Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática de Escolas Públicas

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1 Resumo: Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática de Escolas Públicas no Estudo de Funções Reais &$'( "! #!$% O ensino-aprendizagem de funções reais pode ser facilitado e enriquecido com a utilização de softwares matemáticos, dentre eles destaca-se o Winplot. Esse software é livre e pode ser obtido (na versão em Português) através de download pela Internet no seguinte endereço: math.exeter.edu/rparris. O objetivo deste trabalho é mostrar como o Winplot pode ser usado para explorar conteúdos matemáticos, com destaque para o estudo de funções reais: funções polinomiais, logarítmicas, exponenciais e trigonométricas, apresentando roteiros de atividades que tem sido desenvolvidas/aplicadas junto a escolas públicas como parte de projetos desenvolvidos sob a orientação da professora Ermínia de L. Campello Fanti, em especial o projeto do Núcleo de Ensino Informática e Jogos no Ensino de Matemática: É interessante destacar que a utilização de software como uma ferramenta adicional no ensino de Matemática, no Ensino Médio, tem sido sugerida pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática Palavras-chave: Software Winplot, funções reais, ensino de Matemática. Introdução O Winplot, um dos softwares do grupo Peanut Software, é uma ferramenta computacional bastante interessante, principalmente para se fazer/representar gráficos de funções 1 Docente do Departamento de Matemática IBILCE/UNESP - SJRP Coord. do Projeto do Núcleo de Ensino 2 Professores da E E Profa. Amira Homsi Chalella - SJRP - Colaboradores do Projeto do Núcleo de Ensino 3 Aluna do Curso de Matemática IBILCE UNESP - Bolsista do Núcleo de Ensino 4 Aluna do Curso de Matemática IBILCE UNESP - Bolsista do Programa Ciência na UNESP

2 Educação Matemática 1368 reais de uma ou duas variáveis (2D e 3D). Foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris (Rick), da Philips Exeter Academy, por volta de Inicialmente chamava-se PLOT e rodava no DOS. A versão para Windows surgiu em Além da versão original, em inglês, o Winplot possui versões em mais seis idiomas, incluindo o português. A versão em Português foi preparada com a assistência de Adelmo Ribeiro de Jesus (Bahia). É um programa simples, mas que pode executar um grande número de tarefas. É pequeno e roda em sistemas Windows 95/98/ME/2K/XP/Vista/7, e mesmo Linux. Outra de suas vantagens é ser livre (gratuito), podendo por isso ser utilizado sem problemas por professores e alunos dos Ensinos Fundamental, Médio, e Superior. Pode ser obtido, através de download pela Internet, no endereço: sendo sua instalação bastante rápida e fácil. O objetivo deste trabalho é mostrar como o Winplot pode ser usado para explorar conteúdos matemáticos, com destaque para o estudo de funções reais, apresentando roteiros de atividades que foram elaborados, após pesquisas e análise bibliográfica sobre conteúdo de cada série. Esse material foi aplicado junto a escolas públicas como parte de projetos desenvolvidos sob a coordenação da professora Ermínia de L. Campello Fanti, em especial o projeto do Núcleo de Ensino Informática e Jogos no Ensino de Matemática Desenvolvimento/ Metodologia O Winplot tem sido utilizado em escolas públicas como parte dos projetos Núcleo de Ensino e Ciência na UNESP, desenvolvidos sob a coordenação da Profa. Dra. Ermínia de L. Campello Fanti. As atividades são desenvolvidas pelos bolsistas dos referidos projetos nos Laboratórios de Informática das escolas públicas envolvidas, com o intuito de melhorar o aprendizado dos alunos. Visto que a simples possibilidade de visualizar na tela do computador os gráficos das funções reais constitui um recurso pedagógico de alcance ilimitado para os mesmos. Dentre as escolas que usamos o Winplot, destacamos a E. E. Profa. Amira Homsi Chalella - SJRP, com 1 as, 2 as e 3 as séries do Ensino Médio, dentro do projeto do Núcleo de Ensino (só em 2009 com mais de 340 alunos) e Etec Philadelpho Gouvêa Netto - SJRP, em oficinas oferecidas em 2009, com a colaboração de bolsistas do programa Ciência na UNESP, realizadas com todas as classes de 1 a e 3 a séries, totalizando 8 classes (cerca de 250 alunos). Nas primeiras séries destaca-se o estudo das funções afins, quadráticas, exponenciais e logarítmicas. Nas segundas, das funções trigonométricas, e nas terceiras das funções polinomiais. A importância do estudo de funções e a análise de seus gráficos é indicada nos Parâmetros Curriculares Nacionais - Parte III - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, por exemplo, na p.44 (no caso do estudo das funções trigonométricas)

3 [...] Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e competências é a Trigonometria, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações para enfatizar os aspectos importantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos. [...] Inicialmente foram realizadas pesquisas sobre quais os tópicos podem ser explorados com o Winplot, e elaborados roteiros de atividades para serem entregues aos alunos (nas aulas de laboratório). Nesses roteiros procurou-se selecionar quais itens devem ser abordados de modo a estar de acordo com o plano de ensino do professor responsável pela matéria (nos ensinos fundamental e médio, mais especificamente ensino médio onde temos mais utilizado), não atrapalhando a sequência estabelecida pelo mesmo, e enriquecendo e complementando suas aulas, de forma a ter um bom aproveitamento. Espera-se que seja possível desenvolver cada roteiro de atividades no período de uma ou duas horas/ aula, como aconteceu, em geral, com as classes de Ensino Médio em que o projeto foi desenvolvido/aplicado. Cada aluno anotou, no roteiro recebido, seu nome e suas conclusões/observações. Esse material foi recolhido pelos bolsistas para análise. Os roteiros foram elaborados de modo que o mesmo possa ser usado por quem não tem familiaridade com o software, por isso, no inicio de cada um, alguns passos básicos são apresentados. Além disso, mesmo que o aluno já tenha feito alguma atividade utilizando o software, se ocorreu um intervalo de tempo, ele pode já ter esquecido os comandos. Seria ótimo se todos, alunos e professores, tivessem um bom domínio do software e pudessem, a partir das atividades apresentadas aqui, criar as suas próprias aulas/atividades. Mas, em geral, não há tempo disponível (em sala de aula) para realizarmos um estudo mais aprofundado de um determinado software. Assim precisamos ser bastante objetivos na utilização do espaço, em sala de aula/laboratório, que nos foi concedido. Espera-se que os roteiros apresentados aqui (também referidos como aulas ) sirvam de material auxiliar, e que a partir deles, novos roteiros (aulas) possam ser elaborados aprimorando/aprofundando ainda mais os conteúdos tratados. Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática Observamos que em FANTI, et al. (2008) já foi apresentado um breve relato de como o Winplot foi utilizado no estudo de gráficos de funções quadráticas/polinomiais de segundo grau, explorando os zeros/raízes reais (quando existem), pontos de máximo e mínimo, e auxiliando no estudo de fatoração, através do comando adivinhar.

4 Educação Matemática 1370 Winplot - Noções Básicas e Roteiro de Atividades Embora os roteiros de atividades, apresentados no final dessa seção tenham sido elaborados de modo a não exigir conhecimento do Winplot, apresentamos aqui, antes desses roteiros, uma noção básica do software. Noções básicas: Tomaremos como referência, neste trabalho, a última versão, em Português existente até então do software Winplot. Com relação aos comandos por nós utilizados na elaboração das atividades para o Ensino Fundamental e Médio, as alterações em relação às versões anteriores foram poucas. De fato, a versão que utilizamos no projeto (em 2009) foi uma versão anterior a essa que referiremos no texto. Ao abrirmos o programa nós encontramos inicialmente duas opções : Janela e Ajuda. Em Janela temos as escolhas: 2-dim, 3-dim, Adivinhar e Mapeador. Além disso, temos também Planetas, Abrir última e Usar padrão (ao selecionarmos uma dessas duas últimas opções estamos indicando qual arquivo o Winplot vai abrir, se é o último trabalho realizado ou é a tela padrão), e Sair. As opções 2-dim e 3-dim permitem que trabalhemos com funções/objetos no plano e no espaço, respectivamente. Estamos mais interessados em trabalhar com 2-dim tendo em vista nosso objetivo de explorar gráficos de funções reais (de uma variável real). Ao selecionarmos 2-dim ou 3-dim aparecerá uma tela com os menus: Arquivo, Equação, Ver, Mouse (ou Botões Btns), Um, Dois, Anim, Outros (ou Miscelânia). Existe em cada um dos Menus um arquivo de Ajuda, apropriado, em português, que nos dá algumas informações sobre a utilização dos comandos do menu selecionado. Por exemplo, selecionando Ver (após Janela, 2-dim) e Ajuda, aparecerá um quadro explicativo contendo certas informações sobre comandos do Menu Ver (ajuda Winplot). Daremos uma breve descrição de alguns comandos/opções dos Menus: Menu Arquivo: Para fechar um arquivo do Winplot que está aberto, clique na figura ( parábola amarela símbolo do Winplot) no canto superior esquerdo da tela, referente ao gráfico/arquivo que está aberto, e em seguida em fechar, ou feche clicando em X no canto à direita. Para abrir um arquivo do Winplot que já tinha sido salvo (2-dim, por exemplo): clique em Janela, 2-dim, irá abrir um arquivo (padrão ou o último que foi feito). Nesse arquivo/tela que está aberto, clique em Arquivo, Abrir e em seguida procure o arquivo desejado no local disponível, computador ou pen drive, etc. Para abrir um arquivo novo, vá em Arquivo e selecione Novo. Interessante: Para copiar os gráficos/construções já feitas, para um documento do Word, basta

5 abrir o arquivo do Winplot que contém os gráficos, selecionar Arquivo e Copiar. Em seguida, abrir o arquivo do Word e selecionar editar, colar (ou Ctrl v). Há outros comandos/funções no menu Arquivo. Podemos, por exemplo, salvar um arquivo do Winplot para o formato EPS, usando Arquivo, Exportação de gráficos, EPS. Menu Equação: Em Equação temos os comandos para representações gráficas: Equação Explícita (tipo y = f(x) ) Equação Paramétrica (x = f(t), y = g(t )) Equação Implícita (tipo f(x,y) = c) Equação Polar (tipo r = f(t)) Aparecem ainda outras opções como Ponto, Segmento, Reta, Inventário, Fonte, Biblioteca, Definir função, etc... Inventário: Fornece uma caixa de diálogo que aparece só depois que o primeiro exemplo é criado, permite que você inspecione e edite exemplos existentes e faça outras modificações e construções. Para alterar um exemplo clique sobre a equação/função correspondente a ele (na caixa Inventário) com o mouse, e em seguida em editar (faça as alterações e clique em OK). Somente um exemplo por vez pode ser selecionado e alterado. Se selecionarmos equação na caixa Inventário aparecerá na tela a equação/função correspondente ao exemplo trabalhado. Caso a caixa de inventário não esteja aparecendo basta selecionar o menu Equação e em seguida Inventário. Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática Fonte : Permite mudar a fonte usada para mostrar as equações na tela. Biblioteca: Dá uma lista de funções (padrão) do Winplot Definir função: Permite ampliar a biblioteca, criando uma nova função. Importante: As funções da opção Equação Explícita devem ser digitadas de modo compatível com a notação usada na Biblioteca do programa. Listamos a seguir algumas funções e o modo de digitá-las no Winplot. y=) sqr(x) Função y=ax+b y=x n y = x Winplot ax+b x^n abs(x)

6 * Educação Matemática + ) Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP root(n,x) ou x^(1/n) y = sen x sin(x) y = cos x cos(x) y = tg x tan(x) y = a x a^x y = e x e^x ou exp(x) y = ln x ln(x) y = log a x log(a, x) Menu Ver: Alguns dos principais comandos desse menu são Ver, Zoom, Mover, Grade, Restaurar, Eixos, Linhas de Grade., Ver : Permite redimensionar os eixos, para maior visualização do gráfico Zoom: Use as teclas Page Up e Page Down para aproximar ou afastar o gráfico na tela. Restaurar : Restaura a configuração padrão. /452624,-./0: Use as setas (para cima, baixo, direita, esquerda) do teclado para 1023/: Apresenta um quadro com uma série de opções para melhor adequação da janela e detalhes relacionados ao sistema de coordenadas subjacente. Pode-se colocar vários tipos de nos eixos, usando inclusive múltiplos /:023/, de, inserir etc. Eixos: Muda cor, espessura, etc dos eixos Ox e Oy Linhas de Grade: Permite adequar cor e espessura da linha de grade. Menu Mouse (ou Botões- Btns): (LB ou BE- Botão Esquerdo - Left ; RB ou BD - Botão Direito - Right). Arrastar Box BE/Recentr zoom BD: Quando este comando estiver selecionado, ao clicar com BD do mouse sobre um determinado ponto do gráfico, criamos um caixa para visualizar com mais detalhe o gráfico, nas proximidades do ponto, e com BE recentraliza o gráfico. Se necessário, use Ver, Restaurar, para voltar a posição inicial. Texto: Após selecionar Texto, podemos com BE (do mouse apertado) mover para um lugar mais adequado da tela uma equação/lei de uma função, que estiver na tela. Por outro lado, ao clicar com o BD aparecerá uma caixa de texto.

7 Colar: Com a opção colar selecionada podemos com um clique com BD colar gráfico do clipboard. Para remover uma figura clicar com BD e em apagar. Coords XY BE/Recentr BD: O botão esquerdo dá as coordenadas do ponto selecionado e o direito recentraliza/movimenta o gráfico, sem mudar o tamanho da janela. Desenhar: Com esta opção selecionada pode-se fazer com BE desenho livre na tela. A cor e espessura da linha (do desenho) pode ser também definida no menu Mouse. Menu Um: Traço: Permite o usuário percorrer o gráfico de uma função, usando uma barra de rolagem, visualizar aproximações de Taylor da mesma. É possível também movimentar retas secantes por um ponto fixado na curva, ou ver retas tangentes ao longo da curva. Estas duas opções são úteis, por exemplo, para ilustrar o conceito de derivada. Zeros: possibilita encontrar (e marcar) as interseções do gráfico de uma função com o eixo Ox (zeros). Extremos: Encontra os pontos de máximo e mínimo da função. Integração: Dá opções de integração da função considerada. Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática Menu Dois: Interseções: Determina a interseção entre duas curvas Integrações: Dá opções de integração entre duas funções. O programa calcula a integral de f - g, onde f e g são funções especificadas pelo usuário. Combinações: Faz operações com funções: soma, produto, composta, etc. Menu Anim (Animação): Permite animar gráficos de funções ou equações cuja expressão foi dada e contenha um ou mais parâmetro (tais parâmetros precisam ser inseridos na equação/função). Por exemplo, pode-se trabalhar com a função quadrática y = ax 2 +bx+c e variar valores os valores de a, b ou c após inseri-la (usando Janela, 2-dim, Equação, Explicita, ax^2+bx+c), clicar em Anim e selecionar o parâmetro que queremos variar, suponhamos A, e movimentar a barra de rolagem que aparece na caixa auxiliar. O Intervalo de variação e a velocidade podem ser adequados. Menu Outros (ou Miscelânea): Nesse menu encontramos as opções Fontes que permite escolher uma fonte (para Escala dos eixos, Tabelas, Inventário, e Coordenadas), Cores

8 Educação Matemática (para Fundo da tela, por exemplo), Eq. dif. miscelânea, Dados, Texto, Tolerância, entre outras. Para mudar a cor de fundo da tela selecione: Outros (ou Misc, se for alguma versão anterior), Cores, Fundo, Cor (escolha a cor desejada) e fechar. A seguir vejamos com mais detalhes a opção Grade do menu Ver : Selecionando Janela, 2-dim aparecerá a tela para representarmos os gráficos. Usando as opções Ver, Grade aparecerá uma tela (quadro), como na figura seguinte, que indica que podemos escolher os intervalos das marcas nos eixos x e y, o número de decimais em cada eixo, etc FIGURA 1: Grade (menu Ver - Winplot) Mais especificamente, ao selecionarmos (após Ver, Grade), eixos, ambos (aplicar e fechar): aparecerão os dois eixos x e y. Selecionado setas, ambos (aplicar e fechar): aparecerão as setas nos eixos x e y. Ainda, pontos (na segunda linha da caixa de grade): aparecerá uma malha pontilhada (pontos em cruz). rótulos ( e ambos) : aparecerão as letras x e y nos eixos. marcas (ambos): selecionado marcas serão inseridas pequenas marcas verticais nos eixos x e/ou y, cujo tamanho pode ser definido usando tamanho da marca. escala (sobre eixos) aparecerão os números nos eixos de acordo com o intervalo e a opção escolhida. Por exemplo, para o eixo x (já tendo selecionado marcas-ambos) fazendo, intervalo: 1, escala (em x) e aplicar, aparecerão os números... -2, -1, 0, 1, 2, 3... no eixo x.

9 Ou intervalo: pi/2 (digite dessa forma), selecionando escala (em x), e clicando em pi (depois de freq) e aplicar, aparecerá no local indicado para intervalo x o número (aproximado) , e na tela aparecerão os números..., - /2, 0, /2,,... no eixo x. Decimais: indica o número de casas decimais a ser usado. Freq: indica a freqüência que queremos que os números apareçam nos eixos. Retangular: aparecerá uma tela quadriculada (linhas contínuas). Pontilhado e Retangular: aparecerá uma tela quadriculada formada de linhas pontilhadas. Alguns Roteiros de Atividades: Na sequência apresentamos roteiros de atividades (que referiremos também como aulas ), que foram elaborados e aplicados em Laboratórios de Informática com classes do Ensino Médio: Aula 1.Representando pontos e segmentos no plano, Aula 2. Funções polinomiais do 1º e 2º graus (ou afins e quadráticas), Aula 3. Funções Exponenciais, Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática Aula 4.Funções Logarítmicas, Aula 5. Função seno, Aula 6. Função Cosseno, Aula 7. Funções Polinomiais. Para facilitar o uso do material (cópias/xerox) por professores interessados em utilizá- -los em suas aulas, em Laboratórios de Informática, vamos apresentar os roteiros/aulas assim como foram utilizados no projeto, em espaçamento simples (no caso foram incluídos também, nesses roteiros/aulas, os nomes, do projeto na UNESP, da escola de Ensino Médio onde foram aplicados, e um espaço para o aluno colocar o seu nome). Ainda, as figuras serão numeradas separadamente em cada aula proposta. Em geral uma aula pode ser desenvolvida/trabalhada independentemente das demais. Como já observado anteriormente, para o desenvolvimento de algumas dessas aulas foram necessárias mais de uma hora/aula.

10 Educação Matemática Aula 1: Representando pontos e segmentos no plano. Público Alvo: 8ª série Ens. Fund., e 1 a a 3 a Séries do E. Médio. Software: Winplot Observação: Para baixar o Winplot use (selecione Português). Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do gráfico/figura na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (,,, ). Apresentamos a seguir os passos básicos para o desenvolvimento das atividades: Passos: 1) Abrindo o programa e preparando a tela/eixo cartesiano: a) Abrir o Winplot (software do grupo Peanut - clicar no ícone parábola amarela ) b) Clicar em Janela 2-dim; 1376 c) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1(para x e 0 para y), decimais 0, escala sobre - eixos, grade pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados); aplicar e fechar (ver Fig.1.1). Atividade I. Representar os pontos P1=(2,1), P2=(2,3) e P3=(4,1). Passos: 2) Representar o ponto P1=(2,1): Equação, ponto, (x,y), digite 2 e 1, tamanho do ponto 2, e ok. Deverá aparecer na tela o ponto escolhido. Deverá aparecer também, ao lado, um quadro como na Fig. 1.2, caso não apareça selecione no menu (acima na tela) Equação e depois Inventário. Figura 1.1: Grade Winplot Figura 1.2: Equação/Inventário - Winplot

11 3)Usando essa caixa, clique em equação (para mostrar a equação na tela), automaticamente as coordenadas do ponto será exibida na tela. 4) Representando os demais pontos: Para representar os outros pontos na mesma tela (ou arquivo) basta repetir (no arquivo que está aberto) o mesmo procedimento: Equação, Ponto, (x,y), digite 2 e 3, tamanho do ponto 2, e clique em ok. Use novamente equação (na caixa inventário) para exibir as coordenadas do ponto. Agora, repita novamente para o ponto (4,1): Equação, Ponto, (x,y), digite 4 e 1, tamanho do ponto 2, ok e equação (para mostrar as equações do ponto na tela). 5) Ajustando a posição do texto/coordenadas dos pontos na tela: Para colocar na tela o texto/coordenadas próximas dos respectivos pontos, simplesmente selecione Mouse (ou Bnts), Texto e clique e arraste com o botão esquerdo do mouse apertado as coordenadas próxima ao respectivo ponto. Na Fig. 1.3, apresentada na seqüência, fizemos isso com os pontos P1 = (2,1) e P2 = (2,3). 6) Digitando um texto na tela: Podemos também (uma vez que já selecionamos Mouse (ou Bnts) e Texto), clicar com o botão direito do mouse sobre um local da tela e digitar um texto qualquer, por exemplo, Representando pontos no plano, ou digitar as coordenadas x e y do ponto (x,y) e em seguida em ok. Para um novo texto, clique novamente na tela com o botão direito. Na figura digitamos ponto P1, para o ponto (2,1), P2 para (2, 3) e as coordenadas de P3, ou seja, (4,1). Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática ) Caso queira salvar essa atividade, selecione Arquivo, Salvar como, escolha o local a ser salvo (Salvar em computador: C, ou pen-drive, etc) e digite o nome adequado para o arquivo e clique em Salvar. Figura 1.3: Representando pontos

12 Educação Matemática Atividade II: Representar o segmento com extremos nos pontos (2,1) e (3,3). (Em geral não há necessidade de adequar novamente as coordenadas - fica a anterior). Passos: 8) Selecione Arquivo, Novo. Depois, Equação, Segmento, (x,y), digite x= 2 e y= 1 (primeiro ponto), 3, 3 (para o 2º. ponto), espessura da linha 2, e clique em ok. Figura 1.4: Segmento Observação: Algumas variações podem ser feitas de modo a obter um segmento pontilhado, a cor seja alterada e espessura da linha Exercícios: 1) Marcar os pontos Q1=(1, -1) e Q2=(3,2; 2) (note, aqui x = 3,2 e y = 2, e para o número real 3,2 digitar no Winplot 3.2). 2) Representar os pontos (-2,1) e (0,3) (use tamanho do ponto 3), e o segmento com extremos nesses pontos. 3) Representar um triângulo isósceles de base AB, sendo A=(2,1) e B=(4,1). 4) Representar um quadrado de área 4. 5) Representar um triângulo de área 3 tendo (1,1) como um de seus vértices. Aula 2: Gráficos de funções polinomiais do 1º e 2º graus (ou afins e quadráticas). Público Alvo: 1 a Série do Ensino Médio. Software: Winplot Observação: Para baixar o Winplot use Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do gráfico na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (,,, ). Apresentamos a seguir os passos básicos para o desenvolvimento da atividade: 1) Abrir o Winplot (clicando no ícone parábola amarela ) 2) Clicar em Janela 2-dim;

13 3) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1 (para x e para y), decimais 0, escala sobre - eixos, grade pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados); aplicar e fechar (ver Fig.2.1). 4) Clicar Menu Outros Decimais digitar 0 e clicar em - ok; 5) Clicar Menu Equação, Explícita: obterá um quadro como na Fig. 2.2 abaixo. 6) Digitar a lei da função f(x) = x+1 e selecionar ok (aparecerá na tela o gráfico). ;<=>?@ABCDEFG>HI?@JF ;<=>?@ABADEFG>KL>@MNOPKQRSTU<V@WQXC 7) Na caixa Inventário, clicar em equação para mostrar na tela a lei y=x+1. Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática ) Marcar as coordenadas dos pontos do gráfico que intersectam os eixos x e y, para isso clicar em Equação ponto (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que intersectam o eixo x das abscissas que no caso é (x= -1, y= 0), repetir para o eixo y das ordenadas, para que esse pontos apareçam marcados na tela. 9) Completar: Esta função é (crescente/decrescente). 10) Menu Equação, Explicita digitar a Função f(x) = -x+1 e clicar em ok.; 11) Clique em equação para mostrar na tela a lei y= - x+1; marcar as coordenadas dos pontos do gráfico que intersectam os eixos x e y, como para y=x+1, ver item 8). 12) Completar: Esta função é (crescente/decrescente). 13) Clicar Menu Arquivo Novo; 14) Menu Equação, Explícita digitar a função f(x) = x^2+2x-3 e clicar em ok. 15) Quais são os zeros da função? (isto é, as raízes da equação x 2 + 2x - 3= 0)?.

14 Educação Matemática 16) No Menu Equação, Ponto (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que correspondem, no gráfico, as raízes/zeros da função (isto é os pontos do gráfico -parábola - que intersectam o eixo x das abscissas, ou seja, tem ordenada y = 0). 17) Equação, Ponto - (x,y)..., digitar as coordenadas (x, y) do vértice da parábola. 18) Quais são as coordenadas do vértice? ; 19) Em que intervalo a função é positiva, ou seja, para quais valores de x tem-se y = f(x) > 0?, e negativa?. 20) Exercício: Repetir os itens 13) a 19) para a função função f(x) = -x^2+4x. Aula 3: Função Exponencial. Público Alvo: 1ª Série do Ensino Médio. Software: Winplot. Observação: 1380 No site pode-se obter o Winplot para download (selecione Português). Quando estiver usando o Winplot, para melhor visualização, utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do gráfico na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (,,, ). Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela selecione Menu Equação Inventário Editar. Passos básicos: 1) Abrir o Winplot; 2) Clicar em Janela 2-dim; 3) Clicar no menu Mouse (ou botões- Btns) - Coords XY BE/Recentr BD; 4) Clicar no menu Ver Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão no Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y), use intervalo 1, decimais -0, escala sobre - eixos, grade pontilhado e retangular; e aplicar e fechar. 5) Clicar Menu Outros Decimais digitar 0 e clicar em - ok; 6) Clicar no menu Equação, Explícita: aparecerá uma caixa/tela como na figura:

15 7) Digitar a função f(x) = 2^x (que significa f(x) = 2 x ) e clicar em ok. 8) Na caixa Inventário, clique em equação para mostrar na tela a lei y=2^x 9) Olhando o gráfico obtido, responda: o que acontece com os valores de y à medida que x aumenta? 10) O que acontece com os valores de y à medida que x diminui? 11) Esta função é crescente ou decrescente?. Por quê? 12) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 0.5 ^x (ou (1/2)^x) e ok. Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática ) O que acontece com os valores de y à medida que x aumenta?. O que acontece com os valores de y à medida que x diminui?. 14) Esta função é crescente ou decrescente?. Por quê?. 15) Há uma simetria entres os gráficos feitos acima?. Se tiver, qual é o eixo de simetria entre eles?. 16) Os dois gráficos se cruzam no ponto (0,1) e esse é o único ponto de intersecção dos dois gráficos. Porque?. Justificar isso algebricamente igualando as duas funções e achando o ponto que as mesmas têm em comum. 17) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 1 + 2^x e ok. 18) Os pontos (1,2) (2,4) pertencem ao gráfico da função y=2^x, e os pontos (1,_ ) (2, ). pertencem ao gráfico da função f(x)= 1+2^x. Comparando o gráfico dessa última função como o da função y= 2^x e, o que você observa (há alguma relação entre eles)?.

16 Educação Matemática Aula 4: Função Logarítmica. Público Alvo: 1ª Série do Ensino Médio. Software: Winplot. Observação Para uma melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do gráfico na tela (aproximar) e PageDown para diminuir (afastar) e setas (,,, ). O Winplot pode ser obtido na página Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela ir em Menu Equação Inventário, selecionar o que se quer alterar clicar em Editar e fazer as alterações. Apresentamos a seguir os passos básicos: 1) Abrir o Winplot; 2) Clicar em Janela 2-dim; 3) Clicar no menu Mouse (Botões- Bnts); ) Clicar no menu Ver Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão no Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y), use intervalo 1, decimais -0, escala sobre - eixos, grade pontilhado e retangular; e aplicar e fechar. 5) Clicar no menu Equação, Explícita: aparecerá uma tela como na Fig. 4.1: opqrstuvwxyz{r }rt~ a n ƒ p tk q lan opqrstuvlxˆs Šv 2z log x log 1/ 2 x 6) Digitar a função f(x) = log (2,x) (que significa f(x) = log 2 x ). Em espessura da linha digite 2 e clicar em ok. 7) Clique em equação para mostrar na tela a lei y= log (2,x). 8) Olhando o gráfico obtido, responda: o que acontece com os valores de y à medida que x aumenta?.

17 9) O que acontece com os valores de y à medida que x aproxima de zero (x positivo)?. 10) Esta função é crescente ou decrescente?. Por quê?. 11) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = log (0.5, x). 12) O que acontece com os valores de y a medida que x aumenta?. 13) O que acontece com os valores de y a medida que x tende a zero?. 14) Esta função é crescente ou decrescente?. Por quê?. 15) Há uma simetria entres os gráficos feitos acima (ver Fig.4.2)?. Se tiver, qual é o eixo de simetria entre eles?. 16) Os dois gráficos se cruzam no ponto (1,0) e esse é o único ponto de interseção dos dois gráficos. Porque?. Tente justificar isso algebricamente igualando as duas funções e achando o ponto que as mesmas têm em comum. 17) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 1 + log(2,x). 18) Os pontos (2,1) (4,2) pertencem ao gráfico da função y = log(2,x), e os pontos (2, ) (4, ) pertencem ao gráfico da função f(x) = 1 + log(2,x). Comparando o gráfico dessa última função como o da função y = log(2,x), o que você observa (há alguma relação entre eles)?. Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática Aula 5: Função seno. Público Alvo: 2ª Série do Ensino Médio Software: Winplot Observação: Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do gráfico na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (,,, ). O Winplot pode ser obtido na página Passos básicos: 1) Abrir o Winplot; Clicar em Janela 2-dim. 2) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo pi/4 para x e 1 para y, decimais digite 1, freq. 1, selecione também em pi para x. Escala sobre - eixos, grade pontilhado e retangular (ver Fig. 5.1)

18 Educação Matemática 3) Clicar Menu Outros Decimais digitar - 0, clicar em ok; 4) Clicar Menu Equação, Explícita: aparecerá um quadro como na Figura 5.2. opqrst vwxyz{rœˆst z opqrst vlxyz{r }rt~ a n ƒ p tkžp{ n 5) Digitar a função f(x) = sin(x) (de fato deveria ser sen(x), mas o software usa sin(x)), 1384 e clicar em ok. A seguir na caixa Inventário, que vai aparecer, clique em equação (para mostrar a equação/lei da função na tela). Responda, qual o Período (da função), Amplitude e Conjunto Imagem. 5.1) Repita: Menu Equação, Explícita, digitar a função f(x) = sin(2x) e clicar em ok. A seguir, na caixa Inventario, selecionar equação. Responda qual o Período, Amplitude, Conj. Imagem dessa função. 5.2) Comparar os gráficos das funções sen(2x) e sen(x) (Fig. 5.3) e responder quais alterações podem ser observadas no que se refere a Período, Amplitude e Imagem. 5.3) Repetir 4) e 5) para obter o gráfico da função f(x) = sen(4x); selecionar também equação. Responda, qual o Período, Amplitude, Imagem. Comparar os gráficos das funções sen(4x) e sen(x) no que se refere a Período, Amplitude e Conjunto Imagem.

19 5.4) Idem para a função f(x) = sen(x/2). Responda, qual o Período, Amplitude e Imagem. Compare os gráficos das funções sen(x/2) e sen(x) no que se refere a Período, Amplitude, e Imagem. 6) Menu Arquivo, Novo. Menu Equação, Explicita, digitar a função f(x) = sin(x). selecionar equação na caixa inventario. Dar o Período, Amplitude, Imagem. 6.1) Representar o gráfico da função f(x) = 2sen(x); selecionar também equação na caixa inventário. Responder qual o Período, Amplitude e Imagem. 6.3) Comparar os gráficos das funções 2sen(x) e sen(x) e responder quais alterações podem ser observadas no que se refere a Período:, Amplitude, e Imagem. 6.2) Digitar agora a função f(x) = 3sin(x); selecionar também equação. Responder qual o Período Amplitude Imagem 6.4) Comparar os gráficos das funções 3sen(x) e sen(x) e responder quais alterações podem ser observadas no que se refere a Período, Amplitude, e Conjunto Imagem. Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática ) Menu Arquivo, Novo. Menu Equação, Explicita digitar f(x)= sin(x) e selecionar também equação na caixa Inventario. Dar: Período, Amplitude e Imagem. 7.1) Representar o gráfico da função f(x) = 1+sen(x); selecionar equação na caixa inventário e responder, qual o Período, Amplitude e Imagem.. 7.2) Representar o gráfico da função f(x) = -2+sen(x); selecionar também equação e responda, qual o Período, Amplitude e Imagem. 7.3) Comparar os gráficos das funções 1+sen(x) e sen(x) e responder quais alterações podem ser observadas no que se refere a Período:, Amplitude, e Imagem. 7.4) Comparar os gráficos das funções -2+sen(x) e sen(x). Período, Amplitude e Imagem. 8) Representar, usando o Winplot, o gráfico da função f(x)= 1+2sen(4x).

20 Educação Matemática Usando o recurso animação: 1) Adequar o sistema de coordenadas como no item 1), se necessário. 2) Menu Equação, Explicita. Digitar a função f(x) = sin(ax) 3) Clicar em Anim e depois em Parâmentros A-W (selecione A, se necessário). 4) Clicar na barra de rolagem que aparece na caixa ( valor corrente de A ) e movimentá-la lentamente com o botão esquerdo do mouse apertado. Observar o que ocorre. Podemos também clicar em auto-cícl (nesse caso use no teclado S: para sair/finalizar, P: pausa, R: rápido e L: lento). Figura 5.4: Anim, Parâmetro A ) Repetir os passos acima para as funções f(x) = Asin(x) e f(x) = A+cos(x). Aula 6: Função cosseno. Público Alvo: 2ª Série do Ensino Médio, Software Winplot Observação: Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do gráfico na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (,,, ). O Winplot pode ser obtido na página Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela ir em Menu Equação Inventário, selecionar o que se quer alterar clicar em Editar e fazer as alterações. Passos básicos: 1) Abrir o Winplot; Clicar em Janela 2-dim. 2) Adequando nosso sistema de coordenadas: Menu Ver Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo pi/4 para x e 1 para y, decimais digite 1, freq. 1, selecione também em pi para x. Escala sobre - eixos, grade pontilhado e retangular (Fig. 6.1)

21 3) Clicar Menu Outros (ou Misc) Decimais digitar - 0, clicar em ok; 4) Clicar Menu Equação, Explícita: aparecera um quadro como na Fig Figura 6.1: Menu - Grade Figura 6.2: Menu Equação, Explícita, cos(x) 5) Digitar a função f(x) = cos(x) e clicar em ok. A seguir na caixa Inventário, que vai aparecer, clique em equação (para mostrar a equação/lei da função na tela). Responda, qual o Período Amplitude e Conjunto Imagem. 5.1) Repetir: Menu Equação, Explícita, digitar a função f(x) = 1+cos(x) e clicar em ok. A seguir, na caixa Inventario, selecionar equação. Responda qual o Período, Amplitude e Imagem dessa função. Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática ) Comparar os gráficos das funções 1+cos(x) e cos(x) e responder quais alterações podem ser observadas no que se refere a Período, Amplitude, e Imagem. 5.3) Representar o gráfico da função f(x) = -1 +cos(x); dar sua equação (na tela), dar o Período, Amplitude e Imagem. Comparar os gráficos das funções y=cos(x) e f(x)= -1+cos(x) no que se refere a Período, Amplitude e Imagem. 6) Arquivo, Novo (não precisa salvar o anterior). Representar o gráfico da função f(x) = cos(x) (clicar em equação), e depois o de f(x) = (1/2)cos(x) (clicar em equação). Para essa última função temos: Período, Amplitude e Imagem. 6.1) Digitar a função f(x) = [1+cos(x)]/2 = ½ + ½cos(x); mostrar a equação na tela. Responder qual o Período Amplitude Imagem 6.2) Qual a diferença entre os gráficos das funções y=cos(x) e f(x)=(1+cos(x))/2? 7) Digitar a função f(x) = - cos(x); clique em equação em Inventário. Escrever quais diferenças podem ser observadas no que se refere ao Período, Amplitude e Imagem das funções y = cos(x) e f(x) = - cos(x).

22 Educação Matemática Aula 7: Gráficos de funções polinomiais. Público Alvo: 3ª Série do Ensino Médio. Software: Winplot. Observação: Para melhor visualização na tela do Winplot utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do gráfico na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (,,, ). Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela do Winplot ir ao menu Equação Inventário, selecionar o que se quer alterar clicar em Editar e fazer as alterações. O Winplot pode ser obtido na página Passos: 1) Abrir o Winplot (software do grupo Peanut). 2) Clicar em Janela 2-dim; ) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1 (para x e para y), decimais 0, escala sobre - eixos, grade pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados); aplicar e fechar (ver Fig. 7.1). 4) Clicar no menu Outros (Misc) Decimais digitar 0 e clicar em - ok; 5) Clicar Menu Mouse (Btns Coords xy BE Recentre BD); 6) Clicar no menu Equação, Explícita: obterá um quadro como na Fig. 7.2 abaixo. 7) Digitar a lei da função f(x) = 2x+1, em espessura da linha digite 2, e selecionar ok (aparecerá o gráfico na tela). Figura 7.1: Menu - Grade Figura 7.2: Menu Equação, Explícita, 2x+1

23 7.1) A seguir na caixa Inventário, que vai aparecer, clique em equação (para mostrar a equação/lei da função na tela). 7.2) Quais são os zeros/raízes da função f(x) = 2x+1? (isto é, as raízes da equação 2x+1=0?). No menu Equação Ponto (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que representam, no gráfico, as raízes da função (isto é os pontos do gráfico que interceptam o eixo x das abscissas, ou seja, tem ordenada 0), que no caso é x= 0,5 (que devemos digitar -0.5) e y= ) Completar: Esta função é crescente/decrescente. Clicar menu Arquivo Novo; menu Equação, Explícita digitar a função f(x) = x^2+2x-3 e ok, para obter o gráfico (parábola). 8.1) Quais são os zeros/raízes da função? (raízes da equação x 2 + 2x 3 = 0?). No menu Equação Ponto (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que representam, no gráfico, as raízes da função f(x) = x^2+2x-3 (pontos do gráfico que intersectam o eixo x, ou seja, tem ordenada 0). 8.2) Quais são as coordenadas do vértice?. No menu Equação Ponto (x,y)..., digitar as coordenadas (x, y) do vértice. Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática A concavidade da parábola nesse caso está voltada para cima ou para baixo?. 8.3) Menu Equação Ponto digitar (x-1)*(x+3). O que você observa relativamente ao gráfico dessa função e da anterior?. Note que x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) = (x+1)(x-2)(x-3). Menu Equação - Explícita digitar (1/2)*(x-1)*(x+3). E agora o que você observa em relação ao gráfico dessa função e da anterior? e com relação às raízes/ zeros?. Menu Equação, Explícita digitar a função f(x) = -x^2+4x ) Essa função tem raízes reais?. Caso tenha marque na tela tais pontos usando Equação, Ponto (x,y) ) Quais as coordenadas do vértice?. Menu Equação Ponto (x,y)..., digitar as coordenadas (x, y) do vértice. A concavidade da parábola nesse caso está para cima ou para baixo? 9.3) Menu Equação, Explícita digitar a função f(x) = -x^2+4x-3. Essa função tem raízes reais? Compare com o gráfico da função anterior. O que você observa?. Note f(x) = -x^2+4x-3 = (-x^2+4x-5) +2

24 Educação Matemática 10) Clicar menu Arquivo Novo; menu Equação, Explícita digitar a função f 1 (x) = x. Equação, Explícita digitar a função f 2 (x) = x^2. Fazer o mesmo para as funções f 3 (x) = x^3, f 4 (x) = x^4 e f 5 (x) = x^5. O que você observa com relação aos zeros dessas funções? E com relação aos gráficos? O que acontece próximo da origem, com os gráficos das funções, à medida que aumentamos o grau da função polinomial? 11) Clicar menu Arquivo Novo; menu Equação, Explícita digitar a função f(x) = x*(x^2-1) = x^3 - x^2. Quais são os zeros/raízes (reais) dessa função?. 12) Menu Equação - Explícita digitar f(x) = x^3-4x^2+x+6. Quais são os zeros/raízes (reais) dessa função polinomial? (isto é, as raízes reais da equação x^3-4x^2+x+6 = 0)? e ) Menu Equação - Explícita digitar (x+1)*(x-2)*(x-3). O que você observa relativamente ao gráfico dessa função e da anterior? Note que x^3-4x^2+x+6 = (x+1)(x^2-5x+6) = (x+1)*(x-2)*(x-3). Menu Equação - Explícita digitar (-1/2)*(x+1)*(x-2)*(x-3). E agora o que você observa em relação ao gráfico dessa função e da anterior? e com relação aos zeros? (ver Fig. 7.3). 14) Menu Equação - Explicita digitar a função f(x) = x^4 5x^3 + 5x^2 + 5x 6. Quais são os zeros da função? Menu Equação - Explicita digitar (x^2-1)* (x-2)*(x-3). O que você observa, relativamente ao gráfico?. 15) Menu Equação - Explicita digitar (x^2+1)*(x^2-5x+6) ou x^4-5x^3+7x^2-5x +6. Quais são os zeros/raízes (reais) dessa função?.

25 RESULTADOS/CONCLUSÕES As atividades desenvolvidas nos laboratórios de informática das escolas, usando o software Winplot no ensino de Matemática, teve uma participação bastante ativa dos alunos e o interesse dos mesmos é confirmado nos questionários de avaliação que apresentamos na E.E. Profa. Amira Homsi Chalella e na Etec Philadelpho G. Netto. Os conteúdos trabalhados estão de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais e também a Proposta Curricular do Estado de São Paulo ver, por exemplo, o Caderno do Professor de Matemática - 2 a série, v , da Secretaria do Estado de São Paulo, p. 36 (Situação de Aprendizagem 3 - Gráficos de funções periódicas envolvendo senos e cossenos): [...] sugerimos que o professor utilize um software de construção de gráficos para auxiliar a compreensão dos alunos e imprimir maior velocidade às conclusões. Com o uso do Winplot foi possível detectar, por exemplo, que muitos alunos não tinham entendido, durante o desenvolvimento das aulas normais, os conceitos de amplitude e período das funções trigonométricas seno e cosseno, e assim esses conceitos foram retomados e explorados. Destacamos que nas atividades, constam as séries que aplicamos (seguimos a seriação de acordo com o proposto no Caderno do Professor SEE SP), mas tal material pode ser utilizado para outras séries mais avançadas, por exemplo, para revisão do assunto. Observamos que de acordo com o interesse e a participação da turma, as atividades podem ser enriquecidas. Por exemplo, pode-se incluir, no estudo de funções trigonométricas, atividades/perguntas relativas à função ser par ou ímpar. No estudo de funções, certamente muitas outras informações podem ser obtidas/exploradas a partir da representação gráfica. Também se pode usar o Winplot para resolver geometricamente, ou melhor, testar a veracidade da solução de um problema que foi obtida através de cálculos algébricos. Isso foi feito com classes de 3ª s séries usando algumas questões de vestibulares/enem. Nesse caso, as questões precisam ser previamente selecionadas pelos bolsistas e uma melhor adequação do sistema de coordenadas ou alguns passos/comandos adicionais do Winplot podem ser necessários. Segue um exemplo: Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática (UFSCar ) A figura (Fig. 2 abaixo) indica a representação gráfica, no plano cartesiano ortogonal xoy, das funções y = x 2 + 2x - 5 e xy = 6. Sendo P, Q, R os pontos de intersecção das curvas, e p, q e r as respectivas abscissas dos pares ordenados que representam esses pontos, então p + q + r é igual a (A) -2/3; (B) -1; (C) -3/2; (D) -2; (E) -3.

26 Educação Matemática 2 A solução (algébrica) é obtida resolvendo o sistema de equações y = x 2 +2x-5 e xy = 6. Para a solução geométrica (ou teste de veracidade) com o Winplot a sugestão é construir o gráfico dessas duas funções no Winplot (usando coordenadas adequadas): no menu Equação Explícita digite x^2+2x-5 e dê ok. Novamente no menu Equação Implícita digite xy = 6 e dê ok. Ao fazer as representações geométricas vamos obter os gráficos como na Fig.3. Logo P = (-3, -2); Q = (-1, -6); R = (2,3) e p = -3, q = -1 e r = 2. Donde p+q+r = É interessante observar que, comparando o Cabri Géomètre II com o Winplot, o Cabri é bastante dinâmico e pode ser utilizado no estudo de vários tópicos dos ensinos fundamental, médio (FANTI, et al., no prelo), e superior, mas para o estudo/representação de gráficos de funções reais o Winplot é mais apropriado. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CARVALHO, P. C. P.; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C.; WAGNER, E. A. Matemática do Ensino Médio, v. 1, 2 e 3. IMPA RJ, Coleção do Professor de Matemática - SBM, FANTI, E.L. C., et al. Ensinando fatoração e funções quadráticas com o apoio de material concreto e informática. Livro Eletrônico dos Núcleos de Ensino da Unesp, relativos a trabalhos do NE de Edição 2008, p FANTI, E.L.C., et al. Cabri-Géomètre II como um importante instrumento no estudo de conteúdos matemáticos no Ensino Médio. Livro Eletrônico dos Núcleos de Ensino da Unesp. Relativos a trabalhos do NE de 2008, (submetido no prelo). JESUS, A.; MASCARENHAS, M. G. Atividades Dinâmicas com o Winplot, Winmat e Cabri- Géomètre II, UFBA,II Bienal JESUS, A. R. Winplot. Revista do Professor de Matemática, v. 47, p , JESUS, A. R.; SOARES, E. P. Gráficos animados no Winplot. Revista do Professor de

27 Matemática, v. 56, p , BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio - Parte III, Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/Semtec, Disponível em (Acesso em 19/07/2010). SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do Professor: Matemática. Ensino Médio - 1ª a 3ª série. Coordenação Geral, São Paulo, SEE, Utilizando o Winplot em Laboratórios de Informática