Universidade Virtual Africana 1

Transcrição

1

2 Universidade Virtual Africana 1 Notícia This document is published under the conditions of the Creative Commons Este documento é publicado sobre as condições comuns de criação Attribution License (abbreviated cc-by ), Version 2.5.

3 Universidade Virtual Africana 2 Índice I. A programação linear... 3 II. Pré requisitos do Curso ou Conhecimentos... 3 III. Duração... 3 IV. Material... 3 V. Fundamentação do Módulo... 5 VI. Conteúdo Visão geral Outline Conteúdo Organização gráfica... 8 VII. Objectivo geral (s)... 9 VIII. Objectivos de aprendizagem específicos IX. Actividades de Ensino e aprendizagem X. Actividades de aprendizagem XI. Lista complete de todos os conceitos chave XII. Lista compilada de leituras obrigatórias XIII. Lista compilada de recursos multimedia (optional) XIV. Lista compilada de links úteis XV. Síntese do Módulo XVI. A avaliação formativa e sumativa XVII. Referências XVIII. file structure XIX. Principal autor do módulo... 96

4 Universidade Virtual Africana 3 I. A programação linear por David KJ Mtetwa II. Pré-requisitos do Curso ou Conhecimentos Os pré-requisitos do curso são Matemática Básica e Álgebra Linear, que são oferecidos neste programa de graduação. O Conhecimento de independência linear, base, operação de matriz, inversas, desigualdades, espaços vectoriais, conjuntos convexos e gráfico de pilotagem é essencial. Estes conceitos e habilidades geralmente são abordados em curso de pré-requisito (ou equivalentes) acima mencionados e constituem uma base sólida de conhecimentos importantes exigida para realizar este módulo. Uma compreensão básica desses conceitos relacionados e razoável competência em habilidades relacionadas com manipulação (como matriz e gráfico representações e manipulações algébricas associadas), são bagagens (background) de conhecimentos essenciais para este módulo. A familiaridade com esses conceitos e habilidades básicas, que são assumidas no âmbito deste módulo, deve ser assegurada antes de continuar com o módulo. III. Duração A duração total recomendada para este módulo é de pelo menos 120 horas de estudo, com a Unidade 1 tendo 40 horas [20 horas para cada uma das duas Actividades], e a unidade 2, tendo 80 horas [20 horas para a primeira actividade, 34 horas para a segunda actividade e 20 horas para a terceira actividades, e as restantes 6 horas em actividades de avaliação, sendo para a pré-avaliação (2 horas) e sumativa (4 horas). IV. Material Os alunos devem ter acesso às leituras fundamentais especificadas mais à frente. Além disso, eles terão um computador para ter acesso completo às leituras prioritárias. Além disso, os alunos devem ser capaz de instalar o programa de computador wxmaxima e

5 Universidade Virtual Africana 4 Gráfico e usá-los para praticar conceitos algébricos. Estes devem ser considerados como materiais de aprendizagem para facilitar o acesso e processamento dos principais conceitos e habilidades que constituem o curso. Os seguintes materiais são necessários para se envolver com o módulo de forma significativa e, esperançosamente, completá-lo com sucesso: A edição impressa do módulo do estudante; um computador com ligação eficaz à Internet e Microsoft Office 2003 ou superior; uma calculadora científica ou programável; material gráfico de plotagem; CDs com materiais retirados de sites recomendados no módulo; CDs com software matemático como o MathType ou WinShell, Gráfico, wxmaxima, e pelo menos um programa linear, que é livre para fazer download, recomendam-se leituras de textos identificados no módulo. [As leituras recomendadas também pode estar em formato impresso].

6 Universidade Virtual Africana 5 V. Fundamentação do Módulo A importância da programação linear deriva em parte de suas muitas aplicações e em parte, da existência de boas propostas gerais para descobrir soluções óptimas. A programação linear é útil para guiar decisões relativas a quantidade - feita nos negócios, empresas de engenharia industrial, e de forma menor em actividades dentro da vida e ciências sociais. As habilidades de programação linear irão ajudar os professores em alguns aspectos de sua própria gestão de actividades da vida pessoal e nas suas práticas profissionais. Este módulo actua de forma suave e não intimidatória a entrada no mundo da Matemática, da programação linear dinâmica, redes e operações de investigação para os alunos que irão desenvolver algum interesse in majoring those fields. Assim também: a) É importante em si mesmo, como um curso de nível de graduação em matemática, porque introduz no aluno de matemática novos conceitos matemáticos com estilo distinto do pensamento matemático; b) Integração de bons conceitos teóricos com suas aplicações práticas - Tanto de matemática e do quotidiano - a vida na natureza; c) É necessária para o futuro professor de ciências e matemática, porque dias e os jovens alunos da escola moderna são predispostos a um intervalo de carreiras de interesse, muitas das quais seriam facilitadas por uma preparação que envolve lidar com programação linear e optimização que são cobertos neste módulo.

7 Universidade Virtual Africana 6 VI. Conteúdo 6.1 Visão geral Resumo: Descrição em Prosa Este módulo introduz o aluno numa abordagem matemática especial para analisar actividades da vida real que incidem sobre a tomada de decisões específicas em situações restritas. A abordagem, chamada de programação linear, é aqui apresentada com ênfase na valorização do estilo de pensamento e interpretação dos enunciados matemáticos gerados, em vez de competência computacional, por si só, que são deixados para rotinas de pacotes de software apropriados, adequados e disponíveis em TIC. O módulo começa com a Unidade 1 que consiste em duas actividades principais: Actividade 1, formulação de um problema de programação linear, que é uma descrição matemática da situação problemática em questão e Actividade 2, a abordagem geométrica considerada uma descrição visual de uma solução plausível à situação problema. A Unidade 1, portanto, deve mover o aluno no sentido de uma apreciação das situações das actividades da vida real em que podem ser modelados como problemas de programação linear. Com três principais actividades, a Unidade 2 considera algoritmos computacionais para encontrar plausíveis soluções e óptimas para o problema de programação linear situações do tipo formulada na Unidade 1. Actividade 3 examina as condições óptimas de uma solução, que é realmente de reconhecendo quando alguém está se movendo e chegando a uma candidata e melhor solução. Actividade 4 discute a peça central de métodos algébricos computacionais de ataque, o famoso algoritmo Simplex. Este módulo centra-se na lógica do algoritmo e na útil associação das propriedades qualitativas de dualidade, degeneração, e eficiência. Os toques finais sobre a actividade do problema de estabilidade e obtenção de óptimas soluções em relação às variações de entrada específicas ou factores específicos de saída nas restrições e funções objectivas. Este é assim chamado optimização de análise de sensibilidade e é apresentado aqui apenas ao nível da valorização das estratégias analíticas empregadas.

8 Universidade Virtual Africana 7 Fluxo de Aprendizagem Unidade 1 Identificar, descrever, compreender e apreciar as situações problema do programa linear geral e as soluções plausíveis para isso. Unidade 2 Estratégias computacionais para buscar soluções de problemas de programação linear, reconhecendo melhores soluções, e considerações eficientes potenciais. 6.2Conteúdo Unidade 1: O problema de programação linear Formulação de um problema de programação linear. o O problema de programação linear geral o O problema de programação linear padronizado Interpretação geométrica de uma solução de um problema de programação linear. o Duas dimensões o Mais de duas dimensões Unidade 2: Algoritmos Computacionais Procurar e reconhecer uma possível solução: condições de optimização para funções objectivas de um problema de programação linear. o Boundedness o Convergência Interpretação algébrica da solução para um problema de programação linear. o O algoritmo do (Big M) o O algoritmo Simplex o Degenerescência o Eficiência o A noção de dualidade o O simplex primário o O simplex duplo Considerações sobre a estabilidade de uma solução: uma análise de sensibilidade. o Análise marginal

9 Universidade Virtual Africana 8 o Análise paramétrica 6.3 Organização gráfica

10 Universidade Virtual Africana 9 VII. Objectivo geral (s) Após a conclusão deste módulo os alunos devem: a) Ter uma apreciação geral dos tipos de problemas que são passíveis de análise utilizando programação linear. b) Ser capaz de formular problemas de programação linear e resolvê-los usando técnicas geométricas lineares e algébricas. c) Ser capaz de usar pacotes de software matemático para resolver problemas de programação linear. d) Ser capaz de discutir algumas noções de álgebra linear e geometria com contexto concreto/ prático. e) Ter desenvolvido alguma familiaridade com a linguagem da pesquisa de operações. f) Ter desenvolvido um senso de pensamento algorítmico.

11 Universidade Virtual Africana 10 VIII. Objectivos de aprendizagem específicos (Objectivos instrucionais) Você deve ser capaz de: 1. Identificar eficazmente modelos adequados com problemas de programação linear. 2. Aplicar o conhecimento das desigualdades para resolver problemas relacionados com optimização. Você deve proteger o seu conhecimento de matemática da escola em: 1. Funções lineares e equações simultâneas. Você deve explorar as oportunidades das TIC em: 1. Usando software de desenho gráfico para investigar as funções lineares. 2. Usando o software Computer Algebra Systems (CAS) para resolver sistemas lineares. Unidade Objectivos a alcançar Formulação do problema o O aluno deverá ser capaz de identificar / reconhecer uma situação de optimização de decisão na vida real fazendo actividades. o O aluno deve ser capaz de produzir um modelo matemático utilizando a linguagem apropriada. Formulação do problema o O aluno deverá ser capaz de descrever, explicar, e aplicar condições de optimização par especificar problemas de programação linear. o O aluno deve ser capaz de descrever the under lying lógica do algoritmo Simplex. o O aluno deve ser capaz de relacionar a solução algébrica com a solução geométrica. o O aluno deve ser capaz de executar o algoritmo Simplex em problema de situação específica que um software de programação linear adequado, e interpretar a solução resultantes. o O aluno deverá ser capaz de explicar o significado da dualidade e descrever o seu papel na busca de soluções de

12 Universidade Virtual Africana 11 problemas de programação linear. o O aluno deverá ser capaz de descrever os efeitos de realizar uma análise de sensibilidade para uma determinada solução de programação linear. o O aluno deverá ser capaz de descrever um processo para a realização de uma análise de sensibilidade a uma determinada solução óptima.

13 Universidade Virtual Africana 12 IX. Actividades de Ensino e aprendizagem Pré-avaliação Título da pré-avaliação: Teste Básico de Ideias Algébricas Justificativa: Para verificar a familiaridade com alguns conceitos assumidos no módulo. Perguntas 1. Qual dos seguintes é linear: a) b) c) d) 2. Qual dos seguintes normalmente não denota um vector: a) b) c) d) 3. A matriz é: a) b) c) d) 4. Uma matriz singular é aquela que: a) é simples b) é invertível c) não é invertível d) tem um factor determinante? 5. A matriz tem posição: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 6. Considere a equação linear. Qual dos gráficos satisfaz esta a desigualdade? NB A região pretendida é a sombreada

14 Universidade Virtual Africana 13 a) b) c) d) 7. Se para alguns números a, b, c, então, para alguns números positivo d a) Verdadeiro b) FALSO 8. Qual dos seguintes não está directamente associado com o método de eliminação de Gauss: a) Redução da matriz de forma escalonada. b) Determinar a consistência de um sistema. c) Encontrando inferior ou superior da matriz triangular. d) Utilizar operações elementares para reduzir um sistema de equações. 9. Qual é a transporta da matriz A? d 10. Qual dos seguintes mostra um conjunto convexo?

15 Universidade Virtual Africana 14 (a) (b) (c) (d) NB Um objecto é convexo se para cada par de pontos dentro do objecto, cada ponto no segmento de recta que os une é também parte do objecto. 1. A sequência {1 / n} é limitada inferiormente por: a) 1 b) ½ c) 0 d) n, onde n é muito grande? 12. Em um valor opcional de uma função: a) A função atinge um valor máximo local. b) A função atinge um valor mínimo local apenas. c) A função atinge um valor máximo ou mínimo. d) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira? 13.O seguinte é um exemplo de uma função descontínua. 14. Uma base de um espaço vectorial: a) Tem vectores linearmente dependentes. b) É um conjunto único de vectores de uma unidade. c) Tem vectores da base que se estendem por todo o espaço vectorial. d) Pode incluir o vector zero. 15. Qual destas sequências não converge? a) {(sin (n)) n /} b) {ln (n)} c) {1 / n} d) {(n +1) / n} 16. Uma função é dita ser limitada se:

16 Universidade Virtual Africana 15 a) Ela é definida no intervalo aberto. b) É limitada acima e abaixo apenas. c) É limitada apenas acima. d) É limitada apenas abaixo? 17. O determinante da seguinte matriz é a seguinte: a) 11 b) 24 c) 21 d) Maximizar a geração de lucros pode ser equivalente à minimização dos custos de produção: a) VERDADEIRO b) FALSO? 19. Um vector tem: a) Só magnitude b) Só direcção. c) Só magnitude e direcção. d) Apenas direcção, magnitude e campo? 20. Um subespaço do espaço vectorial: a) Também é um espaço vectorial. b) Não é um espaço vectorial. c) Não é um espaço linear. d) É a metade de um espaço vectorial? Respostas Chaves 1.b (A e C são funções parabólicas, d tem uma função periódica cosx). 2. a (a tem magnitude, mas não tem direcção, c geralmente denota um vector ou matriz, b e d são vectores). 3. a (a matriz tem 3 linhas e 5 colunas e por isso é uma matriz 3 por 5). 4. c (uma matriz singular é uma matriz com determinante zero e por isso não invertível). 5. d (o posto de uma matriz é o número de linhas diferentes de zero e aqui eles são três). 6. a (o gráfico de d dá a equação, b esta sombreada na região indesejada e c tem sombra todo o plano xy).

17 Universidade Virtual Africana a (para manter a igualdade, deve adicionar um número positivo sobre o lado esquerdo). 8. c (você usa a entrada principal de cada linha para eliminar os coeficientes não nulos abaixo dele, criando assim criando uma matriz triangular superior). 9. b (para a transposição da primeira coluna se torna primeira linha, segunda coluna torna-se segunda linha e terceira coluna se torna terceira linha então a resposta é b). 10.c (c é a única forma em que quando dois pontos na região estão unidas por uma linha, todos os pontos da linha estão também na forma). 11. c (a seqüência é uma seqüência decrescente que se aproxima de zero). 12. c (o ponto ideal é o ponto máximo ou mínimo). 13. b (para a função, b é contínua em toda a parte, excepto em zero, portanto, descontínua). 14. c (para um vector ser chamado de base, deve ser linearmente independente e deve abranger ou gerar todo o espaço do vectorial). 15. b (a e c convergem para zero, d converge para 1). 16. b (a função é limitada se for limitada acima e abaixo). 17. b (basta multiplicar os termos da diagonal). 18. a (se você minimizar os custos de produção, então você vai maximizar o lucro). 19. c (um vector de qualidade tem tamanho e direção, por exemplo velocidade, aceleração). 20. a (um subespaço de um espaço vectorial é também um espaço vetorial ou linear, uma vez que satisfaz as três principais propriedades de um espaço vectorial). Comentário Pedagógico para Estudantes Se você ficar abaixo de 50% nesta pré-avaliação isto poderá indicar que você esqueceu alguns factos de álgebra linear. Estas podem incluir coisas como a simples definição, propriedades e procedimentos computacionais para objectos tais como matrizes, vectores, conjuntos, sistemas de equações lineares, e números reais. Nesse caso, você é encorajado a navegar através do módulo sobre noções matemáticas básicas e álgebra linear, antes de prosseguir. Se você receber mais de 50%, também é incentivado a rever o mesmo módulo, conforme necessário, enquanto continuar com este módulo. Algumas

18 Universidade Virtual Africana 17 dessas idéias básicas irão a superfície, como se presume o conhecimento de uma forma ou de outra, neste módulo.

19 Universidade Virtual Africana 18 X. Actividades de aprendizagem [Nota: todos os conceitos-chave são definidos no glossário, que é dada no ponto 11 em baixo. Sempre que uma definição é encontrada nas atividades de aprendizagem, é feita referência ao glossário para a sua articulação, enquanto as atividades de aprendizagem se concentrar em desenvolver o conceito ou habilidade que é realizada pela definição. Este é um dispositivo para minimizar a repetição.] UNIDADE 1: formulação do problema Actividade de Aprendizagem # 1: Formulação de um problema de programação linear Objectivos de aprendizagem específicos O aluno deve ser capaz de identificar / reconhecer uma situação de optimização. O aluno deve ser capaz de produzir um modelo matemático utilizando linguagem apropriada. O aluno deve ser capaz distinguir e relacionar entre as versões Standard e a forma geral. O aluno deve ser capaz representar o modelo matemático geometricamente. O aluno deve ser capaz identificar regiões viável, vértices, e convexes. O aluno deve compreender os conceitos de sistemas de equações lineares, restrição, solução viável e região viável. O aluno deve ser capaz de interpretar um problema da vida real e transformá-lo em um problema de programação linear. O aluno deve ser capaz de verificar ou verificar a solução viável. O aluno deve ser capaz de expressar o sistema de equações lineares graficamente, ou seja, o aluno deve compreender o modelo da geometria da programação linear. O aluno deve ser capaz de resolver o problema de programação linear pela abordagem geométrica. Síntese da actividade de aprendizagem O tema da programação linear tem suas raízes no estudo de inequações lineares. Nesta unidade, nós damos uma introdução à programação linear, começando com um simples problema da vida real que o aluno pode facilmente se relacionar. Na programação linear o objetivo é maximizar ou minimizar algumas funções lineares das

20 Universidade Virtual Africana 19 quantidades chamado variavéis de decisão. Estas podem ser feitas algebricamente e geometricamente. No entanto, aqui nós resolvermos problema de programação linear geometricamente. Com exemplos concretos que vamos ver como os problemas de negócios, física, química e ciências biológicas, engenharia, arquitetura, economia, agricultura e gestão são formulados. Aprender envolve uma série de actividades como a leitura sobre programação linear, optimização, pesquisa operacional, bem como a natureza das funções objectivas e restrições. As atividades de aprendizagem também pode envolver o uso extensivo pacotes de software matemáticos para resolver os problemas de programação linear. Termos-chave (ver glossário) A programação linear Formulação do Problema Função objectivo A solução óptima Restrições Solução viável Solução básica Base Variáveis básicas Dicionário Variáveis não-básicas Variável de folga Variável Excedente Variável artificial Solução Ilimitada Lista de leituras obrigatórias Linear Programming: Foundations and Extensions por Robert J. Vanderbei Último Acesso: Lecture notes on Optimization por Pravin Varaiya Último Acesso:

21 Universidade Virtual Africana 20 A gentle approach to linear programming: chapters Último Acesso: Lista de links úteis e relevantes Linear Programming Formulation Último Acesso: Linear Programming Formulation Último Acesso: An Introduction to Linear Programming and the Simplex Algorithm by Spyros Reveliotis programming/linear programming. html Último Acesso: OR-Notes J E Beasley Último Acesso: Linear Programming Último Acesso: Linear Programming Formulation Último Acesso: Descrição detalhada da actividade O aluno deverá: Ler as notas que estão disponíveis no manual recomendado, a fim de obter uma compreensão geral da formulação de um problema de Programação Linear

22 Universidade Virtual Africana 21 Discutir em grupos uma situação que pode ser interpretado como um problema de Programação Linear e sua formulação. Aqui uma pessoa descreve uma situação de maximização/minimização e permite que alguém formule essa situação. Tentar fazer o exercício dado: O aluno se referencia em páginas indicadas do livro recomendado. Abrir os links relevantes para aprofundar a compreensão dos processos de formulação de problema

23 Universidade Virtual Africana 22 Actividades de aprendizagem Problema: Um gerente está preocupado com o que fazer para maximizar os níveis de produção. Suponha que temos um agricultor comercial que produz uma variedade de produtos agrícolas numa base trimestral, que incluem milho, carne, feijão, etc. Este agricultor só pode produzir um certo número de produtos devido a várias razões. As principais limitações são do tamanho da fazenda dele(a), a quantidade de insumos que necessita, o mercado, condições climatéricas, etc. Apesar de todos esses contratempos o agricultor espera obter algum lucro depois vender a produção. Este é um exemplo típico de uma situação de problema de programação linear. Antes de definir o que queremos dizer, em geral, por um problema de programação linear, vamos considerar alguns problemas reais do mundo prático que servem para motivar e, pelo menos vagamente, para definir o assunto. Leitura Leia a secção de livros didácticos a seguir: Linear Programming: Foundations and Extensions by Robert J. Vanderbei pages 3-10 (Managing a production facility)leia também o link a seguir: The Standard Form of the Linear Programming Problem Último acesso: Notas O exemplo seguinte pode ajudá-lo a entender as anotações das leituras acima: n é o número ou a variedade de produtos produzidos pela empresa. m é o número de tipos de matérias-primas.

24 Universidade Virtual Africana 23 b i é a quantidade de ith matéria-prima, para i = 1, 2,..., m ρ i é o preço de unitário de mercado de ith de matéria-prima i, para i = 1, 2,... m em um dado momento.a ij é a quantidade de matéria-prima ith necessária para produzir uma unidade do produto jth, para j = 1,2,..., n σ j é o preço de mercado por unidade do produto jth, para j = 1,2,..., n x j é o número de produto jth produzido c j é o lucro líquido do produto jth C j X j é o lucro líquido total de x j unidades do produto j. Discussões Em pares narrar uma situação em que a Programação Linear está envolvido e, em seguida, formular o problema em um Problema de Programação Linear. Você é capaz de visualizar a formulação? A forma geral do problema de programação linear A forma geral para um problema de Programação Linear é a seguinte: Função Objectiva: Maximizar / minimizar Onde: x é a variável de decisão

25 Universidade Virtual Africana 24 n é o número de variáveis de decisão na função objectiva C j é o custo unitário ou unidade de lucro da variável de decisão jth Tais que: Restrições Tecnológicas: Para Onde Restrições de entrada Leituras An Introduction to Linear Programming and the Simplex Algorithm by SpyrosReveliotis html

26 Universidade Virtual Africana 25 Passo a Passo na formulação de um problema de programação linear Pergunta: Qual o problema de formulação de programação linear? Resposta: Problema de formulação ou de modelagem é o processo de tradução de um enunciado verbal de um problema em uma instrução matemática. Exemplo de problema de programação linear [adaptado de Koshy (1979)] Um Agricultor faz crescer tomate e ervilhas no seu pedaço de terra de 125 hectares. Custando $ dólares, fazer crescer um hectar de tomate e de $ dólares para crescer um hectare de ervilhas. No entanto, Agri Banco deu-lhe apenas $ de empréstimo. É preciso trabalhar 18 horas por dia para fazer crescer um hectare de tomate e 6 horas de trabalho para crescer um hectare de ervilhas. Ela quer dedicar 1080 horas de trabalho por todo o trabalho. Se os lucros de um hectare de tomate e um hectare de ervilhas são $ e $25 000, respectivamente. Quantos hectares de cada um deve ela fazer crescer para maximizar seu lucro total? Qual é o lucro máximo possível? Passos a seguir Pergunta: Qual é o problema do agricultor? Resposta: O problema do agricultor é querer maximizar seu lucro tendo restrições de terra disponível, custos de produção, e o número de horas de trabalho Pergunta: Quais são os constrangimentos? Resposta: i) Seja x 1 e x 2 as variáveis de decisão do número de hectares de feijão e ervilhas, respectivamente. Então restrição sobre a terra disponível. ii) O seu total de despesas crescentes são Ou restrição em despesas iii) O número total de horas de trabalho necessário é de Ou restrição no tempo de trabalho iv) and sem restrições de negatividade

27 Assim, o problema é maximizar a função lucro Universidade Virtual Africana 26 Sujeito às restrições (1) Resumo das diretrizes para a formulação do problema de programação linear a) Compreender o problema completamente. b) Descrever o objectivo. c) Descreva cada restrição. d) Definir as variáveis de decisão. e) Escreva o objectivo em termos de variáveis de decisão. f) Escrever os constrangimentos em termos de variáveis de decisão. Exercício 1 1. Formular um modelo matemático de problemas que supostamente deverão ser resolvidos pela gerente de produção e pelo controlador. 2.Dê exemplos de quatro outros campos onde a optimização exerce um papel crucial. 3. Estado as três condições que são necessárias para o problema de programação linear ser linear. 4. Vá à página 8 (do livro) de Programação Linear: Fundamentos e Extensões por Robert J. Vanderbei e fazer perguntas 1.1 e 1.2

28 Universidade Virtual Africana 27 O Problema de Programação Linear Geral Leituras Leia na página 6 do manual. Foundations and Extensions by Robert J. Vanderbei. Siga este link da internet para uma definição detalhada: t_thm-2up.pdf Discussões Encontrar colegas com quem pode conversar sobre. Vocês agora compreendem a formulação de um problema de programação linear? Se não consulte o seu tutor ou colegas que tenham captado a ideia principal. Nota A seguir, um resumo para a formulação de um Problema de Programação Linear aponta para tomar nota de: Leia toda situação do problema. Identificar e definir as suas incógnitas (variáveis e constantes). Expressar a função objectiva e as restrições em termos de variáveis. Respostas para o Exercício 1 Pergunta 1 Para responder a pergunta de verificação "Gerir uma unidade de produção" da página 3-5 de Programação Linear: Fundamentos e Extensões Pergunta 2 Algumas das principais áreas de aplicação de programação linear são: Misturando O planeamento da produção Gestão de Refinaria de Óleo Distribuição Planeamento Financeiro e económico

29 Universidade Virtual Africana 28 Planeamento de recursos humanos Blast sobrecarregar forno O planeamento agrícola Pergunta 3 Condições para um modelo matemático ser um programa linear (programação linear) são: Todas as variáveis contínuas (isto é, pode assumir valores fraccionários) um único objectivo (minimizar ou maximizar) o objectivo e as restrições são lineares ou seja, qualquer termo é uma constante ou uma constante multiplicada por um desconhecido. Pergunta Sejam X e Y nossas variáveis neste momento para produzir faixas e bobinas, respectivamente Restrição de tempo Restrições de tonelagem Função objectiva Nós reescrevemos o problema como: Maximizar De tal forma que

30 Universidade Virtual Africana 29 Actividade de Aprendizagem 2: Uma Abordagem Geométrica à Programação Linear Objetivos de aprendizagem específicos Até o final deste capítulo, o aluno deve: Ser capaz de identificar e construir equações lineares. Ser capaz de construir as regiões procuradas dado um conjunto de desigualdades, ou seja, regiões viáveis de cada Problema de Programação Linear. Ser capaz de resolver problemas de Programação Linear usando a abordagem geométrica Síntese da actividade de aprendizagem Nesta actividade, apresentamos a resolução de problemas de programação linear por geometria. Aqui olhamos para noções como a região viável, soluções viáveis, solução ideal e convexidade. Geometricamente, as restrições lineares definem um poliedro convexo, que é chamado de região viável. Como a função objectivo também é linear, portanto, uma função convexa. A linearidade da função objectivo implica igualmente uma solução óptima que só pode ocorrer em um ponto de fronteira da região viável, a menos que a função objectivo é constante, quando qualquer ponto é um mínimo global. Nota: Existem duas situações em que uma solução óptima não pode ser encontrada. Primeiro, se as limitações contradizem umas às outras (por exemplo, x 2 e x 1), em seguida, a região está vazia e não pode haver solução ideal, pois não existem soluções em todas. Neste caso, a programação linear é considerado inviável. Termos-chave (ver glossário) região viável soluções viáveis Solução óptima e convexidade conjunto de produção viável possibilidade prevista de produção ou conjunto de oportunidades Pontos extremos problemas inviáveis Hiperplano Halfspace

31 Universidade Virtual Africana 30 Conjunto convexo poliedral Cone poliedral convexo

32 Universidade Virtual Africana 31 Lista de Leituras Obrigatórias Linear Programming: Foundations and Extensions by Robert J. Vanderbei Último Acesso: Lecture notes on optimization by Pravin Varaiya Último Acesso: Lista de Links Úteis e Relevante Linear Programming: A Geometric Approach Last visited: Graphical Solution Method Last visited: 21/02/07 Linear Programming: Geometric Approach Last visited: Descrição detalhada da actividade O Aluno deverá: Ler os links dados em ordem para obter uma compreensão de resolução de problemas de programação linear pela geometria. Isto dará ao aluno um panorama geral sobre a abordagem da geometria. Analise o exemplo dado no link. Isso ajudará o aluno a compreender as etapas e os procedimentos seguidos na resolução. Faça o exercício do livro Programação Linear: Foundations andextensions by Robert J. Vanderbei

33 Universidade Virtual Africana 32 Actividades de Aprendizagem Um homem caminhando por uma linha de fronteira segmentada, de um campo Leitura Linear Programming: Foundations and Extensions by Robert J. Vanderbei página 22 secção 5. Último Acesso: Leituras suplementares Leia os links seguintes dentro numa abordagem Geométrica Linear Programming: A Geometric Approach page Último Acesso: Este link irá ajudá-lo a entender como as desigualdades gráficas identificam a procura de regiões que são chamadas regiões fiáveis em problemas de programação linear. As regiões fiáveis contêm todas as possíveis soluções e a partir delas podemos encontrar soluções optas. NOTA Quando o número de variáveis em problemas de programação linear é duas ou três as soluções fiáveis podem ser determinadas graficamente através de desenhos de gráficos de desigualdades de restrições. Os passos seguintes são essenciais quando se esta a resolver problemas de programação linear geograficamente. Passo1: Gráfico de restrições Passo 2: Identificar a região viável Passo 3: Gráfico de função objectivo (duas vezes) Passo 4: Encontrar os pontos de canto para a região de soluções viáveis

34 Universidade Virtual Africana 33 Passo 5: Avaliar a função objectivo em todos os pontos de canto viáveis por: Passo 6: Identificação do ponto óptimo Passo 7: Encontrar as coordenadas do ponto óptimo Passo 8: Avaliar a função objectivo numa solução óptima Exemplo Deixa-nos tentar seguir os passos usando o problema seguinte: Maximizar: sujeito aos: 1. O problema é passível de programação linear? Sim, se e somente se todas variáveis tem potência de 1, e eles são adicionados ou subtraídos (não divididos ou multiplicados). A restrição deve ser uma das seguintes forma (,, ou =, ou seja, as restrições de programação linear são sempre fechadas), e os objectivos devem ser de maximização ou minimização Resposta: Sim 2. Posso usar o método gráfico? Sim, se o número de variáveis de decisão é 1 ou 2 3. Usar papel milimétrico. Gráfico de restrições: 4. Sombrear a região indesejada de cada restrição de desigualdade.

35 Universidade Virtual Africana Deixar de fora os lados que não são viáveis Depois que todas as restrições são representadas graficamente uma região viável não vazia (convexa), a menos que o problema é inviável 6. Criar (no mínimo) duas linhas de valores ISO a partir da função objectivo, definindo a função objective para qualquer dois números distintos. Gráfico de linhas resultante. Por mover essas linhas paralelas, encontrará o canto ideal (ponto extremo), se ele existir. Em geral, se a região viável esta dentro do primeiro quadrante do sistema de coordenadas então, para a maximização do problema você deve mover a função objectiva paralela ISO para si mesmo longe do ponto de origem (0,0), apesar de terem pelo menos um ponto em comum com a região viável. No entanto, para a minimização de problemas o oposto é verdadeiro, isto é, você esta movendo o valor objectivo iso paralelamente para si mesmo mais perto do ponto de origem, apesar de terem em comum pelo menos um ponto com a região viável. O ponto comum fornece uma solução óptima.

36 Universidade Virtual Africana 35 Exercício 2 Leia Linear Programming: Foundations and Extension by Robert J. Vanderbei página 24 trabalhe desde os números 2.1, 2.2, 2.3, 2.5 and Nota: É necessário construir regiões viáveis Leituras adicionais Agora vá para os seguintes links e leia mais na resolução por geometria: Linear Programming: A Geometric Approach page Este é um problema de maximização em que o lucro é maximizado Linear Programming: Geometric Approach Último Acesso: Resposta para o Exercício 2 Para as obter as respostas para os exercícios dados verifique na página 449 do seu principal livro, Linear Programming: Foundations and Extensions by Robert J. Vanderbei

37 Universidade Virtual Africana 36 UNIDADE 2: RESOLUÇÃO E ANÁLISE Actividades de Aprendizagem 3: Condições de Optimização Objectivos específicos de aprendizagem Depois de estudar esta secção, deverá: Ser capaz de interpretar os derivados e a existência de optimização Ser capaz de provar os teoremas de optimização Ser capaz de explicar e provar os teoremas fundamentais da programação linear Ser capaz de verificar as condições de optimização para solucionar problemas de programação linear Ser capaz de realizar uma análise de sensibilidade para uma determinada solução ideal Síntese da actividade de Aprendizagem Nesta unidade nós queremos considerar os aspectos computacionais dos problemas de programação linear fazer uma análise de sensibilidade para determinar quão estável a solução ideal às mudanças de algumas variáveis relacionadas. Aqui a resolução é feita algebricamente, ou seja, usando as noções de dualidade, método simples, o método do Big M, e o algoritmo primal mútuo. Portanto o aluno precisa conhecimentos desde a unidade 1 em dia, para entender a unidade 2, porque a transformação do problema de programação linear na forma padrão ajuda na resolução de problemas de programação linear algebricamente. Nesta unidade faremos algumas análises usando os derivados e existência de condições de optimização. Termos Chave (ver glossário) Variáveis básicas Variáveis não básicas Matriz Aumentada Pivot Coluna Pivot Proporção teste

38 Universidade Virtual Africana 37 Quadro Ciclismo Lista de Leituras obrigatórias Linear Programming: Foundations and Extensions by Robert J. Vanderbei Último Acesso: Lecture notes on optimization by Pravin Varaiya Último Acesso: Lista de Links Úteis e Relevantes Optimality Conditions for Constrained Optimization Último Acesso: Optimality Conditions 1/lag1/node1.html Último Acesso: Alternate Optimal Solutions, Degeneracy, Unboudedness, Infeasibility

39 Universidade Virtual Africana 38 Actividades de Aprendizagem Como você sabe que eu cheguei na melhor posição? Condições de Optimização Em termos simples, condições de optimização determinadas condições que deveriam dizer-lhe que alcançaste a solução óptima para o problema de maximização se todas variáveis não básicas tenham coeficientes negativos ou zero na função objectivo, uma solução óptima foi obtida. Se você tivesse que substituir uma das variáveis não básicas com valor não negativo (desde que as variáveis sejam não negativas), então o valor da solução final é reduzido. Dai você tem certeza que a solução óptima tenha sido alcançada. Da mesma forma, para o problema de minimização, se todas variáveis não básicas têm coeficiente positivo ou zero na função objectivo, uma solução óptima foi alcançada. Leitura Para condições de optimização, para problemas de programação linear e fundamental Teorema de programação linear, leia: Linear Programming: Foundations and Extensions by Robert J. Vanderbei Último Acesso: Leituras Adicionais

40 Universidade Virtual Africana 39 Exercício 3 Olhando o exemplo em Linear Programming: Foundations and Extension by Robert J. Vanderbei, página 13, cuja solução é dada nas páginas 15 e 16. Agora faça esse exercício adaptado de Wagner (1975) Teste para condições de optimização nos seguintes problemas de programação linear Maximizar Sob reserva Solução Deixa ser o valor da função objectivo adicionar as variáveis de folga para as restrições para que tenha uma igualdade. Então escreva o sistema como Depois de passar sobre quarto interacções do método simplex você obtém um estágio onde as variáveis não básicas só podem ter valor zero. Isto para dizer que temos Esta é a condição de optimização que nos permite terminar a interacção

41 Universidade Virtual Africana 40 Actividades de aprendizagem 4: Abordagem Algébrica Objectivos específicos de aprendizagem Depois de estudarmos esta secção, você deverá: Ser capaz de interpretar os derivados e existência de optimização Ser capaz de aplicar o método (Penalte) do Big M e método simples duplo Ser capaz de diferenciar as propriedades de dualidade, algoritmo primal mutuo e algoritmo simples duplo Ser capaz de seguir os algoritmos dados passo a passo, isto é, primário mútuo e algoritmo simples duplo Ser capaz de resolver problemas de programação linear usando software matemático apropriado (Quando disponível) Síntese da actividade de aprendizagem Nesta secção iremos apreender como resolver problemas de programação linear algebricamente. O algoritmo principal que devemos seguir é o algoritmo Simplex. O algoritmo Simplex, desenvolvido por George Dantzing (1947) resolve problemas de programação linear construindo uma solução admissível no vértice do poliedro e depois caminhar ao longo das bordas do poliedro de vértices com valores sucessivamente mais altos da função objectivo até que o ideal seja alcançado. Embora este algoritmo seja efiente na pratica e pode pode ser garantido para encontrar um optimo global, se determinadas precauções contra ciclismo forem tomadas, tem comportamento de pior caso dos pobres: é possivel construir um problema de programação linear para o qual o método simplex realiza medidas exponencias no tamanho do problema. Na verdade, há algum tempo não se sabia se o problema de programação linear foi resolvido em tempo polinomial. Termos Chabe (ver glossario) Base Variaveis básicas

42 Universidade Virtual Africana 41 Variável de folga Variavel excedente Variavel artificial Solução básica Degeneração Problema primal Problema duplo Dualidade fraca Dualidade forte Viabilidade primal Viabilidade dupla Viabilidade primal Viabilidade dupla Lista de Leituras Obrigatórias Linear Programming: Foundations and Extensions by Robert J. Vanderbei Último Acesso: Lecture notes on optimization by Pravin Varaiya Último Acesso: Lista de Links úteis e relevantes Simplex Method - Big M Último Acesso: Simplex Method Big M pdf Último Acesso:

43 Dual Problem: Construction and Its Meaning Universidade Virtual Africana 42 Sensitivity Analysis for Linear Programming Último Acesso: 20/02/07 Descrição detalhada da actividade O aluno deve: Ler o livro didáctico Linear Programming: Foundations and Extensions no Método Simplex páginas 13-28, 29-43, e do livro Analisar o exemplo que dado no link abaixo: - Simplex Method - Big M Último Acesso: Fazer os exercícios do livro Linear Programming: Foundations and Extensions no Método Simplex página 13 nas secções 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4. Além de ler sobre a lógica do algoritmo Simplex e praticando a aplicação em situações específicas de problemas de programação linear, nesta actividade de aprendizagem o aluno será incentivado também a executar procedimentos computacionais Simplex usando softwares apropriados que estão acessíveis ao aluno.

44 Universidade Virtual Africana 43 Actividades de Aprendizagem Uma mulher, um bebé no colo, pensando a maneira mais fácil de atravessar um rápido escoamento de rio O método Simplex Os métodos de programação linear sã baseados nas teorias das matrizes espaços vectoriais dimensionais finitos e o método Simplex para resolver problemas de programação linear são construídos em volta da solução básica de um conjunto de equações lineares simultâneas. Para mais detalhes sobre soluções básicas e espaços vectoriais leia seu módulo de Álgebra Linear ou tente o exemplo bem ilustrado por Richard S. Barr no link seguinte: Quando você esta resolvendo problemas de programação linear usando o algoritmo Simplex os passos principais para lembrar são: 1. Configurar a tabela inicial Simplex 2. Localizar o Pivot da Tabela 3. Se o eixo for 1, então vá para o passo 6, caso contrário divida a linha central pelo eixo para obter 1 na posição Pivotal 4. Converter as entradas restantes da coluna pivotal em zeros usando operações elementares de linhas (que você já aprendeu no módulo de Álgebra Linear) 5. Repetir os passos 2 a 4 até obter um quadro com indicadores não negativos. Este o quadro final que precisamos neste algoritmo e é chamado de terminal Simplex 6. A solução óptima e o valor máximo da função objectivo podem lidas a partir do quadro terminal

45 Universidade Virtual Africana 44 Vamos seguir os passos usando o seguinte exemplo adaptado por Koshy (1979) Maximizar Sujeito á: Passo 1: A partir do quadro inicial Simplex Vamos introduzir duas variáveis de folga e então a primeira desigualdade pode ser escrita com igualdade Agora podemos ter sistema de equações Formulando o quadro inicial Simplex X Y S 1 S 2 f rhs Passo 2 Localizar o pivot no quadro X Y S 1 S 2 f rhs Linha Pivot Pivot

46 Universidade Virtual Africana Coluna Pivot Passo 3 uma vez que o pivot é 3, nos dividimos a segunda linha por 3 X Y S 1 S 2 f rhs / / Passo 4 adicionando 1 vez a segunda para a primeira e 255 vezes a segunda linha para a Terceira, obteremos Novo Pivot X Y S 1 S 2 f rhs 1/ / / / Passo 5 O novo pivot é 1/3, nos dividimos a primeira linha por 1/3 e então adicionamos -2/3 vezes a linha resultante para a segunda e 20 vezes a primeira linha para a terceira X Y S 1 S 2 f rhs Valor Maximo Passo 6 Esta é a matriz aumentada do sistema Isto é

47 Universidade Virtual Africana 46 f tem um valor máximo de quando s 1 =0 e s 2 =0, e isto resulta x =180 e y=120 Nota O valor de f, x e y podem ser facilmente lidos a partir do terminal Simplex, assim a solução óptima e o valor máximo da função objecto podem ser lindas do quadro terminal. O método do Big M Em casos em que não podemos encontrar uma solução viável básica, você poderia usar o método do Big M onde você adicionar um número inteiro grande não negativo M>0 Para ilustra o uso do Método do Big M, deixa-nos seguir exemplos adaptados de Wagner (1975) Maximizar f (x 1, x 2 ) -3x 1-2x 2 Sob reserva Em seguida, após a adição de uma variável x 3 na inequação abaixo, você pode escrever o modelo como Onde f(x 1, x 2 ) =-3x 1-2x 2 pode ser escrito como

48 Universidade Virtual Africana 47 X 0 +3x 1 +2x 2 = Em seguida, introduzir variáveis artificiais y 1 e y 2, e deixar M=10 como o nosso grande inteiro pela instância dada para inicializar o algoritmo, você tem que subtrair (M=10) vezes linhas 2 e (M=10) vezes linhas 3 a partir da linha 1 para eliminar y 1 e y 2 a partir dai você pode então continuar usando o método Simplex você pode verificar que x 1 =4 e x 2 =6 são óptimos Leituras Adicionais Siga este link The Simplex Method: Actividades Adicionais O seguinte link explica o método simplex de uma forma amigável, vá através de actividades nela e em seguida responda as seguintes questões 1. Condição padrão da natureza de um problema de maximização. 2. O que acontece no estágio inicial do quadro Simplex? Exercício 4 As tabelas a seguir do quadro foram obtidas no curso da resolução de variáveis não negativas de programação linear x 1 e x 2 e 2 restrições de desigualdades, a função

49 Universidade Virtual Africana 48 objectivo, z, é a maximização. Variáveis de folga s 1 e s 2 foram adicionadas. Em cada caso, indicar se a programação linear: i) é ilimitada ii) tem uma única solução ideal iii) tem uma solução alternativa ideal iv) é degenerado (neste caso, indicar de alguma das situações em cima detém). a) Z X 1 X 2 S 1 S 2 rhs b) Z X 1 X 2 S 1 S 2 rhs c) Z X 1 X 2 S 1 S 2 rhs d) Z X 1 X 2 S 1 S 2 rhs

50 Universidade Virtual Africana 49 Dica: Respostas para o exercício 4 podem facilmente ser obtidas referindo-se as definições de ilimitação, única solução óptima, Solução óptima alternativa e degeneração. Formulação do problema duplo Toda a programação linear tem outra programação linear chamada de duplo, que partilha os mesmos dados e é obtida por argumentos racionais. Neste contexto, a programação linear original é chamada de programação linear primária. Variáveis em problemas duplos são diferentes das do primário, cada variável dupla é associada com restrições primária, é o valor marginal ou multiplicador langrange correspondente com essa restrição. O problema enfrentado pelo gerente de produção como o Optimista e a controladora como a persistente na Linear Programming: Foundations and Extensions by Robert J. Vanderbei, capitulo 1, identifica a situação para um problema duplo. O problema de alocação de recursos no capítulo 5 das páginas do mesmo livro é uma boa ilustração da formulação de um problema duplo a partir de problema primário. Exemplo [adaptado de Arsham (2007) [ )] Vamos ilustrar a formulação dum problema duplo usando um problema de entrada de alfaiate incontrolável Calças Camisas Disponível Trabalho Matéria-prima Lucro líquido E a sua programação linear é Maximizar f(x 1,x 2 )=20x 1 +15x 2 sujeito aos:

51 Universidade Virtual Africana 50 restrição de trabalho restrição de material Onde x 1 e x 2 são os números de caças e camisas a fazer Suponha que a vontade de comprar um seguro sob medida para seu lucro líquido. Deixa z 1 = quantidade de dólar a pagar a medida para cada hora de trabalho perdido devido a problemas imprevisíveis e z 2 = o valor em dólar pago ao alfaiate para cada unidade de matéria-prima perdida. O corrector de seguros, tenta minimizar a quantidade total de $(50z 1 +60z 1 ), a pagar ao alfaiate pela companhia de seguros. No entanto, a medida irá definir as restrições (condições), insistindo que a companhia cubra todas suas perdas (ou seja, sua rede de renda), pois ele não pode fazer os produtos. Portanto, o problema do corrector é: Minimizar f(z 1,z 2 )=50z 1 +60z 2 sujeito aos: lucro líquido de uma calça lucro líquido de uma camisa Se nós trabalharmos as soluções deste problema que você vai ver que o problema da companhia de seguros está intimamente relacionado com o problema do alfaiate. Leitura Agora leia o texto seguinte Linear Programming: Foundations and Extensions by Robert J. Vanderbei, capitulo 5, páginas [ ] Último Acesso: Teorema duplo Dual Theorem