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1 ENTROPIA TOPOLÓGICA EM ESPAÇOS NÃO-COMPACTOS ANDRÉ CALDAS DE SOUZA Dada uma aplicação T : X X contínua, definida em um espaço compacto metrizável X, vale o princípio variacional sup h µ (T ) = h(t ) = h d (T ). µ Onde o supremo é tomado variando µ por todas as medidas de probabilidade T - invariantes definidas nos borelianos de X e h µ (T ) é a entropia de Kolmogorov-Sinai. Enquanto que h d é a entropia de Bowen e d é uma métrica qualquer compatível com a topologia de X. Por fim, h é a entropia topológica de T. Apresentamos uma extensão para a definição de entropia topológica que pode ser aplicada para casos não-compactos. No caso não-compacto que admite compactação por um ponto, a definição de entropia dada por Bowen depende da métrica usada. Com a definição de entropia topológica dada por M. Patrão em seu artigo [P-0], no caso metrizável separável localmente compacto, quando T é uma aplicação própria (e.g.: imagem inversa de compacto é compacta), vale o princípio variacional sup h µ (T ) = h(t ) = inf h d(t ). µ d Neste caso, o ínfimo é tomado sobre todas as métricas d compatíveis com a topologia de X. O ínfimo é atingido quando a métrica d é, por exemplo, a restrição de uma métrica qualquer da compactificação por um ponto de X. Uma aplicação do princípio variacional nos permite usar teoria da medida e aplicar a entropia de Kolmogorov-Sinai para concluir que a entropia topológica de uma transformação linear em um espaço de dimensão finita é nula, e que existe uma métrica que faz com que a entropia de Bowen também seja nula. Isso mostra que a conhecida fórmula de Bowen (Teorema 8.4 de [W-82]) h d (T ) = log λ, λ: auto-valor de T λ > onde d é uma métrica qualquer induzida por uma norma, é apenas um limitante superior para a entropia topológica. [P-0] Patrão, M.; Entropy and its Variational Principle for Non-Compact Metric Spaces, Ergodic Theory and Dynamical Systems 30, Cambrige University Press (200), [W-82] Walters, Peter; Graduate Texts in Mathematics 79, An Introduction to Ergodic Theory, Springer-Verlag (982). (André Caldas de Souza) UnB - Universidade de Brasília address:

2 CONJUGAÇÃO TOPOLÓGICA PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS AUTÔNOMAS: LINEAR E AFIM AILTON RIBEIRO DE OLIVEIRA, OSVALDO GERMANO DO ROCIO E ALEXANDRE JOSÉ SANTANA O objetivo deste trabalho é expor alguns resultados sobre conjugação topológica para equações diferenciais ordinárias autônomas lineares do tipo ẋ = Ax, com A gl(d, R) e x R d, e generalizá-los para equações diferenciais ordinárias autônomas afim do tipo ẋ = Ax + a, onde (A, a) gl(d, R) R d e x R d. Mostraremos como resultados principais, que, se A e B são matrizes hiperbólicas, os fluxos associados a ẋ = Ax (ou ẋ = Ax+a) e ẋ = Bx (ou ẋ = Bx+b) são topologicamente conjugados se, e somente se, os subespaços estáveis de A e B têm as mesmas dimensões. Além disso, mostraremos que um fluxo afim é escrito como soma de um fluxo linear mais uma parte afim e que a parte afim não influencia na conjugação topológica desses fluxos, ou seja, a conjugação topológica de fluxos afim depende apenas da parte linear desses fluxos. [] Colonius, F.; Dynamics and Linear Algebra, Notes of the IMA (Institute of Mathematics and Its Applications) PI Summer Program for Graduate Students: Linear Algebra and Applications, Iowa State University, Ames, Iowa (June 30-July 25, 2008). [2] Colonius, F. and Santana, A. J.; Stability and topological conjugacy for affine differential equations, Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática Essays(3s.) v (2008): 4-5. (Ailton Ribeiro de Oliveira) Universidade Estadual de Maringá address: ailton (Osvaldo Germano do Rocio) Universidade Estadual de Maringá address: (Alexandre José Santana) Universidade Estadual de Maringá address:

3 MÉTODO TOPOLÓGICO PARA CONTROLABILIDADE DE SISTEMAS ARIANE LUZIA DOS SANTOS E LUIZ A. B. SAN MARTIN Resumo Neste trabalho, através de um método topológico, apresentamos condições suficientes para controlabilidade em R d {0} do sistema de controle bilinear Ẋ = (A + ub)x, onde A e B são matrizes reais d d e u R é o controle. Para isso, fazemos uma análise do grupo fundamental das variedades flags. Assim, nosso resultado assegura a transitividade de certos semigrupos, em particular do semigrupo gerado pelo sistema de controle. [J-04] K. D. Johnson. The structure of parabolic subgroups. J. Lie Theory, 4 (2004), [EGK-96] R. El Assoudi, J. P. Gauthier and I. Kupka. On subsemigroups of semisimple Lie groups. Annales de l H. P., section 3, 3 (996), [JK-8] V.Jurdjevic, and I. Kupka. Control systems subordinate to a group action: accessibility. J. of Diff. Eq., 39 (98), [JK-8] V. Jurdjevic, and I. Kupka. Control systems on semisimple Lie groups and their homogeneous spaces. Ann.Inst. Fourier (Grenoble), 3(98), [SM-95] L.A.B. San Martin. On global controllability of discrete-time control systems. Math. Control Signals Systems, 8 (995), (Ariane Luzia dos Santos) Unicamp address: (Luiz A. B. San Martin) Unicamp address:

4 PROCESSOS DE DIFUSÃO EM VARIEDADES FOLHEADAS DIEGO SEBASTIAN LEDESMA Estudaremos processos estocásticos em variedades riemannianas folheadas e desenvolveremos um cálculo estocástico adaptado. Estudaremos o movimento Browniano folheado e estudaremos suas propriedades. (Diego Sebastian Ledesma) IMECC-UNICAMP address:

5 Monotonic Covering of Systems without Drift Eyüp Kizil October 3, 200 It has been introduced by Colonius-Kızıl-San Martin, in Covering space for monotonic homotopy of trajectories of control systems, J. of Differential Equations 26 (2005), , a homotopy theory for trajectories of geometric control systems. In particular, we have constructed a covering space for monotonic homotopy of trajectories of control systems. Here, we deal with a particular class of control systems, namely driftless or symmetric systems. The motivation is that the results we are going to present here are due to the symmetry property of the system and do not hold in general. Let M be an n-dimensional connected, smooth manifold endowed with a Riemannian metric. We consider the class of differential systems of the form dα dt Σ(α(t)) () where Σ is a generating convex cone contained in E, a finite dimensional subspace of the vector space Vect (M) of all smooth vector fields on M. The main assumptions are that E is endowed with an inner product,, and that it satisfies the Lie algebra rank condition (abbrev. LARC) which means L(Σ)(x) = T x M for all x in M. Denote by T (Σ) the set of trajectories of Σ and by T (Σ, x, y) the space of trajectories starting at x and ending at y. We recall that the space of trajectories is endowed with the C -topology which is stronger than the C 0 -topology of uniform convergence of trajectories. We constrain our attention to the subset of regular trajectories and define for () an appropriate homotopy which we call monotonic. Roughly speaking, these are trajectories that possess a full rank neighborhood around their end Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. Universidade de São Paulo. Cx. Postal 668, Cep: , São Carlos-SP, Brasil.

6 point. We say α m β (i.e.,α and β is monotonic homotopic) if they belong to the same path connected component of R(Σ, x, y). Since being monotonically homotopic defines an equivalence relation we define the monotonic covering of Σ to be the quotient space Γ(Σ, x) = R(Σ, x)/ m called monotonic covering of Σ. We have proved in the above work that Γ(Σ, x) is a smooth manifold of dimension n = dim M and that the projection ε x : Γ(Σ, x) A R (Σ, x), [α] α(), is a local diffeomorphism (not a covering in general). The image of ε x is contained in the interior inta(x) of accessible set from x, and is in fact inta(x) if the system satisfies the LARC. It is well known that a local difeomorphism h : X Y between topological spaces where X is connected and Y is simply connected becomes a diffeomorphism if it has the pathlifting property (abbrev. PLF). Hence, to identify Γ(Σ, x) with M it suffices to prove that (i) Γ(Σ, x) is connected and (ii) ε x satisfies PLP. The proof of (i) is quite technical and fortunately does not depend on controllability while the second assertion can be reduced to the local setting since the base space of ε x is a paracompact Hausdorff space. Thus it would be enough to show that ε x has locally PLP. The entire lifting would follow by the partition of unity. Theorem 0. (The Result) Let Σ be a driftless systems satisfying the Lie algebra rank condition. Assume that M is simply connected and fix x M. Then, the monotonic covering Γ(Σ, x) of Σ is diffeomorphic to the simply connected covering M of M. In other words, we can reach the universal covering manifold of the state space M using the control theoretic setting. Corollary 0.2 Two trajectories homotopic in M are also monotonically homotopic and hence ε x : Γ(Σ, x) M is a covering. 2

7 DINÂMICA TOPOLÓGICA E APLICAÇÕES À TEORIA DOS NÚMEROS FERNANDO LUCATELLI NUNES O poster faz parte da Iniciação Científica, intitulada Dinâmica Topológica e Aplicações à Teoria dos Números, orientada pelo professor Mauro Moraes Alves Patrão. Neste trabalho, foram usadas algumas técnicas de argumentação desenvolvidas por Fürstenberg para demonstrar, usando conceitos de Dinâmica Topológica, alguns teoremas clássicos de Teoria dos Números, em especial, de Aproximação Diofantina e Teoria de Ramsey. O poster divulga esse trabalho apresentando algumas dessas demonstrações de teoremas. Um tratamento detalhado do trabalho de Iniciação Científica pode ser encontrada nas referências [7] e [8], que estarão disponibilizadas no blog do grupo de Teoria de Lie e Dinâmica da UnB. Por possibilitar um tratamento mais direto e não demandar a introdução de muitos conceitos, os teoremas escolhidos para essa exposição do poster são de Aproximação Diofantina. O problema de aproximar números reais usando números racionais é o principal ponto dos resultados diofantinos que são tratados no pôster. Um dos resultados mais conhecidos foi provado por Kronecker (823-89) há mais de 00 anos na referência [6]. Esse resultado foi posteriormente generalizado por Hardy ( ) e Littlewood ( ) na referência [5]. Com uma construção de sistemas dinâmicos conhecida como produto cruzado, usando uma abordagem feita por Fürstenberg em [3], será demonstrado uma generalização desses dois teoremas. [] Birkhoff, G. D. Dynamical Systems. Colloquium Publications IX, America Mathematical Society. Providence, 927. [2] Ellis, R. Lectures on Topological Dynamics. New York: W. A. Benjamin, Inc., 969. [3] Furstenberg, H. Disjointness in ergodic theory, minimal, sets and problem diophantine approximation. Math Systems Theory, 967. [4] Furstenberg, H. Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 98. [5] Hardy, G.H.; Littlewood, J.E. The fractional part of n k θ. Acta Math, 94. [6] Kronecker, L. Zwei sätse über Gleichungen mit ganzzahligen Coeficienten. J. Reine Angew. Math, 857. [7] Lucatelli, F. Elementos de Topologia para Sistemas Dinâmicos. [8] Lucatelli, F. Dinâmica Topológica e aplicações à Teoria dos Números. (Fernando Lucatelli Nunes) UnB - Universidade de Brasília address: (Mauro Moraes Alves Patrão) UnB - Universidade de Brasília address:

8 DECOMPOSIÇÕES DE MORSE PARA AÇÕES DE SEMIGRUPOS. HÉLIO VINICIUS M. TOZATTI Poster com a abordagem da teoria dos conjuntos ω limites, decomposições de Morse para ações de semigrupos, decomposições de Morse dinâmica e exemplos de decomposições de Morse para ações de semigrupos e decomposições de Morse dinâmica. [] Carlos J. Braga Barros, Josiney A. Souza, Ronan A. Reis: Dynamic Morse Decompositions for semigroup of Homeomorphisms and Control Systems. (2009) [2] Carlos J. Braga Barros, Josiney A. Souza : Attractor and chain recurrence for semigroup actions. (2009) [3] Carlos J. Braga Barros, Josiney A. Souza : Finest Morse Decompositions for Semigroup on Fiber Bundles. (2009) (Hélio Vinicius M. Tozatti) Universidade Estadual de Maringá - UEM address:

9 UMA VARIEDADE HOMOGÊNEA ADMITINDO A AÇÃO TRANSITIVA DE SEMIGRUPOS PRÓPRIOS JANETE DE PAULA FERRAREZE E LUIZ A. B. SAN MARTIN Neste trabalho apresentamos um resultado sobre a existência de uma única variedade homogênea do grupo especial linear G = Sl(n, R), na qual um semigrupo próprio de tipo projetivo S G pode agir transitivamente. O conceito de tipo parabólico de um semigrupo, encontrado em [5], foi uma ferramenta fundamental para que San Martin e Tonelli mostrassem, em [4], resultados que fornecem condições necessárias para que um semigrupo S G seja transitivo numa variedade da forma G/L. Utilizando esses resultados e os subgrupos de Sl(n, R) que são transitivos no espaço projetivo real, classificados por Boothby [], conseguimos chegar ao seguinte resultado: Seja G = Sl(n, R), S G um semigrupo próprio com int(s) cujo o tipo parabólico B(S) é RP 2n, Gr n (n) ou se projeta em uma dessas variedades. Então a única variedade homogênea de G na qual S pode ser transitivo é Sl(n, R)/Sp(m, R), com n = 2m. Como exemplo basta tomar G = Sl(2n, R) e S = S W = {g Sl(2n, R) : gw W }, onde W R 2n é um cone pontual e gerador. Temos que S W age transitivamente em Sl(2n, R)/Sp(n, R). Uma motivação para o estudo desse problema é que ele está ligado a controlabilidade de sistemas bilineares da forma ẋ = (A + ub)x. [] W.M. Boothby e E.N. Wilson; Determination of the transitivity of bilinear systems, SIAM J. Control and Optimization Vol.7, No.2, (979), [2] L.A.B. San Martin; Álgebras de Lie, Editora Unicamp (999). [3] L.A.B. San Martin; Homogeneous Spaces Admitting Transitive Semigroups, Journal of Lie Theory Vol.8 (998), -28. [4] L.A.B. San Martin e P.A. Tonelli; Transitive actions of semigroups in semi-simple Lie groups, Semigroup Forum 58 (999), [5] L.A.B. San Martin e P.A. Tonelli; Semigroup actions on homogeneous spaces, Semigroup Forum 50 (995), (Janete de Paula Ferrareze) Universidade Estadual de Campinas - unicamp address: (Luiz A. B. San Martin) Universidade Estadual de Campinas - unicamp address:

10 BIFURCATION OF SET-VALUED DYNAMICAL SYSTEMS JEROEN LAMB We discuss the bifurcation of minimal invariant sets of set-valued dynamical systems and show that - under some mild natural conditions - there exist precisely two types of topological bifurcations of such sets, which are both discontinuous. The results apply to - and were motivated by - the bifurcations of random/control dynamical systems with bounded noise/control. This is joint work with Martin Rasmussen and Christian Rodrigues. (Jeroen Lamb) Imperial College London address:

11 AÇÕES DE GRUPO DE LIE SOBRE ESTRUTURAS DIFERENCIÁVEIS SOBRE ESPAÇOS PROJETIVOS JULIANE F.OLIVEIRA Dado um espaço vetorial V de dimensão n, o Espaço Projetivo, P n (V), é definido como o conjunto de todos os subespaços W de V tais que dim(w) =, ou seja, é o conjunto das retas complexas que passam pela origem. Quando V é um espaço euclidiano K n, K = R ouc, o Espaço Projetivo é denominado Espaço Projetivo real, ou Espaço Projetivo complexo, respectivamente. Recentemente o estudo dessas variedades tem encontrado aplicabilidade em varias áreas da matemática, em especial na Geometria Diferencial. Neste trabalho construiremos duas estruturas complexas sobre o Espaço Projetivo complexo, P n (C), sendo que uma delas será obtida como espaço quociente de um grupo de Lie. Palavras Chave: Variedades Complexas, Grupos de Lie, Espaços Projetivos Complexos. [Kobayashi and Nomizu] S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of differential geometry, Interscience Publishers, vols, 2, 969. [do Carmo] Manfredo P. do Carmo, Geometria Riemanniana, Rio de Janeiro: IMPA, 2008 quarta edição. [San Martin] Luiz A. B. San Martin, Álgebras de Lie, Campinas - SP, Editora da UNICAMP, 999. [Lima] Elon Lages Lima, Introdução às Variedades Diferenciáveis, Porto Alegre - RS, Editora Meridional, 960. [Valladares] Renato J. C. Valladares, Intrudução à Geometria Diferencial. Niterói - RJ, UFF, 979. [Varadarajan] V. S. Varadarajan, Lie Groups, Lie Álgebras, and Their Representations, New York, Springer-Verlag, 984 Second Edition. [Boothby] William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, New York, Academic Press Limited, 986 Second Edition. [dos Santos] Santos, Evandro F. C. dos, Variedades Diferenciáveis, Salvador, IM-UFBA, Notas de Aula, [Lopes] Lopes, Jairo de Araújo, Dissertação de Mestrado, São Paulo, UNICAMP, 982. (Salvador-BA Brasil) Universidade Federal da Bahia address:

12 Otimalidade em espac os homogêneos Julio C. Rodríguez Universidade Católica do Norte Antofagasta Chile. Abstract Seja G um grupo de Lie. Nos estudamos problemas de contole ótimo sob espaços homogêneos G/H, identificamos o fibrado cotangente T (G/H) como um subfibrado do fibrado cotangente de G. Desde esta identificação descrevemos o levantamento hamiltoniano de campos vetoriais sob G/H induzidos por elementos na álgebra de Lie g de G. Nos aplicamos esta teoria para os sistemas de controle bilinear em ambos casos: o caso controlable e o caso onde o sistema PΣ tem duas regiões de controlabilidade. Consideramos o seguiente tipo de problemas ótimos: tempo ótimo e costo cuadrático, para o espaço de configuracao é certo espaco homogêneo do grupo de Lie unimodular. O analise esta baseado sob o Principio do Máximo de Pontraguin e as ferramentas da teoria de controle ótimo. This work is suported by FONDECYT Nro

13 ENTROPIA TOPOLÓGICA E DIMENSÂO DE HAUSDORFF LINNIKER MOTEIRO LOURENÇO A dimensão de Hausdorff é utilizada em diversos contextos para identificar o volume de certos conjuntos com medida de Lebesgue zero, como os fractais. Posto desta forma não é trivial que esse conceito tenha relação com o de entropia topológica, cujo aparecimento se deve a tentativa de entender melhor os sistemas dinâmicos. De maneira informal a entropia mede de um modo específico o grau de desorganização de um sistema dinâmico. Uma relação entre os objetos mencionados foi feita por Dai, Zhou e Gang em [?], de um modo que envolve ferramentas sofisticadas. Mas o que é interessante, nesse contexto, é que o mesmo resultado pode ser obtido de um modo bem mais direto quando é adotada a definição de entropia topológica proposta por Bowen. [?] e [?]. Neste poster desenvolveremos os conceitos acima e usaremos como ilustração o sistema: rotação no circulo. A motivação para apresentação desse tema foi uma palestra realizada, no primeiro semestre desse ano, na Unb, pelo professor Mauro Moraes Alves Patrão. As referências [?] e [?] são leituras recomendáveis. [] X. Dai, Z. Zhou and X. Geng. Some relations between Hausrdorff-dimensions and entropies, Sci. China Ser. A 4 (998), [2] R. Bowen, Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces, trans. Amer. Math. Soc. 53(97), [3] Misiurewicz. M. On Bowen definition of topological entropy, Discrete Contin. Dyn. Syst., Ser. A, 0 (2004), [4] Stein M. Elias, Shakarchi R. Real Analysis Measure Theory, integration and Hilbert spaces, Princeton lectures in analysis. [5] Lucatelli, F. Elementos de Topologia para Sistemas Dinâmicos. (Linniker Moteiro Lourenço) UnB - Universidade de Brasília address: (Mauro Moraes Alves Patrão) UnB - Universidade de Brasília address:

14 FLUXO DE RICCI DE MÉTRICAS INVARIANTES EM VARIEDADES FLAG LINO ANDERSON DA SILVA GRAMA Nesta palestra apresentaremos alguns resultados sobre fluxos de Ricci de métricas invariantes em variedades flag generalizadas. Mais especificamente discutiremos questões referentes a convergências de certos tipos especiais de métricas e a análise do comportamento global do fluxo de Ricci em certos espaços homogêneos. Trabalho em colaboração com R.M.Martins (L.A.S Grama) IMECC-Unicamp address:

15 HOMOLOGIA DE VARIEDADES FLAG REAIS E EXEMPLOS LONARDO RABELO Apresentar como se faz o cálculo dos grupos de homologia de variedades flag reais com coeficientes inteiros por duas abordagens: via homologia de Morse e homologia celular. Exibir alguns exemplos. (Lonardo Rabelo) IMECC-UNICAMP address:

16 SUBVARIEDADES FLAG LUCAS SECO Considere um elemento diagonalizável de um grupo de Lie semisimples real e conexo agindo em uma de suas variedades flag. Mostramos que o conjunto dos pontos fixos dessa ação é uma reunião disjunta de variedades flag mergulhadas, as quais chamamos de subvariedades flag. Uma aplicação disso é obter por argumentos puramente dinâmicos a decomposição de Bruhat em quociente duplo de um grupo semisimples. Existem outras aplicações? Essa palestra será baseada em resultados de [?]. [L-08] A note on the Bruhat decomposition of semisimple Lie groups, Journal of Lie Theory 8 (2008). (Lucas Seco) Universidade de Brasília-DF address:

17 GEOMETRIA DOS CAMINHOS EM GRUPOS DE LIE AUTORES Neste trabalho estendemos os conceitos de cálculo estocástico do R n para variedades, e consequentemente, para grupos de Lie. Estudamos duas aplicações que serão fundamentais para o estudo dos caminhos em G: a exponencial estocástica, que é uma aplicação da álgebra de Lie G no grupo G e o logaritmo estocástico que faz o caminho contrário. Em seguida começamos com algumas noções de cálculo de Malliavin. Definimos o espaço de Cameron-Martin, espaço esse que será das direções em que poderemos definir a derivada de Malliavin. Veremos o que é uma derivada de Malliavin, conceito fundamental para o estudo da geometria estocástica dos caminhos em grupos de Lie. Utilizamos essa derivada para definir o fibrado tangente e a definição do espaço de Cameron-Martin para introduzir uma métrica nesse espaço. Damos uma expressão para a derivada de Malliavin da exponencial estocástica e utilizando essa expressão, definimos uma conexão no espaço de caminhos. Com essa conexão definimos o que vai ser o colchete de Lie e verificamos um caso em que essa conexão é de Levi-Civita e outro caso em que ela não é de Levi-Civita. [A-98] Aida, Shigeki. Stochastic analysis on loop spaces [trasnlation of Sgaku 50 (998), no3, , MR65209(99i:5855)]. Sugaku Expositions. Sugaku Expositions 3 (2000) no. 2, [Ca,R-07] Catuogno, P; Ruffino, Paulo R.C. Product of harmonic maps is harmonic: a stochastic approach. Séminaire de Probabilités XL, , Lecture Notes in Math, 899.Springer, Berlin, [K-88] Karatzas, I; Shreve, S. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag-988. [O-97] Oksendal, B. An Introduction to Malliavin Calculus with Applications to Economics. Maio 997. [O-00] Oksendal, B. Stochastic Differential Equations 5 ed. Springer-Verlag [P-03] Protter, P. Stochastic Integration and Differential Equations 2 ed. Springer [S-97] Shigekawa, Ichiro. Differential calculus on a based loop group. New trends in stochastic analysis (Charingworth, 994), , World Sci. Publ. River Edge, NJ,997. [Us] Ustnel, A.An Introduction To Analysis On Wiener Space. Texto Eletrnico em (Luciano Vianna Félix) Unicamp/UFRRJ address: (Pedro José Catuogno) Unicamp address:

18 ALGUMAS QUESTÕES EM TEORIA DE LIE, SISTEMAS DINÂMICOS E SISTEMAS DE CONTROLE L.A.B. SAN MARTIN Serão apresentados resultados recentes, problemas em aberto assim como perspectivas futuras dentro da linha de estudo de variedades flag de grupos de Lie semi-simples e suas aplicações a sistemas dinâmicos e sistemas de controle. Dos assuntos a serem discutidos se inclui o dos fluxos em fibrados e seus tipos flag (tipo parabólico), com atenção especial à relação entre os tipos flag determinados pelos expoentes de Lyapunov em contraposição aos expoentes e à decomposição de Morse. Essa questão do tipo flag sugere diversos problemas de natureza topológica ligados à existência de seções de fibrados flag, que serão discutidas, ao menos de passagem. No que diz respeito à teoria de controle, serão mencionadas questões sobre controlabilidade e tipo flag de semigrupos e do fluxo de controle. (L.A.B. San Martin) IMECC-UNICAMP address:

19 HOMOTOPIA ENTRE TRAJETÓRIAS DIRIGIDAS POR CAMINHOS RUGOSOS MARCELO G. O. VIEIRA O objetivo deste trabalho é estender alguns resultados de Colonius-Kizil-San Martin [] sobre homotopia monotônica entre trajetórias de sistemas de controle para trajetórias de sistemas dirigidos por caminhos rugosos. Seja E um espaço de Banach. Considere o conjunto () T n (E) = {(a 0, a,..., a n ) : a 0 R e a k E k, para cada k =,..., n} munido com as operações (a 0, a,..., a n ) + (b 0, b,..., b n ) = (a 0 + b 0, a + b,..., a n + b n ) λ.(a 0, a,..., a n ) = (λ.a 0, λ.a,..., λ.a n ), para todo λ R (a 0, a,..., a n ) (b 0, b,..., b n ) = (c 0, c,..., c n ), onde c k = k i=0 a i b k i, k = 0,..., n. O conjunto (2) T n 0 (E) = {a T n (E) : a = (0, a,..., a n )} munido com a operação (3) [a, b] = a b b a é uma álgebra de Lie. Identificando E com o conjunto {(0, v, 0,..., 0) T n 0 (E) : v E}, considere (4) L n (E) = E [E, E] [E, [E, E]]... T n 0 (E) e (5) G n (E) = exp(l n (E)). É possível definir uma métrica invariante à esquerda d cc em G n (E) chamada métrica de Carnot-Caratheodory. Sejam p e T > 0. O conjunto dos caminhos contínuos com p -variação finita de [0, T ] em (G n (E), d cc ) é denotado por V p ([0, T ], G n (E)). O conjunto V p ([0, T ], G p (E)) é chamado espaço de caminhos p -rugosos. Uma solução de uma equação da forma (6) dy = f(y ) dx onde X V p ([0, T ], G p (E)), é chamada trajetória dirigida por um caminho rugoso. Especificamente, o principal objetivo deste trabalho é mostrar que a relação de homotopia entre trajetórias de um sistema dirigido por caminhos rugosos induz a construção de um espaço de recobrimento para um conjunto de pontos acessíveis deste sistema.

20 2 MARCELO G. O. VIEIRA [] Colonius, F., Kizil E. and San Martin L.A.B. Covering space for monotonic homotopy of trajectories of control systems. J. Differential Equations, 26, pp [2] Lyons, T., Caruana, M. and Levy, T. Differential Equations Driven by Rough Paths. Springer, [3] Vieira, M. G. O., Homotopia entre Trajetrias de Equações Dirigidas por Caminhos Rugosos. Tese de Doutorado, IMECC/Unicamp, (Marcelo G. O. Vieira) FACIP - UFU address:

21 UMA PANORÂMICA SOBRE DINÂMICA EM GRUPOS DE LIE MAURO PATRÃO Nessa palestra, vamos dar uma panorâmica sobre dinâmica em grupos de Lie e em seus espaços homogêneos. A ênfase será dada nos resultados obtidos pelo autor e por colaboradores nos últimos anos, principalmente sobre dinâmica em variedades flag de grupos de Lie semi-simples. Serão também apresentadas algumas das questões em aberto nessa área. (Mauro Patrão) Universidade de Brasília-DF address:

22 ON THE GEOMETRY OF FLAG MANIFOLDS WITH FEW ISOTROPY SUMMANDS SILVA N. P. DA, COHEN N., NEGREIROS C. J. C. In this talk we will discuss some geometry aspect on flag manifolds with few isotropy summands. We obtained the classification of these spaces by means of t-roots. On certain families of flag manifolds with few isotropy summands we present explicity all invariant Einstein metrics and a important property of these metrics. We will also present a criterion of the (,)-symplectic property on flag manifolds by means of t-roots. Then we can relate the geometry of certain full flag manifolds with certain generalized flag manifolds. Finally we will present some problems that we are investigating. [A-93] A. Arvanitoyeorgos, New invariant Eistein metrics on generalized flag manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 337, , (993). [A-C-09] A. Arvanitoyeorgos and I. Chrysikos, Invariant Einstein metrics on flag manifolds with four isotropy summands, Ann. Global Anal. Geom. 37, no. 2, 85 29, (200). [B-87] A.L. Besse, Einstein Manifolds, Springer-Verlag (987). [C-P-08] N. Cohen, S. Pinzón, An extension of the (,2)-symplectic property for f-strutures on flag manifolds, Izvestiya: Mathematics 72: , (2008). [N-09] N. P. da Silva, Mtricas de Einstein e estruturas Hermitianas invariantes em variedades bandeira, Tese de Doutorado, Universidade de Campinas, (2009). [W-Z-85] M.Wang and W. Ziller, On normal homogeneous Einstein metrics, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 8, , (985). (autor ) UFU address: (autor 2) UFRN address: (autor 3) UNICAMP address:

23 TOPOLOGICAL CONJUGACY OF HIPERBOLIC AND NILPOTENT FLOWS ON SEMISIMPLE LIE GROUP OSVALDO GERMANO DO ROCIO Seja G um grupo de Lie e g sua respectiva álgebra de Lie. Dois elementos X, Y g são topológicamente conjugados se existir um homeomorfismo h : G G tal que h(exp(tx)x) = exp(ty )h(x) para todo x G e t R. No caso em que G é um grupo de Lie semi-simples, não compacto, conexo considere uma decomposição de Iwassava g = k a n. O objetivo da palestra é mostrar que, se X, Y a ou X, Y n então X e Y são conjugados em G. (Osvaldo Germando do Rocio) Universidade Estadual de Maringá address:

24 OCTANTES INVARIANTES PARA SISTEMAS BILINEARES RAFAEL M. HUNGARO, OSVALDO G. ROCIO E ALEXANDRE J. SANTANA O objetivo deste trabalho é apresentar condições para a não controlabilidade global de sistemas bilineares da forma m () ẋ = Ax + u i B i x, x R n \ {0}, u i R i= onde A e B i são matrizes quadradas com entradas reais. Uma vez que as condições de existência de octantes invariantes são condições suficientes para a não controlabilidade global, estaremos interessados em descrever condições sobre as entradas de matrizes A e B afim de que o sistema bilinear possua octantes invariantes. ẋ = Ax + ubx [] L.A.B. San Martin, A family of maximal noncontrollable Lie wedges with empty interior. Systems e Control Letters 43 (200), [2] M.W.Hirsch, Convergence in neural nets. Proc. Int. Conf. Neural Networks, Vol.II, IEEE, USA, (987), [3] V. Jurdjevic and I. Kupka, Control Systems subordinate to a group action: acessibility. J. Differential Equations, 39(98), [4] O.G. Do Rocio, L.A.B. San Martin, and A.J. Santana, Invariant cones and convex sets for bilinear control systems and parabolic type of semigroups. J. Dynam. and Control Systems, Vol.2, (2006), No.3, [5] YU.L. Sachkov, On invariants orthants of bilinear systems. J. Dynam. and Control Syst. 4 (998), No., [6] YU.L. Sachkov, Invariant orthants of bilinear systems. J. Differential Equations 3 (995), No.6, [7] YU.L. Sachkov, Controllability of invariant systems on Lie groups and homogeneous spaces, Program Systems Institure, Russian Academy of Science (999). (Rafael Mestrinheire Hungaro) Universidade Estadual de Maringá address: (Osvaldo Germano do Rocio) Universidade Estadual de Maringá address: (Alexandre José Santana) Universidade Estadual de Maringá address:

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