdor pr cd curso (informndo quntidde de vgs disponíveis no curso). Seu vlor inicil é cpcidde do curso. Etp 2: Cd estudnte ''pont'' pr seu curso fvorito e cd curso ''pont'' pr seu estudnte fvorito. Existe pelo menos um ciclo. Cd estudnte em um ciclo é designdo um vg no curso ''pontdo'' e removido do processo. O contdor de cd curso em um ciclo é reduzido em um, e se este se torn zero (isto é, se o curso teve tods s sus vgs ocupds), o curso tmbém é removido do processo. Contdores dos demis cursos mntêmse inlterdos. k-ésim rodd, k 2 Etp 1: Estudntes/cursos que não desejm qulquer dos cursos/estudntes remnescentes são sistemticmente removidos do processo, recebendo su opção exterior/mntendo s vgs restntes desocupds, té que cd estudnte que deseje lgum dos cursos restntes e vice-vers. Etp 2: Cd estudnte remnescente ''pont'' pr seu curso fvorito dentre os cursos remnescentes e cd curso remnescente ''pont'' pr seu fvorito dentre os estudntes remnescentes. Existe pelo menos um ciclo. Cd estudnte em um ciclo é designdo um vg no curso ''pontdo'' e removido do processo. O contdor de cd curso em um ciclo é reduzido em um, e se este se torn zero, o curso tmbém é removido do processo. Contdores dos demis cursos mntêm-se inlterdos. O lgoritmo termin qundo não há mis estudntes ou cursos remnescentes. O mecnismo Top Trding Cycles é Preto eficiente e não mnipulável (Abdulkdiroğlu nd Sönmez, 2003b). Entretnto, não é estável. 3.5 Vestibulr No Brsil, o longo dos nos se estbelecerm diverss forms de exmes de dmissão, ms o vestibulr trdicionl, o mis frequente, é relizdo em su grnde miori em dus 12 Mrço 2014

14 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU α, SISU β etps. N UFC, primeir etp é compost por questões objetivs de múltipl escolh, comuns todos os cndidtos de todos os cursos e segund etp é compost por questões discursivs relcionds à áre do curso escolhido. Diferentemente dos mecnismos té então borddos, o mecnismo vestibulr é ''descentrlizdo'' no sentido de que ele ocorre no âmbito de um únic instituição. Assim, pesr de gregr um série de cursos e su modelgem (no âmbito institucionl) ser nálog à modelgem té então bordd (modelgem de mecnismos centrlizdos) devemos ter em mente que o estudnte é pssível de prticipção em diferentes mecnismos de vestibulr, e muito embor os lgoritmos de mtching destes sejm independentes, efetivção dos mtchings (isto é, ceitção por prte do estudnte do mtching resultnte de um lgoritmo de vestibulr) é clrmente fetd pelo mtching que lhe é proposto por distintos mecnismos de vestibulr no qul este prticipe. A distinção nesse modelo fz-se presente, então, n opção extern do indivíduo. Relembremos que opção extern foi definid como trde-offs enfrentdos pelo estudnte o encrr oportunidde de estudr em um dos cursos, tis como, estudr em um instituição não listd no problem, trblhr, etc. Deste modo, opção extern se trduz como um vlor esperdo do estudnte ''de tudo o que é lheio o problem modeldo''. Portnto, o conjunto de cursos ceitáveis deix de ser estático, isto é, o prticipr de um vestibulr, se o estudnte escolhe um curso que é ex-nte preferível su opção extern, provção do estudnte nesse curso não signific ceitção do mesmo pelo referido estudnte, um vez que ex-post este curso pode não ser preferível à su opção extern se o estudnte prticipou de um diferente mecnismo de vestibulr e foi ceito em um curso melhor. Apesr disso, continuremos expressr opção extern do estudnte como lgo estático. Reconhecemos frgilidde do modelo seguir presentdo, no entnto, ess modelgem servirá de bse pr o próximo mecnismo. 13 Algoritmo Vestibulr i.cd estudnte escolhe e nunci um único curso como o de su preferênci. ii.pr cd curso um preferênci em relção estudntes é determind. 14 iii.os estudntes são locdos bsedo em seus núncios e ns preferêncis do curso escolhido. Etp únic: Cd curso consider seus proponentes e oferece dmissão pr estes um um, seguindo su ordem de preferênci, té que tenhm relizdo número de oferts igul o de su cpcidde ou que não hj mis proposts serem tendids. O lgoritmo termin. Proposição 3.1. O mecnismo de Vestibulr tem s seguintes proprieddes: (i)não é estável. 13 Um modelgem que lev em considerção prticipção de estudntes em distintos mecnismos de vestibulr pode ser encontrd em Gontijo (2008). 14 A determinção ds preferêncis dos cursos é decorrente bsicmente dos resultdos de um exme denomindo exme de vestibulr. Algums vezes outros ftores são considerdos, tis como: rç, cor, nível de rend, etc., ou sej, em universiddes que oferecem cots ou bônus pr cndidtos com quels crcterístics. 13

15 Série ESTUDOS ECONÔMICOS Nº 08 (ii)não é Preto eficiente. (iii)é mnipulável. É notável que se impusermos os jogdores um restrição sobre o núncio de preferêncis, nuncir não mis do que um único curso, os mecnismos Deferred Acceptnce com estudntes propondo e Boston coincidem com o mecnismo do Vestibulr. Discutiremos n Seção 5.2 o efeito de restrições sobre o núncio de preferêncis no mecnismo deferred cceptnce com estudntes propondo, ms já esse ponto podemos observr que inclusão de restrições sobre os núncios é cpz de retirr s proprieddes ótims do mecnismo. Apresentmos n Tbel 1 os mecnismos discutidos ness seção pontndo s proprieddes tendids por cd um destes. Tbel 1: Proprieddes dos Mecnismos Mecnismo Estável Eficiente Não-mnipulável DA Estudntes Sim Não Sim DA Cursos Sim Não Não Boston Não Sim Não Shnghi Não Não Não Top Trding Cycles Não Sim Sim Vestibulr Não Não Não Fonte: Elborção própri. Not: Sob hipótese de não desperdício. 4 Sistem de Seleção Unificdo SISU No Brsil, o sistem de seleção pr entrd no ensino superior foi predominntemente o vestibulr, desde su regulmentção oficil em 1911 té recentemente, onde pssou dividir esse ppel com o SISU. A mudnç no processo brsileiro de dmissão o ensino superior tem início em 1998 com implntção do Exme Ncionl do Ensino Médio (ENEM). O exme foi crido com finlidde de ser um modlidde lterntiv ou complementr de cesso os cursos profissionlizntes, pós-médio e o ensino superior. Em 2010, é implntdo o SISU que oferece às instituições de educção superior um lterntiv de relizção de exme seletivo de entrd utilizndo s nots do ENEM. Além disso, o SISU oferece o sistem federl de ensino superior, e às demis instituições que derirem este, significtivos gnhos opercionis e de custos, e busc reforçr influênci do modelo de vlição do ENEM sobre s mtrizes curriculres e prátics pedgógics plicds no ensino médio. O SISU tmbém mpli s possibiliddes dos estudntes egressos do ensino médio de cndidtr-se às vgs oferecids por instituições públics de todo o pís, permitindo mior mobilidde cdêmic e mior equidde no cesso às vgs ofertds. 4.1 Descrição do SISU O processo seletivo divide-se em qutro etps: Inscrição, Primeir Chmd, Segund Chmd e List de Esper. A seguir descrevemos cd um ds etps: 14 Mrço 2014

16 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU α, SISU β Inscrição. Somente os prticipntes do último ENEM podem se inscrever no SISU. O período de inscrição compreende um intervlo de cinco dis durnte o qul o estudnte pode qulquer momento cessr pltform do sistem (usulmente no site sisu.mec.gov.br) e escolher, em ordem de preferênci, té dus opções dentre s ofertds pels instituições prticipntes do processo. Durnte o período de inscrição, o estudnte pode lterr qunts vezes desejr sus opções de inscrição, sendo considerd pr fins de ocupção de vg pens últim inscrição relizd. A prtir do segundo di, à 0h o sistem fz uso ds correntes opções de cd estudnte computndo o mtching que seri ofertdo os estudntes n etp seguinte primeir chmd se nenhum estudnte ltersse sus opções desde então. A prtir ds 2hs, o cessr pltform do sistem, o estudnte recebe informções do mtching computdo. Medinte ess simulção o estudnte observ se seri, em primeir chmd, chmdo mtriculr-se em su primeir opção, em su segund opção ou não seri chmdo mtriculr-se em quisquer ds dus opções, observndo tmbém, pr cd um de sus opções, su not, not do último clssificdo 15 e su posição no rnking (ver Figur 1). Figur 1: Representção do lyout d págin do SISU presentdo o estudnte durnte etp de inscrição. Fonte: Elborção própri. Além ds informções ilustrds n Figur 1, o sítio do SISU disponibiliz ferrment onde o estudnte pode consultr not de corte de qulquer curso prticipnte do processo de seleção. Vle observr que o sistem deix clro o estudnte que s informções presentds se referem um ponto do tempo, especificmente à 0h do tul di, de modo que s mesms não representm tul situção do estudnte um vez que mudnçs ns escolhs dos estudntes podem ter ocorrido desde então. 15 Est not é chmd ''not de corte'' 15

17 Série ESTUDOS ECONÔMICOS Nº 08 Primeir Chmd. Ao fim do período de inscrição o sistem comput um mtching com bse n últim inscrição relizd por cd estudnte e, com bse nesse mtching, ofert os estudntes vg em, no máximo, um de sus opções de curso, sendo que nenhum curso oferece vg número de estudntes mior do que su cpcidde. Como rgumentremos n seção seguinte, o mecnismo utilizdo pelo SISU pr gerr o mtching proposto os estudntes ness etp é o mecnismo deferred cceptnce com estudntes propondo. Cd estudnte que, ness etp, recebe ofert de vg, decide por ceitr ou rejeitr ess ofert relizndo ou não mtrícul no curso ofertnte d referid vg. E, cd estudnte que, ness etp, não recebe ofert de vg, esper por eventuis oferts em etps posteriores. Segund Chmd. Cd curso que, n etp nterior, teve q c vgs não ocupds, decorrentes d não mtrícul de estudntes (0 < q c q c ), reliz reofert desss vgs os q c estudntes com miores nots, sob s ponderções dotds pelo curso, dentre queles que indicrm este como um de sus opções e não receberm em etp nterior ofert de vg deste curso ou de curso nuncidmente preferível este. 16 Se tods s vgs do curso form ocupds n etp nterior, este encerr su prticipção no processo. Novmente, cd estudnte que, ness etp, recebe ofert de vg, decide por ceitr ou rejeitr ess ofert relizndo ou não mtrícul no curso ofertnte d referid vg. E, cd estudnte que, ness etp, não recebe ofert de vg, esper por eventuis oferts em etps posteriores. List de Esper. É fcultdo todos queles que não tenhm, té então, sido provdos em su primeir opção de curso inscrição n list de esper. Os inscritos n list de esper concorrem exclusivmente à su primeir opção. Deste modo, pós segund chmd, hvendo vg em determindo curso c, todos os cndidtos inscritos n list de esper cuj primeir opção tenh sido c são ordendos segundo ordem de preferênci de c e então solicitdos um um relizr mtrícul té que não hj mis vgs em c ou não hj mis cndidtos c (todvi, como n prátic o número de cndidtos por curso é muito grnde, ess é um possibilidde extremmente improvável de modo que pode ser desconsiderd sem qulquer ônus). 4.2 A utilizção do mecnismo deferred cceptnce no SISU No regulmento do SISU const que encerrd fse de inscrição, os cndidtos serão clssificdos n ordem decrescente ds nots n(s) opção(ões) de vg(s) pr (s) qul(is) se inscreverm, observdo o limite de vgs disponíveis n instituição prticipnte do SISU e ordem ds opções. Bem como, que cso o cndidto possu not pr ser clssificdo em sus dus opções de vg, será seleciondo exclusivmente em su primeir opção (Brsil., 2010). Portnto, se estbelecem os seguintes critérios pr o resultdo d seleção: (i) O estudnte é provdo em, no máximo, um de sus opções e, em qulquer curso não se clssificm mis estudntes do que vgs ofertds; (ii) Se o estudnte não é provdo em seu curso 16 Se, seguindo esse processo, dois cursos relizem ofert um mesmo estudnte, o curso menos preferível por este estudnte desfz su ofert, reofertndo vg o próximo estudnte de su preferênci. 16 Mrço 2014

18 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU α, SISU β de primeir opção, su pontução é inferior à pontução de qulquer estudnte provdo neste curso. (iii) Se o estudnte não é provdo em seu curso de segund opção, su pontução é inferior à pontução de qulquer estudnte provdo neste curso ou o estudnte foi provdo em su primeir opção. O primeiro critério estbelece que o resultdo d seleção é um mtching de estudntes e cursos. Isto é, o perfil de preferêncis nuncids pelos estudntes n etp de Inscrição, Q = (Q s1,..., Q sn ), trnsform-se trvés de um mecnismo de mtching, φ, em um clssificção de estudntes, µ 1 φ(q). Com µ 1 (s) Q s, isto é, cd estudnte é clssificdo em um de sus opções de curso ou desclssificdo (clssificdo em su opção exterior). Os demis critérios estbelecem que o mecnismo de mtching é estável com respeito às preferêncis nuncids, Q. Por fim, const ind, no regulmento do SISU, que n inscrição o cndidto deverá especificr de form hierárquic té dus opções de vg s quis desej concorrer. Deste modo, cd cndidto concorre inicilmente pens em su primeir opção, pssndo concorrer em su segund opção pens no cso em que este não consegue vg n primeir. O que, juntmente com os critérios nteriores, crcteriz que o mecnismo de mtching utilizdo n primeir chmd do Sisu é o deferred cceptnce com os estudntes propondo. Após s oferts relizds n primeir chmd inici-se um processo onde, (i) cd estudnte que recebe ofert de mtrícul decide por ceitr ou rejeitr ofert recebid, (ii) rejeições provocm relizção de novs proposts e (iii) proposts são ceits temporrimente, podendo cd ofert ceit ser ''trocd'' por um ofert considerd ''melhor'' té que o fim do processo com o preenchimento de tods s vgs (ou té que todo curso tenh sido rejeitdo por todos os estudntes considerdos por estes ceitáveis) s proposts ceits pssm de temporáris pr definitivs. Tods esss são crcterístics do SISU (pós etp de inscrição) e do lgoritmo deferred cceptnce com os cursos propondo. Um diferenç presentd no SISU no entnto é que pós segund chmd os estudntes podem deixr o processo (trvés d não inscrição n list de esper) e os cursos ofertm vg pens estudntes que o nuncirm como su primeir opção. Todvi, espermos que o mecnismo deferred cceptnce com os cursos propondo poss nos fornecer um bo proximção Modelos estilizdos do SISU Pr modelrmos o SISU, pssmos gor considerr mecnismos dinâmicos de mtching: mecnismos de mtching que induzem um jogo dinâmico. Agor, o processo de locção de estudntes em cursos envolve vários períodos. O tempo é discreto, começ em t = 0 e termin em período indetermindo (porém, finito e mior ou igul 1). Em cd período, cd curso c C dispõe de q c vgs, podendo lgums ser ocupds e outrs desocupds. Estudntes possuem preferêncis estrits em relção cursos e opção de não es- 17 O uso do mecnismo deferred cceptnce com os cursos propondo equivle virtulmente considerr um mecnismo onde qulquer estudnte prticip de form utomátic d list de esper e que estudntes que té list de esper não receberm qulquer ofert de mtrícul em períodos nteriores concorrm, ssim como em primeir e segund chmd, às sus primeir e segund opções. 17

19 Série ESTUDOS ECONÔMICOS Nº 08 tudr e tmbém cursos possuem preferêncis estrits em relção estudntes (individulmente) e opção de mnter um vg desocupd. Estudntes nuncim sus preferêncis em t = 0, não podendo nos períodos seguintes modificr s preferêncis nuncids, ms tão somente, em cd período, decidir por ceitr ou rejeitr um ofert qundo recebid ou esperr pelo próximo período qundo não receber qulquer ofert. 5.1 O Jogo SISU α : O SISU como um mecnismo de mtching dinâmico Considerremos o jogo SISU α = S, M, H, (Φ t ) t=1, P S onde, Um conjunto S = {s 1, s 2,..., s n } jogdores; Um espço M = {µ µ : S C { } é um mtching} de estdos; Um conjunto H de sequêncis finits que stisfz s seguintes proprieddes: h 0 (ν 0 ) M é membro de H, onde ν 0 é tl que ν 0 (s) = pr todo s S; Se (ν 0, 0, ν 1,..., k 1, ν k,..., t 1, ν t ) H então (ν 0, 0, ν 1,..., k 1, ν k ) H; (Cd membro de H é um históri, cd componente t ( t s) s S é um perfil de ções dos jogdores no período t, com t s A t s onde A t s é o espço de ções do jogdor s no período t, Q s se t = 0, A t s {esper} se t > 0 e ν t (s) =, {ceit, rejeit} se t > 0 e ν t (s). onde Q s é o espço formdo pelos núncios Q s (list de preferêncis) com não mis do que dois cursos ceitáveis. E cd componente ν t (ν t M) de um históri é um estdo. Se ν t (s) = c diremos que o estudnte s recebe ofert de vg no curso c no período t e, se ν t (s) = diremos que o estudnte não recebe ofert no período t.) Um históri (ν 0, 0, ν 1,..., t 1, ν t ) é dit terminl se ν t = ν 0, com t > 0. Denotmos o conjunto de históris terminis por Z; Pr cd período t = 1, 2,... um função de trnsição Φ t (um tipo de mecnismo de mtching) que ssoci um pr formdo por um históri não-terminl e um perfil de ções um novo estdo, isto é Φ t : (H, A) t M Φ t (h t, t ) = ν t+1 onde (H, A) t {(h t, t ) h t = (ν 0,..., t 1, ν t ) H/Z e t = ( t s) s S com t s A t s}; Pr cd jogdor s S, um relção de preferênci P s sobre Z. O jogo: Em t = 0: Nenhum estudnte recebe ofert neste período. 18 Mrço 2014

20 Mecnismos de Seleção de Gle-Shpley Dinâmicos em Universiddes Brsileirs: SISU, SISU α, SISU β Todos os estudntes escolhem simultnemente um ção (núncio de preferêncis) e o perfil de ções é formdo 0 = Q S (Q s ) s S com Q s Q s pr todo s S. Cd estudnte recebe um mtching temporário µ 0 = ν 0. O mtchmker (SISU α ) reliz trnsição pr o próximo estdo. O formto d função de trnsição nesse período é o do mecnismo deferred cceptnce com estudntes propondo, isto é, Φ 0 (h 0, 0 ) φ S (Q s ) ν 1. O mtching ν 1 tem s seguintes crcterístics: Pr todo s S, ν 1 (s) = c somente se c Q s, ou sej, nenhum estudnte recebe ofert de vg em curso que não tenh sido por este (estudnte) nuncido como ceitável. Pr todo c C, ν 1 1 (c) q c, i.e., nenhum curso ofert número de vgs mior do que su cpcidde. Se s / ν 1 1 (c) então ν 1(s ) Q s c ou pr todo s ν 1 1 (c) tem-se que s c s. Mis ind, se v 1 1 (c) < q c então ν 1 (s ) Q s c ou c s. Em plvrs, se lgum estudnte s nunciou o curso c como ceitável e não recebeu ofert de vg neste ou em outro Em t > 0: curso nuncidmente preferível o curso c então todos os estudntes que receberm ofert de vg de c são preferíveis (pelo curso) s e ind, se lgum vg não foi ofertd então o estudnte s não é ceitável o curso c. Cd estudnte s que recebe um ofert de vg neste período, ν t (s), decide por ceitr ou rejeitr ofert recebid. Cd estudnte que não recebe ofert neste período, ν t (s) =, esper pelo próximo período. Cd estudnte recebe um mtching temporário µ t, com pr todo s S. ν t (s) se t s = ceit µ t (s) = µ t 1 (s) cso contrário Se ν t ν 0, o mtchmker reliz trnsição pr o próximo estdo (oferts do período seguinte). onde h t (ν 0, 0,..., ν t ). Φ t (h t, t ) ν t+1 O mtching ν t+1 tem s seguintes crcterístics: Pr todo s S, ν t+1 (s) = c somente se c Q s, ou sej, nenhum estudnte recebe ofert de vg neste período em curso que não tenh sido por este (estudnte) nuncido como ceitável. 19