UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA BRUNO CESAR CAYRES ANDRADE /

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA BRUNO CESAR CAYRES ANDRADE / ANÁLISE MODAL NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DE UMA CHAPA DE AÇO GALVANIZADO TOTALMENTE ENGASTADA BELÉM 2011

2 BRUNO CESAR CAYRES ANDRADE / AVALIAÇÃO COMPARATIVA ENTRE MODELOS DE ANÁLISES MODAIS NUMÉRICO-EXPERIMENTAIS DE UMA CHAPA VIBRANTE Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Faculdade de Engenharia Mecânica do Instituto de Tecnologia da Universidade Federal do Pará para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico. Orientador: Prof. Dr. Newton Sure Soeiro Coorientador: Prof. Me. Fábio Antônio do Nascimento Setúbal BELÉM 2011

3 BRUNO CESAR CAYRES ANDRADE / AVALIAÇÃO COMPARATIVA ENTRE MODELOS DE ANÁLISES MODAIS NUMÉRICO-EXPERIMENTAIS DE UMA CHAPA VIBRANTE Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico pela Universidade Federal do Pará Submetido à banca examinadora constituída por: Prof. Dr. Eng. Newton Sure Soeiro. UFPA Orientador Prof. Dr. Gustavo da Silva Vieira de Melo UFPA Membro Examinador Prof. Me. Eng. Fábio A. do Nascimento Setúbal UFPA Co-orientador. Julgado em de de 2011 Conceito: BELÉM 2011

4 Aos meus pais, Laury e Gracineide Andrade À minha irmã Camila Andrade

5 AGRADECIMENTOS Primeiramente, a Deus pela oportunidade de viver e por todas as experiências que tive no decorrer dos anos. Aos meus familiares que, por diversos momentos, me ajudaram a seguir em minha vida acadêmica. Em especial, ao meu primo Everton Caires por sempre está ao meu lado. Tenho nele, um irmão mais velho. Aos amigos Leonardo Dias Pereira e Jordane Beltrão de Lima, que desprenderam noites de estudo e momentos de descontração memoráveis. Sem os mesmos, minha trajetória na graduação não seria tão proveitosa quanto foi. Amigos que levarei para vida toda. Ao Eng. Deusdeth de Lima, pai do Jordane, por nos acolher muito bem em sua residência para diversas noites de estudos, sempre nos apoiando a seguir em frente. Aos meus amigos de infância Romulo Pimentel, Antônio Melo Junior, Hamilton Cavalcante e Amanda Alves pela amizade, companheirismo e descontrações. Sei que com os mesmos, poderei sempre contar. Ao Prof. Dr. Newton Soeiro pela orientação, pelos conselhos, por me apresentar mais profundamente à área de vibrações e acústica e pela oportunidade de crescer que me foi apresentada. Ao Prof. Gustavo Melo e ao Prof. Alcides Canêjo por serem exemplos de conduta profissional e pessoal. Ao Eng. Fábio Setúbal pela coorientação e apoio nesta empreitada, sempre disposto a ajudar.

6 Aos meus amigos do Grupo PET de Engenharia Mecânica pelas conquistas e pelas descobertas durante a minha estadia no grupo, bem como os amigos do LabFluidos com muito apoio, principalmente Yuu Itai e Priscila Campos. Ao Grupo de Vibrações e Acústica GVA pelos recursos indispensáveis na realização deste trabalho, bem como aos integrantes deste grupo que sem os mesmos seria difícil essa realização pessoal, em especial, ao Eng. Gabriel Ohana, Eng. Rodrigo Galvão, Danilo Braga e Eng. Adry Kleber de Lima. Aos meus companheiros de graduação que contribuíram direta e indiretamente. Ao Prof. Dr. Severiano Lima pela oportunidade única de um intercâmbio para França através do programa BRAFITEC. Aos amigos que fiz durante minha estadia na França, Matheus Carniatto e Hadrien Zerah pelas descontrações, brincadeiras e estudo. À minha namorada, Bárbara Lavôr, que desperta o melhor de mim. Faz-me sentir mais disposto a enfrentar as barreiras e os problemas que surgem, e surgirão, ao longo da vida. Sem seu apoio, seria impossível a confecção deste trabalho.

7 É melhor atirar-se à luta em busca de dias melhores, mesmo correndo o risco de perder tudo, do que permanecer estático, como os pobres de espírito, que não lutam, mas também não vencem, que não conhecem a dor da derrota, nem a glória de ressurgir dos escombros. Esses pobres de espírito, ao final de sua jornada na Terra não agradecem a Deus por terem vivido, mas desculpam-se perante Ele, por terem apenas passado pela vida. Robert Nesta Marley

8 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS RESUMO ABSTRACT INTRODUÇÃO Motivação Objetivos e Organização do Trabalho Objetivo Geral Objetivos Específicos Organização do Trabalho FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Introdução Hipóteses para Placas e Cascas Método De Elementos Finitos (MEF) Formulação Energética Problemas Estáticos (Energia Potencial) Problema Dinâmico (Princípio de Hamilton) Método de Newmark Análise Modal Softwares Utilizados Ansys Matlab Testlab Modal Assurance Criterion (MAC) MODELGEM COMPUTACIONAL DA CHAPA: MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF) Considerações Iniciais CARACTERÍSTICAS DA CHAPA MODELO NUMÉRICO DA CHAPA NO MEF Geometria Tipo do Elemento Elemento SHELL Elemento MASS Elemento COMBIN Teste de Convergência Validação do Modelo Numérico de Elementos Finitos Primeira Validação do Modelo Numérico de Elementos Finitos... 36

9 Segunda Validação do Modelo Numérico de Elementos Finitos MODELAGEM EXPERIMENTAL DA CHAPA: ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL DA CHAPA CONSIDERAÇÕES INICIAIS MATERIAIS E MÉTODOS ANÁLISE E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS Considerações Iniciais Análise Modal Frequências Naturas e Formas Modais Chapa Com e Sem a massa da Cabeça de Impedância concentrada Influência da rigidez no comportamento modal da chapa Comparação dos dados Numérico-Experimentais Modal Assurance Criteria (MAC) CONCLUSÃO E RECOMENDAÇÕES Conclusão Recomendações REFERÊNCIAS APÊNDICE A - COMPARAÇÃO DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS (ANSYS B&K) 61 APÊNDICE B GRÁFICOS DA FREQUÊNCIA EM FUNÇÃO DA RIGIDEZ ANEXO A ALGORITMO PARA O CÁLCULO DO MAC... 65

10 Lista de Figuras Figura 2.1 Exemplos de estruturas modeladas pelo MEF Figura 2.2 Pontos singulares de uma função F(x) Figura 2.3 À esquerda, resposta no domínio do tempo; à direito: resposta no domínio da frequência Figura 2.4 Superposição das respostas Figura 2.5 Sequência básica de etapas para aplicação do MEF Figura 2.6 Tela inicial do MATLAB Figura 2.7 Interface para elaboração de scripts e functions Figura 2.8 Interface do software Testlab Figura 3.1 Criação dos pontos de base (keypoints) e depois as linhas do retângulo Figura 3.2 Geração da área a partir das linhas (vista frontal e isométrica, respectivamente) Figura 3.3 Geometria do elemento SHELL Figura 3.4 Elemento pontual MASS21 no sistema de coordenada local Figura 3.5 Geometria do Elemento COMBIN Figura 3.6 Teste de convergência de frequência em relação ao número de elementos Figura 3.7 Malha gerada após teste de convergência Figura 3.8 Primeira validação do modelo numérico com base em valores teóricos Figura 3.9 Balança DAYHOME EK Figura 3.10 Vibrômetro, haste conectora e cabeça de impedância Figura 3.11 Novo modelo com a massa concentra (M0) e com a rigidez (K0) Figura 4.1 Câmera geminada Figura 4.2 Câmera e chapa dividida Figura 4.3 Quadro de compensado, furadeira, brocas, e serra tico-tico Figura 4.4 Excitador de vibração da B&K Figura 4.5 PULSE Analyzer Platform 7536 da B&K Figura 4.6 Acelerômetro PCB 353B Figura 4.7 Cabeça de Impedância B&K Figura 4.8 Montagem completa do instrumentos de medida Figura 4.9 Martelo de Impacto da PCB 086C

11 Figura 4.10 Haste flexível conectora e conexão entre o vibrômetro e cabeça de impedância Figura 4.11 Geometria criada no TestLab Figura 5.1 Primeiro modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente Figura 5.2 Segundo modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente Figura 5.3 Terceiro modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente Figura 5.4 Quarto modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente Figura 5.5 Quinto modo de vibração sem massa e com massa concentrada, respectivamente Figura e 2 modo com rigidez de N/m Figura e 2 modo com rigidez de N/m Figura e 2 modo com rigidez de N/m Figura e 2 modo com rigidez de N/m Figura e 2 modo com rigidez de N/m Figura e 2 modo com rigidez de N/m Figura e 2 modo com rigidez de N/m Figura e 2 modo com rigidez de N/m Figura e 2 modo de vibração obtidos no TestLab Figura e 4 modos de vibração obtidos no TestLab Figura e 2 modos de vibração obtidos no TestLab Figura e 4 modo de vibração visualizado pelo TestLab Figura B.1 Relação da frequência natural em função da rigidez para o primeiro modo Figura B.2 Relação da frequência natural em função da rigidez para o segundo modo de vibração Figura B.3 Relação da frequência natural em função da rigidez para o terceiro modo Figura B.4 Relação da frequência natural em função da rigidez para o quarto modo... 64

12 RESUMO Em alguns projetos, são adotados carregamentos estáticos, para simplificação do problema, ou por tratar-se de cargas com aplicação extremamente lenta. No entanto, diversas estruturas e equipamentos, sejam: viadutos, ferrovias, máquinas rotativas, dispositivos do sistema gerador de energia, entre outros, estão submetidos a diversas solicitações estruturais, sobretudo vibrações, que podem provocar desconforto dependendo da sua intensidade, ou mesmo levar a estrutura ao colapso, caso não sejam corretamente calculadas na etapa de projeto. Consequentemente, o controle de vibrações é uma das iniciativas que visa atender as condições de conforto, salubridade e integridade dos sistemas, fazendo-se necessário o estudo de parâmetros de vibração através da análise modal. Tais parâmetros são modos de vibração, frequências naturais e fatores de amortecimento. Assim, neste trabalho, apresenta-se a metodologia a ser usada para a análise modal de uma chapa de aço, uma vez que diversas estruturas são constituídas por este componente, como por exemplo, a tampa de um gerador. Para tanto, apresenta-se a modelagem numérica do problema através do Método de Elementos Finitos (MEF), no programa computacional ANSYS de onde são extraídas as características vibratórias da chapa. A fim de validar o modelo numérico é realizada a análise modal experimental com uma chapa de 518mm x 527mm x 0,9mm, totalmente engastada, primeiro com a utilização de um vibrômetro e, posteriormente com um martelo de impacto. A avaliação dos resultados demonstra que houve algumas incongruências devido às interferências na rigidez e nas formas modais provocadas por alguns componentes do sistema de ensaio. O procedimento adotado e o resultado do experimento são importantes por fornecerem subsídios para ensaios mais detalhados e complementares, como a determinação das características acústicas para estudar os ruídos gerados por vibrações excessivas. Palavras-chave: Vibrações, Análise Modal, Método de Elementos Finitos, Chapa.

13 ABSTRACT In some projects static loads are adopted to simplify the problem or because the load application is extremely slow. However, several structures and equipments, such: viaduct bridges, railways, rotating machines, devices of a power generator system, among others, are submitted to various structural solicitations, particularly vibrations, which can cause discomfort depending on its intensity, or lead to structure to collapse, if not correctly calculated in the project design. Consequently, the vibration control is an initiative that aims to achieve the conditions of comfort, health and integrity of the systems, making it necessary to study the vibration parameters through with modal analysis. These parameters are vibration modes, natural frequencies and damping factors. Thus, this paper presents the methodology to be used for the modal analysis of a steel plate, since different structures are formed by this component, for example, the cover of an electrical generator. For this purpose, presents the numerical modeling of the problem using the finite element method (FEM), in computer program ANSYS, where are extracted the vibration characteristics of the plate. In order to validate the numerical model is performed an experimental modal analysis on a plate with dimensions 518 mm x 527 mm x 0,9 mm, totally clamped, firstly using a vibrometer and later using an impact hammer. The evaluation of the results shows that occurred some inconsistencies due to interference in the mode shapes and the stiffness caused by some components of the test system. The procedure adopted and the results of the experiment are important because they provide subsidies for more detailed and complementary tests, such as determining the acoustic characteristics to study the noise generated by excessive vibrations. Keywords: Vibrations, Modal Analysis, Finite Element Method, Plate

14 14 1. INTRODUÇÃO 1.1. Motivação Avaliações das propriedades dinâmicas de uma estrutura mostram-se importantes para descrição dos comportamentos quando estas estão submetidas a esforços que possam excitar os modos de vibração. Saber quais são as características dinâmicas dos sistemas estruturais evita erros graves de projeto. Isso é feito através da análise modal, que pode ser experimental ou numérica. Em um sentido amplo, pode-se dizer que a análise modal é um processo por meio do qual se descreve uma estrutura em termos de suas características naturais, que são as frequências naturais, os fatores de amortecimento e as formas modais (SOEIRO, 2001). Dentre várias aplicações, a análise modal experimental é utilizada como validação de modelos numéricos. Sousa (2008) explica que esse procedimento é bastante comum, pois se tem a necessidade de desenvolver um modelo que represente com fidelidade a estrutura em estudo. No caso da construção civil existem muitas estruturas metálicas submetidas aos efeitos corrosivos da umidade e da salinidade presentes na atmosfera. Tais efeitos promovem o desgaste progressivo das estruturas. Portanto, recomenda-se que periodicamente seja realizado um teste de vibração nestas estruturas, que consiste na aplicação de uma carga impulsiva como o martelo de impacto em alguns pontos da estrutura e a captação da resposta proveniente desta excitação (GALVÃO, 2011 apud RIZZATI, 1999), uma vez que diante das mudanças mecânicas, também ocorrem mudanças nas propriedades dinâmicas. No entanto, existem dificuldades nas análises modais experimentais com objetivo de validar um determinado modelo numérico. Equipamentos mal calibrados, falta de estrutura adequada para confecção do modelo, problemas com sensores e sistemas de aquisição de dados, ou rotinas de otimização demoradas podem inferir empecilhos na obtenção dos resultados. No âmbito industrial, as dificuldades são ainda maiores. A disponibilidade do maquinário nem sempre favorece o processo de medição e quando este se encontra disponível, na maioria das vezes, o processo tem que ser feito uma única vez. Este trabalho contém a análise modal numérica e experimental de uma chapa de aço galvanizado, totalmente engastada e submetida à vibração que foi realizada no Laboratório de Vibrações e Acústica da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Pará

15 15 (LVA/FEM/UFPA). São realizadas comparações entre diferentes modelos e, ao final, obtêmse informações importantes sobre configuração, procedimentos experimentais e numéricos na aquisição de dados para a caracterização dinâmica da estrutura, além de embasamento para futuros trabalhos envolvendo análises vibro-acústica e projetos de absorvedores dinâmicos em chapas Objetivos e Organização do Trabalho Objetivo Geral O objetivo geral deste trabalho é realizar a análise modal experimental e numérica de uma chapa de aço galvanizado totalmente engastada Objetivos Específicos 1 Fazer um modelo em Elementos Finitos da chapa usando elementos do tipo SHELL para obter as frequências naturais e os modos de vibração. 2 Fazer uma análise modal experimental impulsiva com um vibrômetro e obter as propriedades dinâmicas da estrutura. 3 - Fazer outra análise modal experimental impulsiva, desta vez, com o martelo de impacto. 4 Discriminar as incongruências obtidas entre os modelos a fim de evitar possíveis erros de medição em futuros trabalhos a desenvolver Organização do Trabalho O trabalho aqui exposto apresenta 6 (seis) capítulos, divididos da seguinte forma: No Capítulo 1 é apresentada uma explanação sobre a importância do estudo de vibrações, mais precisamente, no que concerne a caracterização dos parâmetros dinâmicos. Ainda neste capítulo, encontra-se um histórico e importância sobre a análise modal e suas aplicações em campo, além do objetivo geral e objetivos específicos deste trabalho.

16 16 No Capítulo 2 é apresentada a fundamentação teórica necessária para abordagem do assunto aqui proposto bem como alcançar os objetivos que este trabalho tem por fim. No Capítulo 3 encontra-se a simulação numérica computacional da chapa utilizando o Método de Elementos Finitos (MEF), com a descrição do procedimento adotado para a elaboração da malha e extração das características dinâmicas. Também são descritas as condições de fixação da chapa e a sua geometria. No Capítulo 4 descreve-se o procedimento da análise experimental na câmara germinada em escala reduzida: configuração da chapa; listagem, posição e configuração do equipamento. No Capítulo 5 são feitas comparações entre os diferentes modelos e são apresentados os resultados sobre a correlação entre o modelo numérico e o experimental. No Capítulo 6, por fim, apresentam-se as conclusões sobre os resultados obtidos e recomendações importantes, tendo por base as informações extraídas das análises desenvolvidas. 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1. Introdução Os problemas de engenharia apresentam difíceis soluções analíticas ou apresentam soluções não satisfatórias a partir das simplificações adotadas. Com o avanço tecnológico e o advento de ferramentas computacionais mais robustas, outros métodos de solução podem ser utilizados para obtenção de respostas mais próximas da realidade. Várias abordagens de discretizações finitas, incluindo diferenças finitas, faixas finitas, elementos de contorno e elementos finitos, tem sido largamente utilizadas para estudos de vibrações em chapas. Dentre os diversos softwares comerciais existentes, pode-se citar o ANSYS, que utiliza o Método de Elementos Finitos (MEF) além de outros métodos de solução numérica para as equações diferencias, como por exemplo, Newmark, Houbolt e Wilson-θ. Na modelagem de um sistema real por métodos numéricos, seja uma barragem ou um componente mecânico, por exemplo, é necessário tomar cuidado com alguns parâmetros para que o resultado se aproxime da realidade, principalmente com as condições de contorno e tipo

17 17 de elemento. Por isso é importante criar uma metodologia de validação do modelo numérico a partir de procedimentos experimentais, pois se certifica que tal modelo representa a realidade. Problemas de engenharia vinculados a vibrações, geralmente, abrangem problemas de ruído. Uma estrutura de grande flexibilidade (por exemplo, uma chapa) quando submetida a esforços dinâmicos gera grandes níveis de vibração e ruído, pois, devido a sua configuração geométrica, é facilmente excitada nas frequências naturais Hipóteses para Placas e Cascas Uma placa é um corpo sólido dotado de duas superfícies e considera-se que a espessura é muito pequena quando comparada com as demais dimensões. Algumas hipóteses são adotadas para a Teoria de Placas Finas de Kirchoff (1850), tais como: 1. O ponto médio da placa não sofre deformação permanecendo no plano neutro depois de deformações e flexões. 2. As deformações oriundas do cisalhamento são desprezadas. 3. As componentes de deslocamento na superfície média da placa são pequenas comparadas com espessura. 4. A deformação normal ε zz sob carregamento transversal pode ser negligenciado. A tensão normal transversal ς zz é pequena e, portanto, é negligenciado quando comparada as outras componentes de tensão. Essa teoria incorpora grandes erros e foi necessária uma nova teoria que englobasse deformações por cisalhamento. Em 1947, Reissner adiciona tensões e deformações cisalhantes e Mindlin, em 1951, implementa pequenas modificações criando, como é conhecida na literatura, a teoria de placa espessa ou teoria de Reissner-Mindlin Método De Elementos Finitos (MEF) O método de elementos finitos, MEF, é bastante difundido na engenharia para a análise de diversos tipos de problemas. Esse método possibilita o estudo dos deslocamentos e o cálculo de tensões em diversas estruturas como peças mecânicas, barragens, edifícios entre outros, além de analisar problemas como, fluxo de calor, percolação ou vibrações. Todos

18 18 esses casos tem em comum o fato de se basearem em um problema que envolve a solução de equações diferenciais que relacionam variáveis fundamentais em um domínio definido, onde devem ser satisfeitas as restrições para as variáveis fundamentais e suas derivadas na fronteira do domínio (condições de contorno). Em outras palavras, o MEF, trabalha com a divisão do domínio de integração em um número finito de pequenas regiões denominadas elementos finitos, transformando assim, o meio contínuo em discreto. As simplificações do domínio em análise estrutural se baseiam em três simplificações de geometria presentes nos modelos de barras, placas e cascas. As barras são elementos que possuem o comprimento muito maior que as dimensões de sua seção transversal, enquanto que as placas e cascas possuem uma dimensão muito menor que as outras duas. Para a utilização desse método é importante observar o tipo análise, por exemplo, análise dinâmica ou estática, linear ou não linear, e tipo de estrutura (sólida reticulada ou laminar), pois o modo como o MEF é formulado e aplicado depende das simplificações inerentes a cada tipo de problema. Figura 2.1 Exemplos de estruturas modeladas pelo MEF Fonte: SILVA, Formulação Energética Em virtude da hiperestaticidade (ou seja, múltiplos graus de liberdade existentes nas estruturas analisadas), não é possível determinar a matriz de rigidez das estruturas por equilíbrio sendo necessário, portanto, utilizar métodos energéticos, dentre eles: princípio da

19 19 energia complementar, o principio misto de Reissner, os principios híbridos e o princípio da energia potencial estacionária (ou energia potencial mínima) que será detalhado a seguir. Em termos simples, o termo estacionário pode significar um máximo, um mínimo ou um ponto de sela de uma função qualquer F(x) (Fig 2.2) (SOEIRO, 2003). Para encontrar esses pontos, basta derivar a função em relação à x e igualar a zero. Figura 2.2 Pontos singulares de uma função F(x). Fonte: SOEIRO, Problemas Estáticos (Energia Potencial) Assumindo que um sistema possui uma configuração de referência e uma configuração deformada, diz-se que ele é conservativo se o trabalho realizado pelas forças internas e o trabalho realizado pelas cargas externas independem do caminho percorrido entre as configurações. No regime elástico, o trabalho realizado pelas forças internas é igual, em magnitude, à diferença de energia de deformação. Dentre todas as configurações admissíveis de um sistema conservativo, aquelas que satisfazem as condições de equilíbrio fazem com que a energia potencial total seja estacionária com respeito às pequenas variações de deslocamento. Em outras palavras, considera-se que um corpo elástico submetido a esforços conservativos assume uma energia mínima potencial para uma determinada deformação. Assim, define-se a energia potencial como a soma da energia de deformação U e do trabalho das forças externas (força de campo, forças de superfície e forças nodais) W de acordo com a equação (2.1):

20 20 π p = U + W (2.1) onde o subscrito p significa potencial. dadas por: A energia interna de deformação de um corpo e o trabalho das forças externas são U = ςε dv (2.2) W = ufdv uφ ds n j =1 d j P j (2.3) onde F são forças de campo, φ são forças de superfície, P j são esforços nodais. Existe ainda no método a aplicação de funções de forma para cada um dos nós do elemento. É importante ressaltar que a soma das funções de forma, ou funções interpoladoras é igual a 1, isto é, a função de forma N i x j = 1, para i = j e N i x j = 0 para i j. É possível encontrar na bibliografia diversas funções de forma para vários elementos e suas aplicações. Sendo o sistema elástico linear: ς = Eε (2.4) u j = N i d i + N i+1 d i N n d n (2.5) ε = u j j B = N i j (2.6) (2.7) onde j = x, y, z significa as direções do deslocamento e i refere-se ao nó. Após as operações matemáticas adequadas, chega-se a equação (2.8) abaixo: π p = 1 2 d T B T EBd dv d T P d T N T φ ds d T N T F b dv (2.8)

21 21 onde d é o vetor de deslocamentos; B é matriz da derivada das funções de forma; E é a matriz constitutiva; P vetor de cargas nodais; φ é o vetor de forças de superfície, N é a matriz das funções de forma; e F b é o vetor de forças de campo. O principio da mínima energia potencial deriva π p e o iguala à zero. Essa variação é composta por várias derivadas parciais, equações (2.9) e (2.10), de acordo com o número de graus de liberdade, ou seja: π p = π p (u 1, u 2,, u n ) (2.9) π p u 1 = π p u 2 = π p u 3 π p u n = 0 (2.10) Problema Dinâmico (Princípio de Hamilton) Para análise de problemas dinâmicos é necessário incluir a energia cinética à formulação. O principio de Hamilton, diretamente relacionado ao Principio dos Trabalhos Virtuais, pode ser utilizado e é de fácil manipulação das condições de contorno do problema. A formulação energética assume a seguinte forma de acordo com a equação (2.11): t 2 t 2 δ T π dt + δw t nc dt = 0 (2.11) 1 t 1 onde T é a energia total do sistema; π é a energia potencial total, considerando a energia interna de deformação U e energia potencial de forças conservativas W c ; δw nc é o trabalho de esforços não conservativos, como forças de amortecimento; t 1 e t 2 são os instantes de configurações conhecidos do sistema. Após manipulações algébricas, encontram-se as equações de Euler-Lagrange (Eq. 2.12): d dt T u i T u i + π u i = F i (2.12) com i = 1,2,, n; e n é número de graus de liberdade.

22 22 Com isso, pelas funções de forma para os deslocamentos u i de uma estrutura e as devidas operações nas equações de Hamilton, obtém-se o sistema matricial para o problema dinâmico Método de Newmark Métodos iterativos com incrementos de tempo são muitos utilizados para soluções de equações integrais. Tais métodos numéricos encontram uma resposta aproximada a partir de condições iniciais do sistema em questão. O método de Newmark é um método numérico com incremento temporal bastante difundido para solução das equações de movimento do sistema. N. M. Newmark desenvolveu, em 1959, uma família de métodos de passos-tempo baseado nas equações (2.13) e (2.14) a seguir (CHOPRA, 1995): u i+1 = u i + 1 γ t u i + γ t u i+1 (2.13) u i+1 = u i + t u i + 0,5 β t ² u i + β t ² u i+1 (2.14) Os parâmetros β e γ definem a variação da aceleração sobre o passo de tempo e determina a estabilidade e acurácia características do método. A seleção usual para γ é 1 e 2 1 β 1 é satisfatório de todos os pontos de vista, incluindo de acurácia. As equações (2.13) 6 4 e (2.14) são utilizadas para a solução da equação diferencial de movimento, expressa abaixo pela equação (2.15). Mu i+1 + Cu i+1 + Ku i+1 = P i+1 (2.15) onde M, C e K são, respectivamente, as matrizes de massa, amortecimento e rigidez. Com o passo final de tempo e as equações (2.13), (2.14) e (2.15) é possível encontrar u i+1, u i+1 e u i+1 no tempo i + 1 sabendo u i, u i e u i no tempo i. A iteração é requerida para resolução, pois a incógnita u i+1 aparece do lado direito das equações 2.17 e É possível, ainda, uma simplificação das equações originais de Newmark para sistemas lineares, permitindo a solução das equações (2.13), (2.14) e (2.15)sem iterações. As

23 23 equações (2.16), (2.17), (2.18), (2.19) e (2.20)4 descrevem a hipótese de que a variação da aceleração em um passo de tempo é constante (linear). u (τ) = u i + τ t u i+1 u 1 (2.16) u (τ) = u i + u iτ + τ² 2 t u i+1 u i (2.17) u i+1 = u i + t 2 u i+1 + u i (2.18) u (τ) = u i + u iτ + u i τ² 2 + τ3 6 t u i+1 u i (2.19) u i+1 = u i + u i t + t ² 1 6 u i u i (2.20) onde τ = t. As demais equações são oriundas da equação (2.16) a partir do processo de integração. Os valores obtidos para as o conjunto de equações acima são os mesmo dos valores das equações (2.13) e (2.14) quando γ = 1 e β = 1, assumindo uma variação linear, o 2 6 que verifica a acurácia da simplificação Análise Modal Segundo Silva (2006) apud SCHMIDTBERG e PAL (1986), as vantagens do modelo modal em relação ao modelo espacial são: As propriedades dinâmicas podem ser representadas graficamente de forma mais exata; O modelo modal permite fácil verificação experimental e derivação; Possibilidade de comparação das propriedades dinâmicas de diferentes estruturas; Efeitos de modificações estruturais podem ser mais facilmente investigados.

24 24 Analiticamente, a análise modal é feita a partir da representação do sistema real por seus infinitos pontos, caracterizando o meio contínuo. Porém, na maioria dos casos, essa modelagem torna-se impossível. Métodos numéricos têm sido utilizados para obter essas propriedades, porém, se não é possível à utilização de software devido motivos afins (custo da licença, falta de conhecimentos para o manuseio, etc.), faz-se necessário uma análise modal experimental. Usualmente, aplica-se uma força que varie ao longo do tempo, podendo a sua frequência variar também, e a resposta da estrutura é medida por um acelerômetro fixado em um ponto diferente de onde a força foi aplicada. No domínio do tempo, percebe-se que a resposta varia com a variação da frequência de oscilação da força. Com isso, a estrutura apresenta maiores amplitudes, bem como menores. O entendimento fica melhor quando se manuseiam os dados a fim de visualizá-los no domínio da frequência, ou seja, usando a Transformada de Fourier para obter uma Função Resposta em Frequência (FRF). No gráfico de um FRF observa-se que os picos são os mesmos do gráfico no domínio temporal, essas frequências são as frequências naturais da estrutura (pontos de ressonância). As Fig 2.3 e 2.4 ilustram as respostas da estrutura no domínio do tempo e no domínio da frequência. Figura 2.3 À esquerda, resposta no domínio do tempo; à direito: resposta no domínio da frequência. Fonte: SOEIRO, 2001.

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