1 Introdução 1. 3 BasedeDados 21

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1 Sumário 1 Introdução 1 2 Arcabouço Teórico SeleçãoAdversa RiscoMoral AQuestãodoDetutível Preferência Revelada e Dominância Estocástica de Segunda Ordem RiscoMoralDinâmico BasedeDados 21 4 Testando a Existência de Dependência Condicional entre Cobertura e Risco DigressãosobreIndependênciaCondicional HomogeneidadePopulacional VariáveisUsadasnosTestes Proxies deriscoecobertura VariáveisdeControle TestesImplementados PardeProbits ProbitBi-Variado Teste aladionne,gouriérouxevanasse Teste χ ResultadosObtidos Dependência Condicional entre Franquia Contratada e Ocorrência de Sinistro Responsabilidade Civil para Danos Materiais como Medida de Cobertura DistribuiçãoAcumuladaEmpíricadasIndenizações PrêmiodeRCDM:funçãolineardacobertura Conclusão 48 i

2 Escola de Pós-Graduação em Economia - EPGE Fundação Getulio Vargas Assimetria de Informação no Mercado de Seguro de Automóveis Dissertação submetida à Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas como requisito para obtenção do Título de Mestre em Economia Aluno: Bruno Cesar Aurichio Ledo Orientador: Luis Henrique Bertolino Braido Rio de Janeiro 2005

3 Escola de Pós-Graduação em Economia - EPGE Fundação Getulio Vargas Assimetria de Informação no Mercado de Seguro de Automóveis Dissertação submetida à Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas como requisito para obtenção do Título de Mestre em Economia Aluno: Bruno Cesar Aurichio Ledo Banca Examinadora: Luis Henrique Bertolino Braido (Orientador, EPGE/FGV) Humberto Ataíde Moreira (EPGE/FGV) Thierry Verdier (Delta/ENS) Rio de Janeiro 2005

4 Resumo Neste trabalho procuramos estudar, sob diferentes ângulos, a relação entre a cobertura contratada e o risco empírico apresentado nas apólices de seguros de automóveis. Usando uma extensa base de dados - com apopulação de contratos brasileiros - testamos a existência de dependência condicional entre cobertura e risco empírico. Os testes paramétricos que implementamos se mostraram pouco robustos. Ao implementarmos um teste χ 2 semi-paramétrico obtivemos que em 16% das células rejeitamos a hipótese nula de independêndia condicional. A partir da análise das distribuições acumuladas empíricas das indenizações obtivemos que não existe dominância estocástica de primeira ordem entre contratos com franquias diferentes. Também não há dominância estocástica de primeira ordem entre contratos com diferentes cobertura contra terceiros. Também testamos se as seguradoras cobram preços não-lineares na cobertura. Não rejeitamos a hipótese nula de que os preços são lineares. Este fato sugere que, ou as seguradoras não se preocupam com a assimetria de informação, ou a assimetria, de fato, não existe. iv

5 1 Introdução No mercado de seguros de automóveis, segurados, que possuem riquezas arriscadas (seus automóveis), interagem com seguradoras visando o compartilhamento de seus riscos. Dizemos que há assimetria de informação neste mercado quando um segurado possui algum tipo de informação privada, não observável pelas seguradoras. Neste trabalho, pretendemos testar a existência de assimetria de informação no mercado de seguros de automóveis. A assimetria de informação, caso haja, pode ser relevante antes da assinatura do contrato e/ou durante a vigência do mesmo. Quando a assimetria de informação for relevante antes da assinatura do contrato, dizemos que há o problema de seleção adversa, termo cunhado por Akerlof (1970) em seu estudo pioneiro sobre assimetria de informação no mercado de carros usados. O estudo de seleção adversa aplicado ao mercado de seguros de automóveis consta no trabalho seminal de Rothschild e Stiglitz (1976). Nele, agentes mais arriscados (ex ante a assinatura do contrato) teriam maior disposição a pagar por cobertura adicional, e por esse motivo, auto-selecionariam contratos com maior cobertura. Por outro lado, quando a assimetria de informação for relevante durante a vigência do contrato, dizemos que há o problema de risco moral. No modelo proposto por Arnott e Stiglitz (1988), um agente que recebesse, exógenamente, um contrato com maior cobertura, teria menos incentivo a realizar esforços que lhe fossem custosos para evitar acidentes, tornando-se assim mais arriscado. A principal implicação teórica dos modelos que consideram a existência de assimetria de informação no mercado de seguros de automóveis é que as seguradoras são incapazes de discriminar perfeitamente os agentes e dar-lhes cobertura plena contra seu risco. Face a este problema, no caso de seleção adversa, as seguradoras devem disponibilizar no mercado um conjunto de contratos, com diferentes níveis de cobertura e preços, com o objetivo de discriminar os segurados de acordo com seu risco. No caso de risco moral, as seguradoras devem desenhar contratos que incentivem os segurados a evitar acidentes no decorrer da vigência. A literatura teórica, em geral, prediz que segurados mais (menos) arriscados estariam associados a contratos com maior (menor) cobertura. Esta predição é sumarizada em Chiappori, Julien, Salanié e Salanié (2005). Em um modelo bastante geral, os autores concluíram que o risco empírico médio seria maior em contratos com maior cobertura. Por outro lado, Araújo e Moreira (2005) argumentam que é possível haver não monotonicidade nos contratos. Neste caso, segurados com maior (menor) risco poderiam estar associados a contratos com menor (maior) cobertura. 1

6 É importante destacar que a existência de assimetria de informação não necessariamente influencia o risco dos segurados. Por exemplo, é perfeitamente possível que haja heterogeneidades não observáveis quanto a aversão ao risco e/ou quanto às restrições de crédito dos segurados. Este fato torna ainda mais difícil a tarefa de testar a existência de assimetria de informação relacionada ao risco dos segurados - apenas o que faremos neste trabalho. Na literatura empírica, os procedimentos mais comuns visam testar a existência de dependência condicional entre cobertura e risco. Note que este procedimento de teste verificaacondiçãosuficiente para que haja assimetria de informação no mercado de seguros de automóveis. Isto porque, de acordo com Araújo e Moreira (2005), a existência de assimetria de informação não necessariamente implica a existência de correlação entre cobertura e risco, mas a existência de correlação entre cobertura e risco implica em existência de assimetria de informação (quanto ao risco dos segurados). Em Puelz e Snow (1984), a dependência condicional entre cobertura e risco no mercado de seguros de automóveis mostrou-se significativa. Porém, anos mais tarde, Dionne, Gouriéroux e Vanasse (2001) mostraram que o resultado obtido anteriormente era espúrio, causado por má especificação do modelo econométrico usado. Em Chiappori e Salanié (2000), a hipótese de dependência condicional entre cobertura e risco foi, novamente, rejeitada. Em ambos os trabalhos, os autores argumentam que, caso a classificação de risco seja feita de modo acurado pelas seguradoras, não deverá haver resíduo de assimetria de informação relevante no mercado de seguros de automóveis. Recentemente, em Finkelstein e McGarry (2004), em um estudo empírico sobre as implicações da multidimensionalidade da assimetria de informação no mercado de seguros de saúde, as autoras mostram que, dependendo de como as diferentes dimensões da assimetria de informação interagem entre si, agentes com menor risco podem estar associados a contratos com maior cobertura. Este resultado sugere que as dimensões da assimetria de informação, quando estudadas indistintamente, podem afetar os resultados dos testes de dependência condicional apresentados no parágrafo anterior. Neste trabalho, inicialmente faremos uma breve revisão do arcabouço teórico existente sobre o assunto. Em seguida, descreveremos detalhadamente a base de dados usada nos testes. Finalmente, testaremos a existência de dependência condicional entre a escolha das coberturas e o risco dos segurados. 2 Arcabouço Teórico Ao olharmos para uma base de dados sobre seguros de automóveis, fatalmente notaremos que segurados aparentemente idênticos, ao menos quanto às suas características observáveis, estarão associados a contratos 2

7 com coberturas diferentes. A pergunta é: Por que isto ocorre? Uma resposta possível é que segurados aparentemente idênticos podem desfrutar de aversões diferentes em relação ao risco. Note que não precisamos, ainda, falar em diferenças de risco entre os segurados. Ocorre que segurados aparentemente idênticos também apresentam freqüências diferentes de ocorrências de sinistros. Não obstante, mesmo aqueles que apresentam a mesma freqüência, podem ter acidentes com diferentes gravidades. E agora, o que explica este fato? É possível que estes segurados aparentemente idênticos sejam heterogêneos em suas características não observáveis (como habilidade ao volante, trajetos diários diferentes etc). Caso isto ocorra, veremos que as companhias seguradoras tentarão discriminar os segurados oferecendo-lhes diferentes contratos para que realizem auto-seleção. Portanto, a hipótese de heterogeneidades não observáveis, ou simplesmente assimetria de informação, pode ajudar a explicar tanto a diferença nos riscos observados quanto a existência de contratos diferentes para segurados aparentemente iguais. Nesta seção, faremos uma breve imersão no arcabouço teórico existente sobre assimetria de informação aplicada ao mercado de seguros de automóveis. Primeiramente, apresentaremos um modelo de seleção adversa pura. Em seguida, um modelo de risco moral puro. Veremos que uma predição teórica comum a ambos os modelos é que contratos com maior cobertura devem estar associados a segurados com maior risco - o que chamaremos, deste ponto em diante, de correlação positiva entre cobertura e risco. Posteriormente, apresentaremos um modelo generalizado, com possibilidade de seleção adversa e risco moral juntos, em que a correlação positiva entre cobertura e risco é obtida mediante argumentos de preferência revelada. Finalmente, concluímos a seção apresentando um modelo simples de risco moral dinâmico. Em todos os modelos citados, postula-se que o papel das seguradoras no mercado é compartilhar o risco dos segurados a fim demelhorar,nosentidodepareto,asituaçãodeambos. Contudo,ésabidoquea magnitude do risco a ser compartilhado depende do comportamento dos próprios segurados, que, por sua vez, depende dos incentivos implícitos em seus contratos de seguro 1. Portanto, o problema das seguradoras é encontrar a melhor maneira de lidar com esse dilema entre o compartilhamento do risco e os incentivos exercidos sobre o comportamento (e a auto-seleção) dos segurados. Supõe-se também que os segurados não enfrentem restrições de crédito, isto é, cada segurado tem poder aquisitivo suficiente para adquirir o contrato que desejar 2. Em modelos que consideram a possibilidade de restrições de crédito, os contratos com maiores coberturas (e maiores preços) podem não pertencer ao 1 Quanto maior a cobertura de um contrato de seguro, menor o incentivo que o segurado tem em evitar acidentes. Logo, apólices com cobertura plena teriam menos poder de incentivo sobre o comportamento dos segurados quanto a prevenção de acidentes. 2 Técnicamente, para cada segurado, o conjunto de contratos factíveis contém todos os possíveis contratos ofertados no mercado. 3

8 conjunto de escolhas factíveis de todos os segurados. Com isso, segurados mais arriscados e com menor poder aquisitivo teriam que escolher, à revelia, contratos com coberturas menores. Sob essas condições, as seguradoras seriam incapazes de separar perfeitamente os segurados de acordo com seu risco. 2.1 Seleção Adversa A literatura teórica sobre seleção adversa no mercado de seguros de automóveis pode ser dividida em dois grupos, de acordo com o poder de mercado das seguradoras. No primeiro grupo, assume-se que a seguradora é monopolista em seu mercado, enquanto que no segundo, assume-se que a seguradora atua em um mercado perfeitamente competitivo. A diferença entre essas duas abordagens é que, na primeira, o poder de mercado encontra-se nas mãos da seguradora, enquanto que na segunda, encontra-se nas mão dos segurados. No entanto, em ambas as abordagens, o problema das seguradoras é o mesmo. Considere uma população de agentes 3 idênticos quanto às suas características observáveis. Suponha que cada agente possua uma mesma riqueza inicial W (por exemplo, um automóvel) e esteja arriscado a sofrer uma perda (por exemplo, causada por colisão ou roubo) de magnitude l {0,L}, observável e verificável por ele próprio e também pela seguradora. Note que há apenas dois estados da natureza possíveis. No primeiro, dizemos que a perda não ocorre. No segundo, dizemos que a perda ocorre e tem magnitude L. Neste modelo, o que diferenciará um agente de outro será sua probabilidade exógena de ocorrência da perda, representada pelo parâmetro θ [0, 1] e observável somente pelo próprio agente. De agora em diante, diremos que θ é o "tipo"do agente 4. Uma vez que o tipo do agente não é observável pela seguradora, épermitidoqueumagentetipoθ anuncie que seu tipo é qualquer outro ˆθ [0, 1]. Um contrato de seguro é um par (P (θ),r(θ)), onde P (θ) é o prêmio pago pelo segurado à seguradora, ocorrendo ou não acidente, e R(θ) é a indenização paga pela seguradora ao segurado somente caso ocorra oestadodanaturezal. Note que a seguradora desenha um contrato para cada possível tipo de agente e, portanto, deve haver um contínuum de contratos neste mercado. Assumimos que a seguradora se comprometa plenamente a honrar todos os contratos firmados. O agente, a priori, não possui um contrato de seguro e deve optar entre adquirir um, ou não. Caso o agente opte por não adquirir um contrato, sua riqueza final será W L, casoocorraaperda,ew,caso contrário. Por outro lado, se optar por contratar o seguro e anunciar que seu tipo é ˆθ, sua a riqueza final será W L P (ˆθ)+R(ˆθ), caso ocorra a perda, e W P (ˆθ), caso contrário. 3 Chamaremos de segurado todo agente que possuir um contrato de seguro. 4 Neste modelo, θ é uma medida de risco. Quanto maior o tipo θ, maior o risco exógeno do agente. 4

9 A iteração entre seguradora e agente se dá através de um jogo estratégico não cooperativo com informação incompleta. Os estágios deste jogo são: Estágio 1: A natureza move primeiro e determina o tipo do agente, observável somente pelo mesmo; Estágio 2: A seguradora move em seguida e dispõe no mercado um menu de contratos, cada qual indexado a um possível tipo de agente; Estágio 3: O agente move novamente, anuncia um tipo e adquire o contrato referente ao tipo anunciado; Estágio 4: O estado da natureza é realizado e os termos do contrato adquirido no Estágio 3 são executados. Seja U( ) uma função utilidade von Neumann-Morgenstern definida sobre a riqueza total do agente 5. Então, a utilidade esperada de cada agente tipo θ que opte por contratar seguro e anuncie que seu tipo é ˆθ será U(P (ˆθ),R(ˆθ),θ)=θu(W L P (ˆθ)+R(ˆθ)) + (1 θ)u(w P (ˆθ)) (1) Caso o agente opte por não contratar seguro, sua utilidade esperada, que chamaremos de utilidade de reserva, será U(0, 0,θ)=θu(W L)+(1 θ)u(w ) (2) Observe que a utilidade reserva do agente também depende de seu tipo θ verdadeiro. Seja ω(ˆθ) =R(ˆθ) P (ˆθ) a tranferência líquida da seguradora para o segurado caso ocorra o estado da natureza L. Definindo L (ˆθ) W L + ω(ˆθ) como a riqueza total do segurado caso ocorra o estado da natureza L, e 0 (ˆθ) W P (ˆθ) como sua riqueza total caso ocorra o estado da natureza 0, podemos reescrever (1) da seguinte maneira U(P (ˆθ),R(ˆθ),θ)=θu( L (ˆθ)) + (1 θ)u( 0 (ˆθ)) (3) 5 Por hipótese, os segurados são idênticos em suas características observáveis, portanto, possuem as mesmas preferências. 5

10 Agora, seja V (θ,ˆθ) =U(P (ˆθ),R(ˆθ),θ) a utilidade esperada obtida pelo agente tipo θ caso demande um contrato desenhado pela seguradora para os segurados tipo ˆθ. Dizemos que um contrato (P (θ),r(θ)) é compatível com incentivos se, e somente se, para (θ,ˆθ) [0, 1] 2 valer que V (θ, θ) V (θ, ˆθ) (IC) Neste ponto, é importante deixar bem claro que a variável de escolha do agente é o "anúncio"de seu tipo. Um agente tipo θ tem total liberdade de anunciar que é de qualquer outro tipo ˆθ [0, 1]. A condição (IC) requer que cada agente tenha maior utilidade esperada anunciando seu verdadeiro tipo. Assumindo que o contrato (P (ˆθ),R(ˆθ)) seja diferenciável em todos os pontos, este será compatível com incentivos se para θ [0, 1] valer as seguintes condições de primeira e segunda ordem, respectivamente: V (θ, θ) =0 ˆθ (4) 2 V 2 (θ, θ) 0 ˆθ (5) A condição de primeira ordem (4) implica que θu 0 ( L (θ)) dω(θ) dˆθ =(1 dp (θ) θ)u0 ( 0 (θ)) dˆθ (IC 1 ) A condição de segunda ordem (5) implica que " µ # 2 dω(θ) θ u 00 ( L (θ)) + u 0 ( L (θ)) d2 ω(θ) dˆθ dˆθ 2 " µ # 2 dp (θ) (1 θ) u 00 ( 0 (θ)) +u 0 ( 0 (θ)) d2 P (θ) dˆθ dˆθ 2 (6) Diferenciando (IC 1 ) em relação a θ, temos que 6

11 " u 0 ( L (θ)) dω(θ) µ dω(θ) dˆθ +θ u 00 ( L (θ)) dˆθ " = u 0 dp (θ) ( 0 (θ)) +(1 θ) u 00 ( 0 (θ)) dˆθ # 2 + u 0 ( L (θ)) d2 ω(θ) dˆθ 2 µ dp (θ) dˆθ 2 +u 0 ( 0 (θ)) d2 P (θ) dˆθ 2 # (7) Substituindo (7) em (6), temos que u 0 ( L (θ)) dω(θ) dp (θ) dˆθ +u0 ( 0 (θ)) dˆθ 0 (IC 2) Logo, as equações (IC 1 )e(ic 2 ) representam as condições de primeira e segunda ordem, respectivamente, necessárias para que valha a compatibilidade de incentivos. Agora, considere a utilidade esperada marginal do agente tipo θ avaliada em ˆθ: V ˆθ (θ, ˆθ) =θu 0 ( L (ˆθ)) dω(ˆθ) dˆθ (1 dp (ˆθ) θ)u0 ( 0 (ˆθ)) dˆθ (8) Avaliando (IC 1 )emˆθ obtemos ˆθu 0 ( L (ˆθ)) dω(ˆθ) dˆθ =(1 ˆθ)u 0 dp (ˆθ) ( 0 (ˆθ)) dˆθ (9) Substituindo (9) em (8), temos V ˆθ (θ, ˆθ) = θu 0 ( L (ˆθ)) dω(ˆθ) ˆθ (1 θ) dˆθ (1 ˆθ) u0 ( L (ˆθ)) dω(ˆθ) dˆθ " = u 0 ( L (ˆθ)) dω(ˆθ) θ ˆθ # dˆθ (1 ˆθ) (10) Lema 1: Para todo agente tipo θ [0, 1] tem-se que θ arg maxv (θ,ˆθ) se, e somente se, dω( ) dˆθ 0. 7

12 Prova: De (10) temos que o termo do lado direito terá o mesmo sinal que (θ ˆθ) se, e somente se dω( ) dˆθ 0. Sendo assim, a função ˆθ V (θ,ˆθ) será crescente enquanto ˆθ<θ e decrescente enquanto ˆθ>θ, portanto, ˆθ=θ é máximo global de V (θ,ˆθ). O Lemma 1 diz que, para que sejam válidas as compatibilidades de incentivos, os contratos oferecidos pelas seguradoras devem ser tais que a tranferência líquida no estado em que a perda ocorre deve ser nãodecrescente em relação ao tipo do segurado. Portanto, a predição teórica deste modelo é que segurados com maior risco terão maior cobertura no estado da natureza em que a perda ocorre. Por fim, verificaremos a validade da condição Spence-Mirless que, neste caso, requer que a utilidade marginal de R seja crescente em relação ao tipo do segurado. Tomando a taxa marginal de substituição dos agentes entre o prêmio, P, e a indenização recebida no estado da natureza em que a perda ocorre, R, temos: UÁ P UÁ R =θu0 ( L )+(1 θ)u 0 ( 0 ) θu 0 ( 0 ) (SCP) A equação (SCP) é decrescente em θ. Logo, a condição Spence-Mirless é válida. 2.2 Risco Moral Considere, novamente, uma população de agentes idênticos quanto às suas características observáveis. Cada agente possui uma mesma riqueza inicial W. Porém, desta vez, cada agente está arriscado a sofrer uma perda de magnitude L [0, L]. Observe que neste modelo a perda assume valores em um intervalo contínuo, logo, há infinitos estados da natureza possíveis. Assume-se que cada estado da natureza possível seja observável everificável pelo segurado e pela seguradora. Suponha que o agente possa realizar um esforço de prevenção de acidentes e [e, ē], observável somente pelo mesmo. Seja ψ(e) a função que representa o custo que o agente incorre em realizar o nível de esforço e. Suponha que esta função tenha as seguintes propriedades ψ(0) = 0, ψ 0 (e) > 0 e ψ 00 (e) > 0. Cada nível de esforço realizado pelo agente é capaz de afetar sua distribuição de probabilidades da magnitude das perdas L. Sejaf(L, e) > 0, paratodol [0, L], a função densidade conjunta da magnitude da perda e do esforço realizado pelo agente. A distribuição acumulada será representada pela função F (L, e). 8

13 Neste modelo, um contrato de seguro é um par (P, R(L)), ondep é o prêmio pago pelo segurado à seguradora, ocorrendo ou não acidente, e R(L) é uma função indenização a ser paga pela seguradora ao segurado em cada possível estado da natureza L. Embora haja uma população de agentes, estes são absolutamente idênticos 6. Por este motivo, o problema da seguradora resume-se em oferecer um contrato deseguroparaumúnicoagenterepresentativoda população. Assumimos que a seguradora se comprometa plenamente a honrar todos os contratos firmados. Como no modelo anterior, o agente, a priori, não possui um contrato de seguro e deve optar entre adquirir um, ou não. Caso o agente opte por não adquirir um contrato, sua utilidade esperada de reserva será Ũ. Por outro lado, caso opte por contratar o seguro, sua a riqueza final será W L P + R(L) em cada possível estado da natureza L. Os estágios deste jogo são: Estágio 1: A seguradora move primeiro e oferece ao agente um contrato tipo "pegar ou largar"; Estágio 2: O segurado move em seguida e decide se deve adquirir o contrato; Estágio 3: Caso tenha adquirido o contrato no Estágio 2, o seguradomovenovamenteedecideonívelde esforço (não observável pela seguradora); Estágio 4: O estado da natureza é realizado e o contrato é executado. Suponha que a seguradora conheça a distribuição F (L, e) mas não consiga observar o esforço de prevenção realizado pelo agente. Então, a seguradora deverá resolver o seguinte problema: max P, R(L), e Z L 0 (P R(L))f(L, e)dl (11) sujeito às seguintes restrições de participação (IR) e de compatibilidade de incentivos (IC), respectivamente: 6 No modelo anterior, os agentes eram idênticos em todas as variáveis observáveis, porém eram diferentes quanto ao seu tipo θ. Logo, havia uma infinidade de agentes diferentes na população. Neste modelo, como estamos interessados somente em estudar risco moral, assumimos que a função custo ψ(e) seja a mesma para todos os agentes, o que os torna absolutamente idênticos. 9

14 Z L 0 e arg max e 0 [e,ē] u(w L P + R(L))f(L, e)dl ψ(e) Ũ Z L 0 u(w L P + R(L))f(L, e 0 )dl ψ(e 0 ) (IR) (IC) A função objetivo a ser maximizada em (11) é simplesmente o lucro esperado da seguradora, isto é, a diferença entre a receita e a despesa ponderada pela probabilidade de ocorrência de cada possível estado da natureza. A restrição (IR) requer que o segurado obtenha uma utilidade esperada maior caso opte por contratar o seguro. Já a restrição (IC) requer que, uma vez contratado o seguro, o nível de esforço e seja tal que maximize a utilidade esperada do segurado. Portanto, caso este problema tenha solução, por (IR), o contrato oferecido pela seguradora será aceito pelo agente e, por (IC), o agente empreenderá exatamente o nível de esforço e. Definindo (L) W L P + R(L) (12) comoariquezalíquidaobtidaemcadaestadodanaturezal, podemos reescrever o problema da seguradora da seguinte maneira: max ( ), e Z L 0 V (W L (L))f(L, e)dl (12 ) sujeito a Z L 0 e arg max e 0 [e,ē] u( (L))f(L, e)dl ψ(e) Ũ Z L 0 u( (L))f(L, e 0 )dl ψ(e 0 ) (IR ) (IC ) Assumindo solução interior na restrição de compatibilidade de incentivos, temos que 10

15 Z L 0 Z L 0 u( (L))f e (L, e)dl ψ 0 (e) =0 (13) u( (L))f ee (L, e)dl ψ 00 (e) 0 (14) são as condições de primeira e segunda ordem, respectivamente, para um máximo local. Para resolver o problema de maximização da seguradora usaremos o método do first-order approach (FOA), que consiste em substituir a restrição de compatibilidade de incentivos (IC ) por sua condição de primeira ordem (13) no programa de otimização. Usando λ e µ como multiplicadores de (IR ) e (13), respectivamente, montamos o seguinte Lagrangeano: L = Z L 0 " Z # L V (W L (L))f(L, e)dl + λ u( (L))f(L, e)dl ψ(e) Ũ " Z # L +µ u( (L))f e (L, e)dl ψ 0 (e) 0 0 (15) Maximizando (L) pontualmente em cada L temos a seguinte condição de primeira ordem: V 0 (W L (L)) u 0 ( (L)) = λ + µ f e(l, e), L [0,L] (16) f(l, e) Definição 1: Dada uma distribuição F e sua densidade f, a propriedade da razão de verossimilhança monótona é válida se, e somente se, d dl µ fe (L, e) 0 (17) f(l, e) De acordo com Holmstrom (1979) e Shavell (1979), sob o método do first-order approach (FOA), se F satisfaz a propriedade da razão de verossimilhança monótona, então a riqueza líquida do segurado obtida no contrato, (L), deve ser não-crescente em L. Dadefinição (12), temos que R(L) L deve ser não-crescente em L, isto é, a função indenização não pode crescer mais rapidamente que a magnitude das perdas. Este resultado é bastante intuitivo, pois para que o segurado realize o nível de esforço desejado pela seguradora, esta deve oferecer um contrato que o puna caso perdas elevadas ocorram. 11

16 2.2.1 AQuestãodoDetutível Suponha, agora, que o segurado possa enviar um sinal verificável, s, à seguradora. Definição 2: Dizemos que L é suficiente para {L, s} com respeito a e [e, ē] se, e somente se, a densidade f é multiplicativa separável em s e e, istoé,sesatisfizer f(l, s, e) y(l, e)z(l, s) (18) Por outro lado, dizemos que o sinal s é informativo sobre e [e, ē] se L énãosuficiente para {L, s} com respeito a e [e, ē]. De acordo com Holmström (1979) e Shavell (1979), assumindo válido o método do FOA e sendo (L) a solução do problema da seguradora, existe um novo contrato (L,s) que estritamente pareto domina o contrato (L) se, e somente se, s éinformativosobree [e, ē]. Se acreditarmos que condicional a ocorrência de um acidente, a magnitude observada da perda for não informativa acerca do esforço empreendido pelo segurado, então o contrato ótimo oferecido pela seguradora não deve ser condicional à magnitude da perda, mas sim à ocorrência de acidente. Neste caso, oferecer contratos com dedutível fixo, condicional à ocorrência da perda, pode ser uma estratégia ótima para a seguradora. Por exemplo, seja f e (0,e)=1 p(e) a probabilidade de não ocorrer acidente e f e (L, e) =p(e)g(l) a probabilidade de ocorrer acidente. Adicionalmente, suponha que p 0 (e) < 0, isto é, quanto maior o esforço realizado na tentativa de prevenir acidente, menor a probabilidade de ocorrência da perda. Uma vez que a magnitude da perda é independente do nível de esforço, o contrato ótimo é caracterizado pela seguinte razão de verossimilhança: f e (L, e) f(l, e) = p 0 (e) 1 p(e) > 0 para L =0 p 0 (e) p(e) < 0 para todo L>0 Logo, neste contrato, a riqueza líquida do agente irá assumir somente dois valores, um quando ocorrer L =0e outro quando ocorrer L>0. 12

17 Na vida real, este tipo de contrato é comumente implementado pelas seguradoras que oferecem cobertura total menos um dedutível fixo d, de acordo com a seguinte função indenização R(L) =L d. 2.3 Preferência Revelada e Dominância Estocástica de Segunda Ordem Nesta seção, apresentaremos o modelo proposto por Chiappori, Julien, Salanié e Salanié (2005). Neste modelo, seleção adversa e risco moral podem co-existir. Além disso, veremos que a correlação positiva entre cobertura e risco será obtida mediante, somente, argumentos de preferência revelada. Considere uma população de agentes heterogêneos. Suponha que cada agente possua uma riqueza inicial eestejaarriscadoasofrerumaperda monetária de magnitude L 0, observável e verificável por ele próprio e também pela seguradora. Cada agente é caracterizado por um parâmetro de informação privada θ Θ que pode ser multidimensional, afetar suas preferências e/ou seu risco. Um agente do tipo θ pode escolher, secretamente, uma distribuição de perdas F em um conjunto de distribuições F θ7. Suponha que cada agente possua um conjunto de características que sejam observáveis pelas seguradoras. Representaremos essas características pelo vetor X. Note que agentes que possuam o mesmo conjunto de características X são identicos, ex ante, aos olhos das seguradoras. No entanto, mesmo os agentes idênticos ex ante são heterogêneos em suas características não observáveis. Deste ponto em diante, focaremos a análise em um grupo qualquer de agentes que gozem das mesmas características observáveis X. Às seguradoras cabe oferecer contratos de seguro aos agentes. Um contrato de seguro C j édefinido pelo par (P j,r j (L)), onde P j é o prêmio pago pelo segurado à seguradora no ato da contratação e R j (L) 0 é uma função indenização definida para cada possível magnitude de perda L 0 sofridanodecorrerda vigência do contrato. Esta função indenização é tal que R j (0) = 0, ondel =0 representa o estado da natureza em que não ocorre perda. Para cada contrato, embora o prêmio possa variar de acordo com as características observáveis de cada segurado, a função indenização é fixa. Assumimos, novamente, que a seguradora se comprometa plenamente a honrar todos os contratos firmados. O segurado escolhe sua distribuição de perdas durante a vigência do contrato. A seguradora não é capaz de observar essa distribuição. Para cada possível estado da natureza L, ariquezafinal de um segurado sob um contrato j será 7 Esta abordagem inclui os modelos de seleção adversa (caso em que este conjunto possua como elemento apenas uma distribuição) e os modelos de risco moral (caso em que este conjunto possua mais de um elemento), por exemplo, quando o agente escolhe entre diferentes níveis de esforço de prevenção. 13

18 W j (L) =W 0 +R j (L) L P j (19) onde W 0 é a riqueza inicial do agente. Assumiremos válidas as seguintes hipóteses comportamentais para os agentes: H1: As preferências de cada agente, representadas por uma ordenação sobre a distribuição de sua riqueza final, é monótona com respeito à dominância estocástica de primeira ordem; H2: Os agentes são avessos a spreads que preservam a média da riqueza. Este é o conceito de aversão ao risco neste modelo; H3: Quando os agentes escolhem um contrato, eles acessam exatamente sua distribuição de perdas F. As duas primeiras hipótese são bastante fracas. A hipótese H1 diz que os agentes preferem contratos que lhes garantam uma riqueza esperada maior. A hipótese H2 diz que os indivíduos são avessos ao risco, de modo que, diante de dois contrato com a mesma riqueza esperada, o agente prefere o que tiver a menor variância. Mais adiante discutiremos a hipótese H3. Também assumiremos válida a seguinte hipótese sobre os contratos: H4: R(L) L é não-crescente em L. Esta hipótese diz que a diferença entre a indenização e a perda deve ser não-crescente em cada contrato. Observe que esta hipótese é um resultado do modelo de risco moral. A iteração entre seguradora e segurado se dá através dos seguintes estágios: Estágio 1: A natureza move primeiro e determina o parâmetro θ Θ de informação privada de cada agente; 14

19 Estágio 2: A seguradora move em seguida e dispõe no mercado um menu de contratos; Estágio 3: O segurado move em seguida e auto-seleciona um contrato; Estágio 4: O agente move novamente e escolhe uma distribuição de perdas F em F θ ; Estágio 5: O estado da natureza é realizado e os termos do contrato adquirido no Estágio 3 são executados. A estrutura apresentada acima é, de fato, bastante geral. Não há qualquer condição de cruzamento único, nem restrições quanto aos tipos dos agentes e não se requer maximização de utilidade esperada por parte dos agentes. Os resultados derivados a seguir seguem exclusivamente de argumentos de preferência revelada. Definição 3: Considere dois contratos quaisquer C 1 e C 2 disponíveis no mercado, o contrato C 2 cobre mais que o contrato C 1 se, e somente se, R 2 (L) R 1 (L) for não-decrescente para todo L 0. Dentre uma população de segurados idênticos quanto às suas características observáveis, comumente observa-se que alguns optam por adquirir contratos com maior cobertura enquanto outros optam por contratos com menor cobertura. Isto se deve à heterogeneidade não observada desses agentes, representada neste modelo pelo parâmetro θ. Suponha que um agente prefira o contrato C 1 ao contrato C 2.Umavezque R 2 (L) é maior que R 1 (L) para todo L 0, entãop 2 deve ser maior que P 1, pois, caso contrário, o agente estariaviolandoahipóteseh1. Proposição 1 Suponha que um agente prefiraocontratoc 1 ao contrato C 2, embora o contrato C 2 cubra mais que o contrato C 1. Seja F 1 a distribuição de perdas antecipada por este agente sob o contrato C 1. Então, sob as hipótese H1, H2 e H4 P 2 P 1 Z + Prova. A partir de (19), para j =1, 2 defina 0 X j (L) =W j (L) [R 2 (L) R 1 (L)] df 1 (L) (20) Z W j (L)dF 1 (L)

20 Da hipótese H4 tem-se que X j (L) é não-crescente em L. Do fato que C 2 cobre mais C 1 tem-se que (X 1 (L) X 2 (L)) é não-crescente em L. Seja H i (x) =Pr(X i (L) <x) a distribuição acumulada da variável aleatória X i (L). Então, temos que a diferença (H 1 (x) H 2 (x)) muda de sinal somente uma vez, de positivo para negativo, a medida que x aumenta. Agora, considere a função Z X D(X) = (H 1 (x) H 2 (x))dx Tem-se que D(X) é crescente até um determinado ponto e decrescente a partir desse ponto. Tem-se que D( ) =0e, usando integração por partes, D(+ ) = Z + 0 X 2 (L)dF 1 (L) Logo, D é não-negativo para todo X, ouseja, Z L 0 X 1 (L 0 )dl 0 Z L 0 Z + 0 X 1 (L)dF 1 (L) =0. X 2 (L 0 )dl 0 para todo L. Portanto, por definição, tem-se que X 1 (L) é um spread que preserva a média de X 2 (L) sob a distribuição F 1. Ora, se o agente prefere o contrato C 1 sob F 1 ao contrato C 2 sob F 1, pela hipótese H2 a riqueza esperada sob (C 1,F 1 ) deve ser maior do que sob (C 2,F 1 ),istoé, Z + 0 De onde obtemos o resultado. W 1 (L)dF 1 (L) Z + 0 W 2 (L)dF 1 (L) Sabemos que para qualquer distribuição de perdas F 1, a distribuição da riqueza final será mais arriscada sob o contrato com menor cobertura. Sabemos também que o agente é avesso à spreads que preservam a média da riqueza. Logo, caso o agente tenha revelado sua preferência ao demandar um contrato com menor cobertura, então este contrato deverá gerar uma riqueza finalmédiamaiselevadaqueadocontratocom maior cobertura. A Proposição 1 nos fornece um limite para o diferencial de prêmios entre contratos com coberturas diferentes. Se um agente escolhe um contrato com menor cobertura e maior risco, então o prêmio deste contrato vis-a-vis o do contrato com maior cobertura deve ser tal que aumente, suficientemente, a riqueza esperada final do agente. 16

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