Escola Superior de Tecnologia e Gestão Instituto Politécnico de Leiria. Máquinas Eléctricas. Nuno Gil

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1 Escola Superior de Tecnologia e Gestão Instituto Politécnico de Leiria Máquinas Eléctricas Luís Neves Nuno Gil 1999/2000

2 Conteúdo 1 Generalidades sobre as Máquinas Eléctricas Definições Notas históricas Constituição das máquinas eléctricas Elementos constituintes activos Natureza dos circuitos magnéticos Natureza dos enrolamentos Materiais magnéticos Magnetização Materiais usados Materiais condutores Resistividade eléctrica Materiais condutores usuais Materiais isolantes Critérios de escolha de isolantes sólidos Materiais isolantes sólidos usuais: Materiais isolantes líquidos usuais Materiais isolantes gasosos usuais Leis do electromagnetismo Equações de Maxwell Lei de Ampére Leis de Faraday e de Lenz Convenção do sinal da tensão induzida Conceito de indutância Lei de Ohm generalizada Componentes da tensão induzida Tensão induzida de movimento Fluxo cortado Tensão de rotação induzida numa espira Potência e energia Conversão de energia electro-mecânica Base analítica Conversão electromagnética numa máquina Convenção de sinal do binário Lei de Laplace Equações características de um sistema electro-mecânico Nota importante relativa aos ângulos i

3 2 Transformadores Conceitos gerais Constituição Refrigeração Potência nominal de um transformador Tipos de transformadores, designações e símbolos Transformador ideal e transformador real Transformador ideal em vazio Transformador sem perdas em vazio Transformador com perdas por histerese Enrolamentos com resistência e fluxos de fugas Transformador em carga Esquema equivalente do transformador Redução de um transformador à tensão de um dos seus enrolamentos Transformadores de frequência variável Ensaio em vazio Ensaio em curto-circuito Perdas e rendimentos no transformador Paralelo de transformadores Transformação de sistemas trifásicos Bancos trifásicos com base em transformadores monofásicos Transformador de três colunas Transformadores trifásicos em regime equilibrado Estudo dos transformadores trifásicos estrela-estrela com carga desequilibrada Enrolamentos terciários ou de compensação Ligações nos transformadores trifásicos Desequilíbrios nos acoplamentos normalizados Resumo das propriedades Autotransformadores Autotransformadores monofásicos Comparação entre um autotransformador e um transformador Inconvenientes Autotransformadores trifásicos Transformadores de medida Objectivos básicos Transformadores de corrente Transformadores de tensão Introdução às máquinas rotativas Constituição das máquinas rotativas Funcionamento elementar Máquina síncrona elementar Máquina assíncrona elementar Máquina DC elementar Enrolamentos das máquinas eléctricas Enrolamentos distribuídos Realização prática de enrolamentos distribuídos AC Tensão induzida num enrolamento de corrente alterna ii

4 3.3.4 Enrolamentos distribuidos de corrente contínua Tensão induzida num enrolamento de máquina de corrente contínua Campos magnéticos gerados nos enrolamentos Geração de um campo magnético pulsante Geração de um campo magnético girante Relação entre campo girante e campo pulsante Classificação das máquinas segundo a geometria Condições para a obtenção de um binário útil pela interacção de 2 campos Condições para a obtenção de um binário relutante útil Máquinas de Indução Definições Morfologia Princípio de funcionamento da máquina assíncrona Circuito equivalente da máquina polifásica Análise do circuito equivalente Potência e binário pelo Teorema de Thevenin Binário e deslizamento limites Cálculos de desempenho a partir de ensaios Efeitos da resistência rotórica Motores de rotor bobinado Rotores de barra profunda e de dupla gaiola Classes de motores de indução de rotor em gaiola Arranque e Controlo de velocidade de motores Motores de pólos comutáveis Controlo da frequência de alimentação Controlo de tensão de linha Controlo da resistência rotórica Controlo do deslizamento por dispositivos auxiliares Aplicações de máquinas de indução polifásicas Motores Gerador assíncrono Funcionamento como conversor de frequência Compensador de fase Regulador de indução Máquinas Rotativas de Corrente Contínua Introdução às máquinas DC Equação da f.e.m Equação do binário Equação da velocidade Classificação das máquinas de corrente contínua Características das máquinas DC Efeitos da comutação Reacção da armadura Análise de regime permanente com saturação Análise do gerador Análise do motor Aplicações de máquinas DC iii

5 5.11 Controlo de velocidade de motores DC Controlo da corrente de campo Controlo da resistência no circuito da armadura Controlo da tensão de armadura Metadínamos e Amplidínamos Geradores Metadínamos básicos Amplidínamos iv

6 Capítulo 1 Generalidades sobre as Máquinas Eléctricas 1.1 Definições O objectivo de uma Máquina Eléctrica consiste na transformação de uma forma de energia primária numa forma de energia secundária, sendo pelo menos uma delas de natureza eléctrica. As máquinas classificam-se segundo a transformação de energia efectuada como: Geradoras se transformam energia mecânica em energia eléctrica: Dínamos em corrente contínua; Alternadores em corrente alterna. Receptoras se transformam energia eléctrica em energia mecânica: Motores eléctricos a corrente alterna ou contínua, rotativos ou lineares. Transformadoras se a energia eléctrica fornecida é restituida também sob a forma eléctrica. Os conversores tais como conversores de frequência e comutadores alteram a natureza das correntes e tensões (ex: AC em DC); Os transformadores estáticos não modificam a natureza mas podem alterar os níveis mantendo a potência praticamente constante. Na prática o termo máquina eléctrica refere-se normalmente a máquinas que efectuam conversão electromecânica. Elas são caracterizadas por um elemento móvel (o rotor em máquinas rotativas) que normalmente gira no interior de um elemento fixo coaxial, o estator, separados por um espaço de ar, o entreferro. O termo transformador aplica-se a um aparelho estático que efectua uma transferência de energia electromagnética sem trabalho mecânico. 1.2 Notas históricas Oersted descobre o efeito magnético de uma corrente eléctrica Faraday descobre a indução magnética completando os fundamentos do electromagnetismo Maxwell estabelece as bases teóricas do electromagnetismo As principais formas das máquinas eléctricas já estão inventadas. Até 1950 vai se desenvolver uma pesquisa industrial intensa que visa o aumento das potências específicas pela introdução de sistemas de arrefecimento e de materiais activos capazes de proporcionar 1

7 melhor desempenho e de melhorar o comportamento dinâmico através do desenvolvimento de máquinas amplificadoras muito complexas como o Ampliclyne, o Metadyne, o Rototrol, etc. Após a descoberta do Transistor (1948) e do Tiristor (1958) desaparecem completamente essas máquinas especiais que são substituídas vantajosamente por dispositivos electrónicos de grande desempenho. Figura 1.1: Vista em corte de um motor síncrono de alta velocidade. No lado esquerdo vê-se um pequeno gerador: a excitatriz. As máquinas rotativas actualmente produzidas correspondem às designações industriais que se seguem: Máquinas síncronas (fig.1.1): Destinadas principalmente à geração de energia eléctrica nas centrais térmicas e hidráulicas. Máquinas assíncronas (ou de indução) (fig.1.2): Utilizadas sobretudo como motores para utilizadores industriais em toda a gama de potências. Máquinas de corrente contínua (fig.1.3): Muito utilizadas como motores de velocidade variável, alimentadas por rectificadores estáticos. Motores monofásicos de colector e excitação série : Reservados à tracção eléctrica e alimentados a 16 2/3 ou 25 Hz. Motores universais monofásicos de colector de pequenas potências, muito usados em electrodomésticos. Motores passo-a-passo rotativos ou lineares, alimentados e comandados por dispositivos electrónicos apropriados. 2

8 Figura 1.2: Vista em corte de um motor de indução de rotor em gaiola de esquilo A pesquisa continua, estando em curso desenvolvimentos teóricos importantes, suscitados por esperanças ligadas a técnicas novas como a criogenia aplicada a alternadores de grande potência unitária, equipados com um enrolamento indutor de material supercondutor. 1.3 Constituição das máquinas eléctricas Elementos constituintes activos Circuito magnético constituído por um material ferromagnético muito permeável que tem a função de canalizar o fluxo magnético. Os enrolamentos constituídos por um material bom condutor, geralmente cobre ou alumínio, com a função de canalizar a corrente eléctrica. Os curto-circuitos entre condutores e as fugas de corrente à massa são praticamente suprimidas, com excepção das componentes capacitivas ou de condução, muito fracas, por um isolamento interposto entre condutores vizinhos e entre condutores e a massa. Elementos mecânicos, carcassa, eixo, rolamentos,etc Natureza dos circuitos magnéticos Se o fluxo magnético for constante ou variar lentamente num troço do circuito, este pode ser realizado sobre um material maciço (fig.1.4). No entanto, muitas vezes, por razões económicas é realizado sob a forma de empilhamento de lâminas. Se o fluxo variar rapidamente, por exemplo de forma sinusoidal à frequência da rede, o elemento do circuito magnético respectivo, deve ser obrigatoriamente laminado ou seja composto 3

9 Figura 1.3: Vista em corte de um motor DC típico por empilhamento de diversas lâminas de material ferromagnético sob pena de existirem perdas por correntes de Foucault inadmissíveis Natureza dos enrolamentos Os enrolamentos indutores de máquinas síncronas ou de corrente contínua (e os de transformadores) apresentam-se sob a forma de bobines de uma ou várias camadas de espiras concêntricas (fig.1.5). São dispostas coaxialmente às malhas do circuito magnético. Os enrolamentos estatóricos ou rotóricos de máquinas síncronas ou de corrente contínua são repartidas por ranhuras do circuito magnético e são constituídas pela série ou paralelo de bobinas de uma ou mais espiras em série. Uma variante muitissímo usada para o enrolamento rotórico de motores assíncronos consiste em ligar barras maciças alongadas nas ranhuras com anéis de curto circuito, realizando assim uma gaiola. 1.4 Materiais magnéticos Magnetização Os circuitos magnéticos são realizados em materiais ferromagnéticos susceptíveis de apresentar uma magnetização macroscópica importante. A curva de magnetização B = f(h) destes materiais apresenta dois tipos de não linearidade devido à saturação e à histerese que limitam 4

10 Figura 1.4: Partes de um rotor para um turbo-gerador trifásico de 1333 MVA, 4 pólos, 1800 rpm. As diversas partes são feitas em material maciço. Figura 1.5: Bobine tipo perna de rã assim possibilidades de emprego e complicam os cálculos (fig.1.6). As perdas por histerese são proporcionais à àrea do interior do gráfico. Os materiais que entram na constituição dos circuitos magnéticos podem ser classificados em duas grandes famílias: materiais magneticamente moles materiais magneticamente duros Os primeiros são facilmente magnetisáveis e apresentam perdas por histerese pequenas; os segundos, graças à sua capacidade de conservar uma magnetização remanescente importante e durável, são usados para a realização de ímans permanentes, utilizados como indutores das máquinas síncronas ou de corrente contínua, de fraca potência, evitando assim a necessidade de uma fonte de corrente contínua para a excitação. 5

11 Figura 1.6: Ciclo de histerese Materiais usados Chapas em liga de ferro com silicio: obrigatórios para circuitos atravessados por fluxo alternado. Ferro fundido: Usado para confecção das juntas rotóricas de alternadores de baixa velocidade, de características pesadas, capaz de grande magnetismo remanescente. Aço moldado: Anéis rotóricos de alternadores ou pólos maciços de alternadores ou de motores síncronos com enrolamentos amortecedores. Aço forjado: Indispensável à realização de elementos do circuito magnético submetidos a esforços mecânicos muito elevados, tais como os rotores de tubo-alternadores de dois ou quatro pólos. 1.5 Materiais condutores Resistividade eléctrica A resistividade eléctrica ρ que se exprime em Ωm, condiciona as perdas ohmicas, ou seja a potência que é dissipada por efeito de Joule num enrolamento percorrido por uma corrente I: P = RI 2 (W ), com R = ρ l A Nesta expressão l representa o comprimento do enrolamento e A a secção do condutor. A fim de reduzir as perdas, utilizam-se metais de resistividade tão baixa quanto possível, disponíveis na natureza em quantidade suficiente para assegurar um custo industrialmente suportável. Os metais habituais (cobre, alumínio e as suas ligas) têm uma resistividade que em regime de funcionamento normal (entre 0 e 150 C) varia de forma linear a partir de uma temperatura fictícia de supra condutividade ν S ( C) fixada pelas normas. (Ω) 6

12 1.5.2 Materiais condutores usuais O cobre é de longe o material condutor mais utilizado nas máquinas eléctricas e transformadores. A sua condutividade só é inferior à da prata. A qualidade do cobre adoptado em electrotecnia é a electrolítica, refinada em 99,9% no mínimo. É utilizado sob forma maleável, em fio, para os enrolamentos, e sob forma rígida, com características mecânicas elevadas, para os colectores ou anéis colectores. O alumínio só é usado para a confecção de enrolamentos de máquinas em períodos de escassez de cobre, com excepção das gaiolas dos rotores de motores assíncronos de pequena potência (< 20kW ). Para certas aplicações também se usam ligas Cu-Zn (latões) ou Cu-Zn- Sn+aditivos (bronzes), quando se pretendem materiais de resistividade ou características mecânicas superiores. 1.6 Materiais isolantes Critérios de escolha de isolantes sólidos Entre todas as propriedades físicas de um material isolante, o construtor de máquinas eléctricas deve dar prioridade a: Rigidez dieléctrica, expressa em kv/mm, determinante para a espessura do bloco isolante. Condutividade térmica, expressa em W/m C, que desempenha um papel capital na transmissão por condução, do calor devido a perdas. Propriedades mecânicas, que condicionam a resistência aos esforços durante o serviço ou o fabrico. Resistência térmica, visto sob o ângulo da estabilidade da forma a frio e do envelhecimento. Outras propriedades tais como a resistividade (ρ), as perdas específicas, a permissividade (ε), não intervêm senão em aplicações particulares. A medida do ângulo de perdas (tan δ) do isolamento de bobines de alternadores de alta tensão, serve de exemplo do controle de qualidade do fabrico Materiais isolantes sólidos usuais: A mica engloba numerosas formas de silicatos minerais, em que os cristais apresentam uma orientação preferencial e se deixam clivar facilmente segundo essa direcção. A mica é um material único no seu género pelas suas propriedades eléctricas, mecânicas e químicas, e pelo facto de se apresentar na natureza sob uma forma utilizável directamente. As fatias de mica, finas e flexíveis, combinam uma rigidez dieléctrica elevada, uma resistividade volúmica e superficial muito importante e perdas dieléctricas muito fracas. A mica não se funde nem inflama. A sua resistência térmica é das melhores. Desde 1945 que a samica, ou papel de mica, feito a partir de uma pasta de fatias microscópicas, tem progressivamente assegurado o monopólio do isolamento dos enrolamentos de máquinas de alta tensão. A fibra de vidro entra na composição de placas e tiras isolantes por assegurar resistência mecânica. A função isolante é assegurada pela resina de impregnação (epoxy, polyester, silicone, etc.). As tiras em fibra de vidro servem de suporte às fatias de mica ou à samica, para a realização de isolamentos impregnados no vazio, com resinas termoendurecedoras (polimerização). Esta técnica é utilizada em todas as máquinas eléctricas modernas de alta tensão. 7

13 O amianto utilizado durante muito tempo sob a forma de tiras e placas, devido à sua excelente resistência térmica, foi reconhecido como um material muito nocivo (cancerígeno) para o pessoal encarregado da sua manutenção e tem sido substituído vantajosamente pela fibra de vidro. A celulose, extraída da madeira e do algodão, entra na confecção de papel e cartão. A sua estabilidade térmica é fraca. Cuidadosamente secado e impregnado em vazio com óleo mineral, o papel consiste no modo de isolamento clássico de todos os transformadores, de média e alta tensão. Além dos materiais naturais citados, o construtor dispõe de uma escolha enorme de produtos de síntese que apresentam características específicas determinantes para usos particulares (tabela 1.1). Base Impregnante Produto Classe Uso Papel - Papel, Cartão Y Não é utilizado seco Papel Isolante líquido Presspan, board A Isolamento de condutores e de enrolamentos de transformadores de todas as potências e tensões Papel Resina Estratificados em placas ou tubos A ou E Peças isolantes de transformadores e de máquinas eléctricas rotativas Tecido de Resina flexivel ou óleo Folhas e tiras A Isolantes flexiveis para baixa tensão algodão Tecido de Resina Estratificado em placas ou A ou E Isolantes rígidos para BT algodão tubos Fibra de vidro Resina flexivel tranças B,F,H Isolamento de condutores elementares das máquinas Lã de vidro Resina flexivel Tecidos, fitas B,F,H Isolantes flexiveis para BT Lã de vidro Resina Estratificados em placas ou tubos B,F,H Isolantes rígidos para BT e MT Mica Mica Mica Mica Samica Samica Ligante termo-plástico (suporte papel) Ligante termo-plástico (suporte papel) Ligante termo-endurecedor (suporte lã de vidro) Ligante termo-endurecedor (suporte lã de vidro) Ligante termo-endurecedor (suporte lã de vidro) Ligante termo-endurecedor (suporte lã de vidro) Micafolium em folhas ou fitas B Guias de ranhura, isolamento dos condutores Estratificado em placas B Isolantes rígidos formados a quente Micafolium em folhas ou fitas F,H Guias de ranhura, isolamento dos condutores Estratificado em placas F,H Isolantes rígidos para MT Samicafolium em folhas ou fitas Estratificado em placas ou tubos F,H F,H Guias de ranhura, isolamento dos condutores Isolantes rígidos para MT PVC - Folhas,fitas Y Não é muito usado na construção de máquinas Tereptalato de - Películas (Mylar), Fibras E Isolantes de ranhuras e de condutores Polietileno (Terylene) e Feltros Poliuretano - Resina de endução E Tabela 1.1: Produtos isolantes utilizados na construção das máquinas eléctricas Materiais isolantes líquidos usuais A utilização de isolantes líquidos impõe-se quando é necessário encher os interstícios e evacuar quantidades importantes de calor através de canais de dimensões reduzidas. Têm a função de impregnar isolantes sólidos, permitindo aumentar notóriamente a solicitação dieléctrica Materiais isolantes gasosos usuais Os gases são usados normalmente como fluídos transpostadores de calor, para a ventilação das máquinas eléctricas. Devido a algumas das suas propriedades físicas, intervêm também na resistência dieléctrica do material. Em máquinas eléctricas que não os turbo-alternadores e compensadores síncronos de grande potência, o arrefecimento é assegurado por uma circulação de ar. Entre os condutores sob tensão e a massa, o isolamento é assegurado por materiais isolantes sólidos e pelo ar, muitas vezes em parcelas pequenas. Devido à fraca permeabilidade do ar, a restrição dieléctrica pode ultrapassar 8

14 bastante o limite e, por ionização, provocar a formação de ozono. O construtor deve eliminar com tratamentos adequados o risco de destruições locais devidos ao aparecimento de vapores e de um agente químico tão activo como o ozono. O arrefecimento por circulação de hidrogénio é utilizado para todas as máquinas de grandes potências e fracas polaridades (turbo alternadores de 2 e 4 pólos, compensadores síncronos), a fim de reduzir as perdas por fricção e ventilação, graças à pequena massa volúmica deste gás, e aumentar assim a potência específica da máquina graças ao melhoramento das trocas térmicas por condução e convexão forçadas, relativamente a um arrefecimento com ar. O azoto só é usado excepcionalmente para o arrefecimento de certas máquinas a funcionar em ambientes com alto risco de explosão. 1.7 Leis do electromagnetismo Equações de Maxwell O comportamento das máquinas rotativas e transformadores em qualquer regime obedece às leis de Maxwell de Electromagnetismo. A solução completa e detalhada da maioria das situações práticas de engenharia envolve a solução das equações de Maxwell em simultâneo com relações que descrevam as propriedades dos materiais constituintes. No entanto na prática a obtenção de soluções exactas é por vezes desnecessária, e soluções úteis são possíveis através de pressupostos simplificativos. O primeiro pressuposto importante consiste em negligenciar o termo associado à radiação electro-magnética, devido à frequência utilizada nas máquinas eléctricas ser uma frequência baixa desse ponto de vista. Assim sendo, do ponto de vista das máquinas eléctricas, apenas interessa a forma quase estática das equações de Maxwell, sendo os valores associados ao campo magnético, determinados somente pelos valores instantâneos das correntes que o originam, e variando de acordo com a variação temporal dessas fontes. As equações de Maxwell ficam então: roth = J (1.1) rote = db dt (1.2) divb = 0 (1.3) e este sistema de equações fica completo com as relações específicas dos materiais: B = µh (1.4) E = ρj (1.5) Como segundo pressuposto, assume-se uma distribuição tridimensional homogénea do fluxo, possibilitando assim o uso do conceito de circuito magnético, que permite a análise segundo um modelo unidimensional, seguindo métodos análogos aos usados para a análise de circuitos eléctricos e outros. De outro modo, a resolução das equações de Maxwell em corpos tridimensionais só é possível usando computadores e muito tempo de cálculo Lei de Ampére Uma bobine com N espiras, percorrida por uma corrente i provoca o aparecimento de um campo magnético de intensidade H cujas linhas de indução são fechadas sobre elas próprias e acopladas 9

15 com a bobine indutora. A relação entre a corrente eléctrica que percorre a bobine e o campo magnético é dada pela lei de circuito de Ampére que diz: Hdl = i (1.6) Figura 1.7: Circuito magnético simples De acordo com 1.6, o integral da componente tangencial de H ao longo de um caminho fechado é igual à corrente envolvida pelo caminho. Quando o caminho fechado é atravessado N vezes pela corrente como no circuito da figura 1.7 a equação fica: Hdl = Ni = F (1.7) F representa a força magnetomotriz acoplada ao contorno fechado. Esta característica exprime o potencial magnético necessário à circulação do fluxo no circuito magnético considerado. Se a linha de indução estiver acoplada a diversas bobines, então F = Ni (1.8) No pressuposto de uma densidade de fluxo magnético uniforme ao longo da secção do circuito considerado, o integral fechado de H torna-se simplesmente no produto escalar H c l c, que define a magnitude de H ao longo do caminho médio do fluxo cujo comprimento é l c. Assim, a relação entre a f.m.m. e a intensidade do campo magnético é também: F = Ni = H c l c (1.9) A direcção de H c no circuito pode ser encontrado utilizando a regra da mão direita ou do saca-rolhas. Se colocarmos os dedos da mão direita no sentido da corrente, o polegar apontará o sentido das linhas de fluxo. A relação entre a intensidade do campo magnético (H) e a densidade de fluxo (B) é uma propriedade da região em que o campo existe: B = µh (1.10) 10

16 em que µ é a permeabilidade e vem em H/m (Henrys/metro), B vem em W b/m 2 ou T (Tesla). A permeabilidade do vazio é µ o = 4π 10 7 H/m. A permeabilidade do material ferromagnético pode ser expressa em função de µ r, permeabilidade do material relativa à permeabilidade em vazio. Assim, µ = µ r µ 0. A permeabilidade relativa dos materiais magnéticos habitualmente usados nas máquinas vai de 2000 a O fluxo magnético φ que atravessa uma área é: φ = B da (W b) (1.11) S Em função da teoria dos campos, a equação de continuidade de fluxo é: Bda = 0 (1.12) S que significa que o fluxo líquido que atravessa todas as faces de uma superfície tridimensional fechada é zero. Isto quer dizer que todo o fluxo que entra numa superfície que envolva um volume tem que sair através de uma outra parte da mesma superfície, visto que as linhas de fluxo magnético formam ciclos fechados. Quando se despreza o fluxo fora do circuito magnético, podemos então assumir que: φ c = B c A c (1.13) onde φ c = fluxo no circuito, B c = densidade de fluxo na secção e A c =área da secção. Na prática podemos considerar que um circuito magnético é um conjunto de troços de área e permeabilidade constante. A tensão magnética respeitante a cada troço é definido por: Um t = Hds = H l l (1.14) com l B t = µ t H = φ A t em que Um t = tensão magnética no troço t, B t = densidade de fluxo no troço t, l t = comprimento do troço t e A t = área da secção do troço t. Figura 1.8: 11

17 A força magnetomotriz pode então ser definida por: se o conjunto de troços formar um circuito fechado. (fig.1.8) A tensão magnética num troço é portanto: F = Um (1.15) Um = H l = B µ l = φ l µa (1.16) O termo que multiplica pelo fluxo é denominado a relutância do troço: vindo que Um = R φ O inverso da relutância é a permeância: R = l µa P = 1 R (1.17) (1.18) Leis de Faraday e de Lenz A variação do fluxo φ acoplado a uma espira y induz uma tensão e: e = + dφ dt (1.19) Se o circuito for fechado, aparece uma corrente induzida com sentido tal que tende a se opor à variação do fluxo que a induz (Lei de Lenz). Por vezes usa-se o sinal ( ) na equação 1.19 para lembrar esse efeito de oposição. Se o fluxo atravessa um circuito eléctrico com N espiras, a tensão induzida aos terminais é de: e = + dλ (1.20) dt onde λ designa o fluxo de indução, acoplado à bobine: λ = BdA = Nφ (1.21) e a tensão induzida: S e = N dφ dt Convenção do sinal da tensão induzida (1.22) Para efeitos deste estudo, consideramos os sinais de referência da corrente e tensão de acordo com uma convenção motor (fig 1.9). Sendo assim, uma tensão gerada e uma corrente induzida têm sinal negativo. Uma tensão aplicada e a corrente resultante têm sinal positivo. 12

18 Figura 1.9: Conceito de indutância Para um circuito magnético que tem uma relação linear entre B e H devido a material de permeabilidade constante ou um entreferro dominante, podemos definir uma relação λ i da seguinte forma: L = λ (1.23) i em que L é a indutância do circuito, medida em Weber-espira por Ampére ou mais simplesmente em Henry (H). A indutância pode então ser definida por: L = λ i = Nφ i = N 2 P (1.24) No caso de um circuito com dois enrolamentos e um entreferro como na figura 1.10, considerando a permebilidade do ferro infinita, vem que: e o fluxo que circula no núcleo vem: F = Ni = N 1 i 1 + N 2 i 2 (1.25) φ = (N 1 i 1 + N 2 i 2 )/R g (1.26) Figura 1.10: Circuito magnético com dois enrolamentos Se recordarmos o conceito de fluxo totalizado acoplado com uma bobine, vem que: λ 1 = N 1 φ = N1 2 P g i 1 + N 1 N 2 P g i 2 (1.27) λ 2 = N 2 φ = N 1 N 2 P g i 1 + N2 2 P g i 2 (1.28) 13

19 que segundo 1.24 podem ser reescritas como: λ 1 = L 11 i 1 + L 12 i 2 (1.29) λ 2 = L 21 i 1 + L 22 i 2 (1.30) sendo que L 11 e L 22 são chamadas de indutâncias próprias, e L 12 = L 21 a indutância mútua entre as bobines 1 e Lei de Ohm generalizada A equação de tensão de um circuito de resistência R, atravessado por um fluxo de indução λ é: u = Ri + dλ dt Componentes da tensão induzida = Ri + e (1.31) Numa máquina com k enrolamentos referidos pelo índice j, (j = 1,..., k), o fluxo de indução λ, acoplado com cada enrolamento, é uma função de todas as correntes e da geometria. Numa máquina rotativa essa geometria varia ciclicamente em função de um ângulo θ variável, definido entre 2 eixos de referência, ligados ao estator e ao rotor respectivamente. λ j = λ j (i 1,..., i k, θ) (1.32) A equação de tensão relativa ao enrolamento j escreve-se então: u j = R j i j + dλ j dt = R ji j + d dt k λ jp (1.33) p=1 em que λ jp 1 representa o fluxo criado pela corrente i p e acoplado com o enrolamento j. Na ausência de saturação (meio linear), tal como dito, os fluxos são proporcionais às correntes e podem ser expressos a partir das indutâncias próprias e mútuas: u j = R j i j + d k L jp i p dt p=1 k ( ) dljp = R j i j + dt i di p p + L jp dt p=1 Os dois termos que compôem a tensão induzida denominam-se: e mj = k dl jp p=1 dt i p = tensão induzida de movimento. (1.34) e tj = k p=1 L jp di p dt = tensão induzida de transformação Tensão induzida de movimento Na ausência de saturação, as indutâncias são apenas função de θ(t). movimento (rotação) escreve-se então como: A tensão induzida de u imj = k p=1 dl jp dθ dθ dt i p (1.35) A quantidade dθ/dt representa a velocidade angular eléctrica 1 do rotor. 1 Mais adiante se explicará a razão deste termo 14

20 1.7.9 Fluxo cortado A tensão induzida pelo deslocamento relativo de um condutor num campo de indução calcula-se facilmente usando a noção de fluxo cortado. Seja um condutor rectilineo de comprimento l deslocando-se à velocidade v num campo de indução constante B. Seja α o ângulo entre v e l e β o ângulo entre B e a normal ao plano definido por v e l (1.11), aparece no condutor um campo eléctrico induzido: E = v B (1.36) cuja circulação sobre o comprimento l cria uma tensão induzida e: e = β α E dl = vbl sin α cos β (1.37) se α = π 2 e β = 0 e = vbl (1.38) Figura 1.11: Tensão de rotação induzida numa espira A figura 1.12 representa uma espira de uma máquina, constituida pela série de dois condutores dispostos nas ranhuras do rotor e cortando as componentes normais de indução β n1 e β n2, à velocidade v sobre um comprimento l. B n1 e B n2 são iguais mas de sinais opostos. Aplicando o que foi dito obtem-se: e 1 = B n1 vl e 2 = B n2 vl A ligação frontal que liga os dois condutores, realiza a série entre as tensões induzidas e: e espira = 2B n vl (1.39) 15

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