VALIDAÇÃO DE UM MODELO DE POTENCIAIS ESCALARES COM CONTORNO RUGOSOS PELO MÉTODO M DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 VALIDAÇÃO DE UM MODELO DE POTENCIAIS ESCALARES COM CONTORNO RUGOSOS PELO MÉTODO M DOS ELEMENTOS FINITOS Prpsta de Tese de Dutrad de Lucas Máxim M Alves DOUTORANDO Luiz Alkimin de Lacerda ORIENTADOR Jsé de Antni Marques Carrer CO-ORIENTADOR ORIENTADOR 20/09/2011 1

2 Índice INTRODUÇÃO - Cnsiderações Iniciais PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA INTRODUÇÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDA FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA O Prblema d Ptencial cm Cntrn Regular (Euclidian u Lis) P1 O Prblema d Ptencial cm Cntrn Irregular (Fractal u Rugs) P2 Mdelament Fractal d Prblema Equivalente - PE MATERIAIS E MÉTODOSM RESULTADOS DISCUSSÃO. CONCLUSÕES 20/09/2011 2

3 INTRODUÇÃO - Cnsiderações iniciais Este trabalh fi mtivad pelas seguintes circunstâncias científicas e tecnlógicas: A Gemetria Fractal descreve Estruturas Irregulares Nvas Prpstas de Mdelagem de Estruturas Irregulares usand a Teria Fractal (Literatura Especializada) Revisã de Mdels Clássics que têm cm base a Gemetria Euclidiana (Literatura Especializada) A Mecânicas (d Cntínu, nu, Calr, Fluids, Sólids, S Fratura), nã leva em cnta Efeit da Rugsidade na sua Descriçã Matemática. tica. Entender Prcess de Dissipaçã de Energia ns Fenômens que Apresentam Gemétricas Irregulares 20/09/2011 3

4 Objetivs d Trabalh i) Descrever Analítica e Numericamente Fenômens Físics utilizand-se Métds M Numérics e a Gemetria Fractal. ii) Validar Mdels de Rugsidade Fractal utilizand Métd Numérics Aplicad a um Prblema de Ptencial Escalar. Pr exempl, Transmissã de Calr em Crps que apresentam uma Gemetria Irregular Brdas Rugsas. iii) Desenvlver um Métd M Numéric de Cálcul C a ser Implantad em um Sftware Básic B de Simulaçã de Fenômens cm Rugsidade. iv) Validar Resultads Teórics ds Mdels Prpsts através s de Ensais e Testes Cnclusivs. v) Prpr crreções u Nvs Mdels de Fenmenlógics cm a Descriçã Analítica da Rugsidade. 20/09/2011 4

5 INTRODUÇÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDA FRACTAIS: sã bjets gemétrics aut- invariantes pr transfrmaçã de escala que pssuem dimensã fracinária ria FRACTAIS Invariância pr Transfrmaçã de Escala - (partes semelhantes a td). = l /L (fatr de escala) que pde ser pr: AUTO-SIMILARIDADE u AUTO-AFINIDADE AFINIDADE. (Ex. um Pinheir) (Ex. uma Trinca) A Extensã d Objet, M d, depende d tamanh da régua de medida utilizada, L, ist é, M d ()) = M d d-d se D = d M d ()) = M d. 20/09/2011 5

6 Invariância pr Transfrmaçã de Def: Partes Semelhantes a Td Exempl: Pinus Outrs Exempls: Nuvens, Trincas, Cristais de Gel, Rchas, Ris, Cidades, etc (Niveis Hierárquics rquics de Estruturas) Escala 20/09/2011 6

7 Para que servem na Prática? Servem para se Descrever Matematicamente Estruturas Irregulares, que a Gemetria Euclidiana ds Elements Básics: B Pnt, Reta, Plan e Espaç nã é capaz Mdelagem Gemétrica Gemetria Irregular Gemetria Irregular 20/09/2011 7

8 Aut-Similaridade Fractal aut- similar Dx = Dy = Dz = D; d Di d+1 ; Dx + Dy + Dz = d+1 d = dimensã de prjeçã ; d+ 1 = dimensã de imersã 20/09/2011 8

9 Fractal Aut- Afim: Uma Dimensã Fractal Diferente para cada Direçã Aut-Afinidade Afinidade Dx = Dy H d D d+1 Dx + Dy + H = d+1 d = dimensã de prjeçã d+ 1 = dimensã de imersã 20/09/2011 9

10 Exempls de Fractais: Gem.Euclidiana x Fractal Fractais Matemátics tics e Físics u Naturais 20/09/

11 Mdelagem Fractal de uma Cadeia de Mntanhas Funções Exatas u Funções Aprximadas 20/09/

12 Antecedentes Histórics Uma mdificaçã da Mecânica da Fratura fi prpsta mas alguns resultads ainda precisam ser validads crretamente ALVES, Lucas Máxim M Rsana Vilarim da Silva, Bernhard Jachim Mkrss, The influence f the crack fractal gemetry n the elastic plastic fracture mechanics. Physica A: Statistical Mechanics and its Applicatins.. Vl. 295, n. 1/2, p , 148, 12 June ALVES, Lucas Máxim: M Fractal gemetry cncerned with stable and dynamic fracture mechanics. Jurnal f Therethical and Applied Fracture Mechanics, Vl 44/1, pp 44-57, /09/

13 MECÂNICA DA FRATURA Mdel de uma placa plana e infinita de espessura desprezível sujeita a uma tensã remta, = cte. Esta teria nã leva em cnta a rugsidade das superfícies de fratura.. Pr esta razã nã explica diverss efeits dependentes da rugsidade 20/09/

14 Mdelagem de Superfícies Rugsas Superfícies de Fratura Níveis Hierárquics rquics de Estruturas para Mdelagem Térica 20/09/

15 Pstulads de transfrmaçã da MF- Clássica para a MF-Fractal Fractal Equivalência energética de Irwin Energia de defrmaçã U U Energia de superfície U U Invariância das equações para caminh rugs Lc L 2 eff L 2 c G L G 20/09/ eff

16 O MODELAMENTO FRACTAL DA FRATURA ESTÁVEL Balanç energétic de Griffith-Irwin (df( du du Cndiçã de gramps fixs (df( = Xdu= = 0) 0 Cndiçã Quase-Est Estática tica de Prpagaçã u Critéri ri de Griffith-Irwin (J( R) MF-Cl Clássica J d( F U dl ; ) R du dl MF-Fractal Fractal J R d( F U ) dl R dl dl 0 dl dl 2 eff ; R dl dl du dl dl dl 20/09/

17 Simulaçã da Fratura Rugsa em Materiais Simulaçã de uma fratura em um mei frágil cm cncentradres de tensã distribuid aleatóriamente sbre material 20/09/

18 Métd Gráfic de Medida de uma Linha u Superfície Rugsa 20/09/

19 20/09/

20 20/09/ /09/ Mdels de Superf Mdels de Superfícies de Fratura cies de Fratura H l L L L 2 2 } ( 1 = L/l H H l L l L H dl dl ) ( 1 ) )( 2 ( 1

21 O MODELAMENTO FRACTAL DA SUPERFÍCIE DE FRATURA Mdel matemátic tic aut- afim (Dx( = Dy H) Superfície u perfil de fratura (triaxialidade( triaxialidade, x, y, z, u defrmaçã plana, IC = cte) K IC L L 2 1 l L 2H 2 dl dl l 1 (2 H ) L l 21 L 2H 1 2H 2 20/09/

22 Levantament de Perfis de Fratura em Ciment Perfil de fratura levantad a partir da imagem da superfície de fratura da argamassa de ciment 20/09/

23 Mdel Fractal d Cmpriment Rugs Ajuste ds Resultads Experimentais cm Mdel Fractal Cmpriment rugs L (pixels) L Data: Data1_B Mdel: Self-afine Lucas cm H Chi^2 = a ± H ± H ± Trinca em Ciment Cmpriment prjetad L (pixels) L Cmpriment rugs L (pixels) Data: Data1_B Mdel: Self-afine Lucas cm H Chi^2 = a ± H ± H ± /09/ Cmpriment prjetad L (pixels)

24 Levantament de Perfis de Fratura em Argila Perfil de fratura levantad a partir da imagem da superfície de fratura da argila vermelha 20/09/

25 Mdel Fractal d Cmpriment Rugs Ajuste ds Resultads Experimentais cm Mdel Fractal Trinca em Cerâmica Vermelha /09/2011 Cmpriment prjetad L (pixels) 25 Cmpriment rugs L (pixels) Cmpriment rugs L (pixels) L L Data: Data1_B Mdel: Self-afine Lucas cm H Chi^2 = a ± H ± H ± Cmpriment Prjetad L (pixels) Data: Data1_B Mdel: Self-afine Lucas cm H Chi^2 = a ± H ± H ±

26 Prblema Euclidian P1 Equações Básicas u u ( x, y ) u u ( x, y ) 2 u x y (, ) 0 20/09/

27 O Flux Generalizad e as Equações de Camp para Gemetrias Regulares Definiçã de Flux -> J X d dx da dt Lei de Furier -> J k X X. J X X 0 t. k X X 0 t 20/09/

28 Prblema Nã-Euclidian P2 Equações Básicas u u( x, y) u u( x, y) 2 u( x, y) 0 20/09/

29 O Flux Generalizad e as Equações de Camp para Gemetrias Irregulares Definiçã de Flux -> J X d dx da dt Lei de Furier -> J k X X. J X X 0 t. k X X 0 t 20/09/

30 Prblema Equivalente - PE Frmulaçã d Prblema Ptencial Escalar u f u( x, y) P2 PE Flux d Escalar u g u( x, y) Funçã Distribuiçã d Escalar PE P1. f ( u, u, x, y, x, y) du dn du du 2 cs rˆ. nˆ 2 2 u( x, y) h u( x, y ) 20/09/ Equaçã Prpsta para Flux d Escalar u

31 Cmparaçã entre s Prblemas P1- Cntrn Euclidian Lis u Regular P1 x P2 P2 - Cntrn Nã-Euclidian Fractal u Regular OBS: É precis mdelar tds s cssens flutuantes pr mei de algum tip de crrelaçã A Gemetria Fractal é uma delas! 20/09/

32 Mdelagem da Rugsidade Mdelagem pel Métd M ds Cssens Flutuantes 20/09/

33 Técnica de Renrmalizaçã Renrmalizaçã ds Cssens Flutuantes Cssen Crrelatr 1,5 1 g cs i i i Cs(teta), cs(teta*)^(alfa_r) 0, ,5-1 y( ) := cs( ) -1,5 Angul (teta) f(teta)=cs(teta) y(teta)=cs(beta)^(alfa) y( ) := cs( ) ln ( cs( ) ) ln ( cs( ) ) 20/09/

34 Análise das Prjeções d Cntrn Rugs Prjeçã d vetr r na direçã da nrmal n dr dn j r.ˆ n r cs 20/09/ j

35 Métd ds Elements Finits Parâmetrs e Variáveis utilizadas n CálculC 20/09/

36 Aplicaçã n Cntrn Rugs Utilizaçã ds Pnts de Gauss próxims a Cntrn 20/09/

37 RESULTADOS e DISCUSSÃO Amplitude d Cntrn Rugs Utilizad Amplitude Y 9,45 9,4 9,35 crdenada Y 9,3 9,25 9,2 9,15 9,1 9,05 9 8, crdenada X Y 20/09/

38 Cmparaçã d Mdel PE x P2 Resultad da primeira aprximaçã feita 2,50E+02 Relaçã P2 x PEquivalente 2,00E+02 Flux de Calr 1,50E+02 1,00E+02 5,00E+01 0,00E crdenada X J=Jdu/du (P2 - Rugs) J (P2 - Rugs) J (P1 - Euclidian) J=Jdelta_u/u*dr/dr (PE-Equivalente) 20/09/

39 Análise d Err Relativ Observe: 1-1 Err Relativ ~ Funçã Desejada Err Relativ 8,00E-01 Err Relativ 6,00E-01 4,00E-01 E rr Relativ (% ) 2,00E-01 0,00E ,00E-01 1,60E+00 1,40E+00 1-Err Relativ Err Relativ -4,00E-01-6,00E-01 crdenada X 1- Err Relativ (%) 1,20E+00 1,00E+00 8,00E-01 6,00E-01 4,00E-01 2,00E-01 0,00E crdenada X 20/09/

40 Reutilizaçã da Infrmaçã d Err Relativ Nv Cálcul C utilizand Err Anterir nvamente na Equaçã de Crreçã 2,50E+02 Relaçã P2 x PEquivalente 2,00E+02 Flux de Calr 1,50E+02 1,00E+02 5,00E+01 0,00E crdenada X J=Jdu/du (P2 - Rugs) J (P2 - Rugs) J (P1 - Euclidian) J=Jdelta_u/u*dr/dr (PE-Equivalente) 20/09/

41 Nva Análise d Err Relativ O Err Relativ Médi M agra diminui e se afasta da Funçã Desejada Err Relativ 8,00E-01 Err Relativ 6,00E-01 Err Relativ (%) 4,00E-01 2,00E-01 0,00E ,00E-01-4,00E-01 crdenada X 20/09/

42 Análise de Crrelaçã Entre as Funções Real e Aprximada Resultad d Prblema P2 X Resultad d Prblema Equivalente 1,80E+00 1,60E+00 y = 0,0043x + 0,4164 R 2 = 0,7953 1,40E+00 1,20E+00 1,00E+00 8,00E-01 J x J_ Reta Linear (J x J_) 6,00E-01 4,00E-01 2,00E-01 0,00E+00 0,00E+00 5,00E+01 1,00E+02 1,50E+02 2,00E+02 2,50E+02 20/09/

43 CONCLUSÕES Os Resultads btids sã prmissres Se Prblema P2 pde ser reslvid cmputacinalmente pr que utilizar Prblema Equivalente PE? - Reduzir Cust Cmputacinal Verificaçã de Fenômens Superficiais e Vlumétrics que anterirmente nã pderiam ser bservads analiticamente. Separaçã d Prblema Físic F d Gemétric Necessita-se se Análise da Acuracidade da Respsta d Métd ds Elements Finits para Prblema P2 n Cntrn Análise para Diferentes Rugsidades Análise Variand alguns parâmetrs de cntrle 20/09/

44 Prpsta de Trabalhs Futurs Análise Elástica Linear (Ptencial Vetrial) Análise Elast-Pl Plástica (Ptencial Tensrial) Análise da Mecânica da Fratura: - Prcess de Fratura Estável u Quase- Estátic tic Linear e Nã-Linear - Prcess de Fratura Instável u Dinâmic- Nã-Linear 20/09/

45 Referências ALLEN, Martin; Gareth J. Brwn; Nick J. Miles, - Measurements f bundary fractal dimensins : review f current techniques. Pwder Technlgy,, vl. 84, p.1-14, 14, BARABÁSI, Albert László; ; H. Eugene Stanley, Fractal cncepts in surface grwth, Cambridge University Press, BUNDE, Armin; Shlm Havlin, Fractals in Science, Springer-Verlag MANDELBROT, Benit B, Fractal: frm chance and dimensin,, Freeman, San Francisc, MANDELBROT, Benit B., The Fractal Gemetry f Nature,, Freeman, San Francisc - New Yrk MANDELBROT, Benit B.; Dann E. Passja & Alvin J. Paullay,, Fractal character f fracture surfaces f metals, Nature (Lndn),, vl. 308 [5961], p , 722, 19 April, MANDELBROT, B. B., in: Dynamics f Fractal Surfaces,, Edited by Family, Fereydn.. and Vicsék, Tamás,, Wrld Scientific, Singapre, p RICHARDSON, L. F. The prblem f cntiguity: an appendix t statistics f deadly quarrels. General Systems Yearbk, n.6, p , 187, VICSÉK, Tamás, Fractal Grwth Phennmena,, Wrld Scientific, Singapre, /09/

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