Lista área I Vínculos, Formalismo Lagrangeano

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1 Lista área I Vínculos, Formalismo Lagrangeano 1. Considere um sólido como formado por pares de partículas conectadas por hastes rígidas. Analise as forças de vínculo que a haste exerce sobre os pares de partículas, sua intensidade, direção e sentido. Mostre que o trabalho virtual das forças de vínculo em um sólido é nulo. 2. Resolva os problemas 1.1, 1.3, 1.5, 1.6, 1.8, 1.11, 1.14 do livro Mecânica Analítica de Nivaldo Lemos. 3. Sejam {q 1, q 2,..., q n } um conjunto de coordenadas generalizadas para um sistema com n graus de liberdade, com Lagrangiana L(q, q, t). Definimos outro conjunto de coordenadas independentes via a transformação: q i = q i (s 1, s 2,..., s n, t), i = 1,..., n. (1) Uma transformação deste tipo é chamadas tranformação de ponto. Mostre que, se a função lagrangiana é expressa em função de s j, ṡ j e t através das equações da transformação, então L satisfaz as equações de Lagrange em relação as coordenadas s na forma: d dt ( ) dl dṡ j dl ds j = 0. (2) Em palavras: a forma das equações de Lagrange é invariante sob transformações de ponto. 4. Uma partícula de massa m desliza, sob a ação do campo gravitacional, sobre a superfície interna de um cone de semi-ângulo α, como mostra a figura 1. Não existe atrito entre a partícula e a superfície. Identifique um conjunto de coordenadas generalizadas, escreva as equações de movimento de Lagrange para a partícula, mostre que uma possível trajetória corresponde a um círculo com velocidade angular constante ω e determine o raio da órbita. 5. Considere o problema de uma conta que desliza sem atrito ao longo de uma haste retilínea que gira com velocidade angular constante ω num plano horizontal (figura 2, exemplo do livro de Nivaldo). Obtenha a lagrangiana do sistema e as equações de movimento. Faça uma integração explícita das equações de movimento e grafique a trajetória da partícula no plano xy. 6. A máquina de Atwood da figura 3 consiste numa polia de raio a e momento de inércia I em relação a um eixo perpendicular a ela passando pelo centro de massa. Uma corda de massa desprezível e indeformável, de comprimento l, conecta dois blocos nos extremos, de massas m 1 e m 2, respectivamente. Obtenha a lagrangiana do sistema e calcule a aceleração dos blocos.

2 Figura 1: Partícula deslizando sobre a superfície interna de um cone. Figura 2: Conta deslizando ao longo de haste. Figura 3: Máquina de Atwood. 7. Considere o potencial generalizado para uma partícula de carga e em um campo eletromagnético: U = eφ e c v A, onde φ( x, t) é o potencial escalar do campo 2

3 eletromagnético, A( x, t) é o potencial vetorial e v é a velocidade da partícula. Partindo deste potencial mostre que a força correspondente é a força de Lorentz: F = e( E + 1 c v B), onde E( x, t) e B( x, t) são o campo elétrico e o campo magnético, respectivamente. 8. Uma extensão da função de dissipação de Rayleigh ao caso de forças dissipativas não proporcionais à velocidade é discutida no artigo de E. Minguzzi, Rayleigh dissipation function at work, que se encontra na web em arxiv.org, referência arxiv: , ou European Journal of Physics 36 (2015), Leia o artigo e descreva, resumidamente, os principais resultados no contexto do visto em sala de aula. 9. Considere o problema de dois corpos interagindo via uma força central, como por exemplo a interação gravitacional entre duas massas ou a interação elétrica entre duas cargas. Seja U(r) a energia potencial dos dois corpos, de coordenadas r 1 e r 2, tal que r = r 1 r 2. (a) Escreva a lagrangiana do sistema de dois corpos. Defina o centro de massa do sistema e mostre que a lagrangiana pode ser escrita como a soma de uma lagrangiana para a coordenada do centro de massa mais outra lagrangiana para a coordenada relativa. (b) Agora mude o sistema de referências para um com a origem no centro de massa. Mostre que este sistema é inercial. (c) Mostre que no sistema do centro de massa a lagrangiana se reduz a uma de um corpo de massa efetiva µ = m 1m 2 m 1 +m 2, sob o potencial central U(r). 10. O Teorema de Bertrand afirma que os únicos potenciais centrais para os quais todas as órbitas limitadas são fechadas são o potencial gravitacional V (r) = κ/r e o potencial elástico V (r) = α r 2, onde κ e α são constantes reais positivas. Escreva a lagrangiana para uma partícula sujeita a um potencial elástico em três dimensões espaciais, determine a equações de movimento e a equação da trajetória. Analise a possibilidade de integrar a equação da trajetória e discuta o tipo de soluções (órbitas) possíveis para este potencial. 11. Resolva os problemas 2.1, 2.5, 2.10, 2.11, 2.12, 2.16, 2.19 do livro de Nivaldo Lemos. 12. Demonstre, por substituição direta nas equações de Lagrange, que lagrangianas equivalentes geram as mesmas equações de movimento (Exercício do Nivaldo). 13. Considere uma partícula movendo-se livremente no plano xy, exceto pelo vínculo não-holônomo: ẋ ωy = 0, onde ω é uma constante. Prove que o vínculo é não-holônomo. Encontre a solução geral das equações de movimento do sistema usando o método dos multiplicadores de Lagrange e identifique as forças de vínculo. Resolva a equações de Newton para o sistema sujeito as forças de vínculo encontradas no item anterior. A solução encontrada satisfaz automaticamente o 3

4 vínculo não-holônomo? Em que condições o vínculo é obedecido durante todo o movimento? 14. Um disco rola sem deslizar para baixo de um plano inclinado por um ângulo α, como mostra a figura 4. Determine a equação de vínculo em termos das coordenadas y e θ. Obtenha as equações de movimento pelo método dos multiplicadores de Lagrange e identifique as forças de vínculo. Qual a interpretação física das forças de vínculo neste caso? Figura 4: Disco rolando em plano inclinado. 15. Considere um pêndulo simples de massa m e comprimento l, e descreva a posição da massa no instante t num sistema de coordenadas polares (r, θ). O sistema possui um vínculo holônomo. (a) Determine a equação do vínculo e a lagrangiana no sistema de coordenadas generalizadas (r, θ). (b) Obtenha as equações de Lagrange pelo método dos multiplicadores de Lagrange. (c) Identifique as forças de vínculo generalizadas. Qual a interpretação física das mesmas? 16. Uma partícula de massa m desce, a partir do repouso, por um hemisfério liso de raio a, como mostra a figura 5. Determine a força de vínculo e o ângulo para o qual a partícula perde contato com o hemisfério. 4

5 Figura 5: Partícula descendo sobre hemisfério. 5