Alguns Tópicos de Matemática Discreta. Ana Paula Tomás

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1 Alguns Tópicos de Matemática Discreta Ana Paula Tomás Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências do Porto 2005

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3 Conteúdo 1 Conjuntos Operações com Conjuntos Representação de Números em Computador Sistema de Representação Posicional Relação entre binário, octal e hexadecimal Adição e multiplicação na base b Representação de números com um número fixo de dígitos Representação de números negativos Adição e Subtracção em n Bits Adição e subtracção binária de inteiros não negativos Adição de inteiros em complemento para Subtracção de inteiros em complemento para Representação em Vírgula Fixa Representação em Vírgula Flutuante Algumas Noções de Divisibilidade Bases de Numeração e Critérios de Divisibilidade Noção de Divisor e de Múltiplo Factorização em Primos Determinação de primos: crivo de Erastótenes Cálculo de divisores por análise da factorização em primos Máximo Divisor Comum Cálculo do máximo divisor comum pelo algoritmo de Euclides Mínimo Múltiplo Comum Congruências i

4 4 Indução Matemática Princípio de Indução Matemática Erros frequentes Indução Forte Outras formulações do princípio de indução Relações Binárias Relações Binárias de A em B Operações com relações binárias Matriz duma relação binária Funções de A em B Relações Binárias Definidas num Conjunto Propriedades das relações binárias definidas em A Grafo da relação Relações de Compatibilidade e de Equivalência Classes de equivalência Partições e relações de equivalência Classes de Compatibilidade Relações de Ordem Parcial Diagrama de Hasse Máximos, mínimos, supremo, ínfimo, majorantes e minorantes Fechos duma Relação para uma Propriedade Fecho transitivo e percursos em grafos Fecho transitivo duma relação definida num conjunto finito Grafos e Multigrafos Grafos Dirigidos Multigrafos dirigidos Grafos, Percursos e relações binárias Grafos Não Dirigidos Grafos Conexos Condição necessária para um grafo ser conexo Árvores Árvores com raíz Percursos Eulerianos e Hamiltonianos Grafos Planares Isomorfismo de Grafos ii

5 6.7 Coloração de Grafos Grafos com Valores Associados aos Ramos Determinação da distância mínima Grafos com Símbolos Associados aos Ramos iii

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7 Prefácio Estes apontamentos têm por base material elaborado em anos anteriores para disciplinas da licenciatura em Ciência de Computadores [5, 6, 7], o qual foi agora revisto e nalguns tópicos completado para servir de apoio à disciplina de Matemática para Ciência de Computadores, no ano lectivo de 2005/06. Não visam substituir a leitura da bibliografia recomendada pelos docentes e não cobrem actualmente todos os tópicos abordados na disciplina. v

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9 Capítulo 1 Conjuntos Neste capítulo vamos essencialmente recordar ou introduzir alguma da notação que é usada para conjuntos. Tomamos a noção de conjunto como primitiva, convencionando que um conjunto é constituído por elementos objectos materiais ou entes abstractos que têm alguma propriedade em comum (no caso extremo, a de pertencerem todos a esse conjunto). Os conjuntos podem ser vazios (i.e. sem elementos). Em geral, usamos letras maiúsculas para designar conjuntos e minúsculas para referir os seus elementos. Para indicar que a é um elemento do conjunto A escrevemos a A. Os conjuntos podem ser especificados em extensão exibindo todos os elementos que os constituem ou indicando a propriedade que caracteriza os seus elementos definição em compreensão. Por exemplo, {1, 2, 3, 4} e {n n Z + n 4}. Notação. Sejam A e B conjuntos. a A a pertence a A, a é elemento de A a / A a não pertence a A A = B igualdade de conjuntos (qualquer que seja x, x A se e só se x B) A B A contido em B, A subconjunto de B (qualquer que seja x, se x A então x B) A B A contém B, B A A B A contido propriamente em B, A subconjunto próprio de B A B A B A B A contém propriamente B A B A B ou B A ou {} conjunto vazio

10 1.1. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 2 O conjunto dos subconjuntos de A, representa-se por P(A) ou 2 A. Qualquer conjunto A pertence ao seu conjunto de subconjuntos, isto é A P(A). Por exemplo, P({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} O conjunto P({1, 2, 3}) tem 2 3 elementos. Também se pode verificar que P(P({1, 2, 3})) tem 2 23 elementos. Se A tem n elementos, P(A) tem 2 n elementos. Nestes apontamentos, N representa o conjunto dos inteiros não negativos (incluindo assim também 0). N inteiros não negativos (em vez de N 0 ) Z inteiros Q racionais R reais R + 0 R + R reais não negativos reais positivos reais negativos Um conjunto A não vazio é finito se e só se existir uma bijeccão de A em {x N x < n} para algum n N. Nesse caso, n é o cardinal (número de elementos) de A. Usamos A (ou, alternativamente, #A) para designar o cardinal de A. O cardinal do conjunto vazio é zero. A propósito de questões de notação, é de salientar que {n n N} {n}, com n N denotam conjuntos diferentes: o primeiro é N e o segundo é constituído por um único inteiro (que está a ser representado pela letra n). 1.1 Operações com Conjuntos A intersecção de A com B representa-se por A B, e é o conjunto dos elementos que pertencem a ambos os conjuntos. A B = {x x A e x B} A união de A com B que se representa por A B, é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos. A B = {x x A ou x B}

11 1.1. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 3 O complementar de B em A representa-se por A \ B, e é o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. A \ B = {x x A e x / B} Quando está implicíto um dado universo U, chama-se complementar de A, e representase por A, ao complementar de A em U, ou seja a U \ A. Exemplo 1 Vamos provar que A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). Para tal vamos mostrar que x A \ (B C) x (A \ B) (A \ C), qualquer que seja x. x A \ (B C) x A x / B C (por def. de diferença) x A (x / B x / C) (por def. união) x A \ B x A \ C (por def. de diferença) x (A \ B) (A \ C) (por def. intersecção) Exemplo 2 Quaisquer que sejam os conjuntos A, B U, tem-se A B = A B. De facto, se x A B então, por definição de complementar, x / A B. Logo, x / A e x / B. Mas, x / A sse x A. E, x / B sse x B. Então, x A e x B. Donde, x A B. Mostrámos assim que A B A B. Reciprocamente, x A B = (x A x B) (por def. ) = (x / A x / B) (por def. complementar) = x / (A B) (por def. ) = x A B (por def. complementar) ou seja, A B A B. Exercício Suponha que os conjuntos indicados são subconjuntos do universo U. Sendo A, B e C subconjuntos de U quaisquer, mostre cada uma das propriedades: (a) A \ B = A B = B \ A (j) = U (r) U = (b) A \ B = sse A B (k) A \ A = (s) A \ = A (c) A \ B = A sse A B = (l) A = A (t) A U = U (d) (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (B A) (m) A A = U (u) A A = (e) (A B) C = A (B C) (n) A U = A (v) A A = A (f) (A B) C = A (B C) (o) A = A (g) (A B) C = (A C) (B C) (h) (A B) C = (A C) (B C) (p) A B = A B (i) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (q) A B sse B A

12 1.1. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 4 Exemplo 3 A título de exemplo, vamos analisar a veracidade ou falsidade das afirmações seguintes e justificá-la. 1. Qualquer que seja x Z, existe y Z tal que x y e x y. x Z y Z (x y x y) A afirmação é verdadeira porque, sendo o conjunto dos inteiros infinito, se x é inteiro, x + 1 também é um inteiro e x + 1 é superior a x. Ou seja, dado um x qualquer, se considerarmos que y é x + 1, satisfazemos a condição (x y x y). Note que y dependerá de x. 2. Existe y Z tal que para todo x Z se tem x y. y Z x Z x y A afirmação é falsa porque em particular se x fosse y+1 então teriamos que ter y+1 y, que não é satisfazível (já que é equivalente a 1 0). 3. Existe um inteiro não negativo que não excede qualquer outro inteiro não negativo. x Z + 0 y Z+ 0 x y A afirmação é verdadeira. O inteiro 0 é menor ou igual que cada um dos inteiros não negativos. Aqui, Z + 0 também por N. denota o conjunto dos inteiros não negativos, o qual identificámos 4. Existe x Z tal que x é maior do que qualquer outro inteiro y. A afirmação é falsa (análoga à 2). 5. Para todo A Z, tem-se P(A) = { }. x Z y Z x > y A afirmação é falsa, porque {1} é um subconjunto de Z e P({1}) = {, {1}} { }. 6. Para todo A Z, se A = então P(A) = { }. A afirmação é verdadeira. Só existe um subconjunto de Z que é vazio, e P( ) = { }. Note que { } é um conjunto que tem um elemento. Esse elemento é, ou seja, é o conjunto vazio.

13 1.1. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 5 7. Tem-se P(A) =, para algum A Z. A (A Z P(A) = ) A afirmação é falsa, porque qualquer que seja o subconjunto A de Z, o conjunto vazio é um elemento de P(A). 8. Quaisquer que sejam x, y Z, tem-se x y ou y x. x Z y Z (x y y x) Dizer que x y equivale a dizer que existe um inteiro não negativo z tal que y = x + z. É verdade que (x y y x), quaisquer que sejam os inteiros x e y. Como x y é inteiro, quaisquer que sejam x e y, se x y é não negativo, então y x pois x = y + (x y). Se x y é negativo, então y x é um inteiro positivo, e como y = x + (y x), tem-se x y. 9. Qualquer que seja A Z, se A { 1, 2, 3} então 4 A. A ( (A Z A { 1, 2, 3}) 4 A) ) Falso. Existe um subconjunto de Z que é diferente de { 1, 2, 3} e que não tem o 4. Por exemplo, o conjunto vazio. 10. Quaisquer que sejam A, B Z, se 5 A \ B então 5 A. A B( (A Z B Z 5 A \ B) 5 A ) A afirmação é verdadeira. Quaisquer que sejam os subconjuntos A e B de Z, tem-se 5 A \ B se e só se 5 A e 5 / B. Logo, se 5 A \ B então 5 A. 11. Para todo o x Z, e quaisquer que sejam A, B Z, se x A \ B então x A. A afirmação é verdadeira. A justificação é semelhante à dada para a afirmação anterior (claro que é necessário falar em x e não em 5!). 12. Existe x Z tal que x A \ B, quaisquer que sejam A, B Z. Esta afirmação pode ser traduzida pela expressão lógica x (x Z ( A B ( (B Z A Z) x A \ B) )) a qual escrevemos por vezes como x Z A Z B Z (x A \ B)

14 1.1. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 6 que é falsa. Quaisquer que sejam os conjuntos A e B se A = B então A\B =. Assim, se tomarmos, por exemplo, A = B = {1}, os conjuntos A e B são subconjuntos de Z e não existe qualquer inteiro x tal que x A \ B = 4 ou 2 Z. A afirmação é verdadeira porque embora 2 / Z, é verdade que = Se então 2 Z. A afirmação é equivalente a = 4 ou 2 Z. 15. Se 2 Z então A afirmação é equivalente a 2 / Z ou , e como 2 / Z, a afirmação é verdadeira Z ou A afirmação é verdadeira porque 2 Z.

15 Capítulo 2 Representação de Números em Computador Do mesmo modo que 5692 segundos, 94 minutos e 52 segundos, 1 hora, 34 minutos e 52 segundos são designações ou representações diferentes da mesma entidade, também 5692 (10), (8) e (2) o são. De facto, (60) 1h (10) (8) (2) dizendo-se que 60, 10, 8 e 2 são as bases de numeração, respectivas. Habitualmente, escreve-se 5692 em vez de 5692 (10), porque a base mais usual para representação de inteiros é a base 10, designada por decimal. As bases 8 e 2 são designadas por octal e binária. Se considerarmos as potências de 2, podemos observar que 5692 = = 4096+( ) = (512+60) =... = = (2). Analogamente, se considerarmos as potências de 3,

16 2.1. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO POSICIONAL 8 podemos verificar que 5692 = (3). De facto, 5692 = = ( ) = ( ) =... = = (3). 2.1 Sistema de Representação Posicional Num sistema de numeração de base b usam-se b símbolos diferentes para b dígitos (de 0 a b 1). Os números são representados por uma sequência de dígitos. Os dígitos na base 10 são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Os dígitos na base 2 são 0 e 1, e normalmente são designados por bits. Por exemplo, = Se a = r m b m + r m 1 b m r 2 b 2 + r 1 b 1 + r 0 b 0 com r m 0 e 0 r i b 1 para 0 i m então a r m... r 2 r 1 r 0 (b) é a representação de a na base b. Os coeficientes r 0, r 1, r 2,... r m chamam-se dígitos de representação de a na base b, sendo r 0 o dígito menos significativo e r m o dígito mais significativo. A representação é única, o que é consequência da unicidade do quociente e resto da divisão inteira. Proposição 1 (divisão euclideana de inteiros) Quaisquer que sejam a Z e b Z + existe um e um só q Z e um e um só r Z tal que b = aq + r e 0 r < b. A q chama-se quociente e a r resto da divisão inteira de a por b, sendo importante a condição 0 r < b para garantir a unicidade. Corolário 1.1 Quaisquer que sejam a Z + e b Z + \ {1}, existem inteiros únicos r 0, r 1, r 2,... r m tais que a = r m b m + r m 1 b m r 2 b 2 + r 1 b 1 + r 0 b 0, r m 0 e 0 r i b 1 para 0 i m. Prova: Sejam a e b inteiros com a > 0 e b > 1. Tem-se ou a < b ou a b. Se a < b então a = 0b + a. Portanto, 0 < r 0 = a. Se a b então, por definição de divisão inteira, existem q 0 e r 0 únicos tais que a = bq 0 +r 0, com 0 r 0 < b. Se q 0 < b, toma-se r 1 = q 0 e obtem-se a = r 1 b + r 0. Se q 0 b, então o processo repete-se agora para q 0. Ou seja, q 0 = bq 1 + r 1, com 0 r 1 < b. Logo, a = bq 0 + r 0 = b(bq 1 + r 1 ) + r 0 = b 2 q 1 + br 1 + r 0

17 2.1. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO POSICIONAL 9 Se q 1 < b, toma-se r 2 = q 0 e obtem-se a = b 2 r 2 +br 1 +r 0. Se q 1 b, então o processo repete-se agora para q 1, e sucessivamente. O processo termina porque a > q 0 > q 1 >... e qualquer q i é um inteiro não negativo. Esta prova indica um algoritmo para determinação da representação dum inteiro a numa base b. Exemplo 4 Tem-se 125 (10) = 5 3 = 1000 (5) = = (2) = 175 (8) = 7D (16). De facto, r r r 2 r r r r r r r r 1 r r 0 r 1 r 5 r 6 No entanto, quando se conhecem potências da base, pode ser mais fácil determinar a representação por outro método. Por exemplo, para a base 2, 46 (10) = 32 (10) + 8 (10) + 4 (10) + 2 (10) = (2) enquanto se se aplicar o algoritmo dado pela prova anterior teria r r r r r 4 r 5 46 (10) = = ( ) = (( ) 2 + 1) = ((( ) 2 + 1) 2 + 1) = (((( ) 2 + 1) 2 + 1) 2 + 1) = = (2)

18 2.1. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO POSICIONAL 10 Pode interessar também saber qual a representação decimal dum inteiro dado numa base b. Para a obter, bastará aplicar a definição e efectuar os cálculos na base (2) = = = 46 (10) (3) = = = 201 (10) Para além da base 2, são bastante usadas em Computação as bases 8 (octal) e 16 (hexadecimal). Os dígitos em octal são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Embora os restos da divisão por 16 sejam 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,..., 15, por convenção, os dígitos em hexadecimal a partir de 10 são representados pelas letras maiúsculas de A a F. Deste modo não haverá qualquer ambiguidade de representação (por exemplo, fica claro que o hexadecimal 15 designa o decimal e F o decimal 15). Os números representados na base octal são por vezes indexados por (o), por exemplo 235 (o), e os representados na base hexadecimal por (h), por exemplo F 15A (h). Designação Base Dígitos Binário 2 0 a 1 Octal 8 (=2 3 ) 0 a 7 Hexadecimal 16 (=2 4 ) 0 a 9, A, B, C, D, E, F Decimal 10 0 a 9 Exemplo 5 A sequência não pode representar nenhum inteiro na base 4 porque 7, 8 e 4 não são dígitos base 4. A sequência não é representação numa base de numeração, no sentido acima definido, porque teria zeros não significativos. A sequência pode representar um inteiro em qualquer base b superior a 4. Exercício Converter para binário: 153 (10), 153 (6), 153 (8), 153 (16). Exercício Converter para hexadecimal: 153 (10), (10), 153 (8), (2). Exercício Converter para octal: 1123 (4), (10), 153 (8), (2). Exercício Converter para a base 251 e 666 os seguintes números em decimal: 1383, 1498, 1500, 1580, 1640 Exercício Represente x, x n e x n 1 na base x, para x > 1 e n N.

19 2.1. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO POSICIONAL Relação entre binário, octal e hexadecimal Seja por exemplo, (2) um binário que se pretende converter para octal. Como foi visto, o inteiro que esse binário representa é ou seja 350. A representação octal correspondente pode ser obtida agrupando os dígitos binários 3 a 3: uma vez que 8 = 2 3 e 8 2 = 2 6, tem-se 2 6 ( )+2 3 ( )+( ) = = 536 (2) Em geral se a k... a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0(2), sendo k 0, representa o inteiro a k 2 k a a a a a a então a representação em octal do mesmo inteiro pode ser obtida da forma descrita: a k 2 k (a a a ) + (a a a ) = a k 2 k (a a a ) + (a a a ) Notar que na expressão resultante, qualquer potência de 8 tem por coeficiente a i a i a i para algum i, o qual é sempre não negativo e inferior a 8, podendo assim ser dígito da representação octal. A cada dígito octal correspondem 3 dígitos em binário. Do mesmo modo, a cada dígito hexadecimal correspondem 4 dígitos em binário. Assim, para converter um binário a hexadecimal, agrupam-se os seus dígitos em grupos de 4 (da direita para a esquerda) correspondendo a cada um desses grupos um dígito hexadecimal. Por exemplo, (2) E 15E (h) Para converter um binário a octal procede-se de modo idêntico mas formando grupos de 3. Por exemplo, (2) (o) Inversamente, se se pretender converter de hexadecimal a binário basta associar a cada um dos dígitos hexadecimal o grupo de 4 dígitos binários correspondente. Por exemplo, 3AC3A (h) (2) Notar a eliminação dos zeros não significativos. O que se acaba de ilustrar é um caso particular da proposição seguinte.

20 2.1. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO POSICIONAL 12 Proposição 2 Se z é um inteiro positivo, a cada dígito (com possível excepção do mais significativo) da representação de z na base b n corresponde um grupo de n dígitos na representação de z na base b, qualquer que seja n inteiro positivo. Mais concretamente, se a k a k 1... a tn a tn 1... a 2n a 2n 1... a n a n 1... a 1 a 0 com k 0 é a representação na base b de um inteiro positivo z então, a representação do mesmo inteiro na base b n é w t w t 1... w 1 w 0 sendo t+1 o número de blocos de n dígitos da representação de z na base b (podendo o último ser completado por zeros não significativos), e w i (i t) o dígito da base b n que representa o inteiro a 2in 1... a in+1 a in(b) (representação base b a menos de zeros não significativos). Exemplo 6 Por exemplo, para converter (4) para a base 16, agrupam-se os dígitos 2 a 2, da direita para a esquerda, pois 16 = (4) = = 10DE4 (16) Exercício Repita os exercícios a Exercício Mostre a proposição anterior. Comece por mostrar que w t w t 1... w 1 w 0 conforme descrito pode ser representação base b n de z; use em seguida o facto da representação numa base ser única para concluir que w t w t 1... w 1 w 0 é a representação de z. Mostre depois que se w t w t 1... w 1 w 0 representa z na base b n, a representação de z na base b é a k a k 1... a tn a tn 1... a 2n a 2n 1... a n a n 1... a 1 a Adição e multiplicação na base b Recorde como se adicionam dois inteiros representados na base 10, calculando por exemplo (vai 0) (vai 1) (vai 1) (vai 1) (vai 1) (vai 1)

21 2.1. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO POSICIONAL 13 Algoritmo para Adição (base 10). Se x e y são inteiros positivos representados na base 10 por x k x k 1... x 1 x 0 e y m y m 1... y 1 y 0 respectivamente então a representação na base 10 de x + y, digamos s p s p 1... s 1 s 0, pode ser obtida da forma seguinte. x k x k 1... x 1 x 0 + y m y m 1 y m 2... y 1 y 0... s 0 Caso x 0 + y 0 < 10, toma-se s 0 = x 0 + y 0 e repete-se o processo para os dígitos seguintes. Senão, s 0 é tal que x 0 + y 0 = 1s 0, adicionando-se 1 a x 1 + y 1 repetindo-se o processo (global) para os dígitos seguintes. Quando k < m (respectivamente m < k) pode-se considerar x i = 0, i k (respectivamente y i = 0, i m). Notar que p = max(k, m) ou p = max(k, m) + 1 sendo neste último caso s p = 1. Adição (base 3) (3) + 21 (3) = ( ) + ( ) = (0 + 2) (2 + 1) 3 0 = (0 + 2) ( ) 3 0 = ( ) = (1 + 1) = (3) 2102 (3) 2102 (3) 2102 (3) + 21 (3) + 21 (3) + 21 (3) + 21 (3)... 0 (3) (vai 1) (3) (vai 1) (3) (vai 0) 2200 (3) Exercício Justifique que se x e y são inteiros positivos representados na base b por x k x k 1... x 1 x 0 e y m y m 1... y 1 y 0 respectivamente então s p s p 1... s 1 s 0, a representação na base b de x + y, pode ser obtida por um processo análogo ao descrito acima, ou seja, seguindo o algoritmo habitual. Comece por notar que quando soma x i com y i o resultado é sempre menor ou igual que 2b 2, e portanto tanto x i + y i como x i + y i + 1 se representa como 0s i ou 1s i (pelo que ou vai 0 ou vai 1 ), qualquer que seja i. Depois, use a definição de representação na base b, à semelhança do que se fez acima para b = 3. Os algoritmos usuais para adição e multiplicação base 10 são válidos quando se usam representações em qualquer outra base b, embora sejam obviamente diferentes as tabuadas dessas operações se escrevermos os resultados na base b. O mesmo se pode dizer para a subtracção (quando o aditivo é maior do que subtractivo) e para a divisão inteira.

22 2.1. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO POSICIONAL 14 Tabuadas de adição e multiplicação para binário: Tabuadas de adição e multiplicação para base 3: Tabuadas de adição e multiplicação para octal: Exercício Complete a tabuada de multiplicação base 8 e determine as tabelas para a base hexadecimal. Assim, por exemplo, 1021 (3) 211 (3) = (3), ou seja, 34 (10) 22 (10) = 748 (10), porque: (3) 3 4 (10) (3) (10) (10) (3) À esquerda, todos os valores intermédios estão representados na base 3 e à direita na base 10 (visando recordar o algoritmo da multiplicação e estabelecer a comparação).

23 2.1. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO POSICIONAL 15 Exercício Calcule: (i) (2) (2) em binário. (ii) 1F 5 (h) (2) em hexadecimal. (iii) 1330 (4) (4) em octal. (iv) 1F 5 (h) + ABCD (h) + 1F B (h) em hexadecimal. (v) ABCD (h) 1F B (h) em hexadecimal. (vi) (o) 27 (10) em octal. (vii) (o) /27 (10) em octal. (viii) (2) /111 (2) em binário Representação de números com um número fixo de dígitos Num computador cada inteiro é representado por um número fixo de bits. Em 8 bits, 13 seria representado por Isto é, introduzem-se 0 s à esquerda sempre que o número de bits da representação do inteiro seja menor que o número de bits que se fixou. Se n representar o número de bits que se fixou para a representação, os bits são numerados da esquerda para a direita por bit n 1, bit n 2,..., bit 1 e bit 0. O bit n 1 diz-se o bit mais significativo e bit 0 é o menos significativo. Quando se fixa o número de bits da representação, limita-se também os valores que podem ser representados. Se, por exemplo, o número de bits for 8 então o maior inteiro positivo que se pode representar é: bit 7 bit 6 bit 5 bit 4 bit 3 bit 2 bit 1 bit 0 cujo valor é = 255 = Em geral, com n bits podemos representar números inteiros positivos de 0 a 2 n 1. Proposição 3 O maior inteiro positivo que se consegue representar na base b com n dígitos é b n 1.

24 2.1. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO POSICIONAL 16 Prova: Suponhamos que A é representado com n dígitos na base b por a n 1 a n 2... a 1 a 0 com a i {0,..., b 1}. Então, n 1 A = a n 1 b n 1 + a n 2 b n 2... a 1 b 1 + a 0 b 0 = a i b i Ora, i=0 n 1 a i b i i=0 n 1 (b 1)b i i=0 n 1 = (b 1) i=0 b i = (b 1) b0 b b n 1 1 b = (b 1) 1 bn 1 b = b n 1 (soma de termos de progressão geométrica) Observação: n 1 i=0 u i é uma notação abreviada para u 0 + u u n 1, podendo-se ler somatório para i desde 0 até n 1 de u i. Exercício Qual é o número mínimo de bits necessário para representar 1125? Qual o valor máximo que pode ser representado com esse número de bits? Normalmente o número de bits usados são 8, 16, 32 ou 64. Com 8 bits podemos representar inteiros entre 0 e 255, com 16 bits entre 0 e 65535, com 32 bits entre 0 a , etc Representação de números negativos Para representar números inteiros positivos e negativos numa base b e com um número fixo de dígitos é necessário codificar o sinal e encontrar um processo eficiente de determinar se um número é positivo ou negativo. Normalmente é reservado um dígito para indicar o sinal. Por exemplo, em n dígitos, sendo A = a n 1 a n 2... a 1 a 0 (b), se a n 1 = 0 então A é positivo, se a n 1 = b 1 o número é negativo. Vamos considerar três formas introduzidas para representar números inteiros positivos e negativos e que obedecem à condição de sinal apresentada. Vamos supor que a base é 2 e que o número de dígitos é n, embora os resultados possam ser generalizados para qualquer base b.

25 2.1. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO POSICIONAL 17 Representação com bit de sinal. restantes para o módulo do número. Reserva-se o bit mais à esquerda para o sinal e os n bits { }} { n 1 n sinal módulo O bit de sinal é 0 para os positivos e é 1 para os negativos. Assim, um número positivo é da forma A = 0a n 2... a 1 a 0 e um negativo é da forma A = 1a n 2... a 1 a 0. Com n bits podemos representar números positivos de 0 a 2 n 1 1 e negativos (2 n 1 1) a 0. As representações de dois números com o mesmo módulo diferem apenas no bit de sinal. Se n = 3 temos o quadro seguinte: Valor Representação com bit de sinal Podemos observar que zero tem duas representações: +0 e 0. Para efectuar adições de números com sinais diferentes é necessário primeiro determinar qual é o maior e qual o sinal do resultado. O mesmo problema surge para a subtracção, a qual pode ser tratada como a adição associando o sinal negativo ao subtraendo, x y = x + ( y). Representação em Complemento para 1. A utilização desta representação para inteiros apresenta o mesmo problema da anterior, isto é, zero terá duas representações +0 e 0. Para uma representação em n bits, chama-se complemento para 1 de A ao valor (2 n 1) A. O bit mais signficativo dá indicação sobre o sinal do número (se for 1, o número é negativo). O número negativo x será representado por (2 n 1) x. Por exemplo, para n = 3, temos o quadro seguinte: Valor Complemento para Estas representações podem ser obtidas por troca de 1 s por 0 s e 0 s por 1 s na representação de x em n bits, o que resulta de 2 n 1 ser representado por n 1 s. Por exemplo, -14 é representado em complemento para 1 em 8 bits por: