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1 ALinear 2011/2/26 14:45 page 1 #19 ALinear 2011/2/26 14:45 page 2 #20 2 Base e Dimensão Cap. 1 1 Base e Dimensão Denotaremos x C. y/ simplesmente por x y (veja o Exercício 1). A importância da regra da unidade na definição de espaço vetorial é indicada no Exercício 3, no final deste Capítulo. Exemplo1.2 Oconjunto K n D f.x 1 ; x 2 ; : : : ; x n / j x i 2 K.i D 1; : : : ; n/gcomas definições usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Exemplo1.3 O conjunto F de todas as funções ff W S! Kg definidas num conjunto S ; e com as operações de adição e multiplicação por escalar usualmente definidas é um espaço vetorial. Este Capítulo apresenta algumas noções básicas da Álgebra Linear, introduz somas diretas e define o espaço quociente. 1.1 Espaços Vetoriais OcorpoRouocorpo CserãodenotadosporK. Definição1.1 Um espaço vetorial X sobre o corpo K é um conjunto cujos elementos.chamados vetores/ podem ser somados e multiplicados por escalares, isto é, os elementos do corpo K. Se x; y; z 2 X e ; 2 K, as seguintes propriedades devem ser satisfeitas pela adição e multiplicação por escalar:.i/ x C y 2 X.fechamento/;.i i/.x C y/ C z D x C.y C z/.associatividade/;.i i i/ x C y D y C x.comutatividade/;.iv/ existe 0 2 Xtalque x C 0 D x.elementoneutro/;.v/ existe. x/ 2 X tal que x C. x/ D 0.inverso aditivo/;.vi/ x 2 X.fechamento/;.vi i/.x/ D./x.associatividade/;.vi i i/.x C y/ D x C y.distributividade/;.ix/. C /x D x C x.distributividade/;.x/ 1x D x.regradaunidade/. Exemplo1.4 Também são espaços vetoriais o conjunto KŒz de todos os polinômioscomcoeficientesem K(naincógnita z)ouosubconjunto K n Œz detodos ospolinômiosdegraumenordoque n(naincógnita z). Definição1.5 Umsubconjunto Y deumespaçovetorial Xéumsubespaçose,com asoperaçõesdefinidasem X, Y forumespaçovetorial. Exemplo1.6 Osubconjuntode K n detodososvetorescujaprimeiracoordenada énulaéumsubespaçode K n. Se S D R,ossubconjuntosde F (vejaoexemplo 1.3)formadosportodasasfunçõescontínuasouportodasasfunçõesdeperíodo sãosubespaçosdef.omesmoacontececomosubconjuntodekœz formadopelos polinômios de grau par. Veja o Exercício 4 para a caracterização de um subespaço vetorial. Definição1.7 Sejam Xe Y espaçosvetoriaissobreocorpok.umaaplicação satisfazendo T W X! Y T.x C y/ D T x C Ty paraquaisquer x; y 2 X e 2 Kéchamadatransformaçãolinearouaplicação linear. Se X D Y, tambémchamamos T deoperadorlinearousimplesmente operador. Se Y D K, uma aplicação linear é denominada funcional linear. Se T forumabijeção,dizemosque T éumisomorfismoequeosespaços X e Y são isomorfos. (No caso de aplicações lineares, é usual denotar T.x/ por T x. Em algumas situações, especialmente para funcionais lineares, não se mantêm tal notação.) Observação 1.8 Note que, na definição de aplicação linear, estamos indicando as operaçõesnosespaçosvetoriais Xe Y damesmamaneira:em T.x C y/,asoma x C yocorrenoespaço X,enquantoocorreem Y naexpressão T x C Ty. 1

2 ALinear 2011/2/26 14:45 page 3 #21 ALinear 2011/2/26 14:45 page 4 # Bases 3 4 Base e Dimensão Cap Bases Definição1.9 Seja S X umsubconjuntoqualquerdeumespaçovetorial X. Umacombinaçãolineardeelementosde Séumasoma.finita/ Demaneiraanáloga, y 2 D ˇ2x 2 C : : : C ˇnx n C ˇ1y 1,comaomenosumdos escalares ˇ2; : : : ; ˇn diferentedezero(vejaoexercício12). Supondo ˇ2 0, verificamosentãoqueoconjunto fx 3 ; : : : ; x n ; y 1 ; y 2 ggeraoespaço X.Repetindo sucessivamente esse procedimento, obtemos que 1 x 1 C : : : C k x k ; fy 1 ; : : : ; y n g com 1 ; : : : ; k 2 Kex 1 ; : : : ; x k 2 S. O conjunto S é linearmente dependente, se existir um número finito de elementos x 1 ; : : : ; x k 2 S geraoespaço X.Emparticular, Mas, então, y nc1 D 1 y 1 C : : : C n y n : eescalares 1 ; : : : ; k 2 K,nãotodosnulos,taisque 1 y 1 : : : n y n C 1y nc1 C 0y nc2 C : : : C 0y j D 0; 1 x 1 C : : : C k x k D 0: oquecontradiz fy 1 ; : : : ; y j gserumconjuntolinearmenteindependente. Caso contrário, o conjunto S é linearmente independente. O conjunto S gera o espaço X se, para todo x 2 X, existirem.finitos/ elementos x 1 ; : : : ; x j 2 S eescalares 1 ; : : : ; j 2 Ktaisque x D 1 x 1 C : : : C j x j. Umabasede X éumsubconjuntoordenado Bqueélinearmenteindependente egera X. Umespaçovetorial X temdimensãofinita,sepossuirumabasecom umnúmerofinitodeelementos, 1 ouse X D f0g.casocontrário,eletemdimensão infinita. Lema 1.11 Todo espaço vetorial X f0g gerado por um subconjunto S D fx 1 ; : : : ; x n gpossuiumabase. Demonstração: Se S for linearmente dependente, um de seus elementos pode ser escrito como combinação linear dos elementos restantes. Retirando esse elemento, o conjunto restante continua gerando X. Continuamos retirando elementos que são combinação linear dos elementos restantes até obter um conjunto linearmente independente que continua gerando X. Lema1.10(dointercâmbiodeSteinitz) Suponhamosque S D fx 1 ; : : : ; x n ggere oespaçovetorial Xeque fy 1 ; : : : ; y j gsejalinearmenteindependenteem X.Então j n: Demonstração:Suponhamosque j > n.como Sgera X,temosque y 1 D 1 x 1 C : : : C n x n ; sendoaomenosumdosescalares 1 ; : : : ; n diferentedezero(vejaoexercício 11).Podemossupor 1 0.Temosentãoque fx 2 ; : : : ; x n ; y 1 ggera X.Defato,se x 2 X,existemescalares 1; : : : ; ntaisque x D 1x 1 C : : : C nx n.mas,então, 1 x D 1.y 1 2 x 2 : : : n x n / C 2x 2 C : : : C nx n ; 1 mostrando o afirmado. 1 Diz-setambémqueoespaçovetorialéfinitamentegerado. Notequeoespaçovetorial X D f0gnãopossuibase. Teorema1.12 Todasasbasesdeumespaçovetorial Xdedimensãofinitapossuem o mesmo número de elementos. Demonstração: Se B D fx 1 ; : : : ; x n geb 0 D fy 1 ; : : : ; y j gforembasesde X,o Lema1.10aplicadoaoconjuntolinearmenteindependenteB 0 eaoconjuntogerador Bmostraque j n. Aplicandoentãoaoconjuntolinearmenteindependente Be aoconjuntogeradorb 0,obtemos n j. Definição1.13 Se B D fx 1 ; : : : ; x n gforumabasedoespaçovetorial X,dizemos que X temdimensão neescrevemos ÑX D n: Se X D f0g, Xtemdimensãofinitaigualazero.

3 ALinear 2011/2/26 14:45 page 5 #23 ALinear 2011/2/26 14:45 page 6 # Bases 5 6 Base e Dimensão Cap. 1 Teorema1.14 Todosubconjuntolinearmenteindependente S D fy 1 ; : : : ; y j gde umespaçovetorial X dedimensão n 1podesercompletadoparaformaruma basede X. Demonstração: Se S não gerar X, então existe um vetor x 1 2 X que não é combinação linear dos elementos de S. O conjunto fy 1 ; : : : ; y j ; x 1 g é linearmente independente. Repetimos esse procedimento um número finito de vezes,atéobterumabasede X. O Teorema 1.14 mostra-nos como obter diferentes bases para um espaço vetorial X f0g de dimensão finita. Assim, X possui muitas bases. Demonstração:Se x D 1 x 1 C : : : C n x n e y D 1 x 1 C : : : C n x n,então T.x C y/ D T.. 1 C 1 /x 1 C : : : C. n C n /x n / D. 1 C 1 ; : : : ; n C n / D. 1 ; : : : ; n / C. 1 ; : : : ; n / D Œx B C Œy B ; mostrandoalinearidadede T. Se D. 1 ; : : : ; n / 2 K n,então T x D,para x D 1 x 1 C : : : C n x n,oqueprovaque T ésobrejetora.finalmente, T x D Ty, então. 1 ; : : : ; n / D. 1 ; : : : ; n /, oqueimplica i D i para i D 1; : : : ; ne, portanto, x D y. Observeque somenteaordenação doselementosda base é que permitedar sentido à representação de um vetor em uma base. A importância do isomorfismo destacado na Proposição 1.18 é explorada no Exercício 9. Definição1.15 Sejam X umespaçovetorialeb D fx 1 ; : : : ; x n gumabasede X. Se x 2 X,entãoexistem.únicos/escalares 1 ; : : : ; n 2 Ktaisque x D 1 x 1 C : : : C n x n : Ovetor. 1 ; : : : ; n / 2 K n échamadorepresentaçãode xnabase Be 1 ; : : : ; n ascoordenadasde xnabaseb.denotamostambémpor Œx B ovetor. 1 ; : : : ; n /. Definição1.16 Seja e i 2 K n ovetorcuja i-ésimacoordenadaéiguala1,asoutras sendonulas.oconjuntoe D fe 1 ; : : : ; e n géabasecanônicadoespaçok n. Observação 1.17 Uma base de um espaço vetorial é um conjunto ordenado. Assim, se B D fx 1 ; x 2 ; : : : ; x n g for uma base do espaço X, então B 0 D fx 2 ; : : : ; x n ; x 1 géoutrabasede X.Omesmoaconteceseabasepossuirumnúmero infinito de elementos. Proposição1.18 Sejam XumespaçovetorialeB D fx 1 ; : : : ; x n gumabasede X. Se x D 1 x 1 C : : : C n x n,aaplicação T W X! K n dadapor estabeleceumisomorfismoentre XeK n. T x D Œx B D. 1 ; : : : ; n / Observação 1.19 Tendo alcançado esse ponto, não deixa de ser interessante comparar três concepções do plano. A primeira concepção é o plano como espaço euclidiano, o espaço da geometria clássica. Esse espaço é completamente homogêneo: se, de repente, um objeto fosse transportado para esse plano, não haveria como localizá-lo. Todos os pontos são absolutamente iguais. A segunda concepção é o plano como espaço vetorial. Nesse caso, existe um ponto excepcional: a origem. Um objeto transportado para o plano apenas distinguiria sualocalizaçãocomoocupandoaorigemounão.aterceiraconcepçãovemcoma introdução de coordenadas, e cria o plano da geometria analítica clássica. Aqui a localização de cada ponto é muito bem determinada por suas coordenadas. O isomorfismo entre um espaço de dimensão finita n e o K n introduz a possibilidade de medirmos distâncias ou mesmo ângulos. Essa possibilidade será estudada posteriormente, especialmente nos Capítulos 8 e Somas Diretas Definição 1.20 Sejam A; B subconjuntos de um espaço vetorial X. Denotamos por A C Boconjuntodetodososvetores x C y,com x 2 Aey 2 B. Proposição1.21 Sejam U; V subespaçosde X.Então U C V ésubespaçode X. Osubespaço U C V échamadosomadossubespaços U e V.

4 ALinear 2011/2/26 14:45 page 7 #25 ALinear 2011/2/26 14:45 page 8 # Somas Diretas 7 8 Base e Dimensão Cap. 1 Demonstração: Se z 1 D x 1 C y 1 e z 2 D x 2 C y 2 foremelementosde U C V e 2 K,entãoclaramente z 1 C z 2 2 U C V (vejaoexercício4). Teorema 1.24 Seja X um espaço vetorial de dimensão finita. Então vale:.i/ todosubespaço Y de Xpossuidimensãofinita; Definição1.22 Sejam U; V subespaçosde X. Osubespaço W D U C V éa somadiretadossubespaços U e V secadaelemento w 2 W puderserescritode maneira única como w D x C y: Nessecasodenotamos W por W D U V..VejaaFigura1.1./ Adefiniçãodesomadiretapodesergeneralizadaparaasomadeumnúmero finito de subespaços de X. Assim, W D V 1 C : : : C V n é a soma direta dos subespaços V 1 ; : : : ; V n de Xsecadaelemento w 2 W puderserescritodemaneira únicanaforma w D v 1 C : : : C v n. v u V.u; v/ 2 U V Figura 1.1: Se W D U V,umponto w 2 W escreve-sedemaneiraúnicacomo w D u C v. U.i i/ todo subespaço Y possui um complemento Z X, isto é, existe um subespaço Zde Xtalque X D Y Z: Demonstração:Se Y D f0g,então ÑY D 0.Casocontrário,tome 0 y 1 2 Y. Seexistir y 2 2 Y linearmenteindependentecom y 1,consideramosentãooconjunto fy 1 ; y 2 g.seesseconjuntogerar Y,temosumabase.Senão,podemosacrescentar y 3 2 Y linearmente independente com y 1 e y 2. Procedendo assim, obtemos sucessivamente conjuntos linearmente independentes, cada um contendo o anterior. De acordo com o Lema 1.10, esse processo só pode continuar enquanto esses conjuntostiveremmenoselementosdoqueadimensãode X.Obtemosassimuma base fy 1 ; : : : ; y j gpara Y. Aplicando então o Teorema 1.14, essa base pode ser completada até obtermos umabase fy 1 ; : : : ; y j ; x 1 ; : : : ; x n j gpara X.Defina Zcomooespaçodetodasas combinaçõeslinearesdoselementos x 1 ; : : : ; x n j. Claramente Zéumsubespaço de X e Z \ Y D f0g.logo,pelaproposição1.23,temos X D Y Z. 1.4 Espaço Quociente Proposição1.23 Osubespaço W D U C V éasomadiretadossubespaços U; V de X se,esomentese, U \ V D f0g. Definição1.25 Seja Y umsubespaçode X. Se x 1 ; x 2 2 X, dizemosque x 1 é congruenteax 2 módulo Y,escrito x 1 x 2ÑÓ Y; Demonstração:Suponhamosque W D U V.Se z 2 U \ V então w D x C y tambémpodeserescritocomo w D.x C z/ C.y z/. Comoadecomposição w D x C yéúnica,devemoster x D x C ze y D y z. Assim, z D 0(vejao Exercício 2.) Reciprocamente,suponhamosque x 1 Cy 1 e x 2 Cy 2 sejamduasdecomposições de w 2 W.Então x 1 x 2 D y 2 y 1 pertencemsimultaneamenteau e V.Logo x 1 x 2 D 0 D y 2 y 1,garantindoaunicidadedadecomposição. Noteque,se fu 1 ; : : : ; u k ; v kc1 ; : : : ; v n gforbasede W,então W D U V, com U D< u 1 ; : : : ; u k >ev D< v kc1 ; : : : ; v n >. se x 1 x 2 2 Y. Podemos dividir o espaço X em diferentes classes de equivalência módulo Y (vejaoexercício31). Denotaremosaclassecontendooelemento x por Œx. (Cuidadoparanãoconfundiressanotaçãocom Œx B,queéarepresentaçãodovetor xnabaseb.) Definição1.26 Se Œx e Œz forem classes de equivalência módulo Y e 2 K, definimos Œx C Œz D Œx C z ; Œx D Œx :

5 ALinear 2011/2/26 14:45 page 9 #27 ALinear 2011/2/26 14:45 page 10 # Espaço Quociente 9 10 Base e Dimensão Cap. 1 Com essas operações, o conjunto de todas as classes de equivalência módulo Y torna-se um espaço vetorial, denotado por X ou X=Y Y edenominadoespaçoquocientede X por Y. Aclassedeequivalência Œx muitasvezesérepresentadapor x C Y. A rigor, precisamos mostrar que as operações em X=Y estão bem definidas, isto é, independem dos representantes de cada classe de equivalência. Portanto, suponhamosque x 1 2 Œx ez 1 2 Œz. Então x 1 D x C y 1 e z 1 D z C y 2,com y 1 ; y 2 2 Y.Mas,então, x 1 C z 1 D x C y 1 C z C y 2 D x C z C.y 1 C y 2 /e,assim, x 1 C z 1 x C zñó Y. Domesmomodo, x 1 D x C.y 1 /ex 1 x ÑÓ Y. Exemplo1.27 Seja X umespaçovetorialqualquer. Se Y D X,então X=Y D fœ0 g,pois x 0ÑÓ Y paratodo x 2 X. Poroutrolado,se Y D f0g,então X=Y D X,pois x yñó Y implica x D y. Exemplo1.28 Seja Y R 2 osubespaçodefinidopor Y D f.x; y/ j 2y D xg. (Emoutraspalavras, Y éaretadeequação 2y D x). NaFigura1.2,osvetores w 1 ; : : : ; w 5 pertencemtodosàmesmaclasse. Assim,ovetor Œw 1 C Y 2 R 2 =Y é umaretaparalelaàreta 2y D x.oespaçoquocienter 2 =Y éformadoportodasas retasparalelasàreta 2y D x. y w 5 Œw 1 w 4 w 3 w 2 Y w 1 2 x Exemplo1.29 Seja x 2 K n econsidere Y osubespaçodetodososvetorescujas duas primeiras coordenadas são nulas. Então dois vetores são congruentes módulo Y se, e somente se, suas duas primeiras coordenadas forem iguais. Isto é,.x 1 ; x 2 ; x 3 ; : : : ; x n /.y 1 ; y 2 ; y 3 ; : : : ; y n /ÑÓ Y, x 1 D y 1 e x 2 D y 2 : Aclassedeequivalênciade x 2 K n podeservistacomoumvetorcomduas componentes, dadas pela primeira e segunda coordenadas de x. Teorema 1.30 Consideremos a decomposição X D Y Z: Entãoaaplicação QW Z! X=Y definidapor Q.z/ D Œz éumisomorfismo canônico..um isomorfismo é canônico, se ele independer de escolhas de bases nos espaços envolvidos./ Assim, se X tiver dimensão finita e fz 1 ; : : : ; z j g for uma base de Z, então fœz 1 ; : : : ; Œz j géumabasede X=Y.Portanto, ÑX=Y D ÑZ D ÑX ÑY: Demonstração:Definimos QW Z X! X=Y por Q.z/ D Œz.Aaplicação Qé claramente linear. Cadaclasse Œx 2 X=Y temcomorepresentanteumelemento x 2 X. Mas, existe uma única decomposição x D y C z, com y 2 Y e z 2 Z. Assim, Œx D Œy C z D Œz,mostrandoque Qésobrejetor. Suponhamosque Œz 1 D Œz 2.Então z 1 D z 2 Cy,com y 2 Y.Mas,issoimplica z 1 z 2 D y 2 Y.Como z 1 z 2 2 Z,concluímosque z 1 z 2 D 0,completandoa demonstração. Figura 1.2: Osubespaço Y éareta 2y D x. Osvetores w 1 ; : : : ; w 5 pertencemtodosàmesma classe.oespaço R 2 =Y éformadoportodasasretasparalelasàreta 2y D x. Sem dificuldades, podemos estender a interpretação geométrica aqui apresentada ao caso geral. Exemplo1.31(ContinuaçãodoExemplo1.28) NaFigura1.3, oespaço R 2 éa somadiretadossubespaços Y e Z. Aaplicação Qassocia Œw 2 X=Y aoponto z 0 2 Z,(única)interseçãodareta Œw comosubespaço Z. 1.5 Exercícios 1. Seja X umespaçovetorial. Se xforoinversoaditivode x 2 X,mostre que x D. 1/x.

6 ALinear 2011/2/26 14:45 page 11 #29 ALinear 2011/2/26 14:45 page 12 # Exercícios 11 y Z Œw z 0 Y x 12 Base e Dimensão Cap. 1.a/ Mostreque U éumespaçovetorialcomelementoneutroaditivo.1; 1/..b/ Mostreque,se v 1 D.e; 1/ev 2 D.1; e/,entãob D fv 1 ; v 2 géumabase de U (estamos denotando por e a base dos logaritmos naturais)..c/ Defina T W U! R 2 por T.z/ D Œz B,emque Œz B éarepresentaçãode z nabaseb.mostreque T éumisomorfismo..d/ Encontre todos os subespaços unidimensionais de U. Figura 1.3: Areta Œw 2 X=Y interceptaosubespaço Znoponto z Seja X umespaçovetorial. Mostreque 0 2 X éúnicoeque 0 D 0 2 X paratodo 2 K.Mostretambémque 0x D 0paratodo x 2 X. 3. Seja X D f.x 1 ; : : : ; x n / j x i 2 Kg.Definaasoma x C ydamaneirausuale x D 0paratodo 2 Kex 2 X.Verifiquequaispropriedadesdadefinição de espaço vetorial são satisfeitas. 4. Seja Xumespaçovetorial.Mostreque Y Xéumsubespaçose,esomente se, x C y 2 Y paraquaisquer x; y 2 Y e 2 K. 5. Se X for um espaço vetorial, mostre que os conjuntos X e f0g (que consiste apenas do elemento neutro aditivo) são subespaços de X, chamados subespaços triviais. 10. Seja S X um subconjunto arbitrário do espaço vetorial X. Mostre que o conjunto de todas as combinações lineares dos elementos de S é um subespaço de X, chamado (sub)espaço gerado por S e denotado por < S >. Mostre que, se Y X for um subespaço tal que S Y, então < S > Y. (Esseexercíciogeneralizaoprocedimentousadona demonstração do Teorema 1.24). 11. Seja X um espaço vetorial. Se S X for linearmente independente, mostre que 0 62 S. Mostre que, se um conjunto possuir um subconjunto linearmente dependente, então esse conjunto é linearmente dependente. 12. Qual a razão, na demonstração do Lema 1.10, de substituirmos sempre umdoselementos x j ; : : : ; x n doconjunto fx j ; : : : ; x n ; y 1 ; : : : ; y j 1 gporum doselemento y 1 ; : : : ; y j 1? Porquenãopodemossubstituir y j porumdos elementos y 1 ; : : : ; y j 1? 13. Seja S D f1; z; z 2 ; : : : ; z n ; : : :g.mostreque SéumabasedeKŒz. 6. Seja S ;. GeneralizeoExemplo1.3emostreque ff W S! K n géum espaço vetorial. 14. Seja T W X! Y umaaplicaçãolinearedefina ÖT WD fv 2 X j T v D 0g. Mostreque T éinjetorase,esomentese, ÖT D f0g. 7. Seja V K n oconjuntodetodasas n-uplasda forma.0; 0; x 3 ; : : : ; x n /. Mostreque V éumsubespaçodek n. 8. Seja B D fx 1 ; : : : ; x n gumabasedoespaçovetorial X. Mostrequecada elemento x 2 X escreve-se de maneira única como combinação linear dos elementos de B.(Compare com a Definição 1.15.) 9. Seja U D f.x; y/ 2 R 2 j x > 0; y > 0g. Se z 1 D.x 1 ; y 1 /ez 2 D.x 2 ; y 2 / foremelementosde U e 2 R,defina z 1 C z 2 D.x 1 x 2 ; y 1 y 2 /; z 1 D.x 1 ; y 1 /: 15. ExibaumisomorfismoentreK n ek n Œz. 16. Defina K 1 como o espaço de todas as sequências.z 1 ; : : : ; z n ; : : :/ com a soma e multiplicação por escalar definidas de maneira natural. Mostre que K 1 éumespaçovetorial. Considereseusubespaço K 1 0,formadoportodas assequênciassatisfazendo z i D 0,excetoparaumnúmerofinitodeíndices. MostrequeK 1 0 éisomorfoaoespaço KŒz. 17. Sejam T W X! Y e SW Y! Zaplicaçõeslineares. Mostrequeacomposta S ı T D ST éumaaplicaçãolinear.

7 ALinear 2011/2/26 14:45 page 13 #31 ALinear 2011/2/26 14:45 page 14 # Exercícios Base e Dimensão Cap Seja T W X! Y umisomorfismoentreosespaços X e Y. Mostrequea inversa T 1 W Y! Xélinear. 19. Mostrequetodoespaçovetorialdedimensão nsobreocorpo Kéisomorfo a K n. Esseisomorfismoéúnico? Concluaquequaisquerdoisespaçosde dimensão nsobreomesmocorpo Ksãosempreisomorfos.Osespaços R n e C n sãoisomorfos? M nn.k/ j A t D Ag, em que A t denota a transposta da matriz A (veja 3.12paraadefiniçãodatranspostadeumamatriz); definaoconjuntodas matrizes anti-simétricas A D fa 2 M nn.k/ j A t D Ag. Mostre que M nn.k/ D S A. 29. Mostreque U \ V éumsubespaçode X,se U e V foremsubespaçosde X. Osubespaço U \ V éainterseçãodossubespaços U e V. 20. Sejam X, Y espaçosvetoriaisdedimensãofinitasobreocorpo K. Mostre que,se T W X! Y forumisomorfismo,entãoaimagempor T detodabase de X éumabasede Y.Emparticular, ÑX D ÑY. 21. Seja B D fx 1 ; : : : ; x n gumabasede X e Y umespaçovetorial. Escolha arbitrariamente y 1 ; : : : ; y n 2 Y. Mostre que existe uma única aplicação linear T W X! Y talque T.x i / D y i para i D 1; : : : ; n. Concluaque, se fy 1 ; : : : ; y n gforumabasede Y,então T éumisomorfismo. 30. Seja X um espaço vetorial e W 1 ; W 2 subespaços. Mostre que, se X D W 1 [ W 2,então X D W i parapelomenosalgum i 2 f1; 2g. 31. Seja umarelaçãodeequivalência 2 numconjunto A.Dado x 2 A,denote cl.x/ WD fy 2 A j y xg aclassedeequivalênciadoelemento x.mostreque Apodeserescritocomo uma união disjunta de suas classes de equivalência. 22. Mostreque Séumabasede Xse,esomentese,todoelemento x 2 Xpuder ser escrito de maneira única como combinação linear dos elementos de S. 32. Mostre que a congruência módulo Y é uma relação de equivalência. 33. Seja Y umsubespaçode Xcom ÑY D ÑX.Mostreque Y D X. 23. Seja Xumespaçovetorialdedimensão n.se S D fy 1 ; : : : ; y n g Xforum conjuntolinearmenteindependente,mostreque Séumabasede X. 24. Sejam Xumespaçovetorialdedimensão nes D fy 1 ; : : : ; y n gumconjunto quegera X.Mostreque Séumabasede X. 25. Seja X umespaçovetoriales D fx 1 ; : : : ; x k gumsubconjuntolinearmente dependente formado por vetores não-nulos do espaço X. Mostre que um deles é combinação linear dos vetores precedentes. 34. Seja W R 3 osubespaço(verifique!) formadoportodasassoluçõesda equação linear homogênea 2x C 3y C 4z D 0. Descreva as classes de equivalência da congruência módulo W. 35. Sejam XumespaçovetorialeM; Nsubespaços.Dêexemplodessesespaços, demodoque.a/ nem M,nem X=M tenhadimensãofinita;.b/ X=M tenhadimensãofinita,mas X=N nãotenha. 26. Sejam X umespaçodedimensão nev 1 V k umasomadiretade subespaçosde X.Mostreque k n: 27. Sejam XumespaçodedimensãofinitaeU; V subespaçosde X.Mostreque Ñ.U C V / D ÑU Ñ.V 1 V k / D ÑV C ÑV Ñ.U \ 1 C : : : C ÑV V /. 28. Denotaremos por M nn.k/ o conjunto das matrizes n n com entradas no corpo K. Defina o conjunto das matrizes simétricas S D fa Seja T W X! X umoperadorlinearew umsubespaçoinvariantepor T, istoé, T.W / W. Considereaaplicação NT W X! X=W definidapor NT.x/ D ŒT x.mostreque NT élineareque,se q 2 KŒz satisfizer q.t / D 0, então q. NT / D Seja W X umsubespaçoeqw X! X=W aaplicaçãoquocientedefinida por Q.x/ D Œx.Seja Y Xoutrosubespaçode X.Mostreque X D W Y se,esomentese,arestrição Qj Y W Y! X=W forumisomorfismo. 2 Querdizer,se x; y; z 2 A,então:.i/ x x;.i i/se x y,então y x;.i i i/se x ye y z,então x z.

8 ALinear 2011/2/26 14:45 page 15 #33 ALinear 2011/2/26 14:45 page 16 # Exercícios Asomadiretadeespaçosvetoriais X 1 ; X 2 éoconjunto X 1 X 2 detodosos pares.x 1 ; x 2 /com x 1 2 X 1 e x 2 2 X 2.Definindoadiçãoemultiplicaçãopor escalarcoordenadaacoordenada,mostreque X 1 X 2 éumespaçovetorial. Se X 1 e X 2 tiveremdimensãofinita,então Ñ.X 1 X 2 / D ÑX 1 C ÑX 39. Seja Y umsubespaçode X.Mostreque XéisomorfoaY X=Y Dualidade Este Capítulo apresenta, para o caso de espaços de dimensão finita, uma primeira versão do Teorema de Representação de Riesz e também o isomorfismo canônicoentreoespaço X eobidual X 00. Elepodesersuprimidonumaprimeira leitura ou a critério do instrutor. 2.1 OEspaçoDual Existem muitas maneiras de produzir espaços vetoriais a partir de espaços ou subespaçosconhecidos. Porexemplo,se M forumsubespaçode X,então X=M é um novo espaço vetorial. Ou, dados os espaços vetoriais X e Y, podemos consideraroespaço X Y,apresentadonoExercício38doCapítulo1. Apresentaremos agora uma forma importante de obter um novo espaço vetorial, partindodoespaço X: Definição 2.1 Se X for um espaço vetorial sobre K, consideremos o conjunto X 0 D f`w X! K j `élinearg: De maneira natural vemos que X 0 tem uma estrutura de espaço vetorial, se definirmos,para `; m 2 X 0 e 2 K,.` C m/.x/ D `.x/ C m.x/;.`/.x/ D `.x/: Comessasoperações, X 0 D f`w X! K j `élineargdenotaoespaçodual 1 de X. Oselementosde X 0 sãochamadosdefuncionaislineares. 1 Também chamado espaço dual algébrico do espaço X, em contraposição ao espaço dual topológico definido em textos de Análise Funcional. Em espaços de dimensão finita as definições coincidem. 16

9 ALinear 2011/2/26 14:45 page 17 #35 ALinear 2011/2/26 14:45 page 18 # O Espaço Dual Dualidade Cap. 2 Exemplo2.2 Seja X D ff W Œ0; 1! R j f écontínuag.defina `.f / D R 1 0 f.s/ds e,para s 0 2 Œ0; 1 fixo, m.f / D f.s 0 /.Éfácilverificarque ` 2 X 0 e m 2 X 0. Observação2.5 A parte.i i i/ do Teorema 2.4 é uma versão do Teorema de Representação de Riesz; veja o Teorema Exemplo2.3 Defina 1 WK n! Kpor 1.x 1 ; : : : ; x n / D x 1.Então 1 2.K n / 0. Seja fx 1 ; : : : ; x n gumabasedoespaçovetorial X.Então,paratodo x 2 X,existem escalares `1.x/; : : : ; `n.x/taisque x D `1.x/x 1 C : : : C `n.x/x n : Osescalares `i.x/sãojustamenteascoordenadasde x nabase fx 1 ; : : : ; x n g. (Querdizer,se x D 1x 1 C : : : C nx n, `i.x/denota i.) Teorema2.4 Sejam B D fx 1 ; : : : ; x n gumabasede Xe x D `1.x/x 1 C : : : C `n.x/x n : Então,se ı ij denotar 0,se i j,e1,se i D j,temos:.i/ `iw X! Kéumfuncionallineare`i.x j / D ı ij,para i; j 2 f1; : : : ; ng;.i i/ oconjunto f`1; : : : ; `ngéumabasede X 0,chamadadebasedualdabaseB;.i i i/ se m 2 X 0,então m.x/ D `1.x/m.x 1 / C : : : C `n.x/m.x n /:.iv/ paratodo 0 x 2 X,existe m 2 X 0 talque m.x/ 0. Demonstração:Suponhamosque x D 1x 1 C: : :C nx n e y D ˇ1x 1 C: : :Cˇnx n (querdizer, `i.x/ D i e `i.y/ D ˇi). Então x C y D. 1 C ˇ1/x 1 C : : : C. n C ˇn/x n e,portanto, `i.x C y/ D i C ˇi D `i.x/ C `i.y/,mostrando.i/. Quanto à afirmação.i i/, suponhamos que 1`1 C : : : C n`n D 0 2 X 0. Avaliandoessefuncionalsucessivamentenosvetores x 1 ; : : : ; x n,concluímosque 1 D : : : D n D 0.Sejaagora m 2 X 0.Então m.x/ D m. 1x 1 C : : : C nx n / D 1m.x 1 / C : : : C nm.x n / D `1.x/m.x 1 / C : : : C `n.x/m.x n /; provandonãoapenasque `1; : : : ; `ngeram X 0,mastambémaafirmação.i i i/. Se x 0,entãoalgumacoordenada `i.x/naexpressão x D `1.x/x 1 C : : : C `n.x/x n nãoénula.considerando m D `i,obtemos.iv/. Umavezque X 0 éumespaçovetorial,esseespaçotemoseudual,queserá denotadopor X 00 echamadodebidualde X. Noteque X 00 é, pordefinição, o espaço vetorial de aplicações lineares X 00 D flw X 0! K j Lélinearg: Quer dizer, L é uma transformação linear que associa, a cada funcional linear `W X! K,onúmero L.`/ 2 K. Oselementosde X 00 são,aparentemente,complicados. Mostraremosque,em espaços de dimensão finita, as aplicações lineares em X 00 estão canonicamente associadasaosvetoresdoespaço X. Querdizer,existeumisomorfismoentre X e X 00 queindependedautilizaçãodebasesnessesespaçosvetoriais. (Aexistência deumisomorfismoentreessesespaçosétrivial: se ÑX D n,oteorema2.4 garanteentãoque ÑX 00 D ÑX 0 D ÑX D n. Espaçosvetoriaisdemesma dimensão são sempre isomorfos: veja o Exercício 19 do Capítulo 1.) Lema2.6 Paracada x 2 Xfixo,considereaaplicação L x W X 0! Kdefinidapor L x.`/ D `.x/: Querdizer, L x associaacadafuncionallinear ` 2 X 0 ovalorque `assumeno ponto x.então L x 2 X 00. Demonstração:Suponhamosque `; m 2 X 0.Então,se 2 K, L x.` C m/ D.` C m/.x/ D `.x/ C m.x/ D L x.`/ C L x.m/: (Compare essa demonstração com o Exemplo 2.2.) Teorema2.7 Seja X umespaçovetorialdedimensãofinita.entãoosespaços X 00 e X são canonicamente isomorfos. Mais precisamente, todo elemento do espaço X 00 édaforma L x,paraalgum x 2 X. Demonstração: Apesar de ser constituída de etapas simples, a idéia da prova é relativamenteelaborada. Definimos D fl x j x 2 X g. Querdizer,oselementos de são as aplicações lineares definidas no lema anterior. Vamos mostrar, em primeiro lugar, que é um subespaço de X 00. Depois, mostraremos que X é.assim, Ñ isomorfoa D n D ÑX.Issoquerdizerque D X

10 ALinear 2011/2/26 14:45 page 19 #37 ALinear 2011/2/26 14:45 page 20 # O Espaço Dual Dualidade Cap. 2 Sejam L x ; L y 2 e 2 K. Consideremos L x C L y. Queremosmostrar queessaaplicaçãolinearéumelementode,istoé, L x C L y D L z paraalgum z 2 X.Temos,para ` 2 X 0,.L x C L y /.`/ D L x.`/ C L y.`/ D `.x/ C `.y/ D `.x C y/ D L xcy.`/: Issomostraque éumsubespaçode X 00.Agoradefinimos: T W X! x 7! L x : Vamosmostrarque T éumisomorfismoentre Xe.Temosque T.x C y/ D L xcy D L x C L y D T.x/ C T.y/; deacordocomoquemostramosnaprimeiraparte. Aaplicação T ésobrejetora, pordefinição. Ainjetividadetambéméclara: se T.x/ D T.y/,então L x D L y e, portanto, L x.`/ D L y.`/ para todo ` 2 X 0. Mas, então, `.x/ D `.y/ e `.x y/ D 0paratodo ` 2 X 0. Mas,istoimplica x y D 0,deacordocom o Teorema 2.4,.iv/. Isto mostra a injetividade e completa a demonstração. Uma consequência do Teorema 2.7 é que a construção de novos espaços vetoriais por meio de duais do espaço de dimensão finita X, esgota-se, senão no próprioespaço X 0 (que já é isomorfo a X), por certo no espaço X 00, que é canonicamente isomorfo ao espaço X. Concluímos este capítulo com a seguinte aplicação dada por Lax [22], surpreendente à primeira vista: Teorema2.8 Sejam t 1 ; : : : ; t n pontos distintos do intervalo I. Então existem constantes 1; : : : ; ntaisque Z p.t/dt D 1p.t 1 / C : : : C np.t n / I paratodopolinômio pdegraumenordoque n. Demonstração:Oespaço K n Œt detodosospolinômios p.t/ D a 0 C a 1 t C : : : C a n 1 t n 1 degraumenordoque néisomorfoak n e,portanto,temdimensão n. Definimos `j.p/ D p.t j /. Então `j 2.K n Œt / 0. Afirmamosque f`1; : : : ; `ngé linearmente independente. De fato, suponhamos que 1`1 C : : : C n`n D 0 2.K n Œt / 0 : Isso implica Considere os polinômios 1 p.t 1 / C : : : C n p.t n / D 0; 8 p 2 K n Œt : (2.1) q i.t/ D ny j D 1 j i.t t j /: Cada polinômio q i possui exatamente n 1 raízes nos pontos t j, com j i. Substituindosucessivamenteospolinômios q i narelação.2:1/,obtemos i q.t i / D 0,oqueimplica i D 0. Issomostraque f`1; : : : ; `ngélinearmenteindependente em.k n Œt / 0 e,portanto,umabasedesseespaço. Assim, todo funcional linear `WK n Œt! R é uma combinação linear dos funcionais `1; : : : ; `ne,portanto, ` D 1`1 C : : : C n`n para escalares 1; : : : ; n 2 K. O resultado segue-se daí ao considerarmos o funcional linear Z p 7! p.t/dt: 2.2 Exercícios I 1. Considereabase B WD fv 1 ; v 2 gdo R 2,emque v 1 D.2; 1/ev 2 D.3; 1/. AcheabasedualdeB. 2. Seja R n Œt o espaço de todos os polinômios (com coeficientes em R) de graumenordoque n(naincógnita t). Mostrequeasseguintesaplicações pertencemaodualder n Œt :.a/ i.p.t// D a i paratodo i D 0; 1; : : : ; n 1,se p.t/ 2 R n Œt fordado por p.t/ D a 0 C a 1 t C : : : C a n 1 t n 1 ;.b/ J.p.t// D R 1 0 p.t/dt,paratodo p.t/ 2 R nœt. 3. Considereoespaço R 2 Œt,comoantes.Sejam `1WR 2 Œt! Re`2WR 2 Œt! R dadas por `1.p.t// D R 1 0 p.t/dt e `2.p.t// D R 2 0 p.t/dt. Mostre que B 0 D f`1; `2géumabasede.R 2 Œt / 0. Acheabase fv 1 ; v 2 gde R 2 Œt daqual B 0 édual.

11 ALinear 2011/2/26 14:45 page 21 #39 ALinear 2011/2/26 14:45 page 22 # Exercícios Dualidade Cap Considere a demonstração do Teorema 2.7. Se X tiver dimensão infinita, o que podemos concluir? 5. Sejam X umespaço vetorialarbitrárioef W X! Kumfuncionallinear não-nulo. X T Y ` ` ı T K.a/ Mostreque Öf temcodimensão1,istoé,existe w 2 X talque X D Öf < w > (< w >denotaoespaçogeradopor w 2 X)..b/ Se gw X! Kforoutrofuncionallinear,então géummúltiploescalar de f se,esomentese,onúcleode gcontiveronúcleode f. r.c/ Sejam '; f 1 ; : : : ; f r funcionaislinearesnoespaço X. Mostreque 'é combinaçãolinearde f 1 ; : : : ; f r se,esomentese, Öf 1 \ \ Öf Ö'. 6. Sejam XumespaçovetorialeS Xumsubconjuntoarbitrário.Oanulador de S éoconjunto S 0 D ff 2 X 0 j f.s/ D 0 8 s 2 Sg. Mostreque S 0 é subespaçode X Seja Y X umsubespaçodoespaçovetorialdedimensãofinita X.Mostre que ÑX D ÑY C ÑY 0. Identificando X e X 00 (deacordocomo Teorema2.7),mostreque Y 00 WD.Y 0 / 0 D Y. 8. Seja S D f.2; 2; 3; 4; 1/;. 1; 1; 2; 5; 2/;.0; 0; 1; 2; 3/;.1; 1; 2; 3; 0/gum subconjuntodo R 5.Obtenhaoanuladorde < S >. (Aaplicação T 0 éatranspostade T. Algunsautoresachamamdeadjunta de T, mas ela não coincide com a aplicação adjunta que será definida posteriormente, no Capítulo 8.).a/ Mostreque T 0 éumaaplicaçãolinear;.b/ se S; T W X! Y foremaplicaçõeslineares,mostreque.s C T / 0 D S 0 C T 0 ;.c/ se SW X! Y e T W Y! Z forem aplicações lineares, mostre que.st / 0 D T 0 S 0 ;.d/ se T W X! Y tiverinversa,mostreque.t 1 / 0 D.T 0 / 1 ;.e/ se X e Y tiveremdimensãofinita,identificando X 00 com X e Y 00 com Y,mostreque T 00 W D.T 0 / 0 éentãoidentificadocom T;.f / se X e Y tiverem dimensão finita, qual a relação entre os núcleos e imagens de T e T 0? (Observação: o núcleo e a imagem de uma aplicação linear estão definidos em 3.10.) 11. Seja X umespaçode dimensãofinita, com X D M N. Considerea projeção W X! M definidapor.x/ D m,se x D m C n. Obtenhaa transposta Seja W X umsubespaçoef W W! Klinear. Mostrequeexisteum funcionallinear 'W X! Kqueestende f,istoé, '.w/ D f.w/paratodo w 2 W. 10. Seja T W X! Y umaaplicaçãolinear. Aaplicação T induzumaaplicação linear T 0 W Y 0! X 0 daseguintemaneira: paracadafuncional `W Y! K, definimos T 0 W Y 0! X 0 por T 0.`/ D `T D ` ı T:

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