CONTROLE NÃO-LINEAR FUZZY TAKAGI-SUGENO DO MOVIMENTO DE PARAPLÉGICOS UTILIZANDO ACELERÔMETROS

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1 º Congresso Brasileiro de Engenharia Biomédica ISBN: CONTROLE NÃO-LINEAR FUZZY TAKAGI-SUGENO DO MOVIMENTO DE PARAPLÉGICOS UTILIZANDO ACELERÔMETROS Ruberlei Gaino* Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira** Rodrigo Cardim** Aparecido Augusto de Carvalho** Edvaldo Assunção** e Marcelo Augusto Assunção Sanches** *Departamento de Engenharia Elétrica/UEL Londrina Brasil **Departamento de Engenharia Elétrica/UNESP-FEIS Ilha Solteira Brasil ruberleigaino@gmailcom Abstract: A simple method for design a control system to vary the joint knee angle of paraplegic patients using Function Neuromuscular Stimulation (FNS) is presented The nonlinear system is described by Takagi-Sugeno fuzzy models Closed control techniques for the rehabilitation of paraplegic patients improve the quality of (FNS) We investigated the use of accelerometers as the main sensors for feedback Accelerometers are very suitable for these applications because of their small dimension weight and cost Simulations results show that the proposed procedure is efficient and offers a good resolution for this control problem Palavras-chave: Acelerômetros Controle Não- Linear Fuzzy Takagi-Sugeno Engenharia de Reabilitação Paraplégicos Introdução A estimulação elétrica funcional (FES) tem sido utilizada na restauração de movimentos em pacientes paraplégicos tetraplégicos e hemiplégicos São vários os estudos realizados objetivando o controle do movimento de pacientes paraplégicos utilizando FES e diferentes modelos matemáticos de músculos e da articulação do joelho [] e [] Em [3] e [4] foram realizados pela primeira vez estudos e simulações da posição da perna de um paraplégico utilizando modelos fuzzy Takagi-Sugeno [5] e [6] Foi adotado o modelo matemático da perna proposto por [] que relaciona o torque do músculo com a largura de pulso do sinal de estimulação elétrica Analisou-se a estabilidade da planta utilizando-se Linear Matrix Inequalities (LMI) para a obtenção da lei de controle do regulador O projeto do regulador fuzzy foi construído através da Compensação Distribuída Paralela (CDP) [5] Este método faz a combinação fuzzy das matrizes de ganho de retroação obtendo-se um regulador fuzzy que estabiliza o sistema globalmente [6] O projeto do regulador foi realizado para o ponto de operação de 30º isto é a trajetória da perna sai do estado de repouso e estabiliza-se em 30º Considerou-se que o músculo quadríceps eletricamente estimulado apresenta uma resposta não-linear [7] Foi usado o modelo fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) no projeto do controlador para variar o ângulo da articulação do joelho O sinal de realimentação relacionado ao ângulo da articulação do joelho pode ser obtido utilizando-se eletrogoniômetro porém este sinal pode não ser confiável devido à dificuldade de fixação do dispositivo sobre a pele [8] O uso de acelerômetros em pontos estratégicos é mais seguro e confiável [8] e proporciona uma melhor integração com estudos em fuzzy Takagi- Sugeno usando a realimentação proporcional e derivativa de estados [9] O objetivo deste trabalho foi utilizar técnicas de controle fuzzy Takagi-Sugeno em aplicações de Engenharia de Reabilitação nas quais os sinais disponíveis para o controle são obtidos através de acelerômetros Definindo-se como variáveis de estado o deslocamento e a velocidade podem-se usar os sinais de aceleração para estimar os sinais de velocidade [9] e então realimentar esses sinais que são justamente as derivadas das variáveis de estado da planta Materiais e Métodos Modelo da Junção do Joelho Na modelagem proposta em [] os autores consideraram o membro inferior como uma cadeia cinemática aberta composta de dois segmentos rígidos: a coxa e o complexo canelapé conforme mostra a Figura Figura : Sistema de controle e parâmetros θ θ v e M a Nesta figura θ θ v e M a são respectivamente o ângulo comum do joelho (ângulo entre a canela e a coxa no plano sagital) o ângulo da canela (ângulo entre a canela e o eixo vertical no plano sagital) e o torque ativo produzido pela estimulação elétrica no quadríceps Em [3] e [4] demonstra-se que a equação de estados não-linear que representa o movimento da articulação do joelho ao estímulo elétrico aplicado no quadríceps é dada por: /5 CBEB

2 º Congresso Brasileiro de Engenharia Biomédica ISBN: x& ~ x 0 B x& f ( x) = x 0 PN J J + () x 3 G & 0 0 τ τ sendo x = θv = θv θv0 x = x& e = Ma = Ma Ma0 O ponto de operação do sistema é dado por: θ θ M = θ 0 M f % x é uma ( v v a) ( v0 a0) & A função ( ) não-linearidade do sistema e pode ser descrita como: f% ( x) = mglsen( x vo) Jx + θ () E π x+ θvo+ π λe x θvo ω M a0 M ao PN = P (3) G sendo que: J é o momento inercial do complexo composto pela canela-pé; θ v é o ângulo da canela (ângulo entre a canela e o eixo vertical no plano sagital); m é a massa do complexo canela-pé; l é a distância entre o joelho e o centro da massa do complexo canela-pé; B é o coeficiente de atrito viscoso; M a é o torque ativo do joelho produzido pela estimulação elétrica; Em [] é feita a identificação dos parâmetros G e τ da função de transferência que relaciona a largura de pulso (P) e o torque produzido (M a ) Na equação (3) é definida a nova entrada do sistema (P N ) Em [] também são apresentadas as medidas antropométricas de um paciente paraplégico: J = 036[ kgm ]; m= 437[ kg]; l = 38[ cm] τ = 095 s B= 07[ N m s / rad] ω= 98[ rad] λ= 408[ N m / rad] E= 04[/ rad] Definição do Problema Considere o modelo fuzzy T-S descrito a seguir [0]: r ( ) α ( ) ( ) = α ( ) i= ( )( ( ) ( )) x& t = x t A x t + B x t i i i i= r ( ) u t x t F x( t) i i (4) sendo r o número de modelos locais (A i B i i= r) α i (x(t)) as funções de pertinência do sistema fuzzy F i os ganhos de retroação do vetor de estados obtidos por meio de LMI [] e u(t) o sinal de controle obtido através de CDP Supondo-se que apenas a derivada do vetor de estado ( x& ) esteja disponível verifica-se através da equação (4) a necessidade de se obter as variáveis de estado para o projeto das funções de pertinências e dos ganhos F i para o controlador fuzzy Realimentação da Derivada do Vetor de Estados com Acelerômetros Os resultados publicados em [3] e [4] consideram a realimentação do sistema com eletrogoniômetros nos quais uma das extremidades é presa na coxa e a outra na canela Devido à dificuldade de alinhar a haste do eletrogoniômetro com o eixo da coxa e a outra haste com o eixo da canela e ainda o efeito do deslizamento sobre a pele as medidas não são confiáveis [] Para resolver este problema acelerômetros são fixados em pontos estratégicos conforme descrito em [8] que obteve resultados mais confiáveis mostrando que acelerômetros e giroscópios oferecem soluções mais práticas e menos onerosas que quando se utiliza eletrogoniômetros No presente trabalho utilizam-se dois acelerômetros para medir as acelerações tangenciais a t e a t A Figura mostra como os acelerômetros são fixados na perna [3] Figura : Posição dos acelerômetros para medida da aceleração tangencial A aceleração da articulação do joelho determinada pela equação: ( a a ) ( r r ) v t t && θ é v && θ = / (5) A velocidade pode ser obtida com uso da integração da equação (5) Autores sugerem técnicas para obter a velocidade [8] e [3] Estimativa da Posição da Perna do Paciente Paraplégico Como somente acelerômetros são usados só há acesso à variável x& = && x A variável x = x& é estimada No projeto do controlador apresentado em [3] e [4] somente é possível sua implementação com o acesso a x necessário para o cálculo das funções de pertinências α i (x(t)) com realimentação pelo eletrogoniômetro Considerando a equação () a estimação de x é dada por: B x = f% ( x) x x + J J & & (6) /5 CBEB

3 º Congresso Brasileiro de Engenharia Biomédica ISBN: A variável x 3 refere-se ao torque produzido pela estimulação elétrica Esta variável é disponível pois pode ser medida através de sensores de força A função não-linear da equação () para x variando 0º< θ v < 60º com θ v0 =30º pode ser aproximada por uma reta usando basic fitting tool of Matlab Uma aproximação da equação (6) pode ser escrita: B x = ( ax + b) x x + J J & & (7) sendo a=3584 e b=-8896 De (7) obtém-se: então Definindo B ax + bx x x 0 J + J = & & (8) c( t) = B x x 0 J + J = A solução de x é dada por: & & (9) ax + bx + c( t) = 0 (0) b± b 4 ac( t) x = () a encontrando-se como solução numérica x = c( t) () Existe solução analítica da equação (0) para o intervalo de x compreendido entre [-π/6 π/6] Deste modo x pode ser obtido em função de x& x& e x 3 O diagrama de blocos do sistema de controle proposto é mostrado na Figura 3 As simulações foram realizadas no ambiente do SIMULINK do software Matlab/SIMULINK Pn Planta x_d x_d x_d x_d x Dinâmica Inversa x alpha alpha alpha alpha alpha x x Pn Controle da Posição da Perna de um Paciente Paraplégico usando Fuzzy Takagi-Sugeno O conceito de Compensação Paralela Distribuída CDP [5] foi usado para projetar reguladores através da resolução de LMI pode estabilizar sistemas não-lineares descritos por modelos fuzzy T-S O sistema fuzzy T-S desenvolvido em [3] e [4] apresenta uma nãolinearidade descrita na equação () O conjunto fuzzy e suas funções de pertinências são obtidos utilizando-se o valor mínimo e máximo da equação () no intervalo desejado [3] [4] O sistema é composto por uma regra If-Then dois modelos locais (o número de modelos locais é s sendo s é o número de não-linearidades) e por conseqüência duas funções de pertinências (r= em (4)) A idéia é projetar um regulador para cada regra do modelo fuzzy O modelo global fuzzy é uma combinação de cada regulador (de acordo com (4)) Lema O controle CDP [5] que considera simultaneamente a estabilidade e a taxa de decaimento β β>0 para o sistema controlado pode ser especificado se existirem uma matriz simétrica positiva definida X (X>0 X=X T ) e M i i= r tais que e T T T XA M B + Ai X BiM i + β X < 0 (3) i i i T T T T T T XA M B + XA M B + A i j i j i j i X Bi M j + Aj X B jmi + 4β X < 0 i j= r i< j (4) sendo que os ganhos do controlador são dados por F i =M i X - i=r Considerando as condições iniciais u é imposta conhecidas x(0) então a restrição u( t) para t 0 para restrição do sinal de entrada do controlador considerando-se (3) (4) e (5) abaixo T x( 0) X M i e ( 0 ) µ T 0 0 (5) x X Mi I sendo I a matriz identidade com dimensão apropriada Resultados No gráfico da Figura 4 são apresentados os resultados da simulação que foram obtidos a partir da realimentação de estados usando acelerômetros pelo método proposto neste trabalho O ganho do controlador considerando as condições do Lema com β= e µ=500x0-6 de [] são: Controlador Figura 3: Diagrama de blocos do sistema de controle proposto O bloco da Dinâmica Inversa faz a estimativa de x a partir dos sinais dos demais sensores 3 F = F = (6) A realimentação do sistema utilizando acelerômetros foi realizada com uso da estimação da posição x através da equação () As simulações da variação do ângulo da articulação do joelho (θ v ) de um 3/5 CBEB

4 º Congresso Brasileiro de Engenharia Biomédica ISBN: paciente paraplégico utilizando a curva exata (contínua) representada pela equação (6) e a curva aproximada (tracejada) representada pela equação (7) considerando as condições iniciais x 0 =[-θ v 0 -M a0 ] T são ilustradas na Figura 4 ângulo do joelho (rad) ângulo do joelho (rad) Curva Exata e Aproximada Curva Exata Curva Aproximada Gráfico Ampliado tempo (s) Figura 4: Simulações da variação do ângulo da articulação do joelho (θ v ) de um paciente paraplégico utilizando as funções f % ( x ) exata e aproximada Discussão O uso da aproximação linear para a função nãolinear da equação () justifica-se pela facilidade de implementação computacional Através da Figura 4 observa-se que as curvas exata e aproximada são praticamente idênticas Na Figura 4 verifica-se que o sistema no regime convergiu para o ponto de equilíbrio desejado 05 rad Um novo método para controlar a posição da perna de um paciente paraplégico utilizando sinais de realimentação produzidos por acelerômetros e modelos fuzzy Takagi-Sugeno foi proposto O sistema de controle projetado considerou todas as nãolinearidades da planta e satisfez às restrições de projeto mostrando-se um método eficiente viável e rigoroso Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro da FAPESP CNPq e CAPES Referências [] Hill A V (938) The heat of shortening and the dynamic constant of muscle In: Proceedings of the Royal Society v B n 6 p [] Ferrarin M and Pedotti A (000) The Relationship Between Electrical Stimulus and Joint Torque: A Dynamic Model IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering v 8 n 3 p [3] Teixeira M C M Deaecto G S Gaino R Assunção E Carvalho A A and Farias U C (006) Design of a Fuzzy Takagi-Sugeno Controller to Vary the Joint Knee Angle of Paraplegic Patients Lectures Notes in Computer Science Springer Berlin/Heidelberg v 434 n 3 p 8 6 [4] Teixeira M C M Deaecto G S Gaino R Assunção E Carvalho A A and Farias U C (006) Projeto de um Controlador Fuzzy Takagi- Sugeno para Variar o Ângulo da Articulação do Joelho In: XVI Congresso Brasileiro de Automática Salvador p Out [5] Tanaka K Ikeda T and Wang O H (998) Fuzzy Regulators and Fuzzy Observers: Relaxed Stability Conditions and LMI-Based Designs IEEE Transactions on Fuzzy Systems v 6 n p [6] Teixeira M C M and Zak S H (999) Stabilizing Controller Design for Uncertain Non- Linear Systems Using Fuzzy Models IEEE Transactions on Fuzzy Systems v 7 n p 33 4 [7] Crago P E Mortimer T and Pecham P H (980) Cosed-Loop Control of Force During Electrical Stimulation of Muscle IEEE Transaction on Biomedical Engineering v 7 n 6 p [8] Dejnabadi H Jolles BM Aminian K (005) A New Approach to Accurate Measurement of Uniaxial Joint Angles Based on a Comnation of Accelerometers and Gyroscopes IEEE Transaction on Biomedical Engineering v 5 n 8 p [9] Cardim R Teixeira M C M Assunção E Faria A F Covacic R C (007) Controle de um Levitador Magnético Utilizando Modelos Fuzzy e Derivada de Estados da Planta In: Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente Florianópolis 8- Out [0] Takagi T Sugeno M (985) Fuzzy Identification of System and Its Applications to Modeling and Control IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics v 5 n p 6 3 [] Gahinet P Nemirovski A Laub A J Chilali M (995) LMI Control Toolbox- For use with Matlab The Math Works Inc [] Winter DA (005) Biomechanics and Motor Control of Human Movement New York: John Wiley Sons Inc [3] Franken HM Veltink PH Tijsmans R Nijmeijer H Boom HBK (993) Identification of Passive Knee Joint and Shank Dynamics in Paraplegics Using Quadriceps Stimulation IEEE Transactions on Rehabilitation Engineering v n 3 p /5 CBEB

5 º Congresso Brasileiro de Engenharia Biomédica ISBN: /5 CBEB