DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS DE MÁQUINAS SÍNCRONAS PELO ENSAIO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: PROPOSTA DE METODOLOGIA COM INVERSOR DE FREQUÊNCIA

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1 MURILO HINOJOSA DE SOUSA DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS DE MÁQUINAS SÍNCRONAS PELO ENSAIO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: PROPOSTA DE METODOLOGIA COM INVERSOR DE FREQUÊNCIA São Paulo 211

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3 MURILO HINOJOSA DE SOUSA DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS DE MÁQUINAS SÍNCRONAS PELO ENSAIO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: PROPOSTA DE METODOLOGIA COM INVERSOR DE FREQUÊNCIA Dissertação apresentaa à Escola Politécnica a Universiae e São Paulo para a obtenção o título e Mestre em Engenharia Área e Concentração: Sistemas e Potência Orientaor: Prof. Dr. Silvio Ikuyo Nabeta São Paulo 211

4 Este exemplar foi revisao e alterao em relação à versão original, sob responsabiliae única o autor e com a anuência e seu orientaor. São Paulo, e ezembro e 211. Assinatura o autor Assinatura o orientaor FICHA CATALOGRÁFICA Sousa, Murilo Hinojosa e Determinação e parâmetros e máquinas síncronas pelo ensaio e resposta em freqüência: proposta e metoologia com inversor e frequência / M.H. e Sousa. -- e.rev. -- São Paulo, p. Dissertação (Mestrao) - Escola Politécnica a Universiae e São Paulo. FICHA Departamento CATALOGRÁFICA e Engenharia e Energia e Automação Elétricas. 1. Máquinas síncronas 2. Máquinas elétricas 3. Ensaios eletricos I. Universiae e São Paulo. Escola Politécnica. Departamento e Engenharia e Energia e Automação Elétricas II. t.

5 AGRADECIMENTOS Ao professor Silvio Ikuyo Nabeta pela orientação, pelo constante apoio e pelas conversas motivaoras. Aos professores Wilson Komatsu, Walter Kaiser, Lourenço Matakas e Ivan Chabu, que contribuíram para meu amaurecimento científico ese meus anos e grauação. Ao professor José Jaime Cruz, por colocar à isposição sua experiência no início a análise os resultaos este trabalho e ao professor Fábio Pereira, por compartilhar seu conhecimento matemático na reta final o esenvolvimento a issertação. Aos técnicos e laboratório Eson, Aelino e Marco pelo pronto atenimento quano e sua ajua necessitei. À minha família e pessoas próximas, que compreeneram e apoiaram minha eicação a mais esse passo e meu crescimento pessoal.

6 Se o conhecimento poe criar problemas, não será por meio a ignorância que os resolveremos. (Isaac Asimov)

7 RESUMO O trabalho apresentao tem como objetivo principal propor uma metoologia para obtenção os parâmetros a máquina síncrona, baseaa em ensaio e resposta em frequência, utilizano-se e um inversor e a aplicação e técnicas numéricas e ajuste e curvas. Deicam-se tópicos à consoliação e aspectos físicos resultantes as características construtivas as máquinas que evem ser consieraos na moelagem. Também se analisam as erivações matemáticas os moelos. Posteriormente se estuam os vários tipos e ensaios praticaos para eterminação os parâmetros os moelos apresentaos. Particular ênfase é aa ao Ensaio Estático e Resposta em Frequência. São levantaas as vantagens e esvantagens a aplicação esse tipo e ensaio, suas ificulaes e limitações bem como é apresentaa uma metoologia para sua execução. Por fim, o trabalho compila os resultaos conseguios com uma aplicação em bancaa, one foram utilizaos equipamentos isponíveis em laboratórios iáticos e máquinas elétricas. É outro objetivo esse estuo a comparação e ensaios e resposta em frequência com ensaios traicionais (saturação em vazio e curto-circuito permanente, curto-circuito abrupto, etc...). Palavras-Chave: Máquinas Síncronas, Moelagem, Ensaios para Determinação e Parâmetros, Resposta em Frequência.

8 ABSTRACT The presente work has as main objective to propose a methoology for obtaining the synchronous machines parameters, base on frequency response test, by means of a frequency converter an the application of numerical curve fitting routines. Topics are eicate to the consoliation of physical aspects resulting of the machines constructive characteristics which must be consiere in the moeling. Mathematical evelopments of the moels are also stuie. Thereafter, the tests that are usually performe for the etermination of the synchronous machines parameters are analyze. Particular emphasis is given to the Stanstill Frequency Response Test. Positive an negative points for this specific type of test are raise. Difficulties an limitations are also efine, an a methoology for its implementation is presente. Finally, this work compiles the results achieve in a bench application, where equipment available in iactic laboratories of electric machines was use. The comparison of the Stanstill Frequency Response Test with traitional tests (no-loa saturation, permanent short-circuit, suen short-circuit, etc ) is also scope of this work. Keywors: Synchronous Machines, Moeling, Tests for Parameters Determination, Frequency Response.

9 LISTA DE FIGURAS Figura 3.1 Vista o exterior e um núlceo estatórico Figura 3.2 Vista o interior e um núcleo estatórico Figura 3.3 Vista e um enrolamento estatórico Figura 3.4 Exemplo e rotor e polos salientes Figura 3.5 Orientação os eixos ireto e e quaratura Figura 3.6 Exemplo e circuito equivalente para o eixo ireto Figura 3.7 Circuito equivalente moelo simplificao Figura 3.8 Exemplo e circuito equivalente para o eixo e quaratura Figura 4.1 Ensaio e saturação em aberto e curto-circuito (IEC-634-4, 1985) Figura 4.2 Ensaio e baixo escorregamento (IEC634-4, 1985) Figura 4.3 Ensaio e curto-circuito abrupto Figura 4.4 Ensaio e recuperação e tensão Figura 5.1 Diagrama e Boe para L (s) curva assintótica Figura 5.2 Esquema e ligação o arranjo e bancaa Figura 5.3 Conteúo harmônico o sinal o inversor a 1 Hz Figura 5.4 Conteúo harmônico o sinal o inversor a 2 Hz Figura 5.5 Conteúo harmônico o sinal o inversor a 5 Hz Figura 5.6 Conteúo harmônico o sinal o inversor a 1 Hz Figura 5.7 Ruío no sinal o inversor a 1 Hz antes a inserção o filtro Figura 5.8 Conteúo harmônico a 1 Hz após a inserção o filtro Figura 5.9 Ruío no sinal o inversor a 1 Hz após a inserção o filtro... 7 Figura 5.1 Arranjo e bancaa... 7 Figura 5.11 Alinhamento seguno o eixo ireto Figura 5.12 Curva característica tensão-corrente o enrolamento Figura 5.13 Diagrama e Boe para L (s) curva e norma (IEEE-115, 29) Figura 5.14 Passos básicos a metoologia proposta Figura 6.1 Diagrama e Boe para L (s) aos experimentais... 8 Figura 6.2 Diagrama e Boe para L (s) primeira curva ajustaa Figura 6.3 Diagrama e Boe para L (s) seguna curva ajustaa Figura 6.4 Diagrama e Boe para L (s) terceira curva ajustaa Figura 6.5 Diagrama e Boe para L (s) quarta curva ajustaa... 83

10 Figura 6.6 Máquina com enrolamento amorteceor rompio... 86

11 LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 Ensaios no omínio o tempo Tabela 4.2 Ensaios no omínio a frequência Tabela 6.1 Meições para o eixo ireto Tabela 6.2 Parâmetros a inutância operacional para as iferentes replicações. 84 Tabela 6.3 Comparativo entre T o, T, T o e T Tabela 6.4 Inutâncias e eixo ireto para as iferente replicações Tabela 6.5 Comparativo entre L, L e L... 87

12 LISTA DE SÍMBOLOS Φ a,b,c Φ f Φ j,jq ψ a,b,c ψ f ψ j,jq Fluxo na fase A, B ou C Fluxo e campo Fluxo e amortecimento e eixo ireto ou e quaratura Fluxo concatenao na fase A, B ou C Fluxo concatenao e campo Fluxo concatenao e amortecimento e eixo ireto ou e quaraura i a,b,c Corrente na fase A, B ou C 1 i f i k,kq e a,b,c e f e k, kq θ a,b,c θ R a R f R k, kq R jk R jkq Corrente e campo Corrente e amortecimento e eixo ireto ou e quaratura Tensão na fase A, B ou C Tensão e campo Tensão e amortecimento e eixo ireto Ângulo entre fase A, B ou C e eixo ireto Ângulo entre fase A e eixo ireto Resistência e armaura Resistência e campo Resistência e amortecimento e eixo ireto ou e quaratura Resistência entre barras e amortecimento e eixo ireto Resistência entre barras e amortecimento e eixo e quaratura aa,bb,cc Reatância própria na fase A, B ou C 2 ab,ba ac,ca bc,cb ff,f jk,j jk,jq fk,jf fkq,jqf Reatância mútua entre fase A - fase B Reatância mútua entre fase A - fase C Reatância mútua entre fase B - fase C Reatância própria e campo Reatância própria e amortecimento e eixo ireto ou e quaratura Reatância própria e amortecimento e eixo ireto ou e quaratura Reatância mútua entre campo amorteceor e eixo ireto Reatância mútua entre campo amorteceor e eixo e quaratura 1 Foram convencionaas as utilizações escritas, em termos e caracteres maiúsculos ou minúsculos. Caracteres minúsculos representam ao longo o texto granezas por uniae (pu). 2 Foram representaas somente as reatâncias, seno que as inutâncias poem possuir os mesmos subínices, respeitano a relação = ωl.

13 jkq,jqk af,bf,cf fa,fb,fc Reatância mútua entre amorteceor e eixo ireto eixo e quaratura Reatância mútua entre campo fases A, B ou C Reatância mútua entre campo fases A, B ou C ak,bk,ck Reatância mútua entre amorteceor e eixo ireto fases A, B ou C ja,jb,jc Reatância mútua entre amorteceor e eixo ireto fases A, B ou C akq,bkq,ckq Reatância mútua entre amorteceor eixo e quaratura fases A, B ou C jaq,jbq,jcq Φ,q, ψ,q, i,q, e,q,,q, l a aq Reatância mútua entre amorteceor eixo e quaratura fases A, B ou C Fluxo no eixo ireto, quaratura e e componente zero Fluxo concatenao no eixo ireto, quaratura e e componente zero Corrente no eixo ireto, quaratura e e componente zero Tensão no eixo ireto, quaratura e e componente zero Reatância permanente e eixo ireto, quaratura e e componente zero Reatância e ispersão Reatância e armaura e eixo ireto Reatância e armaura e eixo e quaratura Reatância transitória e eixo ireto q Reatância transitória e eixo e quaratura Reatância subtransitória e eixo ireto q Reatância subtransitória e eixo e quaratura T o Constante e tempo transitória e eixo ireto em aberto T Constante e tempo transitória e eixo ireto T qo Constante e tempo transitória e eixo e quaratura em aberto T q Constante e tempo transitória e eixo e quaratura T o Constante e tempo subtransitória e eixo ireto em aberto T Constante e tempo subtransitória e eixo ireto T qo Constante e tempo subtransitória e eixo e quaratura em aberto T q Constante e tempo subtransitória e eixo e quaratura Z (s) Impeância operacional e eixo ireto Z q (s) Impeância operacional e eixo e quaratura G(s) Função e transferência tensão e armaura-tensão e campo sg(s) Função e transferência corrente e campo-corrente e armaura Z afo (s) Impeância e transferência tensão e campo-corrente e armaura Z fao (s) Impeância e transferência tensão e armaura-corrente e campo ω Velociae angular, frequência expressa em ra/s f Frequência expressa em Hz

14 P,q G Permeância equivalente e eixo ireto, e quaratura Graneza geral (com seus subínices) Reatância em base alteraa (com seus subínices) i Corrente em base alteraa (com seus subínices) U máx,mín I máx,mín V inv C f L f ω c V arm I arm Z arm Tensão máxima ou mínima Corrente máxima ou mínima Tensão o inversor Capacitância o filtro passa-baixa Inutância o filtro passa-baixa Frequência e corte o filtro passa-baixa Tensão e armaura meia Corrente e armaura meia Impeância e armaura meia

15 SUMÁRIO RESUMO ABSTRACT LISTA DE FIGURA LISTA DE TABELAS LISTA DE SÍMBOLOS 1. INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO DO PROBLEMA OBJETIVO JUSTIFICATIVA ESTRUTURAÇÃO REVISÃO DA LITERATURA PRIMÓRDIOS ABORDAGENS TRADICIONAIS SURGIMENTO DOS ENSAIOS EM FREQUÊNCIA DESENVOLVIMENTO DOS ENSAIOS EM FREQUÊNCIA O ESTADO-DA-ARTE A MODELAGEM DA MÁQUINA SÍNCRONA DESCRIÇÃO DA MÁQUINA SÍNCRONA Descrição Física a Máquina Síncrona Descrição Matemática a Máquina Síncrona Apresentação Seguno os Eixos ABC Fixos no Estator Interpretação as Reatâncias Relações e Transformação Apresentação Seguno os Eixos DQ Fixos no Rotor APRESENTAÇÃO DA MÁQUINA SÍNCRONA Equações e Tensão, Fluxo e Corrente Circuitos Equivalentes Equações em Função o Tempo Equações em Função a Frequência SUMÁRIO DA MODELAGEM DA MÁQUINA SÍNCRONA ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS ENSAIOS NO DOMÍNIO DO TEMPO... 5

16 Ensaios em Regime Permanente Ensaio e Saturação em Aberto e e Curto-Circuito Ensaio e Baixo Escorregamento Outros Ensaios Ensaios em Regime Transitório Ensaio e Curto-Circuito Abrupto Ensaio e Recuperação e Tensão Outros Ensaios ENSAIOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Ensaios Estáticos Ensaios Dinâmicos SUMÁRIO DOS ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS O ENSAIO ESTÁTICO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA IMPEDÂNCIAS OPERACIONAIS METODOLOGIA PROPOSTA Obtenção o Diagrama e Boe para L (s) Equipamentos Envolvios Alinhamento Seguno o Eixo Direto Meições Ajuste e Curva Cálculo as Inutâncias SUMÁRIO DO ENSAIO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ESTÁTICO RESULTADOS E DISCUSSÃO OBTENÇÃO DO DIAGRAMA DE BODE PARA L D (S) AJUSTE DE CURVA CÁLCULO DAS INDUTÂNCIAS CONCLUSÕES DESENVOLVIMENTOS FUTUROS REFERÊNCIAS... 9

17 15 1. INTRODUÇÃO 1.1. Definição o Problema As máquinas síncronas são equipamentos e importância inegável no ramo a engenharia elétrica. Sua contribuição para a geração e energia elétrica é vital para a manutenção e evolução os parões e via o ser humano contemporâneo. A tecnologia as máquinas síncronas vem seno estuaa ese o final o século retrasao, e one se epreene que seu projeto, fabricação e aplicação estão amplamente consoliaos na área e sistemas elétricos e potência. A afirmação anterior se faz parcialmente veraeira, já que outro ramo e evolução tecnológica vem alterano o estuo as máquinas elétricas em geral. O avento a eletrônica e subsequente tecnologia e processamento igital possibilitou o aprofunamento e técnicas e simulações e moelagens numéricas que outrora só se permitiam realizar através e cálculos analíticos, naturalmente limitaos à aoção e hipóteses simplificaoras e ificilmente reproutoras e conições reais e operação. É nesse novo cenário que se esenvolve parte os estuos mais atuais relativos às máquinas síncronas. Simulações com elementos finitos são um exemplo e aplicação a computação ao muno as máquinas elétricas. Além isso, técnicas mais rápias e precisas e aquisição e tratamento e aos permitem a moelagem em orens superiores (por exemplo, obtenção e circuitos equivalentes com mais ramos em paralelo), o que nos fornece respostas mais fiéis ao comportamento real a máquina. A moelagem e qualquer fenômeno físico esbarra na elimitação as variáveis as quais se esejam estuar. No que iz respeito às máquinas síncronas especificamente temos como objeto e estuo seu comportamento, relativo à estabiliae em sistemas elétricos e potência, em resposta a iversas variações às quais esses tipos e equipamento estão sujeitos em operação. Em linhas gerais, falamos e perturbações no ângulo e carga, na tensão ou na frequência a ree, poeno ser e pequenas ou granes proporções.

18 16 Inepenente e qual a causa a instabiliae verifica-se o efeito e separação o sistema elétrico e potência, seja e uma máquina, seja e um ou mais grupos e máquinas (ilhas elétricas). O responsável pelo projeto e uma usina e, consequentemente, pela correta especificação as máquinas síncronas contias nela, eve fornecer informações aequaas ao projetista o geraor com relação ao tipo e operação esejao, quais sejam a operação interligaa e a operação isolaa ou ilhaa. Importante ressaltar que iversos moelos poem ser esenvolvios e maneira a se estuar especificamente um ou outro fenômeno em profuniae. No entanto, ificilmente tem-se lançao mão e quaisquer moelos mais complexos no estuo e projeto as máquinas. É usual apenas se obterem as granezas importantes as máquinas na fase e projeto através e simulações e raramente se procuram meir em campo esses parâmetros, evio a uma série e limitações. Normalmente obtém-se as máquinas as traicionais curvas e saturação em vazio e e curto-circuito, que nos permitem calcular parâmetros que nos erivam moelos importantes para a caracterização as máquinas síncronas, mas que somente representam seu comportamento em regime permanente. Mesmo os conhecios ensaios e curto-circuito trifásico abrupto, por exemplo, encontram limitações em sua aplicação, ecorrentes a ificulae e se aaptar os equipamentos associaos ao geraor (isjuntores, barras, etc...) a essas conições e operação, para não mencionar as solicitações eletromagnéticas às quais as máquinas são submetias urante a aplicação o curto-circuito. Nesse campo é one os ensaios estáticos e resposta em frequência, ou Stanstill Frequency Response Tests (SSFRT) encontram seu maior potencial e aplicação. Esses ensaios se caracterizam pela aplicação e um pequeno sinal em uma faixa e frequência (a orem e milésimos até centenas e Hz) para iversas configurações e ligação os enrolamentos e campo e e armaura a máquina, com seu rotor parao. Além e permitir a erivação e moelos mais elaboraos e fiéis, não se impõe nenhuma conição inesejaa à máquina. Naturalmente, evemos mitigar as limitações ecorrentes essa aplicação. A aplicação e sinais e baixa potência poe levar a relações e não lineariae

19 17 (MINNICH, 1986) e o rotor parao poe ocultar alguns efeitos característicos ecorrentes a operação real em velociae síncrona Objetivo Como se poe perceber, existe uma iversiae e ensaios e metoologias que nos permitem obter alguns entre os iversos parâmetros e interesse nas máquinas síncronas, como reatâncias (ou inutâncias) e eixo ireto ou e quaratura, em regime permanente ou transitório e respectivas constantes e tempo. Com foco na obtenção e reatâncias e eixo ireto, esse trabalho propõe uma metoologia e ensaio baseaa em resposta em frequência utilizano inversor e frequência e aplicação e algoritmo numérico e ajuste e curva Justificativa A metoologia baseaa em resposta em frequência tem a vantagem e nos fornecer reatâncias e eixo ireto tanto em regime permanente, como em regime transitório e subtransitório, sem impor solicitações eletromagnéticas à máquina. A reatância e eixo ireto em regime transitório é e especial interesse, por não poer ser facilmente obtia através os métoos traicionais. Além isso, essa mesma metoologia poe vir a nos fornecer parâmetros no eixo e quaratura. Por fim, a utilização e um arranjo e bancaa e baixo custo favorece a replicabiliae o ensaio Estruturação O Capítulo 2 é eicao à breve exposição o esenvolvimento tecnológico na área e obtenção os parâmetros as máquinas síncronas, ese o início o século passao. Espera-se no Capítulo 3 apresentar os iversos tipos e moelos que poem ser erivaos. Consolia-se nesse capítulo tanto uma base física, aborano aspectos

20 18 construtivos as máquinas e sua influência na erivação e moelos, quanto uma base matemática, introuzino conceitos a teoria o uplo-eixo. Com esse panorama estabelecio, eseja-se etalhar os ensaios para obtenção esses moelos no Capítulo 4. Para facilitar a compreensão, os iversos tipos e ensaios existentes são classificaos e analisaos, o que nos permite enumerar os parâmetros que poem ser obtios em caa um eles. É no Capítulo 5 que será ao foco ao SSFRT, one se procura estabelecer uma metoologia básica para sua aplicação e análise, correlacionano os passos básicos para se atingir o resultao: realização o ensaio, tratamento matemático e cálculo os parâmetros. Além isso, uma aplicação prática com foco no ensaio e resposta em frequência procura propor uma alternativa para a ivulgação e prática mais frequente esse métoo. No capítulo 6 exporemos e analisaremos os resultaos obtios. É prevista uma comparação entre alguns tipos e ensaios, e moo a se valiar os resultaos e iscutir eventuais iscrepâncias. Finalmente, tecemos as conclusões finais a respeito o estuo no capítulo 7.

21 19 2. REVISÃO DA LITERATURA Não é e hoje que se busca a efinição e moelos para máquinas síncronas teno em vista a simulação para previsão e seu comportamento. Importante ressaltar que a efinição e moelos pressupõe uma escrição teórica aequaa a máquina. Os primeiros estuos e grane repercussão formalmente publicaos sobre esse tema atam o início o século passao (BLONDEL, 1913) Primórios Poe-se izer que Blonel (1913) foi um os responsáveis pela funamentação a teoria necessária à análise e máquinas e polos salientes, ao publicar seu estuo sobre a ecomposição as forças magneto-motrizes em componentes nos eixos ireto e e quaratura. Anos epois, estuos erivaos e Blonel surgiram. Doherty e Nickle (1926) o tomaram como partia para explorar a eterminação as componentes harmônicas as tensões e armaura em máquinas síncronas operano em regime permanente. Aspectos até então eixaos e lao foram levantaos, tais como o fato as harmônicas possuírem velociaes múltiplas a nominal e sentios e rotação iferentes. Consierano operação em regime permanente, a componente funamental o campo girante acompanha a rotação o rotor com velociae síncrona. Do ponto e vista o rotor, portanto, essa componente é estacionária e possui amplitue fixa. Já as componentes harmônicas possuem velociaes relativas ao rotor, o que as leva a enxergar uma permeância variável com o tempo, fazeno com que suas amplitues sejam pulsantes. Os autores propõem uma forma e solução o problema que consiste em equacionar essas formas e ona e ecompô-las em componentes estacionárias. Ao perceber o grau e complexiae que o tema atingira, Park e Robertson (1928) eciiram realizar uma compilação o material até então existente, classificano e

22 2 etalhano os tipos e parâmetros que poeriam ser obtios e os ensaios que poeriam ser realizaos para sua erivação. Foi e maneira até então inovaora que os autores classificaram as reatâncias em três tipos básicos: Reatâncias relacionaas à sequência e fases: essas reatâncias levam em conta a istribuição simétrica as correntes e armaura e nos fornecem reatâncias e sequência ireta, e sequência inversa ou sequência zero. Reatâncias relacionaas ao regime temporal: essas reatâncias levam em conta o regime temporal as correntes e armaura e nos fornecem as reatâncias e regime permanente, transitório ou subtransitório. Reatâncias relacionaas à orientação rotórica: essas reatâncias levam em conta a orientação relativa as forças magneto-motrizes em relação à posição o rotor e nos fornecem as reatâncias e eixo ireto ou e eixo e quaratura. O artigo segue com a exposição os principais ensaios, hoje tios como traicionais, para eterminação os parâmetros citaos anteriormente, entre os quais poemos citar o levantamento as curvas e curto-circuito e saturação em vazio, teste e baixo escorregamento, aplicação e curto-circuito trifásico abrupto, teste e recuperação e tensão, etc... Em publicações posteriores, Park (1929 e 1933) propõe um tratamento generalizao para máquinas síncronas e assíncronas, em operação em regime ou transitória e com tipos construtivos arbitrários. Algumas premissas básicas são aotaas, tais como esprezar efeitos e histerese e saturação e consierar forma e ona senoial a força magneto-motriz e armaura (ou seja, ausência e harmônicas). O autor compila estuos anteriores sobre máquinas para erivar uma série e equações funamentais que relacionam tensões como função e fluxos concatenaos, correntes e rotação a máquina. Tais avaliações acontecem no âmbito a teoria o uplo-eixo e poem ser facilmente transpostas para componentes e fase.

23 21 Além a erivação e equações funamentais, o autor se ocupa a análise e granezas importantes como ângulo e carga, torque e potência. Várias conições e operação também são estuaas, tais como operação e máquinas em paralelo, curto-circuito trifásico, máquina operano em barramento infinito (em vazio ou em carga), etc... Dano especial ênfase ao estuo o comportamento as máquinas síncronas através a aplicação e circuitos equivalentes, Rankin (1945) procurou consoliar o conhecimento no que iz respeito aos circuitos equivalentes completos. Por completo, entena-se o circuito equivalente que representa a forma mais fiel possível o comportamento as granezas rotóricas, através a aição os ramos e circuitos amorteceores. Moelos simplificaos poem bastar para eterminaas análises o comportamento as máquinas, mas em certas áreas é necessária a representação mais etalhaa, a saber, no projeto os circuitos amorteceores, no estuo o torque e sincronização e torque amorteceor, etc Aboragens Traicionais Poe-se izer que a primeira metae o século serviu à consoliação a base teórica as máquinas síncronas (e as máquinas elétricas rotativas em geral). Concoria (1951) publicou uma extensa escrição teórica eicaa especificamente às máquinas síncronas, enquanto Akins (1957) eicou um livro à teoria geral as máquinas, aplicano a teoria o uplo-eixo e uma forma mais generalizaa a qualquer tipo e máquina. Com a moelagem teórica relativamente consoliaa, uma série e estuos começou a surgir, escreveno ensaios em máquinas reais e observano iscrepâncias entre valores calculaos e meios. Canay (1969) tratou esse tema. O autor buscou encontrar as origens essas iscrepâncias observano a influência as tensões e correntes inuzias no rotor. Quatro máquinas são ensaiaas em curto-circuito abrupto: turbogeraor (rotor sólio) com enrolamento amorteceor, turbogeraor (rotor sólio) sem enrolamento amorteceor, hirogeraor com polos salientes laminaos e hirogeraor com polos salientes sólios.

24 22 A partir a introução e uma nova reatância no circuito equivalente, o autor buscou contemplar efeitos secunários consieraos importantes na eterminação e granezas o rotor. Entre os fenômenos contemplaos estão a inução e corrente na superfície e rotores sólios, a inução e corrente nas superfícies laterais as ranhuras o rotor e os efeitos os enrolamentos amorteceores nas correntes transitórias. A essa época começam a surgir as primeiras normas que versam sobre realização e ensaios em máquinas síncronas. A International Electrotechnical Commission (IEC) publicou em 1964 a eição IEC (Methos For Determining Synchronous Machine Quantities from Tests) para tratar sobre o tema. Essa norma é amplamente aceita, principalmente no mercao europeu, mas se mostra um tanto conservaora ao aborar e forma tímia os conceitos relacionaos aos ensaios que logo entrariam em voga: os ensaios estáticos e resposta em frequência. Antes isso, em 1945, a antiga AIEE (American Institute of Electrical Engineers) já publicara um texto específico para o assunto, que viria futuramente a ser enominaa IEEE-115 (Test Proceures For Synchronous Machines) Surgimento os Ensaios em Frequência Interessante notar que o esenvolvimento a teoria o uplo-eixo e a efinição e circuitos equivalentes vieram inicialmente atener a emana os projetistas e isjuntores e sistemas e proteção por aos o geraor importantes para sua parametrização. Contuo, a profuniae com que foi estuao o assunto abriu portas para uma área e aplicação iferente, a saber, o estuo e estabiliae e máquinas elétricas em sistemas e potência. Daneno (198) iscorre sobre as ativiaes realizaas nos trinta e cinco anos anteriores, enfatizano como a eterminação e parâmetros ganhou importância nos estuos e estabiliae. O circuito equivalente normalmente utilizao para essa aplicação era e certa forma simples, consierano representação somente no eixo ireto, e consierano um ramo para a excitação e outro para o enrolamento amorteceor.

25 23 O ponto negativo é a ificulae e representação o circuito e eixo e quaratura, o que leva os usuários finais o moelo a aotarem valores baseaos em cálculos os fabricantes e iminui a fieliae a moelagem. Além isso, o autor aponta que, com o grau e aprofunamento esperao nos estuos e estabiliae, emana-se uma moelagem que apresente um comportamento o mais fiel possível, o que exige representação o circuito equivalente em orens superiores. Infelizmente, a obtenção e alguns os parâmetros presentes nesses moelos não é possível via métoos convencionais. Daneno então menciona o crescimento, ao longo a écaa e 7, os estuos que aplicam conceitos bastante iferentes os até então aplicaos na obtenção e parâmetros, i.e; resposta ao comportamento transitório a máquina. Esses métoos consistem em estuar funções e transferência entre os iversos enrolamentos a máquina, estaticamente, em operação em vazio ou em operação em carga, através a aplicação e pequenos sinais e frequência variável nas máquinas. Coultes (1981) se ocupa a aplicação o SSFRT (teste com máquina paraa). Alguns aspectos práticos interessantes são aboraos. Por exemplo, o autor compara iferentes possibiliaes e grupos e ligação, e moo a se meir com precisão as resistências os enrolamentos. Ele também cita a importância e se manter a temperatura constante urante os testes, como também os cuiaos com meição e corrente via shunt, recomenano a utilização e meição iferencial para evitar a interferência e sua resistência nos cálculos. Em seu estuo, o autor percorre a faixa e frequências e,1 Hz a 1 Hz, com maior número e pontos por écaa na região entre milésimos e centésimos e Hz. Hurley (1981), por sua vez, vai mais longe e procura não somente obter os parâmetros e uma máquina através o SSFRT como também aplicar o moelo obtio ao estuar o comportamento a máquina quano submetia a manobras na ree. O equipamento em questão constitui-se e um turbogeraor e 645 MVA e ois polos que foi ensaiao e,1 a 1 Hz. O autor escolhe um moelo e seguna orem para a representação a máquina. Após a obtenção os parâmetros, são realizaos os ensaios na ree, entre os quais se incluem esligamento a máquina em conição sobre-excitaa,

26 24 subexcitaa e com reativos nulos. Para Hurley, os resultaos a comparação entre respostas calculaas nos moelos e a resposta ensaiaa são em geral satisfatórios. Sua principal observação, contuo, iz respeito à orem o moelo aotaa, que não permite a reproução fiel no eixo e quaratura. Mesmo assim, o autor não consiera valer à pena a aoção e um moelo e terceira orem, evio ao aumento a complexiae matemática envolvio. Além isso, ele enfatiza a incapaciae a moelagem através o SSFRT em fornecer parâmetros saturaos, já que os ensaios se ão naturalmente em baixos níveis e tensão. Esse aspecto importante foi estuao mais profunamente por Minnich (1986). No caso a avaliação a resposta à aplicação e pequenos sinais, ele mostra que se eve atentar ao fato e que a permeabiliae magnética o núcleo não acompanha a curva e magnetização convencional, efeito que ele chama e permeabiliae incremental. Esse efeito poe trazer resultaos não esperaos caso correções aequaas não sejam feitas. Por outro lao, ele apresenta a ificulae e se estuar o comportamento relacionao à aplicação e granes sinais, evio ao comportamento não linear a magnetização (saturação). Cálculos nesses casos são extremamente complicaos, já que ferramentas básicas usaas em estuos e máquinas, como a superposição, não poem ser aplicaas. Além as iferentes implicações o tipo e sinal a ser aplicao, o autor aponta inconsistências ao comparar resultaos o SSFRT com o Running-Open-Circuit Frequency Response Test (ROCFRT). Enquanto o primeiro teste consiste em analisar as respostas estáticas a máquina à aplicação os sinais, o seguno consiera a operação a velociae nominal, com iferentes níveis e excitação. A conição e operação em rotação nominal permite etectar no ROCFRT fenômenos relacionaos à inução magnética no rotor e à variação as características a máquina evio à reacomoação as peças quano submetias à ação a força centrípeta. Minnich mostra um teste comparativo em uma máquina no Canaá, one a presença as cunhas nas ranhuras (slot-weges) feitas com material magnético e curto-circuitaas altera sobremaneira a função e transferência que relaciona enrolamento e campo com enrolamento e armaura. Por outro lao, testes

27 25 comparativos entre ROCFRT e SSFRT não apresentaram granes iscrepâncias para uma máquina similar, porém com uma topologia iferente para a conexão as cunhas. Apesar e consierar importante a comparação entre o SSFRT e o ROCFRT, o autor não crê ser imprescinível realizar o On-Line Frequency Response Test (OLFRT), no qual a máquina é conectaa à ree. Ele acha que pouco se obtém e novo nesses testes e que sua realização é complexa comparaa aos outros ensaios. Com a importância e a ampla experiência aquirias foi uma questão e tempo até que os ensaios em frequência passassem a ser assimilaos por conhecias instituições normativas. Em 1987, o Institute of Electrical an Electronics Engineers (IEEE) publica um anexo à norma IEEE-115 eicao ao assunto. Em 1995, esse anexo foi incorporao efinitivamente ao corpo a norma e representa atualmente uma as referências mais importantes para ensaios frequenciais em máquinas elétricas, manteno-se como tal na última versão a norma lançaa em Desenvolvimento os Ensaios em Frequência Dao o volume crescente e publicações, fica claro que as écaas e 7 e 8 serviram para consoliar os proceimentos e ampliar a prática os ensaios frequenciais para eterminação e parâmetros e máquinas síncronas. Walton e Croft (1989) propõem uma generalização os tipos e ensaios possíveis para obtenção os parâmetros. Os autores iviem os tipos e ensaio nas seguintes categorias: Resposta ao egrau: aplicável para moelos e seguna orem, one se encontram os parâmetros através a análise a resposta no tempo. Tem como vantagem a faciliae e se gerarem sinais na forma e egrau, e esvantagem a não aplicabiliae a moelos e orens superiores. Representantes mais importantes os ensaios e resposta em egrau são os traicionais ensaios e curto-circuito abrupto ou ecremento e tensão.

28 26 Resposta à rampa: consierao menos prático o que o teste em egrau pela ificulae e se gerarem sinais o tipo rampa e forma precisa e bem controlaa. Resposta ao impulso: tem como maior vantagem a obtenção ireta a função e transferência. Novamente, não é aplicável para moelos e orem superior e apresenta a ificulae e não se obterem impulsos suficientemente próximos o que se consieram ieais. Resposta ao ruío: apresentam-se como possibiliaes o uso e sinais binários ou ternários, ou sequencias aleatórias. Representa uma tenência atual evio à ascensão os sistemas igitais. Resposta à senóie: obtêm-se os parâmetros meino-se as amplitues e as fases as respostas a uma excitação senoial. Permite a erivação e moelos e orens superiores, porém, nesses casos, as variações e fase e amplitue são menores, o que exige ferramentas matemáticas poerosas para o ajuste as curvas. Walton (2) vai além, em trabalho posterior, no qual foca seu estuo nos métoos possíveis e análise as respostas em frequência obtias. As traicionais ferramentas numéricas e ajuste e curvas, tais como o métoo os mínimos quaraos, exige que se tomem hipóteses simplificaoras, como por exemplo, a efinição a orem o moelo antes o cálculo e a necessiae a aoção e valores iniciais. Walton propõe um métoo analítico alternativo (que utiliza as muitas vezes esprezaas curvas e fase a resposta em frequência) e obtenção os zeros e polos a função e transferência resultante a resposta em frequência, que permite erivar moelos e orens superiores e forma mais fiel. Um exemplo e quão usuais os ensaios em frequência se tornaram foi o trabalho esenvolvio por Daneno et al. (1999). Este estuo é motivao pelas características as máquinas e polos salientes que as iferenciam as máquinas e polos lisos, quais sejam: elevao número e polos, ínice e saliência bastante iferente a uniae, rotores constituíos por chapas laminaas ao invés e aço forjao, enrolamento e campo concentrao ao invés e istribuío, concepção iferenciaa para os enrolamentos amorteceores e número fracionao e ranhuras por polos por fase.

29 27 Dentre as conclusões, o grupo lierao por Daneno enumera a ificulae com o alinhamento os eixos ireto e e quaratura para máquinas com alto número e polos já que valores e poucos graus mecânicos são emanaos. A alta ispersão os valores e fase aquisitaos em baixas frequências, evio aos baixos valores e resistência e armaura, exige uma precisão e resolução maior a aquisição e aos nessa faixa. Além isso, o número fracionao e ranhura por polos por fase também contribui com a ificulae e alinhamento os eixos ireto e e quaratura. Canay (1993) procura, em uma análise feita com um turbogeraor, levantar alguns pontos fracos o SSFRT. Seu estuo consiste em ensaiar um turbogeraor no omínio a frequência e no omínio o tempo, a fim e comparar os resultaos. O autor também realiza uma comparação entre moelos e orens iferentes. A primeira conclusão o autor é que moelos e orens superiores permitem tratar uma gama maior e fenômenos o comportamento a máquina. Contuo, a complexiae matemática envolvia para moelos esse tipo os limita, e moo que Canay recomena sua utilização somente em estuos acaêmicos. Outro fator que leva o autor a ponerar essa maneira é que os efeitos mais bem representaos pelo moelo e maior orem se encontram em baixas frequências, que em aplicações reais interferem pouco no esempenho a máquina, já que nessas regiões e alta constante e tempo a máquina já sofreu intervenção os sistemas e controle. A seguna conclusão importante iz respeito às razões e não fieliae a moelagem em frequência. O cálculo a impeância operacional consiera, por efinição, a resistência CC os enrolamentos e armaura. Contuo, nos testes em CA o SSFRT essa resistência possui valores maiores (principalmente em altas frequências), evio ao efeito e correntes e Foucault. Outro fator apontao é a meição em valores e magnetização iferentes aquele em que se opera a máquina normalmente. Por fim, evio à ausência e rotação no SSFRT, os contatos os pontos e conexão os enrolamentos amorteceores se afrouxam, aumentano sua resistência equivalente. Sauners (1999) fez um estuo semelhante, no qual aponta as peculiariaes o SSFRT. O autor classifica as seguintes formas e energia presentes na operação e uma máquina síncrona:

30 28 Energia cinética: consequente a massa girante. Energia potencial: ecorrente o campo magnético e as forças resultantes o campo elétrico entre enrolamentos. Energia issipativa: associaa às peras elétricas no cobre e no ferro, bem como peras mecânicas, tais como atrito e ventilação. Durante o SSFRT, a máquina está paraa, e moo que a energia cinética e as parcelas issipativas referentes a atrito e ventilação são nulas. A aplicação e baixos níveis e tensão leva à iminuição a contribuição a energia potencial elétrica. Além isso, o pequeno nível e magnetização iminui as peras no núcleo e, naturalmente, as peras resistivas são pequenas, o que torna o campo magnético praticamente o único responsável pelos efeitos atuantes na máquina urante o SSFRT. Poe-se izer que a área e estuo a estabiliae os sistemas e potência se beneficiou sobremaneira com o avanço na área e eterminação e moelos matemáticos fiéis para as máquinas síncronas. Too esse esenvolvimento culminou com a criação e uma norma específica para o assunto, a IEEE 11 (Guie for Synchronous Generator Moeling Practices an Applications in Power System Stability Analysis), que versa e maneira bastante etalhaa sobre toos os aspectos a obtenção e parâmetros, ano particular ênfase aos ensaios no omínio a frequência O Estao-a-Arte A análise as especificiaes a aplicação o SSFRT em máquinas e polos salientes aina atrai estuiosos o tema atualmente. Bortoni (1998 e 24) foi mais um autor a se ocupar o tema. Bortoni propõe uma metoologia que permite a realização o SSFRT com o rotor posicionao arbitrariamente, ou seja, sem necessariamente alinhar o rotor aos eixos ireto ou e quaratura. Para isso, o autor realiza os testes nos três enrolamentos e

31 29 calcula as impeâncias resultantes através e uma relação inicialmente proposta por Dalton e Cameron (1952) para cálculo simplificao e reatâncias subtransitórias e e sequência negativa em máquinas síncronas e polos salientes. O autor aponta que para máquinas maiores (ou com maior número e polos) os resultaos apresentam menos esvios em relação aos métoos traicionais o que para máquinas menores. Mesmo assim, o autor consiera os erros entro os níveis amissíveis. Outra frente e ensaios para eterminação e parâmetros vem ganhano espaço atualmente, com o avanço as tecnologias computacionais. Tratam-se os ensaios on-line, que permitem a moelagem os efeitos não contemplaos nos ensaios estáticos. Tsai (1995) sugere um métoo esse tipo, que consiera o estuo no omínio o tempo. O autor propõe a injeção e pequenos istúrbios nas máquinas, contrapono-se aos traicionais ensaios on-line, tais como os ensaios e sincronismo, rejeição e carga e manobra a ree. A razão para a sugestão a alternativa é a ificulae e se operarem os ensaios citaos, que representam granes istúrbios, tanto na máquina como na ree à qual ela está conectaa. Tsai seleciona um moelo que julga apropriao para representar a máquina a ser ensaiaa, baseao na IEEE-11. Com a ajua e uma ferramenta e otimização, o autor estua a resposta a pequenas variações na tensão e campo a máquina, em iferentes conições e carga. Conclui-se que a metoologia é valia ao se comparar a resposta a pequenos istúrbios com os métoos traicionais, e o autor aponta algumas vantagens e seu métoo, entre as quais a possibiliae e se monitorar a máquina em tempo real e etectar efeitos nos enrolamentos ao longo e sua operação. Huang (29) também estua a moelagem on-line, efeneno suas vantagens e contemplação os efeitos e magnetização e forças centrípetas consequentes a operação a máquina. A autora enfatiza que a conição e magnetização nominal é importante caso estuos relacionaos ao conteúo harmônico as tensões e correntes geraas pelas máquinas sejam almejaos. A autora consiera a utilização e um circuito eletrônico constituío e choppers para a injeção e pequenos sinais e corrente na máquina, suficientes para

32 3 possibilitar a extração as impeâncias sem interferir na operação a máquina. Com o auxílio e uma ferramenta e otimização (algoritmo genético), Huang estua os resultaos a injeção o ruío e corrente em eterminaa faixa e frequências. O moelo é consierao válio ao ser comparao com testes traicionais em uma máquina e bancaa. Huang enfatiza a flexibiliae o métoo, que permite monitorar a máquina constantemente urante operação e fornece informações importantes sobre seu esempenho. Outra frente e estuos para obtenção e parâmetros e máquinas síncronas lança mão e técnicas e simulação. Ferreira (25) analisa, via simulação pelo métoo os elementos finitos, a injeção e ruío em uma máquina. O métoo é baseao na teoria e controle e e sinais e permite a extração os parâmetros analisano a resposta à injeção e um sinal caracterizao como uma sequência pseuo-aleatória. Entre as vantagens esse métoo, temos a excitação tanto e baixas como e altas frequências urante o teste.

33 31 3. A MODELAGEM DA MÁQUINA SÍNCRONA 3.1. Descrição a Máquina Síncrona Descrição Física a Máquina Síncrona Com o objetivo e ar base ao estuo os iversos moelos com os quais poemos apresentar as máquinas síncronas, expõe-se uma breve escrição sobre suas principais características físicas. De um moo geral, as máquinas elétricas rotativas constituem-se e uas estruturas principais responsáveis pela interação eletromagnética. O estator, como o próprio nome sugere, consiste e um componente estático, composto basicamente pelo núcleo (ferromagnético) e enrolamento (usualmente e cobre) estatóricos. Já o rotor consiste e um componente rotativo, que também é composto por um núcleo (ferromagnético) e um enrolamento (usualmente e cobre) rotórico. Existem iversos tipos e configuração e máquinas, mas poemos relacioná-los basicamente em função o enrolamento utilizao (ADKINS, 1957): enrolamentos e corrente contínua, enrolamentos polifásicos e comutaores. Máquinas e corrente contínua possuem enrolamentos e corrente contínua em seu estator e comutaores associaos a enrolamentos e corrente contínua em seu rotor. Operano como geraores, a excitação se á através o estator (enrolamento e campo em corrente contínua) e a tensão é inuzia no rotor (enrolamento e armaura em corrente contínua). Máquinas síncronas, por sua vez, possuem enrolamentos e corrente contínua em seu rotor e enrolamentos polifásicos no estator. Operano como geraores, ao contrário a máquina e corrente contínua, a excitação se á através o rotor (enrolamento e campo em corrente contínua) e a tensão é inuzia nos enrolamentos polifásicos o estator (enrolamento e armaura em corrente alternaa). Máquinas assíncronas, por fim, possuem enrolamentos polifásicos tanto em seu rotor como em seu estator. Quano possuem acesso ao rotor, este poe ser

34 32 excitao (enrolamento e campo em corrente alternaa), seno o estator o inuzio (enrolamento e armaura em corrente alternaa). Poemos analisar as variações possíveis o ponto e vista construtivo, focano principalmente a máquina síncrona, apesar e muitos os conceitos aqui apresentaos se aplicarem a outros tipos e máquinas. O estator, apesar e apresentar uma série e requisitos construtivos o ponto e vista e suportabiliae mecânica a esforços ecorrentes e transientes eletromagnéticos, é uma estrutura relativamente simples. Trata-se e um pacote e lâminas e aço-silício eviamente envernizaas e empilhaas, com o objetivo e reuzir as inuções e correntes parasitas. O núcleo magnético é suportao por estruturas que poem ser tão simples como tirantes e barras solaas ao pacote empilhao ou tão complexas como gaiolas aparafusaas e solaas ao pacote empilhao. As lâminas são eviamente conformaas e moo a se configurarem ranhuras ao longo e seu perímetro interno, one se alojarão os enrolamentos polifásicos e armaura. A Figura 3.1 e a Figura 3.2 mostram, respectivamente, exemplos e possíveis tipos construtivos para o empilhamento o núcleo e para o alojamento o enrolamento nas ranhuras: Figura 3.1 Vista o exterior e um núlceo estatórico

35 33 Figura 3.2 Vista o interior e um núcleo estatórico Vale salientar que os enrolamentos polifásicos e três fases são amplamente utilizaos evio à alimentação e energia elétrica se ar nessa forma e conexão. As máquinas síncronas poem ter enrolamentos constituíos e conutores isolaos, bobinas ou barras, epeneno a potência a máquina. A Figura 3.3 mostra um exemplo e enrolamento estatórico e uma máquina com conutores isolaos: Figura 3.3 Vista e um enrolamento estatórico O rotor, por sua vez, poe assumir uma varieae grane e tipos construtivos. Por um lao, por se tratar e um enrolamento alimentao em corrente contínua, não

36 34 emana necessariamente a construção e um núcleo laminao. Além isso, quano em operação balanceaa, a inução geraa pela armaura são onas senoiais variantes no tempo e trafegantes no espaço, com a mesma velociae e rotação o rotor (velociae síncrona). Contuo, ao se alimentarem cargas esbalanceaas, o perfil as onas passa a ser constituío por harmônicas, que não trafegam na velociae síncrona. Essas harmônicas passam a possuir velociae relativa ao rotor iferente e zero, o que provoca a inução e correntes parasitas. Para se minimizar esse efeito inesejao, sugere-se a laminação o rotor (DOHERTY; NICKLE, 1926). Com relação ao tipo e polo, as máquinas síncronas e baixo número e polos são comumente construías com polos lisos, a partir e chapas empilhaas one se alojam as bobinas e campo em ranhuras. Máquinas e alto número e polos, por sua vez, possuem polos salientes, também utilizano chapas empilhaas, mas com alojamento as bobinas e campo ao reor o núcleo polar. Alternativamente, máquinas e baixo número e polos poem possuir polos salientes, seno nesse caso comum a concepção através e um rotor sólio. A Figura 3.4 nos permite ver a construção típica e um rotor e alto número e polos: Figura 3.4 Exemplo e rotor e polos salientes A concepção normal para o enrolamento o rotor é a utilização e conutores isolaos, constituino um enrolamento e camaas múltiplas, comuns em máquinas e polos lisos e salientes. Uma alternativa para máquinas e polos salientes é a utilização e barras e cobre, que constituem um enrolamento e camaa simples.

37 35 Outro aspecto construtivo funamental a máquina síncrona são os enrolamentos amorteceores. Estes têm funções variaas, entre as quais o amortecimento e torques oscilatórios ecorrentes e variação na potência a ree, reução a sobretensão nas fases sãs urante curto-circuitos, amortecimento as correntes inuzias evio à sincronização fora e fase, entre outras (ADKINS, 1957). A seguir procuraremos efinir moelos matemáticos que representem e maneira aequaa as características físicas e o comportamento a máquina síncrona Descrição Matemática a Máquina Síncrona Tomaremos como base para a moelagem a seguir máquinas síncronas com enrolamentos e armaura trifásicos. Além esses enrolamentos, serão consieraos os enrolamentos e campo em corrente contínua e os enrolamentos amorteceores. Estes últimos serão representaos através e enrolamentos físicos ou, no caso e rotor sólio, através as correntes inuzias nas superfícies o rotor Apresentação Seguno os Eixos ABC Fixos no Estator Poemos obter as seguintes relações entre tensão e fluxo concatenao para os enrolamentos anteriormente mencionaos (CONCORDIA, 1951). Para a armaura tem-se: e a a = ψ t R i a a e b b = ψ t R i a b (3.1) e c c = ψ t R i a c O sinal negativo obeece à aoção a convenção o geraor no equacionamento.

38 36 Para os enrolamentos e campo e amorteceores e eixo ireto e quaratura temse: f e f = ψ + R fi f (3.2) t ψ j = + R jkik (3.3) t ψ jq = + R jkqikq, (3.4) t nos quais o ínice jk, para j igual a k, representam resistência o enrolamento amorteceor. Para j iferente e k, representam relações e resistência o anel e curto entre barras que constituem um enrolamento e amortecimento. Por construção, não se verificam essas relações e resistência entre enrolamentos e amortecimento posicionaos seguno o eixo ireto e os posicionaos seguno o eixo e quaratura. Contuo, notar que resistências entre enrolamentos e amortecimento orientaos seguno o mesmo eixo são possíveis (por exemplo, R 12, R 12q, etc...). Vale lembrar que a tensão em caa enrolamento amorteceor é nula por construção, já que esses são curto-circuitaos em seus terminais (construção semelhante a uma gaiola e esquilo em máquinas e inução). As relações (3.1) a (3.4), entre tensão e fluxo concatenao, poem ser escritas em notação matricial: