Física. Módulo 8. Volume 2 FÍSICA MODERNA. PARTE II Ana Paula Andrade

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1 Física. Módulo 8. Volume FÍSICA MODERNA PARTE II Ana Paula Andrade Ilhéus. 013

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3 Universidade Estadual de Santa Cruz Reitora Profª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro Vice-reitor Prof. Evandro Sena Freire Pró-reitor de Graduação Prof. Elias Lins Guimarães Diretor do Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Prof. Roberto Carlos Felício Ministério da Educação

4 Física Módulo 8 Volume - Física Moderna 1ª edição Novembro de exemplares Copyright by EAD-UAB/UESC Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESC Obra desenvolvida para os cursos de Educação a Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC (Ilhéus-BA) Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Jorge Amado, Km 16 - CEP Ilhéus-Bahia. uabuesc@uesc.br (73) Projeto Gráfico e Diagramação Waldir Serafim Cotias Júnior João Luiz Cardeal Craveiro Capa Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho Impressão e acabamento JM Gráfica e Editora Ficha Catalográfica

5 EAD. UAB UESC Coordenação UAB UESC Profª. Drª. Maridalva de Souza Penteado Coordenação Adjunta UAB UESC Profª. Dr.ª Marta Magda Dornelles Coordenação do Curso de Licenciatura em Física (EAD) Prof. Dr. Fernando R. Tamariz Luna Elaboração de Conteúdo Prof a. Dr a. Ana Paula Andra Instrucional Design Profª. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira Profª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Menezes Revisão Prof. Me. Roberto Santos de Carvalho Coordenação Fluxo Editorial Me. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho

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7 DISCIPLINA FÍSICA MODERNA Prof. Dra. Ana Paula Andrade EMENTA Introdução à relatividade especial, primórdios da teoria quântica, modelos atômicos de Thomson, Rutherford e Bohr, as séries espectroscópicas, bases da mecânica quântica, equação de Schrödinger e aplicações elementares. Carga horária: 90 horas

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9 OS AUTORES Ana Paula Andrade Bacharel em Física pela UFMG 1995 Mestre em Ciências e Técnicas Nucleares pela UFMG Doutora em Astrofísica pelo INPE 003 Professora Adjunta da UESC desde apaula@uesc.br

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11 APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA O termo física moderna refere-se ao conjunto de teorias desenvolvidas no século XX, tendo por base a teoria da relatividade e a teoria quântica. Aterminologia moderna foi introduzida como forma de distinguir as novas teorias das teorias antecessoras, referenciadas pelo termo física clássica. Pode-se dizer que esta distinção é bastante oportuna, uma vez que os conceitos da física moderna trouxeram novas concepções a respeito da natureza, da descrição da matéria e dos fenômenos observados, desafiando o método determinístico da física clássica. Como veremos neste Módulo, a partir das propostas apresentadas no início do século XX, alterações profundas foramintroduzidas no entendimento de conceitos como: espaço, tempo, posição, trajetória, simultaneidade, medida e causalidade. Ao contrário do que se acreditava até então, tempo não é uma grandeza absoluta, matéria não tem comportamento único e imutável, enquanto a dinâmica de uma partícula subatômica é regida pelas leis da probabilidade! Estas são apenas algumas das novas concepções introduzidas pela física moderna e que fizeram emergir um novo cenário científico no campo da física. Apesar das concepções e interpretações inovadoras, ambas as teorias, da relatividade e quântica, representam uma generalização da física clássica, sendo esta tratada como casos especiais, não invalidando, de forma alguma, os conceitos já estudados. Enquanto a teoria da relatividade estende o campo de investigação da física clássica para a região de altas velocidades e altas energias, a física quântica estende o campo de investigação para regiões de pequenas dimensões. Inicialmente, pode-se pensar que os fenômenos relativísticos ou quânticos sejam estranhos ou mesmo bizarros, uma vez que estão muito além da realidade detectada por nossos sentidos. De fato, nossa percepção da natureza é bastante limitada, mas, ainda assim, não devemos nos furtar a discutir teorias

12 Elementos de Matemática Avançada e conceitos revelados por meio das evidências experimentais. Este foi o maior desafio vivido pelos físicos do século XX, grandes nomes como Albert Einstein, Max Planck e Erwin Schrödinger, dentre outros que iremos discutir nas próximas Unidades. Esperamos que você, estudante, possa abrir a sua mente aos novos conceitos que serão apresentados e, consequentemente, desfrutar desta nova janela de conhecimento aberta pela física moderna. Neste módulo, iremos apresentar e discutir as importantes descobertas dos séculos XIX e XX, bem como as bases da física moderna sob a ótica da relatividade restrita, a quantização de energia e os postulados da mecânica quântica, enfatizando conceitos e aplicações. Esperamos assim que, ao final deste módulo, você possa compreender os argumentos que embasam a física moderna, que, apesar de imperceptíveis, permeiam a nossa vida cotidiana. 1 Física EAD

13 SUMÁRIO UNIDADE 3 - FÍSICA MODERNA - A FÍSICA DOS ÁTOMOS 1 Introdução Dalton e o átomo O modelo de Thomson... 4 A descoberta de Rutherford Rutherford e o núcleo atômico Os espéctros atômicos As ideias de Bohr O modelo de Bohr AS séries espectroscópicas Regras de quantização O modelo de Sommerfeld RESUMINDO REFERÊNCIAS UNIDADE 4 - A MECÂNICA QUÂNTICA 1 Introdução A interpretação de Schroedinger, Born e Heisenberg A equação de Schroedinger As funções de onda Os valores esperados da mecânica quântica As autofunções Soluções da equação de Schroedinger... 1 RESUMINDO REFERÊNCIAS... 13

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15 UNIDADE - ÁLGEBRA LINEAR - ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO FINITA UNIDADE 5 - APLICAÇÕES DA MECÂNICA QUÂNTICA 1 Introdução Potencial nulo e a partícula livre Potencial degrau e as possibilidades quânticas Energia menor do que a altura do degrau Energia maior do que a altura do degrau Barreira de potencial e o efeito túnel Poço de potencial quadrado Poço de potencial quadrado infinito O potencial do oscilador harmônico simples Considerações finais RESUMINDO REFERÊNCIAS

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17 3ª unidade A FÍSICA DOS ÁTOMOS Prof. Dra. Ana Paula Andrade Nesta unidade serão discutidos a evolução dos modelos atômicos e os princípios que regem a estrutura dos átomos. Serão apresentados: as considerações de Dalton; os modelos de: Thomson, Rutherford, Bohr e Sommerfeld; os diagramas de níveis de energia; as propriedades dos espectros atômicos; Ao final desta etapa, o aluno será capaz de: compreender a estrutura atômica; conhecer os níveis de energia; identificar os tipos de espetros atômicos. compreender as bases da teoria quântica.

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19 Álgebra Linear 1 INTRODUÇÃO 1 Desde os tempos da Grécia antiga que os intelectuais da época, filósofos e pensadores, se questionavam a respeito da substância básica por detrás das transformações ocorridas na natureza. A corrente dos atomistas, a exemplo de Demócrito e Leucipo (cerca de 400.a.c), acreditava que a essência da natureza fosse material e imutável. Assim, a matéria seria constituída por uma infinidade de pequenas unidades indivisíveis, eternas e imutáveis, que denominaram átomos (palavra que em grego significa indivisível ). Já Aristóteles acreditava que toda a matéria do universo seria composta por quatro substâncias básicas: terra, ar, fogo e água, sendo todas elas matéria contínua, ou seja, seria possível dividi-las infinitamente em porções menores, sem nunca chegar a uma unidade limite. Esta dúvida pairou sobre os cientistas durante muitos séculos, até que, em 1808, o químico e físico inglês, John Dalton, sugeriu que a maioria das observações químicas feitas no século XVIII poderia ser explicada simplesmente admitindo-se que a matéria fosse constituída de átomos! No entanto, uma das mais importantes evidências físicas desta ideia foi dada apenas em 1905, por Albert Einstein, ao mostrar que o chamado movimento browniano (movimento aleatório e irregular das partículas de poeira suspensas em líquido) poderia ser explicado como efeito dos átomos do líquido, colidindo com as partículas de poeira. Apesar desta constatação, pairavam ainda muitas dúvidas sobre a indivisibilidade dos átomos. A noção de que os átomos pudessem ter uma estrutura interna e que pudessem ser compostos de partículas menores só foi percebida ao longo do século XX. No intuito de elucidar a estrutura do átomo e identificar as verdadeiras partículas elementares, novos e importantes experimentos se seguiram no campo da física atômica, consolidando gradualmente os modelos de estrutura atômica. Embora Demócrito e Leucipo tenham suposto corretamente a existência de átomos, a estrutura do átomo revelou-se muito mais sutil e intrigante. É sabido que os átomos não são apenas pequenas esferas homogêneas sem estrutura; mas, sim, constituídos de partículas menores, mais leves e mais fundamentais. Assim, o estudo da estrutura da matéria nos leva a Unidade UESC Módulo 4 I Volume 5 19

20 Elementos de Matemática Avançada considerar a maneira pela qual estas partículas estão reunidas formando os chamados átomos e as propriedades oriundas desta organização. Nesta Unidade, iremos discutir a evolução dos modelos atômicos e os experimentos que embasaram suas concepções, bem como os princípios básicos que regem a estrutura dos átomos. DALTON E O ÁTOMO No início do século XIX, muito se sabia a respeito das reações químicas e de suas leis básicas, como a lei de conservação das massas e as leis das proporções definidas. Era sabido que as reações químicas ocorriam e que as mesmas podiam ser descritas como resultado do intercâmbio entre partículas em colisões, resultando em novos compostos, com propriedades bem distintas. Baseado nestas observações, em 1808, John Dalton, seguindo a tendência atomista de muitos cientistas da antiguidade e também da idade média, propôs: 1. Toda matéria é composta de partículas fundamentais, que podemos chamar de átomos.. Átomos são permanentes e indivisíveis e não podem ser criados nem destruídos espontaneamente. 3. Todos os átomos de certo elemento são idênticos em todas as suas propriedades e os átomos de elementos diferentes têm propriedades diferentes. 4. Uma alteração química consiste em uma combinação, separação ou rearranjo de átomos. 5. Os compostos são constituídos de átomos de elementos diferentes em proporções fixas. Concebendo estas ideias simples, Dalton conseguiu fazer com que as observações químicas da época parecessem razoáveis, explicando porque a massa é conservada durante uma reação química e a lei da composição definida. Dalton salientou que esta lei é naturalmente verdade se cada composto é caracterizado por proporções fixas entre 0 Física EAD

21 Álgebra Linear os números de átomos dos seus elementos componentes diferentes. Assim, um composto de dióxido de carbono seria constituído de átomos de carbono e oxigênio na proporção de 1:, respectivamente, e, como as massas dos átomos de carbono e oxigênio são fixas, segue-se que a composição do dióxido de carbono em massa também deve ser fixa, conforme observado. Por certo que a aceitação destas ideias não se deu sem a oposição de muitos físicos e químicos resistentes, no entanto contou com defesa incansável de outros, como Ludwig Boltzmann, o mesmo cujos trabalhos contribuíram significativamente para a tória cinética dos gases e a mecânica estatística. Três anos mais tarde, o químico italiano Amedeo Avogrado, usando a mesma terminologia de Dalton, propôs: as partículas fundamentais de gases elementares não são necessariamente átomos, mas podem ser grupos de átomos reunidos para formar moléculas. E ainda formulou o que ficou conhecido como Lei de Avogrado: sob as mesmas condições de temperatura e pressão, volumes iguais do mesmo gás contêm número igual de moléculas. Apesar do apelo empírico das considerações de Dalton, duas questões importantes permaneciam sem resposta: como e do que são constituídos os átomos. Apenas no final do século XIX foram realizadas importantes descobertas científicas que abriram novo caminho para a física atômica: as leis do eletromagnetismo de Maxwell, a identificação das diferentes frequências do espectro eletromagnético, a descoberta dos raios catódicos e do efeito fotoelétrico, seguidos pela descoberta dos raios X e, finalmente, a descoberta dos elétrons, em 1897, por J.J. Thomson. Thomson, pesquisador neozelandês do famoso Laboratório Cavendish, em Cambridge, estava tentando provar que os raios catódicos (descargas elétricas que Imagem 3.1: John Dalton Fonte: com/people/john-dalton ?page=1 1 Unidade UESC Módulo 4 I Volume 5 1

22 Elementos de Matemática Avançada você sabia? Quando Thomson descobriu as tais partículas negativas, em 1897, a unidade de carga fundamental, o elétron, já era conhecida. Esta foi sugerida pelo físico e químico inglês, Michael Faraday, em 1833, quando este conduzia seus estudos sobre a eletrólise. Em 1874, o físico irlandês, George Stoney, estimou pela primeira vez o valor de sua carga, cerca de 0 vezes menor do que o valor aceito atualmente. Cinco anos mais tarde, 1879, o inglês William Crookes, ao realizar suas experiências com raios catódicos, descobriu que estes raios eram constituídos de partículas indivisíveis. O grande feito de J.J.Thomson foi mostrar que essas partículas eram carregadas negativamente e cuja carga era a unidade fundamental, o elétron! Em 1937, seu filho, G.P. Thomson, ganhou o prêmio Nobel de Física por mostrar que os elétrons também se comportam como ondas. passam por um gás rarefeito dentro de uma ampola de vidro) eram eletricamente carregados e supôs: como as cargas elétricas são afetadas por campos elétricos, os raios catódicos também deveriam ser, caso fossem constituídos de partículas eletricamente carregadas. Assim, combinando as deflexões causadas por campos elétricos e magnéticos, Thomson conseguiu mostrar que os raios catódicos eram constituídos por partículas elétricas de carga negativa. E mais, Thomson conseguiu mostrar que vários materiais diferentes exibiam esta mesma capacidade de emissão, ou seja, essas partículas deveriam fazer parte da matéria! Como se não bastasse, Thomson também mostrou que essas partículas eram pelo menos mil vezes mais leves que o átomo de hidrogênio. No dia 9 de abril de 1897, Thomson anunciou suas descobertas, um marco para a investigação dos constituintes fundamentais da matéria. Por esta descoberta, Thomson recebeu o prêmio Nobel em 1906 e foi batizado de o pai do elétron. 3 O MODELO DE THOMSON Imagem 3.: J.J.Thomson Fonte: EBchecked/media/151581/Sir-JJ- Thomson-1910 Após os trabalhos de Thomson, acumularamse inúmeras evidências experimentais da existência dos elétrons e da sua participação na estrutura atômica. Assim, não havia mais dúvida, os elétrons deveriam ser constituintes básicos dos átomos. Mas, se os elétrons faziam parte dos átomos e estes são eletricamente neutros, então deveria haver também uma componente de carga positiva em número suficiente para neutralizar a matéria. E, ainda, o fato de que a massa do elétron é muito pequena se comparada com a de qualquer átomo, mesmo com a do mais leve, implica que a maior parte da massa do átomo deve estar associada à componente de carga positiva. Essas considerações levaram naturalmente Física EAD

23 Álgebra Linear ao problema de como seria a distribuição de cargas positivas e negativas dentro do átomo. Em 1904, o japonês Hantaro Nagaoka propôs um modelo de átomo segundo o planeta Saturno, no qual os elétrons com carga negativa estariam orbitando em torno de uma grande esfera de carga positiva, similar aos anéis do planeta Saturno. Entretanto, de acordo com a teoria eletromagnética, os elétrons girando em círculos estariam constantemente acelerados em seu movimento e deveriam emitir continuamente energia. A energia emitida à custa da energia mecânica dos elétrons faria com que estes se movessem em espiral, terminando por cair no núcleo atômico. E, assim, ter-se-ia um átomo que rapidamente sofreria um colapso para dimensões nucleares. E mais, durante o seu movimento espiralado, a velocidade angular do elétron cresceria continuamente e, com ela, cresceria também a frequência da radiação emitida, o que, certamente, não era observado. Além disso, o espectro contínuo da radiação que seria emitida durante o processo de colapso não era compatível com os espectros discretos observados pela emissão dos átomos. Também em 1904, J.J. Thomson propôs um modelo para descrição do átomo. Segundo Thomson, o átomo seria considerando como uma espécie de fluido com uma distribuição esférica contínua de carga positiva, onde estariam incrustados os elétrons com carga negativa. Devido à repulsão mútua, os elétrons estariam uniformemente distribuídos na esfera positiva com raio da ordem da grandeza conhecida 10 de um átomo, cerca de 10 m. Este modelo, conhecido como pudim de passas é ilustrado na Imagem 3.1 Nesta configuração, os elétrons, tais quais pequenas passas decorando um pudim, seriam atraídos ao centro da distribuição de cargas positivas e repelidos entre si pela lei de Coulomb. O estado estável do átomo seria atingido quando as duas forças, de atração e repulsão, se equilibrassem. 1 Unidade UESC Módulo 4 I Volume 5 3

24 Elementos de Matemática Avançada Imagem 3.1: Modelo atômico de Thomson uma esfera de carga positiva entremeada com elétrons. Fonte: Entretanto o modelo de Thomson tinha como hipótese inicial a estabilidade da configuração dos elétrons, sendo que estes poderiam oscilar, mas sempre em torno de suas posições de equilíbrio, em caso de excitação do átomo (por exemplo, em virtude de altas temperaturas no material). No entanto a teoria clássica do eletromagnetismo não permite a existência de uma configuração estável num sistema de partículas carregadas se a única interação entre elas é de caráter eletromagnético. Mas, então, como justificar a estabilidade do átomo no modelo de Thomson? Outro problema apontado para este modelo é que a teoria eletromagnética prevê que uma partícula com carga elétrica em movimento acelerado, como um elétron vibrando, deve emitir radiação eletromagnética, e, segundo a teoria, os modos normais de vibração das oscilações dos elétrons deveriam ter as mesmas frequências que os espectros atômicos observados. No entanto faltava uma concordância quantitativa no modelo de Thomson, ou seja, os espectros de emissão observados não concordavam com a previsão teórica para o modelo. Deste modo, o modelo de Thomson era capaz de permitir a emissão da radiação, mas a frequência da radiação emitida não concordava com os espectros observados, mostrando-se ineficaz na explicação das propriedades atômicas. E assim, como no mundo da física, somente as verificações 4 Física EAD

25 Álgebra Linear experimentais podem comprovar se um modelo está de acordo com as leis da natureza ou não, era imprescindível comparar a previsão teórica com as observações. A inadequação conclusiva do modelo de Thomson foi obtida sete anos mais tarde, em 1911, com a experiência de um de seus ex-alunos, o também neozelandês, Ernest Rutherford. 1 Unidade Exercício Resolvido: Suponha a existência de um elétron de carga e dentro de uma região esférica com densidade de carga positiva uniforme ρ, tal qual o modelo do átomo de Thomson. a ) Mostre que seu movimento, se ele tem uma energia cinética, pode ser de oscilações harmônicas simples em torno do centro da esfera. Solução: Vamos considerar um elétron a uma distância a do centro de uma esfera, sendo a menor que o raio da esfera. Da lei de Gauss, sabemos que podemos calcular a força que atua sobre o elétron, usando a lei de Coulomb: F = π a ρ = 4π 0 3 a 3 0 e ρea 4 π a ρ 3 corresponde à carga positiva contida na onde ( ) 3 esfera de raio a. Da lei de Gauss, sabemos que é esta a distribuição de carga responsável pela força elétrica no interior da esfera de raio a. Podemos expressar a relação acima da forma: F = ka, onde k é uma constante que vale: k = ρe, tal qual uma força 3 ε 0 elástica! Portanto se o elétron, inicialmente em repouso em a, é deixado livre, sem velocidade inicial, essa força irá produzir um movimento harmônico simples ao longo do diâmetro da esfera, visto que a força está sempre direcionada para o centro e tem módulo proporcional a distância ao centro. UESC Módulo 4 I Volume 5 5

26 Elementos de Matemática Avançada lembrete O parâmetro ρ é comumente utilizado para representar a densidade de carga, ou seja, a razão carga/volume. Já a lei de Gauss é uma das equações de Maxwell e relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica contida no interior dessa superfície. Sua formulação é:: b ) Suponha que a carga positiva total tenha um valor igual em módulo à carga de um elétron, de forma que a carga total do átomo seja zero, e, suponhamos que esteja distribuída sobre uma esfera ' 10 de raio r = 1, x10 m. Ache a constante da força k e a frequência do movimento do elétron. Solução: uma vez que a densidade de carga é uniforme, podemos considerar: ρ = e 4 π r ' 3 3 Substituindo na expressão de k, tem-se: ρe e e e k = = = π r ' π 0r ' 3 3 Substituindo os valores, lembrando que: 1 9 = 9,0x10 Nm / C, tem-se: 4π 0 ( ) ,0x10 Nm / C. 1,6 x10 C k = =,3x10 N / m 10 3 (1,0 x10 m) A frequência do movimento harmônico simples é então: 1 k 1,3x10 N / m ν = = =,3x10 31 π m π 9,11x10 kg s Física EAD

27 Álgebra Linear Assim, a radiação emitida por este elétron do átomo de Thomson terá esta frequência, analogamente à radiação emitida por elétrons oscilando em uma antena. O comprimento de onda correspondente será: 1 Unidade 8 λ c 3,0x10 m / s 7 = = = 1, x10 m = 100 ν 15,5x10 s correspondente à região do ultravioleta do espectro eletromagnético. Portanto esta é a radiação emitida por um átomo segundo o modelo de Thomson. Por certo que o comprimento de onda da radiação pode ser ajustado às observações, variando-se o raio de posição do elétron. Entretanto, segundo este modelo, somente uma frequência de radiação seria emitida, o que já se sabia, desde o final do século XIX, não é compatível com as linhas espectrais observadas. 4 A DESCOBERTA DE RUTHERFORD Rutherford foi um cientista fortemente ligado aos estudos relativos ao decaimento dos elementos químicos e às substâncias radioativas. Foi o responsável pela descoberta dos raios α e β em 1899, tendo recebido o prêmio Nobel em Trabalhando em Cambridge, conheceu o físico alemão, Hans Geiger, o qual estava realizando um experimento com o bombardeio de um feixe bem colimado de partículas α em finas folhas de ouro e alumínio. Os resultados obtidos por Geiger e interpretados por Rutherford culminaram em uma das mais importantes descobertas da física atômica. Vejamos em detalhes a experiência realizada. UESC Módulo 4 I Volume 5 7

28 Elementos de Matemática Avançada você sabia? Decaimentos radioativos são aqueles processos nos quais há um rearranjo da configuração dos núcleos atômicos, podendo ser espontâneos ou induzidos. Ocorrem quando um núcleo radioativo emite uma partícula, se transformado em um nuclídeo diferente. O decaimento mais simples corresponde à emissão de raios gama (fóton de alta energia), e representa uma transição nuclear de um estado excitado para um estado de mais baixa energia. Analogamente à transição dos elétrons entre os diferentes níveis orbitais. Outros tipos de decaimento nuclear possíveis são aqueles em que há emissão de uma partícula alfa (núcleos de hélio, ou seja, dois prótons e dois nêutrons), ou uma partícula beta, β (estas podem ser um elétron ou um pósitron). Três grandes pesquisadores que se dedicaram ao estudo e identificação dos decaimentos radioativos foram Marie Curie, seu marido Pierre Curie e Henri Becquerel. Os três dividiram o Prêmio Nobel de Física no ano de Em 1911, Marie Curie recebeu o segundo Prêmio Nobel de sua carreira, desta vez o de química! Imagem 3.3: Marie Curie Fonte: org/nobel_prizes/chemistry/ laureates/1911/index.html Figura 3. Arranjo de uma experiência de espalhamento de partículas α. A Figura 3. ilustra um arranjo típico da experiência com partículas α realizado pelos cientistas: Geiger, Marsden e Rutherford. Partículas α são emitidas em alta velocidade por um processo de decaimento espontâneo em vários materiais radioativos. Uma vez colimadas por um par de diafragmas, as partículas α formam um feixe paralelo estreito e, por sua dimensão, ideal para investigar a estrutura atômica dos materiais. O feixe incide sobre uma folha de uma substância, normalmente um metal, suficientemente fina de modo que as partículas possam atravessá-la completamente com apenas uma pequena diminuição no módulo da velocidade. Entretanto, ao atravessar a folha, as partículas deveriam encontram os átomos, com cargas positivas e negativas, e, consequentemente, sofrer o processo de deflexão em virtude da força coulombiana. Como a deflexão da partícula ao atravessar um único átomo depende da sua trajetória através do átomo, a deflexão total do feixe ao atravessar toda a folha deve ser distinta para diferentes partículas do feixe. Consequentemente, o feixe emerge da folha não como um feixe paralelo, mas como um feixe divergente. Uma análise quantitativa desta divergência pode ser feita ao se medir o número de partículas espalhadas em cada direção angular. As partículas espalhadas eram então detectadas por um microscópio com uma tela de Sulfeto de Zinco (ZnS). Esta tela tem a capacidade de cintilar no local em que incide uma partícula α, permitindo ao microscópio 8 Física EAD

29 Álgebra Linear identificar individualmente a cintilação de cada partícula α. Devido ao fato de os elétrons terem uma massa muito pequena quando comparada com a massa da partícula α, eles podem em qualquer caso produzir apenas pequenas deflexões nas partículas α. No entanto, para o caso específico do modelo de Thomson, devido ao fato da carga positiva estar distribuída sobre todo o 10 volume do átomo de raio r 10 m, ela não pode causar uma repulsão coulombiana intensa o suficiente para produzir grande deflexão na partícula α. Rutherford e seus parceiros Geiger e Marsden testaram estas previsões. Os resultados experimentais mostraram que o número de partículas α desviadas com ângulos de 90 ou mais era muito maior do que o esperado pelo modelo de Thomson. A existência de uma probabilidade pequena, porém não nula, para o espalhamento em grandes ângulos, não poderia absolutamente ser explicada em termos do espelhamento atômico segundo o modelo. Um número significativo de partículas foi espalhado em ângulos da ordem de 180. Segundo palavras do próprio Rutherford: foi praticamente o acontecimento mais inacreditável que aconteceu em minha vida. Esse resultado fez com que Rutherford propusesse, em 1911, um novo modelo para a estrutura atômica. Imagem 3.4: Ernest Rutherford Fonte: org/nobel_prizes/chemistry/ laureates/1908/rutherford-bio.html 1 Unidade 5 RUTHERFORD E O NÚCLEO ATÔMICO Rutherford mostrou, em 1911, que os dados do experimento com partículas α, realizado em colaboração com Geiger e Marsden, eram consistentes com um modelo atômico, no qual a carga positiva estaria concentrada em uma pequena região central, chamada núcleo. Essa região continha, além da carga positiva, praticamente toda a massa do átomo. Os elétrons, segundo este modelo, UESC Módulo 4 I Volume 5 9

30 Elementos de Matemática Avançada giravam ao redor do núcleo, da mesma forma que os planetas giram em torno do Sol, só que, neste caso, governados pela interação elestrostática e não gravitacional! Assim, tomando um referencial fixo no núcleo (com carga Ze ), para um elétron (carga e ) em órbita circular estável (raio R ), a força centrípeta deve ser igual à força eletrostática, ou seja: mv R 1 e( Ze) =, 4πε R 0 (3.1) e assim: v Ze = 4πε mr 0 (3.) Qualquer órbita para a qual esta equação fosse satisfeita seria uma órbita estável para o elétron. Contudo este modelo encontrava um sério obstáculo para ser aceito, o mesmo encontrado pelo modelo do japonês Nagaoka. Elétrons girando em círculos, constantemente acelerados, deveriam emitir energia continuamente, terminando por cair no núcleo atômico. Mas, então, qual foi a grande contribuição do trabalho de Rutherford? Foi justamente a constatação da existência de um minúsculo núcleo atômico! Rutherford considerou a hipótese da existência de um núcleo atômico, cujas dimensões fossem suficientemente pequenas, de modo que uma partícula α que passasse bem perto deste núcleo pudesse ser espalhada, devido à repulsão coulombiana, em um grande ângulo ao atravessar um único átomo. Rutherford fez os cálculos detalhados para a distribuição angular que era observada e chegou à dimensão do 10 núcleo atômico. Se, ao invés de considerar um raio da ordem de 10 m para a distribuição das cargas positivas, fosse considerado um raio da 14 ordem de 10 m, o ângulo de espalhamento das partículas α seria compatível com o ângulo observado no experimento, cerca de 1 rad. Portanto, segundo o modelo de Rutherford, o espalhamento observado não era devido aos elétrons atômicos, mas, sim, devido à repulsão coulombiana que agia entre as partículas α, carregadas positivamente, e o núcleo, também, positivo. Os cálculos consideraram também apenas 30 Física EAD

31 Álgebra Linear o espalhamento por átomos pesados, para que pudesse ser utilizada a hipótese de que a massa do núcleo é muito grande quando comparada à massa da partícula α, de modo que o núcleo não recuasse apreciavelmente durante o processo de espalhamento. Vejamos a análise realizada por Rutherford para justificar seu modelo e a existência do núcleo atômico. A Figura 3.3 ilustra o espalhamento de uma partícula α, de carga + ze e massa M, ao passar perto de um núcleo de carga + Ze, enquanto este está fixo na origem do sistema de coordenadas. Estando a partícula α muito afastada do núcleo, a força coulombiana que atua sobre ela é praticamente desprezível e, assim, a partícula se aproxima do núcleo seguindo uma trajetória em linha reta e com velocidade constante que chamaremos de v. A posição da partícula em relação ao núcleo é especificada pela coordenada radial r e o ângulo polar ϕ, sendo este medido a partir de um eixo paralelo à linha da trajetória inicial. A distância perpendicular desse eixo à linha do movimento inicial é denominada parâmetro de impacto b. O ângulo de espalhamento θ é o ângulo entre o eixo e uma linha que passa pela origem do sistema e paralela à linha do movimento final, sendo b a distância perpendicular entre essas duas linhas (vide Figura 3.). Imagem 3.5: Modelo do átomo de Rutherford - os elétrons, que possuem carga negativa, orbitam em torno de um grande núcleo carregado positivamente. Fonte: com.br/010/1/modelos-atomicos. html você sabia? Se inflássemos um núcleo atômico até que ele atingisse o tamanho de uma bola de tênis, os elétrons seriam encontrados a cerca de 00m de distância! Em suma, o modelo de Rutherford prevê o movimento dos elétrons orbitando o núcleo a grandes distâncias, fazendo com que o átomo seja basicamente um espaço vazio! 1 Unidade Figura 3.3 Trajetória hiperbólica estimada por Rutherford nas coordenadas polares r, ϕ e os parâmetros b e D. Sendo θ o ângulo de espalhamento e R a distância de maior aproximação. A carga pontual Ze está localizada sobre um foco da hipérbole. A trajetória percorrida pela partícula α pode UESC Módulo 4 I Volume 5 31

32 Elementos de Matemática Avançada obtida diretamente a partir dos cálculos, segundo a mecânica clássica, para a força de repulsão coulombiana, sendo: zze d r d = M π 0r dt dt 4 ϕ (3.3) O termo à esquerda na expressão acima corresponde à aplicação da força de Coulomb entre a partícula α e o núcleo, enquanto o termo à direita corresponde à aceleração radial devida à variação no módulo de r, e o termo da derivada em ϕ corresponde à aceleração centrípeta devida à variação na direção de r, estando também apontada na direção radial. Para obter a trajetória da partícula, é necessário resolver a equação acima, encontrando r em função de ϕ. Perfazendo este cálculo e aplicando as condições iniciais: ϕ 0, quando r e dr v dt, quando r, encontra-se a solução final: 1 1 D = senϕ + ( cosϕ 1 ), r b b (3.4) Sendo D uma constante definida por: 1 D 4π 0 zze Mv (3.5) A constante D é equivalente à distância de maior aproximação ao núcleo em uma colisão frontal (equivalente a b = 0 ). Neste ponto, a partícula pararia e inverteria a direção de seu movimento. A constante D é facilmente obtida quando igualamos a energia potencial à energia cinética da partícula, ou seja: 1 zze Mv = 4π D 0 (3.6) 3 Física EAD

33 Álgebra Linear Repare que a solução obtida em (3.4) corresponde à equação de uma hipérbole em coordenadas polares, ou seja, a trajetória da partícula α é hiperbólica. O ângulo de espalhamento θ é obtido a partir de (3.4), achando o valor de ϕ para r, quando θ = π ϕ. Desta forma, obtém-se: 1 Unidade θ b cotg = D (3.7) Da expressão acima, vemos que, no caso do espalhamento de uma partícula α por um único núcleo, se o parâmetro de impacto estiver entre b e b + db, então o ângulo de espalhamento estará entre θ e θ + dθ, sendo a relação entre b e θ dada por (3.7). Esta situação é ilustrada na Figura 3.4. Para encontrar o número de partículas α, N(È) d È, espalhadas entre È eè + dè ao atravessar toda a folha é necessário calcular o número das que incidem sobre o núcleo na folha, como parâmetro de impacto entre b e b + db. O resultado deste cálculo é dado por: N ( È ) dè È1 È zze I ρt π sen d = 4π 4 0 Mv sen ( È ) (3.8) Figura 3.4 A relação entre o parâmetro de impacto b e o ângulo de espalhamento θ. À medida que b cresce (maior afastamento do núcleo), o ângulo de espalhamento decresce. UESC Módulo 4 I Volume 5 33

34 Elementos de Matemática Avançada A expressão acima (3.8) é denominada fórmula de espalhamento de Rutherford, onde I é o número de partículas α incidentes sobre a folha de espessura t cm, contendo ρ núcleos por centímetro cúbico. Perfazendo esta mesma análise para o modelo de Thomson obtém-se uma expressão da forma: È È I È N ( È ) dè = e dè È (3.9) Imagem 3.6: Experiência de Rutherford vista esquemática dos átomos que constituem a folha de ouro que funciona como uma rede de difração. Fonte: Por meio de uma simples comparação entre as expressões (3.8) e (3.9) nota-se que a previsão para o modelo de Rutherford apresenta uma dependência bem mais complexa que o modelo de Thomson, haja vista que na expressão (3.8) aparecem fatores como a densidade e espessura da placa, número atômico e a energia cinética das partículas α. Nota-se ainda que o espalhamento em ângulos grandes é muito mais 34 Física EAD

35 Álgebra Linear provável em um único espalhamento por um núcleo atômico do que em um espalhamento múltiplo em pequenos ângulos em um átomo do tipo pudim de passas. Após análise apresentada por Rutherford, Geiger e Marsden fizeram exaustivos testes experimentais a respeito do ângulo de espalhamento das partículas e terminaram por concluir que a teoria do núcleo atômico e o modelo de Rutherford eram compatíveis com os resultados encontrados. No entanto, apesar do sucesso alcançado pelo modelo de Rutherford ao explicar o experimento com as partículas α, este novo modelo deixou espaço para outro questionamento: como explicar a estabilidade nuclear? Se no centro do átomo há um núcleo cuja massa é aproximadamente a massa do átomo, e cuja carga é igual ao número atômico do elemento multiplicado por e ; e em torno de núcleo existem Z elétrons, de modo a neutralizar o átomo, como justificar a estabilidade deste sistema? Na tentativa de responder esta questão, o físico dinamarquês, Niels Bohr, propôs em 1913 uma nova formulação para o modelo atômico, esta nova foi baseada na experiência de Rutherford e na interpretação dos espectros atômicos. 1 Unidade Exercício resolvido: 1. Mostre que, para a experiência com as partículas α descrita na Figura 3.3, v = v e b = b. Solução: a força que atua sobre a partícula é do tipo coulombiana e está sempre dirigida radialmente. Assim, o momento angular da partícula em torno da origem tem um valor constante, L. Ou seja, o momento angular inicial é igual ao momento angular final, de modo que: ' ' Mvb = Mv b = L Assim, vb = v ' b ' E ainda, é certo que a energia cinética da partícula não permanece constante durante o espalhamento, mas a energia cinética inicial deve UESC Módulo 4 I Volume 5 35

36 Elementos de Matemática Avançada ser igual à energia cinética final, uma vez que o núcleo permanece estacionário. Portanto: 1 1 Mv = Mv ' Então, v = v e, da equação anterior, b = b, como se queria demonstrar.. Calcule R, a distância de maior aproximação da partícula ao centro do núcleo, ou se, a origem do sistema ilustrado na Figura 3.3. Solução: a coordenada radial r será igual a R quando o ângulo polar for ϕ = ( π θ ) /. Substituindo este ângulo na expressão (3.4), obtém-se: 1 1 D sen π θ cos π θ = + 1 R b b D θ D π θ b = cotg = tg Substituindo a expressão para o parâmetro b na primeira expressão e perfazendo as devidas manipulações algébricas, tem-se: D 1 R = 1 + cos π θ 36 Física EAD

37 Álgebra Linear 1 Por fim: D R = 1 + sen θ 1 ( ) Unidade Note que, quando θ π, o que corresponde a b = 0, isso é, colisão frontal, R D, a distância de maior aproximação. Também quando θ 0, o que corresponde a não haver nenhuma deflexão, tanto b quanto R tendem a infinito, como seria esperado. Estas previsões são confirmadas experimentalmente. 6 OS ESPECTROS ATÔMICOS No auge das investigações a respeito da estrutura atômica, a capacidade de emissão térmica dos materiais já era bem conhecida. Ao contrário de um espectro contínuo de radiação eletromagnética emitida, por exemplo, pela superfície de sólidos a altas temperaturas, a radiação emitida por átomos livres está concentrada em um conjunto de comprimentos de onda discretos, denominadas linhas. Ainda no início do século XIX, Joseph Fraunhoffer havia descoberto que o espectro de emissão solar exibia uma série de linhas escuras superpostas às cores do arco-íris. Anos mais tarde, por volta de 1853, as linhas espectrais do hidrogênio foram identificadas pela primeira vez pelo físico sueco Anders Angstrom. No entanto, Angstrom não conseguiu identificar as frequências da radiação detectada. A identificação das quatro linhas brilhantes na região visível foi possível apenas em 1860, por meio da técnica de espectroscopia analítica, proposta pelos alemães Gustav Kirchhoff e Robert Bunsen. Estes desenvolveram uma metodologia simples e eficaz para análise espectral: fazer a luz emitida por um elemento químico aquecido passar por um UESC Módulo 4 I Volume 5 37

38 Elementos de Matemática Avançada prisma, onde a luz é decomposta e posteriormente impressa em uma chapa fotográfica, resultando no registro das linhas espectrais em foto. Por meio desta técnica, os parceiros alemães conseguiram identificar as linhas espectrais de diversos elementos químicos e foram os primeiros a apontar a relação unívoca entre os elementos e seus respectivos espectros. Cada tipo de átomo tem seu espectro característico próprio, isto é, um conjunto de comprimentos de onda nos quais as linhas do espectro são encontradas. Na prática, a técnica de espectroscopia analítica veio se juntar à técnica de análise química, reunindo esforços para identificação dos diferentes elementos químicos e a obtenção de medidas precisas de suas respectivas linhas espectrais. Os trabalhos de Kirchhoff e Bunsen revelaram ainda a capacidade dos materiais em emitir e absorver luz em específicos comprimentos de onda, definindo um padrão próprio de radiação, sendo este denominado o seu espectro, um traço característico do elemento, como se fosse sua própria impressão digital. Em 1861, após uma análise detalhada do espectro solar, Kirchhoff identificou linhas características do espectro de absorção de vários elementos químicos como: sódio, cálcio, magnésio e ferro. É sabido que todos estes elementos encontram-se nas camadas mais externas (e mais frias) do Sol, e são os responsáveis pela absorção da luz do espectro contínuo, resultando nas linhas escuras observadas originalmente por Fraunhoffer. Assim, é seguro afirmar que cada tipo de átomo tem o seu espectro que lhe é característico e para cada átomo específico é possível identificar os espectros de emissão e de absorção, sendo: O conjunto de raias ou o conjunto das radiações eletromagnéticas monocromáticas emitidas e suas correspondentes intensidades definem o espectro de emissão do tipo de átomo. O conjunto discreto de raias escuras ou o conjunto das radiações monocromáticas que estão faltando de um espectro contínuo, justamente porque foram absorvidas pelo material, definem o espectro de absorção do átomo. 38 Física EAD

39 Álgebra Linear Na segunda metade do século XIX, diversos trabalhos foram realizados na investigação dos espectros estelares, revelando uma relação direta entre a química terrestre e estelar. De fato, estrelas são formadas pelos mesmos elementos químicos que encontramos na Terra. Mas tão instigante quanto esta descoberta era o entendimento do processo de emissão espectral. Por que objetos aquecidos emitem luz? Por que elementos químicos diferentes produzem espectros diferentes? Qual seria a relação entre o calor e a luz emitida? Por certo que os espectros atômicos deveriam ser explicados por qualquer modelo que se propusesse a explicar a estrutura atômica. Mas esta não era a realidade da época e estas questões intrigaram toda a comunidade científica durante décadas, até que, em 1911, surgiu no cenário científico mais um físico contestador do mundo clássico, seu nome: Niels Bohr. Imagem 3.7: Niels Bohr Fonte: org/nobel_prizes/physics/ laureates/19/bohr-bio.html 1 Unidade 7 AS IDÉIAS DE BOHR O físico dinamarquês Niels Bohr chegou a Manchester em 1911, aos 6 anos, para trabalhar com Ernest Rutherford. Bohr estava convencido da existência do núcleo atômico, acreditava que o modelo de Rutherfor estivesse no caminho certo, mas também sentia que mudanças drásticas eram necessárias à física clássica para explicar a estabilidade atômica. Enquanto Rutherford tentava encontrar uma explicação para a estabilidade do átomo e Thomson tentava, sem sucesso, ajustar os espectros atômicos observados ao seu modelo, Bohr tentava encontrar uma nova física. A aplicação de conceitos da mecânica newtoniana, empregada por Rutherford, para descrever as órbitas eletrônicas o incomodavam profundamente, bem como a hipótese UESC Módulo 4 I Volume 5 39

40 Elementos de Matemática Avançada de emissão de radiação prevista pelo eletromagnetismo clássico. Bohr questionava o tratamento clássico aplicado aos elétrons. Para ele, o eletromagnetismo clássico condenava o átomo à instabilidade! Por outro lado, o jovem Bohr argumentava que, de acordo com os trabalhos de Planck e Einstein, os processos que envolviam absorção e emissão de energia não podiam mais ser tratados como processos contínuos, mas sim discretizados em pacotes de energia. Então, Bohr tentou aplicar o conceito de quantização de energia ao modelo de Rutherford por meio da definição de uma série de órbitas possíveis para o elétron e acabou por desenvolver um modelo que apresentava concordância quantitativa precisa com alguns dos dados espectroscópicos. O modelo do átomo de Bohr foi apresentado na forma de quatro postulados, vejamos. Primeiro Postulado: Um elétron em um átomo se move em uma órbita circular em torno do núcleo, sob influência da atração coulombiana; entre o elétron e o núcleo, obedecendo às leis da mecânica clássica. Segundo Postulado: Em vez da infinidade de órbitas que seriam possíveis segundo a mecânica clássica, um elétron só pode mover-se em uma órbita na qual seu momento angular orbital L é um múltiplo inteiro de (a constante de Planck dividida por π ). Terceiro Postulado: Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron que se move em uma dessas órbitas possíveis não emite radiação eletromagnética. Portanto sua energia total E permanece constante. 40 Física EAD

41 Álgebra Linear Quarto Postulado: É emitida radiação eletromagnética se um elétron, que se move inicialmente sobre uma órbita de energia total E i, muda seu movimento descontinuamente de forma a se mover em uma órbita de energia E f. A frequência da radiação emitida ν é igual à E E dividida pela constante de Planck h. quantidade ( i f ) 1 Unidade As ideias de Bohr misturam conceitos clássicos e não clássicos. No primeiro postulado, Bohr considera a existência do núcleo atômico, tal qual indicação do experimento de Rutherford e assegura a validade da mecânica clássica. Já o segundo postulado introduz o conceito não clássico de quantização, mas, desta vez, a quantização é para o momento angular orbital de um elétron se movendo sob influência de uma força coulombiana, ou seja, inversamente proporcional ao quadrado da distância, o que implica em: L = n n = 1,,3 (3.10) Note que o critério de quantização sugerido por Bohr para o momento angular do elétron é diferente da quantização de Planck para a energia de uma partícula, E = nhν. O terceiro postulado resolve o problema de emissão de radiação eletromagnética para um elétron que se move em uma órbita circular, uma previsão da teoria clássica do eletromagnetismo. Para Bohr, as órbitas permitidas eram órbitas estacionárias, uma condição especial para um elétron ligado. Nestas órbitas, os elétrons simplesmente violam a lei clássica e não perdem energia, assegurando, assim, a estabilidade do átomo. Por certo que há uma violação da lei clássica, mas que assegura a estabilidade observada experimentalmente para os átomos. O quarto postulado é similar ao postulado de Einstein, o qual atesta que a frequência de um fóton emitido é igual à energia do mesmo, dividida pela constante h. Bohr apenas atribui à energia do fóton à diferença de energia entre as órbitas, sendo: UESC Módulo 4 I Volume 5 41

42 Elementos de Matemática Avançada ν = E i E h f (3.11) No caso de um elétron receber uma dosagem extra de energia, tal qual uma descarga elétrica, ou ainda que o átomo receba energia em decorrência de uma colisão, o elétron poderá sofrer uma transição eletrônica para um estado de maior energia, ou estado excitado, no qual, necessariamente, n > 1. Obedecendo à tendência natural de todos os sistemas físicos, o elétron tenderá a voltar para o estado fundamental de energia e deverá, para tanto, emitir o excesso de energia entre os níveis na forma de um fóton. Assim, Bohr esclareceu o mistério do o espectro atômico: as linhas espectrais são discretas, apresentandose em frequências específicas para cada átomo, simplesmente porque correspondem aos fótons emitidos durante as transições dos elétrons entre as órbitas permitidas. Na órbita mais próxima do núcleo, n = 1, o elétron estaria no estado fundamental do átomo. As órbitas mais externas seriam aquelas dos estados excitados dos átomos. Por certo que as ideias de Bohr eram extremamente audaciosas e muito fortes, mas a justificativa para os seus postulados, como em todo e qualquer postulado, prima pela adequação do modelo aos resultados experimentais. E neste contexto, as previsões de Bohr eram extremamente eficientes. Para o espectro do hidrogênio, por exemplo, o modelo consegue prever as frequências das linhas de emissão em perfeita concordância com o espectro observado. O sucesso alcançado pelo modelo de Bohr teve impacto bastante positivo entre a comunidade científica. Após a publicação de todo o trabalho em novembro de 1913, Albert Einstein se declarou um dos maiores entusiastas do modelo, tendo escrito: Esta é uma conquista enorme. 4 Física EAD

43 Álgebra Linear 8 O MODELO DE BOHR Vamos agora às considerações físicas por trás do modelo de Bohr. Considere um átomo constituído por um núcleo de carga + Ze e massa M, e um único elétron de carga e e massa m. Este poderia ser o caso de um átomo de hidrogênio neutro, Z = 1, ou um átomo de Hélio ionizado, Z = ; ou mesmo um átomo de lítio duplamente ionizado, Z = 3. Supondo uma órbita circular para o elétron e, lembrando que m é desprezível comparada a M e que o núcleo permanece fixo no espaço, a condição de estabilidade mecânica nos leva a estabelecer que: 1 Ze 4π r 0 v = m r, (3.1) Ou seja, a força coulombiana que atua sobre o elétron é a responsável pela aceleração centrípeta que mantém o elétron em órbita, sendo v a velocidade do elétron e r o raio da órbita. Uma vez que a força atuante sobre o elétron é uma força central, então o momento angular orbital também deve ser uma constante, L = mvr. Assim, a condição de quantização do momento angular, segundo Bohr, implica em: você sabia? Bohr foi um dos maiores cientistas de todos os tempos! Querido não apenas por sua habilidade racional, mas também por sua postura enquanto cidadão do mundo e pessoa dotada de profundo senso de justiça. Simpático e humilde, Bohr era admirado por colegas, alunos e amigos. Foi bastante atuante na propagação de ideais pacifistas, durante e após a segunda guerra, e engajado a disseminar sua preocupação com o futuro do mundo. Defensor do uso pacífico da energia nuclear, liderou projetos voltados às aplicações industriais da energia atômica e recebeu em 1957 o prêmio Átomos para a Paz, oferecido pelo governo dos Estados Unidos. Por seus trabalhos no estudo da estrutura atômica, Bohr é considerado um dos principais arquitetos do átomo e da física quântica! 1 Unidade L = mvr = n, n = 1,,3 (3.13) Portanto: n v = mr (3.14) UESC Módulo 4 I Volume 5 43

44 Elementos de Matemática Avançada Substituindo a expressão de v em (), tem-se: 1 4π 0 = => Ze = 4π 0r = 4π 0 Ze m n m n n r r mr r mr mr Ou seja: n r = 4 π 0, n = 1,,3 mze (3.15) e: n 1 Ze v =, n 1,,3 mr = 4π n = 0 (3.16) Em suma, a quantização do momento angular corresponde a uma restrição das órbitas circulares permitidas, ou seja, aquelas cujos raios são dados por (3.15). Note que os raios permitidos são proporcionais ao quadrado do número quântico n, enquanto a velocidade é inversamente proporcional a n. Esta é uma das razões para a quantização de Bohr (assim como a de Planck!) começar em n = 1 e não em n = 0, caso contrário, teríamos r 0 e v. Para o átomo de hidrogênio, por exemplo, a primeira órbita seria: 11 r = 5,3x10 m 0,5. Esta estimativa pode ser interpretada como uma medida do raio do átomo de hidrogênio em seu estado fundamental. De acordo com (3.16), a velocidade do elétron na órbita mais interna é 6 v,x10 m / s. Note que este valor é bem abaixo da velocidade da luz 8 (3x10 m / s ) e, por esta razão, a mecânica newtoniana é suficiente para descrever a dinâmica do modelo de Bohr, uma vez que esta é a maior velocidade permitida para o elétron ligado. Entretanto, para grandes valores de Z, a velocidade do elétron ligado se torna comparável à velocidade da luz e o modelo clássico não mais é valido. E qual é a energia de um elétron ligado, segundo o modelo de 44 Física EAD

45 Álgebra Linear Bohr? Vejamos: a energia potencial V, a qualquer distância finita r, pode ser estimada integrando o trabalho que seria realizado pela força coulombiana que atua de r a. Assim, podemos expressar: 1 Unidade V Ze Ze = dr = 4π r 4π r r 0 0 (3.17) Neste caso, a energia potencial é negativa devido ao fato da força coulombiana ser atrativa, ou seja, é necessário realizar trabalho sobre o sistema para mover um elétron do raio r ao infinito, em oposição à força coulombiana. Para o cálculo da energia cinética do elétron, podemos usar aplicar equação de velocidade (), diretamente à fórmula clássica: K 1 Ze mv 4π r = = 0 (3.18) Assim, a energia total do elétron pode ser estimada como a soma das energias, cinética e potencial: Ze Ze E = K + V = 4π r 4π r 0 0 Ze E = K 4π r = 0 (3.19) Substituindo o valor de r, tem-se: E = mz e ( π ) 4 1 n 0 4 (3.0) UESC Módulo 4 I Volume 5 45

46 Elementos de Matemática Avançada Imagem 3.8: Modelo de Bohr órbitas circulas, estabilidade eletrônica e emissão de radiação somente nas transições entre estados estacionários. Fonte: Assim, nota-se que a quantização do momento angular também se reflete na quantização de sua energia total, visto que esta, por sua vez, é dependente do raio orbital. Um elétron em estado fundamental, isto é, se movendo na órbita mais interna do átomo, n = 1, consequentemente, tem a menor energia possível, visto que a energia estimada para cada orbital é negativa. As informações contidas em (3.0) também podem ser representadas na forma de um diagrama de níveis de energia, tal qual ilustrado na Figura 3.5. Neste tipo de diagrama, são representados os números quânticos, seus respectivos níveis de energia, e, por meio da escala de construção, a distância entre cada nível de energia em relação ao primeiro nível é proporcional à diferença de energia entre eles. Observe que o menor (mais negativo) nível de energia ocorre para o número quântico n = 1. À medida que n cresce, a energia total do estado quântico se torna menos negativa, com E se aproximando de zero, quando n tende a infinito. Como em todo sistema físico, o estado de menor energia total é o estado mais estável, vemos que o estado normal 46 Física EAD

47 Álgebra Linear para o elétron no átomo de um elétron é, naturalmente, o estado no qual n = 1. 1 Unidade Figura 3.5 Diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio Resta agora estimar a frequência da radiação emitida quando um elétron ligado sofre uma entre um estado quântico n i para um estado quântico n f. Em outras palavras, um elétron que se movia em uma órbita caracterizada por um número quântico i, muda descontinuamente seu movimento, passando a se mover segundo uma órbita de número quântico f, De acordo com o quarto postulado de Bohr, e a expressão: Ei E f mz e ν = = + h 4π 4π n n 3 0 f i (3.1) 1 ν Expressando em termos do número de onda = =, tem-se: λ c 4 1 me 1 Z 3 0 π c n n κ = 4π 4 f i UESC Módulo 4 I Volume 5 47

48 Elementos de Matemática Avançada Ou seja: κ 1, = R Z n f n i (3.) Sendo R uma constante cujo valor é: R 1 3 4π 0 4π me 4 c (3.3) Note que a equação (3.) estabelece o número de onda do fóton emitido no processo de transição, no entanto não oferece nenhuma restrição para as transições entre os estados permitidos. Em suma, um átomo pode absorver energia e passar para um estado excitado, orbital n = 7, por exemplo, e posteriormente decair até o nível fundamental, por meio de uma série de transições, nas quais o elétron cai de um estado para outro de energia mais baixa, sucessivamente, até chegar ao nível fundamental. Por exemplo, um elétron pode cair do nível n = 7 para o nível n = 4, depois para n = e finalmente para n = 1. Em cada transição é emitido um fóton com comprimento de onda que depende da diferença de energia perdida pelo elétron naquela transição, ou seja, a diferença de energia entre os níveis orbitais em questão. Nesse caso, seriam emitidos três fótons, correspondendo a três linhas de emissão do espectro atômico, com número de onda dados por: - linha 1: transição entre n i = 7 para n f = 4; - linha : transição entre n i = 4 para n f = ; - linha 3: transição entre n i = para n = 1. f Na maior parte dos processos de excitação e desexcitação, todas as possíveis transições ocorrem e, assim, é constituído o espectro atômico detectado durante um processo de medida. Os números de onda, ou comprimentos de onda, do conjunto de linhas que constituem o espectro são dados pela expressão (%%) (ver com a autora), 48 Física EAD

49 Álgebra Linear simplesmente tomando os valores de n i e n f, restritos apenas à condição ni > n f para linhas de emissão e ni < n f para linhas de absorção. Com o aprimoramento dos dados espectroscópicos, Bohr se deu conta de que a aproximação realizada em seus cálculos para a massa nuclear infinita estava em desacordo com as medidas experimentais. A fim de corrigir suas previsões teóricas, Bohr resolveu tratar a dinâmica do sistema elétron-núcleo em função do seu centro de massa. Neste contexto, o sistema pode ser tratado como se o núcleo de massa M estivesse fixo e a massa m do elétron fosse ligeiramente reduzida a certo valor µ, denominada massa reduzida do elétron: 1 Unidade mm µ = m + M (3.4) Note que o valor de µ é sempre menor que m. Para introduzir este novo conceito e corrigir as previsões teóricas, Bohr foi forçado a modificar o seu segundo postulado, desta vez, impondo que a quantização do momento angular total, L, fosse um múltiplo inteiro da constante de Planck dividida por π, ou seja,. Assim, a igualdade expressa foi generalizada para: µ vr = n n = 1,,3 (3.5) Ao considerar o parâmetro µ, é levado em conta tanto o momento angular do elétron quanto do núcleo. Para as demais previsões do modelo de Bohr, as equações descritas nesta seção serão todas idênticas, com exceção da troca da massa do eletro, m, pela massa reduzida, µ. Em especial, a expressão para os comprimentos de onda das linhas espectrais, equação (), se reduz a: κ 1 1, = RM Z n f ni UESC Módulo 4 I Volume 5 49

50 Elementos de Matemática Avançada onde: M µ RM R R m + M m (3.6) A constante R M é denominada constante de Rydberg para um núcleo de massa M. Note que, quando M, R, a m constante de Rydberg para um núcleo extremamente pesado. Para o caso do hidrogênio, M 1836, R m M é menor que R por uma parte em 000. Com estas correções, as previsões do modelo de Bohr pareciam se encaixar como uma luva ao espectro atômico do hidrogênio, além de fornecer explicações plausíveis às inquietações científicas a respeito do papel dos elétrons dentro da estrutura atômica. Assim, o modelo de Bohr agradava por sua boa concordância, tanto quantitativa quanto qualitativa, entre teoria e observações. No entanto, apesar do sucesso inicial alcançado, o modelo de Bohr também tinha suas limitações. O tratamento clássico dado aos elétrons apresentava falhas até mesmo para explicar o comportamento de átomos leves como o Hélio, com seus dois elétrons. Mas, ainda assim, as ideias introduzidas por Bohr para a quantização das órbitas eletrônicas e sua ênfase em números atômicos davam fortes indícios do caminho a ser seguido no entendimento do mundo atômico. M R Exercício Resolvido: Calcule a energia de ligação do átomo de hidrogênio, isto é, a energia que liga o elétron ao núcleo, a partir da expressão (3.0). Solução: A energia de ligação é numericamente igual à energia do menor estado possível, n = 1. Como para o átomo de hidrogênio, Z = 1, tem-se: E = 1 ( 4π ) 0 me 4 50 Física EAD

51 Álgebra Linear Substituindo os valores: E = ( 9,0x10 Mm / C).9,11x10 kg. ( 1,60x10 C) 34. ( 1,05x10 J. s) 4 1 Unidade 18 E =,17x10 J = 13,6eV Exercício Resolvido: Imagine um átomo de positrônio, ou seja, constituído por um elétron e um pósitron, ao invés do próton. Neste caso, teríamos o elétron girando em torno centro de massa comum, o qual está na metade da distância entre os dois. a ) Se tal sistema fosse um átomo normal, como seu espectro de emissão seria comparável ao do átomo de hidrogênio? Solução: Neste caso, a massa nuclear é a do pósitron, que por sua vez, é igual à massa do elétron, m. Portanto a massa reduzida será: mm m m µ = = = m + M m A constante de Rydberg correspondente é: R M m = R = m + m R Os estados de energia do átomo de positrônio seriam dados então por: UESC Módulo 4 I Volume 5 51

52 Elementos de Matemática Avançada E positrônio RM hcz R hcz = = n n e os comprimentos de onda recíprocos das linhas espectrais seriam dados por: κ 1 ν R 1 1 Z = = = λ c n f ni As frequências das linhas emitidas seriam então a metade, e os comprimentos de onda o dobro das de um átomo de hidrogênio (com núcleo infinitamente pesado), sendo Z igual a 1 para o positrônio e para o hidrogênio. b ) Qual seria o raio da órbita no estado fundamental do positrônio? Solução: Podemos usar a mesma expressão para o raio de hidrogênio, apenas substituindo m por µ, que, de acordo com o m item anterior, vale: µ =. Assim: r positrônio 4π 0n h 4π 0n h = = = r µ Ze mze hidrogênio Portanto para qualquer estado quântico n o raio do elétron relativamente ao núcleo de positrônio é duas vezes maior do que no átomo de hidrogênio. 5 Física EAD

53 Álgebra Linear Exercício Resolvido: Um átomo muônico contém um núcleo de carga Ze e um muon negativo, µ, se movendo em torno dele. O µ é uma partícula elementar de carga e e massa 07 vezes maior do que a massa do elétron. Este átomo é formado quando um próton, ou outro núcleo, captura um µ. 1 Unidade a ) Calcule o raio da primeira órbita de Bohr de um átomo muônico com Z = 1. M Solução: A massa reduzida do sistema, com = 1836m e é de: m = 07m µ e e µ = 07 me.1836me 186m 07m m = e e e Então, o raio da órbita com n=1 e µ = 186m e será: r x m x m x 4π ,3 10,8 10,8 10 = = = = 186mee 186 Portanto o µ está muito mais próximo da superfície nuclear (do próton) do que o elétron em um átomo de hidrogênio! Z =1. tem-se: b ) Calcule a energia de ligação de um átomo muônico com De acordo com a equação (), para n = 1, z = 1 e m e E = 186 = ,6eV = 530 ev 4 ( π ) 4 e 0 µ = 186m e, Esta é a energia do estado fundamental, 186 vezes a energia UESC Módulo 4 I Volume 5 53

54 Elementos de Matemática Avançada do átomo de hidrogênio. Também equivalente à energia de ligação do átomo muônico. Exercício Resolvido: O hidrogênio comum contém cerca de uma parte em 6000 de deutério, o hidrogênio pesado. Este átomo corresponde a um núcleo contendo um próton e um nêutron. Estime como a massa nuclear afeta o espectro atômico. Solução: O espectro seria idêntico ao espectro normal do átomo de hidrogênio se não fosse a correção para a massa nuclear finita. Para um átomo de hidrogênio normal, tem-se: 1 µ R cm RH = R = = = cm m m M Para um átomo de Deutério, o cálculo seria: 1 µ R cm RD = R = = = cm m m M (1836) 1 Portanto R é um pouco maior do que R, de modo que a D linhas espectrais do deutério são deslocadas para comprimentos de onda ligeiramente menores comparados ao hidrogênio. De fato, o deutério foi descoberto em 193, após a observação dessas linhas espectrais deslocadas. H 9 AS SÉRIES ESPECTROSCÓPICAS Por sua configuração minimalista, o espectro do átomo de hidrogênio é relativamente simples, e, por esta razão, bastante útil para o estudo da estrutura atômica. A Figura 3.6 representa a parte do espectro do hidrogênio que se encontra na região de comprimentos de onda da luz visível. Repare que o espaçamento, em comprimentos de onda, 54 Física EAD

55 Álgebra Linear entre linhas adjacentes do espectro diminui continuamente, à medida que o comprimento de onda das linhas diminui (consequentemente o nível de energia aumenta). Neste contexto, diz-se que a série de linhas apresentadas converge para o chamado limite da série, no caso do hidrogênio, 3.645,6 Note que as linhas com menores comprimentos de onda, incluindo o limite da série, são difíceis de serem observadas experimentalmente devido ao pequeno espaçamento entre elas e, também, por já estarem na região do ultravioleta. Repare que algumas linhas aparecem marcadas como H α, H β, etc. Veremos a seguir a justificativa desta identificação. 1 Unidade Figura 3.6 Esquema das linhas espectrais do átomo de hidrogênio na parte visível do espectro. Desde o final do século XIX, ainda muito antes das especulações do modelo de Bohr, que a regularidade das linhas espectrais do átomo de hidrogênio despertava a curiosidade dos cientistas da época, no intuito de encontrar um padrão, ou uma fórmula empírica, que pudesse descrever as linhas observadas. Em 1885 (ano em que nascia Niels Bohr), um professor suíço de nome Johann Balmer publicou em seu trabalho a descoberta de uma fórmula capaz representar os comprimentos de onda observados para o átomo de hidrogênio. No entanto, como as teorias da época não eram capazes de explicar as linhas espectrais nem, tão pouco, justificar a sequência observada, esta constatação ficou esquecida no tempo, por cerca de 30 anos, tendo sido reavivada por ocasião dos trabalhos de Bohr. Balmer encontrou uma série muito simples da forma: n λ = 3646, n 4 (3.7) UESC Módulo 4 I Volume 5 55