Análise Combinatória: uma sondagem através da contextualização

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1 Análise Combinatória: uma sondagem através da contextualização Almir de Lima Serpa 1 Eduardo Ferreira Lima RESUMO A proposta deste artigo visou sondar por meio de atividades de Análise Combinatória com problemas contextualizados e não contextualizados apresentados em sala de aula com alunos do 3º ano do Ensino Médio de Escolas Públicas distintas como parte da disciplina Tópicos no Ensino de Estatística e Probabilidades do Mestrado da UFPE. O objetivo visou, portanto, identificar quantitativamente os acertos e erros das soluções das questões nos textos das provas/atividades de combinação. Para tanto, em alguns problemas, bastaria escrever uma lista explícita de todos os elementos do conjunto apresentado e depois contá-los. Entretanto, em muitos casos, o conjunto será demasiadamente grande para se fazer essa contagem direta dos seus elementos e, para isso, são necessários outros processos de contagem e, em um deles utilizando a fórmula genérica estes problemas foi desenvolvidos como método de análises. Concluiremos as análises com os dados obtidos com apresentação dos dados quantitativamente analisados. INTRODUÇÃO De um ponto de vista investigativo, é importante saber se as estruturas e fórmulas matemáticas axiomáticas postuladas ao longo da construção dos alicerces do processo cognitivo negligenciam a contribuição do texto das questões, enquanto matriz de produção de autêntico significado, na compreensão dos signos e símbolos que podem e devem prestar um grande auxílio ao ensino da matemática contextualizada. Isso porque, encontrávamos frequentemente, a constituição de um método o qual considerava, tradicionalmente, que ensinar matemática era apresentar problemas e que aprender seria resolver problemas. Assim, esse método consistia em apresentar ao aluno problemas que estimulassem o pensamento reflexivo na busca de uma solução satisfatória. 1 Universidade Federal de Pernambuco UFPE serpa.serpa@ig.com.br eduardo @hotmail.com

2 Concordamos com o fato de os aspectos lógicos aplicados matematicamente serem organizados de acordo com os alicerces do saber anterior, como mediador do fazer matemático, dentre esses, nos apoiamos em Vergnaud (1996) quando o autor indica que cada conceito ampara-se em três dimensões fundamentais: as situações que dão significado (S); as relações invariantes (I) e as representações simbólicas (R). Assim sendo, procuramos em nossa pesquisa realizar um estudo de sondagem de caráter interpretativo, visando auxiliar o ensino de combinação em seu contexto aplicativo e norteador das condições de crescimento social, intelectual e tecnológico necessários ao desenvolvimento progressivo e real de nossa humanidade. Com vistas, no embasamento legal vigente em nosso país. Para tanto, este trabalho estuda com o apoio da Teoria dos Campos Conceituais, proposta por Vergnaud (1996) nas atividades dessa disciplina (combinação) nas Escolas Estaduais em turmas de 3º ano do Ensino Médio, as quais podem se envolverem na contextualização. Durante este estudo, teremos a oportunidade de esclarecer dúvidas que correlacionam o domínio das representações matemáticas pelo conceito de combinação à solução dos problemas nas questões de matemática contextualizadas e não contextualizadas. Nossa hipótese é que a apresentação dos textos contextualizados em questões de combinatória, nas avaliações apresentadas em duas turmas de alunos do 3º ano do Ensino Médio de Escolas Estaduais da região metropolitana do Estado de Pernambuco, pouco contribui como recurso facilitador para a solução dessas, bem como não se apresentam como mediadores do conceito de combinação nas representações. Temos como objetivo geral, portanto, identificar quantitativamente os acertos e erros das soluções das questões contextualizadas e não contextualizadas nos textos das provas/atividades de combinatória nas turmas do Ensino Médio de Escolas Públicas da região metropolitana do Recife. Quanto a metodologia selecionaremos questões apropriadas ao contexto dos alunos adequando a realidade local de cada Escola para posteriormente apresentar 04 (quatro) modelos de atividades com 08 (oito) questões, dentre elas 06 (seis) contextualizadas e 02 (duas) não contextualizadas em ordens diferentes em cada

3 modelo de atividades segundo os componentes básicos fundamentais para o ensino de combinatória. A justificativa deste trabalho apóia-se na expectativa de que o instrumento didático avaliativo, no caso atividades com questões contextualizadas e não contextualizadas, atrelado ao conceito matemático, venha a se constituir num instrumento a ser utilizado em uma nova perspectiva de ensino-aprendizagem. A fim de que o contexto inserido na avaliação/prova de combinação não possua difícil interpretação e compreensão, mas deva ser idealizado para ser um texto lúdico, motivador e real passível de releituras e estimulador de novas criações, tanto para os alunos, como para os professores. Na conclusão, faremos reflexões sobre os resultados obtidos, procurando manter aspectos dentro de uma coerência com o referencial teórico e com as demais análises que nortearam o estudo. Nossa intenção é que o presente trabalho possa contribuir de forma significativa para que os professores de matemática reflitam sua prática docente, visando à organização de um trabalho que possa mediar entre a disciplina de combinatória e a possível realidade social de Escolas Públicas, favorecendo a compreensão dos conceitos envolvidos nessa disciplina. Por fim, analisaremos quantitativamente os acertos e erros em cada turma disponibilizando numa tabela descritiva para posteriores considerações sobre o corpus. A ANÁLISE COMBINATÓRIA E A CONTEXTUALIZAÇÃO Para o processo esclarecedor da análise combinatória faremos um breve relato diacrônico (histórico) o qual relata que a ação combinatória se ocupava na sua origem, com a resolução de problemas sempre vinculados aos jogos de azar, dentre os que especificamente manipulavam dados e roletas de apostas. Porém, na medida em que a necessidade de expansão econômica e territorial nas grandes cidades surge teorias e aplicabilidades em combinações específicas para o uso do cotidiano tais como: cálculos em probabilidades, nos problemas das redes ferroviárias e transportes urbanos, de grande circulação, na malha aérea usada pelas aeronaves durante as guerras em diversas partes do mundo pelas

4 combinações dos vetores, dentre outros fatores que ocasionaram o crescimento dos estudos em análise combinatória. Segundo Trotta (1988) a análise combinatória, atua em diversos outros domínios e fornece fundamentação para a contagem de possibilidades de eventos do cotidiano. Distante dos relatos encontrados no livro do celebre matemático e jogador Girolamo Cardano ( ) Liber de ludo aleae (O livro dos jogos de azar), que ele sequer achava digno de publicação, porém inicia-se neste período a parte técnica da discussão em equiprobabilidade 2. Nesta linha, a pesquisadora do Grupo de Estudos em Raciocínio Combinatório do Centro de Educação (Geração) da Universidade Federal de Pernambuco UFPE professora Cristiane Azevedo dos Santos Pessoa discute a importância em desenvolver o raciocínio combinatório, como uma forma de estratégia e pensamento que possa auxiliar no aprendizado matemático especificamente nos conteúdos dos quais se faça necessária a sistematização de informações e análise das atividades quanto aplicabilidade dos exercícios. Para o raciocínio da análise combinatória Pessoa (2009, p. 02) relata que: Portanto, a Combinatória nos permite quantificar conjuntos ou subconjuntos de objetos ou de situações, selecionados a partir de um conjunto dado, ou seja, a partir de determinadas estratégias ou de determinadas fórmulas, pode-se saber quantos elementos ou quantos eventos são possíveis numa dada situação, sem necessariamente ter que contá-los um a um (PESSOA, 2009, p 02). Baseado nas pesquisas realizadas no âmbito da análise combinatória, as quais foram desenvolvidas anteriormente, como a de Pessoa e Borba (2009), que orientam o professor quanto à importância do aprendizado da Combinatória nos anos iniciais de escolarização, podem ser mais facilmente compreendidas posteriormente quando retratadas através de formulas. Diferentemente em nossa pesquisa, estaremos adequando o estudo já realizado por Pessoa e Borba (2009) com o uso apenas da fórmula de combinação em turmas do Ensino Médio. Usando o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, denotado por p C n ou por n C n, p ou por, é dado por: p C p n n! = p! (n p)! visto a 2 Corresponde ao cálculo do montante correto da aposta a ser feita por um jogador o qual possui probabilidade p de ganhar a importância s.

5 necessidade de adequação do tempo de intervenção e a disponibilidade do período nas turmas de Escolas Públicas. Contudo, ao relatamos sobre contexto neste trabalho de pesquisa, buscamos aproximar o termo aos sentidos defendidos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1999), pois neles encontramos que os contextos estão relacionados aos da vida prática. Como por exemplo: Encontre o número de combinações possíveis formados com os 05 (cinco) filmes disponibilizados abaixo tomados 03 (três) a 03 (três). Visto que estes filmes ainda são sucesso de bilheteria e locações em uma determinada Locadora do Bairro em Olinda, os quais chamaremos de termo binomial. Atrelado ao contexto sugerido pelos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1999), encontramos a essência do ensino-aprendizagem matemática contextualizada em problemas nas atividades de combinação diluídas, no contexto para fazer da significação dos conteúdos matemáticos ensinados aos alunos uma relação de funcional e útil podendo ser aplicada ao cotidiano, tornando a aprendizagem significativa no campo do real. Minimizando as abstrações excessivas e traduzindo o valor da construção do pensamento matemático facilitador inserido na sociedade moderna. Segundo Sousa (2002), a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB nº 9.394/96), em seu art. 3º, inciso I, tem como um dos princípios do ensino garantir a igualdade de condições para o acesso e permanência na escola. Portanto, garantir formas de aprendizado que motivem o aluno e que facilitem a aquisição de conhecimento, de modo que ele obtenha um resultado satisfatório, é também uma maneira de garantir sua permanência na escola e, consequentemente, permitir-lhe dar continuidade a seus estudos, o que está contemplado na Lei de Diretrizes e Base - LDB, tanto no art. 22 como no art. 35, inciso I.

6 Entendemos que adequar o material e instrumento didático (atividades) às especificações e às necessidades do aluno é uma forma de valorizar as experiências que ele traz de sua vida extra-escolar, viabilizando uma metodologia que estimule sua criatividade, o que é contemplado no art. 3º, inciso X e no art. 36, inciso II. Outra possibilidade de justificar o atrelamento do texto contextualizado às questões de combinação em consonância ainda com a Lei de Diretrizes e Base - LDB em seu art. 35, inciso II é o oferecimento aos educandos, ao final de sua educação básica, de uma bagagem cultural e de compreensão das ciências exatas. Isso capacita sua adaptação crescente quanto às mudanças e exigências do mercado de trabalho, bem como garante a opção de um posterior aperfeiçoamento. Isso é reafirmado no art. 36, inciso I, da Lei de Diretrizes e Base - LDB, com destaque para a educação tecnológica básica, na qual incluímos as pesquisas em sites e outros manuseios informáticos como forma de exercício da cidadania. É ainda relevante destacar que o parágrafo 1º desse mesmo artigo indica que o aluno do Ensino Médio deverá dominar os princípios científicos e tecnológicos relacionados diretamente às ocupações pós-modernas. MÉTODO Para a realização deste estudo, inicialmente verificamos a possibilidade de os alunos encontrarem ao longo do trajeto para Escola, elementos referenciais, os quais poderiam ser usados em atividades classificadas como contextualizadas. Na tentativa de mediar às questões a proximidade da realidade local de cada Escola investigada para isso verificou-se a existência de Locadoras, Lan House, Lojinhas de produtos importados e Shopping. Em seguida foram elaboradas 08 (oito) questões (ver anexo) com os dados obtidos na investigação local das escolas, sendo que 06 (seis) dessas questões foram classificadas como sendo contextualizadas e, nelas atribuímos uma sequência de resolução em combinação. As 02 (duas) questões restantes foram dispostas num perfil de não contextualizadas por dois processos hipotéticos: primeiro pelo fato de alguns

7 alunos não levarem em consideração a relação do contexto e apenas a aplicabilidade da fórmula de combinação com os dados obtidos nas questões apresentadas no livro didático usados por estas turmas; em segundo, pelo fato do uso do raciocínio lógico dedutivo por meio de outras possibilidades de solução das questões apresentadas, bem como o uso de árvores de possibilidades, ou a distribuição em listagens, desenhos e tabelas dentre outras formas de solução para a combinação de elementos. Para tanto, em alguns problemas, bastaria escrever uma lista explícita de todos os elementos do conjunto apresentado e depois contá-los. Entretanto, em muitos casos, o conjunto foi apresentado demasiadamente grande para se fazer essa contagem direta dos seus elementos e, para isso, são necessários outros processos de contagem e, em um deles utilizando a fórmula genérica. Complementando nossa metodologia modificamos a ordem das questões quanto à distribuição das mesmas aplicadas em sala de aula, ou seja, não houve modificações das estruturas textuais das questões do corpus, apenas as modificações das posições numéricas quanto à ordem posicional. Aplicamos as atividades no mesmo dia e horário nas duas Escolas Públicas as quais estão em locais equidistantes aproximadamente 18 (dezoito) quilômetros. Em seguida, as atividades foram recolhidas para posterior análise das questões e distribuição em uma tabela descritiva como proposto nesta pesquisa. RESULTADOS E ANÁLISES Segue análise do Gráfico dos dados coletados do corpus (atividades), onde dispomos as questões contextualizadas contabilizadas em um total de 86 (oitenta e seis) questões das 120 (cento e vinte) para a Escola estadual de Olinda. A qual obteve um percentual correspondente a 71,6% das questões validadas, ou seja, corretamente resolvidas pelos alunos da Escola Pública de Olinda. Já a Escola Pública de Igarassu resultou da solução apenas e 19 (dezenove) questões corretas o que gerou um percentual de 15,8% do total de 120 (cento e vinte) questões perfazendo um universo de 240 (duzentos e quarenta) questões aplicadas nas duas escolas como mostra o gráfico abaixo.

8 Banco de dados do pesquisador Quanto à hipótese dos alunos resolverem as questões usando outros métodos deferentes da aplicação direta da fórmula algébrica, verificamos que em nenhum momento surgiu outra forma de solução nas questões na Escola Estadual de Olinda, ou seja, todos os alunos que responderam as questões, responderam usando a fórmula algébrica como mostrado abaixo. Diferentemente observado na Escola Estadual de Itapissuma, na qual verificamos a existência de tentativas de solução usando outras possibilidades diferentes da fórmula, para isso, os alunos tentaram usar o método de listagem. Este foi o modelo de solução das questões para a maioria dos alunos sondados, desde as questões contextualizadas e não contextualizadas, apenas a decodificação da fórmula algébrica na substituição dos valores apresentados nas

9 questões e superpostos na fórmula de combinação para todas as questões certas. O perfil de solução visto em outro modelo de combinação com o mesmo procedimento para calcular o resultado solicitado na questão acima. Para a variável (eixo 2), referente às questões não contextualizadas, encontram-se na quantidade total de 80 (oitenta questões) as quais classificamos em quantidades menores, visando que são encontradas no livro didático numa quantidade maior. Para tanto, esse modelo de questões ainda é apresentado apenas no sentido de práticas repetitivas, não despertando a real potencialidade do decodificador em função das representações possíveis durante o processo de solução das questões. As questões não contextualizadas corresponderam a 32,5% das questões apresentadas aos alunos da Escola Pública de Olinda. Já a Escola Pública de Itapissuma resultou num percentual de 25% das mesmas questões do universo de 80 (oitenta) questões. Esses dados mostram que a quantidade de acertos das questões não contextualizadas foram maiores, pois o número de questões é menor que as contextualizadas de acordo com gráfico abaixo. Banco de dados do pesquisador

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS A proposta desta pesquisa foi guiada na relação contextual dos problemas de combinatória nas turmas de 3º ano do Ensino Médio de Escolas Públicas de Olinda e Itapissuma, mediante a análise de acertos e erros dos alunos nos problemas contextualizados e não contextualizados. Devido à característica de sondagem presente neste trabalho, pudemos constatar através de análises algumas situações peculiares ao nosso objeto de estudo, dentre as quais umas positivas e outras negativas, baseado naquilo que nos propusemos analisar em combinatória. Dentre as positivas, destacamos as questões contextualizadas encontradas no corpus, as quais já estão inseridas, mesmo que em quantidade menor, no livro didático utilizado pelo Estado de Pernambuco em Escolas Públicas, oferecendo aos seus alunos atividades de combinatória diversificadas. Outro aspecto positivo observado foi à tentativa de solucionar questões utilizando o método de listagem pelos alunos da Escola Pública de Itapissuma sem ocorrem no devido sucesso da resposta. Todavia, dentre os aspectos negativos, podemos destacar, infelizmente, alguns fatores tais como: (i) a presença de questões plagiadas, ou seja, copiadas por outros alunos de mesma sala de aula; (ii) a inexistência de outras possibilidades de solução das questões corretas com uso de métodos por exemplo de árvores de possibilidades, distribuição em listagens, desenhos e tabelas dentre outras formas de solução para a combinação de elementos; (iii) um maior percentual de acertos nas questões não contextualizadas. Por fim, conscientes de que há ainda muito a ser observado, consideramos parcialmente essa etapa acreditando que as parciais a que chegamos até aqui nos mostram que há a necessidade de mais estudos dessa natureza, com este efetivo objeto: o de conhecer a realidade da educação matemática em combinatória e adequação da legalidade vigente em nosso país. Então, esses resultados parciais apresentados servirão de subsídios para os próximos passos que são, acima de tudo, diluir as informações aqui descritas para quem precisar, para quem dela possa se servir.

11 REFERENCIAS BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei nº /96, de 20 de dezembro de BRASIL. MEC. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. O papel da educação na sociedade tecnológica. In:. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio (1ª parte). Brasília: MEC/Secretaria da Educação Média e Tecnológica, 1999, p D AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, p. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Mini Aurélio: o mini dicionário da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Editora Nova Fronteira, FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia; Saberes Necessários à Prática Educativa. 26. ed. São Paulo: Paz e Terra, LAROUSSE, Koogan. Pequeno dicionário enciclopédico. Rio de Janeiro: Ed. Larousse do Brasil, LUFT, Celso Pedro. Micro Dicionário. 2 ed. São Paulo: Ática, MORAIS, Maurício; SANTOS, Dineuza Jessus dos. ANÁLISE COMBINATÓRIA: UMA ABORDAGEM ATRAVÉS DE CONTEXTO. Anais... IX Encontro Nacional de Educação Matemática. Belo Horizonte, PAIS, L. C. Didática da Matemática; Uma Análise da Influência Francesa. Belo Horizonte: Autêntica, PESSOA, Cristiane; BORBA, Rute. Estratégias de resolução de problemas de raciocínio combinatório de alunos de 1a a 4a serie. Anais... IX Encontro Nacional de Educação Matemática. Belo Horizonte, PESSOA, Cristiane; BORBA, Rute; MARTINS, Glauce Vilela; LIMA, Rita de Cássia Gomes de. O que dizem estudos recentes sobre o raciocínio combinatório. Anais... X Encontro Gaúcho de Educação Matemática. Ijuí - RS, 2009.

12 SOUSA, Paulo Nathanael Pereira de; SILVA, Eurides Brito da. Como entender e aplicar a Nova LDB. São Paulo: Pioneira Thomsom Learning, TROTTA, F. Matemática por assunto. Vol. 4. Análise Combinatória. São Paulo: Scipione, VERGNAUD G. El niño, lãs matemáticas y La realidad: problema de La enseñanza de las matemáticas em La escuela primária. Editorial Trillas. México, VERGNAUD, Gerard. A Gênese dos Campos Conceituais. In: BRUM, Jean (Direção). A Teoria dos Campos Conceituais. Lisboa: Instituto Piaget, 1996.