Caderno de Atividades: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal

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1 Caderno de Atividades: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal

2 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR FINALIDADE: Aplicar e desenvolver o raciocínio analítico na resolução de problemas da Geometria Analítica; Conhecer a Geometria Analítica no espaço através dos vetores no R e R e estabelecer as relações com a Geometria Analítica no plano; Fortalecer o relacionamento da Geometria Analítica com as outras disciplinas afins; e adquirir uma nova visão da matemática através do estudo dos vetores e resolução de eercícios. EMENTA: Coordenadas no plano e no espaço: vetores; produto interno e ângulos; distância; desigualdade triangular; produto vetorial; produto misto. Cálculo de área e volume através de produto vetorial e misto. Retas e planos: equações cartesianas e paramétricas; posições relativas; distância e ângulos. Matries, Determinantes e Sistemas Lineares. Bibliografia Básica [] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear.. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 8. [] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica.. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 6. [] WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 8. Bibliografia Complementar - BOULOS, P.; CAMARGO, I. Introdução à geometria analítica no espaço. São Paulo: Makron Books do Brasil, CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria analítica: um tratamento vetorial.. ed. São Paulo: Prentice Hall, 8 - CAROLI, Alésio de; CALLIOLI, Carlos A.; FEITOSA, Miguel O. Matries vetores geometria analítica: teoria e eercícios. São Paulo: Nobel, NICHOLSON, W. K. Álgebra linear.. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 6. - POOLE, David. Álgebra linear. São Paulo: Thomson,. Este símbolo sugere uma Leitura Obrigatória do livro teto. Este símbolo indica uma série de Eercícios Sugeridos do livro teto.

3 MATRIZES [] pág 69 a 9 colchetes: Considere uma tabela de números dispostos em linhas e colunas mas colocados entre parênteses ou Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são numeradas de cima para baio e as colunas, da esquerda para direita: Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de ) são denominadas matries m n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matri. Veja mais alguns eemplos: : matri de ordem ( linhas e colunas) : matri de ordem ( linha e colunas), : matri de ordem ( linhas e coluna) 5 As matries são nomeadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matri A do tipo m n é representada por: a a a... a a a a... a A a a a... a a a a... a n n n m m m mn ou, abreviadamente, A = [a ij ] m n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por eemplo, a é o elemento da ª linha e da ª coluna.

4 6 Na matri B 5 temos, por eemplo, b = 6 e b =. Algumas matries são constituídas por elementos cujos valores dependem da sua posição na matri, isto é, da linha e da coluna em que se encontra. Por eemplo, a matri A=v(a ij ), em que a ij = i j é a matri 7 A 5 OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE!!!! Uma matri A é representada colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes. NUNCA utilie barras no lugar dos parênteses ou dos colchetes. 7 A 5 ou 7 A 5 Tipos de Matries Algumas matries, por suas características, recebem denominações especiais. Matri linha:. Matri do tipo n, ou seja, com uma única linha. Por eemplo, a matri A é do tipo Matri coluna: Matri do tipo m, ou seja, com uma única coluna. Por eemplo, a matri B é do tipo. Matri quadrada: Matri do tipo n n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, diemos que a matri é de ordem n. Por eemplo, a matri C é de ordem.

5 Numa matri quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária: A principal é formada pelos elementos a ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n +. Eemplo: OBSERVAÇÃO: AS DIAGONAIS SÃO CARACTERÍSTICAS PRÓPRIAS DE MATRIZES QUADRADAS! Matri nula: Matri em que todos os elementos são nulos; é representada por m n. Por eemplo,. Matri triangular: Matri quadrada que possui todos os elementos nulos, acima ou abaio da diagonal principal. 6 A 5 B 7 8 (Triangular Inferior) (Triangular Superior) Matri diagonal: eemplo: Matri quadrada em que todos os elementos que NÃO estão na diagonal principal são nulos. Por

6 Matri identidade: Matri quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a e os demais são nulos. Representamos as matries identidades por I n, onde n é a ordem da matri. Por eemplo: I Matri transposta A matri transposta de A, denotada por A t, é a matri obtida a partir da matri A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por eemplo: Note que, se a matri A é do tipo m n, A t é do tipo n m. Além disso, a ª linha de A corresponde à ª coluna de A t, a ª linha de A corresponde à ª coluna de A t, e assim sucessivamente. Igualdade de matries Duas matries, A e B, são iguais se, e somente se, I. Possuírem a mesma ordem m n e II. Todos os elementos que ocuparem a mesma posição forem iguais. Adição e Subtração de matries A soma (subtração) da matri A com a matri B de mesma ordem é uma outra matri C de mesma ordem cujos elementos é igual à soma (subtração) dos elementos correspondentes das matries A e B. 7 5

7 Note que para que seja possível a soma (subtração) de duas ou mais matries, necessariamente, as matries devem possuir a mesma ordem. Propriedades: Sejam A, B, C e O (nula) do mesmo tipo. São válidas as propriedades: a) comutativa: A+B=B+A; b) associativa: (A+B)+C=A+(B+C); c) elemento neutro: A+O=A; d) elemento oposto: A+ ( A)=O; e) transposta da soma: (A+B) T =A T +B T. Multiplicação de um número (escalar) por uma Matri Dados um número real k e uma matri A do tipo m n, o produto de por A é uma matri B do tipo m n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k Propriedades: Sejam A, B, C, O (matri nula) matries de mesmo tipo e k e m números reais não nulo, valem as propriedades a).a = A b) (-).A = -A c) k.o = O d).a = O e) k.(a + B) = k.a + k.b f) (k + m).b = k.b + m.b g) k.(m.a) = (k.m).a Multiplicação de Matries O produto das matries A = (a ij ) m p e B = (b ij ) p n é a matri C = (c ij ) m n em que cada elemento c ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.

8 Note que: ) o produto eistirá se o número de colunas de uma matri for igual ao número de linhas da outra matri. Além disso, a matri resultado terá a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da segunda. ) se eiste o produto A.B, não implica, necessariamente, na eistência de B.A. ) a propriedade comutativa não é válida. ) se A e B são matries tais que AB = (matri nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula. Verifique isso com as matries A e B.

9 5) Diferentemente da álgebra dos números reais em que a.b = a.c b = c, para as matries a lei do cancelamento não é válida. Verifique com as matries C que A.B = AC apesar de B C. A, B e Propriedades Verificadas as condições de eistência para a multiplicação de matries, valem as seguintes propriedades: a) associativa: (A.B).C = A.(B.C) b) distributiva em relação à adição: A.(B + C ) = A.B + A.C ou (A + B).C = A.C + B.C c) elemento neutro: A.I n = I n.a = A, sendo I n a matri identidade de ordem n Matri Inversa - Parte I Uma matri quadrada A de ordem n di-se inversível, ou não singular, se e somente se, eistir uma matri que indicamos por A -, tal que A.A - =A -.A=I n.

10 EXERCÍCIOS. Escreva os elementos da matri A = (a ij ), definida por j i jse i j i jse i a ij,,.. Construa a matri quadrada A de ordem, definida por: j i j j i a ij se i se ij.. Sendo A = (a ij ) tal que j i a ij e B = (b ij ) tal que j i b ij, calcule A+B.. Sabendo que N e M, calcule MN - NM. 5. Dada a matri A, calcule A. 6. Sendo A = e B =, mostre que T T T A B B A Sendo 5 M, N e P, calcule: a) N P + M b) M N P c) N (M P) 8. Dadas as matries a a A e b b B, determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a matri identidade. 9. Considere as seguintes matries: 5 7 A, 5 B, C e 5 D. Determine o valor de para que se tenha: A + BC = D.. Sabendo que as matries abaio comutam, a a a e, determine o valor de a.. Se A e B são matries tais que: A e B, então para qual valor de a matri B A. Y t será nula?

11 . O produto M.N da matri M pela matri N ; a) não se define. b) É a matri identidade de ordem c) É uma matri de uma linha e uma coluna. d) É uma matri quadrada de ordem. e) Não é uma matri quadrada.. Considere as matries: A, 7 onde i j a ij b ij a ij B, 7 9 onde b ij i C c ij O elemento C 6 : a) é -. b) é -8. c) é -9. d) é. e) não eiste., tal que C = AB.. Dadas as matries A e B, então a matri -AB é igual a: b) c) d) e) A é uma matri m n e B é uma matri m p. A afirmação falsa é: a) A + B eiste se, e somente se, n = p. t b) A A implica m = n c) A.B eiste se, e somente se, n = p t d) A.B eiste se, e somente se, n = p. e) A t. B sempre eiste. 6. Efetue: 5 a) 7. Dada a matri A 5 c) t, obtenha a matri X tal que X AA. b) 5 8. Numa fábrica de manipulação, para faer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacêutico precisa das substâncias A, B e C, epressa na tabela abaio, em gramas:

12 As substâncias podem ser compradas em dois fornecedores: F e F. O custo por grama das substâncias em cada fornecedor, está epresso em reais na tabela seguinte: Após construir a matri cujos elementos indicam o preço de custo dos medicamentos por fornecedor, calcule os valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor. 9. Um proprietário de dois restaurantes deseja contabiliar o consumo dos seguintes produtos: arro, carne, cerveja e feijão. No restaurante são consumidos, por semana, 5 kg de arro, 5 kg de carne, garrafas de cerveja e kg de feijão. No restaurante são consumidos, semanalmente, 8 kg de arro, 6 kg de carne, 5 garrafas de cerveja e kg de feijão. Eistem dois fornecedores, cujos preços, em reais, destes itens são: A partir destas informações: a) Construa uma matri que descreva o consumo desses produtos pelo proprietário no e no restaurantes, e uma matri que descreva os preços dos produtos nos dois fornecedores; b) Calcule o produto das duas matries anteriores, de modo que este represente o gasto semanal de cada restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietário terá comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes. RESPOSTAS: ) 5) ) 9 7) a) ) ) b) - -5 c) ) a = e b = 9) = ) a = ) = - ) D ) E ) E 5) C 6) a) b) [7] c) 7) X ) F: R$ 79; F: R$ 8 9) R$ 6

13 DETERMINANTES [] pág a 6 ) Calcule: R.: ) Resolva a equação: 5 5 ) Resolva a equação: R.: S 7 R.: S,

14 ) Sendo B e A, calcule: a) det(a+b). R.: -6 b) det(a.b). R.: - 5) Calcule o determinante da matri 5 A R.: det A = 5

15 6) Resolva a equação 5 R.: 7) Dada as matries 9 B e A, determine para que det A = det B R.:

16 8) Resolva a equação R.: S, 9) Seja M = (m ij ) a matri quadrada de ordem, em que: determinante de M.,se i j m ij i j, se i j. Ache o valor do i j, se i j R.: 8

17 )Calcule o determinante da matri P, em que P é a matri P R.: 6 )Calcule o determinante da matri A utiliando a definição de Laplace: a) A R.: det A =

18 b) 6 5 A R.: det A = -7 Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da ª linha. 5 R.: -8

19 Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da ª linha. 6 5 R.: Calcule os determinantes usando triangulação: R.: 5 5 A

20 R.: R.: -6 B C

21 R.: -8 Verifique se eiste e, em caso afirmativo, determine a matri inversa de A = 8 5. A - = D

22 Determine a inversa das matries: a) A R.: b) B R.:

23 C 7 5 C D R.: Não eiste D

24 Aplicação Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial. Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaio: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Suponhamos que a nossa mensagem seja PUXA VIDA. Podemos formar uma matri P U X 6 assim: A V, que usando a correspondência numérica fica: M = I D A 9 Agora seja C uma matri qualquer inversível, por eemplo: C = Multiplicando nossa matri da mensagem M por C, obtemos M C Transmitimos esta nova matri M C. Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa de C, isto é, faendo M C C e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada de matri chave para o código. Com base nessas informações, supondo que você tenha recebido a matri M C 5, tradua a mensagem. 7 7

25 Eercícios Complementares ) Dadas as matries A e B, calcule: a) det (A²) b) det (B²) c) det (A² + B²) R.: a) b) c) 8 ) Determine a solução da equação 8 R.: {-,} ) Sendo A e B, dê o valor de: a) det (A). det(b) b) det (A.B) R.: a) - b) - ) Seja a matri A = (a ij ) de ordem, tal que: j i se e j i se, j i se, ij R k k a. Calcule k, de modo que o determinante da matri A seja nulo. R.: k = 5) (UFPR) Considere as matries A e B e 6 C. Sabendo que a matri B é igual à matri C. Calcule o determinante da matri A. R.: 7 6) Calcule o determinante da matri M = (AB). C, sendo A, 5 B e C. R.: ero

26 7) Calcule o determinante da matri A = 8) Calcule o determinante da matri 9) (UEL PR) A soma dos determinantes 5 a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b. b) se e somente se a = b. a b 6, utiliando o método da triangulação. 6, utiliando o Teorema de Laplace.: 5 b a b é igual a ero a b a R.: c) se e somente se a = - b. R.: a) d) se e somente se a =. e) se e somente se a = b =. ) (Mack SP) A solução da equação 5 / / a) b) 58 c) -58 d) 67 e) 9 ) Sendo A = (a ij ) uma matri quadrada de ordem e a ij = j i², o determinante da matri A é: a) b) c) d) e) ) A matri, na qual é um número real, é inversível se, e somente se: a) b) c) d) e e) e R.: - R.: d) R.: d) R.: e) [] pág.: 6 ( a ) pág.: 99 ( a )

27 SISTEMAS LINEARES ) Epresse matricialmente os sistemas: a) 5 b) 5 c b a c a c b a ) A epressão matricial de um sistema S é: 7 5 b a.. Determine as equações de S. ) Resolver o sistema 5 7. R.:, S [] pág 55 a 55

28 ) Resolver o sistema 5. R.: S 5) Resolver o sistema 5. R.:,, S 6) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos. a) 8 6 R.: SPI b) R.: SPI c) R.: SPD

29 6 a 7) Determine a e b para que o sistema seja indeterminado. b R.: a = 6 e b = 8 8) Calcule os valores de a para que o sistema a seja compatível e determinado. R.: a 6 9) Dê os valores de a para que o sistema a a seja compatível e determinado. a 5 R.:a R / a e a

30 ) Dê o valor de a para que o sistema 5 a a a seja impossível. R.: ou a a ) Determine o valor de k para que o sistema k seja indeterminado. R.: k = 5 ) Ache m para que o sistema 5 m tenha soluções próprias. R.: m

31 Escalonamento de Sistemas Lineares ) Resolva os sistemas: a) 5 6 S={(-,,)} b) w w w w S = c) 6 Solução geral: (-k, k, k). d) t t Solução geral:,,, 5

32 ) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaio: a) 8 R.: Sistema possível e determinado, com S = {(,-,)} b) 5 R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(+5k, -k, k)}

33 c) Aplicações R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-k, k-6, k)}. As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro e Carla compraram num mercado estão esquematiadas na tabela a seguir: Produto A Produto B Produto C Elaine Pedro Carla Sabendo que Elaine gastou R$,, Pedro gastou R$ 9, e Carla gastou R$ 6,, quanto custou o produto C? R.: R$ 8,

34 ) Ruth vende, em reais, sacolas descartáveis dos tipos I, II e III, a preços de, e, respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de três dias consecutivos, estão representados na tabela a seguir. Com base nessa tabela, o valor de + + é igual a: a) R$, b) R$ 5, c) R$, d) R$ 5, e) R$,

35 Eercícios Complementares ) Solucione os sistemas a seguir, utiliando a regra de Cramer. 5 R.: {(,)} 9 R.: {(,)} ) Calcule os valores de, e nos sistemas: 9 R.: {(,,)} 5 R.: {(6,,)} ) Resolva as equações matriciais: 9. R.: R.: ) Determinar m, de modo que o sistema m seja impossível. R.: m = - 5) Qual o valor de p para que o sistema p p admita uma solução única? R.: p R / p 6) Para quais valores de k o sistema linear k é possível e determinado? R.: k R / k

36 a) 7) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaio: 8 b) 5 k, k)} c) d) 5 6 R.: Sistema possível e determinado, com S = {(,-,)} R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(+5k, - R.: Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-k, k-6, k)} R.: Sistema impossível S 8) Um agricultor plantou três diferentes culturas, cobrindo uma área total de 8 hectares (ha). Para isso, ele usou.8 kg do adubo A e.5 kg do adubo B, conforme mostrado neste quadro: Adubo A (kg/ha) Adubo B (kg/ha) Cultura I Cultura II Cultura III 6 Por hectare plantado, as culturas I, II e III deram um lucro de, respectivamente, R$,, R$, e R$,. Com base nesses dados, CALCULE o lucro total do agricultor. R.:R$., 9) Matias quis saber quantos quilogramas tinha seu gato, sue cachorro e ele próprio, mas dispunha de uma balança que só era confiável para cargas com mais de 5 kg. Então: - subiu na balança com o cachorro, sem o gato ela registrou 95 kg; - subiu, em seguida, com o gato, sem o cachorro a balança acusou 5 kg; - por último, ele colocou o cachorro e o gato na balança ela marcou 5 kg. Quantos quilogramas tem cada um? R.: 9, 6,5

37 ) Um jogador de basquete fe o seguinte acordo com o seu clube: cada ve que ele convertesse um arremesso, receberia R$, do clube e, caso errasse, pagaria R$5, ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou vees, recebeu a quantia de R$5,. Quantos arremessos ele acertou? R.: arremessos ) Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um DVD e um aparelho de som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o DVD juntos custam R$,; o DVD e o som juntos custam R$, e o televisor com o som custam juntos R$5,. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos? R.: R$9, ) Uma loja vende produtos como os listados na tabela e seus preços. Sabendo que qualquer mochila custa R$,, calcule o preço pago por um par de meias e um conjunto de roupas íntimas. PRODUTO Mochila Par de Meias Conj. Roupas íntimas Camisa Jeans Preço(R$) Tipo 5, Tipo 8, Tipo 5 5, Tipo 6, R.: R$ 5, ) No estacionamento de um shopping há 8 veículos, entre carros e motos. Sabe-se também que o número de rodas é igual a 6. Determine o número de carros e motos. R.: 5 carros e motos Não se esqueça de estudar o livro teto!!! [] pág.: 576 ( a )

38 PONTOS EM R E R Admita dois eios, e, perpendiculares entre si em O. Esses dois eios dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes. Em cada uma dessas regiões, podemos representar infinitos pontos, epressos por meio de pares ordenados p, p, em que p é a abscissa do ponto e p é sua ordenada. Para representarmos esse ponto no plano cartesiano, devemos proceder da seguinte forma: sobre o eio das abscissas,, localiamos p ; por este ponto, passamos uma linha tracejada, paralela ao eio das ordenadas, ; da mesma forma, em, identificamos p, por onde passamos uma nova linha tracejada, agora paralela ao eio ;,. o ponto de encontro dessas duas linhas tracejadas é o ponto P p p Veja essa construção, na figura, a seguir: Devemos saber, ainda, que o ponto O é chamado de origem do plano, tem coordenadas (,) e divide cada um dos eios e, em dois semi-eios. À esquerda da origem, temos o semi-eio negativo das abscissas; à direita, o semi-eio positivo das abscissas. Abaio da origem, temos o semi-eio negativo das ordenadas, acima dela, temos o semi-eio positivo das ordenadas. E cada parte é chamada de quadrante. Veja essa construção, na figura, a seguir:

39 Posição de um ponto no plano Como vimos, os eios e dividem o plano em quatro quadrantes e os pontos P p, p localiam-se neste plano, de acordo com os valores de p e p, da seguinte forma: se p e p se p e p se p e p se p e p se p se p, então P pertence ao º quadrante;, então P pertence ao º quadrante;, então P pertence ao º quadrante;, então P pertence ao º quadrante;, então P pertence ao eio das abscissas. P p, então P pertence ao eio das ordenadas. P p,, com p ;,, com p. Se um ponto pertence a um dos eios coordenados, então ele pertence, simultaneamente, a dois quadrantes. A origem (,), por eemplo, pertence aos quatro quadrantes. Distância entre dois pontos do plano Dados os pontos A, e A A B, : B B Se AB // O, temos: dab B A. Se AB // O, temos: dab B A

40 Se AB não é paralelo a O, nem a O. Note que o triângulo ABC é retângulo: B A A B C Então, utiliando o Teorema de Pitágoras, temos: A B d d d d AB AC BC AB B A B A O espaço tridimensional Assim como usamos um sistema de eios coordenados para realiar representações no plano, também o faemos para representar sólidos e objetos. Definição: O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais é chamado de espaço tridimensional, sendo denotado por. Cada tripla ordenada,, é chamada de um ponto no espaço tridimensional. Desta forma do plano para o espaço há o acréscimo do eio. Para marcarmos um ponto no espaço, faemos o seguinte procedimento, vamos usar o seguinte ponto como eemplo A(,, ) : ª) marca-se o ponto A'(,, ) no plano. ª) desloca-se A paralelamente ao eio, unidades para cima (se fosse - seriam unidades para baio) para obtermos o pontos A.

41 Os planos coordenados em um sistema de coordenadas tridimensional dividem o espaço tridimensional em oito partes, chamadas de octantes. O conjunto de pontos com as três coordenadas positivas forma o primeiro octante, os demais não têm uma enumeração padrão. Z º O Y º º X 8º º 6º 5º Fonte: Winterle (). Visualiação: Região Descrição Plano (,, ) Plano (,, ) Plano (,, ) Eio (,, ) Eio (,, ) Eio (,, ) Fonte: Winterle ().

42 Sistemas de coordenadas retangulares no espaço Representem no espaço tridimensional os pontos, faça cada eemplo em um espaço tridimensional: Eemplo A (,, ) B (,, ) C (,, ) D (,, ) E (,, ) F (,, ) G (,, ) H (,, ) Eemplo A (,, ) B (,, ) C (, 6, ) D (, 6, ) E (,, -) F (, 6, -) G (, 6, -) H (,, -)

43 Eemplo A (,, ) B (, 5, ) C (, 5, ) D (,, ) E (,, ) F (, 5, ) G (, 5, ) H (,, ) D C A B H G E F Eemplo Determine as coordenadas dos pontos: Referencial A B C D,, E,,5,, F,,5,, G,,5,, H,,5

44 Cálculo da distância entre dois pontos no espaço Para o cálculo da distância entre dois pontos no espaço, o procedimento é o mesmo já utiliado no plano, apenas com o acréscimo da variável, referente ao eio das cotas no estudo. A distância entre os pontos,, B,, é: d AB B A B A B A A e Eemplo Calcule a distância entre os pontos A,, e B,,. d AB d 9 6 AB d 5 AB Eemplo Determine o ponto (P) pertencente ao plano O, cuja cota é o dobro da abscissa, que dista 5 unidades de distância do ponto A,,. Dados:,,,, P P d AP ² 9 ² 8 ² 9 ² 8 5 5² Δ 7,8 7,8 ',78 7,8 ",78 Desta forma o ponto P pode ser representado por: ',78 P,78;;,56 ",78 P,78;;5,56

45 Fórmula do ponto médio O ponto médio do segmento de A,, e,, B é: PM,,, Eemplo Encontre o ponto médio do segmento AG, do eemplo 5. PM AG 5 5,,,, ) Calcule a distância do ponto A,, : a) ao plano b) ao plano c) ao plano d) ao eio e) ao eio f) ao eio EXERCíCIOS ) A figura abaio representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eios coordenados e de medidas, e. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A,, :

46 ) Nas figuras a seguir, determine as coordenadas dos oito cantos da caia: ) Um cubo de lado unidades tem seu centro geométrico na origem e suas faces paralelas aos planos coordenados. Esboce o cubo e dê as coordenadas dos oito cantos. 5) Quais são as projeções do ponto (,,5) nos planos, e? Desenhe uma caia retangular que tenha vértices opostos na origem e em (,,5) e com faces paralelas aos planos coordenados. Nomeie todos os vértices da caia. Determine o comprimento da diagonal dessa caia. 6) Mostre que o triângulo com vértices em P,,, Q,, e R,, é um triângulo eqüilátero. 7) Encontre o comprimento dos lados do triângulo com vértices A(,, ), B(,, ) e C(,,). O triângulo ABC é retângulo? È isósceles? 8) A figura abaio mostra um paralelepípedo onde as dimensões das arestas estão indicadas na figura. No centro da face EFGH deste paralelepípedo está a origem (,,) de um sistema de eios cartesianos, que são paralelos às arestas do sólido. Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H localiados nos vértices do paralelepípedo.

47 9) Determine o valor de a, para que o triângulo ABC seja retângulo em A. Para tanto, considere A,,, B, a, e C,,. RESPOSTAS a) b) c) ) d) e) f )5 A,, E,,5 B,, F,,5 ) C,, G,,5 D,, H,,5 ) A,, E,, B,, F,5, a) C,5, G,5, b) D A B C D,5, H,,,, E,,,6, F,6,,, G,6,,6, H,, ) B,, E,,,, F,,,, G,,,, H,, A C D 6) A distância entre cada lado é, portanto o triângulo é eqüilátero. 7) d ; d 6 e d 5 AB AC BC d ² d ² d ² BC AC AB ( 5)² 6² ² 5 5 O triângulo é retângulo, provado através do teorema de Pitágoras. 8), 5, 5 E, 5,,5, 5 F,5,,5, 5 G,5,, 5, 5 H, 5, A B C D Plano : (,,) Plano : (,,5) Plano : (,,5) Diagonal: 8 9)Se o triângulo ABC é retângulo em A, então, o lado BC é a hipotenusa do triângulo, e AB e AC são os seus catetos. Então, temos: Por Pítagoras : d d d BC AB AC a a 5 a a a a a a

48 Vetores: Tratamento Geométrico ) A figura abaio é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: a)ab OF b)am PH f)ao MG g)kn FI k)ab EG l)am BL p) AC FP q)if MF c)bc OP h)ac// HI m)pe EC r) AJ AC d)bl MC i)jo// LD n)pn NB s) AO NP e)de ED j)aj// FG o)pn AM t) AM BL ) Com base na figura, determinar os vetores abaio, epressando-os com origem no ponto A: a)ac CN b)ab BD c)ac DC d)ac AK e)ac EO f)am BL g)ak AN h)ao OE i)mo NP j)bc CB k)lp PN NF l)bl BN PB ) Dados os vetores,,, e, abaio representado, obtenha graficamente os vetores e. a) = + + b) = - + Capítulo : Vetores - Págs.: a 7 (,,,,5,)

49 VETORES - TRATAMENTO ALGÉBRICO ) Esboce os vetores com seus pontos iniciais na origem: a) 5,, b) i j k c),, d) i 5 j 5k ) Determine as componentes do vetor e esboce um vetor equivalente com seu ponto inicial na origem: ) Determine o módulo de v : a) v, b) v 7i j c) v,,5 d) i j k ) Determine os vetores unitários que satisfaem as condições dadas: a) mesma direção e sentido que i j b) sentido oposto a 6i j k c) mesma direção e sentido que o vetor do ponto A,, até o ponto B,, 5) Dado o vetor v,,, determinar o vetor paralelo a v que tenha:

50 a) sentido contrário ao de v e três vees o módulo de v ; b) o mesmo sentido de v e módulo ; c) sentido contrário ao de v e módulo 5; 6) Determinar o valor de n para que o vetor vn,, seja unitário. 7) Dados os pontos A(,, ), B,, e C,, v m. AC BC., determinar o valor de m para que v 7, sendo 8) Di se que um vetor w é uma combinação linear dos vetores v e v se w puder ser epresso como w c v c v onde c e c são escalares: a) Determine os valores dos escalares c e c para epressar o vetor j como combinação linear dos vetores v i j e v i j. v e b) Mostre que o vetor,5 não pode ser epresso como uma combinação linear dos vetores, v,6. 9) Efetue as operações indicadas com os vetores u i k, v i j k e w j : a) w v b) 6u w c) v w d) u v e) 8 v w u f) w v w ) Dados os pontos A(-,,), B(, -,) e C(-,, ), determinar o ponto D de modo que CD AB ) Sendo A(-, ) e B(,) etremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento. ) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(, -, ), B(5,, -) e C(,, ).

51 ) Seja o triângulo de vértices A(, -, -), B(, 5, -6) e C(, -, -). Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado AB. ) Determine o valor de "m" se o módulo do vetor v = (m+, m-, m - 7) se v =. 5) Sabe-se que o vetor (, 6, -7) é paralelo ao vetor (, +, ). Calcule os valores de e. RESPOSTAS ) ) ) a) v 5 b) v 5 c) v 5 d) v

52 ) i j a) 7 7 b) 6i j k c) i j k 5) a) 6,,9 b) c) 6) 8,, 7) ou 8) 5 5,, 5 a) c e c 9) a) i j k b) 8i j 6k c) i 5j k d) i j k e) i 6 j 8k f) i j k ) ) ) ) ) 5) b) Não representa uma combinação linear. Capítulo : Vetores - Págs.: a 5 ( a, 6 a, 9 a 5, 7 a, a 7, 9 a 56)

53 PRODUTO ESCALAR ) Sejam os vetores u = (,,) e v = (-, -, -). Calcular: a) u b) ( u + v ).( u v ) c) < u, u > d).u e).u ) Dados os vetores u = i -5j + 8k e v = i -j k, calcular u. v. ) Dados os pontos A(,-,), B(,-,-) e C(,,), calcular AB. BC ) Sendo u = e v = e u. v =, calcular ( u v )(- u + v ). 5) Sendo u =, v = e 6º o ângulo entre u e v, calcular: a) u. v b) u + v

54 6) Dados os vetores v (,, 5) e u (,,8), decomponha v como v v v sendo v/ / u e v u. 7) Um triângulo no espaço tridimensional é formado pelos vértices A,,, B,, e C,, Determine o ponto H, pé da altura relativa ao lado AB.. EXERCíCIOS COMPLEMENTARES ) Determinar o vetor v, sabendo que v 5, v é ortogonal ao eio O, vw 6 e w i j. ) Dados os pontos Am,,, Bm, m, e,, retângulo em A. Calcular a área do triângulo. ) Determinar o vetor u tal que C, determinar m de modo que o triângulo ABC seja u, o ângulo entre u e v,, é 5º e u é ortogonal a,, ) O triângulo no espaço tridimensional é formado pelos vértices A,,, B,, e C,, os ângulos formados por estes vértices e classifique-os em agudo, obtuso ou retângulo. 5) Use vetores para mostrar que A,,, B,, e C 7,, Em qual vértice está o ângulo reto? w., determine são vértices de um triângulo retângulo. 6) Sabendo que o vetor v,, forma um ângulo de 6º com o vetor AB determinado pelos pontos A,, e,, B m, calcular o valor de m.

55 7) Calcular o valor de m de modo que seja º o ângulo entre os vetores u,, e v,, m. 8) Uma força de F i 6j k newtons é aplicada a um ponto que se move uma distância de 5 metros na direção e sentido do vetor i + j + k. Quanto trabalho foi realiado? 9) Uma caia é arrastada ao longo do chão por uma corda que aplica uma força de 5 lb em um ângulo de 6º com o chão. Quanto trabalho é realiado para movimentar a caia a uma distância de 5 pés? Referencial de respostas: ) v,, ) m e A ) u,, â 9º (agudo) ) b ^ 96º (obtuso) ^ c 5º (agudo) 5) É retângulo no vértice B. 6) m 7) m ou m 8 8) 5 J 9) 75 pés lb Capítulo : Produto Escalar - Págs.: 66 a 7 ( a, 6, a 9)

56 PRODUTO VETORIAL ) Mostre que u v é ortogonal a u e a v sendo u 5i j k e v i k. ) Dados os vetores u,, e v (,,), calcule: a) a área do paralelogramo determinado por u e v. b) a altura do paralelogramo relativo à base definida pelo vetor u. ) Dados os vetores,, u e v(,, a), calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 6.

57 ) Sejam os vetores u,, e v (,, ). Determinar um vetor que seja: a) ortogonal a u e v. b) ortogonal a u e v e unitário. c) ortogonal a u e v e tenha módulo. 5) A operação u. v + u v é possível ou não? Justifique sua resposta. 6) A operação u.[( v + u ) v ] é possível ou não. Justifique sua resposta. O resultado é um vetor ou um escalar? EXERCíCIOS ) Determine u v, e em seguida verifique que é ortogonal a ambos os vetores u e v. a) u,, ; v,, b) u,, ; v,, ) Determine a área do paralelogramo que tem u e v como lados adjacentes: u j k e v j k.

58 ) Determine a área do triângulo de vértices P,5,, Q,, e,5, R. ) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinados por um,, e,, igual a 6. v seja 5) Dados os pontos A (,,) e B (,,), determinar o ponto C do eio O de modo que a área do triângulo ABC seja,5 u.a. 6) Calcular, sabendo-se que A,,, B,, e C,, são vértices de um triângulo de área 6. 7) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A,, e,, diagonais é M,,. Calcular a área do paralelogramo. B e o ponto médio das RESPOSTAS uv ) a) u u v v u v ) 59 ua.. ) A ) ou 7,,9 7 u.a b) uv, 6, u u v v u v C 5,, ou C,, 5) 6) ou - 7) 7 Capítulo : Produto Vetorial - Págs.: 87 a 89 ( a, 8, 9,, a 7,,, a 5, 7)

59 PRODUTO MISTO ) Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u i, v j e w 5k. ) Determine o volume da caia, em forma de um paralelepípedo, de lados adjacentes AB, AC e A,, ; B,, ; C,, e D5,, AB e AC. AD, sendo. Calcular a altura desta caia relativa à base definida por ) Para que valor de m os pontos Am,, ; B,, ; C 5,, e D,, são coplanares? ) Sabendo que os vetores AB,,, AC m,, e AD,, volume, calcular o valor de m. determinam um tetraedro de

60 EXERCÍCIOS ) Utiliando o produto misto, determine o volume do paralelepípedo que tem u, w e adjacentes: a) u, 6,, v,, e w,, b) u,,, v,5, e w,, ) Determine o volume do tetraedro formado pelos vértices P,, ; Q,, ; R,, e S,, ) Três vértices de um tetraedro de volume 6 são (,, ) vértice D, sabendo que ele pertence ao eio O. v como arestas. A, B,, e,, C. Determinar o quarto ) Dados os pontos A,, ; B,, e C,,, determinar o ponto D do eio O para que o volume do paralelepípedo determinado AB, AC e AD seja igual a 5 u.v. 5) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u,,, v,, e w, m, u e v. seja igual a. Calcular a altura deste paralelepípedo relativo à base definida por 6) O ponto A,, é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são,, ;,, e D,, B C m. Determinar o valor de m para que o volume do paralelepípedo seja igual a u.v. RESPOSTAS: ) a) 6 u.v b) 5 u.v ) u.v ) D,, ou D,,5 7 5) m ou m e h 89 6)6 ou ) D,, ou D,, Capítulo : Produto Misto - Págs.: 99 a (,, 5, 6, 7, 9,,,, 6, 8)

61 Algumas Aplicações. Uma peça maciça de cristal tem o formato de um paralelepípedo determinado pelos vetores v (, -, ), v (-,, -) e v (,, -). Etraiu-se desse paralelepípedo uma peça no formato de um tetraedro cujas arestas coincidem com as arestas do paralelepípedo. Qual o volume de cristal desse tetraedro? u. v.. Na figura, a seguir, é possível verificar a trajetória descrita por uma partícula. As várias posições que ela ocupou estão indicadas por letras seguidas de números que representam os instantes, em segundos, da passagem da partícula por esses pontos. Determine o comprimento do vetor deslocamento, para essa partícula. R: 5m

62 . Determine a distância(d) necessária para posicionarmos a piscina junto ao prédio, de forma que a mesma receba o sol da manhã a partir das 8:hrs. O desenho abaio mostra de forma esquemática a situação descrita, onde os pontos A(-5,5,), B(-,-5,) e C(,-5,) são conhecidos. R: 5m. O seguinte sistema de forças atua sobre uma partícula: F = j+5k, F =-5i +j + k, F =i - j + k, F = i - j- k. Ache a resultante deste sistema de forças. A partícula estará em equilíbrio? Qual o efeito da força resultante sobre a partícula? 5. Um pintor pediu para o engenheiro lhe informar a quantidade de massa corrida que ele precisaria pegar no depósito para emassar uma área triangular de uma rampa inclinada. O engenheiro determinou através das coordenadas cartesianas os três vértices desse triângulo: (,,), (,,) e (,,). Sabendo que cada galão de massa corrida rende o

63 equivalente a metros quadrados para cada demão, quantos galões o pintor precisará para emassar essa área aplicando duas demãos? R. galão 6. Uma caia de madeira se encontra no ponto A. Um trabalhador pode movê-la para o ponto B (-,) ou para o ponto C = (-,). Utiliando seus conhecimentos de álgebra linear, chegou a conclusão que. Nessas condições, quais as coordenadas do ponto A? R: (/, -/) 7. Na torre da figura abaio, determine o ângulo formado entre os cabos AB e AC.

64 R: Apro.,69 o 8. Um ônibus parte em linha reta do ponto (,,) ao ponto (,,5). Se o gasto é de R$, por unidade de comprimento, qual o gasto total no deslocamento? R: R$, 9. Uma molécula de metano tem quatro átomos de hidrogênio (H) nos pontos indicados na figura abaio e um átomo de carbono (C) na origem. Determine o ângulo de ligação H-C- H.

65 R: Apro. 9,7º. A figura abaio representa uma coinha que deve ter as paredes revestidas de aulejos até o teto. Sabendo que cada porta tem,6m de área e que a janela tem uma área de m, quantos metros quadrados de aulejos são necessários para a realiação do revestimento? Dados: A(, -, ) B(, -, ) C(, -, ) D(, -, 5) E(, -, 5) R:,8m

66 A RETA ) a) Determine equações da reta r que passa por A(,,) e é paralela a v (,, ). b) Para t =, t =- e t = ; determine os pontos pertencentes a reta r. ) Dado o ponto A(,, ) e o vetor v (,,), pede-se: a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v. b) Determinar o ponto de r cuja abscissa é -. c) Verificar se os pontos D (,, ) e E (5,,) pertencem a r. d) Determinar para que valores de m e n o ponto F( m,5, n ) pertence a r. ) Verifique se as retas L e L são paralelas, em cada caso. a) b) L : t; t; t L : 9 t; 6 t; t L : t; t; t L : t; t; 8 t ) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(,, ) e B(,,). 5) Dadas as equações simétricas equações paramétricas da reta. 5. Determine o ponto inicial, o vetor diretor da reta e 6) Seja r :, determine as equações reduidas na variável. 7) Determine o ângulo entre as retas r: (,,) = (,-,) + t(-,,5) e s: 8) Determine o valor de m, para que as retas r: (,,) = (,-,) + t (,m,5) e s : sejam m ortogonais..

67 EXERCÍCIOS ) Obtenha as equações paramétricas para a reta que passa por,, e é paralela a i j k. ) Obtenha as equações paramétricas para a reta que passa por,,5 e é paralela a reta t; t; 6 t. ) Em que ponto a reta t; t, intersecta: a) o eio b) o eio c) a parábola ² ) Encontre as interseções da reta ; t; t com o plano, o plano e o plano. 5) Sejam L e L as retas cujas equações paramétricas são: L : t; t; t L : 9 t; 5 t; t a) Mostre que e L L intersectam no ponto 7,,. b) Determine o ângulo agudo formado entre L e L em seu ponto de interseção. c) Obtenha as equações paramétricas para a reta que é perpendicular a L e L e que passa no seu ponto de interseção. RESPOSTAS: ) t t t ) t t 5t ) a) 7, b) 7, c), 6 8 ) Plano :,, ; Plano :,, 5 : a reta não intersecta o plano. 5) b) 8,º c) 77t 7t ; Plano Capítulo 5: A reta - Págs.: 8 a ( a 9,,,, 6, 7, 9,,,, 8) O PLANO

68 ) Obtenha a equação geral do plano que passa pelo ponto A(,,) e tem n (,, ) como vetor normal. 5t ) A reta r : t t equação geral de. é ortogonal ao plano que passa pelo ponto A (,, ). Determine a ) Escreva uma equação geral do plano que passa pelo ponto A (,,) e é paralelo ao plano : 5. ) Determine a equação geral do plano representado na figura a seguir: 5) Dado o plano determinado pelos pontos A(,,), B(,, ) e C(,,6) obtenha um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de. EXERCÍCIOS ) Determine uma equação do plano que passa pelo ponto P e tem o vetor n como um vetor normal:

69 a) P,6, ; n,, b) P,, ; n,, ) Determine uma equação do plano que passa pelos pontos dados: A,, ; B,, e C,, ) Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois: a) b) 5 c). ) Determine o ângulo formado entre os planos: e. 5) Determine a equação do plano que passa pela origem e que é paralela ao plano 7. 6) Determine a equação do plano que passa pelo ponto,, 5 que é perpendicular aos planos e. Referencial de respostas: ) a) 8 b) ) 55 ) a) Paralelos b) Perpendiculares c) Nenhum dos dois ) 5º 5) 7 6) 5 6 Capítulo 6: O plano - Págs.: a 9 ( a )