MÁRCIO PAIXÃO DANTAS SELEÇÃO NATURAL ESPONTÂNEA EM SISTEMAS PRESA-PREDADOR COM DIFUSÃO

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1 MÁRCIO PAIXÃO DANTAS SELEÇÃO NATURAL ESPONTÂNEA EM SISTEMAS PRESA-PREDADOR COM DIFUSÃO Monografia de graduação apresentada ao Departamento de Ciência da Computação da Universidade Federal de Lavras como parte das exigências do curso de Ciência da Computação para obtenção do título de Bacharel em Ciência da Computação. Orientador Prof. Dr. Antonio Tavares da Costa Júnior Lavras Minas Gerais - Brasil 2005

2 MÁRCIO PAIXÃO DANTAS SELEÇÃO NATURAL ESPONTÂNEA EM SISTEMAS PRESA-PREDADOR COM DIFUSÃO Monografia de graduação apresentada ao Departamento de Ciência da Computação da Universidade Federal de Lavras como parte das exigências do curso de Ciência da Computação para obtenção do título de Bacharel em Ciência da Computação. Áreas de Concentração presa-predador, formação de padrões, evolução Orientador Prof. Dr. Antonio Tavares da Costa Júnior Lavras Minas Gerais - Brasil 2005

3 MÁRCIO PAIXÃO DANTAS SELEÇÃO NATURAL ESPONTÂNEA EM SISTEMAS PRESA-PREDADOR COM DIFUSÃO Monografia de graduação apresentada ao Departamento de Ciência da Computação da Universidade Federal de Lavras como parte das exigências do curso de Ciência da Computação para obtenção do título de Bacharel em Ciência da Computação. Aprovada em 28 de Junho de 2005 Prof a. Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa Prof. Dr. José Monserrat Neto Prof. Dr. Antonio Tavares da Costa Júnior (Orientador Lavras Minas Gerais - Brasil

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5 Sumário 1 Introdução 1 2 Modelagem O que modelar: Introdução a sistemas dinâmicos Por que construir modelos de sistemas dinâmicos Como julgar a adequação de um modelo Classificação Quanto a variável temporal Quanto ao tipo de modelo Equações Diferenciais Um exemplo Classificando equações diferenciais Equações ordinárias e parciais Ordem Lineares e não-lineares Autônomas Sistemas de equações diferenciais Sistemas de Equações Ordinárias de Primeira Ordem Classificação de sistemas de equações ordinárias de primeira ordem Pontos críticos e estabilidade Sistemas de Equações Lineares de 1 a Ordem Teoria Básica Sistemas Lineares Homogêneos com Coeficientes Constantes Estabilidade em Sistemas Lineares Classificando a estabilidade de pontos críticos Ilustração dos tipos de trajetória Estabilidade Local em Sistemas Não-lineares Perturbando Sistemas Lineares Sistemas Quase Lineares Classificação de Pontos Críticos e Estabilidade de Sistemas Quase Lineares Sistemas Presa-Predador As equações de Lotka-Volterra Apresentação do modelo Exemplo v

6 5 Um Sistema Presa-Predador com Difusão Considerações iniciais Modelo Contínuo Modelo Baseado em Indivíduos Notas de Implementação Escolha de um caso base Variação da taxa de morte Variação da taxa de predação Variação do tamanho do domínio Variação das condições de contorno Evolução Biológica Lamarkismo A Teoria da Evolução de Darwin O impacto do Mendelismo e a Teoria Sintética Fontes de Variabilidade Genética Tipos de Seleção Natural Introduzindo Variabilidade Hereditária Novo Modelo Caso base do novo modelo Variação da taxa de morte Variação da taxa de predação Variação do tamanho do domínio Vantagem Inicial de Mobilidade Variação Máxima de Mobilidade Conclusões 63 vi

7 Lista de Figuras 3.1 Ilustração de trajetórias. (a Ponto espiral assintoticamente estável. (b Ponto espiral instável. (c Nó assintoticamente estável. (d Nó instável Ilustração de trajetórias. (e Ponto de Sela. (f Centro. (g Nó impróprio instável. (h Nó próprio instável Campo de Direções do sistema Sistema Presa-Predador com Difusão - CASO BASE. Padrões irregulares predominam no sistema. Legenda: linha preta para presas e vermelha para predadores. (a Diagrama de Fase. (b Dinâmica temporal das presas. (c Dinâmica temporal dos predadores. (d Distribuição espacial de presas e predadores em três turnos diferentes Diminuicao da taxa de mortalidade µ = Padrões irregulares predominam no sistema. Linha preta para presas e vermelha para predadores. (a Diagrama de Fase. (b Dinâmica temporal das presas. (c Dinâmica temporal dos predadores. (d Distribuição espacial de presas e predadores em três turnos diferentes Aumento da taxa de mortalidade µ = Sistema converge para um nó estável após aproximadamente 25 mil turnos. Linha preta para presas e vermelha para predadores. (a Diagrama de Fase. (b Dinâmica temporal das presas. (c Dinâmica temporal dos predadores. (d Distribuição espacial de presas e predadores em três turnos diferentes Dinâmica do modelo em função da taxa de mortalidade dos predadores (µ Dinâmica do modelo em função da taxa de predação dos predadores (γ Diminuição do domínio de 1000 para 50 sítios. Linha preta para presas e vermelha para predadores. (a Diagrama de Fase. (b Dinâmica temporal das presas. (c Dinâmica temporal dos predadores. (d Distribuição espacial de presas e predadores em três turnos diferentes sítios e condições de contorno cíclicas. Linha preta para presas e vermelha para predadores. (a Diagrama de Fase. (b Dinâmica temporal das presas. (c Dinâmica temporal dos predadores. (d Distribuição espacial de presas e predadores em três turnos diferentes Tipos de seleção natural. A primeira linha mostra, em um tempo inicial, o histograma dos indivíduos de uma população em relação a um fenótipo. A segunda linha mostra a situação em um tempo posterior. (a Seleção estabilizadora (b Seleção direcional. (d Seleção disruptiva vii

8 7.1 Sistema Presa-Predador com Difusão e Variabilidade Hereditaria - CASO BASE. Padrões irregulares predominam no sistema. Legenda: linha preta para presas e vermelha para predadores. (a Diagrama de Fase. (b Dinâmica temporal das presas. (c Dinâmica temporal dos predadores. (d Distribuição espacial de presas e predadores em três turnos diferentes Evolução da média de mobilidade das populações no caso base. Linha preta para presas e vermelha para predadores Dinâmica do sistema em função da taxa de Mortalidade de predadores (µ Evolução da média de mobilidade das populações em função da taxa de Mortalidade (µ Evolução da média de mobilidade das populações em função da taxa de Predação (γ Dinâmica do novo modelo em função da taxa de predação dos predadores (γ Evolução da média de mobilidade das populações em função do tamanho do dominio. Vermelho, 50 sítios. Preto, 1000 sítios Evolução da média de mobilidade das populações com vantagem inicial. Linha azul indica o caso em que as presas tiveram vantagem inicial e, linha vermelha, os predadores Evolução da média de mobilidade das populações em função da variação máxima de mobilidade (δ MAX. Linha preta δ MAX = 0.001; linha verde δ MAX = 0.01 e linha vermelha δ MAX = viii

9 Lista de Tabelas 3.1 Propriedades da estabilidade de sistemas lineares x =Ax com det(a - ri = 0 e det A Propriedades da estabilidade de sistemas quase lineares Presas - Funções de Probabilidade do Modelo Discreto Predadores - Funções de Probabilidade do Modelo Discreto Parâmetros do Caso Base Parâmetros do Caso Base do Modelo com Varibilidade Hereditária ix

10 Aos meus pais, Lúcia e Mário, por seu amor e exemplo de vida. x

11 Agradecimentos Senhor, pai, mãe, irmãos, avô, amigos e mestres... muito obrigado. Em especial, gostaria de agradecer aos meus professores e colegas de trabalho do Departamento de Ciências Exatas da UFLA: professores Toninho e Iraziet, e os colegas Mônica, Marcus e Renato. "Now, give me that horizon." Captain Jack Sparrow xi

12 Abstract A predation ecological model of reaction-diffusion type with two species that presents chaotic and regular patterns, besides limited cycles, was studied. The characteristics that take to the transition from regular to the chaotic state were investigated. Cellular automata were used to simulate the dynamic between preys and predators, doing a stochastic discrete version of a deterministic continuous model, with logistic growing of preys and Holling II functional response of predators. The results showed that the introduction of evolutional characteristics in the model changes its space-time dynamics. Furthermore, it was clear the strong influence that space-time dynamics has on the natural selection of populations. xii

13 Resumo Foi estudado um modelo ecológico de predação do tipo reação-difusão com duas espécies, que apresenta padrões caóticos e regulares, além de ciclos-limite. As características que levam à transição do estado regular para o caótico foram investigadas. Autômatos celulares foram usados para simular a dinâmica entre presas e predadores, através de uma versão discreta estocástica de um modelo contínuo determinístico, com crescimento logístico de presas e resposta funcional do tipo Holling II para os predadores. Os resultados mostraram que a introdução de características evolucionárias no modelo altera a sua dinâmica espaço-temporal. Além disso, ficou claro que a dinâmica espaço-temporal tem grande influência sobre a seleção natural das populações. xiii

14 Resumo Extendido Em modelos matemáticos usados para descrever a interação trófica entre mais de duas espécies é comum o aparecimento de padrões irregulares na distribuição espacial das espécies. Para sistemas de apenas duas espécies, o surgimento de padrões caóticos é raro. Uma questão importante é que elementos são essenciais num sistema ecológico com poucas espécies para que ocorra a formação de padrões. Outra questão relevante é identificar qual a relação entre os padrões observados e a seleção natural das populações. Neste trabalho, estudamos um modelo ecológico de predação do tipo reação-difusão com duas espécies. As características que levam à transição do estado regular para o caótico foram investigadas. Autômatos Celulares foram usados para simular a dinâmica entre presas e predadores, fazendo uma versão discreta estocástica de um modelo contínuo determinístico, com crescimento logístico de presas e resposta funcional do tipo Holling II para os predadores. A modelagem computacional foi feita e implementada usando, respectivamente, o paradigma orientado à objetos e a linguagem de programação C++. Puderam ser observados padrões caóticos e regulares, além de ciclos-limite. Os resultados mostraram que a introdução de características evolucionárias no modelo altera a sua dinâmica espaço-temporal. Além disso, ficou claro que a dinâmica espaço-temporal tem grande influência sobre a seleção natural das populações. Embora as regras dinâmicas do modelo não favorecessem indivíduos mais rápidos, pressão seletiva direcional no sentido de aumentar a mobilidade média de ambas as espécies pôde ser observada. xiv

15 Capítulo 1 Introdução Entender a natureza é fundamental para a vida do homem. Prever o tempo, reconhecer anomalias em ecossistemas, identificar pontos estratégicos na propagação de contaminantes em uma cidade, e avaliar os impactos da ação humana no meio ambiente são exemplos de problemas cotidianos importantes que requerem um entendimento sólido das ciências naturais. Uma das ferramentas mais importantes na compreensão destes problemas é a modelagem matemática. A idéia é identificar as características fundamentais do sistema a ser estudado, de maneira a obter um conjunto de regras matemáticas, simples o suficiente para que se possa extrair informação útil delas, mas que ainda descrevam os fenômenos mais importantes associados ao sistema em questão. Estas regras assumem as mais diferentes formas, dependendo da natureza do problema e da conveniência na obtenção de soluções. Podem ser equações diferenciais, equações algébricas, equações mestras, equações de diferenças, etc. Uma vez estabelecido o modelo, é necessário resolver as equações associadas a ele para extrair a informação desejada. Os métodos de solução, mesmo para uma classe específica de modelos, são bastante variados. Exemplos bastante comuns são os métodos analíticos aproximados, as soluções numéricas e as simulações computacionais. Desde o século passado, o interesse no estudo de modelos na área de ecologia vem crescendo. Este interesse é fruto da necessidade de entender melhor processos ecológicos, como interações tróficas, manejo de recursos renováveis, controle ecológico de pestes, sociedades multi-espécies, e especiação, entre outros. Dentre as interações tróficas, segundo Krebs (1972, a predação tem sido bastante estudada tanto de forma teórica como prática por causa da sua grande importância econômica. Como exemplo, podemos citar o polêmico caso da indústria baleeira japonesa, que movimenta aproximadamente 80 milhões de dólares por ano. Seguindo esta tendência de estudo, neste trabalho serão estudados alguns modelos teóricos de predação entre espécies biológicas. Conhecidos como sistemas presa-predador, estes modelos podem representar qualquer relacionamento entre espécies onde notoriamente a população de uma espécie (predador determina a abundância de outra (presa. Apesar de terem uma lógica bastante simples, sistemas presa-predador podem apresentar comportamentos que variam entre a ordem e o caos. Esta característica faz com que eles se enquadrem em uma classe de problemas denominada sistemas complexos. Os principais objetivos deste trabalho são: estudar a dinâmica espaço-temporal de um sistema de duas espécies em um ambiente unidimensional e uniforme do ponto de vista físico; observar se há formação de padrões espaciais; investigar aspectos evolucionários deste

16 sistema; verificar se há relação entre padrões espaciais e evolução. Para se alcançar os objetivos propostos, foi necessário estudar assuntos que vão desde modelagem matemática até teorias evolucionárias. A seguir, é apresentado um breve roteiro dos assuntos estudados nas próximas seções. Capítulo 2: Modelagem Introduz os principais conceitos ligados à definição e construção de um modelo matemático. Capítulo 3: Equações Diferenciais Aprofunda os estudos de um dos principais instrumentos de modelagem. Capítulo 4: Sistemas Presa-Predador Apresenta um dos mais antigos e conhecidos modelos presa-predador, as equações Lotka-Volterra. Capítulo 5: Sistemas Presa-Predador com Difusão Discute e apresenta um modelo presa-predador espacialmente estruturado com difusão. Capítulo 6: Evolução Biológica Introduz os conceitos de evolução biológica, variabilidade hereditária e seleção natural. Capítulo 7: Introduzindo Variabilidade Hereditária Discute e apresenta um modelo presa-predador espacialmente estruturado com difusão e variação hereditária de indivíduos. Capítulo 8: Conclusões Fecha o trabalho, ressaltando os resultados mais importantes e apresentando sugestões de novos trabalhos. 2

17 Capítulo 2 Modelagem Um modelo teórico é uma representação matemática de um fenômeno. Nesta seção serão discutidas questões básicas relacionadas a um modelo: 1. o que modelar? 2. por quê? 3. o modelo construído é "adequado"? 4. quais são os principais tipos de modelos? 2.1 O que modelar: Introdução a sistemas dinâmicos Um sistema pode ser definido como um conjunto de objetos agrupados por alguma interação ou interdependência, de modo que existam relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem com os elementos desse conjunto (Monteiro, Um sistema é dinâmico quando algumas grandezas que caracterizam seus objetos variam no tempo. São exemplos de sistemas dinâmicos: circuitos elétricos (tensão varia com o tempo, sistema solar (posição dos planetas, a economia de um país (déficit público, fauna de uma floresta (número de onças pintadas. Em geral, fenômenos físicos, químicos, biológicos e sociais são constituídos por partes e possuem dependência temporal. Por isso, sistemas dinâmicos são uma definição bastante abrangente do que seria um objeto de modelagem. 2.2 Por que construir modelos de sistemas dinâmicos Determinar, teoricamente, a evolução temporal das grandezas que caracterizam um sistema, pode ser importante nas situações citadas a seguir: 1. O sistema ainda não existe fisicamente. Exemplo: Ao projetar um navio, há várias escolhas de tipo de casco. É impraticável construir cada tipo de casco para escolher o que melhor atende às necessidades do projeto. A elaboração de modelos teóricos que simulam o comportamento do navio de acordo com o casco escolhido constituem uma grande ajuda para o sucesso do projeto.

18 2. Tenta-se explicar o comportamento de sistemas já existentes. Exemplo: Para construir um modelo teórico que simule o comportamento de um navio é preciso de antemão ter um modelo que contemple os principais fenômenos físicos que ocorrem no mar ou em um rio. 3. O teste experimental é muito caro ou perigoso. Exemplo: Ao se projetar um navio o uso de testes experimentais para se avaliar os tipos principais de cascos é relativamente bastante barato do ponto de vista financeiro. Porém ao planejar uma missão tripulada ao planeta Marte, a realização de testes experimentais, além de arriscar vidas humanas, costuma custar milhões ou até mesmo bilhões de dólares. Em geral, o objetivo de alguém ao construir um modelo é prever o futuro de um sistema dinâmico de modo científico. 2.3 Como julgar a adequação de um modelo Como explica Monteiro (2002, o estudo teórico de um sistema dinâmico pode ser dividido em duas etapas: 1. a construção de um modelo "adequado"; 2. a análise desse modelo. A palavra adequado aparece entre aspas para enfatizar que a adequação de um modelo depende do seu propósito e da precisão que se espera de suas previsões. Considere a foto de um homem, um manequim de plástico e um macaco. Qual desses modelos seria o mais adequado para representar um homem? A resposta é: depende. A foto deve ser um bom modelo para um pintor, pois retrata a fisionomia da pessoa. O manequim é uma representação tridimenional do corpo humano, sendo um bom modelo para um alfaiate. Já o macaco é fisiologicamente semelhante ao ser humano e deve ser o modelo preferido por um biólogo. Em geral, não há um único modelo "correto". A escolha de um modelo depende da sua finalidade e da precisão com que se pretende trabalhar. 2.4 Classificação Existem diferentes abordagens na modelagem de um sistema. Dependendo da abordagem escolhida, dispõe-se de técnicas diferentes para o estudo do problema. Nesta seção, serão apresentadas as formas mais comuns e importantes de classificação de sistemas dinâmicos Quanto a variável temporal Um sistema é de tempo discreto se o tempo t é um número inteiro positivo. A evolução de um sistema de tempo discreto é governada por uma ou mais equações de diferenças finitas, que é um tipo de equação que relaciona o valor de uma variável x R no instante t a valores de x em outros instantes, como, t + 1,t + 3 ou t 2. Exemplos: 1. x(t + 1 2x(t = 0 4

19 2. x(t + 2 t 2 x(t t = 0 3. x(t + 3x(t 3x(t 2 = 0 A ordem de uma equação de diferença finita é dada pela diferença entre o maior e o menor índice. Assim, a equação (1 é de primeira ordem, pois (t + 1 (t = 1; e a equação (3 é de quinta ordem, pois (t + 3 (t 2 = 5. Um sistema é de tempo contínuo se o tempo t é um número real positivo. A evolução de um sistema de tempo contínuo é governada por uma ou mais equações diferenciais, que é um tipo de equação escrita em termos de derivadas das variavéis desconhecidas. Exemplos: dx(t dt 4x(t = 0 d 3 x(t dt 3 + tanh(πtx(t 5t 2 = 0 d 5 x(t dt 5 + ( dx(t dt 2 + (x(t 3 = 0 Solucionar uma equação de diferença ou uma equação diferencial é encontrar a função ou as funções que quando substituídas na original a satisfazem para todos os valores das variáveis independentes. Nos exemplos acima, temos apenas equações com uma função incógnita e uma variável independente: x(t e t, respectivamente Quanto ao tipo de modelo A forma mais geral de se escrever uma equação de diferença linear para a variável dependente x(t é: a n (tx(t + n + a n 1 (tx(t + n a 1 (tx(t a 0 (tx(t = F(t, sendo t Z +. Uma equação de diferença é linear se x(t,x(t + 1,...,x(t + n aparecem como termos de primeiro grau, isto é, estão elevados à primeira potência. A forma mais geral de se escrever uma equação diferencial linear para a variável dependente x(t é: a n (t dn x(t dt n a 1 (t dx(t dt + a 0 (tx(t = F(t, sendo t R +. Uma equação diferencial é linear se x(t, dx(t, d2 x(t,..., dn x(t aparecem como termos de dt dt 2 dt n primeiro grau, isto é, se estão elevados à primeira potência. Em ambas as equações, os coeficientes a j (t e a entrada ou forçamento externo F(t devem ser funções apenas da variável independente t. São classificados como não-lineares sistemas que não podem ser escritos nas formas acima citadas. Portanto, dos exemplos abaixo, as equações 1,2,4 e 5 são lineares, enquanto, 3 e 6 são não-lineares. Exemplos: 1. x(t + 1 2x(t = 0 5

20 2. x(t + 2 t 2 x(t t = 0 3. x(t + 3x(t 3x(t 2 = dx(t dt 4x(t = 0 d 3 x(t dt 3 + tanh(πtx(t 5t 2 = 0 6. d 5 x(t dt 5 + ( dx(t dt 2 + (x(t 3 = 0 Para sistemas lineares valem os princípios de aditividade e proporcionalidade entre excitação e resposta. O primeiro estabelece que se para uma entrada F 1 (t o sistema exibe uma resposta x 1 (t e para uma entrada F 2 (t ele exibe uma resposta x 2 (t, então para uma entrada F 1 (t + F 2 (t a saída do sistema será x 1 (t + x 2 (t. O segundo princípio estabelece que se o sistema tem como entrada kf 1 (t, onde k é uma constante, a saída será kx 1 (t. Esses dois princípios podem ser combinados em um só, chamado de princípio da superposição de efeitos: a entrada k 1 F 1 (t + k 2 F 2 (t teria como saída correspondente k 1 x 1 (t + k 2 x 2 (t, sendo k 1 e k 2 constantes. Em geral, estes princípios não valem em sistemas não-lineares. 6

21 Capítulo 3 Equações Diferenciais As equações diferenciais tem sido amplamente usadas para modelar com sucesso inúmeros fenômenos de diferentes áreas (biologia, química, física, economia e etc. e constituem uma das principais formas de modelagem, se não a principal. Equações diferenciais são próprias para a modelagem de fenômenos os quais não se sabe como de fato são as grandezas modeladas, porém se sabe ou se especula como estas variam. A variação pode ser em relação ao tempo, espaço, temperatura, umidade ou qualquer outra variável, dependendo do problema. Isto faz com que equações diferenciais possam ser aplicadas em diversos campos do conhecimento e, ao mesmo tempo, que diversos problemas, a princípio de naturezas diferentes, tenham modelos e comportamentos matemáticos idênticos. Devido a grande importância destas equações na teoria de modelagem, será feito um estudo mais aprofundado das suas propriedades neste trabalho. 3.1 Um exemplo Como já foi dito anteriormente, muitos fenômenos podem ser modelados através de relações envolvendo taxas de variação de uma ou mais variáveis. Expressas em linguagem matemática, as relações são equações e as taxas são derivadas. Equações contendo derivadas são denominadas equações diferenciais. Por exemplo, com o objetivo de modelar o comportamento do tamanho da população mundial, poderia-se supor que a variação da população mundial, P, depende do número de pessoas no instante de tempo t considerado. Expressando matematicamente esta hipótese, tem-se a seguinte equação diferencial dp(t dt = rp(t, onde r é uma constante (taxa de crescimento populacional Resolver esta equação significa encontrar funções P(t que a satisfazem. Neste caso, dada uma condição inicial P(t 0 = k, sendo k constante e t 0 um instante de tempo qualquer, então existe a garantia de existência e unicidade de uma solução P(t. Dessa forma, ao se resolver a equação diferencial junto com a condição inicial dada obtém-se uma única função P(t, que mostra como a população mundial varia em relação ao tempo. Assim, se o modelo proposto estivesse correto e fosse conhecido o valor total da população mundial nos dias de hoje (condição inicial, então seria possível estimar com boa precisão a população mundial tanto daqui há cem anos, como em qualquer outro tempo, inclusive do passado. Como se pode perceber, o modelo proposto acima está longe de ser realista.

22 3.2 Classificando equações diferenciais A dificuldade de estudar um modelo composto por equações diferenciais pode variar de fácil a bastante difícil. Isto depende de como o modelo é classificado na teoria de equações diferenciais. Por isso, saber classificar o modelo em estudo é fundamental tanto para medir a dificuldade do problema, como para adotar as técnicas conhecidas mais indicadas para a sua solução Equações ordinárias e parciais Se a função desconhecida depende de apenas uma variável independente então as derivadas são simples e a equação diferencial é dita ordinária. Exemplo: d 2 x = 2x, onde x = f(t. dt 2 Quando existe mais de uma variável independente, tem-se derivadas parciais e a equação diferencial é parcial. Exemplo: u = u t , onde u = f(x,t. x Ordem A ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada de maior ordem que aparece na equação. Exemplos: dx dt = x(t t (1 a ordem dx2 dt 2 = dx dt + sin(x (2a ordem u t = 0.5u (1a ordem u x 2 = u t (2a ordem Lineares e não-lineares F(t,y,y,...,y (n = 0 (3.1 A equação diferencial (3.1 é dita linear se F é uma função linear das variáveis y,y,...,y (n, onde o apóstrofo indica a diferenciação em relação a t. Assim, a forma geral de uma equação ordinária linear de ordem n é a 0 (ty (n + a 1 (ty (n a n (ty = g(t. Uma equação que não satisfaz às condições acima é denominada não-linear. Uma definição análoga se aplica às equações diferenciais parciais. Exemplos: dx dt = x(t t (Linear 8

23 dx2 = dx + sin(x (Não-linear dt 2 dt u t = 0.5u (Linear u x 2 = u t (Linear u = 0.5u(1 u (Não-linear t Autônomas As equações ordinárias de primeira ordem, nas quais a variável independente não aparece explicitamente, são ditas autônomas. Sua forma geral é Exemplos: dp dt = 0.1p dp dt = 0.1p(1 p 500 dy dt = f(y Sistemas de equações diferenciais Uma outra classificação de equações diferenciais depende do número de funções desconhecidas. Se existe uma única função a ser determinada, então uma única equação é suficiente. Se existe, no entanto, mais de uma função desconhecida, então precisamos de um sistema de equações. Exemplo: { du dt dv dt = 0.1u 0.5uv = 0.25uv 0.03v 9

24 3.3 Sistemas de Equações Ordinárias de Primeira Ordem Existem muitos problemas que envolvem diferentes elementos associados. Na física, circuitos elétricos e sistemas massa-mola são exemplos de problemas com esta característica. Em decorrência da natureza destes problemas, sistemas de equações diferenciais surgem espontaneamente na sua modelagem. Sistemas de equações de primeira ordem tem uma importância especial neste contexto. Isto ocorre porque é possível transformar qualquer equação de grau n > 1 em um sistema de equações de primeira ordem, o que por sua vez implica que qualquer sistema de equações pode ser transformado em um sistema de primeira ordem correspondente. Considere o sistema massa-mola abaixo como exemplo: m d2 x dt 2 + κx = 0 x - posição; t - tempo; m - massa; κ - constante elástica da mola. Observe que o sistema proposto é de segunda ordem. Para representar o mesmo sistema através de outro de primeira ordem, duas novas variáveis (x 1 e x 2 são criadas de forma que x 1 = x x 2 = dx 1 dt Substituindo no sistema original obtém-se o seguinte sistema de primeira ordem: { m dx 2 dt + κx 1 = 0 dx 1 dt = x Classificação de sistemas de equações ordinárias de primeira ordem Seja t a variável independente e x i, 1 i n, as variáveis dependentes. A diferenciação em relação a t será indicada por um apóstrofo. Qualquer sistema de equações diferenciais de primeira ordem pode ser escrito da forma geral x 1 = F 1 (t,x 1,x 2,...,x n x 2 = F 2 (t,x 1,x 2,...,x n.. x n = F n (t,x 1,x 2,...,x n Se cada uma das funções F 1,...,F n é uma função linear das variáveis dependentes x 1,...,x n, então o sistema de equações é dito linear. Caso contrário, é não-linear. Assim, um sistema linear de n equações é da forma x 1 = p 11 x p 1n x n + g 1 (t x 2 = p 21 x p 2n x n + g 2 (t.. x n = p n1 x n p nn x n + g n (t 10

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