Prof. Weber Campos 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

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1 BANCO DO BRASIL Matemática Básica Módulo 01: Números Inteiros e Racionais Módulo 02: Problemas com Conjuntos Módulo 03: Múltiplos e Divisores webercampos@gmail.com 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

2 ÍNDICE Módulo 01: Números Inteiros e Racionais 3 Exercícios 12 Gabarito 22 Módulo 02: Problemas com Conjuntos 23 Exercícios 29 Gabarito 30 Módulo 03: Múltiplos e Divisores 31 Exercícios 37 Gabarito 40 Concurso do BANCO DO BRASIL/2012 Matemática Básica: Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas. Estatística: Estatística descritiva; distribuição de probabilidade discreta. Matemática Financeira: Juros simples e compostos: capitalização e descontos. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento. Taxas de Retorno. 2

3 MÓDULO 01: NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS 1. DESCRIÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Certos conjuntos numéricos são especialmente importantes devido às propriedades das operações entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam: a) N { 0,1, 2, 3, 4,K} = é o conjunto dos números naturais (inteiros não-negativos). b) Z { K,-3,- 2, -1, 0,1, 2, 3, K} = é o conjunto dos números inteiros. ì c) Q= íx x= î pü ý, sendo p Î Z, q Î Z e q ¹ 0, é o conjunto dos números racionais. qþ São exemplos de números racionais: 3 -, 5 9 -, 2 8 +, + 0,28, - 2, São exemplos de números irracionais: p = 3,14159 K, 2= 1,41421K, 3= 1,73205K, d) R é o conjunto dos números reais, formados por todos os números racionais e irracionais. Quando incluímos o símbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do conjunto. Assim, temos: N * = { 1, 2, 3, 4, 5,K} Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os números negativos do conjunto. Z + = { 0,1, 2,3,K} é o conjunto dos números inteiros não-negativos. Quando acrescentamos o símbolo (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os números positivos do conjunto. Assim, temos: Z - {,- 3, - 2, -1,0} = K é o conjunto dos números inteiros não-positivos. Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos Z +, Z -. Se excluímos o zero destes conjuntos, teremos: * Z + { 1, 2,3,K} = números inteiros estritamente positivos. * Z - {,- 3, - 2, -1} = K números inteiros estritamente negativos. Notemos a propriedade: NÌ ZÌ QÌR, isto é, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número racional é real. 3

4 2. Operações Básicas ADIÇÃO = 18 parcelas soma - A ordem das parcelas não altera o resultado. SUBTRAÇÃO 8 3 = 5 minuendo subtraendo diferença MULTIPLICAÇÃO: 9 x 4 = 36 multiplicando multiplicador produto (fator) (fator) - A ordem dos fatores não altera o produto. DIVISÃO: dividendo resto quociente divisor Importante: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto Exemplo: 21 = 5 x Atenção: - O maior resto possível é igual ao divisor menos um. - Não existe divisão com o divisor zero. - Quando o dividendo for zero o quociente também será zero. - Na divisão exata dizemos que o dividendo é múltiplo do divisor. 4

5 3. OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS 3.1. SOMA OU ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO OU DIFERENÇA Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de ( ). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+). a) ( + 10) + ( + 2) = = + 12 b) ( + 10) + (-2) =+ 10-2= + 8 c) (- 10) + ( + 2) =-10+ 2= -8 d) (- 10) + (-2) =-10-2= -12 e) ( + 10) -( + 2) =+ 10-2= + 8 f) ( + 10) -(-2) = = + 12 g) (- 10) -( + 2) =-10-2= -12 h) (- 10) -(-2) =-10+ 2= -8 à Números Simétricos: dois números a e b são ditos simétricos (ou opostos) quando a soma deles for zero. Exemplos: -3 e 3 são simétricos; o oposto de 5 é -5; o oposto de zero é o próprio zero MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Para as operações de multiplicação e divisão vale a seguinte regra: Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos. a) ( + 10) ( + 2) = + 20 b) ( + 10) (-2) = -20 c) (- 10) ( + 2) = -20 d) (- 10) (-2) = + 20 e) ( + 10) ( + 2) = + 5 f) ( + 10) (-2) = -5 g) (- 10) ( + 2) = -5 h) (- 10) (-2) = + 5 5

6 3.3. POTENCIAÇÃO Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de fatores iguais a este número, sendo representada por: a p expoente base Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva, qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o sinal de base. a) ( + 2) 4 = ( + 2) ( + 2) ( + 2) ( + 2) = 16 4 b) (- 2) = (- 2) (- 2) (- 2) (- 2) = 16 c) ( + 2) 3 = ( + 2) ( + 2) ( + 2) = 8 3 d) (- 2) = (- 2) (- 2) (- 2) =-8 É interessante notar a diferença entre a potenciação sequencial e a potenciação escalonada, que serão analisadas logo a seguir. a) Potenciação Sequencial: ( 2 ) ( 4) = 64 =, que também pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base e multiplicando-se os expoentes: ( 2 ) = 2 = 2 = 64 b) Potenciação Escalonada: = 2 = Ou seja: ( ) 3 2 ¹ Produto e Divisão de Potências de Mesma Base a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do denominador do expoente do numerador a a a a = a = b b x x = b - 5 = b = x - = x 5 y y 3-4 = y 3-( -4) 3 = y 7 a

7 Expoente Nulo Toda potência de expoente nulo é igual à unidade: a 0 = 1. Obs.: São exceções 0 0 e 0, que não têm qualquer significado numérico. Expoente Negativo Toda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e -n 1 o denominador é a potência com o expoente positivo, ou seja: a = n. a a) b) = = = = c) = 5 = Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números a) b) c) 2 000= = ,0003= d) 0, = 3 x e) 0,0025 = ou 6 0, = 2,5 10 (notação científica) f) 0,72-2 = ou 0,72-1 = 7,2 10 (notação científica) 3.4. RADICIAÇÃO a) Raiz n-ésima de um número: Dizemos que um número b é a raiz n-ésima exata de um número a quando n a= b e ela é representada por n a = b Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n-ésima de um número. Nas operações exatas, a radiciação é a operação inversa da potenciação. Temos então: Assim sendo ìo sinal é o radical ï ío número " a "é o radicando ï î O número " n"é o índice do radical 7

8 9= 3 porque 3 2 = = 2 porque 2 3 = 8. No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrever este índice no radical. No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica, mas este índice aparece no radical. Expoente Fracionário Toda potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo índice é o denominador da fração e cujo radicando é a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja: p q a = q p a Determinar os resultados das seguintes operações: a) 8 = 8 = 64= 4 c) = = 1 4 = 1 2 b) = 16 = NÚMEROS DECIMAIS Fração 3 5 numerador denominador Fração Ordinária O denominador não possui potência de 10. Exemplos: 7 9, 6 5, Fração Decimal O denominador só possui potência de 10; Exemplos: 7 10, , Operações # Adição e Subtração Obs.: Coloca-se um número abaixo do outro, ficando vírgula embaixo de vírgula. Exemplos: a) 1,35 + 0,2 + 4, = 11,577 b) 8,25 2,035 = 6,215 8

9 # Multiplicação 2,047 3 casas decimais x 5,8 1 casa decimal , casas decimais Obs.: Você pode multiplicar os números sem considerar a vírgula. A quantidade de casas decimais do resultado (produto) corresponderá à soma das quantidades de casas decimais dos fatores. - Multiplicação por 10, 100, 1000 etc. Basta deslocar a vírgula para a direita dependendo dos zeros da potência de 10. Exemplos: a) 1,343 x 10 = 13,43 b) 1,343 x 100 = 134,3 c) 1,343 x 1000 = 1343 d) 1,343 x = Potência de números decimais (0,4) 2 = 0,4 x 0,4 = 0,16 (1,2) 2 = 1,2 x 1,2 = 1,44 # Divisão - Divisão com potências de 10 Desloca-se a vírgula para a esquerda dependendo da quantidade de zeros. Exemplos: , = = 8, 39 = 0, Divisão de dois números naturais 63 Exemplo: =? ,75 63 Resposta: = 15,

10 - Divisão de dois números quaisquer Iguale as casas decimais dos dois números completando com zeros. 1051,12 Exemplo: =? ,12 28 = 1051,12 28,00 = Você pode dividir por 28, e ao final dividir o resultado por Como dito anteriormente, o resultado 3754 será dividido por 100: 3754 = , ,12 Resposta: = 37, : 1685,52 Exemplo: =? 2,4 1685,52 2,4 = 1685,52 2,40 = Você pode dividir por 24, e ao final dividir o resultado por Como dito anteriormente, o resultado 7023 será dividido por 10: 7023 = ,3 1685,52 Resposta: = 702, 3 2,4 10

11 - Transformação de frações ordinárias em números decimais Regra Geral: a) Divide-se o numerador pelo denominador. Se a divisão for exata, o quociente será um nº decimal exato. b) Se a divisão do numerador pelo denominador não for exata o quociente será uma dízima periódica. Exemplos: 4 = 0,8 (número decimal exato) 5 2 = 0,666K (é uma dízima periódica simples) 3 2 = 0,1333K (é uma dízima periódica composta) 15 - Transformar número decimal em fração ordinária a) Número decimal exato Exemplos: 25 0,25= = ,8= = b) O número decimal é uma dízima periódica. Exemplos: 3 0,333K = = ,5454K = = 99 0, K = , K = = = , K = = ,666K = = = ,7555K = = = , K = = = Chamamos de GERATRIZ a fração ordinária que deu origem à dízima periódica. 11

12 EXERCÍCIOS DO MÓDULO (BB 2011 FCC) O esquema abaixo apresenta a subtração de dois números inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram substituídos por letras. A 1 5 B 2 C D Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que (A) A < B < C < D (B) B < A < D < C (C) B < D < A < C (D) D < A < C < B (E) D < A < B < C 02. (Oficial de Chancelaria 2009 FCC) Zeus é um aficionado em matemática, pois quando lhe perguntaram sobre sua idade, ele respondeu: Para saber a minha idade você deve decifrar o criptograma aritmético seguinte, que corresponde, de modo codificado, à adição de dois números naturais. Decifrado o criptograma, a minha idade é igual à soma dos algarismos que correspondem às letras da palavra FISCO. F O S S O + F O S S O C I S C O Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, quantos anos tem Zeus? (A) 28 (B) 22 (C) 30 (D) 24 (E) (Perito/Delegado PC/MA 2006 FCC) No esquema abaixo tem-se representada a multiplicação de dois números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C e D. A B 2 C x D 2 Completado o diagrama corretamente, é verdade que (A) C =D + 1 (B) B = A 2 (C) A + B = C + D (D) A C = 5 (E) A =D (BB 2011 FCC) Se x e y são números inteiros tais que x é par e y é ímpar, considere as seguintes afirmações: I. x + y é ímpar. II. x 2y é ímpar. III. (3x). (5y) é impar. É correto afirmar que (A) I, II e III são verdadeiras. (B) I, II e III são falsas. (C) apenas I é verdadeira. (D) apenas I e II são verdadeiras. (E) apenas II e III são verdadeiras. 12

13 05. (TRT9 Tec Jud 2010 FCC) Dois números inteiros positivos x e y têm, cada um, 5 algarismos distintos entre si. Considerando que x e y não têm algarismos comuns e x > y, o menor valor que pode ser obtido para a diferença x y é: (A) 257. (B) 256. (C) 249. (D) 247. (E) (TRT22-Piauí Técnico Judiciário 2010 FCC) Seja XYZ um número inteiro e positivo em que X, Y e Z representam os algarismos das centenas, das dezenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que (XYZ) = 83, é correto afirmar que (A) X = Z (B) X. Y = 16 (C) Z Y = 2X (D) Y = 2X (E) Z = X (CEF Norte/Nordeste 2004 FCC) Uma pessoa, ao efetuar a multiplicação de 2493 por um certo número inteiro, encontrou o produto Só então notou que, ao copiar os números para efetuar a operação, ela trocou, por engano, o algarismo das dezenas do multiplicador, escrevendo 6 ao invés de 3. Assim, o verdadeiro produto seria (A) (B) (C) (D) (E) (TRT 2004 FCC) X9 e 9X representam números naturais de dois algarismos. Sabendo-se que X9 + 9X é o número natural de dois algarismos ZW, é correto dizer que Z W é igual a (A) 5 (D) 2 (B) 4 (E) 1 (C) (TCE-SP 2005 FCC) Um fato curioso ocorreu com meu pai em 22 de outubro de Nessa data, dia de seu aniversário, ele comentou com seu avô que sua idade era igual ao número formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu nascimento. Ficou, então, muito surpreso quando seu avô, que igualmente fazia aniversário na mesma data, observou que o mesmo ocorria com a sua idade. Nessas condições, é correto afirmar que a diferença positiva entre as idades de meu pai e desse meu bisavô, em anos, é (A) 40 (D) 47 (B) 42 (E) 50 (C) (TRT-SP Tec Jud 2008 FCC) Sabe-se que em um sistema decimal de numeração, ou seja, em que a base é 10, o número inteiro 3087, por exemplo, pode ser decomposto na forma Sabe-se também que em um sistema de numeração em que a base é 3, os dez primeiros números inteiros positivos são 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100 e 101. Nessas condições, calculando-se , em que as parcelas são números do sistema de base 3, a soma obtida corresponde, neste mesmo sistema, ao número (A) 2220 (B) 2210 (C) 2020 (D) 1210 (E)

14 11. (TRF4 Analista Jud FCC) Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como: N = a n.10 n + a n-1.10 n-1 + a n-2.10 n a a a , em que 0 a i < 10, para todo 0 i n. Nesse sistema, por exemplo, 8903 = Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o delta. Após ter gasto 2014 deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era (A) 155. (B) 152. (C) 145. (D) 143. (E) (TRF 1ª região Téc. Jud FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é (A) 97 (B) 99 (C) 111 (D) 117 (E) Resolva as expressões numéricas a seguir: a) x 2 5 x ( ) b) x 2 [12 x x ( )] 14. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Simplificando-se a expressão obtém-se um número: (A) quadrado perfeito. (B) divisível por 5. (C) múltiplo de 6. (D) primo. (E) ímpar. 15. (BB 2011 FCC) O valor da expressão (A 2 B 3 )/(A B +B A ), para A = 2 e B = 1, é um número compreendido entre (A) 2 e 1. (B) 1 e 4. (C) 4 e 7. (D) 7 e 9. (E) 9 e

15 16. (TRF4 Analista Jud FCC) Simplificando a expressão 2 1 _ 2 1 _ 2 1 _ 2 1 _ 2 obtém-se (A) 1,8. (B) 1,75. (C) 1,5. (D) 1,25. (E) 1, (TRF4 - Tec Jud FCC) A expressão N 0,0125 é equivalente ao produto de N por (A) 1,25. (B) 12,5. (C) 1/80. (D) 80. (E) 125/ (TRT12-SC Téc. Jud FCC) Sejam x e y números inteiros e positivos tais que a fração x/y é irredutível, ou seja, o máximo divisor comum de x e y é 1. Se então x + y é igual a (A) 53. (B) 35. (C) 26. (D) 17. (E) (BB 2011 FCC) Qual das expressões seguintes NÃO é equivalente a 0, ? 15

16 20. (TRT15 - Téc Jud Área Adm FCC) Muitas vezes nos deparamos com um número expresso na chamada notação científica, ou seja, representado como produto de um número x, com 1 < 10, por uma potência de 10, como mostram os exemplos: = 1, e 0,00031 = 3, Na notação científica, a representação do valor da expressão (A) 1, (B) 2, (C) 1, (D) 2, (E) 1, (TRF4 Analista Jud FCC) Um número escrito na notação científica é expresso pelo produto de um número racional x por 10 n, sendo 1 x < 10 e n um número inteiro. Dessa forma, a expressão do número N = 0, , na notação científica é (A) 2, (B) 2, (C) 2, (D) 2, (E) 2, (Banese 2012 FCC) Considere o problema abaixo. Márcio escolheu um número racional e somou o dobro do seu quadrado com sua terça parte. Do resultado encontrado, subtraiu a soma de 21,08 com o quádruplo desse número. Ao final do cálculo, Márcio obteve N como resposta. Qual foi o número escolhido por Márcio? Para que 5,7 seja uma das possíveis respostas desse problema, o valor de N deve ser (A) 23. (B) 24. (C) 25. (D) 26. (E) (Agente Administrativo/Campinas 2011 IBFC) A diferença entre 12,8333..e 5, é equivalente à fração: a) 7,6616 b) 758/90 c) 7585/999 d) 1517/198 Problemas Matemáticos com Inteiros e Racionais 24. (CEF 2000 FCC) Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma agência bancária contou t moedas de 1 real, y de 50 centavos, z de 10 centavos e w de 5 centavos. Ao conferir o total, percebeu que havia cometido um engano: contara 3 das moedas de 5 centavos como sendo de 50 centavos e 3 das moedas de 1 real como sendo de 10 centavos. Nessas condições, a quantia correta é igual à inicial A) acrescida de R$ 1,35 B) diminuída de R$ 1,35 C) acrescida de R$ 1,65 D) diminuída de R$ 1,75 E) acrescida de R$ 1,75 16

17 25. (TRT-Piauí Analista Judiciário 2010 FCC) Serena fez um saque em um caixa eletrônico que emitia apenas cédulas de 10, 20 e 50 reais e, em seguida, foi a três lojas nas quais gastou toda a quantia que acabara de retirar. Sabe-se que, para fazer os pagamentos de suas compras, em uma das lojas ela usou todas (e apenas) cédulas de 10 reais, em outra usou todas (e apenas) cédulas de 20 reais e, na última loja todas as cédulas restantes, de 50 reais. Considerando que, ao fazer o saque, Serena recebeu 51 cédulas e que gastou quantias iguais nas três lojas, o valor total do saque que ela fez foi de (A) R$ 900,00. (B) R$ 750,00. (C) R$ 600,00. (D) R$ 450,00. (E) R$ 300, (Banese 2012 FCC) O departamento de informática de um banco dividiu as agências de um município em grupos de três, de modo que cada técnico ficasse responsável por dar suporte às agências de um desses grupos. Nessa divisão, porém, sobrou uma agência, tendo um dos técnicos de ficar responsável por quatro agências. Já o setor de apoio ao crédito, que dividiu as mesmas agências em grupos de cinco para designar um assessor que atendesse as agências de cada grupo, não teve esse problema: não sobraram agências na divisão. Dentre os números abaixo, o único que pode representar o total de agências desse município é (A) 15. (B) 19. (C) 20. (D) 24. (E) (TRT15 An. Jud. Área Adm FCC) No arquivo morto de um setor de uma Repartição Pública há algumas prateleiras vazias, onde deverão ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 processos, que serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar que o total de processos do lote é um número (A) par. (B) divisível por 5. (C) múltiplo de 3. (D) quadrado perfeito. (E) primo. 28. (BB 2011 FCC) Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam ao público nos guichês de dois caixas de uma Agência do Banco do Brasil, foi observado que a fila de pessoas à frente do guichê ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê que Iná ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a fila de Iná, esta última ficaria com o dobro do número de pessoas da de Ari, então, o total de pessoas das duas filas era: (A) 24. (B) 26. (C) 30. (D) 32. (E)

18 29. (BB 2010 FCC) Suponha que, para a divulgação de produtos oferecidos pelo Banco do Brasil no primeiro trimestre deste ano, folhetos foram entregues aos clientes em janeiro e que o total entregue nos dois meses seguintes foi o dobro desse valor. Se o número de folhetos entregues em março ultrapassou o de fevereiro em 572 unidades, a soma dos números de folhetos entregues em janeiro e fevereiro foi (A) (B) (C) (D) (E) (TRT8 Pará Téc. Jud FCC) Sabe-se que em lâminas há um total de 350 registros de células do tipo X, e que em nenhuma das lâminas há mais do que 4 células do tipo X. O número de lâminas em que não há registros de células do tipo X é, no máximo, (A) 913. (B) 912. (C) 400. (D) 125. (E) (TRT15 An. Jud. Área Jud FCC) Um aluno resolveu vender livros para ajudar a pagar seus estudos. Um colega duvidou que ele conseguisse fazê-lo. Fizeram então uma aposta: ele ofereceria os livros a um certo número de pessoas; se a pessoa comprasse algum livro, o colega lhe daria R$ 2,00; caso contrário, ele daria R$ 1,00 ao colega. Ele contatou 38 pessoas e ganhou R$ 49,00 na aposta. É verdade que o número de pessoas que (A) não compraram seus livros é um número par. (B) não compraram seus livros é múltiplo de 5. (C) compraram seus livros é maior do que 30. (D) compraram seus livros é o triplo do número das que não compraram. (E) compraram seus livros é um número primo. 32. (TRT15 An. Jud. Execução de Mandatos 2009 FCC) Em certo ano, os analistas de dois grupos executaram 210 intimações. Os do primeiro grupo executaram 120 delas e os do outro, com 3 analistas a menos, executaram as restantes. Se todos os analistas executaram o mesmo número de intimações, então (A) cada analista executou 10 intimações. (B) cada analista executou 12 intimações. (C) o número de analistas do primeiro grupo era 10. (D) o número de analistas do segundo grupo era 12. (E) o número total de analistas era (Banese 2012 FCC) A abertura da Copa do Mundo de 2014 está prevista para ocorrer na cidade de São Paulo, no dia 12 de junho daquele ano. 785 dias depois, em 5 de agosto de 2016, uma sexta-feira, deve ocorrer a abertura das Olimpíadas do Rio de Janeiro. Com esses dados, é possível concluir que a abertura da Copa de 2014 ocorrerá em (A) uma quarta-feira. (B) uma quinta-feira. (C) uma sexta-feira. (D) um sábado. (E) um domingo. 18

19 34. (CEF Sul/Sudeste 2004 FCC) Em certo momento, o número de funcionários presentes em uma agência bancária era tal que, se ao seu quadrado somássemos o seu quádruplo resultado obtido seria 572. Se 10 deles saíssem da agência, o número de funcionários na agência passaria a ser (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) (CEF Norte/Nordeste 2004 FCC) Uma certa indústria fabrica um único tipo de produto, que é vendido ao preço unitário de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indústria, em reais, é calculada pela expressão R(x) = 80000x 8000x², então, para que seja gerada uma receita mensal de R$ , 00, cada unidade do produto fabricado deve ser vendida por: (A) R$ 6,00 (B) R$ 5,50 (C) R$ 5,00 (D) R$ 4,50 (E) R$ 4, (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Para repor o estoque de sua loja, Salma compra certo artigo ao preço de R$ 28,00 a unidade. Suponha que Salma estime que, se cada artigo for vendido ao preço unitário de X reais, ela conseguirá vender (84 X) unidades. De acordo com essa estimativa, para que seja obtido o maior lucro possível, o número de artigos que deverão ser vendidos é (A) 84. (B) 70. (C) 56. (D) 42. (E) (CEF Sul/Sudeste 2004 FCC) Na saída do trabalho, um grupo de amigos foi a uma padaria e três deles se encarregaram de pagar as despesas. O primeiro pagou RS 3,30 por 3 cafés e 2 pães com manteiga. O segundo pagou RS 3,20 por 2 cafés e 3 pães com manteiga. O terceiro pagou, por 2 cafés e 1 pão com manteiga, a quantia de (A) R$ 1,80 (B) R$ 1,90 (C) R$ 2,00 (D) R$ 2,10 (E) R$ 2, (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Em uma papelaria, Romeu gastou R$ 312,00 na compra de algumas unidades de certo tipo de caneta esferográfica que estava em promoção e, como bonificação, recebeu mais 8 unidades iguais a elas. Com isso, Romeu percebeu que cada caneta que tinha comprado havia saído por R$ 0,80 a menos, ou seja, cada caneta saiu por (A) R$ 6,20. (B) R$ 6,00. (C) R$ 5,80. (D) R$ 5,20. (E) R$ 5,00. 19

20 39. (BB 2011 FCC) Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina gastaria para cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes devem ter o mesmo comprimento? (A) 36. (B) 35,5. (C) 34. (D) 33,3. (E) (BB 2011 FCC) Gertrudes e Rubem - funcionários de uma Agência do Banco do Brasil - receberam, cada um, uma mesma quantidade de folhetos para a divulgação de serviços e produtos oferecidos pelo Banco. Sabendo que, se Gertrudes repassar a terça parte de seu total de folhetos para Rubem, então ele terá que distribuir 64 folhetos a mais do que ela. É correto concluir que o total de folhetos que cada um recebeu inicialmente é um número compreendido entre (A) 10 e 25. (B) 25 e 50. (C) 50 e 75. (D) 75 e 100. (E) 100 e (Banese 2012 FCC) O tempo médio de atendimento dos clientes nos caixas de um banco é de 6 minutos. Sabe-se que 10% do total de atendimentos são mais complexos, sendo o tempo médio, apenas para esses atendimentos, de 15 minutos. Por isso, a direção do banco resolveu criar um caixa especial para tais atendimentos complexos, que serão identificados por um funcionário logo na entrada das agências. Considerando que todos os atendimentos complexos sejam desviados para o caixa especial, o tempo médio de atendimento nos demais caixas cairá para (A) 5 minutos. (B) 4,5 minutos. (C) 4 minutos. (D) 3,5 minutos. (E) 3 minutos. 42. (TRE/Acre Tec Jud 2010 FCC) Relativamente ao total de registros de candidaturas protocolados certo mês por três Técnicos Judiciários, sabe-se que: 8/15 foi protocolado por Alciléia, 5/12 por Berenice e os demais por Otacílio. Assim sendo, a quantidade protocolada por Otacílio corresponde a que parte do total de registros protocolados nesse mês? (A) 5%. (D) 17,5%. (B) 12,5%. (E) 20%. (C) 15%. 43. (TRE-PI An Jud - Análise de Sistemas 2009 FCC) A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 2/7 da sua receita anual seja aplicada em educação. Daquilo que sobra, 3/5 deve ser destinado à saúde. Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante é dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com transporte e habitação. Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ ,00 com transporte e habitação, pode-se concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, foi (A) 600 (B) (C) (D) (E)

21 44. (TRT15 - Téc Jud Área Adm FCC) Um Técnico Judiciário iniciou a digitação de um texto quando eram decorridos 4/9 de certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 61/96 do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho apenas por 55 minutos, quando, então, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de (A) 2 horas e 30 minutos. (D) 3 horas e 40 minutos. (B) 2 horas e 45 minutos. (E) 3 horas e 45 minutos. (C) 3 horas e 20 minutos. 45. (Banese 2012 FCC) Depois de realizar 40% de uma obra, a empreiteira A foi dispensada, por não ter cumprido alguns requisitos contratuais. A empreiteira B foi então contratada para finalizar a obra, comprometendo-se a executar 2/23 dela a cada mês. Nessas condições, se a empreiteira B iniciou seu trabalho no primeiro dia de janeiro de 2012, deverá finalizá-lo durante o mês de (A) junho de (B) julho de (C) agosto de (D) setembro de (E) outubro de (Banese 2012 FCC) Após a morte do Sr. Cunha, o imóvel que ele possuía foi vendido por R$ ,00. O dinheiro da venda foi dividido da seguinte maneira: primeiro, foram destinados 6% do valor total para a comissão da imobiliária e 10%, desse mesmo total, para impostos e honorários advocatícios. Metade do restante foi para a viúva do Sr. Cunha e a outra metade foi dividida igualmente entre seus três filhos. O valor, em reais, destinado a cada filho do Sr. Cunha foi (A) ,00. (B) ,00. (C) ,00. (D) ,00. (E) , (TRT15 An. Jud. Área Adm FCC) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 2/5 deveriam ser analisados e 4/7 referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre (A) 10 e 50. (B) 60 e 100. (C) 110 e 160. (D) 150 e 170. (E) 180 e (TRT22-Piauí Analista Judiciário 2010 FCC) Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês seguinte, indagados sobre quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam: Anabela: "6/11 do total das licitações receberam meu parecer." Benivaldo: "A quantidade de licitações em que dei meu parecer corresponde a 3/5 do número de pareceres emitidos por Anabela." Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e que a soma das quantidades que cada um emitiu era um número compreendido entre 100 e 150, então: (A) X < 50. (B) 50 < X < 100. (C) 100 < X < 150. (D) 150 < X < 200. (E) X >

22 GABARITO 01 C 02 B 03 B 04 C 05 D 06 B 07 D 08 E 09 E 10 A 11 E 12 C e C 15 B 16 E 17 D 18 A 19 A 20 A 21 D 22 A 23 D 24 A 25 A 26 E 27 E 28 E 29 C 30 B 31 E 32 A 33 B 34 E 35 C 36 E 37 C 38 D 39 A 40 D 41 A 42 A 43 D 44 D 45 B 46 C 47 D 48 D 22

23 1. TEORIA DOS CONJUNTOS 1) Relações de Pertinência MÓDULO 02 PROBLEMAS COM CONJUNTOS Relacionam elemento com conjunto. E a indicação de que o elemento pertence ou não pertence a um conjunto é feita pelos símbolos: Î (pertence) e Ï (não pertence). Exemplo 1: a) 2 Î {0, 1, 2} 2) Relações de Inclusão b) 4 Ï {0, 1, 2} Relacionam um conjunto com outro conjunto. Temos a seguinte simbologia de inclusão: Ì (está contido), Ë (não está contido), É (contém) e É (não contém). Exemplo 2: a) {2, 5} Ì {0, 1, 2, 5} 3) Subconjunto b) {2, 7} Ë {0, 1, 2, 5} c) {0, 1, 2, 5} É {2, 5} d) {0, 1, 2, 5} É {2, 7} Diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. Exemplo 3: a) {2} é subconjunto de {1, 2, 3} b) {1, 3} é subconjunto de {1, 3, 5} 4) Conjunto das Partes de um Conjunto O conjunto das partes de um conjunto A, simbolizado por P(A), é o conjunto cujos elementos são todos partes (subconjuntos) de A. O número de partes (subconjuntos) de um conjunto A é dado por 2 n, em que n é o número de elementos de A. Exemplo 4: Dado o conjunto A={1, 2, 3}, encontrar o conjunto das partes de A. Solução: Como A tem 3 elementos, P(A) terá 8 elementos (=2 3 ). O conjunto P(A) é { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, Æ }. Onde o símbolo Æ representa o conjunto vazio. Este é sempre subconjunto de qualquer conjunto. 5) Operações com Conjuntos Considerando os conjuntos A, B e o conjunto-universo U, daremos a definição de cada operação com conjuntos: a) União (È) A união entre dois conjuntos, AÈB, é o conjunto formado pela reunião dos elementos de A e de B. Simbolicamente: AÈB = {x xîa ou xîb}. Exemplo 5: {1, 2, 3} È {2, 5, 8} = {1, 2, 3, 5, 8} (Resposta!) 23

24 A representação gráfica da união entre dois conjuntos é dada pelo seguinte desenho: A B U b) Interseção (Ç) A intersecção entre dois conjuntos, AÇB, é o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Simbolicamente: AÇB = {x xîa e xîb}. Exemplo 6: {1, 2, 3} Ç {2, 5, 8} = {2} (Resposta!) Representação gráfica da intersecção entre dois conjuntos: c) Diferença ( ) A diferença entre dois conjuntos, B A, é o conjunto formado pelos elementos de B que não pertencem a A. Simbolicamente: B A = {x xîb e xïa}. Exemplo 7: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {1, 3} (Resposta!) A representação gráfica da diferença entre dois conjuntos (B-A) é dada pelo seguinte desenho: d) Complementar (') O complementar do conjunto A, simbolizado por A', é o conjunto formado pelos elementos do conjunto universo (U) que não pertencem a A. Simbolicamente: A'={xÎU xïa}. A representação gráfica do complementar do conjunto A é dada pelo seguinte desenho: U A 24

25 f) Fórmula da União Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos da união, da intersecção e dos conjuntos individuais. A fórmula é dada por: à n(aèb) = n(a) + n(b) n(açb) Se forem três conjuntos a fórmula será: à n(aèbèc)=n(a)+n(b)+n(c) n(açb) n(açc) n(bçc)+n(açbçc) Exemplo 9: Calcule o número de elementos da união dos conjuntos A e B a partir dos seguintes dados: n(a)=10, n(b)=7, n(açb)=5. Solução: Substituiremos os dados na fórmula da união. Teremos: à n(aèb) = n(a)+n(b) n(açb) = à n(aèb) = 12 (Resposta!) Esta não é a única maneira de se chegar à resposta. Fazendo o desenho dos círculos e escrevendo nestes os dados fornecidos, facilmente chegaremos à mesma resposta! Exemplo 10: Considere o diagrama abaixo onde o retângulo representa o conjunto-universo U e os círculos representam os conjuntos A e B. A B U Com base no desenho, determine: a) O conjunto A Sol.: A = {1, 2, 3, 4, 5} e n(a)=5 b) O conjunto B Sol.: B = {4, 5, 6, 7, 8,9} e n(b)=6 c) O número de subconjuntos de A Sol.: 2 n = 2 5 = 32 subconjuntos d) O número de subconjuntos de B Sol.: 2 n = 2 6 = 64 subconjuntos 25

26 e) A união de A e B Sol.: A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} f) A intersecção entre A e B Sol.: A Ç B = {4, 5} g) A diferença A B Sol.: A-B = {1, 2, 3} h) A diferença B A Sol.: B - A = {6, 7, 8, 9} i) O complementar de A Sol.: A' = U - A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} j) O complementar de B Sol.: B' = U - B = {1, 2, 3, 10, 11, 12, 13} QUESTÕES RESOLVIDAS DE CONJUNTOS 01. (TTN 1998 ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y-(3x + 3) é igual a a) -28 b) -19 c) 32 d) 6 e) 0 Sol.: O conjunto resultante da intersecção de A e B é igual a: AÇB={2, 9, 6}. Agora, devemos descobrir os valores de x e de y presentes nos conjuntos A e B. Observe que o número 2 é o primeiro elemento da intersecção entre A e B. Como o número 2 faz parte da intersecção, então ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. Mas veja que o elemento 2 não está presente no conjunto A, então devemos fazer x igual a 2. Acabamos, então, de descobrir que x é 2! O número 9 é o segundo elemento da intersecção entre A e B. Como ele faz parte da intersecção, então ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. No conjunto A temos o elemento 9, mas no conjunto B não aparece o elemento 9, então devemos fazer y igual a 9. Acabamos de descobrir o valor de y! Encontramos que: x=2 e y=9. O enunciado solicita o valor da expressão y (3x+3), substituindo x e y por 2 e 9, respectivamente, obteremos: à 9 (3.2+3) = 9 (9) = 0 (resposta!) 26

27 02. (ANEEL 2006 ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a: a) 4 d) vazio b) 6 e) 1 c) 8 Sol.: O número de subconjuntos de um dado conjunto é calculado por 2 n, onde n é o número de elementos do conjunto. Como o conjunto X tem 64 subconjuntos, então o número de elementos de X pode ser obtido a partir da igualdade: 2 n =64. Resolvendo, vem: à 2 n =64 à 2 n =2 6 à n=6 Portanto, o conjunto X tem 6 elementos. O conjunto Y tem 256 subconjuntos, então o número de elementos de Y pode ser obtido a partir da igualdade: 2 n =256. Resolvendo, vem: à 2 n =256 à 2 n =2 8 à n=8 Portanto, o conjunto Y tem 8 elementos. Agora, dos conjuntos X e Y sabemos que: à n(x)=6; à n(y)=8; à n(xçy)=2. Vamos lançar esses dados no desenho dos círculos X e Y. X Y A quantidade 4, dentro do círculo X, foi obtida da diferença entre 6 e 2. E ela significa que há 4 elementos apenas em X. E a quantidade 6, dentro do círculo Y, foi obtida da diferença entre 8 e 2. E ela significa que há 6 elementos apenas em Y. A questão pede o número de elementos do conjunto diferença Y-X. A região dos círculos correspondente a diferença Y-X é a região do círculo Y que está fora da intersecção. E nesta região há 6 elementos. Resposta: Alternativa B! 03. (FCC) Em uma turma de 32 alunos, o número de alunos que praticam futebol é o triplo da quantidade de alunos que só praticam natação. Metade dos alunos dessa turma não pratica nenhum desses dois esportes. A porcentagem dos alunos da turma que praticam somente natação é: a) 10,0% b) 12,5% c) 17,0% d) 22,5% e) 25,0% Sol.: Temos os seguintes dados: à a turma tem 32 alunos; à o número de alunos que praticam futebol é o triplo da quantidade de alunos que só praticam natação; à metade dos alunos dessa turma não pratica nenhum desses dois esportes. Definiremos os seguintes conjuntos: F = conjunto dos alunos que praticam Futebol. N = conjunto dos alunos que praticam Natação. 27

28 O conjunto universo é formado pela turma de 32 alunos. Turma de 32 alunos F N 3x x 16 Como metade dos alunos dessa turma não praticam nenhum desses esportes, então existem 16 (= 32/2) alunos fora dos círculos. Designamos por x o número de alunos que praticam apenas natação. Logo, o número de alunos que praticam futebol é igual a 3x. Se somarmos a quantidade de pessoas que praticam futebol (círculo azul) com a quantidade de pessoas que não praticam futebol (fora do círculo azul), o resultado deve ser igual ao total de alunos da turma: 32 alunos. Temos que: à Pessoas que praticam futebol = 3x à Pessoas que não praticam futebol = x + 16 Somando as quantidades acima tem que dar 32, então: à 3x + (x + 16) = 32 Resolvendo, vem: à 4x = 16 à x = 4 (logo, 4 praticam apenas natação!) A porcentagem dos alunos da turma que praticam apenas natação é igual a razão entre o número de alunos que praticam apenas natação e o número total de alunos. Assim, teremos: à 4/32 = 1/8 = 0,125 = 12,5% (Resposta: Alternativa B) 28

29 EXERCÍCIOS DO MÓDULO 02: PROBLEMAS COM CONJUNTOS 01. (TC/SE 2011 FCC) Duas modalidades de esporte são oferecidas para os 200 alunos de um colégio: basquete e futebol. Sabe-se que 140 alunos praticam basquete, 100 praticam futebol e 20 não praticam nenhuma destas modalidades. O número de alunos que praticam uma e somente uma destas modalidades é (A) 120. (D) 60. (B) 100. (E) 40. (C) (Técnico BACEN 2005 FCC) Para um grupo de funcionários, uma empresa oferece cursos para somente dois idiomas estrangeiros: inglês e espanhol. Há 105 funcionários que pretendem estudar inglês, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionários desse grupo não pretende estudar qualquer idioma estrangeiro, então o número de elementos do grupo é (A) 245 (D) 224 (B) 238 (E) 217 (C) (BB 2010 FCC) Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia. II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis. III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia. IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia. A porcentagem de Auditores desse banco que são formados em pelo menos dois daqueles cursos citados é (A) 58% (B) 56% (C) 54% (D) 52% (E) 48% 04. (BAHIAGÁS 2010 FCC) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que: 15 nunca foram vacinadas; 32 só foram vacinadas contra a doença A; 44 já foram vacinadas contra a doença A; 20 só foram vacinadas contra a doença C; 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C; 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças. De acordo com as informações, o número de pessoas do grupo que só foi vacinado contra ambas as doenças B e C é (A) 10. (D) 13. (B) 11. (E) 14. (C)

30 05. (CEF 2000 FCC) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é A) 42 B) 43 C) 45 D) 48 E) (BB 2011 FCC) Dos 36 funcionários de uma Agência do Banco do Brasil, sabe-se que: apenas 7 são fumantes, 22 são do sexo masculino e 11 são mulheres que não fumam. Com base nessas afirmações, é correto afirmar que o (A) número de homens que não fumam é 18. (B) número de homens fumantes é 5. (C) número de mulheres fumantes é 4. (D) total de funcionários do sexo feminino é 15. (E) total de funcionários não fumantes é (BB 2010 FCC) Das 87 pessoas que participaram de um seminário sobre A Segurança no Trabalho, sabe-se que: 43 eram do sexo masculino; 27 tinham menos de 30 anos de idade; 36 eram mulheres com 30 anos ou mais de 30 anos de idade. Nessas condições, é correto afirmar que (A) 16 homens tinham menos de 30 anos. (B) 8 mulheres tinham menos de 30 anos. (C) o número de homens era 90% do de mulheres. (D) 25 homens tinham 30 anos ou mais de 30 anos de idade. (E) o número de homens excedia o de mulheres em 11 unidades. GABARITO 01 A 02 E 03 B 04 C 05 B 06 A 07 B 30

31 MÓDULO 03 - MÚLTIPLOS E DIVISORES 1. Múltiplo de um número é o produto desse número pelos números inteiros. Exemplos: Múltiplos não-negativos do número 5: 5 x 0 = 0 5 x 1 = 5 5 x 2 = 10 5 x 3 = 15 M(5) = {0, 5, 10, 15, } Todos os múltiplos de um número também compreendem os números negativos: M(5) = {0, ±5, ±10, ±15, } Obs.: - O conjunto dos múltiplos de um número é INFINITO. - O zero é múltiplo de todos os números. 2. Divisores Se a divisão de dois números naturais é exata, dizemos que o primeiro é divisível pelo segundo e o segundo é divisor do primeiro. Ex.: 15 : 3 = é divisível por 3 (ou múltiplo de 3). 3 é divisor de 15 (ou fator de 15). Divisores positivos de 15: D(15) = {1, 3, 5, 15} Obs.: - O conjunto dos divisores de um número é finito com exceção dos divisores de zero que é infinito. - O número 1 é divisor de todos os números inteiros. 3. Divisibilidade a) Um número é divisível por 2 quando for par (termina em 0, 2, 4, 6, 8). Exemplo: O número é divisível por 2, pois é par. b) Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: O número 591 é divisível por 3, pois a soma dos algarismos ( = 15) é divisível por 3. c) Um número é divisível por 4, quando os dois últimos algarismos da direita for 00 ou for divisível por 4. Exemplo: O número é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos da direita (16) é divisível por 4. d) Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco. Exemplo: O número é divisível por 5, pois termina em 5. 31

32 e) Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3. Exemplo: O número é divisível por 6, pois ele é divisível por 2 e também por 3. f) Um número é divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando os três últimos algarismos for divisível por 8. Exemplo: O número é divisível por 8, pois os três últimos algarismos da direita (104) é divisível por 8. g) Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: O número é divisível por 9, pois a soma dos seus algarismos ( = 27) é divisível por 9. h) Um número é divisível por 10 quando termina em zero. Exemplo: O número é divisível por 10, pois termina em zero. i) Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par for um número divisível por 11. Exemplo: No número 23859, os algarismos de ordem ímpar, a partir do algarismo das unidades, são 9, 8 e 2 cuja soma resulta: = 19. Os algarismos de ordem par são 5 e 3 cuja soma resulta: 5+3 = 8. A diferença entre essas duas somas é: 19 8 = 11. Como 11 é divisível por 11, então o número é divisível por 11. j) Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4. Exemplo: O número é divisível por 12, pois ele é divisível por 3 e também por Número Primo é todo número que tem apenas dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um nº primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, logo 17 é um nº primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. - Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. - Números primos até 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Obs.: O único número primo par é Reconhecimento de um Número Primo: Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo; ou 32

33 uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplos: 1) O número 161: - não é par, assim não é divisível por 2; - a soma dos algarismos é = 8, assim não é divisível por 3; - não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; - vamos fazer a divisão por 7: Como o resto foi zero, então o número 161 não é primo. 2) O número 113: - não é par, assim não é divisível por 2; - A soma dos algarismos é = 5, assim não é divisível por 3; - não termina em 0 nem em 5, assim não é divisível por 5; - vamos fazer a divisão por 7: Como o resto não é zero, então 7 não é divisor de 113. E como o quociente (16) ainda é maior que o divisor (7), continuaremos a dividir 113 pelo próximo número primo. - vamos fazer a divisão por 11: Como o resto não é zero, então 11 não é divisor de 113. E como o quociente (10) já é menor que o divisor (11), então não é mais necessário continuar a dividir. Assim, podemos afirmar que 113 é um número primo. 6. Decomposição em Fatores Primos Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. 33

34 Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 2 3 x 3. Regra prática para a fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1. A figura abaixo mostra a fatoração do número Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x = 2 x 3 2 x 5 x MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) O MMC de dois ou mais números é o menor número positivo que seja múltiplo de todos os números dados. Exemplo: M(30) = {0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240,...} M(120) = {0, 120, } Múltiplos Comuns: {0, 120, 240,...} O mínimo múltiplo comum de 30 e 120 é o próprio 120. Processo Prático 1º) Divisões sucessivas Ex.: MMC (12, 15, 10) = 34

35 Casos Especiais do MMC a) O MMC de dois números primos entre si é o produto deles; Exemplo: MMC (7,8) = 7 x 8 = 56; MMC(3, 5) = 3 x 5 = 15. b) O MMC de dois números em que o maior é divisível pelo menor, é o maior deles; Exemplo: MMC (18, 6) = 18; MMC (24, 4) = 24. c) O MMC entre zero e outro número é zero; Exemplo: MMC (7,0) = 0. d) O MMC(ka, kb) = k x MMC(a, b) Exemplo: MMC(20, 50) = 10 x MMC(2, 5) 8. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Consiste em se obter o maior divisor comum de dois números dados. Como divisor ele tem que ser menor ou igual ao menor dos dois números dados. Exemplo: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D(27) = {1, 3, 9, 27} D(18) Ç D(27) = {1, 3, 9} o maior é 9 à MDC = (18,27) = 9 Processo Prático 1º) Divisões Sucessivas a) Divide-se os dois maiores em ordem decrescentes; b) Divide-se em seguida o resultado da 1º divisão pelo outro maior; c) Assim sucessivamente até obter divisão exata; d) O último divisor é o MDC; Ex.: Determine o MDC de 36 e 48. Casos Especiais do MDC a) O MDC(ka, kb) = k x MDC(a, b) Exemplo: MDC(40, 50) = 10 x MDC(4, 5) b) O MDC de dois números primos entre si é um. Exemplo: MDC(15, 19) = 1 c) O MDC de dois ou mais números, sendo um deles um é igual a um. Exemplo: MDC(150, 240, 1) = 1 35