de Licenciatura em Matemática. Tem-se como foco principal a incorporação de atividades

Transcrição

1 A INCORPORAÇÃO DE TECNOLOGIAS INFORMÁTICAS NA ESTRUTURAÇÃO DE CONCEITOS RELACIONADOS ÀS COORDENADAS POLARES Carmen Teresa Kaiber Universidade Luterana do Brasil Rodrigo Dalla Vecchia Universidade Luterana do Brasil Dienifer Kiak Scapin Resumo: Este artigo apresenta um recorte de investigações realizadas acerca da incorporação das Tecnologias da Comunicação e Informação (TIC) ao currículo dos cursos de Licenciatura em Matemática. Tem-se como foco principal a incorporação de atividades relacionadas à inserção da calculadora gráfica HP 50g no contexto educativo, que trata de temas relacionados a equações paramétricas, cálculo vetorial e coordenadas polares. Objetiva-se, com os argumentos apresentados, dar indícios de como a referida calculadora pode contribuir, particularmente, para o estudo de conceitos relacionados a coordenadas polares. Palavras-chave: Coordenadas polares; Calculadora gráfica; Virtualização. INTRODUÇÃO Na busca por enfoques pedagógicos que relacionem as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) com a Educação Matemática, destaca-se o uso de calculadoras gráficas. Autores como Borba (1999), Borba e Penteado (2003) e Scucuglia (2006) defendem e investigam essa associação, visando identificar elementos que possam contribuir para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Na mesma direção dessas pesquisas, o presente artigo apresenta um recorte das investigações acerca da incorporação das Tecnologias da Comunicação e Informação (TIC) ao currículo dos cursos de Licenciatura em Matemática. Tem-se como foco principal a incorporação de atividades relacionadas à inserção da calculadora gráfica HP 50g no contexto educativo, que trata de temas relacionados a equações paramétricas, cálculo vetorial e coordenadas polares. 1

2 Com os argumentos apontados ao longo de todo artigo, objetiva-se dar indícios de potencialidades da utilização da calculadora HP 50g no ensino e aprendizagem desses conteúdos específicos. Para tanto, toma-se a seguinte pergunta diretriz: Como as tecnologias informáticas, em particular o uso da calculadora HP 50g, podem contribuir para o estudo de conceitos relacionados a coordenadas polares? A natureza da pergunta que norteia a investigação evidencia o cunho qualitativo da mesma. Os sujeitos da investigação são alunos de um curso de Licenciatura em Matemática, que cursaram a disciplina de Matemática Aplicada IV no segundo semestre do ano de REFERENCIAL TEÓRICO Para nortear a presente investigação, serão utilizadas idéias provenientes de autores que tratam de ambientes dados pelas tecnologias. Em especial, será tratada a questão do virtual e da virtualização, sob o ponto de vista filosófico, associando-o, posteriormente, com ambientes informáticos. O virtual para o propósito do presente artigo será entendido dentro da filosofia escolástica, como algo que existe em potência e não em ato. De forma mais precisa, o virtual é tido como [...] um complexo problemático, o nó de tendências ou de forças que acompanha uma situação, um acontecimento, um objeto ou uma entidade qualquer (LÉVY,1996, p. 16, grifo nosso). A virtualização, por sua vez, pode ser entendida como uma elevação à potência da entidade considerada (Lévy, 1996, p. 17). Sobre a virtualização, Lévy revela que consiste em um [...] deslocamento do centro de gravidade ontológico do objeto considerado: em vez de se definir principalmente por sua atualidade (uma solução ), a entidade passa a encontrar sua consistência essencial num campo problemático. Virtualizar uma entidade qualquer consiste em descobrir uma questão geral à qual ela se relaciona, em fazer mutar a entidade em direção a essa interrogação e em redefinir a atualidade de partida como resposta a uma questão particular. (LÉVY, 1996, p ) Ao enfatizar esses elementos, pretende-se sair do contexto coloquial em que o virtual é posto, confundindo-o, muitas vezes, com o espaço criado pelas tecnologias. Apesar da relação entre eles ser íntima, é necessária uma distinção. Entende-se o virtual, portanto, não como o espaço criado pelo software, ou especificamente, pela calculadora 2

3 gráfica, mas sim o ambiente problemático criado em torno de uma entidade ou situação. Salienta-se dessa colocação e das citações acima o elemento problemático. Nele está a essência daquilo que se assume no presente artigo por virtual e virtualização, não se devendo confundir a simples presença de um software, de um computador, de uma calculadora, ou passagem de uma tecnologia à outra com a virtualização. É necessário criar um campo problemático, elevando a entidade ou situação analisada a esse campo. Fica evidente, a partir dessas colocações, que o que se entende por virtualização não está necessariamente relacionado com a presença de tecnologias digitais. Entretanto, como já evidenciado, a relação entre esses elementos é estreita. Dentre os aspectos os quais associam o virtual ao espaço dado pelas tecnologias destaca-se, neste artigo, a mudança de perspectiva que a realidade do mundo cibernético pode proporcionar, a qual se associa, diretamente, às percepções de tempo e espaço, como observado na visão de Bicudo e Rosa (2010). Para eles a realidade do mundo cibernético [...] pode, então, ser compreendida como um modo de viver a vida na dimensão do humano, como ela é, mesmo que as relações presentificadas nessa dimensão da realidade se dêem em um espaço mundano que deve ser caracterizado em termos do espaço/tempo possibilitado pelas tecnologias (BICUDO; ROSA, 2010, p.5) Defende-se aqui que é na transformação da percepção de tempo e espaço que as tecnologias podem oferecer que está uma das principais potencialidades das tecnologias como vetores de virtualização, isto é, como elementos os quais podem elevar a entidade a um estado problemático, possibilitando o surgimento de novas perspectivas. Com base nessas idéias, serão focados nesta investigação os momentos nos quais a entidade foi posta em um estado problemático e modificou-se, permitindo conjecturações e a construção do conhecimento matemático. METODOLOGIA A metodologia utilizada para realizar a investigação assume um caráter qualitativo. Na abordagem qualitativa, conforme Santos Filho e Gamboa (2000, p.43), o propósito fundamental é a compreensão, a explanação e a interpretação do fenômeno estudado. Os sujeitos da pesquisa são alunos de um curso de Licenciatura em Matemática que cursaram a disciplina Matemática Aplicada IV no segundo semestre do ano de A coleta de dados ocorreu, principalmente, por meio de filmagens de atividades em que havia 3

4 a interação alunos-calculadoras e envolviam a utilização de algum recurso proveniente da calculadora HP 50g. Tomando a interação entre calculadoras gráficas e o usuário como foco principal da investigação, o conjunto de informações provenientes das falas, gestos, interações entre as pessoas, interações com a calculadora HP 50g, constituiu-se na principal fonte de dados. Os mesmos foram registrados por meio de filmagens, tomando como pressuposto as afirmações de Powell, Francisco e Maher (2004) sobre os potenciais de registros ao utilizar o vídeo como uma fonte de pesquisa: a densidade e a permanência. Segundo os autores, a densidade tem como vantagem sobre um observador a capacidade de monitorar eventos simultâneos, revelando diferentes comportamentos, bem como a vantagem de possibilitar áudio e vídeo simultaneamente. Quanto à permanência, referem-se à possibilidade de rever várias vezes os acontecimentos vivenciados, auxiliando na eficácia da análise. Além disso, as observações foram complementadas com um diário de campo e análise de documentos 1. A reunião de várias formas de registro de dados tem como objetivo aumentar a credibilidade da pesquisa. O processo de elaboração e articulação de diferentes dados é conhecido na literatura como triangulação de dados (BORBA; ARAÚJO, 2006; ALVEZ-MAZZOTTI; GEWANDSZNAJDER, 1998; LINCOLN; GUBA, 1985). Com base nas perspectivas abordadas serão apontados, nas próximas seções, trechos de episódios de investigação que foram desenvolvidas com as atividades propostas e que evidenciaram elementos relacionados à questão norteadora. INVESTIGANDO FAMÍLIAS DE ROSÁCEAS EM COORDENADAS POLARES Serão apresentados, nesta seção, os relatos dos experimentos, bem como as conjecturações obtidas no desenvolvimento de atividades com os alunos. Busca-se evidenciar como o uso da calculadora HP 50g contribuiu para o estudo de conceitos relacionados a coordenadas polares, em particular ao estudo das rosáceas. Fazem parte desse contexto as atividades elaboradas, as conjecturas obtidas e a análise de elementos específicos os quais contribuíram para que determinada conjectura fosse formada. 1 Segundo Alves-Mazzotti e Gewandsznajder (1998, p. 169), [...] considera-se como documento qualquer registro escrito que possa ser usado como fonte de informação. 4

5 Experimento das Rosáceas A atividade a ser analisada consistiu na investigação de duas famílias de rosáceas. De forma específica, pediu-se que os alunos, com o apoio da calculadora HP 50g, esboçassem o gráficos referentes às equações r sen( n ) e r cos( n ). Nessa situação, é a variável independente e representa o ângulo, r é a variável dependente e representa o raio e n representa uma constante 2 a ser definida pelos alunos. O objetivo dessa atividade era a construção de conjecturações a respeito da natureza geométrica das rosáceas. Como primeiro elemento a ser percebido pelos alunos, destaca-se a conhecida relação entre o número de pétalas de cada rosácea com o coeficiente n do argumento da função. Ao variar o valor de n nos coeficientes, foi possível construir uma série de gráficos mostrados no Quadro 1 possibilitando criar a seguinte conjecturação: A quantidade de pétalas das rosáceas para n é n, se n for ímpar e 2 n, se n for par. r sen( 2 ) r sen( 3 ) r sen( 4 ) r sen( 5 ) r cos( 2 ) r cos( 3 ) r cos( 4 ) r cos( 5 ) Quadro 1: visualização das Rosáceas. 2 Na atividade proposta considerou-se apenas n positivo e inteiro. 5

6 Para evidenciar a construção dessa conjectura, apresenta-se um excerto que descreve a fala de dois alunos, denotados de aluno L. e aluno A. Nele, aparentemente, o aluno L. já havia percebido a relação existente entre o coeficiente do argumento e o número de pétalas e conduzia a conversa de tal forma que propiciasse a descoberta dessa relação pelo seu colega. A: L., o n do argumento é o número de pétalas?! No 1 não, mas do 2 adiante... n igual a dois é quatro... L: E tem uma outra coisa interessante que acontece nos ímpares que tu não percebeu ainda... A: n=4 é oito... L: Então, nos pares é o quê? A: Nos pares é o dobro e nos ímpares é o próprio número, né... A continuação da conversa revela que o aluno L. percebeu outra relação que responde à pergunta: por que quando n é par dobra o número de pétalas e quando n é ímpar não? L: Tem uma outra coisa agora interessante que acontece nos ímpares. A: Vou adiante então... L: Não, pode fazer com o 3 e o 5...o 7... com esses mesmo que tu fez. Tu está vendo que ele acabou de desenhar já...e demorou pra aparecer o menuzinho embaixo. A: Ele está fazendo alguma operação. L: Ele está fazendo mais alguma operação, o que ele está fazendo?? A: Será que ele não está passando de novo?? Em cima do próprio traço? Está repetindo o gráfico? L: Está repetindo. A: Está repetindo... [...] quantas vezes?? L: Eu fiquei intrigado com isso daí eu fui pro papelzinho...mas, ela está repetindo. Vê quanto tempo ela demorou pra desenhar uma vez. Quando ela começar a desenhar tu começa a contar mentalmente. Ela acabou de desenhar tu começa outra contagem. E daí tu vai descobrir quantas vezes. A: É uma vez só... L: Ela vai repetir uma vez só? A: É, uma vez! Eu fiz com cinco... de repente... L: Vê quantas vezes ele vai repetir com 3, quantas vezes ele vai repetir com 7... A: Ele repete sempre uma vez. L: É, ela passa sempre duas vezes pelo ponto. A: Análise funcional pra mim eu acho espetacular. Considera-se implícito nesse diálogo a já citada pergunta: por que quando n é par dobra o número de pétalas e quando n é impar não? Na verdade, ao se fazer uma construção gráfica com a variação de angulação 3 0 2, sempre há uma duplicação 3 Cabe salientar que foi configurado em todas as calculadoras HP 50g utilizadas no experimento o intervalo de angulação

7 no número de pétalas. Entretanto, nos casos em que n é ímpar, cada pétala é desenhada duas vezes no intervalo de 0 2, isto é, as 2 n pétalas estão sobrepostas duas a duas, configurando uma imagem gráfica de apenas n pétalas. O que chama a atenção nesse excerto é a maneira como essa relação foi obtida. Claramente, vê-se que só foi possível graças ao tempo de depuração da calculadora. Quando o aluno L. fala Tu está vendo que ele acabou de desenhar já...e demorou pra aparecer o menuzinho embaixo, está se referindo às características específicas da calculadora HP 50g, que só apresenta as barras de ferramentas menuzinho ao concluir o gráfico. Se não havia aparecido a barra de ferramentas no visor é porque a calculadora estava ainda processando algum dado, fato expressado na fala do aluno A.: Ele está fazendo alguma operação. Entretanto, esse fato só garantiu a repetição e não a duplicidade. Novamente, considera-se que o tempo de depuração foi responsável pela conjecturação, mas nesse caso, a da duplicidade. A idéia de usar o tempo como fator de análise da quantidade de repetições parte do aluno L. com a seguinte proposta: Vê quanto tempo ela demorou pra desenhar uma vez. Quando ela começar a desenhar tu começa a contar mentalmente. Ela acabou de desenhar tu começa outra contagem. e é confirmada pelo aluno A. que, após algumas tentativas, conclui: Ele repete sempre uma vez. Ao investigar as equações r sen( n ) e r cos( n ), com o uso de calculadoras, estabelece-se uma mudança na percepção da problemática que envolve a situação, dada pela realidade que as tecnologias proporcionam. O tempo em particular o tempo de depuração foi um dos principais fatores que proporcionaram essa discussão. Como já evidenciado no referencial teórico, a questão do tempo/espaço são os dois principais elementos que constituem a realidade dada pelos meios digitais (BICUDO; ROSA, 2010). Evidentemente, a questão do tempo é muito mais abrangente do que o tempo de depuração, mas sua relevância se dá no momento em que esse condiciona fatores relativos ao espaço/tempo da realidade do mundo cibernético. Nesse contexto, toma-se o espaço condicionado pela presença da tecnologia como um vetor de virtualização, corroborando, assim, com as idéias de Lévy (1996, p. 18), o qual afirma que [...] a virtualização [...] consiste, sobretudo, em fazer das coordenadas espaço-temporais [...] um problema sempre pensado e não uma solução estável. Entretanto, cabe salientar que a virtualização em si, isto é, a elevação da entidade a um estado problemático não se deu pela execução de um 7

8 problema informático ou pela demora do mesmo. Conforme Lévy (1996, p. 40), o [...] virtual só eclode com a entrada da subjetividade humana. Portanto, somente a partir da problemática instaurada e da constante reflexão e reinvenção dessa problemática por meio da subjetividade dada pelo humano é que pode ocorrer a virtualização. Não só as características específicas inerentes a uma dada realidade que contribuem para o processo de construção do conhecimento. A mudança de percepção da realidade pode, também, contribuir para o firmamento de uma dada conjecturação. Isso pode ser percebido na fala do aluno L. quando diz que: Eu fiquei intrigado com isso daí eu fui pro papelzinho, referindo-se ao momento em que usou lápis e papel para investigar a conjectura proposta. Ao mesmo tempo em que o meio digital proporciona ambientes propícios a determinadas investigações, ele possui limitações, por causa das características específicas do espaço e tempo que condiciona. Nesse sentido, a mudança da percepção da realidade ou de perspectiva pode proporcionar uma mudança da percepção da problemática envolvida, influenciando no processo de virtualização e dando uma caracterização dinâmica à entidade envolvida. Ao se adotar o ponto de vista dado pelo virtual, o caráter dinâmico de uma entidade evidencia-se. Nesse sentido, Lévy revela que Por um lado, a entidade carrega e produz suas virtualidades: um acontecimento, por exemplo, reorganiza uma problemática anterior e é suscetível de receber interpretações variadas. Por outro lado, o virtual constitui a entidade: as virtualidades inerentes a um ser, sua problemática, o nó de tensões, de coerções e de projetos que o animam, as questões que o movem, são uma parte essencial de sua determinação (LÉVY,1996, p. 16, grifos do autor). Destaca-se, nesse caso, que a mudança da percepção da realidade, ou o retorno à problemática inicial, que consistia no uso do lápis e papel, participou do processo de virtualização da entidade. Não se trata, apenas, de uma volta ou um retorno ao ponto inicial 4, mas sim de um avanço na problemática. Nesse sentido, Deleuze (1988, p. 338), ao falar de virtual revela: Indo de A para B e, depois, retornando de B para A, não encontramos um ponto de partida, como numa repetição nua; a repetição é, antes, entre A e B, B e A; é o percurso ou a descrição progressiva do conjunto de um campo problemático. 4 Antes de investigarem as situações propostas os alunos trabalharam a construção de gráficos usando lápis e papel. Nesse sentido que se está falando em retorno. 8

9 Esse processo investigativo envolvendo os alunos L. e A. não cessou com as descobertas colocadas no excerto analisado. No presente artigo optou-se por analisar apenas um excerto, apresentando as demais conjecturas de forma descritiva. Assim, destaca-se a conjectura: Para as rosáceas, r a. cos( n ) o ápice de uma das pétalas sempre será no ponto (em coordenadas polares 5 ) (a,0) e para a família r a. sen( n ), no ponto a,.essa afirmação originou-se de uma discussão que 2n pairava sobre a distribuição das pétalas em relação ao eixo coordenado x. Entretanto, um comparativo visual entre o conjunto de equações cosseno e seno contribuiu para que fossem expostos argumentos relativos aos pontos que representavam o ápice das pétalas das rosáceas. A partir dessa conjecturação passou-se a explicitar em termos matemáticos, o fato percebido visualmente. No conjunto das conclusões matemáticas obtidas com essa atividade, ainda encontra-se a seguinte conjectura: A diferença em graus entre um ápice e outro de cada pétala de uma rosácea dá-se pela regra (nº pétalas)/360º. Também, opta-se apenas por citá-la, como forma de contribuir num contexto mais geral, mostrando-a como uma possibilidade pedagógica no contexto investigado, o que não deixa de estar em consonância com elementos envolvendo a questão que orienta este artigo. CONCLUSÃO Procurou-se, com os argumentos apresentados, dar indícios de como a utilização da calculadora HP 50g pode contribuir para o estudo de conceitos relacionados a coordenadas polares. Com esse objetivo norteando a investigação, foram evidenciados, ao longo do artigo, elementos que dizem respeito à apresentação dos experimentos, as conjecturas obtidas e a análise de discussões envolvendo determinadas conjecturações. Nesse contexto, as conjecturações representam possibilidades de investigações que surgiram das discussões e representam o potencial das atividades propostas no que diz respeito à construção do conhecimento matemático específico. Entretanto, o como evidenciado na pergunta diretriz abre caminho para uma análise mais profunda, permitindo uma pesquisa que visa compreender os elementos que podem contribuir para a constituição ângulo. 5 Em coordenadas polares, a primeira coordenada do parênteses se refere ao raio e a segunda, ao 9

10 de conjecturações com tecnologias, não apenas no contexto específico das coordenadas polares. Para esta análise, partiu-se do referencial teórico que fala sobre o virtual e a virtualização, entendendo virtualização como a elevação de uma situação a um estado problemático. Com esse olhar, foram analisados os excertos extraídos, evidenciando os elementos que acredita-se, constituem vetores de virtualização. Nesse sentido, destaca-se a realidade, em especial a proporcionada pelos meios digitais como um dos elementos que podem influenciar uma mudança de perspectiva ou colocar a situação investigada num estado problemático. Evidencia-se, ainda, a mudança de percepção da realidade como um vetor de virtualização, bem como as características específicas geradas pelos softwares gráficos, fortificando a visualização como um importante fator na criação de conjecturações. REFERÊNCIAS ALVES-MAZZOTI, A. J. O Método nas Ciências Sociais. In: ALVES-MAZZOTI, A. J.; GEWANDSZNAJDER, F. O Método nas Ciências Naturais e Sociais: Pesquisa Quantitativa e Qualitativa. 2. ed. São Paulo: Pioneira, BICUDO, M. A.V.; ROSA, M. Educação Matemática na Realidade do Ciberespaço- Que Aspectos Ontológicos e Científicos se Apresentam. Revista Latinoamericana de Investigación en Matematica Educativa. v. 13, n. 1, p BORBA, M. C. Calculadoras Gráficas e Educação Matemática. Rio de Janeiro: Art Bureau, BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, BORBA, M. C.; ARAÚJO, J. L. Construindo pesquisas coletivamente em Educação Matemática. In: BORBA, Marcelo de Carvalho; ARAÚJO, Jussara de Loiola (Org.). Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. 2. ed. São Paulo: Autêntica, DELEUZE, G. Diferença e Repetição. Traduzido por: Orlandini, L.; Machado, R. Tradução de: Différence et Répétition. Rio de janeiro: Graal, LÉVY, P. O que é o virtual. Traduzido por: Neves, P. Tradução de: Qu est-ce que Le virtuel?. São Paulo: Editora 34, LINCOLN, Y.; GUBA, E. Naturalistic Inquiry. Califórnia: Sage Publications,

11 POWELL, A. B.; FRANCISCO, J. M.; MAHER, C. A. Uma Abordagem à Análise de Dados de Vídeo para Investigar o Desenvolvimento de Idéias e Raciocínios Matemáticos de Estudantes. Bolema, v. 17, n. 21, p , Unesp: Rio Claro, SANTOS FILHO, J. C. O. e GAMBOA, S. Pesquisa Educacional: quantidadequalidade. São Paulo: Cortez, SCUCUGLIA, R. A Investigação do Teorema Fundamental do Cálculo com Calculadoras Gráficas. 1v. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro,