XII Encontro de Pós-Graduação e Pesquisa Universidade de Fortaleza 22 à 26 de Outubro de 2012

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1 XII Encontro de Pós-Graduação e Pesquisa Universidade de Fortaleza 22 à 26 de Outubro de 2012 Uma análise da compreensão do conceito de função afim de alunos do 2º ano do Ensino Médio Mikaelle Barboza Cardoso1* (IC), Larissa Elfisia de Lima Santana2 (PQ), Rodrigo Lacerda Carvalho3 (IC), Marcília Chagas Barreto4 (PQ). 1. Universidade Estadual do Ceará - Especialização em Ensino de Matemática 2. Universidade Estadual do Cear á - Curso de Pedagogia 3. Universidade Estadual do Ceará Programa de Pós-Graduação em Educação. 4. Universidade Estadual do Ceará - Curso de Pedagogia Palavras-chave: Função afim. Registros de representação semiótica. Aprendizagem matemática. Resumo O presente trabalho objetivou analisar a compreensão do conceito de função afim de estudantes do 2º ano do Ensino Médio, com base no desempenho demonstrado nas atividades cognitivas de tratamento e conversão. Tomou-se como aporte teórico a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval, na qual desenvolve uma elaboração teórica que tem como cerne o papel das representações semióticas no contexto de aprendizagem em matemática. A pesquisa foi realizada com 19 alunos do 2º ano do Ensino Médio da rede Estadual de Fortaleza onde a coleta de dados efetivou-se através da aplicação de questionários estruturados com cinco questões das quais foram analisadas duas. Constatou-se que os alunos possuem uma concepção limitada de função afim. Foram observadas dificuldades em todos os registros de função explicitados nas questões propostas, ou seja, língua natural, algébrico e gráfico. Infere-se que as dificuldades apresentadas são reflexo de um ensino baseado no monoregistro. Propõe-se, desta forma, que as práticas de ensino deste conteúdo possam ser voltadas para o uso e coordenação de diversificados registros de representação semióticas. De modo a possibilitar a ampliação da percepção do conceito de função afim. Introdução O presente estudo aborda a compreensão do conceito de função e suas diversas representações de estudantes do 2º ano do Ensino Médio, utilizando-se o suporte da teoria dos Registros de Representação Semiótica. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (2002), o estudo do conceito de função é relevante por permitir aos alunos adquirirem tanto a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessárias para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema. Desta forma, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria Matemática. Segundo esse documento, a ênfase do estudo das diferentes Funções deve estar no conceito de Função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas Funções. (BRASIL, 2002, p. 121). ISSN

2 De acordo com Zuffi (2001), o conceito de função teve sua estruturação desenvolvida ao longo de vários séculos, sendo resultado da união de fatores históricos e sociais decorrentes da necessidade de resolver problemas do cotidiano. Tal concepção contraria aquela, normalmente, presente no ensino deste conceito que leva à crença de que este se constitui como um conhecimento pronto e acabado. Borba e Penteado (2010) salientam que, no início da década de 90, a abordagem para funções começa a ser questionada, de modo a motivar o desenvolvimento de preocupações relativas às múltiplas representações possíveis para o ensino deste conteúdo. Ferreira (2003), por exemplo, destaca que os estudantes têm dificuldades no estudo de funções por lidar com múltiplas representações e grande quantidade de conceitos, tais como: variável, taxa de variação, vértice, domínio, conjunto imagem, periodicidade. Nesse sentido, diversos autores têm constatado a necessidade de não privilegiar apenas um tipo de representação, e sim diferentes representações para uma mesma função: a expressão algébrica, o gráfico, o diagrama, a língua materna e a tabela. As diversas representações que a Matemática apresenta também são mencionadas por Duval (2003) que desenvolve uma elaboração teórica que tem como cerne o papel das representações semióticas no contexto de aprendizagem em matemática. Nesse sentido, o autor define três atividades cognitivas fundamentais vinculadas às representações semióticas, são elas: a formação, o tratamento e a conversão. A primeira atividade cognitiva, a formação consiste na constituição de uma representação coerente, capaz de conter todos os elementos indispensáveis para a sua compreensão. Ela requer o conhecimento das regras de conformidade ou de funcionamento, próprias a cada sistema semiótico utilizado. A observância dessas regras é indispensável tanto para a comunicação quanto para o tratamento dentro do registro em que a representação tenha sido formada. (SOUSA, 2009, p. 58). A segunda atividade cognitiva, o tratamento, consiste, portanto, na realização de transformações que acontecem internamente a um registro e obedecem a regras de expansão. São regras que permitem a expansão da informação, favorecendo outra representação, mas ainda no mesmo registro que o de partida (SILVA, 2011, p.28). Em outras palavras, as transformações necessitam permanecer sempre no mesmo registro como, por exemplo, quando efetuamos uma soma no registro decimal como 0,7 + 0,9 = 1,6 observamos que toda a operação encontra-se dentro do mesmo registro. Por fim, a última atividade cognitiva é a conversão, que, na visão do autor, consiste na atividade cognitiva fundamental para a aprendizagem do aluno. Segundo Duval (2003, p.16), as conversões são transformações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica. Ou seja, para efetuar o seguinte cálculo: 0,25 + 1/4, não é possível somar imediatamente, pois tratam-se de registros decimal e fracionário, respectivamente. Deve-se, então, escolher um dos registros para realizar a conversão e após disso efetuar a resolução do algoritmo. Nesta perspectiva, é imprescindível que o aluno conheça diversas representações de um mesmo objeto e seja capaz de coordená-las. Para assim, não confundir o objeto representado com a sua representação ampliando suas possibilidades de realizar transformações entre registros de representação semiótica. Tendo-se realizado a exposição do referencial teórico, o objetivo deste trabalho é analisar a compreensão do conceito de função afim de estudantes do 2º ano do Ensino Médio, com base no desempenho demonstrado nas atividades cognitivas de tratamento e conversão. A seguir, será apresentado o percurso metodológico e a análise dos dados empíricos. ISSN

3 Metodologia A pesquisa foi realizada com 19 alunos do 2º ano do Ensino Médio da rede Estadual de Fortaleza. A turma foi escolhida porque os alunos já tiveram contato no 1º ano com o estudo de funções. A coleta de dados efetivou-se através da aplicação de questionários estruturados com cinco questões na qual estão relacionadas ao tratamento e conversões de representações relativas ao conteúdo de função afim. A aplicação do questionário ocorreu durante três aulas de 50 minutos cada. Para análise foram consideradas duas questões, tendo em vista a adequação ao objetivo deste trabalho. As categorias consideradas para análise foram: êxito na realização da atividade cognitiva e erro na realização da atividade cognitiva. No quadro abaixo é possível observar as questões propostas aos alunos. Atividades cognitiva - Conversão QUESTIONÁRIO 2ª) Um estacionamento no centro de Fortaleza cobra R$4,00 por dia mais um adicional extra de R$2,00 por hora para cada automóvel. Considerando x as horas que um carro permanece nesse estacionamento por dia e y o valor a ser pago: a) Represente algebricamente o problema; b) Agora represente a expressão algébrica do item a em forma de gráfico; Caso você não consiga resolver alguns dos itens acima, identifique a sua maior dificuldade: Atividade cognitiva -Tratamento 3ª) Em relação à questão anterior, caso um automóvel permaneça no Estacionamento durante 6 horas, quanto o dono do veiculo irá pagar? Resultados e Discussão ÊXITO NA REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE COGNITIVA Nesta categoria foi analisado o êxito dos alunos ao realizarem as atividades cognitivas de tratamento e conversão. Para esta categoria, iniciou-se a análise pela segunda questão que trata da realização de conversões do registro em língua natural para o registro algébrico e do registro algébrico para o registro gráfico. É possível observar o desempenho dos alunos no quadro abaixo: 2ª Questão Item a Registro em língua natural para registro algébrico Item b Registro algébrico para registro gráfico Qtde. de alunos 1 0 que acertaram Quadro 1: resultados quantitativos da 2ª questão No item a da segunda questão, apenas o aluno A5 conseguiu realizar corretamente a conversão do registro em língua natural para o registro algébrico, chegando à representação y= 2x + 4. No entanto, o referido aluno efetivou a resolução do algoritmo mesmo que na questão tenha sido requisitada apenas a elaboração da expressão algébrica. Esta necessidade de tratar os elementos algébricos é reflexo de uma prática de ensino baseada em resoluções de exercícios, na qual o aluno passa a entender a Matemática como uma disciplina que envolve apenas cálculos. Descarta-se, assim, a discussão e análise, elementos importantes para uma compreensão significativa por parte do aluno. No item b da segunda questão, nenhum aluno obteve êxito na conversão do registro algébrico para o registro gráfico. Os erros serão posteriormente analisados na categoria a seguir. ISSN

4 Na terceira questão, buscou-se analisar o tratamento no registro algébrico. A síntese dos resultados obtidos pode ser observada no quatro a seguir: 3ª Questão Respostas corretas Tratamento no registro algébrico Tratamento no registro aritmético Não registrou o tratamento realizado Qtde.de alunos Quadro 2: Resultados quantitativos da 3ª questão Observa-se que sete alunos obtiveram êxito em seus tratamentos, chegando ao resultado 16 reais. Porém, somente A5, que obteve êxito na conversão da questão anterior, utilizou o registro algébrico para resolver a questão. Três alunos utilizaram registros aritméticos como, por exemplo, A8 que elaborou a seguinte representação: 6.2 = 12+4 = 16 reais. Neste caso, observa-se que mesmo sendo requisitada a elaboração de representações no registro algébrico, os alunos utilizaram o registro aritmético. Quer pela familiaridade ou facilidade na realização do tratamento neste registro. Outros três alunos colocaram a resposta correta, sem a realização de cálculos, permitindo considerar que estes realizaram o tratamento mentalmente. A partir destes resultados é possível inferir que o fato de os alunos optarem pelo registro aritmético pode ter relação com uma dificuldade de compreensão dos elementos presentes no registro algébrico. ERRO NA REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE COGNITIVA Na 2ª questão, item a, cinco alunos não elaboraram respostas, cinco alunos registraram respostas sem explicitar como foi feita a conversão e oito alunos realizaram conversões não exitosas. Apenas estes últimos, serão considerados para a análise, tendo em vista não ser possível analisar alunos que não registraram seus procedimentos de conversão. Dentre as oito tentativas de conversões não exitosas foram percebidos 2 tipos de problemas que podem justificar a falha dos alunos, são eles: problemas de formação no registro algébrico (5 alunos); compreensão fragmentada das relações conceituais de função afim (3 alunos). No primeiro caso, das conversões com problemas de formação no registro algébrico, destaca-se a resposta de A13: 2x+4. Esta representação não possui uma igualdade, elemento central da relação de dependência que caracteriza a função. A desconsideração deste elemento pode evidenciar a não compreensão das regras de conformidade e de funcionamento neste tipo de registro. Outra representação em que se evidencia um problema semelhante é a de A8 y=ax+b. O aluno não percebeu a necessidade de relacionar a expressão com os coeficientes e variáveis contextualizados na questão. Considera-se que é possível que o aluno tenha memorizado a expressão sem compreender a necessidade de relacioná-la aos dados explicitados na situação-problema. Pode-se inferir, ainda, que o aluno não consegue diferenciar o conceito de função afim com sua representação algébrica, utilizando-se da representação de forma aleatória e sem vínculo com os dados presentes na questão. Para Duval (2003), este tipo de confusão é reflexo de práticas voltadas para o mono-registro, privilegiando-se apenas um tipo de representação e não possibilitando uma percepção mais ampla do conceito. No segundo caso observado, conversões que demonstram compreensão fragmentada das relações conceituais de função afim, os alunos A3, A14 e A16 perceberam a necessidade de relacionar as incógnitas x e y em uma igualdade. A3, por exemplo, representou o problema da seguinte forma y=4x+2. A conversão correta seria y=2x+4, percebendo-se assim que a dificuldade apresentada foi relativa à ISSN

5 compreensão da ordem da relação de dependência entre as variáveis. Estas dificuldades surgem pelo fato da questão apresentar baixa congruência mencionada por Duval (2003), pois não possui nenhum dos três fatores que determinam a congruência de uma conversão, quais sejam: correspondência semântica das unidades de significado; a unicidade semântica terminal e conservação da ordem das unidades. No item b, da 2ª questão, mais da metade da turma (10 alunos) não conseguiu converter do registro algébrico para o registro gráfico, seja pela dificuldade ou por não saber como realizar tal conversão. Estas dificuldades são mencionadas por Duval (2009, p. 78), na qual argumenta que o gráfico possui uma série de unidades significantes que envolvem muito mais conceitos que pontos marcados no plano cartesiano, além disso, possui valores de diferentes variáveis visuais, transformando esta conversão em uma atividade cognitiva não espontânea pela grande maioria dos alunos. Dos noves alunos que conseguiram produzir uma representação gráfica errônea, seis produziram registros que demonstraram a compreensão de que o gráfico da função afim é uma reta. Os outros três alunos, elaboraram representações que não tinham nenhum vínculo com a questão. Algumas dificuldades foram relatadas na resolução da 2ª questão pelos alunos. Dentre elas, nove alunos relataram que não conseguiram resolver porque não lembravam mais da matéria, quatro alunos comentaram que houve dificuldades em realizar os cálculos necessários, procedimentos e regras que a questão solicitava. Notamos também, que dois alunos mencionaram ter dificuldades relacionadas a não compreensão da pergunta e ao significado da representação algébrica solicitada no problema. Estas dificuldades também são relatadas por Gil (2008) onde os alunos muitas vezes não conseguem traduzir os problemas da linguagem escrita para a linguagem matemática, e essa ausência de interpretação é um dos motivos para o fracasso escolar. Além disso, as resoluções de problemas, na sua grande maioria, são carregadas de procedimentos e exercícios exaustivos, na qual o aluno passa a repetir mecanicamente os cálculos, sem entender e compreender as relações e conceitos existentes. Na 3ª questão, cinco alunos não registraram respostas, dois alunos colocaram um número como resposta e cinco efetuaram o tratamento, porém não obtiveram êxito. Para os alunos que colocaram apenas um número como resposta, a exemplo de A9: 36 horas, observou-se a ausência da relação com a quantidade de horas que o carro ficaria no estacionamento com o valor a ser pago pelo dono do veículo. Dos cinco alunos que trataram o problema, quatro deles, obtiveram como resposta o valor R$12 reais, ou seja, não adicionaram o valor que o veiculo deveria pagar por dia que era de R$ 4,00, multiplicando apenas às 6 horas por R$ 2,00 que seria cobrado por hora no estacionamento. Um aluno realizou um tratamento mental obtendo a resposta R$15,00. No caso destes alunos podem-se constatar dificuldades na compreensão do enunciado em língua natural de forma a colher elementos que pudessem solucionar o problema proposto, além do fato, da dificuldade em relacionar com a questão anterior já que esta relação se tornava necessário para o êxito da resposta. Conclusão Os alunos demonstraram muitas dificuldades relativas à compreensão de função afim. Dos 19 sujeitos, analisados, registrou-se uma conversão exitosa no item a da 2ª questão, nenhuma conversão exitosa no item b da 2ª questão e dos sete alunos que realizaram tratamentos exitosos na terceira questão, apenas um utilizou efetivamente o registro algébrico. Considera-se que os resultados permitem constatar que os alunos possuem uma conceitualização limitada de função afim e que apresentam problemas, principalmente com sua representação gráfica. Nos três tipos de registros de representação evidenciados (língua natural, algébrico e gráfico) os alunos ISSN

6 apresentaram dificuldades na compreensão dos elementos relativos à formação dos registros, não compreendendo aspectos elementares do conceito e da representação como a necessidade da igualdade no registro algébrico e da reta no registro gráfico. Aqueles que apresentaram conceituação mais elaborada prendem-se a memorização de fórmulas que não são compreendidas em contextos diversificados. De modo geral, as dificuldades dos alunos podem ser consideradas como fruto da ausência da coordenação entre os diferentes registros de função afim. As dificuldades em converter e tratar em registros diversificados decorre, muitas vezes, do aprisionamento a somente um tipo de registro não sendo possível realizar transformações desse registro. Diante deste contexto, se faz necessário um trabalho de formação mais efetivo com esses alunos de forma a ampliar suas concepções de função afim. Sendo necessário o uso de diferentes registros de representação semiótica para que seja possível objetivar este conceito. Referências BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. 4ª ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, (Coleção Tendências em Educação Matemática). BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília : MEC/SEF, DUVAL, Raymond Semiósis e pensamento humano: registro semiótico e aprendizagens intelectuais (Sémiosis ET Pensée Humaine: Registres Sémiotiques ET Apprentissages Intellectueis)( fascículo I) / Raymond Durval. Tradução: Lênio Fernandes Levy e Marisa Rosâni Abreu da Silveira São Paulo: Editora Livraria da Física, FERREIRA, Ana Cristina. Um olhar retrospectivo sobre a pesquisa brasileira em formação de professores de matemática. In: FIORENTINI, Dario (org.). Formação de professores de Matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas, SP: Mercado das Letras, GIL, Katia Henn. Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem de Álgebra. Porto Alegre, f. Pontifícia universidade católica do rio grande do sul, Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática. Porto Alegre RS, 2008). MACHADO, Silvia Dias Alcântara. Aprendizagem em matemática: registro de representação semiótica. Campinas SP: Papirus, SILVA, Silvana Holanda. Conhecimento de professores polivalentes em geometria: contribuições da teoria dos registros de representação semiótica. Fortaleza, f. Dissertação (Mestrado Acadêmico em Educação) Universidade Estadual do Ceará, Centro de Educação. Fortaleza CE, SOUSA, Ana Claúdia Gouvéia de. Representação semiótica e formação docente para o trabalho com números e operações nos anos iniciais do ensino fundamental. Fortaleza, f. Curso de Mestrado acadêmico em Educação. Universidade Estadual do Ceará, Fortaleza-CE, ZUFFI, Edna Maura. et al. Alguns aspectos do desenvolvimento histórico do conceito de função. Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática em Revista (SBEM), n. 9/10, p , São Paulo, Agradecimentos Gostaríamos de agradecer pelas contribuições do Grupo de Pesquisa Matemática e Ensino (MAES) vinculado a Universidade Estadual do Ceará (UECE) e o apoio da FUNCAP. ISSN

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