Apresentação. José Carlos Admo Lacerda

Transcrição

1 page 1 Agradecimento Agradeço a Deus por me permitir concluir este trabalho, aos meus pais, esposa e filhos pela ajuda e apoio, assim como aos colegas que contribuíram com sugestões, críticas e observações.

2 page 2 Apresentação Este trabalho destina-se aos admiradores da Aritmética em geral e particularmente aos candidatos às instituições de ensino em que esta ciência seja uma referência. Esta edição, que ora apresenta-se, foi revista e ampliada. Além disso, procurou-se reforçar as demonstrações dos conceitos e fórmulas, sem perder-se, entretanto, a objetividade dos exercícios. Sabe-se que um trabalho deste vulto não se encerra nesta edição, portanto quaisquer novas sugestões podem ser encaminhadas para o endereço na contra capa. Desde já agradece-se as novas proposições. Atenciosamente José Carlos Admo Lacerda Março de 2.009

3 page 3 Sumário 1 Numeração Conjunto Correspondência Correspondência Unívoca Correspondência Biunívoca Conjuntos Equivalentes Número Natural Associação de Elementos e Símbolos Numeração Divisão da Numeração Sistema de Numeração Base de um Sistema de Numeração Ordens e Classes Ordem Classe Princípios da Numeração para uma Base Qualquer Primeiro Princípio: da numeração falada Segundo Princípio: da numeração escrita Numeração Decimal Sistema de Numeração Decimal Princípios da Numeração Decimal Classes e Ordens Nomenclatura das Classes Formação e Leitura dos Números Polidígitos Numerais Numerais Cardinais e Numerais Ordinais

4 page 4 4 SUMÁRIO Leitura dos Numerais Valores Posicionais dos Algarismos Propriedades Quantidade (Q) de Algarismos, na Sucessão dos Números Naturais, de 1 até N Lei de Formação da Quantidade de Algarismos Cálculo Simplificado de Q em Função de N, e vice-versa Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Operações Fundamentais (em N) Introdução Adição Propriedades Exercício Complemento de um Número Sucessivo (ou sucessor) de um Número Natural Exercícios Resolvidos Subtração Propriedades Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Multiplicação Propriedades Fatorial Numerais Multiplicativos Tábua de Pythagoras Exercícios Resolvidos Proposições Exercícios Propostos Divisão Notação Prova Real da Divisão Divisão Exata e Divisão Inexata Teoremas Quantidade de Algarismos do Quociente numa Divisão Exata Exercícios Resolvidos

5 page 5 SUMÁRIO Exercícios Propostos Potenciação Notação Leitura Potência Propriedades da Potenciação Nótulas Complementares Googol Proposições Representação Polinômica de um Número Natural Polidígito N Reverso de um Número Natural N Número Palíndromo Exercícios Resolvidos Proposição Estimativa da Quantidade de Algarismos de um Produto Exercícios Propostos Raiz Quadrada Exata e Raiz Cúbica Exata Introdução Quadrados Perfeitos e Cubos Perfeitos Raízes Quadradas Exatas e Raízes Cúbicas Exatas Expressões Aritméticas Tabela dos Quadrados dos Números Naturais Inferiores a Operações Internas Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Numeração Não Decimal Introdução Terminologia das Bases e Símbolos Proposição Princípios Princípio da Numeração Falada Representação nas Bases não Decimais Notações Leitura Mudanças de Base

6 page 6 6 SUMÁRIO 3.8 Operações Propriedades Tópico Complementar - Sistema de Numeração Romana Introdução Regras Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Teoria dos Números Primos Introdução Múltiplo de um Número Natural Múltiplos Comuns Divisores de um Número Natural Divisores Comuns Número Primo Reconhecimento de um Número Primo Princípio Crivo de Erathóstenes Tabela dos Números Primos Menores que Números Primos Entre Si Algumas Propriedades Decomposição em Fatores Primos Teorema Fundamental da Aritmética Forma Canônica Condição Geral de Multiplicidade Propriedades dos Quadrados e dos Cubos Perfeitos Determinação dos Divisores de um Natural N Primeiro modo: Por decomposição em fatores primos Segundo modo: Através das potências dos fatores primos Quantidade de Divisores de um Número Natural N Determinação da Quantidade de Divisores Ímpares e da Quantidade de Divisores Pares, de um Número Natural Produto dos Divisores de um Número Natural N Soma dos Divisores de um Número Natural N Soma dos Inversos (S inv ) de Todos os Divisores Inteiros Positivos de um Número Natural N

7 page 7 SUMÁRIO Soma dos Divisores Pares e dos Divisores Ímpares Números Primos com um Natural N Soma dos primos com um natural dado Casos Particulares Teorema Tópicos Complementares Divisores Próprios Número Abundante Número Defectivo Números Amigos Números Primos Gêmeos Números Primos de Mersenne Lista dos 46 Primeiros Números Primos de Mersenne Número Perfeito Teorema Propriedades dos Números Perfeitos Criptografia Introdução Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Divisibilidade Introdução Terminologias Teorema Corolário Congruência Números Congruentes Princípios Propriedades Corolário Corolário Teorema Fundamental da Divisibilidade Teorema Teorema Teorema Critérios de Divisibilidade

8 page 8 8 SUMÁRIO Principais Critérios Teorema Gaussiano Tópicos Complementares Divisibilidade por 3 m Divisibilidade por 11 m Regra dos Noves-Fora Indução Indução Empírica Indução Matemática Princípio da Indução Matemática Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum Máximo Divisor Comum - MDC Determinação do MDC Propriedades Determinação do M.D.C através das Divisões Sucessivas Exercícios Resolvidos Mínimo Múltiplo Comum (em N ) - MMC Notação Determinação do MMC Propriedades Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Números Fracionários Fração Representação das Frações Significado dos Termos Frações Homogêneas e Frações Heterogêneas Frações Homogêneas Frações Heterogêneas Leitura das Frações Frações Decimais e Frações Ordinárias Frações Decimais

9 page 9 SUMÁRIO Frações Ordinárias Frações Próprias, Impróprias e Aparentes Frações Próprias Frações Impróprias Frações Aparentes Propriedades das Frações Frações Equivalentes Simplificação de Frações Fração(ões) Irredutível(eis) Redução de Frações ao Menor Denominador Comum Operações com Frações Fração Complementar Fração de Fração(ões) Números Mistos Transformações Expressões Fracionárias Comparação de Frações Frações Inversas ou Recíprocas Frações Compostas Frações Contínuas Limitadas (noções) Frações Parciais Adição Telescópica Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Números β-cimais e Números β-nários Introdução Nomenclatura Numa Base Qualquer β Leitura dos Números Não Decimais Leitura dos Números Decimais Unidades Decimais Princípios Propriedades Números Decimais Exatos e Inexatos Números Decimais Exatos Números Decimais Periódicos Classificações dos Números Irracionais

10 page SUMÁRIO 8.8 Quociente com Aproximação Regra Notação das Dízimas Periódicas Classificação das Dízimas Periódicas Dízimas Periódicas Simples Dízimas Periódicas Compostas Geratrizes de Números β-cimais e β-nários Cálculo das geratrizes de período p, onde p = β Exercícios Propostos Natureza de uma Fração Ordinária Estimativa da Quantidade de Algarismos do Período de uma Dízima Teorema Quantidade Exata de Algarismos do Período Teorema Teorema Operações com Números Decimais Mudanças de Base Envolvendo Números β-nários e β-cimais Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Radiciação Radiciação Notação Raiz Quadrada Raiz Quadrada Exata de um Número Natural N Raiz Quadrada de um Número Natural N com Aproximação de uma unidade por falta Teorema Teorema Teorema Raiz Quadrada de Frações Ordinárias Raiz Quadrada de Números Decimais Raiz Quadrada de um Número Natural N com uma Aproximação Fracionária de Unidade Exercícios Propostos Raiz Cúbica Raiz Cúbica Exata de um Número Natural N

11 page 11 SUMÁRIO Extração da Raiz Cúbica de um Número natural N com Aproximação de uma unidade por falta Teorema I Teorema II Teorema III Raiz Cúbica de Frações Ordinárias Raiz Cúbica de Números Decimais Extração da Raiz Cúbica de um Número N com uma Aproximação n/d de Unidade Exercícios Propostos Sistema de Unidades de Medidas Introdução Grandeza Medição de Grandeza Unidade de Medida Grandezas Homogêneas e Grandezas Heterogêneas Grandezas Homogêneas Grandezas Heterogêneas Prefixos Medidas de Comprimento Unidade Fundamental metro (m) Conceitos Decorrentes Múltiplos e Submúltiplos Resumo Medidas de Superfície Unidade Fundamental metro quadrado (m 2 ) Múltiplos e Submúltiplos Resumo Área Área das Principais Figuras Planas Medidas de Volume Unidade Fundamental metro cúbico (m 3 ) Múltiplos e submúltiplos Resumo Volume (V) dos Principais Sólidos

12 page SUMÁRIO Medidas Agrárias Unidade Fundamental - are (a) Múltiplos e Submúltiplos Resumo Medidas de Capacidade Unidade Fundamental - Litro (L ou l ) Conceito Decorrente Múltiplos e Submúltiplos Resumo Medidas de Massa Unidade Fundamental- Quilograma (kg) Conceito Decorrente Múltiplos e Submúltiplos Resumo Quadro Sinóptico Unidades Norte Americanas Exercícios Propostos Arredondamento, Notação Científica e Ordem de Grandeza Arredondamento Critérios de Arredondamento Exercícios Propostos Notação Científica Exercícios Propostos Ordem de Grandeza Introdução Definição Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Razões e Proporções Razão Notação Exercícios de Fixação Escala Notação Exercícios Propostos

13 page 13 SUMÁRIO Razões Iguais Teorema Exercícios Propostos Proporção Proporção Aritmética Proporção Geométrica Proporção Contínua Estudo das Proporções com Quatro Termos Proporção Aritmética Propriedade Fundamental Proporção Geométrica Propriedade Fundamental Terminologias Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Proporção Contínua com Quatro Termos Média Diferencial Média Proporcional Terceira Proporcional Quarta Proporcional Relações entre Grandezas Exercícios Propostos Divisão Proporcional e Regra de Sociedade Divisão Proporcional Propriedades Divisão em Partes Diretamente Proporcionais Divisão em Partes Inversamente Proporcionais Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Regra de Sociedade Exercícios Propostos Médias Introdução Médias Simples Média aritmética simples (M a.s )

14 page SUMÁRIO Média geométrica simples (M g.s ) Média harmônica simples (M h.s ) Relação entre as médias simples de dois números Médias Ponderadas Média aritmética ponderada (M a.p ) Média geométrica ponderada (M g.p ) Média harmônica ponderada (M h.p ) Tópicos Complementares Média e Extrema Razão - Número de Ouro Seqüência de Fibonacci O Número de Ouro e a Seqüência de Fibonacci Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Medidas Complexas e Medidas Incomplexas Medidas Complexas Medidas Incomplexas Redução de Medidas Primeiro caso: De medidas complexas para incomplexas Segundo caso: De medidas incomplexas em complexas Operações com Medidas Complexas Tópicos Complementares Ângulo Plano Unidade de Tempo Ano Bissexto Unidades de Velocidade Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Regra de Três Conceito Análise e Resoluções Teóricas com Regra de Três Exercícios Resolvidos Regra Conjunta Exercícios Propostos

15 page 15 SUMÁRIO Porcentagem e Misturas Porcentagem Principal Taxa Taxa Centesimal (ou Percentual) Taxa Milesimal Notações Fórmula da Porcentagem Taxa Centesimal Média Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Misturas Exercícios Propostos Operações Sobre Mercadorias Preço de Custo, Preço de Compra e Preço de Venda Notações Análise Sobre a Venda Vendas com Lucro Fórmulas da Venda com Lucro Vendas com Prejuízo Fórmulas da Venda com Prejuízo Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Juros Simples Juro Notações Fórmula do Juro ao Ano (j a.a ) Fórmula do Juro ao Mês (j a.m ) Fórmula do Juro ao Dia (j a.d ) Montante Taxa Média Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Miscelânea 499

16 page [CAP. 1: NUMERAÇÃO. Cuidado! A quantidade de algarismos nos intervalos 9 < Q 189, 189 < Q 2.889,... poderá gerar um número que não tenha todas as ordens (v. exerc. resolv. n o 6) Cálculo Simplificado de Q em Função de N, e vice-versa Vimos que: Q = (N + 1) α ( ) algarismos } {{ } α 1 s Se α = 1 Q = N ou N = Q Se α = 2 Q = 2N 9 ou N = Q Se α = 3 Q = 3N 108 ou N = Q Se α = 4 Q = 4N ou N = Q Observe uma lei" regendo o numerador: 9, 108, 1.107, , , Exercícios Resolvidos 1) Calcular a quantidade de números naturais sucessivos que existem, de 7 até 18. Resolução: De acordo com a 1 a propriedade, podemos facilmente ver que: [(18 7) + 1] = 12 números. 2) Escolher um algarismo significativo, qualquer, e verificar que de 0 até 10 n (exclusive) ele aparece n 10 n 1 vezes, nas 1 a, 2 a, 3 a,...n-ésimas ordens. Resolução: Seja, para efeito de demonstração, o algarismo 7. 1 o ) De 0 até 10 (exclusive) o 7 aparece uma única vez, quando escrevemos o próprio 7. 2 o ) De 0 até 100 (exclusive) deveremos analisá-lo nas, 1 a e 2 a ordens. Na ordem das unidades u o 7 aparece nos números: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87 e 97

17 page [CAP. 2: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (EM N) 45) Em uma divisão, adiciona-se 16 unidades ao dividendo e 2 ao divisor. Sabendose que o quociente e o resto não se alteraram, qual foi o quociente? 46) Numa divisão inexata, o dividendo é igual a 500 e o divisor 55. Determine o maior número que se pode subtrair do divisor sem alterar o quociente. 47) Tomando-se para divisor o quociente de uma certa divisão, em que caso se obtém, para quociente e resto, os mesmos números da primeira divisão? 48) Dividindo-se um número natural A por um outro B, obtém-se um quociente Q e um resto R. Ao aumentarmos o dividendo A de K unidades e o divisor B de L unidades, o quociente e o resto não se alteram. Determine o quociente. 49) (CN) Quantos devem ser os números naturais k, de modo que a divisão de 113k + 7 por k + 1 seja exata? 50) Observe o algoritmo seguinte: 43 r 4 q Qual é o menor número que se pode somar ao dividendo, de modo que o quociente aumente de 500 unidades? 51) Sejam D e d números naturais tais que, o resto da divisão de D por d seja igual a 4 e o resto da divisão de 14 D por d seja 17. Ache o resto da divisão de 210 D por d. Respostas: 1) 39 28) ) 86 29) R D + R 3) 72 30) 41 4) ) 95 5) 11 32) 9 6) 20 33) 96 7) ) 266 8) ) 33 9) 11 36) 3 10) 141 e 21 37) 25 11) ) 179, 183, 187, 191, 195 e ) ) q q 1 13) ) 47 14) ) 3 15) 56 e ) Não há números que satisfaçam às condições dadas 16) ) a ) 8, 16, 24, 32, 40 e 48 17) 131 b) 1, 9, 17, 25, 33 e 41 18) 13 c) 8, 30, 66, 116, 180 e ) 387 d) 8, 18, 30, 44, 60 e 78

18 page [CAP. 2: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (EM N) 2.6 Potenciação É qualquer multiplicação onde todos os fatores são iguais. Ex 1.: Ex 2.: 3 3 Ex 3.: a a a a Notação a a a a ou a } {{ } m (m N, tal que m 2) 8 m fatores Em a m = p, temos as seguintes nomenclaturas: a... base ou raiz m... expoente ou grau de multiplicidade p... potência Leitura A representação a m, lê-se: a elevado a m. Ex.: 2 4. Lê-se: dois elevado a quatro. Obs.: Quando o expoente for 2 ou 3, são utilizadas as palavras quadrado e cubo, respectivamente. Ex 1.: 3 2. Lê-se: três elevado a dois ou três ao quadrado. Ex 2.: 5 3. Lê-se: cinco elevado a três ou cinco ao cubo Potência Dá-se o nome de potência 9 a qualquer produto obtido através da potenciação. Ex 1.: Ex 2.: 2 3 = = 8, onde o 8 é a potência. 3 2 = 3 3 = 9, onde o 9 é a potência. 8 A notação a m é devida a Nicholas Chuquet ( ) e generalizada por René Descartes ( ) 9 No contexto da matemática, esta palavra é atribuida a Hipócrates de Quio (460a.c).

19 page 71 [SEC. 2.6: POTENCIAÇÃO 71 Substituindo (I) e (II) em (III), teremos: ba = ab b + a = 10a + b b b + a 10a = 36 9b 9a = 36 b a = 4 Analisando essa última igualdade, poderemos determinar os algarismos e, consequentemente, os números que satisfazem a condição do problema, ou seja: b = 9 e a = 5 N = 59; b = 8 e a = 4 N = 48; b = 7 e a = 3 N = 37; b = 6 e a = 2 N = 26; b = 5 e a = 1 N = 15 Resp.: 59, 48, 37, 26 e 15 3) (OBM) Para escrever todos os números naturais consecutivos desde 1ab até ab2, inclusive, foram utilizados 1ab1 algarismos. Determinar o número de algarismos a mais que precisaremos para escrever todos os números naturais até aab, inclusive. Resolução: (ab2 1ab + 1) 3 = 1ab1 (100a + 10b a b + 1) 3 = a + 10b + 1 (90a + 9b 97) 3 100a 10b = a + 27b 100a 10b = (10a + b) = ab = ab = 76 Portanto, de 763 até aab ( ) 3 = 14 3 = 42. Resp.: 42 algarismos 4) (CN) Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal existe um único número de dois algarismos (ab) tal que (ab) 2 (ba) 2 = (cc) 2. Calcular a + b + c. Resolução: (ab) 2 (ba) 2 = (cc) 2 (10a + b) 2 (10b + a) 2 = (10c + c) 2 100a ab + b 2 100b 2 20ab a 2 = 121c 2

20 page 81 [SEC. 2.11: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 81 4) Se a b = (a + b) 2 (b a 2 )(a + b) 2 + (b + a 2 ), determine (1 2) 3. 5) Se a b = a b 1 e x y = x 2 y 2, determine (4 2) (3 2). 6) Se 8@6 = 44, 7@6 = 43 e 7@5 = 32, calcule 8@5. 7) Se 2 3 = 7, 3 4 = 13, 5 2 = 23 e 6 1 = 37, calcule 5 (3 5). 8) Se 3 2 = 11, 5 4 = 29 e 8 7 = 71, ache ) Se 5 3 = 6, 7 4 = 12 e 8 7 = 7, calcule ) Se a b representa o maior de a e b, e a#b representa o menor de a e b, calcule o valor de: (1#(2 (3#4))) + (1 (2#(34))). 11) (CN) Dadas as operações x y = x + y, x#y = x y e x y = x y, ache o valor da expressão: [2 (8#12)] {[(3 2)#5] [10 (2#(4 2))]} 12) A operação x y = x y 3 + x 3 y, ache 2 (3 (4 (11 12))... ). 13) Se x#y = y(x+y) e x@y = y(y x), ache 1#(2@3). Huntington C. Mathematics a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 Respostas: 1) 4 2) 7 3) 1 4) 264 5) 440 6) 33 7) 29 8) 38 ou 23 9) 8 10) 10 11) 2 12) 1 13) b 2.11 Exercícios Resolvidos 1) Calcular a potência gerada por: 2 32 Resolução: 2 32 = = = 2 } {{ } } {{ } 9 = fatores 3 2 fatores Na prática, 2 32 = 2 (32) = 2 9 = ) Calcular a potência gerada por: Resolução: 1 o )

21 page 85 [SEC. 2.11: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 85 b = 2 Substituindo b em (I), teremos: a = 3 2 a = 6 Resp.: N = 62 11) Um número N é constituído por três algarismos tais que, o das centenas é o dobro do das dezenas, e o das dezenas é o dobro do das unidades. Determinar N, sabendo que a soma de seus algarismos é 14. Resolução: De acordo com os dados, temos: N = cdu... c = 2d... d = 2u... c + d + u = (I) (II) (III) (IV) Explicitando (II) em função de u, tem-se: c = 2 (2u) ou c = 4 u... (V) Substituindo (III) em (IV) teremos: 4 u + 2 u + u = 14 7 u = 14 u = 2 Substituindo u em (III), tem-se: d = 2 2, donde, d = 4 Substituindo d = 4 em (II), teremos: c = 2 4, donde, c = 8. Resp.: ) Determinar o quociente e o resto da divisão de por Resolução: = = Resp.: Quociente = 12 e resto = = 3 50

22 page [CAP. 3: NUMERAÇÃO NÃO DECIMAL 4 a ) A soma gerada por [(10 β ) n + k], k < β é, na base 10, igual a β n + k. Obs 1.: Se k = 0, então (10 β ) n = β n, ( β) 2 Obs 2.: Se k = 1, então (10 β ) n + 1 = β n + 1, β 3.10 Tópico Complementar - Sistema de Numeração Romana Introdução É um sistema de limitadas aplicações. Elas podem ser encontradas em capítulos de livros, séculos, relógios de paredes, etc. Os numerais romanos, são representados por letras e seus valores em ordem crescente são: Regras I V X L C D M (1) (5) (10) (50) (100) (500) (1.000) 1 a ) Um traço horizontal colocado sobre um número aumenta mil vezes seu valor, dois traços aumentam um milhão de vezes e assim sucessivamente. Ex.: V = V = Obs.: Os numerais 1.000, e não são representados por I, II e III e sim por: M, MM e MMM. 2 a ) Os numerais I, X, C e M podem ser escritos, seguidamente, até três vezes. Ex.: II, XXX, CCC 3 a ) Os numerais I, X e C só podem anteceder um dos dois de maior valor que lhes sucedem a ordem, isto é: Ex.: I, antes de V ou de X X, antes de L ou de C C, antes de D ou de M Obs.: Nesse caso, subtrai-se o menor do maior David Hilbert ( ).

23 page [CAP. 4: TEORIA DOS NÚMEROS PRIMOS 4.13 Quantidade de Divisores de um Número Natural N Teorema: A quantidade de divisores de um número natural N, Q D(N), é dada pelo produto dos sucessivos de todos os expoentes de seus fatores primos. Demonstração: Sabemos que, se N = a α b β c γ..., então: D(a α ) = {a 0, a 1, a 2,... a α }, ou seja, (α + 1) divisores; D(b β ) = {b 0, b 1, b 2,... b β }, ou seja, (β + 1) divisores; D(c γ ) = {c 0, c 1, c 2,...c γ }, ou seja, (γ + 1) divisores. Multiplicando-se agora os α + 1 divisores da 1 a linha pelos β + 1 divisores da segunda e, em seguida, os [(α+1) (β+1)] divisores anteriores pelos (γ+1) divisores da 3 a e, assim, sucessivamente, obteremos a quantidade, Q D(N), de divisores de N, ou seja: Q D(N) = (α + 1) (β + 1) (γ + 1)... Q.E.D Ex 1.: Determinar a quantidade de divisores de = Q D(360) = (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = = 24 Obs.: A quantidade de divisores de um número natural N é um número par, exceto quando o(s) expoente(s) do(s) fator(es) obtido(s) na decomposição em fatores primos de N for(em) número(os) par(es).

24 page 153 [SEC. 4.21: TÓPICOS COMPLEMENTARES o Slowinski e Gage o Slowinski e Gage o Slowinski o Slowinski o Armengaud e Woltman o Spence e Woltman o Clarkson, Woltman e Kurowski o Hajratwala, Woltman e Kurowski o Michael Cameron o Michael Shafer s o Josh Findley o Martin Nowak o Curtis Cooper e Steven Boone o Curtis Cooper e Steven Boone o Edson Smith o Hans-Michael Elvenich Número Perfeito É todo número igual à soma de seus divisores próprios. Ex 1.: 6 é um número perfeito 9, pois, = 6. Ex 2.: 28 é um número perfeito, pois, = 28. Ex 3.: 496 é um número perfeito, pois, = Teorema Se p for um número primo e 2 p 1 for primo de Mersenne, então 2 p 1 (2 p 1) é um número perfeito par. Demonstração: Como p e 2 p 1, é por definição um número primo, a expressão geral dos números perfeitos pares é dada por (I), onde a, b, c,... pertence ao conjunto dos números pares maiores que 2. De acordo com a definição de números perfeitos, podemos escrever: 2 n a α b β c γ = ( n )(1 + a + a a n )(1 + b + b b n )(1 + c + c c n ) 2 n a α b β c γ... 2 n+1 a α b β c γ = (2 n+1 1)(1 + a + a a α )(1 + b + b b α )(1 + c + c c α )... (1 + a + a a α )(1 + b + b b α )(1 + c + c c α ) = 2 n+1 a α b β c γ... 2 n Questão em aberto: Existem números perfeitos ímpares? Ninguém ainda os encontrou.

25 page 159 [SEC. 4.23: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS = ϕ(360) = (2 1) (3 1) (5 1) ϕ(360) = 96 7) Determinar o número de vezes que o fator primo 3 aparece na decomposição, em fatores primos, do produto dos cinquenta primeiros números naturais, a partir de 1. Resolução: Seja , a multiplicação que gera tal produto. Como nos múltiplos de 3 o fator (3), é claro, aparece em sua decomposição, apenas irão nos interessar os fatores que contenham esses múltiplos, ou seja: Decompondo-se, convenientemente, os fatores anteriormente subchaveados", teremos: } {{ } 16 fatores } {{ } 32 fatores Vê-se que de 3 1 até 3 16 o fator 3 aparece 16 vezes, logo a expressão anterior pode, também, ser escrita da forma: } {{ } 16 fatores Daqui por diante, raciocinaremos de modo análogo ao que já foi feito anteriormente. Assim sendo, a expressão anterior ficará: } {{ } 5 fatores ou } {{ } 10 fatores ou = } {{ } 5 fatores Conservando-se a base 3 e somando-se os expoentes, teremos: = Conclusão: O fator 3 aparece 148 vezes. Obs 1.: O expoente 148 poderá ser obtido somando-se apenas todos os quocientes obtidos nas divisões sucessivas do número 100 (último fator) por 3, ou seja: ou simplesmente = 16 3 = 5 3 = 1 Conclusão: O fator 3 aparece , ou seja, 22 vezes.

26 page [CAP. 5: DIVISIBILIDADE Conclusão: O número dado não é divisível por 1.000, e o resto é igual a 200. b) Divisibilidade por 9 ou por 3 b.1) Teorema Um número será divisível por 9 ou por 3, quando a soma de seus algarismos for um número divisível por 9 ou por 3. Demonstração: 1 a ) Sabemos que: 10 1 = 10 = = = 100 = = = = = n = 1 } 00 {{... 0 } 10 n = n zero(s) Vemos que qualquer potência de 10 é igual a um múltiplo de 9 mais 1. 2 o ) Seja N = abc... stu, um número com n algarismos. Explicitando-o sob forma polinômica, teremos: N = a 10 n 1 + b 10 n 2 + c 10 n s t u 10 0 ou N = a ( 9 + 1) + b ( 9 + 1) + c ( 9 + 1) + + s ( 9 + 1) + t ( 9 + 1) + u 3 o ) Desenvolvendo e ordenando convenientemente, teremos: N = a 9 + b 9 + c s 9 + t } {{ } 9 + a + b + c + + s + t + u } {{ } múlt. de 9 S alg N = 9 + (a + b + c + + s + t + u) Dividindo os dois membros por 9 e aplicando o T.F.D, teremos: N [a + b + c + + s + t + u](mod. 9) Obs.: Como todo múltiplo de 9 também é múltiplo de 3, poderemos escrever: N [a + b + c + + s + t + u](mod. 9; 3) b.1.1) Corolário O resto da divisão de um número por 9 ou por 3 é o mesmo que o resto da soma dos algarismos desse número por 9 ou por 3. Ex.: Verificar se o número é divisível por 3 e, em seguida, por 9. S alg = = 15

27 page [CAP. 5: DIVISIBILIDADE Separando de duas em duas ordens da direita para a esquerda tem-se, , cuja soma é igual a = 187 e que dividida por 11 deixa resto igual a 0. Obs.: 187( = resto 0) b) Analogamente, tem-se cuja soma é = 148, que dividida por 11 deixa resto 5. Obs.: 148 ( = 49) 11 resto5 c) Da mesma forma, , cuja soma = 299, que dividida por 11 deixa resto 2. Obs.: 299 ( = 101), 101 ( = 2 11 resto2) Obs.: O critério de divisibilidade por 11 também pode ser aplicado aos de 33 ou Regra dos Noves-Fora A regra dos noves-fora 2, abreviadamente (n.f) nos permite verificar se o resultado de uma operação fundamental, está ou não correto, aplicando o critério de divisibilidade por 9. Se por exemplo, estivermos diante de uma adição, devemos provar que a soma dos 9 s fora das parcelas é igual aos 9 s fora da soma das mesmas". Este raciocínio é análogo para qualquer operação. Ex 1.: Verificar, através da regra dos 9 s fora para a igualdade: = o ) = 12, n.f, 3; = 11, n.f, 2 2 o ) = 12, n.f, 3 3 o ) = 5, n.f, }{{} n.f, }{{} n.f,3 = } {{ } n.f,5 Observe que a soma dos 9 s fora no 1 o membro, ou seja = 5, n.f, 5 é igual aos 9 s fora da soma (5), no 2 o membro. Conclusão: A soma está correta. Ex 2.: Determinar, através da regra dos 9 s fora, o valor de y na igualdade = 792y } {{ } 3214 }{{} = 792y510 } {{ } n.f,8 n.f,1 n.f,6+y 8 1 = 6 + y y = 2 2 Podemos aplicar também a regra dos 6 s, 7 s, 11 s ou 13 s fora.

28 page [CAP. 6: MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM A B O quociente gerado por é múltiplo de A e de B, conseqüentemente, mdc (A; B) será múltiplo do mmc, ou seja, A B = mmc (A; B) k... (I) mdc (A; B) Dividindo-se, separadamente, os dois membros da igualdade anterior por B e por A, teremos: 1 o ) 2 o ) A mdc (A; B) = k mdc (A; B) B B mdc (A; B) = k mdc (A; B) A Como os quocientes gerados por conclui-se que k = 1. Substituindo k = 1 em (I), teremos: A mdc (A; B) e B mdc(a; B) são primos entre si, A B = mmc (A; B) ou ainda mdc (A; B) A B = mdc(a; B) mmc(a; B)... Q.E.D Ex.: Verificar a igualdade anterior, supondo A = 60 e B = 36. Substituindo 60 e 36 na relação anterior, teremos: = mdc (60; 36) mmc (60; 36) = = (ok!) 3 a O mmc. de dois ou mais números naturais, onde o maior é múltiplo do(s) menor(es), é o maior. Sejam A e B dois números onde A = Ḃ. Se A é múltiplo de B, então A é divisível por B, então, o mdc (A; B) = B... (I) Vimos anteriormente que A B = mdc (A; B) mmc (A; B)... (II) Substituindo (I) em (II), tem-se: A B = B mmc (A; B). Simplificando, convenientemente, teremos: mmc (A; B) = A... Q.E.D Ex 1.: mmc (3; 6) = 6, pois 6 é o múltiplo de 3. Ex 2.: mmc (4; 8; 16) = 16, pois 16 é múltiplo de 4 e 8, simultaneamente.

29 page 243 [SEC. 7.12: OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 243 D Q 1 ± D Q 2 ± D Q 3 ± = A ± B ± C ± ou D (Q 1 ± Q 2 ± Q 3 ± ) = A ± B ± C ± ou ainda, Q 1 ± Q 2 ± Q 3 ± = A ± B ± C ± D A D ± B D ± C D ± = A ± B ± C ± D Ex 1.: Ex 2.: = = = 6 : 2 8 : 2 = o caso: Com Frações Heterogêneas Regra:... Q.E.D Reduzimos as frações ao mesmo denominador, dividimo-lo por cada um dos denominadores e, em seguida, multiplicamos cada um dos quocientes obtidos pelos seus respectivos numeradores. Demonstração: Seja A B ± C D ± E ± uma operação. F 1 o ) mmc (B, D, F,...) = m 2 o ) m B = q 1 B = m q 1 ou m = B q 1 m D = q 2 D = m ou m = D q 2 q 2 m F = q 3 F = m ou m = F q 3 q o ) A B ± C D ± E F ± = A m/q 1 ± C m/q 2 ± E m/q 3 ± (I) 4 o ) A B ± C D ± E F ± = A q 1 B q 1 ± C q 2 D q 2 ± = A q 1 m ± C q 2 m (II) Como (I) é igual a (II), podemos escrever que: A B ± C D ± E F ± = E q 3 m ± A m/q 1 ± C m/q 2 ± E m/q 3 ± = A q 1 m ± C q 2 m ± Como as frações são homogêneas, teremos, de acordo com o caso anterior: A B ± C D ± E F ± = A q 1 ± C q 2 ± E q 3 ± m... Q.E.D

30 page 253 [SEC. 7.23: ADIÇÃO TELESCÓPICA Adição Telescópica Uma adição a 1 + a 2 + a a n 1 + a n é dita telescópica se somente se, existir uma outra S k, com a k = s k s k 1, gerada a partir dela, tal que a 1 + a 2 + a a n 1 + a n = s 1 s 0 + s 2 s s n 2 + s n 1 s n = s n s 0 1 Ex 1.: Efetuar da forma mais simples. e deixar a solução 1 n (n + 1) 1 n 1, n = 1, 2, 3, 4,..., 99 n Portanto = Após o cancelamento telescópico, teremos: = Ex 2.: Seja efetuar: Observe que k (k + 1) = 1 3 k (k + 1) (k + 2) 1 (k 1) k (k + 1) = = = = Somando membro a membro e fazendo o cancelamento telescópico no segundo membro, teremos: = = Exercícios Resolvidos 1) Determinar o número de unidades devemos subtrair do denominador da fração 7/45, de modo que a mesma fique três vezes maior. Resolução:

31 page 283 [SEC. 8.11: GERATRIZES DE NÚMEROS β-cimais E β-nários 283 { γ+δ alg. }} { G = ( ab... klmn... yz) β (1 } 00 {{... 0 } ) β... Q.E.D δ zero(s) Ex.: a) 2, 3 = b) 12, 345 = , simplificando-a, teremos ( ) 34 c) (3, 4) 7 = ou 10 ) d) 0, 25 8 = 25 ( 8 25 = o caso: O número decimal é periódico 1 a hipótese: Dízimas periódicas simples Propriedade: 7 8 A geratriz de uma dízima periódica simples tem para numerador o número dado sem a vírgula, menos a parte inteira, e para denominador tantos δ quantos forem o número de algarismo(s) do período. Seja (ab... kl, mn... yz) β uma dízima periódica simples com γ algarismo(s) na característica e δ algarismo(s) no período. Igualando esse número a G, teremos: G = (ab }. {{.. kl }, mn... yz) β... (I) } {{ } γ alg. δ alg. Multiplicando-se os dois membros por (10 β ) δ, teremos: (10 β ) δ G = (ab... klmn... yz, mn... yz) β... (II) } {{ } } {{ } γ+δ alg. δalg. Subtraindo (I) de (II), teremos: (10 β ) δ G G = (ab... klmn... yz, mn... yz) } {{ } } {{ } β (ab }. {{.. kl }, mn... yz } {{ } γ+δ alg. δ alg. γ alg. δ alg. G ((10 β ) δ 1) = (ab... klmn... yz) β (ab } {{ } }. {{.. kl } γ+δ alg. γ alg. γ alg. γ+δ alg. { }} { { }} { G = ( ab... klmn... yz) β ( ab... kl) β (10 β ) δ 1 ) β ) β

32 page 307 [SEC. 8.20: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 307 7) Transformar 2, para a base 3. Resolução: 1 o ) 2, = Mas, = 23 9 e o ) 23 9 = 212 (3) 100 (3) = 2, 12 (3) Portanto 2, = 2, 12 (3) 8.20 Exercícios Propostos 1) Desloque a vírgula convenientemente: a) 0, b) 4, c) 0, d) 247 : 10 e) 237 : 100 f) 4, g) 0, h) 4, i) j) 0, , k) 4, l) 0, m) 0, n) o) 2, , (10 2 )

33 page [CAP. 11: ARREDONDAMENTO, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E ORDEM DE GRANDEZA = 3, ) Se A = e B = , determinar o número de dígitos do produto gerado por A B. Resolução: 2, , < A B < 2, , Fazendo A B = P, teremos: 3, < P < 4, Nos dois membros dessa desigualdade vê-se que a característica tem apenas 1 dígito e o expoente do 10 é o 16. Somando teremos a resposta, ou seja, 17 dígitos Exercícios Propostos 1) Coloque sob forma de notação científica os seguintes números: a) 200 b) c) d) 0, 3 e) 0, 05 f) 0, 008 g) h) (0, 01) 2 (0, 001) 1 i) j) k) (10 2 ) 2 l) , 5 0, 5 m) 1, , n) 9, 8 (6, ) 2 6, o) , ,

34 page 373 Capítulo 12 Razões e Proporções 12.1 Razão Razão 1 é a comparação de dois números ou duas grandezas (numa mesma unidade). Essa comparação pode ser: por subtração ou por divisão. As razões por subtração são ditas razões aritméticas, cujo resultado é uma diferença e, as razões por divisão, são ditas razões geométricas, cujo resultado é um quociente. A razão aritmética tem por objeto saber em quanto um número excede outro, e a razão geométrica indica em quantas vezes um número contém ou está contido em outro. Obs.: A razão aritmética de duas grandezas homogêneas é outra grandeza homogênea, enquanto que a razão geométrica é um número abstrato Notação a b ou a b... razão aritmética a b ou a : b... razão geométrica Obs.: a b ou a : b, lê-se: a está para b. Nessas razões a e b são denominados termos, onde o a é dito primeiro termo ou antecedente e b, segundo termo ou conseqüente. Ex 1.: Determinar a razão aritmética dos números 5 e 3. 1 Razão = Ratio = Divisão 373

35 page 381 [SEC. 12.7: TERMINOLOGIAS Propriedade Fundamental Em toda proporção geométrica com quatro termos, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos ou vice-versa. Se a : b : : c : d b c = a d ou a d = b c Ex 1.: 1 m 2 m = 2 m 4 m 2 2 = 4 1 Ex 2.: 3 cm : 4 cm : : 9 cm : 12 cm 4 9 = Terminologias I) Alternar significa trocar a posição dos meios ou dos extremos. Seja a proporção fundamental a b = c d 1 o ) a c = b, os meios foram alternados; d 2 o ) d b = c, os extremos foram alternados. a II) Inverter significa trocar, em cada razão, o antecedente pelo consequente. Invertendo-se a proporção a b = c d, teremos: b a = d c III) Transpor significa trocar a posição (ordem) das razões. Transpondo os termos da proporção a b = c d, teremos: c d = a b Ex.: A partir da proporção fundamental a b = c d Resolução: a + b, provar que a b = c + d c d 1 o ) Somando 1 aos dois membros da proporção fundamental, virá: a b + 1 = c d + 1 ou a + b = c + d... (I) b d 2 o ) Subtraindo 1 aos dois membros da proporção fundamental, virá: a b 1 = c d 1 ou a b = c d... (II) b d

36 page 401 [SEC. 13.6: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 401 Resolução: De acordo com a sentença podemos simplesmente escrever: F = k m 1 m 2 d 2 6) (CN) Uma grandeza X é diretamente proporcional às grandezas P e T, e inversamente proporcional ao quadrado da grandeza W. Quando aumentarmos a grandeza P de 60% e diminuirmos a grandeza T de 10%, haverá uma variação na grandeza W. Determinar essa variação. Resolução: De acordo com o enunciado podemos escrever: X = k P T W 2... (I) X = k X = k 1, 6 P 0, 9 T (W α) 2 1, 44 P T (W 2 α 2 )... (II) Para que (I) seja igual a (II), devemos ter: α 2 = 1, 44 α = 1, 2 Como W foi multiplicado por α, teremos: W 1, 2 = W + 0, 2W = W + 20% W. Portanto, a grandeza W aumenta de 20% Exercícios Propostos 1) Para cada sentença, escreva a equação empregando a constante k de proporcionalidade: a) O comprimento C de uma circunferência varia diretamente proporcional ao seu diâmetro d; b) Uma força constante F atuando sobre um corpo, produz uma aceleração a que é diretamente proporcional a sua força e é inversamente proporcional à massa m do corpo; c) O período T de vibração de um pêndulo é diretamente proporcional à raiz quadrada de seu comprimento l; d) A intensidade I de uma onda sonora, varia proporcionalmente ao quadrado da freqüência n, ao quadrado de amplitude r, à velocidade v do som e à densidade d de um meio sem interferência;