CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO LINEAR COM INCERTEZA INTERVALAR: FORMULAÇÃO E ANÁLISE DE ESTABILIDADE.

Transcrição

1 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO LINEAR COM INCERTEZA INTERVALAR: FORMULAÇÃO E ANÁLISE DE ESTABILIDADE. Amanda G. S. Ottoni, Alípio M. Barbosa, Ricardo H. C. Takahashi, Lis A. Agirre DEFIM - Departamento de Física e Matemática, Camps Alto Paraopeba - UFSJ Rod.: MG 443, KM 7, 364- Oro Branco, MG, Brasil Programa de Pós-Gradação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos 667, 37-9 Belo Horizonte, MG, Brasil s: amandagso@fsj.ed.br.com, alipiomonteiro@ahoo.com.br, taka@mat.fmg.br, agirre@cpdee.fmg.br Abstract This paper presents a ne approach for robstness of a model predictive control scheme for minimm-phase LTI sstems. The procedre assmes that a discrete-time linear transfer fnction ith ncertaint intervals on the parameters is knon. Sch ncertainties can be determined from a mlti-objective procedre of identification. A control la is developed and the stabilit analsis is verified b simlation. Reslts sho that the robstness is effective in terms of stabilit. Keords Predictive control, identification, robstness, ncertaint, stabilit. Resmo Este trabalho apresenta ma proposta para implementação de m controlador preditivo robsto para sistemas LIT de fase mínima. O procedimento presspõe conhecido o modelo do processo, representado por ma fnção de transferência em tempo discreto, linear com intervalos de incerteza associados aos parâmetros. Tais incertezas são determinadas a partir de m procedimento mltiobjetivo de identificação. Uma lei de controle foi desenvolvida e a análise de estabilidade foi verificada por meio de simlação. Há evidências nméricas de qe a robstez é eficaz em garantir a estabilidade do sistema em malha fechada. Palavras-chave Controle preditivo, identificação, robstez, incerteza, estabilidade. Introdção Controle preditivo baseado em modelo(mpc) é m conjnto de métodos de controle qe foram desenvolvidos considerando-se m modelo para predição e obtenção do sinal de controle via minimização de ma fnção objetivo (Camacho and Bordons, 4). É difícil determinar a origem exata do MPC, mas sabe-se qe foi desenvolvida na década de 7 para resolver problemas de controle ligados à indústria qímica e de refino de petróleo (Garcia et al., 989). Atalmente, sa aplicação vem sendo cada vez mais difndida em otros setores. Uma etapa crítica no projeto de m controlador MPC é determinar o modelo matemático tilizado para predição. Provavelmente o modelo é o elemento mais importante dentro de algns controladores (Hssain, 999). Mesmo os esqemas de controle mais avançados podem falhar se o modelo não for adeqado (Bravo and Norme- Rico, 9; Lee, 6). Devido a isso, ao descrever o comportamento de ma planta com o so de modelos, deve-se levar em consideração as incertezas advindas dessa descrição. Discrepâncias entre a planta e o modelo sado para representá-la podem provocar resltados não satisfatórios na implementação da técnica de controle MPC em diversos casos. Esse tipo de sitação motiva a necessidade do desenvolvimento de técnicas de controle MPC robstos, qe preservem a estabilidade e o desempenho do sistema em malha fechada, apesar das imprecisões o incertezas dos modelos. Uma proposta de MPC robsto, foi apresentada inicialmente por (Kothare et al., 996). Desde então a técnica RMPC (Robst MPC) vem sido amplamente investigada e o desafio é a garantia de viabilidade de solções e conseqentemente a garantia de estabilidade (Ramos et al., 8). Este trabalho propõe m método RMPC, denominado Controle Preditivo Baseado em Modelo com Incerteza Intervalar, MPCIU (MPC ith Interval Uncertaint), qe calcla explicitamente ma faixa de valores para a variável de controle para a qal se garante a estabilidade de m sistema linear de tempo discreto SISO, descrito em termos de ma fnção de transferência com incertezas intervalares em ses parâmetros. A condição desenvolvida é sficiente para a estabilização do sistema para qalqer instância da fnção de transferência dentro da faixa de incertezas admitidas. O restante do artigo está estrtrado como se sege. A Seção descreve o processo de identificação e obtenção da região de incerteza. O controladormpcéapresentadonaseção3. ASeção4descreve e jstifica a formlação proposta. A Seção 5 descreve os resltados de simlação. Finalmente, a Seção 6 encerra o artigo com as conclsões.

2 Identificação mltiobjetivo e região de incerteza {a,a a j ;b,b b i } θ Barbosa e colaboradores (Barbosa et al., ) desenvolveram m método de identificação de sistemas não-lineares mltiobjetivo, no qal m sistema é identificado e o modelo resltante é ma representação do processo com ma região de incerteza (Barbosa,, p. 45). No procedimento, cada estrtra-candidata, ao ser sbmetida a m procedimento mltiobjetivo de estimação de parâmetros, condz a m conjnto Pareto-ótimo de parâmetros. Qando são consideradas várias estrtras-candidatas, a estimação mltiobjetivo dos parâmetros (sobre cada estrtra) condz a vários conjntos Paretoótimos de parâmetros. Um esboço desse conjnto de conjntos Pareto-ótimos é representado na Figra. f P P {a,a a j ;b,b b i } θ. {a n,a n a n j;b n,b n b n i } θ n em qe j e i são os números de termos em a e b, respectivamente. Os limites mínimo e máximo são definidos em cada parâmetro. Por exemplo, a j é o mínimo de {a j,a j an j }. Finalmente, o politopo de incertezas, C, é dado por: C = { aj a j ā j b i b i b i, () A região de incerteza C será tilizada no projeto de m controlador preditivo robsto baseado em modelo, como apresentado nas próximas seções.. Figra : Representação dos conjntos Paretoótimos P, P e P 3 e as respectivas solções escolhidas ( ) (Barbosa et al., ). De posse de ma classe de conjntos Paretoótimos, correspondentes a diferentes estrtras, deve-se selecionar o melhor modelo. Considere qe modelo escolhido, θ, tenha estrtra idêntica à estrtra da planta. A fim de obter a incerteza paramétrica de θ, o modelo deve ser sbmetido à estimação de parâmetros mltiobjetivo para diferentes realizações de rído. Para cada realização de rído obtém-se ma crva Pareto. Contdo, na prática o sário não tem como gerar diferentes realizações de rído. Isso só é possível em simlação. Desta forma, sgere-se realizar a estimação sando várias sb-janelas de dados. Portanto, têm-se m conjnto de n crvas Pareto, {θ,θ θ n}, qe delimitam ma região de incerteza relacionada à θ. A fim de tradzir a região de incerteza em valores paramétricos, em cada crva Pareto aplicase o decisor (Barroso et al., 7), e obtém-se os parâmetros do modelo relacionado àqela crva Pareto, de tal forma qe: P 3 f 3 Controle preditivo baseado em modelo Todos os algoritmos de controle preditivo baseado em modelo possem três elementos em comn: i) o modelo de predição, ii) a fnção objetivo e a iii) lei de controle. Diferentes opções podem ser escolhidas para cada m destes elementos, dando origem a diferentes algoritmos MPC (Rossiter, 3). De forma geral, no MPC, a cada instante k, sa-se o modelo da planta para prever as ftras saídas em m determinado horizonte de predição H p. Essas saídas preditas, ŷ[k + m k] (a notação indica o valor predito de no instante k+m, calclado no instante k), para m = [ H p ], dependem dos valores conhecidos até o instante k (entradas e saídas passadas). Com o so das predições ŷ[k + m k] e das entradas e saídas passadas, calcla-se ma seqência de sinais de controle û[k + n k], n = [ H c ], em qe H c é chamado de horizonte de controle (H c H p ), por meio da otimização de ma dada fnção objetivo. O sinal de controle [k k] é enviado à planta enqanto os demais sinais de controle calclados são desprezados. No instante seginte, [k + ] torna-se conhecido e o passo anterior?e, então, repetido com esse dado, atalizando os valores de todas as demais seqências. Os diversos métodos MPC existentes tilizam diferentes tipos de fnções objetivo para calclar a lei de controle. A técnica MPC proposta neste trabalho tiliza ma fnção qadrática J qe considera o erro entre as predições ŷ[k + j k] e ma referência conhecida [k+j], e a variação no controle [k], como sgerido em(camacho and Bor-

3 dons, 4): H p J = δ[j][ŷ[k +j k] [k +j]] + () j= H c + λ[i][ [k +i k]], i= em qe δ[j] e λ[i] são as seqências de ponderação do erro e do esforço de controle, respectivamente. 4 Robstez intervalar no MPC Uma nova proposta de controlador preditivo robsto baseado em modelos, chamada de Controle Preditivo Baseado em Modelo com Incertezas Intervalares o MPCIU (MPC ith Interval Uncertaint) será apresentada para o controle robsto de sistemas discretos SISO casais, descritos por modelos LIT de fase mínima, por ma fnção de transferência. O método estabelece restrições na variável de controle de tal forma qe se garanta a estabilidade do sistema em malha fechada, admitindo-se incertezas intervalares nos parâmetros da fnção de transferência da planta. A partir da identificação mltiobjetivo descrita na seção, considere conhecido o seginte modelo para a planta: b z m +b z m + +b m T p (z) = z n +a z n +a z n m n. + +a n (3) Nesse modelo, cada parâmetro a j e b i, pertence aos respectivos intervalos de incerteza a j a j ā j e b i b i b i. E o conjnto C, definido em (), representa todos os pontos (a,,a n,b,,b m ) contidos nos intervalos de incerteza. 4. Condição de Estabilidade Sponha qe a seqência de saída [k] de m sistema discreto satisfaça a seginte condição: [k] < ε [k ], em qe < ε < k. (4) Obviamente a seqência [k] satisfaz: [k] < [] e [k] < ε [k ] < [k ] k. Logo, a seqência dos valores absoltos [k] é monótona e limitada e, portanto, convergente. Além disso, [k] < ε k [] k >. (5) Como < ε <,segeqeε k qandok e a eqação (5) permite conclir qe [k] qando k. Podemos impor a condição de estabilidade(4) à saída de ma planta e pergntar se existe algm valor para entrada qe faça com qe a saída satisfaça (4). 4. Formlação da lei de controle A partir da fnção de transferência, dada pela expressão (3), pode-se descrever o modelo por meio da seginte eqação de diferenças: [k] = b [k gr]+b [k gr ]+...+b m [k n]+ (6) a [k ]... a n [k n], em qe gr = n m é chamado de gra relativo o atraso do sistema. Deseja-se qe a saída da planta fiqe o mais próximo possível de m sinal de referência [k] dado. Para isso, vamos impor a seginte condição de estabilidade à saída da planta: [k] [k] < ǫ [k gr ] [k gr ] (7) em qe < ǫ <. A expressão (7) é ma generalização da condição em (4). Dessa forma, se (7) for satisfeita k >, a saída da planta deve necessariamente satisfazer [k] [k], qando k. Sponha, sem perda de generalidade, qe [k]. Dessa forma, pode-se reescrever (7) como: b [k gr]+b [k gr ]+...+b m [k n]+ a [k ]... a n [k n] < ǫ [k gr ]. Ao definir Γ k = b [k gr ]+...+b m [k n]+ (8) Tem-se qe: a [k ]... a n [k n]. k = Γ k +b [k gr]. E a condição de estabilidade por ser reescrita como: Assim: b [k gr]+γ k ǫ [k gr ]. ǫ [k gr ] b [k gr]+γ k ǫ [k gr ]. Por sbstitições scessivas, é possível expressar [k],[k ],[k ],,[k gr], em termos de [k gr ] e termos anteriores (todos com valores conhecidos no instante k gr). Dessa forma, Γ k pode ser vista como ma fnção das variáveis independentes a j, j =,,n e b i, i =,,m, sendo estas variáveis restritas ao politopo de incertezas (). Com o so de técnicas de otimização nãolinear com restrições, pode-se obter, em cada instante, o valor mínimo e máximo de Γ k, dentro do politopo de incertezas (): Γ k = min C Γ k Γ k = maxγ k, C (9)

4 Considerando qe os parâmetros do modelo estão contidos no politopo das incertezas, afim de qe a saída satisfaça a condição de estabilidade (7), a entrada deve ser escolhida de forma a pertencer ao intervalo ǫ k gr Γ k b k gr ǫ k gr Γ k, () qaisqer qe sejam os valores dos parâmetros em (). Pode-se spor, sem perda de generalidade, qe b > (o qe implica diretamenteqe b, b > ). Logo: b ( ǫ k gr +Γ k ) k gr b ( ǫ k gr Γ k ). Se b <, ma desigaldade análogapode ser dedzida. Dessa forma, se a escolha da entrada da planta, no instante k gr, estiver contida no intervalo = [ k g ; k gr ] = () [ b (ǫ k gr +Γ k ) ; b ( ǫ k gr Γ k ) ], chamado de intervalo de estabilidade, pode-se garantir qe a condição de estabilidade (7) será satisfeita no instante k, para qaisqer valores dos parâmetros do modelo. Caso o limite inferior seja maior qe o sperior ( k g > k gr ), o intervalo de estabilidade será vazio. Isso qer dizer qe e a condição (7) não será válida para todas as possíveis combinações de parâmetros no politopo de incertezas (), o seja, existem modelos, com parâmetros pertencentes ao politopo (), em qe a condição de estabilidade é matematicamente infactível. Nesses casos, tilizo-se [ k g ; k gr ] = [ ; ], o seja, nenhma restrição é imposta à entrada, qe será a mesma obtida através do algoritmo MPC não-robsto. Para os casos em qe o intervalo de estabilidade é não vazio, deve-se escolher como entrada da planta, no instante k gr, m valor no interior do intervalo de estabilidade (qe constiti m par de restrições sobre o valor da variável de controle), qe otimize a fnção objetivo (). As predições ŷ[k + m k] para m = [ H p ] são obtidas sando o modelo nominal. Escolhe-se como modelo nominal aqele cjos parâmetros valem ospontosmédiosde cadam dosintervalosde incertezas. Observe qe a robstez é considerada apenas na obtenção do intervalo de estabilidade, não sendo consideradas no cálclo direto da predição da saída. Apesar disso, o método mostro-se bastante eficiente no controle robsto de sistemas lineares. 5 Resltados de simlação As principais ideias deste trabalho serão ilstradas por meio de dois exemplos simlados. O primeiro deles apresenta a aplicação da técnica para m processo com grande sensibilidade às características do modelo (Rossiter, 3, p. 9). O segndo exemplo, sgerido por Camacho and Bordons (4, p. 78), tem como objetivo mostrar o comportamento robsto do sistema de controle. Ambos consistem em processos estáveis, de fase mínima. O algoritmo MPCIU foi implementado com o so do softare MatLab R (Ra). Os valores determinados para os parâmetros da fnção objetivo (), foram: δ[j] =,7 (Hp+gr j), j = gr,,h p + gr e λ[i] =, i =,,H c. Considero-se ǫ =,95, a condição inicial [t] =, t t e ma trajetória de referência () na forma de onda qadrada. Usaram-se iteraçõesem ambososexemplos. Paraobteropolitopo de incerteza, trabalho-se com 5 realizações do rído. Todos dados simlados. 5. Exemplo Considere o seginte sistema representado por (Rossiter, 3): T(z) = z +,4z, z 4,z 3 +,4z,5z+,4. A partir da identificação mltiobjetivo descrita na Seção e detalhada por Barbosa et al. (), o seginte modelo foi obtido: T(z) = b z +b z +b z 4 +a z 3 +a z +a 3 z +a 4, () em qe os parâmetros a i e b j variam no politopo de incertezas, dado por:,95 b,47,5757 b,93,878 b,573 C =,4956 a,694. (3),4 a,67,35 a 3,3,45 a 4,85 O modelo nominal tilizado para a predição foi: Y(z) U(z) =,989z +,3949z,939 z 4,3z 3 +,43z,53z+,49. Observe qe este sistema possi atraso de tempo. Nesse caso, o modelo nominal também foi tilizado para prevar a saída passada [k ], desconhecida no instante k. O sistema (), além de possir atraso de tempo, apresenta ma faixa paramétrica de incertezas bastante larga (no caso de b a variação chega a 58%). Para aplicações na indústria, sabese qe as incertezas em (3) não correspondem à

5 realidade, dadas as sas largas faixas, entretanto, o exemplo foi escolhido para figrar neste artigo, com o objetivo de mostrar a robstez do método MPCIU. O MPCIU foi simlado com o modelo () e sa incerteza paramétrica dado por (3). A Figra mostra a evolção dos sinais de saída e de controle, para ma seqência de mdanças de referências. Utilizaram-se horizonte de predição H p = e horizonte de controle H c = 5. O controle preditivo robsto(ver Seção 4) foi implementado e o sistema permanece estável mesmo com o modelo incerto, com m bom segmento de referência Figra : Segimento de referência e controle do MPCIU, tilizando o modelo incerto (), H p = e H c = 5. Afim de comparar o desempenho do método MPCIU com m método MPC não-robsto, o segndo exemplo, a segir, foi analisado para m sistema de ordem menor e menor faixa de incertezas paramétricas. 5. Exemplo Neste exemplo, o modelo para a planta, qe foi tilizado para simlar o processo e gerar os dados, é dado por (Camacho and Bordons, 4): T(z) =,9z,6 z,5z +,56. O modelo incerto obtido a partir da planta simlada, é dado por: T(z) = b z +b z +a z +a, (4) em qe os parâmetros a i e b j variam no politopo de incertezas, dado por:,84 b,9365,655 b,556 C =. (5),5388 a,4646,54 a,5984 O modelo nominal tilizado na fnção csto, para este exemplo, foi: Y(z) U(z) =,897z,633 z,498z+,5577. Considerando o horizonte de predição H p = 6 e o horizonte de controle H c = 3, o sistema foi simlado para a mesma seqência de mdanças de referências mostrada no exemplo anterior. O resltadodosinaldecontroleedasaídaéilstrado na Figra Figra 3: Segimento de referência e controle do MPCIU, tilizando o modelo incerto (4), H p = 6 e H c = 3. Com o objetivo de se verificar a robstez da proposta de controlador descrita neste trabalho, considere como modelo nominal aqele cjos parâmetros valem os valores mínimos de cada m dos intervalos de incertezas em (5): Y(z) U(z) =,84z,655 z,5388z+,54. (6) Considerando m horizonte de predição H p = 5 e m horizonte de controle H c = 6, o sistema foi simlado tilizando-se o MPC básico (nãorobsto) e, posteriormente, o MPCIU. O MPC tilizado nas simlações diverge do MPCIU apenas no qe diz respeito às restrições qe constitem o intervalo de estabilidade (). Os resltados do sinal de controle e da saída, para ambos os métodos, estão ilstrados nas Figras 4 e 5. Como o modelo tilizado pelos controladores MPC e MPCIU tiliza parâmetros qe estão nos limites dos intervalos de incertezas, os resltados obtidos por ambos foram inferiores àqele representado na Figra 3, como era de se esperar. Pode-se notar, entretanto, das Figras 4 e 5, qe o controlador MPCIU foi ligeiramente sperior ao MPC no controle da planta simlada neste exemplo. 6 Conclsões O presente trabalho apresento ma formlação para o controlador preditivo robsto baseado

6 3 MPC Referências Figra 4: Segimento de referência e controle do MPC, tilizando o modelo incerto (6), H p = 5 e H c = 6. 3 MPCIU Figra 5: Segimento de referência e controle do MPCIU, tilizando o modelo incerto (6), H p = 5 e H c = 6. em modelo. O algoritmo MPCIU implementado, tiliza m modelo do processo em qe incertezas intervalares em ses parâmetros são consideradas. O sinal de controle é obtido a partir de ma condição de estabilidade. A técnica proposta baseia-se na imposição de restrições na variável de controle, qe, se satisfeitas, garantem a estabilidade da planta em malha fechada. Dessa forma, o método MPCIU pode ser tilizado em conjnto com qalqer técnica de RMPC qe admita a inclsão de restrições na variável de controle. No procedimento apresentado considero-se conhecida a estrtra da planta, e a formlação foi desenvolvida para incertezas paramétricas, limitadas por m politopo previamente estabelecido. Como continidade, deseja-se investigar a formlação para o caso de incertezas estrtrais e controladores baseados em modelos lineares de fase não mínima e em modelos não-lineares. Agradecimentos Agradecimentos ao CNPq e à agência de fomento CAPES Brasil, pelo apoio financeiro. Barbosa, A. M. (). Técnicas de otimização bi-objetivo para a determinação da estrtra de modelos NARX, Master s thesis, PPGEE, Universidade Federal de Minas Gerais. Barbosa, A. M., Takahashi, R. H. C. and Agirre, L. A. (). Técnicas de otimização biobjetivo aplicadas a problemas de determinação de estrtra em modelos polinomiais NARX, XVIII Congresso Brasileiro de Atomática, Bonito MS, pp Barroso, M. F. S., Takahashi, R. H. C. and Agirre, L. A. (7). Mlti-objective parameter estimation via minimal correlation criterion, Jornal of Process Control 7(4): Bravo, C. O. A. and Norme-Rico, J. E. (9). Controle de plantas não lineares tilizando controle preditivo linear baseado em modelos locais, SBA Controle & Atomação (4): Camacho, E. and Bordons, C. (4). Model Predictive Control, edn, Springer. Garcia,C. E., Prett,D. M.andMorari,M.(989). Model predictive control: Theor and practice - a srve, Atomatica 5(3): Holkar, K. S. and Waghmare, L. M. (). An overvie of model predictive control, International Jornal of Control and Atomation 3(4): Hssain, M. A. (999). Revie of the applications of neral netorks in chemical process control-simlation and on-line implementation, Artificial Intelligence in Engineering 3(): Kothare, M. V., Balakrishnan, V. and Morari, M. (996). Robst constrained model predictive control sing linear matrix ineqalities, Atomatica 3(): Lee, H. (6). A Plant-Friendl mltivariable Frameork Based on Identification Test Monitoring, PhD thesis, Arizona State Universit. Maciejoski, J. M.(). Predictive Control ith Constraints, Prentice Hall, Harlo, England. Ramos, C., Martínez, M., Sanchis, J. and Herrero, J. M. (8). Robst and stable predictive control ith bonded ncertainties, Jornal of Mathematical Analsis and Applications 34: 3 4. Rossiter, J. A. (3). Model-Based Predictive Control: A Practical Approach (Control Series), edn, CRC Press.