Electromagnetismo I TESTE. 3 de Abril de 2004

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1 Electromagnetismo I TETE oluções 3 de Abril de 004. Considere três cargas pontuais, e 3 colocadas nos vértices de um quadrado de lado m ver figura). A distância entre e o ponto P 3 é m. a) ual é o potencial eléctrico, V, nos pontos P e P 3? potencial é V = 0 no infinito). b) Haverá pontos do espaço onde V = 0 além do infinito)? resposta. c) ual é a energia potencial electrostática do sistema? d) Calcule o vector campo eléctrico no ponto P. a) A expressão do potencial electrostático é ou V r) = 4πε 0 r r + r r + ) 3, r 3 r ) V r) = πε 0 r r r r + r 3 r Considere que o I), Justifique a onde r, r,, representam os vectors de posição e r r,, são os módulos ou normas) dos vectores diferenças, i.e., são as distâncias entre o ponto P e as cargas. No ponto P, r r P = r r P = r 3 r P = m V = V. No ponto P 3, r r P3 = r r P3 = r 3 r P3 = 5 m V = V.

2 b) endo o potencial eléctrico para este problema a soma de dois termos positivos e um negativo é claro que é possível obter V = 0 num ponto mais próximo da carga negativa. c) A energia electrostática do sistema é dada por d) No ponto P, e o campo eléctrico é U = 4πε 0 r r + 3 r r 3 + ) 3, r 3 r = 0 5 4πε ) = J. r r P = r 3 r P = m r r P = m, EP ) = = ) 5 e y e x + 4πε 0 e x + e y ) ) 4πε 0 ) e x + 5) e y N/C.. Um disco de raio R está carregado com uma densidade superficial de carga constante σ. O eixo Oz passa perpendicularmente pelo centro do disco, O ver figura). a) A carga total do disco é = πr σ. Justifique esta afirmação. b) Obtenha o campo eléctrico EP ) módulo, direcção e sentido) criado por esta distribuição num ponto P sobre o eixo Oz. c) Usando a expansão binomial para / z + R = /R + z /R ) / = /z + R /z ) /, obtenha as expressões simplificadas para Ez) nos dois casos limite: i) z R e ii) z R. Nota: nos seus cálculos despreze os termos de ordem superior à primeira Oz /R ). Isto é, assuma que + u) n + nu, com u. d) Use a lei de Gauss para calcular o campo E próximo da superfície do disco, recorrendo a um pequeno cilindro achatado para superfície Gaussiana, e compare com o resultado obtido em i). a) Estando o disco uniformemente carregado, a sua densidade de carga é constante e igual a σ = /πr, i.e., a carga total por unidade de superfície do disco.

3 Partindo da expressão do campo eléctrico produzido por um anel de raio r e carga q, num ponto do eixo Oz de cota z, E anel = qz 4πε 0 z + r ) e z, 3/ recorde que por considerações de simetria mostra-se que o campo eléctrico é ortogonal ao plano do anel e, por isso, está dirigido segundo e z ), podemos obter a expressão do campo eléctrico do disco considerando anéis de espessura dr e cuja área é πrdr, pelo que cada anel tem carga dq = σπrdr) = /πr )πrdr). Usando a nossa expressão para o campo eléctrico produzido por uma anel podemos escrever d E anel = 4πε 0 dqz z + r ) 3/ e z = z πε 0 R b) O campo eléctrico do disco é dado então por rdr z + r ) 3/ e z E anel = = e z z πε 0 R R de z anel = e z πε 0 R [ z + r ) / z Ez) = e z πε 0 R c) Para z > 0 e no caso i) z R escrevemos, 0 ] R 0 rdr z + r ) 3/ [ ] z z + R z/r Ez) = e z πε 0 R + z /R e como em primeira aproximação vem + z/r) ) / /z/r), podemos escrever que se reduz a [ Ez) e z z/r) /z/r) ) ] πε 0 R Ez) e z πε 0 R, z R termo dominante) No caso ii) Ez) = e z πε 0 R + R /z 3

4 mas + R/z) ) / /)R/z) quando R/z, e [ Ez) e z /)R/z) ) ] πε 0 R Ez) e z 4πε 0 z, z R, e é claro que esta expressão é idêntica à expressão de Coulomb para uma carga pontual à distância z. d) Aplicando a lei de Gauss a uma pequena elementar do disco facilmente concluímos que o campo é localmente o mesmo de uma distribuição plana indefinida E = σ/ε 0, logo E = σ ε 0 = πε 0 R, pois σ = /πr, e esta é exactamente a expressão aproximada obtida antes para o caso z R. 3. Considere uma esfera sólida com raio R = 3 cm e uma carga negativa = µc distribuída uniformemente. Esta esfera é colocada concêntricamente no interior de uma esfera oca de raio R = 8 cm e com uma carga positiva = 5µC distribuída uniformemente na superfície. Calcule o campo eléctrico em função de r para as três regiões: 0 < r < R, R < r < R, r > R. Atendendo a que a distribuição de carga tem simetria esférica, sabemos que o campo E deverá ser radial, com o mesmo módulo em todas as direcções. Portanto, vamos naturalmente escolher uma superfície Gaussiana de raio r, concêntrica com as distribuições de carga. Nos pontos desta superfície Gaussiana o campo eléctrico tem a mesma intensidade e E é paralelo a d A, de modo que E d A = EdA. Estando a carga distribuída uniformemente na esfera interior vem para a densidade de carga, ρ = / 4 3 πr3 = /4π0.03) 3 =.77 0 C/m 3 A densidade de carga na superfície da esfera oca é σ = /4πR = /4π0.08) = C/m Comecemos por aplicar a lei de Gauss na região r < R : E d A = EA = /ε 0 E4πr = ρ 4 3 πr3 )/ε 0 4

5 o que dá E = ρr/3ε 0 = )r N/C, com r expresso em metros. Logo o vector campo eléctrico é E = ) r N/C, para r < R com r = r e r, e r < R. Para a região R < r < R, aplicamos novamente a lei de Gauss E da = EA = /ε 0 E4πr = /ε 0 o que dá E = )/r 3 r N/C, para R < r < R Para a região r > R, a lei de Gauss permite escrever E da = EA = /ε 0 E4πr = + )/ε 0 e portanto, E = )/r 3 r N/C, para r > R 4. Uma carga pontual está colocada no centro da base inferior de um cilindro de raio R e altura h. Determine o fluxo do campo eléctrico através da superfície lateral. Neste problema temos de fazer o cálculo directo do fluxo, sem aplicar a lei de Gauss. Assim, tendo em conta que o campo eléctrico E da carga pontual q faz um ângulo com a normal à superfície variável com o ponto, ou melhor, que varia em função da cota do ponto sobre o cilindro, vamos considerar a área lateral do cilindro como resultando da soma integração) de anéis de espessura dz, com z = Rtanθ e sendo θ o ângulo que E faz com d A. A área elementar de cada anel é da = πrdz = πr sec θdθ. Facilmente se vê que o ângulo θ varia no intervalo 0, θ 0 ), com θ 0 dado por sin θ 0 = h/r. Temos então para o fluxo do campo eléctrico, Φ E = E d θ0 q A = k e 0 R/ cos θ) πr sec θcos θ)dθ = q θ0 cos θ)dθ = q sin θ) = q ε 0 0 ε 0 ε 0 h + R 5

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