UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO - CECAU GABRIEL FONSECA FALEIROS

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO - CECAU GABRIEL FONSECA FALEIROS HEURÍSTICA ITERATED LOCAL SEARCH APLICADA A PROBLEMAS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO Ouro Preto, novembro de 2012

2 GABRIEL FONSECA FALEIROS HEURÍSTICA ILS APLICADA A PROBLEMAS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID Monografia apresentada ao Curso de Engenharia de Controle e Automação da Universidade Federal de Ouro Preto como parte dos requisitos para a obtenção do Grau de Engenheiro de Controle e Automação. Orientador: Marcone Jamilson Freitas Souza Ouro Preto Escola de Minas UFOP Novembro/2012

3

4 Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas - Departamento de Geologia - Campus Morro do Cruzeiro s/n - Bauxita Ouro Preto, Minas Gerais Tel. (31) , Fax: (31) Os direitos de tradução e reprodução reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser gravada, armazenada em sistemas eletrônicos, fotocopiada ou reproduzida por meios mecânicos ou eletrônicos ou utilizada sem a observância das normas de direito autoral. Catalogação elaborada pela Biblioteca Prof. Luciano Jacques de Moraes do Sistema de Bibliotecas e Informação - SISBIN - Universidade Federal de Ouro Preto Fonte de catalogação: bibem@sisbin.ufop.br

5 Este trabalho é dedicado a Deus.

6 AGRADECIMENTOS Agradeço, primeiramente, a Deus pela sabedoria e capacidade dada. Gostaria de agradecer a minha família por todo o sacrifício feito para que eu concluísse meus estudos e à Sarah pelo apoio e incentivo necessários na conclusão deste trabalho. Ao Departamento de Controle e Automação pelo aprendizado e ajuda e ao Prof. Dr. Marcone J. F. Souza pela orientação e paciência ao longo deste. Por fim, agradeço a República Covil dos Gênios por ser minha casa, minha segunda família.

7 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO Objetivo Geral Objetivos Específicos Justificativa do Trabalho CONTROLADORES Controladores On-Off Controladores PID Ganho Proporcional Ganho Integral Ganho Derivativo SINTONIA DE CONTROLADORES Primeiro Método De Ziegler-Nichols Segundo Método De Ziegler-Nichols Método De Chien, Hrones E Reswick ILS (ITERATED LOCAL SEARCH) METODOLOGIA Modelagem Do Tanque Desenvolvimento Em Matlab Obtenção De Dados...30

8 6. ANÁLISE DOS RESULTADOS CONCLUSÃO...38 REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS...39

9 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Diagrama de bloco de uma malha PID...18 Figura Resposta ao degrau unitário...22 Figura Resposta senoidal usado no método Ziegler-Nichols...23 Figura 4.1 Gráfico solução x custo...25 Figura 5.1 Esquema de um controle de nível...26 Figura 5.2 Gráfico de funcionamento da válvula...28 Figura Gráfico de funcionamento do sensor...29 Figura Diagrama de blocos do controle PID para nível de líquidos...29 Figura 5.5 Pseudocódigo do método ILS...30 Figura 6.1 Otimização ILS utilizando o índice IAE...33 Figura 6.2 Otimização ILS utilizando o índice ISE...35 Figura 6.3 Otimização ILS utilizando o índice ITAE...37 Figura 6.4 Otimização ILS utilizando o índice ITS...38

10 LISTA DE TABELAS Tabela Regras de sintonia de Ziegler-Nichols (Primeiro Método)...23 Tabela Regras de sintonia de Ziegler-Nichols (Segundo Método)...24 Tabela Regras de sintonia CHR...24

11 LISTA DE SIGLAS ILS, Iterated Local Search. A/D, conversor analógico/digital. P, ação Proporcional. PI, ação Proporcional+Integral. PD, ação Proporcional+Derivativo. PID, ação Proporcional-Integral-Derivativo. u(t), sinal de controle na saída do controlador, no domínio contínuo ou analógico. e(t), sinal de erro na entrada do controlador, no domínio contínuo ou analógico. Kp, constante de proporcionalidade associada ao termo proporcional. Ti, constante de proporcionalidade associada ao termo integral. Ki, constante inversamente proporcional a Ti. Td, constante de proporcionalidade associada ao termo derivativo. CLP, Controlador Lógico Programável. T, constante de tempo, L, constante de Retardo. Pcr, comprimento de onda da resposta senoidaldo método CHR. Kcr, valor crítico que geraa resposta senoidal do método CHR.

12 RESUMO Este trabalho trata do problema de sintonia de controladores Proporcionais-Integrais- Derivativos (PID) para o controle de nível de um tanque. Propõe-se o desenvolvimento de um algoritmo que utiliza o método Iterated Local Search (ILS) para resolvê-lo. Para tal, faz-se uma revisão dos principais métodos de sintonia de controladores PID. É desenvolvido um modelo matemático para encontrar as funções de transferência da válvula, transdutor e do tanque. Também é desenvolvido o diagrama de blocos através da ferramenta Simulink do software Matlab (Matrix Laboratory) e implementadas funções que geram uma solução inicial aleatória e determinam mínimos locais. A exploração do espaço de soluções é feita por meio metaheurística Iterated Local Search (ILS). No presente estudo, foram utilizados diferentes índices de desempenho como critério de parada e diferentes níveis de perturbação, sendo coletados dados como, máximo valor de saída, sobressaltos (overshoot), tempo de atraso e tempo de subida. Por fim, foi realizada a análise das respostas para validar o método.

13 ABSTRACT This work proposes a solution of Proportional-Integral-Derivative (PID) controllers tuning problem for the level control of a tank. It proposes the development of an algorithm which uses the method Iterated Local Search (ILS) to solve it. To this end, it is a review of the principal methods of PID controllers tuning. A mathematical model was developed to find the transfer functions of the valve, and transducer tank. Was also developed the block diagram through the tool Matlab Simulink Software (Matrix Laboratory) and was implemented functions that generate a random initial solution and determining local minimum. The exploration of the solution space was made through metaheuristic Iterated Local Search (ILS). In the present study, we used different performance indices as stopping touchstone and different levels of disturbance, such as collected data, maximum output value, overshoot, delay time and rise time. Finally, was performed an analysis of the responses to validate the method.

14 1 INTRODUÇÃO No início, o homem dependia apenas de seu trabalho braçal, mas com o desenvolvimento das máquinas a vapor na revolução industrial, houve a necessidade de controlar esta nova fonte de energia. Então surgiu o controle automático. Segundo Pinto (2005), o primeiro controlador automático industrial foi o regulador centrífugo inventado em 1775, por James Watts, para o controle de velocidade das máquinas a vapor, mas somente por volta de 1900 apareceram outros reguladores e servomecanismos aplicados à máquina a vapor, a turbinas e a outros processos. Mecanismos físicos permitiam a implementação de controle com ação sobre uma válvula para regular alguma variável medida do processo. Atualmente os controladores de processos trabalham com amostragem de sinais de saída ou de erro, esse sinal analógico passa então por um conversor analógico/digital (A/D) onde é transformado em um sinal numérico. O controlador recebe este sinal e para mantê-lo próximo de um valor desejado, sempre que houver um erro entre ele e o valor desejado, o sistema desencadeará uma ação sobre um atuador, como, por exemplo, uma válvula, abrindo-a ou fechando-a, aumentando ou diminuindo a vazão de água. Essa ação normalmente é proporcional ao erro verificado entre o valor desejado e o medido para a propriedade regulada. Três parcelas são adicionadas: uma de proporcionalidade direta a cada novo erro, outra de proporcionalidade à soma acumulada do erro e uma terceira de proporcionalidade à taxa de variação do erro, compondo uma lei de controle denominada proporcional-integral-derivativa (PID), que descreve o comportamento de boa parte dos dispositivos de controle. Atualmente, com a informatização da instrumentação, outras leis de controle podem ser codificadas. As leis mais complexas normalmente regem tarefas de uma natureza mais ligada à otimização e supervisão. O controle avançado inclui as constantes de proporcionalidade PID que devem também ser ajustadas e o valor das constantes determinante no comportamento dos controladores, alterando-lhes o desempenho. A escolha dos valores deve manter o processo sob controle estável e o desempenho do controlador deve ser satisfatório, surge então o termo sintonia de controladores, que significa

15 15 encontrar valores para as constantes de proporcionalidade de forma a regular o processo com estabilidade e no valor desejado para a variável medida. Com o controle avançado, a questão de sintonia do controlador regulatório fica ainda mais importante, uma vez que o desempenho do controlador PID é a parte mais importante de todo processo. Neste trabalho utilizaremos a metaheurística Iterated Local Search (ILS) para otimizar este desempenho. 1.1 Objetivo Geral Este trabalho tem como objetivo geral sintonizar controladores PID usando diferentes índices de desempenho para otimizá-los através da metaheurística ILS. 1.2 Objetivos Específicos Revisar bibliograficamente os métodos de sintonia de controladores PID; Desenvolver um modelo matemático para a simulação de um tanque, transdutor e válvula através do tooolbox Simulink do MatLab; Desenvolver um conjunto de funções no MatLab capaz de gerar uma solução inicial aleatória dos parâmetros de sintonia e encontrar um mínimo local baseado em índices de desempenho; Desenvolver um método heurístico capaz de refinar essa solução; Comparar o desempenho dos índices para diferentes perturbações; Verificar a aplicabilidade e eficiência do método heurístico desenvolvido.

16 Justificativa do Trabalho Controladores do tipo PID são muito utilizados na indústria. Segundo Pereira e Haffner (2010), entre 90 e 95% dos problemas de controle são solucionados empregando tais controladores, podendo considerá-los como base da engenharia de controle. Isso se deve à sua simplicidade, claro entendimento de seu funcionamento por parte de operadores e engenheiros de chão de fábrica, baixo custo e o fato de que, quando sintonizado adequadamente, proporcionam desempenhos satisfatórios em muitos casos. Atualmente, há muitos processos automatizados que utilizam Controladores Lógicos Programáveis CLP s, e possuem em suas malhas de controle algoritmos PID, cabendo aos engenheiros e técnicos responsáveis pelo processo, sintonizar os parâmetros dos controladores. De acordo com Pereira e Haffner (2010), a principal razão para o baixo desempenho de processos automatizados está relacionada a problemas em válvulas, sensores e a sintonia incorreta dos controladores PID. Portanto, o entendimento dos termos do PID relativos às respectivas ações de controle bem como configuração final do valor numérico desses parâmetros, determina o desempenho do processo, se tornando algo fundamental, aplicável e necessário em diversos setores industriais.

17 2 CONTROLADORES Segundo Ricarte (1999), um controlador é uma interconexão de componentes conectados ou relacionados, de maneira a comandar, controlar ou ajustar a si mesmo ou outro sistema. A introdução de um controlador em um sistema modifica sua dinâmica, manipulando a relação entrada/saída através da atuação sobre um ou mais dos seus parâmetros, com o objetivo de satisfazer especificações com relação a sua resposta (OGATA, 2003). Isto é feito através da comparação do valor atual da variável de saída da planta com um valor de referência desejado, gerando um sinal de erro. Este sinal de erro produz um sinal de controle que deverá agir no sentido de tornar este erro nulo ou próximo de zero. Esta é a chamada Ação de Controle. Os controladores industriais são classificados de acordo com a ação de controle que executam e podem ser: Controladores ON-OFF; Controladores Proporcionais; Controladores Integrais; Controladores Proporcionais-Integrais; Controladores Proporcionais-Derivativos; Controladores Proporcionais-Integrais-Derivativos. 2.1 Controladores On-Off Segundo Hey (1997), nos controladores On-Off, o atuador possui duas posições fixas, ligado e desligado. Por esta razão apresenta um custo relativamente baixo, aliado a simplicidade. Seja o sinal de saída do controlador u(t) e a entrada o sinal de erro e(t). A saída u(t) permanece em um valor máximo (U1) ou em um valor mínimo (U2), dependendo do sinal do erro e(t), ou seja, u(t) = U1 para e(t) > 0 ou u(t) = U2 para e(t) < 0. Porém na prática, ao implementar este controlador, deve-se considerar uma pequena diferença entre os valores positivos e negativos de erro. Isto cria um intervalo diferencial, conhecido como histerese, cuja finalidade é diminuir a frequência de abertura e fechamento do controlador e, portanto aumentar a sua vida útil.

18 Controladores PID Controladores industriais do tipo PID surgiram na década de 30 e devido à sua simplicidade, claro entendimento de seu funcionamento por parte de operadores e engenheiros de chão de fábrica e baixo custo. Vêm sendo utilizados largamente até hoje em diferentes tipos de processos. Esses fatores garantiram sua permanência até hoje, estimando-se que quase 95% das malhas utilizam tais controladores (PEREIRA; HAFFNER, 2010). Controladores automáticos encontrados nas indústrias comparam os valores obtidos dos sensores com a entrada de referência, determinando um desvio ou erro, produzindo um sinal de controle que reduz ou elimina esse desvio. Estes controladores podem ser divididos em eletrônicos quando a fonte de energia é elétrica, pneumáticos quando pressão de ar ou hidráulicos quando utilizam pressão de óleo. O controlador automático é formado pelo detector de erro e um amplificador, cuja função é transformar o sinal de erro, que é de baixa potência em um sinal de potência um pouco mais elevada. O atuador transforma o sinal de erro amplificado no valor de entrada da planta, com o objetivo de que a saída da planta se aproxime do valor de referência. A maneira pela qual o controlador produz o sinal de controle é denominada ação de controle. As ações mais comuns encontradas nos controladores industriais são do tipo Proporcional (P), Proporcional+Integral (PI), Proporcional+Derivativa (PD) e Proporcional+Integral +Derivativa (PID). O entendimento de cada ação de controle é de grande importância para o engenheiro de controle, garantindo-lhe liberdade em três graus para modificar a dinâmica do processo controlado. A ação P é proporcional ao erro verificado entre o valor desejado e o medido a ação I é proporcional ao erro ponderado pelo tempo e a ação D é proporcional à taxa de variação do erro. O valor dessas constantes determina o comportamento dos controladores, alterando-lhes o desempenho. Por isso dizemos sintonizar o controlador quando alteramos esses valores a fim de manter o processo estável e o desempenho satisfatório.

19 19 A Figura 2.1 sintetiza o que foi explicitado anteriormente. Figura 2.1 Diagrama de bloco de uma malha PID Ganho Proporcional A ação de controle proporcional foi, segundo Lima (2012), a primeira a ser implementada. Nesta ação, a relação matemática entre o sinal de erro e de controle é dada por: u(t) = Kp e(t) (2.1) Uma saída menor que o valor de referência gera um sinal de erro e(t) positivo, logo o sinal de controle será positivo, isto é, u(t) > 0, e para uma saída maior que o sinal de controle será negativo, ou seja, u(t) < 0. Este erro pode diminuir com o aumento do ganho, entretanto nunca é completamente zerado. Por outro lado, quanto maior o ganho, mais oscilatório tende a ficar o comportamento transitório do sistema em malha fechada. Em alguns casos, o aumento excessivo do ganho proporcional pode levar o sistema à instabilidade. Além disso, um sistema com amplificadores operacionais, por exemplo, não pode apresentar sinais de saída com amplitudes maiores que as da fonte de alimentação, ou seja, a variável de controle u(t) apresenta um limite mínimo e um limite máximo. Pode-se então apresentar como relação matemática entre o sinal de erro e o sinal de controle.

20 20 u max u(t) Ke(t) u min se se se u min Ke(t) u Ke(t) u Ke(t) u max min max (2.2) De uma forma geral, a ação proporcional: É imediata e proporcional ao valor do erro corrente; Acelera a resposta de um processo controlado; Reduz o tempo de subida e o erro máximo; Aumenta o sobressalto e o tempo de estabilização; Produz um erro em regime permanente inversamente proporcional ao ganho Ganho Integral Segundo Lima (2012), ação integral de controle armazena os sinais de erro do sistema, ou seja, mesmo com um sinal de erro e(t)=0, o sinal de controle pode ser diferente de zero. Na ação integral a relação matemática entre o sinal de erro e de controle é dada por: u(t) K e(t)dt i 1 T i e(t)dt (2.3) A constante de proporcionalidade Ki pode ser expressa com 1/Ti, onde é chamado de tempo integral ou reset-time. De uma forma geral, a ação integral: É de controle gradual, proporcional a integral do erro; Responde ao passado do erro enquanto este for diferente de zero; Elimina o erro em regime permanente, para uma entrada de referência na forma de degrau unitário; Reduz o tempo de subida; Aumenta o sobressalto, o período de oscilação e tempo de estabilização;

21 21 Produz respostas lentas e oscilatórias; Tende a instabilizar a malha Ganho Derivativo Segundo Lima (2012), a ação derivativa tem um caráter preditivo do sistema. Com isto, o sistema responde de forma mais rápida às excitações de entrada. Na ação derivativa a relação matemática entre o sinal de erro e de controle é dada por: u(t) K d d dt e(t) T d d dt e(t) (2.4) Para um sinal de erro constante a saída da função será zero. Só existe sinal na saída u(t) se há alguma variação do sinal de erro. Quanto maior for esta variação, maior será a saída u(t). De uma forma geral, a ação derivativa: É preditiva, resposta proporcional à derivada do erro; Usado para acelerar e estabilizar a malha; Reduz o sobressalto, o erro máximo e o período de oscilação; Não é indicada para processos com ruído.

22 3 SINTONIA DE CONTROLADORES O valor das constantes Kp, Ti e Td determina o comportamento dos controladores, alterandolhes o desempenho, por isso é necessário sintonizar corretamente o controlador garantindo um desempenho satisfatório. A sintonia apresenta uma relação entre a estabilidade/robustez e a velocidade de resposta/desempenho da malha de controle. O sucesso da sintonia depende de vários fatores como conhecimento, método, ferramentas adequadas e principalmente experiência. A sintonia é facilitada principalmente pelo conhecimento do processo controlado. O objetivo da sintonia é encontrar os parâmetros proporcional, integral e derivativo para atender critérios tais como: Conseguir variabilidade mínima em operação normal; Mínimo sobressalto para mudanças de referência; Atingir rapidamente o novo referência em caso de mudança; Operação estável do controlador mesmo para alterações significativas nos parâmetros do processo (robustez). Para alcançar essas especificações de desempenho pode-se deparar com um conflito, por exemplo, um ajuste, ao diminuir o tempo de subida, pode aumentar o sobressalto. Na literatura, encontram-se inúmeros métodos de sintonia e estes se dividem basicamente em heurísticos e analíticos. Segundo Gomes (2009), os primeiros métodos heurísticos apareceram por volta de 1940, e visavam conferir uma taxa de decaimento de ¼ nas amplitudes dos picos da oscilação do sinal de saída (sobressalto), baseando no tradicional método de Ziegler- Nichols. A seguir resumem-se os procedimentos das técnicas mais conhecidas de sintonia de controladores PID. 3.1 Primeiro Método De Ziegler-Nichols Segundo Ziegler e Nichols (1942) existem dois métodos clássicos para a sintonia de controladores PID baseados na resposta experimental a uma excitação ou no valor de Kp que

23 23 resulta em estabilidade marginal quando se utiliza unicamente a ação de controle proporcional. As regras de Ziegler-Nichols são convenientes nos casos em que não se conhece o modelo matemático do processo. Com base nas características da resposta transitória de um determinado processo a controlar, Ziegler-Nichols propuseram regras para se determinar os valores do ganho proporcional P, constante de tempo integral Ti e a constante de tempo derivativo Td. Há dois métodos de sintonia de Ziegler-Nichols. Em ambos se pretende obter um Sobressalto máximo de 25% na resposta a uma excitação em degrau (ZIEGLER; NICHOLS, 1942). No primeiro método se obtém a resposta a um degrau unitário. A curva da resposta ao degrau unitário normalmente se assemelha a uma curva em forma de S como a da figura 3.1 (Se a resposta não apresentar esta curva em forma de S, o método não se aplica). Figura Resposta ao degrau unitário. A curva em forma de S pode ser caracterizada por duas constantes, o tempo de retardo L e a constante de tempo T. O tempo de retardo e as constantes de tempo são determinados traçando-se uma reta tangente à curva em forma de S no ponto de inflexão e determinando-se as interseções com o eixo dos tempos. Assim Ziegler e Nichols (1942) sugerem sintonizar os controladores conforme a Tabela 3.1.

24 24 Tabela Regras de sintonia de Ziegler-Nichols (Primeiro Método). O método se aplica principalmente para sistemas com razão de incontrolabilidade baixa. 3.2 Segundo Método De Ziegler-Nichols Utilizando-se somente a ação de controle proporcional, aumenta-se o valor de P até um valor crítico Kcr para o qual o sinal de saída apresente oscilações mantidas como é observado na figura 3.2. Se o sinal de saída não apresentar oscilações, quaisquer que sejam os valores de P, então o método não se aplica. Figura Resposta senoidal usado no método Ziegler-Nichols. Assim Ziegler e Nichols (1942) sugerem sintonizar os controladores conforme a Tabela 3.2.

25 25 Tabela Regras de sintonia de Ziegler-Nichols (Segundo Método). 3.3 Método de Chien, Hrones e Reswick Este método propõe a resposta mais rápida com sobressinal máximo de 20%. Realiza-se, da mesma forma que em Ziegler-Nichols, o teste em malha aberta e obtêm-se os valores de θ, τ e K, e calculam-se os parâmetros do controlador a partir da tabela 2. Tabela Regras de sintonia CHR. Assim como o método de Ziegler-Nichols, o método CHR (Chien, Hrones e Reswick) também é bom para sistemas com razão de incontrolabilidade baixa. À medida que esta aumenta, a resposta do sistema se torna lenta.

26 4 ITERATED LOCAL SEARCH (ILS) O método Iterated Local Search (ILS) é uma metaheurística que explora o espaço de soluções por meio da aplicação iterativa de procedimentos de busca local em soluções perturbadas. A perturbação é feita para que sejam visitadas outras regiões promissoras do espaço de busca. Como visto na Figura 4.1, a solução gerada pode não ser um ótimo global. Então a idéia do ILS é gerar novas soluções, por meio de perturbações em ótimos locais gerados pelo método de busca local, seguido de novos refinamentos. Figura 4.1 Gráfico solução x custo A perturbação é definida em níveis, sendo que a cada solução que não apresenta melhora, esta perturbação se torna mais intensa, até chegar num limite previamente estabelecido. O objetivo com esta estratégia é alcançar outras regiões do espaço de busca, procurando assim o ótimo global. Segundo Lourenço et al. (2008), a perturbação precisa ser suficientemente forte para permitir que a busca local explore diferentes soluções, mas também fraca o suficiente para evitar um reinício aleatório. Segundo Souza (2009), para aplicar um algoritmo ILS, quatro etapas devem ser observadas: Geração de uma solução inicial; Busca local, onde uma solução é melhorada;

27 27 Perturbação, que modifica a solução corrente guiando a uma solução intermediária; Critério de aceitação, que decide em qual solução a próxima perturbação será aplicada. Na aplicação considerada, a solução s do problema é um vetor de três posições, cada posição representando um valor para os parâmetros P, I e D. Assim, s = (P, I, D). Diferentemente de algumas formas encontradas na literatura, a solução gerada não é transformada em um valor binário. Na exploração do espaço de soluções trabalhamos com valores contínuos para esses parâmetros. Isso tem a vantagem de não haver a necessidade de codificação para binário, nem a decodificação para real, assim como evita a variação acentuada desses valores. Por exemplo, uma possível solução seria o vetor s = (100, 10, 1) onde 100 representa o valor de P, 10 representa I e 1, D. Um movimento m consiste em alterar essa solução de um valor acima ou abaixo de um valor v. Assim, existem seis vizinhos de cada solução. Se considerarmos um passo v = 0,1, então teríamos como vizinhos as soluções, (99,9, 10, 1), (100,1, 10, 1), (100, 9,9, 1), (100, 10,1, 1), (100, 10, 0,9) e (100, 10, 1,1).

28 5 METODOLOGIA As etapas metodológicas utilizadas neste trabalho foram divididas em três partes, descrita individualmente a seguir. 5.1 Modelagem do Tanque Baseado no trabalho de Junior (2012), adotando o sistema da figura 5.1 e linearizando em torno de um ponto de equilíbrio, assume-se que: As propriedades do líquido são constantes. A área da seção transversal do tanque A é constante. A relação entre a vazão de saída qs e a altura h é linear: (5.1) Figura 5.1 Esquema de um controle de nível. Para obter a função de transferência do tanque é necessário fazer o balanço de massa no tanque: (5.2) ( ) ( ) (5.3) Sabendo que e que é constante, podemos escrever a equação 5.3 da seguinte forma: ( ) ( ) (5.4)

29 29 Combinado a equação 5.1 com a equação 5.4 temos: (5.5) Em regime permanente: (5.6) ( ) ( ) (5.7) Considerando as variáveis-desvio (diferença entre as variáveis e seus valores estacionários): (5.8) (5.9) A equação fica: (5.10) Aplicando a transformada de Laplace e supondo que ( ) : ( ) ( ) ( ) (5.11) Fazendo encontramos a seguinte função de transferência: ( ) ( ) ( ) (5.12) Para o exemplo em questão, consideramos o tanque com 2 m de diâmetro e uma válvula na saída na linha atuando sob uma resistência linear (R) de 6.37 min/m². (5.13) ( ) ( ) ( ) (5.14)

30 30 Para encontrar a função de transferência da válvula, considera-se uma que funciona linearmente de acordo o gráfico, representado na Figura 5.2, com funcionamento entre 0V e 220V. Uma saturação é inserida após o controlador para garantir esta faixa. Função de transferência. Figura 5.2 Gráfico de funcionamento da válvula. Analogamente, um sensor que funciona de acordo com o gráfico representado pela Figura 5.3, tem a seguinte função de transferência m m Figura Gráfico de funcionamento do sensor. Com os dados obtidos constrói-se o diagrama de blocos da figura 5.4.

31 31 Figura Diagrama de blocos do controle PID para nível de líquidos. 5.2 Desenvolvimento em MatLab Segundo Junior et al. (2008), o Matlab (Matrix Laboratory) é um software que possui uma linguagem de alto desempenho para computação técnica. Seus comandos são muito próximos da forma como escrevemos expressões algébricas, criando um ambiente de fácil uso onde problemas de diferentes áreas podem ser trabalhados, sendo as mais comuns: Matemática e computação; Desenvolvimento de algoritmos; Aquisição de dados; Modelagem, simulação e prototipagem; Análise de dados, exploração e visualização; Construção de interface visual do usuário. Para o a simulação do controle de nível, foi utilizada o toolbox Simulink, uma ferramenta utilizada para modelagem, simulação e análise de sistemas dinâmicos. Ao passo que o MATLAB utiliza linha de comando, o Simulink possui uma interface gráfica amigável, representando sistemas por diagramas de blocos, de fácil compreensão para o engenheiro de controle. As constantes do bloco PID foram transferidas para o workspace onde puderam ser trabalhadas. Foi gerada uma solução aleatória, aplicada a busca local e a solução foi refinada através do método ILS. Os pseudocódigos dos métodos são apresentados na Figura 5.5.

32 32 PROCEDIMENTO Iterated Local Search 1 s Solução Aleatória; 2 s Busca local(s); 3 nível 0 4 enquanto perturbação mínima + (nível*incremento) < perturbação máxima; 5 s s; 6 s s + perturbação mínima + (nível*incremento); 7 s busca Local(s); 8 se f(s ) > f(s); 9 nível 0; 10 senão 11 s s ; 12 nível nível+1; 13 fim 14 fim-enquanto Figura 5.5 Pseudocódigo do método ILS Na linha 1 uma solução aleatória (P I D) é gerada. Os valores dos parâmetros são números aleatórios nos intervalos [95, 105], [25, 35] e [0, 10], respectivamente. Tais faixas de valores foram encontradas a partir do Método de Ziegler-Nichols. Na linha 2 os vizinhos superior e inferior de cada um dos valores são submetidos a uma busca local através da função fminsearch disponível no Matlab, tendo como critério de avaliação o índice de desempenho definido pelo usuário. Na linha 3 o nível de perturbação é zerado. Na linha 4 um laço de repetição é criado e o critério de parada é estabelecido, sendo a perturbação mínima, máxima e o incremento definidos pelo usuário. Na linha 5 recebe a solução corrente. Na linha 6 a solução recebe o valor da perturbação mais o nível multiplicado pelo incremento. Na linha 7 os vizinhos da solução são novamente submetidos a refinamento através da função fminsearch e uma nova solução é gerada.

33 33 Nas linhas 8 a 13 a nova solução é comparada com a armazenada em. Se houve melhora, o nível é zerado, senão, o nível é aumentado em uma unidade e a soluçaõ recebe a solução anterior. 5.3 Obtenção dos Dados Para a obtenção dos dados de entrada (perturbação mínima, incremento da perturbação, perturbação máxima e função custo), foi utilizada uma interface gráfica gerada pela ferramenta GUIDE do Matlab, utilizando recursos como janelas, botões, menus, entre outros. Após a entrada dos dados e pressionado o botão de chamada da função ILS, são gerados gráficos da resposta do sistema pelo tempo e da função custo a cada iteração, são colhidos os seguintes dados necessários para a análise do desempenho da malha: Máxima saída; Sobressalto (overshoot); Tempo de subida; Tempo de atraso. Esse processo é repetido para diferentes níveis iniciais e máximos de perturbação para cada uma das funções de avaliação.

34 6 ANÁLISE DOS RESULTADOS A eficácia do método foi verificada para diferentes índices utilizados como objetivo, estes representam uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e escolhido de modo que a ênfase seja dada às especificações do modelo. Um modo simples de observar o desempenho de um controlador seria analisando a diferença entre a referência e o valor obtido do sensor ao longo do tempo, ou seja, a integral do erro ou Integral of the Absolute magnitude of the Error (IAE), representado pela equação 6.1. ( ) (6.1) Na Figura 6.1 são apresentados os resultados obtidos utilizando-se o IAE como função de avaliação, com uma perturbação mínima de 0.1, um acréscimo de 0.2 até um máximo de 10, para um degrau de 2.5 metros. O degrau, curva em vermelho, representa o valor de referência, em metros, para o nível de líquido do tanque. Como pode ser observado, foi obtida uma resposta satisfatória. A curva em verde representa a resposta após a otimização, enquanto a curva em azul representa a resposta inicial antes do processo de otimização. Nota-se uma melhora significativa quanto ao Sobressalto, indicador de possível transbordamento do tanque. Foi observado um melhor tempo de acomodação, tempo que o sistema leva para estabilizar-se em uma faixa de 2% do valor final da saída, melhor tempo de subida, tempo que o sistema leva para atingir de 10% a 90% do valor final da saída e melhor tempo de acomodação, tempo gasto para atingir 50% do valor final da saída.

35 Figura 6.1 Otimização pelo ILS utilizando o índice IAE. 35

36 36 Outro índice de desempenho adequado é a integral do quadrado de erro ou Integral of the Square of the Error (ISE). Segundo Dorf e Bishop (2001), este critério discrimina sistemas excessivamente superamortecidos de sistemas excessivamente sub-amortecidos, e é representado por: ( ) (6.2) Os resultados obtidos através do índice ISE, assim como através do IAE, mostram melhora em todos os aspectos obsevados e são apresentados na Figura 6.2.

37 Figura 6.2 Otimização pelo ILS utilizando o índice ISE. 37

38 38 Segundo Dorf e Bishop (2001), para reduzir a contribuição de grandes erros iniciais no valor de IAE e ISE e aumentar a contribuição para tempos maiores, o erro é ponderado pelo tempo, gerando novos índices, Integral of the time multiplied by absolute magnitude of the error (ITAE) e Integral of the time multiplied by square error (ITSE) representados pelas equações 6.3 e 6.4 respectivamente. ( ) (6.3) ( ) (6.4) Os resultados obtidos por esses índices são representados pelas Figuras 6.3 e 6.4, respectivamente.

39 Figura 6.3 Otimização pelo ILS utilizando o índice ITAE. 39

40 Figura 6.4 Otimização pelo ILS utilizando o índice ITSE. 40

41 7 CONCLUSÃO Esta monografia teve como objetivo a sintonia de controladores do tipo PID através de um modelo computacional desenvolvido em ambiente Matlab com o toolbox simulink. O Método ILS foi desenvolvido, tendo como função de avaliação diferentes índices de desempenho. Todos os índices de desempenho analisados tiveram seus valores otimizados, porém nota-se que os resultados finais dependem do valor inicial escolhido para os ganhos do PID. Perturbações iniciais menores apresentaram resultados melhores. Isto se deve ao fato que, através de pequenos passos, uma solução mais interessante tem menor chance de ser ignorada, ou seja, passos maiores podem gerar um reinício aleatório. O método mostrou-se eficaz, pois após a sintonia, em todos os casos, o Sobressalto, tempo de subida e tempo de resposta estavam entre uma faixa adequada de valores, pois o erro ficou em regime permanente igual a zero rapidamente. Por fim, como recomendações para pesquisas futuras, sugere-se a comparação do método ILS aplicado à sintonia de diferentes plantas, bem como testes com aplicações reais em controladores PID.

42 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DORF, R. C.; BISHOP, R. C. Sistemas de Controle Moderno. 8ª Edição, São Paulo, LTC GOMES, S. C. P. Lugar Geométrico das Raízes Incremental e sua Aplicação na Sintonia de Controladores PID. Dissertação de mestrado, Dep. de Processos Químicos e Bioquímicos. Centro Universitário do Instituto Mauá de Tecnologia. São Caetano do Sul, HEY, H. L., Ações Básicas De Controle E Controladores Automáticos Industriais. Projeto Reenge Engenharia Elétrica. UFSM JUNIOR, D. H.; NASCIMENTO, G. M. G.; SANTOS, L. P. C.; FONTENELE, L. F. A.; BEZERRA, P. A. M. Apostila de Matlab 7.3. Departamento de Engenharia Elétrica. Programa de Educação Tutorial. UFCE. Fortaleza JUNIOR, C. A. V. Sintonia de controlador PID via fminsearch Escola de Química da UFRJ 2012, Extraído de < LIMA, C. R. E. Controle e Servomecanismo. CEFET Paraná LOURENÇO, H. R.; MARTINZ, O.; STUTZLE, T. Iterated Local Search. Universidade Pompeu OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno, 4º edição, São Paulo, Prentice Hall, PEREIRA, L. F. A.; HAFFNER, J. F. Sistemas Dinâmicos com Atraso de Transporte. Projeto de Sistemas de Controle, Departamento De Engenharia Elétrica Pontifícia Universidade Católica Do Rio Grande Do Sul PINTO, F. C. Sistemas de Automação e Controle, CETEC Centro de Educação e Tecnologia Arivaldo Fontes, SENAI Espírito Santo, RICARTE I. L. M. Organização de Computadores Departamento de Engenharia de Computação e Automação Industrial, Universidade Estadual de Campinas, SOUZA, M. J. F. Iterated Local Search. Departamento de Computação UFOP. Ouro Preto Disponível< http// em: 28/06/2012.

43 43 ZIEGLER, J. G.; NICHOLS, N. B., Optimum setting for Automatic Controllers, Transactions of the ASME, v. 64, n. 11 Nov 1942.