A matemática do GPS. Figura 1 (site )

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1 A mtemáti do GP érgio Ales IME - UP O estdo d esfer e de ses elementos fi ntrlmente ontetlizdo qndo eplormos s ssoição om o gloo terrestre. Coneitos geográfios omo prlelos, meridinos, ltitdes, longitdes e fsos horários estão sedos em importntes idéis geométris, e o esteleimento ds relções entre eles ondzem prolems geométrios relentes ej, por eemplo, []. Neste rtigo eremos qe o estdo d posição relti de ds o mis esfers e relção entre oordends geográfis e rtesins onstitem fndmentção mtemáti neessári pr o entendimento de lgns modernos sistems de negção por stélites, em espeil do GP. O qe é e omo fnion o GP? A sigl GP nd mis é do qe reitr pr Glol Positioning ystem sistem de posiionmento glol. Trt-se de m onstelção de inte e qtro stélites, oritndo em torno d Terr m ltr proimd de 0.00 km im do níel do mr, permitindo reeptores onheer s posição em qlqer lgr sore Terr om m notáel preisão. Figr site.grmin.om O projeto foi iniido em 97 pelo Deprtmento de Defes dos Estdos Unidos om o propósito de qe erones e nios militres pdessem determinr, em qlqer irnstâni de tempo, s posição et. Ajd REVITA DO PROFEOR DE MATEMÁTICA 59, 00

2 no lnçmento de mísseis e lolizção de trops terrestres em moimento form otrs neessiddes qe motirm tl projeto. Os projetists do GP tmém o plnejrm pr so iil, porém om preisão menor do qe pr s operções militres. O sistem NAVTAR Nigtion tellite Timing nd Rnging ferição de tempo e lolizção por stélite de negção, nome ofiil ddo pelo Deprtmento de Defes dos Estdos Unidos o GP, onsiste em m segmento espil os stélites, m segmento de ontrole s estções terrestres de gerenimento e m segmento do sário. Os inte e qtro stélites qe formm o segmento espil do GP trfegm em torno d Terr em seis órits estáeis e predeterminds om qtro stélites em d órit. Os stélites perorrem m órit omplet d hors e d stélite tem 8 o de islizção sore Terr. Isso ssegr qe todo ponto d sperfíie terrestre, em qlqer instnte, estej islizdo por pelo menos qtro stélites. Váris áres d Terr são, por lgns momentos, islizdos por té dez stélites. Todos os stélites são ontroldos pels estções terrestres de gerenimento. Eiste m estção mster, lolizd no Colordo Estdos Unidos, qe, om o ilio de ino estções de gerenimento esplhds pelo plnet, monitor o desempenho totl do sistem, orrigindo s posições dos stélites e reprogrmndo o sistem om o pdrão neessário. Após o proessmento de todos esses ddos, s orreções e os sinis de ontrole são trnsferidos de olt pr os stélites. Figr site.grmin.om Afinl, de qe mneir o GP determin lolizção de m ponto sore sperfíie terrestre? Cd m dos stélites do GP trnsmite por m rádio m pdrão fido, qe é reeido por m reeptor n Terr segmento do sário, fnionndo omo m ronômetro etremmente rdo. O reeptor mede OCIEDADE BRAILEIRA DE MATEMÁTICA

3 diferenç entre o tempo qe o pdrão é reeido e o tempo qe foi emitido. Ess diferenç, não mis do qe m déimo de segndo, permite qe o reeptor lle distâni o stélite emissor mltiplindo-se eloidde do sinl proimdmente, m/s eloidde d lz pelo tempo qe o sinl de rádio leo do stélite o reeptor. Ess informção loliz m pesso sore m imginári sperfíie esféri om entro no stélite e rio igl à distâni im lld. Cd stélite é progrmdo pr emitir o qe se hm efeméride, qe inform s posição et, nqele instnte, em relção m fido sistem ortogonl de oordends. Tl posição é permnentemente rstred e onferid pels estções terrestres de gerenimento. A nidde reeptor proess esses sinis. Com posição do stélite e distâni im lld otém-se hmd eqção gerl d imginári sperfíie esféri. Coletndo-se sinis otidos por qtro stélites, o reeptor determin posição do sário llndo- omo interseção ds qtro sperfíies esféris otids. A lolizção é dd, não em oordends rtesins, ms por meio ds oordends geográfis ltitde, longitde e eleção. A preisão do tempo é essenil n operção do GP. Um erro de m miro segndo 0 - segndo no registro do lpso de tempo desde trnsmissão té s reepção reslt nm erro de 00 metros. Uniddes reeptors do GP etremmente preiss e rs! podem determinr s posição menos de m metro. Com o fim d gerr fri, o GP psso ofereer m preisão mito mior pr o sário iil, disponiilizndo ele mesm preisão qe só os militres tinhm há lgm tempo. Hoje em di, om o ílio do piloto tomátio e do GP, m erone iil é pz de perorrer distânis trnstlântis e posr sem interferêni do piloto om erro de lgns entímetros em relção o eio d pist. A negção é fnção primári do GP, sendo sdo em erones, nios, eílos e por indiídos qe sm o reeptor portátil de olso. Atlmente o GP tem se mostrdo útil em dierss sitções, ds qis destmos lgms:. Roteirist de igens: determinm lém d s posição dentro de m idde, qis s trções e pontos trístios mis próimos, hotéis, postos de emergênis, et.. Monitormento de los sísmios: tis los são preedidos por lterções no mpo gritionl qe distorem s onds de rádio, permitindo, trés do GP, tentr preer oorrêni de m terremoto om lgms hors de nteedêni.. Meteorologi: o GP ger informções pr preisão d meteorologi, estdo do lim e otros mpos de pesqis reliondos. REVITA DO PROFEOR DE MATEMÁTICA 59, 00

4 . Lolizção pr resgte: o seriço s o GP pr gir heliópteros de soorro té o lgr do idente. 5. Aplições indstriis: áres infetds por pestes são identifids por fotogrfis éres e, om o so do GP, m trtor pode ser gido pr plições de pestiids.. Uso militr: oordends de tqe, orientção e ontrole pr mísseis lístios, mrção de rtilhri, omrdeio de erones, defes ére, rstremento de smrinos, lolizção de mins e rdres inimigos, tos terrorists, et. 7. Uso em segrnç: monitormento de trens, minhões de rg o qlqer eílo tomotor. Nos prágrfos segir pretendemos distir, do ponto de ist mtemátio, o método tilizdo pelo GP n determinção d posição de m ponto sore sperfíie terrestre. A sperfíie esféri em oordends rtesins Nest seção trlhremos nm sistem ortogonl de oordends rtesins em três dimensões om origem O: ddo m ponto P, y, z do espço, m dpl plição do Teorem de Pitágors ej figr mostr qe distâni de O P é epress por d O, P y z Mis gerlmente, distâni entre os pontos P, y, z e C,, é dd pel fórml d P, C y z OCIEDADE BRAILEIRA DE MATEMÁTICA

5 z y z P, y, z O y y Figr endo r m número rel positio e C m ponto fido, o onjnto dos pontos do espço j distâni C é igl r é hmdo sperfíie esféri de entro C e rio r. e C,,, então é desrit omo o onjnto dos pontos P, y, z tis qe - y - z - r A eqção é denomind eqção redzid de. Assim, por eemplo, y - z é eqção redzid d sperfíie esféri de entro C -,, 0 e rio r. Desenolendo os qdrdos em, otemos y z y z r qe é m eqção d form 0 y z y z d 0 onde,, e d são números reis. A eqção é hmd eqção gerl de. Assim, sperfíie esféri de entro C -,, 0 e rio r tem omo eqção gerl y z y 0 REVITA DO PROFEOR DE MATEMÁTICA 59, 00

6 ejm e ds sperfíies esféris de entros distintos C e C, respetimente. endo r e r, r r, ses respetios rios, emos qe é zio se e somente se d O, O > r r o d O, O < r r é m ponto se e somente se d O, O r r o d O, O r r é m irnferêni se e somente se r r < d O, O < r r Um pro desse fto pode ser enontrd em [] e sgerimos o leitor qe elore desenhos ilstrndo d m ds possiiliddes. O resltdo segir desempenh m ppel importnte n fndmentção mtemáti do fnionmento do GP. Teorem e qtro sperfíies esféris se intersetm e ses entros são não oplnres, então ess interseção onsiste em m únio ponto. Pro ejm,, e sperfíies esféris de entros C, C, C e C, respetimente. Mostrremos qe, se eiste m ponto P tl qe P e C, C, C, C endo não são oplnres, então { P} y z j j y j z d j 0 s eqções geris de j, onde j,,,, o strirmos ests eqções, ds ds, otermos eqções lineres em, y e z, m ez qe os termos, y e z são elimindos. Um tl eqção liner determin m plno qe ontém orrespondente interseção. Por eemplo, strindo s eqções de e, otém-se eqção de m plno qe ontém. Considerndo-se os plnos qe ontêm, e temos qe, se P, y, z está em, então, y, z é solção do sistem liner io, denomindo omo istem Liner. y z d d 0 OCIEDADE BRAILEIRA DE MATEMÁTICA

7 REVITA DO PROFEOR DE MATEMÁTICA 59, 00 0 d d z y 0 d d z y A pro do teorem estrá termind se mostrrmos qe o istem Liner tem m úni solção, pois eistêni de dois pontos distintos em rretri ds solções distints no istem Liner. endo C j j, j, j o entro de j, j,,,, omprndo s eqções e, temos j - j, j - j, j - j de modo qe 8* Como C, C, C e C são não oplnres, sege qe o determinnte à direit é não nlo e, portnto, o istem Liner é m sistem liner om determinnte não nlo, tendo ssim m úni solção ej, por eemplo, []. Eidentemente, o simples fto de o istem Liner ter m úni solção, o qe eqile dizer qe os entros são não oplnres, não rret neessrimente qe interseção ds qtro sperfíies esféris onsiste em m únio ponto P. Em otrs plrs, hipótese φ é essenil pr lidde do teorem. É interessnte oserr qe, n sitção rel do GP, ess hipótese é omprod pel eistêni do próprio sário! A eentl solção do istem Liner nos drá o prordo ponto P desde qe pertenç simltnemente às qtro sperfíies esféris,, e. Considere, por eemplo, s sperfíies esféris: : entro 0, 0, e rio ; : entro 0,, 0 e rio 0 ; : entro, 0, 0 e rio ; : entro 0, 0, 0 e rio. es entros são não oplnres e o istem Liner é, neste so, y z 0 - z - 0 -z0

8 Este sistem tem, omo úni solção: ; y0; z0. Um erifição simples mostr qe P, 0, 0 pertene simltnemente,, e de modo qe: {,0,0 } As oordends geográfis de m ponto do espço Fiemos m sistem ortogonl de oordends rtesins om origem O no entro d Terr, o eio Oz positio pontndo n direção do Pólo Norte, o plno Oy sendo o plno do eqdor om o eio O positio ortndo o meridino de Greenih e o eio Oy positio ortndo o meridino de longitde 90 o E. Ddo m ponto P, y, z do espço, sejm θ e φ s medids dos ânglos ssinldos n Figr. z 0, 0, z B θ m<aop φ m<coa P, y, z O φ θ y, 0, 0 C A, y, 0 Figr Qndo P está sore sperfíie terrestre, os lores θ e φ im indidos orrespondem etmente à hitl ltitde e longitde do ponto P e, por isso, mnteremos mesm nomenltr pr θ e φ. OCIEDADE BRAILEIRA DE MATEMÁTICA

9 A diferenç entre OP d O, P z eleção o ltitde de P, y, z. y e o rio d Terr é hmd A ltitde, longitde e eleção são hmds oordends gráfis do ponto P. Vejmos omo relioná-ls om s oordends rtesins de P. No triânglo retânglo OPB d Figr, temos OB z os90 θ e, omo os 90 θ senθ sege qe OP y z senθ z y z Ess epressão trii θ m únio lor entre 0 e 90 qndo z > 0 e m únio lor entre -90 e 0 qndo z < 0. No primeiro so, dizemos qe ltitde de P é θ o N norte, enqnto no segndo ltitde de P é -θ o sl. Por otro ldo, no triânglo retânglo OAC temos AC y OC senϕ e osϕ OA y OA y Esss epressões definem m únio φ entre 0 e 80 qndo y > 0 e dizemos qe longitde de P é φ o E leste. Qndo y < 0, φ ssme m únio lor entre 80 e 0 e, nesse so, longitde de P é -φ o W oeste. Como eemplo, mos determinr s oordends geográfis do ponto P js oordends rtesins são dds, em metros, por P 0, 0, 0. Temos qe y z e y Logo, sen θ ; Portnto θ 0 o. 0 Como 0 sen ϕ e 0 0 osϕ, otemos φ -0 o. 0 REVITA DO PROFEOR DE MATEMÁTICA 59, 00

10 Assim, s oordends geográfis de P são θ 0 o N e φ 0 o W. pondo o rio d Terr igl, X 0 metros, temos qe eleção de P mede X 0, X 0 5, X 0 metros. Um sitção rel O eemplo io, etrído de [], retrt m sitção rel em qe m sário do GP é detetdo por qtro stélites. A tel indi s efemérides em metros de d stélite tomds em relção o nosso fido sistem ortogonl de oordends rtesins. y z télite, , , télite, , , télite, ,98 0 9, télite, , , O reeptor GP registr os segintes lpsos de tempo em segndos entre trnsmissão e reepção do sinl de d stélite. télite télite télite télite 0, , , , Note qe s informções trnsmitids no sistem GP enolem, por m qestão de preisão, dez o mis dígitos. e este eemplo for m tiidde em sl de l, torn-se impresindíel tilizção de lldors o softres om pidde de resoler sistems lineres om oefiientes dess ordem. Otr lternti, rindo mão d preisão, é trlhr om m número menor de dígitos e tilizr notção ientífi, rindo m om momento pr o professor distir s ntgens e desntgens de trlhr om plições em sl de l ej []. Mltiplindo-se d lpso de tempo pel eloidde d lz, m/s, otemos distâni entre o reeptor e d stélite. Isso permite esreer s eqções redzids ds imgináris sperfíies esféris entrds em d stélite e rios igis às distânis llds. :,8 0 y 0, 0 z, 0,9 0 : 0,9 0 y,0 0 z 0, 0 55, 0 :,5 0 y, 0 z 9,0 0,7 0 :,8 0 y 7, 0 z 5, 0 59,0 0 Desenolendo os qdrdos, otemos s respetis eqções geris, e o istem Liner é ddo por OCIEDADE BRAILEIRA DE MATEMÁTICA

11 8,,88 y 7,8 z 7,5 X 0 0 5,, y 0,8 z 85, X 0 0,95 5,79 y,99 z,95 X 0 0 j úni solção é 0,50 X 0 7, y 0,0978 X 0 7 e z 0,775 X 0 7. O ponto P om esss oordends rtesins pertene simltnemente às qtro imgináris sperfíies esféris e ss oordends geográfis, llds omo no prágrfo nterior onsiderndo o rio d Terr medindo,78 X 0 metros, são Ltitde: θ o N; Longitde: φ 0 o E; Eleção: 99,7 metros. Consltndo m tls geográfio o m gloo terrestre, identifimos posição desse sário do GP omo sendo idde de Djnet, lolizd nos Montes Tássili, n fronteir entre Argéli e Líi. Referênis iliográfis [] ALVE,. A geometri do gloo terrestre, II Bienl d oiedde Brsileir de Mtemáti, 00 disponíel pel Internet no site.iensm.f.r. [] AME, P. Um professor de olho ns plições, em Aplições d Mtemáti Esolr, MAA e NCTM trdção de Dominges H., Atl Editor, 997. [] LIMA, E. L. Coordends no espço, Coleção do Professor de Mtemáti, BM, 99. [] NORD, G. D., Jon, D nd Nord, J. The mthemtis of the Glol Positioning ystem, The Mthemtis Teher, ol. 90, nº, eptemer, 997. ite:.grmin.om REVITA DO PROFEOR DE MATEMÁTICA 59, 00