Palavras-chave: Séries Temporais; Meio Ambiente; Modelagem Matemática.

Transcrição

1 MODELAGEM DE VARIÁVEIS CLIMÁTICAS DO MUNICÍPIO DE IRATI-PR POR SÉRIES TEMPORAIS Artur Lourival da Fonseca Machado Universidade Estadual do Centro-Oeste UNICENTRO Resumo: O presente trabalho teve início com o compromisso do autor em ministrar a disciplina de Modelagem de Sistemas Ambientais para o curso de Engenharia Ambiental na UNICENTRO e do interesse em questões ambientais, como de enchentes ocorridas no ano de 2010, sobre a qual esteve com alunos efetuando algumas avaliações em locais estratégicos de escoamento e identificando problemas de famílias afetadas nas proximidades dos locais das enchentes. Propôs-se, então, a efetuar pesquisa sobre Análise de Séries Temporais para precipitações para a cidade de Irati-PR com vistas a futura integração com análise de escoamento da bacia hidrográfica. Foram efetuados estudos e revisões bibliográficas sobre o tema, identificação de pacotes computacionais capazes de efetuar tais análises e obtenção de dados junto ao Instituto Agronômico do Paraná IAPAR, estação meteorológica de Fernandes Pinheiro PR. Os procedimentos de análise foram implementados no software R e pacote X-13ARIMA-SEATS, ambos com licença livre. Foram obtidos conhecimentos e informações relevantes sobre o sistema pluvial para o município de Irati-PR, como da capacidade de modelagem de séries temporais e a possibilidade de utilizar tais conhecimentos para melhor trabalhar as questões ambientais relacionadas a séries temporais. Os modelos obtidos permitiram efetuar estimativas do impacto do fenômeno El Niño sobre as intensidades de precipitações. Palavras-chave: Séries Temporais; Meio Ambiente; Modelagem Matemática. Introdução Segundo Holzbecher (2007), a Modelagem Ambiental é uma ciência que usa a Matemática e a Computação para simular fenômenos físicos e químicos em um ambiente (por exemplo a poluição ambiental). Embora seu livro trate da modelagem determinística e orientada a processos, refere que muitas opiniões dão conta de que estas representam os procedimentos mais importantes para o entendimento de sistemas ambientais, no entanto deixa claro que outras técnicas não tratadas no livro são mais promissoras para determinados problemas ambientais.

2 Modelos como Topmodel (Topografical Model) desenvolvido por Beven (1985), constituem-se em ferramenta cujos instrumentos conceituais podem ser utilizados para simular processos hidrológicos de maneira relativamente simples, principalmente no que se refere à dinâmica das áreas contribuintes superficiais ou sub-superficiais. Estudos de Wang et al. (1999) indicam que o El Niño e o fenômeno de Oscilações do Pacífico Sul (El Niño South Oscillations - ENSO) é o sinal mais forte na variação interanual do sistema oceano atmosfera. Referem que é um evento tropical, mas cujos impactos são globais, merecendo grande atenção da comunidade científica em muitos programas de pesquisa internacionais. Citam que existe um sistema de observação sobre o ENSO e que este apresenta questões que permanecem sobre seu mecanismo físico, ciclos e irregularidade. De acordo com Marengo (2006), Impactos do fenômeno El Niño e La Niña têm sido observados nas regiões do país, mais intensamente nas regiões Norte, Nordeste (secas durante El Niño) e Sul do Brasil (secas durante La Niña e excesso de chuva e enchentes durante El Niño). Se o El Niño aumentar em freqüência ou intensidade no futuro, o Brasil ficará exposto a secas ou enchentes e ondas de calor mais freqüentes. Porém, a incerteza de que estas mudanças aconteçam ainda é grande e alguns extremos do clima podem acontecer independentemente da presença do El Niño ou La Niña. (p. 29). Ainda, refere que os fenômenos El Niño e La Niña sobre o Pacífico Equatorial e o gradiente meridional de anomalias de TSM (Temperatura da Superfície do Mar) sobre o Atlântico Tropical modulam conjuntamente uma grande parte da variabilidade interanual do clima sobre a América do Sul. 1 Modelos para Séries Temporais Segundo Hipel e McLeod (1994) modelos de séries temporais são ajustados a uma ou mais séries temporais que descrevem um sistema, com propósitos que incluem obter estimativas, efetuar simulações, identificar tendências e melhor entendimento da dinâmica de sistemas. Cita como exemplos a aplicação de modelos de séries temporais

3 hidrológicas para simular entradas para um sistema de hidroelétrica e testar performances físicas e econômicas, identificar configurações ótimas, além de avaliação de impactos ambientais. Ainda, segundo eles, constituem-se em importante classe a de modelos estocásticos de séries temporais, úteis em uma ampla variedade de problemas das ciências ambientais, para modelar observações de dados discretos no tempo e que um estudo com análise de dados pode ser realizado a partir de dois passos principais: de análise exploratória e confirmatória de dados. A ideia básica é a identificação de um modelo simples, mas com capacidade de proporcionar um bom ajuste estatístico aos dados. Segundo Box e Jenkins (1976, apud Hipel e McLeod, 1994), independentemente do tipo de modelo estocástico a ser ajustado a um conjunto de dados, deve-se cumprir os estágios de construção: identificação, estimação e diagnóstico. No estágio de identificação, um modelo deve ser selecionado a partir de exame gráfico dos dados. No estágio de estimação, estimativas de máxima verossimilhança podem ser obtidas para os parâmetros do modelo e, subsequentemente, o modelo ajustado pode ser submetido a um diagnóstico para assegurar as suposições da modelagem. Conforme Morettin e Toloi (2006) modelos para descrever séries temporais são dependentes de vários fatores, tais como o comportamento do fenômeno ou o conhecimento à priori de sua natureza e do objetivo da análise, além de métodos apropriados para estimação de parâmetros e disponibilidade de softwares adequados. Segundo eles, uma das classificações de modelos de séries temporais está relacionada ao seu comportamento sazonal ou não sazonal. Em cada caso são identificados procedimentos para a modelagem. Ainda, que componentes sazonais em séries temporais podem ser de ordem determinística ou estocástica. Para modelos determinísticos, são utilizadas séries de senos e cossenos para a representação dos ciclos, enquanto que para séries estocásticas os modelos são determinados a partir da identificação de autocorrelações da série

4 temporal com seus valores passados ou defasados, no entanto as séries de Fourier são ainda úteis para identificação do período de sazonalidade, através do periodograma. Os modelos estocásticos são definidos a partir das autocorrelações dos valores da série em relação a seus valores defasados de acordo com o padrão dessa relação e identificado como Auto Regressivo de ordem p, AR(p), Média Móvel de ordem q, MA(q) e Integrado de ordem d, I(d), bem como de quaisquer combinações desses padrões, em um modelo mais geral ARIMA(p, d, q); se o padrão de autocorrelações repete-se a cada período de tempo s e eventualmente também para esse período s ocorre um padrão de relações de autocorrelação de ordem P, D e Q, tem-se um modelo sazonal ARIMA(p, d, q)(p, D, Q)[s]. 1.1 Avaliação de modelos de séries temporais A ordem do modelo adequado, ou seja, os valores de p, d, q, P, D e Q, são identificados através de procedimentos de avaliação que incluem o periodograma e as chamadas funções de autocorrelação; posteriormente procede-se ao ajuste do modelo, para estimar os coeficientes da relação identificada, de acordo com técnicas de regressão específicas para séries temporais estabelecidas por Box e Jenkins (1976). Em geral, o uso de modelos estocásticos de séries temporais requer a definição de modelo estacionário, que não apresente alterações de comportamento de correlações ao longo do tempo. Além disso, deve ser atendido o pressuposto de independência e distribuição normal para os resíduos. Para adequação de dados cujos modelos não atendem a esse pressuposto, podem ser efetuadas transformações como logaritmo, raiz quadrada ou transformações por potência de Box e Cox (1964). A avaliação de um modelo é realizada com testes que incluem a avaliação de raízes de seu polinômio característico, cálculo da estrutura de correlações, critérios de informação e, eventualmente, da existência de cointegração de duas séreis: 1) Teste de Raiz Unitária

5 Segundo Box e Jenkins (1976, apud Hipel e McLeod, 1994) pode-se demonstrar que uma condição necessária e suficiente para que um processo seja estacionário é que as raízes da equação característica φ(b) = 0 estejam fora do círculo unitário. 2) Funções de Autocorrelação Permitem identificar a estrutura de autocorrelações ρ k presente em uma série através da avaliação da estrutura de covariâncias de uma variável consideradas as observações em um tempo t e em um tempo t k, ou seja, ρ k = cov(y t, y t-k )/var(y t ). 3) Testes Critérios de Informação Após transformada para uma série estacionária, procede-se à inspeção das funções de auto-correlação amostrais (fac e facp) para determinação das defasagens regulares p e q e sazonais P e Q selecionando-se o modelo resultante da combinação (p, q) e (P, D) que proporciona melhor avaliação segundo Critérios de Informação como de Akaike (1974) (AIC), Critério de Informação Bayesiano (BIC) proposto por Schwarz (1978). Os critérios AIC e BIC classificam modelos de acordo com seus escores, considerado melhor aquele com menor AIC ou BIC. 4) Teste de Cointegração Segundo Engle e Granger (1987), se duas séries temporais Y t e X t seguem um processo integrado de ordem 1 e existir uma combinação linear delas que resulte em uma série integrada de ordem zero, então as séries Y t e X t são cointegradas. A identificação da cointegração permite que se analise o efeito da variável independente sobre a dependente. 2 Materiais e Métodos 2.1 Dados utilizados Foram utilizados dados obtidos por cessão sem ônus pelo Instituto Agronômico do Paraná IAPAR, Estação Meteorológica de Fernandes Pinheiro PR.

6 Os dados correspondem a séries de dados com observações de valores diários de precipitações (mm), temperaturas ( C) máxima e mínima, com início em 01/01/1963 e final em 31/12/2013. Além dos dados obtidos do IAPAR e INMET, foram obtidos dados mensais do fenômeno El Niño Oscilação Sul (ENSO), que correspondem a oscilações para valor médio calculado a cada 30 anos obtidos a partir do CPC/NOAA (Climate Prediction Center, National Oceanic and Atmospheric Administration) dos Estados Unidos. 2.2 Métodos Os procedimentos para ajuste das Séries Temporais incluíram a Identificação de padrões nos dados e ajuste de modelos. Para esta etapa foi utilizado o software R e seus pacotes: forecast, tseries, TSA e seasonal. O pacote com maiores capacidades foi o seasonal que acessa rotinas do software X-13ARIMA-SEATS ( e que controla os parâmetros do modelo sendo ajustado de forma a evitar problemas como de raiz unitária e correlações nos parâmetros. 3 Resultados e Discussões 3.1 Análise da série de precipitações Procedeu-se ao ajuste de modelos para verificação de tendência da variável precipitação média mensal (em mm/dia) em relação à variável tempo e à variável anomalia ENSO. A análise gráfica de precipitações e anomalia ENSO apresentada na Figura 1 permite identificar alguma relação entre os valores de precipitação média (Prec. média [ mm/dia]hp-filter, com suavização do filtro HP de Hodrick e Prescott) com o período El Niño da anomalia ENSO. O do ano de 1983 é o principal deles. Nos anos de 1992, 1993 e 1998 também ocorrem aumentos nas precipitações médias mensais (em mm/dia) em períodos considerados de El Niño. Exceções ocorrem como no ano de 2010 onde ocorre um aumento de precipitações identificado pelo filtro,

7 mas que não corresponde a período considerado de El Niño (Oscilação da temperatura na superfície do oceano Pacífico da região do El Niño com valor acima de 0,5ºC por pelo menos 5 meses). Séries de Precipitações para Irati-PR e Anomalia ENSO Anomalia ENSO e Precipitações Série Temporal: ENSO [Graus Celsius] Prec. média [mm/dia] Prec. média [mm/dia]hp-filter Figura 1: Série de precipitações para Irati-PR e anomalia ENSO Fonte: elaborado pelo autor Ano A ocorrência do fenômeno produz aumento significativo de precipitação, como nos anos de 1983 e Pode-se supor a influência do fenômeno, no entanto não explica todas as ocorrências extremas, como no ano de Avaliação da relação entre as variáveis Precipitação e as variáveis exógenas ENSO e a variável ts de tempos com valores no intervalo de 1963,000 (janeiro de 1963) a 2013, (dezembro de 2013), considerando frações 1/12, 2/12, etc. acrescidos ao valor do ano para representação de cada mês foi efetuada com procedimento de regressão linear conforme a Tabela 1. Tabela 1: Regressão linear para a variável dependente Precipitação Variável explicativa Coeficiente Erro Padrão t P(x > t ) Intercepto -16,722 14,7265-1,14 0,257 ts 0, , ,43 0,152 ENSO 0, , ,04 0,041 F = 2,87 (com 2 e 609 G.L.), Valor-p = 0,0575

8 A variável ts não é significativa para o modelo (valor-p > 0,05) e o teste-f indica alguma evidência contra a significância do modelo (valor-p = 0,0575 maior que 0,05). Mesmo com a retirada da variável não significativa a significância do modelo não melhora, conforme se pode observar na Tabela 2. Tabela 2: Regressão linear para a variável dependente Precipitação Variável explicativa Coeficiente Erro Padrão t P(x > t ) Intercepto 4,379 0,109 40,30 < 2e-16 ENSO 0,250 0,131 1,92 0,0560 F = 3,68 (com 1 e 610 G.L.), Valor-p = 0,0556 Considerando a proximidade do valor ao nível para significância, pode-se considerar que o fenômeno ENSO tem alguma influência sobre os níveis de precipitação. Neste caso, considerando o coeficiente positivo (0,25), deve-se esperar maior média de precipitações (mm/dia) para meses com ocorrência de fenômeno El Niño (anomalia ENSO acima de 0,5ºC) e menor para ocorrência de La Niña (anomalia ENSO abaixo de -0,5ºC). As avaliações da relação entre as variáveis tornou-se possível, pois as séries apresentaram-se compatíveis em relação diferenciação relacionada à integração, ambas Precipitações e ENSO com valor nulo para a diferenciação regular (d) e diferenciação sazonal (D) para os testes ADF (DICKEY e FULLER, 1979) e de Canova-Hansen (1995), respectivamente. Procedeu-se, então, à análise de modelo de regressão de séries temporais para a variável temperatura incluindo co-variável exógena relacionada ao fenômeno El Niño, considerando nulos os valores de anomalia menores que 0,5 centígrados. Com este modelo os parâmetros foram altamente significativos, ao contrário de modelo considerando o fenômeno ENSO em sua forma completa, que inclui os valores negativos para o fenômeno La Niña. A Figura 2 apresenta periodograma para a série de precipitações indicando a sazonalidade anual da série de precipitações, com pico de valor 233,3 na frequência

9 0,0832 corresponde a período igual a 12. As funções de autocorrelação (ACFs) para a série original e sazonalmente diferenciada mostram de fracas a moderadas autocorrelações da série de precipitações original e moderada para a série diferenciada somente para o período de um ano (Lag = 1). Figura 2: Periodograma e autocorrelações para a série de precipitações original e diferenciada com defasagem de um ano (lag = 1) A Tabela 3 apresenta os resultados do ajuste do modelo ARIMA (p, d, q)(p, D, Q)[12] para a série temporal de Precipitações médias em mm/dia em valores mensais acrescidas do valor unitário para permitir a transformação logarítmica, considerando a covariável El Niño dada por seleção de valores da anomalia ENSO acima de 0,5 centígrados, com os demais valores considerados nulos. Tabela 3: Modelo ARIMA (0 0 0)(0 1 1)[12] com covariável El Niño Coeficiente Estimativa Erro padrão Valor-z Pr(> z ) El Niño 0, , ,810 0,00496 Constante 0, , ,406 0,15963 MA-Sazonal-12 0, , ,681 < 2e-16 Observações: AICc = 2753, BIC = 2770, QS seas. test (adj. series): 0,01 Box-Ljung (no autocorr.): 22,85 Shapiro-Wilk = 0,9963 com valor-p = 0,14 e Jarque-Bera com valor-p = 0,47 (resíduos normais). A partir do modelo estimado, procedeu-se à estimação de valores para um período de 36 meses, para diferentes valores de anomalia ENSO em período El Niño.

10 Foram gerados nove cenários para a variável El Niño, considerando valores observados para a anomalia ENSO no período de janeiro a junho de 2014, dados por: Cenário 00: ausência de El Niño, ou seja, ENSO com valor nulo para todo o período de estimativas; Cenários 01, 02 e 03: El Niño inicialmente inativo (anomalia ENSO com valor abaixo de 0,5º Celsius) em junho de 2014 e alcançando o valor um, dois e três, respectivamente, em dezembro de 2016; Cenários 11 e 22: El Niño iniciando ativo com anomalia ENSO com valor um (dois) em junho de 2014 e alcançando o valor um (dois), respectivamente, em dezembro de 2016; Cenários 12, 13 e 23: El Niño ativo para ENSO com valor um (dois) em junho de 2014 e alcançando o valor dois (três), respectivamente, em dezembro de Para cada cenário é apresentado na Figura 3 o limite inferior, o valor médio e o PRECIPITAÇÕES ESTIMADAS PARA O MUNICÍPIO DE IRATI-PR limite superior da estimativa obtida. SOB CENÁRIOS DE AUSÊNCIA A INTENSO EL NIÑO mm/dia Mês/Ano dez/13 jun/14 dez/14 jun/15 dez/15 jun/16 dez/16 P_LI-00 P-00 P_LS-00 P_LI-01 P-01 P_LS-01 P_LI-02 P-02 P_LS-02 P_LI-03 P-03 P_LS-03 P_LI-11 P-11 P_LS-11 P_LI-12 P-12 P_LS-12 P_LI-13 P-13 P_LS-13 P_LI-22 P-22 P_LS-22 P_LI-23 P-23 P_LS-23 Figura 3 Estimativas de precipitações para 36 meses para o município de Irati-PR sob cenários de ausência a intenso El Niño.

11 Os valores estão apresentados em três faixa, sendo a media correspondente à estimativa media e a inferior e a superior, a limites inferior e superior para as estimativas. Verificam-se períodos de maiores intensidades de precipitações, principalmente nos meses de janeiro, outubro e junho. Conclusão Foi obtido ajuste de modelo sazonal puro (ARIMA(0 0 0)(0 1 1)[12]) considerando variável exógena do fenômeno El Niño obtida a partir da anomalia ENSO, que permite obter estimativas para diferentes cenários de El Niño. Observa-se maior amplitude de variações nas estimativas à medida que o tempo passa, devido à autocorrelação do modelo no padrão MA(Q=1) para o período de 12 meses e principalmente devido ao padrão de cenário gerado, com valor crescente da anomalia ENSO sob ocorrência de El Niño. Referências AKAIKE, H. A new look at the statistical model identification. IEEE Transactions on Automatic Control. Boston, v.19, n.6, p , Dec BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M. Time Series Analysis, Forecasting and Control. Holden Day, San Francisco BEVEN, K. J. Distributed models. In: ANDERSON, M. G.; BURT, T. P. Hydrological forecasting. Wiley Chichester, p. BOX, G. E. P.; PIERCE, D. A. Distribution of residual correlations in autoregressive-integrated moving average time series models. Journal of the American Statistical Association, 65, , 1970.

12 CANOVA, F; HANSEN, B. E. Are Seasonal Patterns Constant over Time? A Test for Seasonal Stability. Journal of Business and Economic Statistics 13(3): DURBIN, J.; KOOPMAN, S. J. Time Series Analysis by State Space Methods. Oxford University Press, DICKEY, D.A.; FULLER, W. A. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root. Journal of the American Statistical Association 74: HOLZBECHER, E. Environmental Modeling Using Matlab. Springer, LJUNG, G. M.; BOX, G. E. P. On a measure of lack of fit in time series models. Biometrika 65, , MARENGO, J. A. Mudanças Climáticas Globais e seus Efeitos sobre a Biodiversidade: Caracterização do Clima Atual e Definição das Alterações Climáticas para o Território Brasileiro ao Longo do Século XXI. Brasília, MMA, NWS/CPC/NOAA. National Weather Service - Climate Prediction Center do National Oceanic and Atmospheric Administration. United States Department of Commerce ( PIERCE, D. A. (1979). Signal extraction error in non-stationary time series. Annals of Statistics, 7, pp ʊ (1980). Data revisions in moving average seasonal adjustment procedures. Journal of Econometrics, 14, pp REFERENCE MANUAL FOR THE X-13ARIMA-SEATS PROGRAM. Version 1.0. U. S. Census Bureau, U. S. Departement of Commerce. Disponível em: Acesso em: 01/02/2014. SCHWARZ, G. Estimating the dimensional of a model. Annals of Statistics, Hayward, v.6, n.2, p , Mar WANG, H-J.; ZHANG, R-H.; COLE, J.; CHAVEZ, F. El Niño and the related phenomenon Southern Oscillation (ENSO): The largest signal in interannual climate variation. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Agradecimentos

13 Agradeço ao Instituto Agronômico do Paraná IAPAR, estação meteorológica de Fernandes Pinheiro PR, pela cessão gratuita de dados relacionados a precipitações e temperaturas.