I.1 Matriz. Conjunto. a um conjunto A (mas não suficiente!) saber decidir se. x A. x A, ou se

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1 Capítulo I Noções básicas e intuitivas I.1 Matriz Conjunto Iniciaremos relembrando algumas definições básicas a respeito de conjuntos. O estudo sobre conjuntos forma uma área na Matemática, a Teoria dos Conjuntos. Estaremos muito longe da pretensão de nos embrenhar em tal tipo de estudo, por mais importante que o possa ser. Contentar-nos-emos a uma noção intuitiva de tal teoria, porém prendemos manipular os conjuntos com o devido rigor. As noções de conjuntos que necessitaremos são bem simples. De modo geral, nossos objetos básicos serão matrizes, vetores, etc. e conjuntos destes elementos. Os espaços vetoriais são conjuntos de vetores e transformações lineares são funções entre espaços vetoriais. Assim as operações mais complicadas que utilizaremos serão combinações entre espaços vetoriais, por exemplo. Além disso, esperamos também reforçar aqui diferenças intrínsecas entre alguns tipos de entidades, como entre um vetor e um conjunto de vetores, o que facilitará sobremaneira o nosso estudo. Todos os conjuntos possuem uma única noção básica/primitiva a eles vinculada, que é a noção de pertinência ao conjunto. Dado um conjunto A, é uma noção subjacente a ele saber se um objeto x é elemento dele, ou não, ou seja, é uma noção necessária a um conjunto A (mas não suficiente!) saber decidir se x A, ou se x A. Note que não existe uma noção intrínseca para elemento, ele sozinho, tal noção sempre deve estar vinculada ao conceito de ser (ou não) elemento de algum conjunto. Em outras palavras, não tem nenhum sentido uma pergunta do tipo x é um elemento?, mas sim, x é elemento de um conjunto A? Hipoteticamente tudo pode ser elemento do conjunto unitário que só tem ele como elemento! De modo oposto, ao se afirmar que A é um conjunto, necessitamos ter muito claro quem são exatamente os seus elementos. 3

2 Capítulo I. Noções básicas e intuitivas 4 Denotamos entre chaves {...} os elementos de um conjunto e separá-losemos por vírgulas, {3, 1, π}. Assumiremos alguns conjuntos numéricos como conhecidos, por exemplo, N := {0,1,, }, Z := {,, 1,0,1, }, Q, R, C, etc. O conjunto vazio,, é o (único) conjunto que não possui elemento algum. Exemplo I.1 e1. Nos casos abaixo, são falsas ou verdadeiras as pertinências? 1 {1,3} 4 {1,3, 1} 0 {1,3,5,7, } 1 {4,1,,1,5} {0} {1,,3} 0 N 0 {N} N 0 [i] 0 1 [i] 0 { } { } { } 0 {{0}} {0} {{{0}},0, {0}} {0, {0}} {{{ }},, { }} { } {, { }} { } {{{ }},, N} {{ }} {, N, {{ }}, {0}} N N N {{ },0, N} N {{ },0, {N}} {N} {{ }, N} N Z N {Z} R {{N}} Um conjunto A é subconjunto do conjunto B, notação A B, se todos os elementos de A são também elementos de B, ou seja, x ( x A = x B ). Note que sempre é válido que A e A A. Dois conjuntos A e B são iguais, notação se um está contido no outro e vice versa, A = B, A B e B A. ou seja, eles precisam possuir os mesmos elementos, x ( x A x B ). Exemplo I.1 e. Mais uma vez, quais das relações abaixo são falsas e quais são verdadeiras? {1} {1,3} {5,3} {1,3,1} ( ) {1,3,1} {1,3,4} ( ) {1,3,1} {3,1} ( ) {3,1,4} {,3,1,4,1,3} {3,1} = {1,3} {3,1,3,4} = {1,4,1,3,1} 1 {1,3} [ii] {1} 1 [ii] 0 {0,1} [ii] 0 0 [ii] {0,1} {0} N Z {0,1} {0} {0,1} {1,0} {0} { } {0,1} { } {, { }} {{ }} {, { }} {{{ }}} {, {{ }}, {, { }}} {{ },, {, { }}} {{{, { }}}, {, { }}} [i] Note que, à princípio, não sabemos se 0 e 1 são, ou não, conjuntos e, assim, quais seriam os seus elementos. Portanto, não faz nenhum sentido perguntas do tipo x? 0, ou y? 1. [ii] Mais uma vez, à princípio, não sabemos se 0 e 1 são conjuntos, ou não, logo não faz sentido perguntas

3 5 I.1. Matriz É importante se notar que há uma noção preliminar/subjacente à noção de conjuntos, qual seja, a da igualdade entre elementos de um conjunto. Em Matemática, à priori, assumimos que temos só um número 0, só um número 1 e assim por diante. Portanto, sempre 0 = 0, 1 = 1, etc.. Desse modo, em ( ) acima, o conjunto {1,3,1} tem quais elementos? Apenas dois elementos, o 1 e o 3, e nenhum outro mais! Então não há modo de se tomar um conjunto com duas cadeiras, ou com três pauzinhos? Sim, quando temos três pauzinhos s, todos distintos entre si, ou seja, de algum podemos distingüí-los, aí o conjunto {,, } possui três elementos. Esse fato é muito importante quando se toma um conjunto como {c, a,s, a}, por exemplo. O que ele significa? Depende de o que significam c, a, s e a dentro dele? Se o conjunto {c, a,s, a} é um subconjunto das letras do alfabeto, como só temos um a no alfabeto, {c, a,s, a} = {c, a,s}, ou seja, ele é um conjunto de três elementos. Por outro lado, se elas são as letras da palavra casa, então temos dois a s, o primeiro, que forma a sílaba ca, e o segundo, que forma a sílaba sa. Assim, ao se perguntar se a? {c, a,s, a}, precisamos saber de antemão se este a é o primeiro a, o segundo a, ou nenhum deles. Em certo sentido, seria como se escrevêssemos ca sa e, portanto, o conjunto das suas letras seria {c, a, s,a }, com quatro elementos. Note também que não podemos supor que um conjunto tenha qualquer ordem sobre os seus elementos. Porém, em Matemática, é mais comum passagens como esta a seguir. Sejam a,b,c R números reais. Logo a, b e c aqui são variáveis. Assim qual é a cardinalidade (i.e., o número de elementos) do conjunto {a,b,c}? A resposta correta é não se pode saber ao certo à priori, pode ser tanto 1, como, ou 3. Ou seja, necessitamos saber quantos elementos distintos entre si existem (i.e., números dois a dois distintos). Para se obter cardinalidade 3 neste conjunto, é necessário assumir que a,b,c R são números reais dois a dois distintos. As demais relações e operações de conjuntos também são definidas por sobre a noção primitiva de pertinência. Se A e B são conjuntos quaisquer, as operações básicas sobre conjuntos são: A B := { x x A ou x B } união A B := { x x A e x B } intersecção A B := { x x A e x B } subtração (de conjuntos) A B := ( A B ) ( A B ) ( ) ( ) = A B B A diferença simétrica ( ) No caso em que, no contexto, exista claramente um conjunto base especial, dito universo, X, sobre o qual, para cada outro conjunto A, é clara a sua relação como subconjunto de X, A X, denotamos A c := X A complementar (com respeito a X) Exercício I.1 E1. Demonstre a igualdade ( ). Exemplo I.1 e3. {1,3,5} {,4,5} = {1,,3,4,5} {1,3,5} {,4,5} = {5} {1,3,5} {,4,5} = {1,3} {1,3,5} {,4,5} = {1,,3,4} {, {{ }}, {, { }}} {{, {{ }}}, {{ }}} = {{{ }}} {, {{ }}, {, { }}} {{, {{ }}}, {{ }}} = {, {{ }}, {, { }}, {, {{ }}}} do tipo 1? A, ou A? 1.

4 Capítulo I. Noções básicas e intuitivas 6 Figura I.1 f1: Desenho I.1-f1 Ainda, dois conjuntos A e B são disjuntos se não possuem elementos em comum, ou seja, A B =. Note que a noção de disjunção é relacional (binária) sobre conjuntos, ou seja, dados dois conjuntos, eles são disjuntos, ou não são. Por sua vez, as noções de união, intersecção, subtração e diferença simétrica são operacionais (binárias) sobre conjuntos, o que significa que, feita uma destas operações sobre dois conjuntos, o resultado é outro conjunto. Entretanto, a noção de união disjunta é híbrida entre operacional e relacional. Dizemos que a união disjunta de dois conjuntos A e B é um conjunto C, notação se valem: (i) C = A B e A. B = C, (ii) A e B são disjuntos, ou seja, todos os elementos de C são exatamente os elementos, ou de A, ou de B, mas nunca de ambos. Figura I.1 f: Desenho I.1-f Exemplo I.1 e4. {, {{ }}, {, { }}}. {{, {{ }}}, { }} = {, { }, {{ }}, {, { }}, {, {{ }}}}

5 7 I.1. Matriz Ademais, se A é um conjunto e P(x) é uma propriedade que versa sobre a variável x, então B := { x A P(x) vale } é o conjunto dos elementos de A que satisfazem a propriedade P( ). Lê-se o símbolo como tal que. Nesse ponto, há necessidade de se tomar muito cuidado. Não existe, por exemplo, o conjunto de todos os conjuntos. Em resumo, B acima precisa ser subconjunto de algum conjunto A. A cardinalidade de um conjunto A, notação é o número de elementos deste conjunto. A, Exemplo I.1 e5. Quando o conjunto é finito, temos = 0 {} = 1 {,3,4} = 3 {,1,,4,} = 3 Quando esta contagem é infinita, { } = 1 {{ }} = 1 {{{, { }}}, {, { }}} = {, {{ }}, {, { }}} = 3 A =, precisamos ter mais cuidado, pois Cantor mostrou-nos que existem diversos infinitos distintos entre si. Se A e B são conjuntos, claramente Também se prova que A B = A B. A B + A B = A + B logo, A B A + B e, caso A B seja um conjunto finito, então A B = A + B A B. Os conjuntos A e B são disjuntos sse [iii] A B = 0, assim A. B = A + B. Sendo agora N um conjunto de números, denotaremos N := A {0} conjunto sem o n o 0 N + := { x A x 0 } conjunto só com os n os positivos N := { x A x 0 } conjunto só com os n os negativos O conjunto dos números naturais começará pelo 0, N := {0,1,...}. Assim, por exemplo, Z + = N = {1,,...}. [iii] Leia-se a palavra sse como sendo se, e somente se,, ou seja, possuindo o mesmo significado do símbolo na Matemática.

6 Capítulo I. Noções básicas e intuitivas 8 Exercícios (Seção I.1): I.1 E. Sejam A, B e C conjuntos. Mostre que: (i) (ii) (iii) (iv) A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C (v) A (B C) = (A B) (A C) (vi) A (B C) = (A B) (A C) (vii) (viii) (ix) (x) A (A B) = A A (A B) = A A = A A = (xi) A B A B = B A B = A (xii) A (B C) = (A B) (A C) (xiii) (A B) C = (A C) B I.1 E3. Sejam um conjunto universo X e subconjuntos A, B X. Mostre que: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c (A B) (A B c ) = A (A B) (A B c ) = A A B = A B c (vi) A e B são disjuntos (i.e., A B = ) A B c B A c I.1 E4. Descreva as matrizes A := ( a ij )i:=1..5 definidas abaixo: j:=1..4 e sua transposta A T, para as entradas (i) a ij := i + j (ii) a ij := i j (iv) a ij := (iii) a ij := j i I.1 E5. Sejam as matrizes do M 4 3 (R): A := B := C := 1, se i j > 1 0, se i j = 1 1, se i j <

7 9 I.1. Matriz a) Calcule: (i) 3 ( A/ B ) + ( C 3A + B ) = (ii) 3C T + 1/ ( 3B T 4C T + A T) B T / = b) Ache X, tal que: X A = 3 ( B + X ) C. I.1 E6. Sejam os vetores do R 4 : a := b := 1 1 c := 1 0. a) Calcule: (i) ( a c/ + b ) 3 ( b a ) = (ii) a, b = (iii) b, c = (iv) c, a = b) Ache um x tal que: a, x = b, x = c, x = 0. I.1 E7. Se A := ( ) a ij i:=1..n M n m (R) é uma matriz e x R é um escalar, obtenha (e j:=1..m demonstre) uma condição necessária e suficiente (razoável) sobre A e x para a igualdade xa = 0 n m. I.1 E8. Mostre que as operações soma de duas matrizes e produto de um escalar por uma matriz preservam matrizes diagonais e matrizes triangulares superiores (e inferiores). I.1 E9. Sejam a matriz quadrada X := ( x ij )i:=1..n Suponha que X = ax Ṭ j:=1..n M n n (R) e o escalar a R. Descreva convenientemente a matriz X para os casos em que a := 1, a := 1 e a ±1.

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