UTILIZAÇÃO DE SEQUÊNCIA INVESTIGATIVA NO ENSINO-APRENDIZAGEM DE TAXAS DE VARIAÇÃO

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1 UTILIZAÇÃO DE SEQUÊNCIA INVESTIGATIVA NO ENSINO-APRENDIZAGEM DE TAXAS DE VARIAÇÃO Guimarais, Yara Patrícia B. de Q. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Brasil Miranda, Dimas F. de Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Brasil Laudares, João Bosco. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Brasil RESUMO Com olhos voltados para a Educação Matemática, particularmente quanto ao uso das Novas Tecnologias no Ensino Superior, esta pesquisa pretendeu observar se a utilização de atividades investigativas poderia contribuir para o ensinoaprendizagem do conceito de Derivada, partindo do estudo das Taxas de Variação média, visando aliar a automatização com o entendimento e a compreensão deste conteúdo. Iniciada em junho de 009, foi elaborada uma sequência didática, com caráter investigativo, sendo que a pesquisa foi organizada conforme a teoria da Engenharia Didática. Foram utilizados os programas gratuitos VCN, para exploração numérica, e o Geogebra, para visualização dinâmica gráfica. Autores como Barroso, Finney e Stewart foram suportes para estudos do conteúdo. Os sujeitos foram alunos dos cursos de Engenharia de Produção e Engenharia Mecânica com ênfase em Mecatrônica, ambos da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais PUC Minas, em Belo Horizonte/MG. A partir dos objetivos estabelecidos, conforme as teorias que sustentaram a pesquisa, as observações, análises e resultados alcançados foram registrados. Palavras-chave: atividades investigativas, cálculo na engenharia, derivada, educação matemática, taxas de variação.

2 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ABSTRACT With eyes focused on the Mathematical Education, particularly regarding the use of New Technologies in Higher Education, this research aims observe if the application of investigative activity could help the teaching-learning idea of Derivative, based on a study of Average Variation Rates, aiming to ally automation with the understanding and comprehension of this content. Started in June, 009, was developed a didactic sequence, with investigative nature and the research was organized according to the theory of didactic engineering. Were used some free software, VNC for numeric exploration and Geogebra for dynamic graphic viewing. Authors like Barroso, Finney and Stewart were the support to studies of the content. The subjects were students of Production Engineering and Mechanical Engineering with emphasis in Mechatronics, both from the Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC Minas, in MG, Belo Horizonte. From the established objectives, according to the theories that supported the research, observations, the analysis and achieved results were recorded. Keywords: investigative activities, reckoning in engineering, derivative, mathematical education, variation rates. 1 Introdução O ensino-aprendizagem de Derivada é motivo de temor para vários alunos que, geralmente, sentem dificuldades em compreender o seu conceito. Isso pode ser comprovado pelo grande número de alunos reprovados em Cálculo Diferencial e Integral em cursos na área de Ciências Exatas, como confirmam professores da área e várias pesquisas publicadas sobre o assunto. Uma vez que esse é um conteúdo de extrema importância em várias disciplinas específicas das engenharias, faz-se necessária, a cada dia, a busca por novas alternativas didáticas que possam auxiliar a aprendizagem daqueles alunos que têm mais dificuldades com o assunto. Muitos alunos precisam, na verdade, é de disciplina de estudo, mas vários outros necessitam de uma metodologia diferenciada para alcançarem o aprendizado. A disciplina Cálculo Numérico, nos cursos de engenharia, trata, numericamente, tópicos do Cálculo Diferencial e Integral. Na realização de certos tratamentos numéricos, pressupõese que os estudantes tenham, pelo menos, noção do significado de Limite, Derivada e Integral.

3 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 3 Nos períodos subsequentes, nas disciplinas técnicas, espera-se que os alunos apliquem, com entendimento e de forma adequada, os métodos numéricos. Mas, ao longo do curso, diante da constatação de que os alunos não adquiriram os conhecimentos nem as habilidades operacionais e conceituais necessárias para lidar com estes assuntos, os professores sentem-se muito desconfortáveis. Isto é, hoje, um fato comum em quase todas as escolas de engenharia. Muitas vezes, a introdução do estudo de Derivada acontece de forma que o aluno não vivencia a construção do seu conceito. Assim, há tempos que professores pesquisadores da área vêm pesquisando alternativas didáticas para minimizar este problema e é exatamente esta a proposta deste estudo: pesquisar formas de trabalhar o conceito de Derivada, partindo do estudo das Taxas de Variação média, de modo a contribuir para aliar automatização, entendimento e compreensão desse conteúdo. O aprendizado de Cálculo, em geral, deve enfocar os registros de representação: geométrico, numérico, algébrico e verbal (ou descritivo), conforme STEWART (009). Isto foi o que esta pesquisa buscou: explorar o conteúdo Taxas de Variação, sob o ponto de vista numérico (com o uso do programa VCN), geométrico e algébrico (utilizando o software Geogebra) e, por fim, o verbal, através do estímulo à discussão em sala e à fala dos alunos. Os conteúdos matemáticos, anteriormente mencionados, foram tratados na disciplina de Cálculo Numérico, na forma de uma sequência didática de atividades investigativas, em que os alunos foram estimulados a descobrir significados, construir ideias e conceitos. Nessas atividades, uma ferramenta importante foi o computador. BORBA (001, p. 34) afirma que as novas mídias, como os computadores com softwares gráficos e as calculadoras gráficas, permitem que o aluno experimente bastante, de modo semelhante ao que faz em aulas experimentais de biologia ou de física. Para realizar os experimentos, as questões deveriam ser resolvidas com uso dos softwares VCN e Geogebra. Esses programas são gratuitos, sendo que o Geogebra (www.geogebra.org), que é um programa de geometria dinâmica que envolve recursos da Álgebra, Geometria e Cálculo, foi desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Florida Atlantic University. O VCN Virtual Cálculo Numérico, que pode ser encontrado no endereço é um programa voltado para o Cálculo Numérico, que foi desenvolvido por um grupo de professores do Departamento de Matemática e Estatística da PUC Minas. O computador trouxe economia de tempo para a execução do trabalho, fazendo com que os personagens aqui envolvidos atuassem de forma decisiva voltados para o aprendizado do conteúdo. Desejou-se aqui elaborar um modelo didático voltado para docentes e discentes da

4 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 4 área de Ciências Exatas, que necessitem trabalhar com o conteúdo Derivadas Taxas de Variação. O problema de pesquisa para esta atividade foi: quais contribuições podem ser observadas no processo ensino/aprendizagem do conceito de Derivada, partindo do estudo das Taxas de Variação média, quando o conteúdo é abordado através de atividades investigativas que utilizam a construção numérica proposta pelo software VCN e a visualização gráfica dinâmica do Geogebra? Com isso, pretendeu-se alcançar os seguintes objetivos específicos com os alunos participantes: Descobrir a relação entre a posição de uma reta e seus coeficientes angular e linear. Relacionar o significado de taxa instantânea com derivada. Compreender que a derivada é o valor de Convergência da Taxa de Variação média. Utilizar uma metodologia diferenciada na introdução do conteúdo Derivada. Utilizar o computador como uma ferramenta de auxílio didático. Promover a melhora da autoconfiança e o desenvolvimento do diálogo entre os alunos. Sequência didática investigativa confeccionada a partir da engenharia didática Na organização geral da pesquisa, optou-se pela aplicação das etapas propostas pela Engenharia Didática: Análise preliminar: momento em que algumas dificuldades e demandas dos alunos foram levantadas. Concepção e análise a priori: estudo e análise de experiências e orientações teóricas Intervenção: decisão pela confecção e aplicação de uma Sequência de Atividades. Análise a posteriori: momento da análise e validação. Com relação a este estudo, as etapas que compõem a Engenharia Didática podem ser assim reescritas:

5 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 5 a) como análise prévia, a situação do ensino de Derivada e Taxas de Variação foi levantada, particularmente em turmas de Engenharia. Para isso, foram importantes a leitura de textos publicados que enfocaram o tema; existem várias pesquisas publicadas sobre o ensinoaprendizagem de Cálculo, e em um dos textos lidos (LACHINI, 001), constatou-se que o aluno é um ser passivo nas aulas de Cálculo, esperando sempre receber de forma pronta o conteúdo para então, reescrevê-lo nas provas e, assim, receber um certificado ao fim do curso. Lachini (001) ainda constatou que 94% dos alunos de Cálculo não cumprem todas as tarefas extraclasses, ou seja, em muitos casos, de um lado tem-se a figura de alguns professores que se consideram como responsáveis únicos pelo aprendizado do aluno, mas talvez com a resistência em buscar nova metodologia de ensino e do outro, tem-se o personagem aluno que, muitas vezes, não assume a responsabilidade por seu próprio aprendizado. Neste sentido, a observação dos alunos por parte dos pesquisadores também contribuiu para que fossem detectadas as prováveis dificuldades durante o processo ensino-aprendizagem, especialmente com a noção de aproximação na passagem da matemática básica para a matemática superior, em situações em que os alunos faziam perguntas e resolviam exercícios em sala. b) no que diz respeito à Análise a priori de experiências e concepções, foram observadas algumas pesquisas já publicadas que tratavam de sequências didáticas e/ou atividades investigativas de Cálculo. Também foram analisadas as experiências vivenciadas nas próprias turmas com relação a outros conteúdos estudados, com atenção voltada para os conhecimentos prévios necessários ao aprendizado do conteúdo aqui enfocado. Com base nas observações feitas, optou-se pela utilização de um software de caráter mais algébrico (Geogebra) e outro que apresentasse resultados mais numéricos (VCN). c) Intervenção ou aplicação: esse foi o momento da confecção das atividades, com algumas correções iniciais, e da aplicação dessas atividades nas turmas que estudariam o tema. Nessa etapa, os pesquisadores registraram as observações feitas, bem como as falas e o comportamento dos alunos. Nas questões que compunham as atividades, pretendeu-se alcançar os seguintes objetivos de modo que os alunos adquirissem as competências:

6 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 6 Quadro 1: Objetivos e competências a serem alcançados nesta atividade. Objetivos Competências Reconhecer os coeficientes angular e linear Descobrir a relação entre a posição de uma de uma equação da reta. reta e seus coeficientes angular e linear. Relacionar o significado de taxa instantânea * Perceber que o coeficiente angular de uma com derivada. reta tangente a uma curva y = f(x) é a taxa instantânea de f quando x a, sendo a a abscissa de tangência. * Compreender que a derivada é uma taxa instantânea de variação. Relacionar a derivada com a convergência da Compreender que a derivada é o valor de Taxa de Variação. convergência da Taxa de Variação. d) Análise a posteriori: nesta etapa, as falas, o comportamento e as atividades aplicadas foram confrontadas e analisadas. Os resultados da etapa serão apresentados no subtítulo Principais Resultados deste texto. Foram admitidos como suportes teóricos para os temas envolvidos: Taxas de Variação e Derivadas, com referências em BARROSO (1987), FINNEY (00) e STEWART (009); a Engenharia Didática segundo PAIS (001); Sequências Didáticas com base em ZABALA (007); e Atividades Investigativas de acordo com PONTE (006). Após a busca por sustentação teórica, a etapa seguinte foi de elaboração da sequência de atividades, seguida pela aplicação aos sujeitos envolvidos. Muitos alunos sentem dificuldades quando chegam no Ensino Superior, no momento em que acontece a passagem da matemática básica (estática) para a matemática superior (dinâmica); desse modo, essa etapa pode gerar problemas futuros no entendimento de outros assuntos que envolvam essa idéia. Assim, tem-se aqui a intenção de oferecer uma alternativa que possa servir como auxílio para esse momento de transição, uma vez que a sequência didática investigativa proporcionou aos alunos pesquisados a construção do conhecimento por meio da experimentação, generalização, abstração e formação de significados (LINS & GIMENEZ, 001). Uma sequência didática é um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelo professor como pelos alunos (ZABALA, 007). A investigação

7 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 7 matemática é o momento de descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas propriedades (PONTE, 006). Para atender às orientações dos estudos de PONTE (006) e ZABALA (007), a sequência didática, com caráter investigativo, foi elaborada conforme as etapas: exploração e formulação de questões: apresentação de uma situação problemática para a turma. formação de conjecturas: estimulo à exposição dos próprios pontos de vista. testes e reformulação: momento em que os alunos poderão colocar em prática o que foi firmado nas etapas anteriores. justificação e avaliação: momento das explicações e avaliação de resultados.. 3 Organização da atividade Como a primeira etapa da investigação matemática é a exploração e formulação de questões, estas foram elaboradas objetivando-se que os alunos alcançassem competências, conforme os objetivos estabelecidos. A Atividade, escolhida para ser apresentada neste artigo, faz parte de uma Seqüência Didática composta por 4 (quatro) Atividades Investigativas: Estudo dos Limites, Estudo de Taxas de Variação Média, Integração Numérica e Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes. No segundo semestre de 009, foi aplicada para 0 alunos do curso de Engenharia de Produção e no segundo semestre de 011 para 19 alunos do curso de Engenharia Mecânica com ênfase em Mecatrônica da PUC Minas, em laboratórios com 0 computadores. O tempo para resolução das questões foi de aproximadamente 00 (duzentos) minutos para os dois grupos e as turmas tinham carga horária prevista em Plano de Ensino para prática de laboratório, o que facilitou muito a execução da proposta. Nas duas ocasiões, a pesquisadora lecionava a disciplina Cálculo Numérico nas turmas citadas. A Atividade é a seguir transcrita para conhecimento do leitor.

8 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 8 Atividade 1) Compreensão da ideia de tangentes a uma curva, e da importância dos coeficientes angular e linear, usando o Geogebra. Vamos considerar a função x 4x, definida em seu domínio real. a) Faça a representação gráfica da função f. b) Agora, clique na ferramenta novo ponto e insira o ponto P(1, 3). Depois busque a ferramenta tangentes e clique no ponto e na função, para inserir a reta tangente. c) Observe a equação da reta na parte algébrica da tela. Escreva a equação dessa reta. d) Quais são os coeficientes angular e linear dessa equação? Essa reta é crescente ou decrescente? e) Qual a relação que pode ser observada entre o coeficiente linear da função e o gráfico da reta? f) Qual é o limite dessa função quando x 1? Examine no gráfico e dê explicações. g) Clique na ferramenta mover e, em seguida, no ponto P. Mova o ponto pelo gráfico da função e observe as mudanças na equação da reta tangente. Fixe a reta em outro ponto qualquer que esteja à direita do vértice, por exemplo, (3, 3) e escreva a equação desta reta. h) Quais são o coeficiente angular e o linear da equação dessa nova reta? Ela é crescente ou decrescente? i) Agora, encontre uma equação da reta tangente à parábola de x 4x no ponto (, 4). Qual é a equação dessa reta tangente? Justifique a razão de não podermos afirmar que ela é crescente ou decrescente. j) Vamos então formalizar essa ideia: qual a relação entre o coeficiente angular da reta tangente e a posição dela no plano cartesiano? Obs.: Caso tenha alguma dúvida se a reta é mesmo tangente à curva, então você pode usar os recursos de ampliar ou reduzir do Geogebra para verificar melhor que a reta apenas toca a curva no ponto. ) Construção da ideia de derivada, usando o Geogebra k) Observe a operação que é feita a seguir, considerando a função x 4x : f (1) x x 1 4x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 fatoração e a simplificação da expressão f (1). x 1 x 3. Neste caso, foi feita a substituição, a

9 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 9 l) Orientação: a expressão f ( a), que é o mesmo que x a y x y1 x 1, é simbolizada por y e x é chamada de taxa média de variação de y em relação a x, no intervalo. Podemos considerar que x = x, x 1 = a, f(x) = y e y y f(a) = y 1 para escrever assim: = y1 = x x x1 f ( a). x a m) Considerando a expressão f (1) x 3, qual é o limite da função y x 3, quando x x 1 tende a 1, ou seja, quanto vale lim( x 3)? x 1 n) Agora, na tela do Geogebra, deixe só a parábola y x 4x e insira novamente o ponto P(1, 3). Busque a ferramenta tangentes, clique na parábola e no ponto P(1, 3). Observe o resultado!! Qual é a equação da reta tangente à curva neste ponto? o) E qual é o coeficiente angular dessa reta? Compare com o resultado encontrado no item (m) acima. p) Orientação: a reta tangente a uma curva f em um ponto P(a, f(a)) é a reta que passa por P e que tem a inclinação f ( a) m lim. Com esta mesma expressão será obtida, para x a x a qualquer função, a taxa instantânea de variação (ou coeficiente angular da reta tangente) em um de seus pontos. A taxa instantânea é também chamada de velocidade instantânea, ou variação no ponto dado, etc. q) Com a ferramenta mover da 1ª caixa do menu do Geogebra, mova o ponto P(1, 3) até cada um dos pontos abaixo. Para cada ponto, você deverá anotar qual é o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto: i. (3, 3) = ii. (, 4) = iii. (4, 0) = r) Você deverá agora acompanhar as operações e calcular, usando lápis e papel, os limites seguintes, que dizem respeito a cada caso do item (q) anterior: f (3) x 4x 3 i.lim lim lim( x 1) x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 f () x 4x 4 ii.lim lim lim( x ) x x x x x f (4) x 4x 0 iii.lim lim lim( x) x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 s) Compare e comente os resultados obtidos nas questões (q) e (r) acima?

10 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 10 t) Como você verificou o coeficiente angular da reta tangente, ou taxa de variação f ( a) instantânea, em um ponto x a, desta curva, é igual ao limite da expressão, x a quando x se aproxima de a. 3) Construção do conceito de derivada por meio de taxa de variação, usando o VCN. (Atividade adaptada de Miranda, 1987, p. 13). Seja a função quadrática y x e o ponto x 0 4. Tomando valores, num intervalo (vizinhança), iniciado um pouco à direita e terminado um pouco à esquerda do número 4 (quatro), vamos pesquisar o que é a DERIVADA da função no ponto, por meio da construção de tabelas. a) No VCN, vá em Utilitários Tabelar uma Função. Como o desejo é trabalhar com pontos próximos a 4 (à direita e à esquerda), então vamos tabelar 4], com passo h = x = 0,01. y x, num intervalo inicial [4,1; b) Observe a tabela da função. Para qual valor a variável x tende, ou se aproxima? E para qual valor y tende? c) Atenção! A função foi tabelada apenas com valores à direita de 4. A mesma análise pode ser feita para valores à esquerda, por exemplo, [3,9; 4]. d) Considerando agora x x 4 e y y 16, sendo x e y cada um dos pontos da tabela e observando os dados obtidos com o VCN, preencha a Tabela A (abaixo), com alguns valores já sugeridos para x: Tabela A x 0,1 0,01 0,001 0 y y x y e) Então, quando x 0, para qual valor tende, se aproxima? x f) Logo, a taxa de variação instantânea da função y x, no ponto x = 4, é igual a. É importante destacar que em outro ponto, o valor da taxa, em geral, será diferente! g) Atenção! Diz-se que taxa de variação instantânea é a DERIVADA: f y '( x) lim, ela x 0 x mede a rapidez (velocidade) com que crescem (ou decrescem) os valores de y na função. h) Se considerarmos outros pontos desta função, como x = 5, ou 6, ou 7, teremos: f '(5) 10,

11 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 11 f '(6) 1, f '(7) 14, e assim sucessivamente (verifique, usando o quadro do item (d)). i) Agora, mostre, usando papel, lápis e a expressão do item (g) acima, que a função DERIVADA de y x é y' x, para todo x de seu domínio. A discussão entre os alunos aconteceu durante todo o momento, o que permitiu que eles eliminassem dúvidas e/ou confirmassem resultados. As respostas eram discutidas e/ou confirmadas com os pesquisadores, que ao final sistematizaram o assunto. 4 Principais resultados As informações registradas durante o processo de execução da proposta didática foram analisadas compondo o momento final da Engenharia Didática, ou seja, a etapa da Análise a posteriori. De fato, a experimentação automatizada no computador foi o ponto forte deste modelo didático, pois os estudantes faziam experiências com as funções prontas e dinâmicas do Geogebra, com os recursos de tabelamento de funções do VCN, adquirindo equações, visualizando formas gráficas e padrões de tendências, com a facilidade de alteração de parâmetros e modelos. A experimentação automatizada no computador foi o ponto forte deste modelo didático, pois os estudantes faziam experiências com as funções prontas e dinâmicas do Geogebra, com os recursos de tabelamento de funções do VCN, adquirindo equações, visualizando formas gráficas e padrões de tendências, com a facilidade de alteração de parâmetros e modelos. As atividades foram aplicadas para as duas turmas mencionadas, ou seja, para um 3º período do curso de Engenharia de Produção e para o 4º período da Engenharia Mecânica (ênfase em Mecatrônica), no momento em que era estudado o assunto Derivação Numérica. Os diversos registros ou espectros de representação (geométrico, numérico, algébrico e verbal ou descritivo) estavam sempre sendo explorados, como se vê num protocolo de um aluno, ao trabalhar um item da Atividade, mostrado na Figura 1:

12 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 1 Figura 1: parte da Atividade, resolvida por um aluno. Para um importante item da Atividade, que constrói o cálculo da derivada, a partir da tendência da taxa de variação, a Figura mostra um protocolo de um aluno que ilustra (pela y direita) o fato de que quando x 0, então tende a 8. x Figura : parte da Atividade, resolvida por um aluno. A Figura 3 mostra outro protocolo com a experimentação vivenciada pelos alunos de mais um item da Atividade, ao realizar, no Geogebra, movimentos com a reta tangente para explorar valores dos coeficientes angulares das retas tangentes à curva f em pontos específicos e as várias posições assumidas por elas.

13 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 13 Figura 3: parábola da função x 4x e retas tangentes a essa curva em alguns pontos, obtidas por um aluno. A forma dinâmica com que os alunos puderam estudar a função com essas retas permitiu um grande número de testes em pouco tempo: bastava movimentar o ponto de tangência com o mouse para obter nova equação da reta. As Figuras 4 e 5 mostram as experimentações para outro item importante da Atividade, com o uso do programa VCN, ao estudar a convergência dos valores de y, tomando-se uma seqüência de valores de x próximos a 4, à direita e à esquerda. Figura 4: tabelamento da função y x, no intervalo,9;4 aluno. 3, passo 0,01 obtido por um

14 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 14 Figura 5: tabelamento da função y x um aluno., no intervalo 4,1;4, passo - 0,01, obtido por As observações permitem afirmar que: Os alunos se sentiram mais autoconfiantes para perguntar e dar respostas, o que despertou um maior interesse em aprender, realizando a compreensão de conceitos, o pensar de modo sistematizado e com mobilidade LACHINI (001). O computador, de fato, atuou como importante ferramenta auxiliar da experimentação, como preconizou BORBA (001). As falas de alguns alunos sugerem como positiva a experiência: Aprender Matemática assim é bem mais interessante! (aluno A) Esta é a terceira vez que faço essa disciplina e só agora fui entender esse negócio dos Limites Laterais! (aluno B) Que legal! Mas isso é muito bacana... dá pra enxergar direitinho! (aluno C)

15 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 15 5 Considerações finais De acordo com a análise dos resultados de todas as Atividades, realizadas durante um semestre letivo, este modelo didático contribuiu para o desenvolvimento da autoconfiança dos sujeitos envolvidos, tornando menos expressivas as limitações de aprendizado de cada estudante, uma vez que os levou a investigar, criar e construir vários conceitos matemáticos, à semelhança do realizado com Derivada. Através das transformações realizadas com os softwares VCN e Geogebra, por meio da observação numérica e gráfica, pôde ser observado que o exercício do raciocínio lógico-dedutivo realizou-se no momento em que aconteciam as generalizações, seguidas das abstrações e, enfim, a produção de significados (LINS & GIMENEZ, 001). Os protocolos de alunos também registraram as falas do que os incomodava ou de conclusões precipitadas: Eu achei um pouco cansativa, porque era muita coisa pra ler, confessou um aluno incomodado. Outro concluiu: Se tem o computador que faz tudo, por que temos que fazer conta? Basta saber como que os cálculos acontecem e entender a resolução, sem precisar de aulas teóricas. Ao confrontar as informações registradas na Análise a priori e na Análise a posteriori, foi possível constatar que os objetivos específicos foram alcançados em sua maior parte. Para os alunos que não compreenderam a ideia pretendida, outras alternativas didáticas foram necessárias, como uma discussão mais ampliada do tema, com a resolução de um maior número de questões em sala de aula. De qualquer modo, o ensino-aprendizagem do conteúdo proposto por meio das atividades investigativas se mostrou viável para a turma em questão, uma vez que, em geral, os estudantes gostaram das experiências vivenciadas e conseguiram aliar o que foi realizado no computador com outras situações apresentadas em exercícios propostos e avaliações. Referências BARROSO, Leônidas Conceição. [et al]. Cálculo numérico com aplicações. ed. São Paulo: Harbra, p. BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. ed. Belo Horizonte: Autêntica, p. FINNEY, Ross L. Cálculo de George B Thomas Jr. Volume ed. São Paulo: Pearson

16 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 16 Addison Wesley, p. LACHINI, Jonas. Subsídios para explicar o fracasso dos alunos em Cálculo. In: LACHINI, Jonas; LAUDARES, João Bosco. (Orgs.). Educação Matemática: a prática educativa sob o olhar de professores de Cálculo. Belo Horizonte: FUMARC, p. LACHINI, Jonas; LAUDARES, João Bosco. (Orgs.). Educação Matemática: a prática educativa sob o olhar de professores de Cálculo. Belo Horizonte: FUMARC, p. LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas da aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, p. MIRANDA, Dimas Felipe de; LAUDARES, João Bosco; ALMEIDA, Trajano Coutinho de. Matemática aplicada às Ciências Gerenciais. Belo Horizonte: Editora FUMARC/PUCMG, PAIS, Luis Carlos. Didática da matemática: uma análise da influência francesa. Belo Horizonte: Autêntica, p. PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, p. STEWART, James. Cálculo. Volume 1. 6 ed. São Paulo: Thomson Pioneira, p.

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