LUÍS AUGUSTO PAIXÃO AVALIAÇÃO DA QUALIDADE DO ÓLEO ISOLANTE EM TRANSFORMADORES COM O EMPREGO DA FUNÇÃO DISCRIMINANTE QUADRÁTICA

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1 LUÍS AUGUSTO PAIXÃO AVALIAÇÃO DA QUALIDADE DO ÓLEO ISOLANTE EM TRANSFORMADORES COM O EMPREGO DA FUNÇÃO DISCRIMINANTE QUADRÁTICA CURITIBA 006

2 LUÍS AUGUSTO PAIXÃO AVALIAÇÃO DA QUALIDADE DO ÓLEO ISOLANTE EM TRANSFORMADORES COM O EMPREGO DA FUNÇÃO DISCRIMINANTE QUADRÁTICA Dissertação apresetada como requisito parcial à obteção do grau de Mestre em Ciêcias, a Área de Cocetração em Programação Matemática, Liha de Pesquisa em Métodos Estatísticos Aplicados à Egeharia, do Departameto de Matemática e Costrução Civil da Uiversidade Federal do Paraá. Orietador: Prof. Dr. Aselmo Chaves Neto CURITIBA 006

3 TERMO DE APROVAÇÃO Luís Augusto Paião Avaliação de óleo isolate em trasformadores com o emprego da Aálise Discrimiate Quadrática Dissertação aprovada como requisito parcial para obteção do grau de Mestre o Curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Egeharia Área de Cocetração em Programação Matemática, Setores de Tecologia e de Ciêcias Eatas da Uiversidade Federal do Paraá, pela seguite baca eamiadora: Orietador: Prof. Aselmo Chaves Neto, Dr. Departameto de Estatística /UFPR Prof a. Maria Tereziha Ars Steier, Dr. Departameto de Matemática /UFPR Eduardo Marques Tridade, Dr. Istituto de Tecologia para o Desevolvimeto Curitiba, de agosto de 006.

4 AGRADECIMENTOS À Prof. a Dra Maria Tereziha Ars Steier, que me apoiou equato estive distate do projeto icetivado-me a cotiuar até o fim. Ao Prof. Dr Aselmo Chaves Neto, que soube ter paciêcia em me aceitar como orietado, apesar de toda miha dúvida e iseguraça, dado-me apoio ecessário e costate. Ao Romeu Graato e à Luciae Túlio, que me acompaharam a área técica dos estudo dos óleos, sempre protos a discutir e saar as mihas dúvidas. Ao Herik Chaves, aluo e amigo, que me deu de presete a possibilidade de desevolver este trabalho. Ao Prof. Roaldo Gazal Rocha, verdadeiro amigo, que me apoiou o meu retoro à Curitiba, forecedo-me todo o apoio ecessário para o meu recomeço. À Prof. a Márcia Zauto Barbosa, grade amiga e compaheira de estudos, que sempre me icetivou e apoiou. Ao Prof. Emílio Rudolfo Fe Neto, que soube traqüilizar-me a hora de desevolver os estudos de programação. Ao Dr Eduardo Marques Tridade, pelas preciosas sugestões e orietações. À Maristela Badil, que desevolve um trabalho de grade qualidade a secretaria do Programa de Pós-graduação, sempre prota a prestar todos os esclarecimetos ecessários. A todos os professores do Programa de Pós Graduação em Métodos Numéricos em Egeharia - PPGMNE que toraram possível esta tarefa. A meus pais e irmãos que, embora distates, sempre estiveram próimos com seu apoio e icetivo. A miha esposa Elaie e a miha filha Louise, que pacietemete souberam se privar de miha preseça e que sempre me acolheram os mometos de agústia e iseguraça. A Deus, a Maior de todas as forças. iii

5 SUMÁRIO LISTA DE QUADROS... vi LISTA DE TABELAS... vii LISTA DE FIGURAS... viii RESUMO... i ABSTRACT... INTRODUÇÃO.... TEMA DO ESTUDO.... OBJETIVOS DO TRABALHO..... Objetivo geral..... Objetivos específicos....3 IMPORTÂNCIA DO TRABALHO....4 ESTRUTURA DO TRABALHO... REVISÃO DA LITERATURA INTRODUÇÃO TRANSFORMADORES Estrutura e fucioameto Distribuição de eergia elétrica SISTEMA ISOLANTE EM TRANSFORMADORES Óleo isolate em trasformadores Evelhecimeto e cotamiação do óleo Os esaios físico-químicos Teor de Água Ídice de Neutralização Tesão Iterfacial Rigidez Dielétrica Fator de Potêcia (Perdas Dielétricas) Temperatura do óleo....4 ANÁLISE MULTIVARIADA... iv

6 .4. Itrodução ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS MULTIVARIADAS Vetor médio amostral Matriz de covariâcia e matriz de correlação RECONHECIMENTO DE PADRÕES Aálise Discrimiate Aálise Discrimiate para duas populações Método de Fischer O problema geral da classificação A classificação com duas populações ormais Método de Fisher para diversas populações O problema geral da classificação com várias populações O Escore Quadrático de classificação Avaliação da fução de classificação MATERIAL E MÉTODO MATERIAL Especificações usadas a pré-classificação do óleo METODOLOGIA PARA O DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO Sistema Matlab Descrição da fução discq do Matlab Sistema PrjIsolate RESULTADOS CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICES ANEXOS...0 v

7 LISTA DE QUADROS QUADRO. - Mecaismo de Peroidação... 8 QUADRO. - Produtos da oidação... 9 QUADRO.3 - Eemplo ilustrativo de dois grupos... 9 QUADRO.4 - Custo de classificação... 8 QUADRO.5 - Probabilidade de Classificação... 8 QUADRO.6 - Matriz de Cofusão QUADRO 3. - Classificação do óleo como BOM QUADRO 3. - Classificação do óleo como A RECUPERAR QUADRO 3.3 Classificação do óleo como A REGENERAR QUADRO Pré-classificação do óleo QUADRO 4. - Matriz de Cofusão e APER para faia (abaio de 69kV). Com probabilidades iguais QUADRO 4. - Matriz de Cofusão e APER para faia (acima de 69kV e abaio de 40V). Com probabilidades iguais QUADRO Matriz de Cofusão e APER para faia (acima de 40kV). Com probabilidades iguais QUADRO Matriz de Cofusão e APER para faia (abaio de 69kV). Com probabilidades proporcioais QUADRO Matriz de Cofusão e APER para faia (acima de 69kV e abaio de 40V). Com probabilidades proporcioais QUADRO Matriz de Cofusão e APER para faia (acima de 40kV). Com probabilidades proporcioais QUADRO Coeficietes das fuções para o cálculo do escore discrimiate a faia (abaio de 69kV) QUADRO Coeficietes das fuções para o cálculo do escore discrimiate a faia (de 69kV a 40kV)... 6 QUADRO Coeficietes das fuções para o cálculo do escore discrimiate a faia 3 (acima de 40kV)... 6 vi

8 LISTA DE TABELAS TABELA. Uidades amostrais e represetação... 3 vii

9 LISTA DE FIGURAS FIGURA. - Esquema básico de um trasformador... FIGURA. - Trasformador de potêcia... 4 FIGURA.3 - Núcleo de um trasformador de potêcia... 5 FIGURA.4 - Esquema de distribuição de eergia elétrica... 6 FIGURA.5 - Hidrocarboetos parafíicos... 7 FIGURA.6 - Hidrocarboetos aftêicos... 7 FIGURA.7 - Hidrocarboetos aromáticos... 7 FIGURA.8 - DBPC... 9 FIGURA.9 - Defasagem etre correte e tesão 90º... FIGURA.0 - Defasagem real etre correte e tesão... FIGURA. - Problema clássico do recohecimeto de padrões-represetação... 8 FIGURA. - Represetação gráfica de dois grupos um par de eios... 0 FIGURA.3 - Represetação gráfica e ovo eio... 0 FIGURA.4 - Represetação geérica de duas populações... FIGURA.5 - Itersecção de regiões e probabilidades FIGURA.6 - Vetor médio das diversas populações FIGURA 3. - Chamada da fução discq FIGURA 3. - Matrizes de dados... 5 FIGURA Média dos grupos... 5 FIGURA Matriz de covariâcia... 5 FIGURA Vetor das costates... 5 FIGURA Matrizes com coeficietes de segudo-grau FIGURA 3.7 -Vetores com coeficietes de primeiro-grau FIGURA Tabela de classificação FIGURA Opção de prosseguimeto FIGURA Etrada de elemeto para classificação FIGURA 3. - Classificação viii

10 RESUMO O óleo mieral isolate em trasformadores de potêcia está sujeito à deterioração devido às codições mecâicas e químicas de uso. O óleo em serviço é submetido a reações de oidação devido à preseça de oigêio, água e metais. O acompahameto e a mauteção da qualidade do óleo isolate são etapas esseciais para assegurar uma operação cofiável dos trasformadores. A avaliação freqüete da qualidade do óleo em operação é feita através da comparação de medidas realizadas de determiadas características físicas e químicas com valores limites pré-determiados. O tempo etre duas medidas cosecutivas pode ser logo a poto de ão se evitar falhas e/ou trocas do equipameto. O objetivo pricipal dessa dissertação é apresetar uma ferrameta estatística/computacioal que possa fazer a avaliação do óleo isolate em operação, usado os dados físicos e químicos adquiridos ao logo dos aos. O estudo evolve a técica estatística de aálise discrimiate quadrática a área de recohecimeto estatístico de padrões.. i

11 ABSTRACT The isulatig mieral oil used i power trasformers is eposed to deterioratio due to the hard mechaical ad chemical usig coditios. The oil i service is submitted to the oidatio reactios due to the oge, water ad metal preseces. The costat care ad maiteace of the isulatig oil qualit are essetial stages to assure a cofidet operatio of these trasformers. The frequet evaluatio of the oil qualit i operatio is made b the compariso betwee kow limits ad determied values for phsical ad chemical characteristics. The time betwee two cosecutive measuremets ma be too large for prevetig faults, followed b the equipmet substitutio. The mai objective of this work is to develop a statistics/computatioal tool that could evaluate the isulatig oil coditio i operatio, usig the phsical ad chemical data acquired alog the ears. The stud ivolves the statistics techique of quadratic discrimiatio aalsis i the area of statistical patter recogitio.

12 INTRODUÇÃO. TEMA DO ESTUDO O uso do óleo mieral isolate em trasformadores data do fial do século XIX e, apesar de toda a evolução tecológica, cotiua sedo o sistema de isolameto mais utilizado. O óleo mieral isolate em trasformadores está sujeito à deterioração devido às codições de uso. O óleo em serviço é submetido a reações de oidação devido à preseça de oigêio, água e metais, sedo que estes últimos agem como catalisadores. O acompahameto e a mauteção da qualidade do óleo isolate são etapas esseciais para assegurar uma operação cofiável dos trasformadores de potêcia, o que está diretamete ligado ao sistema de preservação do óleo isolate. A avaliação atual da qualidade do óleo em operação é feita através de iterpretação das medidas feitas de determiados ídices/características com base em limites admissíveis aplicados. A freqüêcia de verificação das medidas dos ídices, muitas vezes, ão é feito a tempo de se evitar falhas e/ou trocas do equipameto. Desta forma, a costrução de uma ferrameta estatística/computacioal que possa sistematizar a aálise da qualidade do óleo em fução das medidas feitas periodicamete tora-se bastate útil e ecoomicamete iteressate.. OBJETIVOS DO TRABALHO.. Objetivo Geral Idetificar uma regra de recohecimeto de padrões que seja eficiete a classificação do óleo isolate de trasformadores as categorias: bom, a recuperar e a regeerar e, além disso, desevolver um programa computacioal que eecute esta atividade e apresete, de forma gráfica, a evolução da classificação, permitido a mauteção do equipameto de forma adequada.

13 .. Objetivos Específicos A fim de se alcaçar o objetivo geral estabeleceu-se os seguites objetivos específicos:. Separar os elemetos vetoriais em grupos de acordo com a forma operacioal em uso pelas empresas.. Costruir um algoritmo para discrimiação etre os grupos com base em uma fução discrimiate. 3. Desevolver um software em C++ para o algoritmo desevolvido..3 IMPORTÂNCIA DO TRABALHO A importâcia do trabalho reside em forecer uma ferrameta, até etão ão eistete, que permita torar mais eficiete e, coseqüetemete, mais ecoômico, o processo de mauteção dos trasformadores, através de uma caracterização rápida do óleo mieral em uso..4 ESTRUTURA DO TRABALHO Esta dissertação está orgaizada em cico capítulos. Além desta itrodução, tem-se o segudo capítulo a revisão de literatura ecessária à compreesão do assuto em questão, ou seja, óleos isolates usados em trasformadores e técicas de recohecimeto de padrões. Material e metodologia são apresetados o terceiro capítulo. Os resultados obtidos com o uso do software desevolvido são discutidos o quarto capítulo. Fialmete as coclusões com base o estudo realizado e sugestão para trabalhos futuros, ecotram-se o quito capítulo.

14 3 REVISÃO DE LITERATURA. INTRODUÇÃO O objetivo deste capítulo é eplicar, através de um teto acessível, o papel desempehado pelo óleo isolate um trasformador, sobre algumas medidas físico-químicas deste óleo, realizadas para a mauteção preditiva, além de forecer o embasameto teórico sobre aálise multivariada, mais precisamete sobre aálise discrimiate.. TRANSFORMADORES.. Estrutura e fucioameto O trasformador é um aparelho usado em diversas istalações elétricas. Sua pricipal fução é trasformar um ível de tesão elétrica em outro que se deseje. O trasformador fucioa baseado o pricípio da idução mútua. A figura. mostra um trasformador básico. FIGURA.- ESQUEMA BÁSICO DE UM TRANSFORMADOR A: bobia (primário) B: bobia (secudário) A B C: úcleo do trasformador Fote: o autor C Uma voltagem é aplicada uma das bobias de forma a se obter outra voltagem a outra bobia. O fucioameto é simples: a bobia A (chamada de primário) aplica-se uma voltagem (V a ) e uma correte elétrica. Isto feito, faz com que se iduza um campo magético o úcleo que, por sua vez, faz surgir a bobia B (chamada de secudário) uma correte elétrica e uma voltagem V b, que pode ser maior ou meor que V a, coforme o objetivo do uso do trasformador.

15 4 O cotrole da voltagem é feito pelo úmero de erolametos das bobias. Se o objetivo for aumetar a voltagem usa-se a bobia B um úmero de espiras maior que a bobia A e vice-versa para baiar a voltagem. No caso da figura., a bobia A tem mais espiras do que a B; se a etrada é em A, V b < V a. Grades trasformadores apresetam uma estrutura mais complea evolvedo a parte ativa (úcleo e bobias), óleo mieral isolate(a sua grade maioria), taque e acessórios. A fim de formar um circuito magético fechado, o úcleo de um grade trasformador é costituído de lâmias de aço-silício cortadas e arrumadas acomodado as bobias. A figura. mostra um grade trasformador e a figura.3 mostra o úcleo de um trasformador com algumas de suas partes idetificadas. O óleo mieral isolate etra justamete etre as partes ativas de forma a matê-las isoladas e refrigeradas. FIGURA. - TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA Fote :

16 5 FIGURA.3 - NÚCLEO DE UM TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA Fote:JASINSKI,R. Evelhecimeto de Trasformadores de Potêcia.. Distribuição de eergia elétrica Desde a sua geração até a utilização fial pelo cosumidor, a eergia elétrica ormalmete passa por sucessivas trasformações de voltagem. Logo após a voltagem alterada ser produzida, ela é elevada a subestação próima a usia. A ova voltagem é trasportada por logas distâcias até chegar a uma outra subestação próima ao cosumidor. Ali o valor é reduzido e já será útil às idústrias, mas aida deve ser dimiuído um pouco mais para o uso doméstico. Desta forma, próimo às residêcias, eistem trasformadores que irão reduzir a voltagem para 0 V ou 0 V (o caso do Brasil). A figura.4, a seguir, apreseta um esquema de distribuição de eergia elétrica.

17 6 FIGURA.4 - ESQUEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA fote: www. omega.ilce.edu.m: SISTEMA ISOLANTE EM TRANSFORMADORES A isolação os trasformadores é composta pelo óleo mieral isolate e pela parte sólida. Segudo Milasch (984), a maior parte da isolação sólida dos trasformadores é costituída de papel, ou seja, é de atureza celulósica. Os pricipais materiais celulósicos utilizados são o papel Kraft, que é feito de fibra de madeira; o papel mailha, feito de fibras de madeira e câhamo; o papelão kraft, também de fibra de madeira e o pressboard, que é um papelão com fibra de algodão. Quado se deseja resistêcias a altas temperaturas, emprega-se também o papel termoestabilizado, que é um papel cuja celulose passa por um tratameto especial. O óleo isolate mieral utilizado em equipametos elétricos é obtido através da destilação do petróleo atural, da fração de 300 a 400 C. Este destilado pode ser de origem parafíica ou aftêica. Este fluido é apropriado para uso em equipametos elétricos devido às suas propriedades dielétricas e refrigerates (baia viscosidade). O sistema de isolameto óleo/papel é bastate atigo e deve cotiuar a ser utilizado, pois é bastate eficaz e de custo reduzido em relação a outros meios dielétricos.

18 7.3. Óleo isolate em trasformadores O óleo mieral isolate é uma mistura a qual a maioria das moléculas é costituída basicamete por carboo e hidrogêio e, em pequeas quatidades, por compostos que apresetam itrogêio, eofre e oigêio em sua estrutura, ou seja, é um hidrocarboeto. Os hidrocarboetos,que costituem a maior parte do óleo, podem ser divididos em parafíicos (saturados, cadeia aberta liear ou ramificada), aftêicos (saturados, cadeia fechada cotedo de um a seis aéis, sedo que estes podem possuir uma ou mais cadeias laterais lieares ou ramificadas) ou aromáticos (cotêm um ou mais aéis aromáticos, podedo apresetar ou ão cadeias laterais) coforme mostram as figuras.5,.6 e.7, respectivamete. FIGURA.5 - HIDROCARBONETOS PARAFÍNICOS FIGURA.6 - HIDROCARBONETOS NAFTÊNICOS FIGURA.7 - HIDROCARBONETOS AROMÁTICOS.3. Evelhecimeto e Cotamiação do Óleo Na operação do trasformador, o óleo passa por um processo de evelhecimeto resultate da solicitação por temperatura, ação do oigêio e de materiais presetes a costrução (cobre e outros). Como coseqüêcia, ocorre a deterioração das propriedades

19 8 isolates do óleo e os seus produtos promovem a aceleração do processo de degradação da celulose e a formação de borra. O processo que rege a oidação dos hidrocarboetos é o mecaismo de peroidação, que pode ser proposto, coforme Graato, tal como mostra o quadro (.). QUADRO. - MECANISMO DE PEROXIDAÇÃO REAÇÃO EM CADEIA Iício da reação: Formação de Radical Livre R H + O R + H O R Formação de Radical Peróido R O O + O R O O R Formação de Hidroperóido ROOH R O O + R' H ROOH + R' Trasformação do Hidroperóido em Radical Peróido ROOH + O ROO + OH Combiação dos Radicais Formados Térmio da reação em cadeia R + R R R R + ROO ROOR ROO + R' OO ROH + RCOR' + O Após a formação dos hidroperóidos, de acordo com sua espécie, diferetes produtos de oidação são formados tais como álcoois, aldeídos e cetoas. Os álcoois, aldeídos e cetoas são chamados de produtos itermediários e, a preseça de oigêio, dão origem a ácidos carboílicos. Estes produtos são moléculas polares de características ácidas, que agridem o papel isolate e demais materiais itegrates dos trasformadores. Numa etapa fial ocorrem reações de polimerização, as quais várias moléculas reagem formado um composto de alto peso molecular (mais pesado que o óleo), isolúvel, também de características ácidas e que se deposita sobre a forma de borra. O quadro. mostra os produtos da oidação, coforme sugestão de Graato.

20 9 QUADRO. - PRODUTOS DA OXIDAÇÃO Formação de Álcool e Cetoa a partir de Hidroperóido Terciário Formação de Cetoa e Ácido a partir de Hidroperóido secudário Formação de Aldeído e Ácido a partir de Hidroperóido Primário A fim de esteder a vida útil dos óleos mierais, a eles são adicioados iibidores de oidação, sedo o DBPC (di-terc-butil-para-cresol) um dos mais cohecidos. Os iibidores ão evitam a oidação, mas a retardam. FIGURA.8 - DBPC.3.3 Os esaios físico-químicos Nos trasformadores, o líquido isolate circula em cotato com as diversas partes do equipameto e, desta forma, a aálise de suas características físico-químicas permite realizar

21 0 medidas prevetivas sobre o óleo e sobre o próprio trasformador, já que, alterações destas características, podem idicar ão só o evelhecimeto do líquido isolate, como sua cotamiação. O ídice de eutralização, o teor de água, a tesão iterfacial, a rigidez dielétrica e o fator potêcia são, detre outros, esaios físico-químicos importates para a verificação do estado de evelhecimeto e/ou cotamiação do óleo em operação Teor de Água A umidade sempre está presete os líquidos isolates, em quatidades variáveis, que depedem da forma como o líquido foi maipulado e da estrutura química do mesmo. Mesmo em pequeas quatidades, pode prejudicar as características isolates do líquido, dimiuido sua rigidez dielétrica. O teor de água é medido em partes por milhão (ppm), ou seja, epressa a quatidade de litros de água para cada milhão de litros de óleo Ídice de Neutralização Durate a utilização do óleo o equipameto, este passa por oidação e, em coseqüêcia, há a formação de ácidos, que, dada uma certa cocetração, toram-se bastate idesejáveis, pois reagem com materiais do próprio equipameto (pricipalmete o papel) dimiuido a sua vida útil. O Ídice de Neutralização é a medida da quatidade de hidróido de potássio (KOH) ecessária para eutralizar os costituites do óleo. Verificam-se quatos miligramas de KOH são ecessários para cada grama de óleo. É uma medida idireta do grau de oidação do óleo Tesão Iterfacial Na superfície de separação etre o óleo e a água forma-se uma força de atração etre as moléculas dos dois líquidos que é deomiada tesão iterfacial. A medida da tesão é represetada pela força ecessária para que um ael de platia rompa a iterface água-óleo. É uma medida idireta da cocetração de compostos polares presetes o óleo.

22 À medida que o óleo vai sedo usado, oida-se, coforme já mecioado, e, este processo, há a formação de compostos polares como álcoois, aldeídos, ácidos e cetoas, que iteragem fortemete com a água que é polar, dimiuido a tesão iterfacial. Valores baios um óleo ovo podem idicar má qualidade ou cotamiação advida de mauseio, trasporte ou armazeameto idevidos Rigidez Dielétrica É a medida de capacidade de um líquido isolate em resistir ao impacto elétrico sem falhar. É a tesão alterada, coforme Milasch (984), medida em kv, a qual ocorre a descarga disruptiva a camada de óleo situada etre dois eletrodos e em codições perfeitamete determiadas. A rigidez mede idiretamete as impurezas cotidas o óleo, tais como água, fibras celulósicas e partículas (poeira, metais etc.). No óleo ovo pode idicar a qualidade de mauseio, trasporte e armazeameto e, além disso, avaliar o processo de secagem a que ele foi submetido Fator de Potêcia (Perdas Dielétricas) Ao se submeter um líquido isolate a um campo elétrico alterado, aquele passa por perdas dielétricas. Quato maior esta perda, pior estará o óleo para os seus objetivos. O processo para se medir as perdas cosiste em colocar o líquido detro de um capacitor, aplicar uma tesão seoidal V e verificar a correte I (alterada seoidal) que emerge do aparelho. Um isolate perfeito produz uma correte defasada de 90º da tesão V (figura.9). FIGURA.9 - DEFASAGEM ENTRE CORRENTE E TENSÃO 90º

23 Na prática o isolate (dielétrico) perfeito ão eiste e a defasagem acaba sedo meor que 90º e assim tem-se um âgulo de perdas α e o âgulo β etre o vetor V e o vetor I t (figuta.0). FIGURA.0 - DEFASAGEM REAL ENTRE CORRENTE E TENSÃO Mede-se o cosseo de ϕ ou a tagete de δ, quato maiores as perdas dielétricas, maiores estes valores. Segudo os esia Milasch (984), o fator de potêcia do óleo aumeta com a temperatura e com a quatidade de substâcias polares proveietes da deterioração do óleo Temperatura do óleo A temperatura é um dos fatores que aceleram a oidação do óleo. É fator também de correção do teor de água pois quado o óleo está mais aquecido a umidade migra do papel para o óleo e quado a temperatura dimiui a tedêcia é cotrária, ou seja, migração da umidade para o papel..4 ANÁLISE MULTIVARIADA.4. Itrodução O estudo de um problema prático raramete se reduz ao estudo da relação etre duas variáveis; é muito mais compleo e eige ormalmete a utilização de várias variáveis. A Aálise Multivariada é a área da estatística que trabalha com várias variáveis simultaeamete.

24 3 A evolução das técicas estatísticas multivariadas está atrelada à revolução da iformática, aos avaços tecológicos em computação. Embora a teoria teha sido desevolvida ates dos progressos computacioais, permaecedo, durate algum tempo, quase que ierte, foi com a possibilidade de desevolvimeto de cálculos compleos de forma rápida e precisa, com a possibilidade de maipulação de grades bacos de dados, de praticamete qualquer tamaho, que a aálise multivariada assumiu papel importate detro de quase todas as áreas do cohecimeto. Equato a estatística uivariada trabalha-se com uma variável eplicativa (uma úica característica), a Aálise Multivariada cosidera-se um vetor X cujas compoetes são variáveis aleatórias e suas técicas ão tratam apeas com uma dimesão de aálise de dados, mas também com uma escala de cruzameto etre várias variáveis depedetes, ou ão, e também um cruzameto de dados que evolvem iformações depedetes, permitido ao pesquisador um cojuto muito mais abragete de iformações que o caso uivariado. Os dados multivariados são proveietes de uma pesquisa em determiada área em que são selecioadas p variáveis ou características para serem mesuradas. As medidas são tomadas em cada uidade da amostra ou do eperimeto. A represetação destes dados é feita com a otação ij para idicar um valor particular da i-ésima uidade amostral ou eperimetal e da j-ésima variável mesurada. Esta represetação pode ser vista através da tabela.. TABELA. - UNIDADES AMOSTRAIS E REPRESENTAÇÃO Uidades Amostrais... Variáveis X X... X p... p... p Vetor X... p

25 4 Segudo Johso e Wicher (998), os valores represetados a Tabela., tomado-se observações de cada vetor aleatório X, podem ser represetados através de uma matriz de dados de ordem p: X p... p =... p M M O M (.)... p A represetação da matriz de dados correspode a observações (uidades amostrais) ' do vetor X = X, X,... ] de dimesão p, composto por p variáveis aleatórias, pode ser [ X P X = ). Etededo-se que o vetor aleatório X, de dimesão p, foi observado vezes p ( ij dado origem a matriz de dados X de ordem p. Detre as diversas técicas multivariadas pode-se citar as que tratam da estrutura da covariâcia do vetor, ou seja, Aálise de Compoetes Pricipais, Aálise Fatorial e Aálise de Correlação Caôica. Eistem também aquelas que trabalham com recohecimeto e classificação de padrões, detre as quais pode-se citar a Aálise Discrimiate (Fução Discrimiate Liear de Fisher, Fução Quadrática de Classificação) e Regressão Logística. Fialmete, deve-se citar as técicas de agrupametos de etidades vetoriais semelhates sedo esta destacada a Aálise de Agrupameto (Cluster Aalsis)..4. Estatísticas Descritivas Multivariadas.4.. Vetor médio amostral As estatísticas são usadas a iferêcia sobre os parâmetros populacioais, desta forma, o vetor médio populacioal µ será estimado pelo vetor médio amostral defiido pela epressão adiate: i i= X = (.)

26 5.4.. Matriz de covariâcia e matriz de correlação A partir dos coceitos de esperaça e variâcia tem-se (.3): ( ) = = p X p E X E X E X E µ µ µ M M ) ( ) ( ) ( (.3) E como: )]'} ( )].[ ( {[ )] ( [ ) ( X E X X E X E X E X E X V = = etão: [ ] = p p p p X X X X X X E X V µ µ µ µ µ µ.... ) ( M dode se coclui que ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) = ) ( p p p p p p p p X X X X X X X X X X X X X E X V µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ M O M M ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) = ] [ ] [ ] [... ] [ ] [ ] [... ] [ ] [ p p p p p p p p X E X X E X X E X E X X E X X E X X E X E µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ M O M M e fialmete: = ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) ( p p p p X V X X Cov X X Cov X V X X Cov X X Cov X X Cov X V X V (.4) ode ) ( i X V é a variâcia da variável i e ), ( j X i X Cov é a covariâcia etre a variável i e a variável j sedo j i.

27 6 A otação mais comum para a matriz de covariâcia é apresetada pela fórmula.5: = (X ) V = p p p p p σ σ σ σ σ σ σ σ σ M O M M (.5) E a correlação: = p p p p ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ M O M M ode k i ik k i ik ik σ σ σ σ σ σ ρ.. = = (.6) Os parâmetros e ρ são estimados, respectivamete, pela matriz de covariâcia amostral ) e pela matriz de correlação amostral ρ ) = R, dode se tem: )' )( ( X X X X i i i = = ), ou, para trabalhar com o estimador ão-viciado: = = = )' )( ( p p p i i i s s s s s s s s s X X X X S M O M M (.7) e sedo defiida a matriz desvio-padrão estimada:

28 7 D s 0 = M 0 0 s M O e sua iversa M s p D s 0 = M 0 0 s M O etão: M s p r R = D. S. D = M rp r M r p O... r p r p ode M r ij s s. s ij = para i j i j (.8).5 RECONHECIMENTO DE PADRÕES O homem utiliza-se de sua iteligêcia para difereciar objetos através de suas características e, a busca para efetuar este processo de maeira mais rápida e eficiete, emprega o computador, emulado a capacidade humaa através de algoritmos. Surge daí o que é chamado de Recohecimeto de Padrões. O Recohecimeto de Padrões é um cojuto de técicas capaz de classificar, associar e agrupar objetos através de suas descrições (atributos/ características/ variáveis). Historicamete, as pricipais abordages de Recohecimeto de Padrões são: a abordagem estatística (assume que as características das classes se regem por determiados modelos probabilísticos) e a abordagem sitática ou estrutural (procura descrever a estrutura dos padrões usado iter-relações de características descritivas básicas deomiadas primitivas). Mais recetemete surgiu a tecologia de Redes Neurais (a chamada abordagem tipo "caia egra" que procura determiar um mapeameto ótimo etre etradas e saídas ispirado-se em modelos de eurôios do cérebro) e também métodos de Programação Matemática. O Recohecimeto de Padrões acaba por evolver várias áreas do cohecimeto com a iformática.

29 8 Processameto de sial e imagem, teoria da otimização e da estimação, iteligêcia artificial, apredizagem automática (machie learig), mieração de dados (data miig ad kowledge discover), redes eurais (artificial eural etworks), teoria da automação e modelização estrutural são áreas especialmete evolvidas com o Recohecimeto de Padrões. O Recohecimeto de Padrões tem etão uma vasta aplicação um grade úmero de áreas cietíficas e tecológicas : sistema de gestão de iformações, aálise de dados de satélites, detecção de defeitos a produção idustrial, aálise de assiaturas, recohecimeto de fotografias, aálise e recohecimeto da fala, aálise de eletrocardiogramas, aálise de radiografias, avaliação de solos, previsões ecoômicas, aálise sísmica, recohecimeto automático de alvos (aplicação bélica), detre outras. No Recohecimeto de Padrões o problema clássico pode ser apresetado da seguite forma: Dado um vetor de medidas m i, obter um método de iversão de mapeameto as relações g e m, de modo a idetificar a classe geradora de medidas. Veja o raciocíio a figura. a seguir: FIGURA. - PROBLEMA CLÁSSICO DO RECONHECIMENTO DE PADRÕES -REPRESENTAÇÃO Pode-se dizer que fudametalmete o Recohecimeto de Padrões busca etrair a característica do item e um segudo mometo o caracteriza. A característica é defiida como um vetor de medidas do padrão (item) a ser classificado. Por eemplo, quado se deseja difereciar uma letra qualquer do alfabeto de outra, um E, de um F ou de um A, é possível comparar o úmero de traços horizotais, verticais e icliados.

30 9.5. Aálise Discrimiate A Aálise Discrimiate é uma técica estatística, detre outras do Recohecimeto de Padrões, usada para descobrir as características que distiguem os membros de um grupo dos de outro, de modo que, cohecidas as características de um ovo idivíduo, se possa prever a que grupo pertece através de uma regra de recohecimeto e classificação. Foi origialmete desevolvida a Botâica tedo por objetivo fazer a distição de grupos de platas com base o tamaho e o tipo de folhas o que toraria possível, posteriormete, classificar as ovas espécies ecotradas. Em 936, Fisher foi o resposável pelo desevolvimeto da aálise para dois grupos..5. Aálise Discrimiate para duas populações Método de Fisher A aálise discrimiate pode se desevolvida para populações, mas, esta seção, será apresetado o método de Fisher para apeas duas populações. A idéia iicial de Fisher foi trasformar as observações multivariadas X as observações uivariadas Y tal que os Y s as populações π e π fossem separadas tato quato possível. Isto seria feito fazedo Y como combiação liear de X. Numa situação ilustrativa cosidere-se dois grupos A e B cada um com 0 elemetos caracterizados por duas variáveis: X e X. Supoha que o grupo A eistam 0 amostras e o grupo B também 0 amostras coforme o quadro seguite: QUADRO.3: EXEMPLO ILUSTRATIVO DE DOIS GRUPOS A X X X X 0,87 0,73 0,48 0,33,65 0,7,45 0,07, 0,93 0,55 0,55,43 0,9 B 0,8 0,7,3 0,0 0, 0,74,8 0,5,04 0,04,59 0,4 0,3 0,93,33 0,4 0,95 0,6,87 0,38,97 0,34 0,5 0,95 0,73 0,3

31 0 Colocado um par de eios X e X os valores ecotrados em cada grupo costrói-se uma represetação coforme a figura.. FIGURA. - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DOIS GRUPOS NUM PAR DE EIXOS elemeto do grupo A elemeto do grupo B Cosiderado apeas a variável aleatória X (projeção dos dados o eio das abscissas) os grupos ficam misturados. O mesmo ocorre cosiderado a variável aleatória X. Seria possível algum outro eio em que as populações fossem melhor discrimiadas/separadas? A figura.3 mostra um ovo eio que recebedo a projeção dos dados poderia realizar melhor a separação. FIGURA.3 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA E NOVO EIXO

32 Observe a figura.4 com três situações hipotéticas (I, II, III) para a distribuição Y de duas populações. FIGURA.4 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE DUAS POPULAÇÕES As áreas comus correspodem a regiões em que ão é possível fazer-se uma difereciação precisa etre as populações. A área comum tede a aumetar ou a dimiuir coforme a curva. Observe os casos I e II. No caso I as médias populacioais estão mais próimas que o caso II. No caso III, devido a uma pequea variâcia, a região comum também tem sua área dimiuída. Com base as idéias acima, Fisher desevolveu o método que leva o seu ome. Sejam: π e π dois grupos (populações) e as observações que cosistem as medidas de p variáveis aleatórias represetadas por vetores aleatórios X, ou seja, X` =[... p ],

33 µ Y = média dos Y s obtidos dos X s pertecetes à população π e µ Y = média dos Y s obtidos dos X s pertecetes a π. Fisher selecioou a combiação liear que maimiza a distâcia quadrática etre µ Y e µ Y com relação à variabilidade dos Y s. Sejam: µ = E X π ) : valor esperado de uma observação multivariada de π. (.9) ( e µ = E X π ) : valor esperado de uma observação multivariada de π. (.0) ( e aida supodo a matriz de covariâcia: Σ = E [( X µ )( X µ )' ], i =, (.) i i como sedo a mesma para ambas as populações (Σ =Σ ), etão cosiderado a combiação liear: Y = c' X (.) e substituido. em.8 e.9, tem-se que: e e µ = ( c µ (.3) Y E Y π ) = E( c' X π ) = c' E( X π ) = ' µ = ( c µ (.4) Y E Y π ) = E( c' X π ) = c' E( X π ) = ' σ Y = V ( Y ) = V ( c' X ) = c' V ( X ) c = c' c (.5) que é a mesma para as duas populações. Segudo Fisher, a melhor combiação liear vem da razão etre o quadrado da distâcia etre as médias e a variâcia de Y, ou seja,

34 3 ( µ µ ) ( c µ c' µ ) ( c' ) ' Y Y δ = = σ Y c' c c' c (.6) em que: δ = µ µ e V (X ) = A razão ( c ' δ) c ' Σc é maimizada por c = kσ δ = kσ ( µ µ ) para qualquer k 0. Escolhedo-se K = tem-se c = ( µ µ ) e Y = c' X = ( µ µ )' X (.7) que é cohecida, de acordo com Johso & Wicher (998), como Fução Discrimiate Liear de Fisher (F.D.L) e ela faz a separação o melhor possível. Cosidere-se agora a questão da classificação, ou seja, dada uma ova observação X 0, como a fução iria alocá-la : a população π ou π? Assim, seja: Y = µ )' 0 ( µ X 0 (.8) como valor da F.D.L. de Fisher para uma ova observação X 0 e seja m o poto médio etre as duas populações uivariadas, etão: m = ( µ Y + µ Y ) = ( c' µ + c' µ ) = = [( µ µ )' ( µ + µ )] c' ( µ + µ ) = (.9)

35 4 E aida pode-se mostrar que: 0 ) ( )' ( ) ( )' ( )' ( ) ( )' ( )) )' (( ) ( 0 0 = = + = = = µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ π µ µ π X E m Y E (.0) ou seja E(Y 0 π ) m 0 (.) e aalogamete E(Y 0 π ) m < 0 (.) Tem-se etão que se X 0 π, é esperado que Y 0 seja maior ou igual a m e, por outro lado, se X 0 π, é esperado que Y 0 seja meor que m. A regra de classificação fica: Alocar X 0 em π se Y 0 m ou Alocar X 0 em π se Y 0 < m Como se sabe, a prática ão são cohecidos os parâmetros populacioais e, desta forma, a F.D.L. de Fisher deverá ser estimada. Tem-se etão X S X X X c Y p )' ( ˆ' ˆ = = (.3) sedo o poto médio m estimado por:

36 5 m = ( X Y ) = + Y )' ( X S p X + X (.4) ode: X = X i (estima µ ) i= (.5) X = X i (estima µ ) i= (.6) ( = ) S + ( ) S S p (estima Σ) + (.7) com: S = ( X i X )( X i X )' i= (.8) S = ( X i X )( X i X )' i= (.9) Sedo assim, a regra de alocação baseada a F.D.L. de Fisher estimada fica: Alocar X 0 em π se Ŷ 0 mˆ 0 ou Ŷ 0 mˆ ou Alocar X 0 em π se Ŷ 0 mˆ < 0 ou Ŷ 0 < mˆ

37 6.5.3 O problema geral da classificação Uma outra forma de se discrimiar duas populações é realizar a partição do espaço amostral Ω em duas regiões distitas R e R, relacioadas às populações π e π respectivamete (R R = φ e R R = Ω). Com as regiões defiidas, pode-se usá-las para classificar um ovo elemeto (observação) como pertecete a uma das duas populações, ou seja, se o elemeto pertecer a R, quer dizer que a observação vem de π, caso cotrário vem de π. O problema que se tem em vista é o de determiar essas duas regiões e, para tal, deve-se cosiderar: que eiste a possibilidade de se cometer erro de classificação, ou seja, alocar uma observação em π, quado a verdade ela seria de π e vice-versa; o úmero de observações de uma população pode ser bem maior que o da outra, ou seja, a probabilidade de um elemeto pertecer a uma das populações pode ser maior do que pertecer a outra; um erro de classificação pode ser mais grave que outro. Na regra de classificação defiir-se-ia, etão, um custo para cada tipo de erro, sedo um custo maior para um erro mais grave e a difereça etre o úmero de observações etre as populações seria epressa pela probabilidade a priori de uma observação pertecer a cada uma das populações. O objetivo seria o de se obter o meor custo esperado de classificação errada ao se fazer a partição do espaço amostral. Sejam f ( ) e f ( ) as fuções desidades de probabilidades associadas ao vetor X X X aleatório para as populações π e π, respectivamete. Seja P(i j) a probabilidade de se classificar um objeto em π i quado a verdade ele é π j. Essas probabilidades são dadas respectivamete por: ( ) = P( X R ) = f R =ΩR P π ( X ) d X (.30)

38 7 e P( ) = P( X R π ) = f ( X ) d X (.3) R Da mesma forma, pode-se defiir P(i i), ou seja, a probabilidade de se classificar uma população em π i, quado realmete é de π i, i =,. P( ) = P( X R π ) = f( X ) d X (.3) e R P( ) = P( X R π ) = f ( X ) d X (.33) R A figura.5 ilustra as regiões e respectivas probabilidades o caso uivariado. FIGURA.5 - INTERSECÇÃO DE REGIÕES E PROBABILIDADES Seja p a probabilidade a priori da observação pertecer a π e p a de pertecer a π, com p + p =.

39 8 Cosidere os custos de classificação errada dados coforme a quadro.4 e as probabilidades de classificação pelo quadro.5. Quadro.4 Custo de classificação POPULAÇÃO REAL POPULAÇÃO PREVISTA π π π c( ) c( ) π c( ) c( ) c( )=0 é o custo de classificação de uma observação de π em π. c( ) é o custo de classificação de uma observação de π em π. c( ) é o custo de classificação de uma observação de π em π. c( )=0 é o custo de classificação de uma observação de π em π. Quadro.5 Probabilidade de Classificação POPULAÇÃO REAL POPULAÇÃO PREVISTA π π π P(,) P(,) π P(,) P(,) Assim, as probabilidades de classificação, correta ou ão, são dadas por: P(,) =P (classificação correta em π ) = P(observação proveiete de π e classificada corretamete em π ) = P ( X R π ). P( π ) = P( ). p (.34) P(,) =P (classificação icorreta em π ) = P(observação proveiete de π e classificada icorretamete em π ) = P ( X R π ). P( π ) = P( ). p (.35) P(,) =P (classificação icorreta em π ) = P(observação proveiete de π e classificada icorretamete em π ) = P ( X R π ). P( π ) = P( ). p (.36)

40 9 P(,) =P (classificação correta em π ) = P(observação proveiete de π e classificada corretamete em π ) = P ( X R π ). P( π ) = P( ). p (.37) O Custo Esperado de Recohecimeto Errado (epected cost of misclassificatio) (ECM) é dado por: ECM = c( ) P(,) + c( ) P(,) + c( ) P(,) + c( ) P(,) (.38) e como c ( ) = c( ) = 0 etão ECM = c( ) P(,) + c( ) P(,) (.39) ou aida ECM = c( ) P( ) p + p (.40) c( ) P( ) É bastate razoável que a regra de classificação seja a de determiar R e R que torem o ECM tato meor quato possível. Etão, a partir de (.39) : ECM = c( ) p f( X ) d X + c( ) p f ( X ) d X (.4) R R Sedo R R = Ω, etão R f ( X ) d X = f( X ) d X R (.4) Etão o ECM fica: ECM = c( ) p[ f( X ) d X ] + c( ) p R R f ( X ) d X ECM = c( ) p c( ) p f( X ) d X + c( ) p R R f ( X ) d X

41 30 ECM = c ) p + [ c( ) p f ( X ) d X c( ) p f ( X )] d X (.43) ( R Sabe-se que p p, c( ), c( ), f ( ) e f ( ) são ão egativos e que somete as, X fuções depedem de X. Assim, o ECM será miimizado quado R icluir todos os valores de X tais que: X R : f( X ) f ( X ) c( ) p c( ) p (.44) E, sedo R o complemetar de R em Ω, tem-se : R : f( X ) < f ( X ) c( ) p c( ) p (.45) Verificam-se algus casos especiais para o ECM: p Probabilidades a priori iguais, ou seja, =, o que tora as desigualdades (.44) e p (.45) iguais a : f( X ) c( ) R : f ( X ) c( ) e f( X ) c( ) R : < f ( X ) c( ) (.46) (.47) c( ) Custo de recohecimeto errado iguais, ou seja, = e assim: c(( )

42 3 f ( X ) R : f ( X ) e f ( X ) R : < f ( X ) p p p p (.48) (.49) p c( ) A razão etre as probabilidades iguais à razão etre os custos ( = = ) ou a p c ( ) razão etre as probabilidades iversa a dos custos ( p = ) e assim: p c( ) c( ) f( X ) R : f ( X ) e f( X ) R : < f ( X ) (.50) (.5) Algumas cosiderações: Normalmete, quado as probabilidades a priori ão são cohecidas, tomam-se seus valores como iguais; Caso a razão de custos de recohecimeto errado ão seja determiada, pode-se tomála como uitária..5.4 A classificação com duas populações ormais Sejam os vetores aleatórios X de duas populações π e π com distribuições ormais multivariadas de parâmetros µ, e µ, respectivamete. Neste caso, para obter-se a regra de classificação, basta substituir a fução desidade de probabilidade da distribuição ormal multivariada (.5):

43 3 = ) ( )' ( ep ) ( ) ( / / µ µ π X X X f p i, i=, (.5) em (.44) e (.45) obtedo-se, após simplificação com o emprego de logaritmos aturais, a seguite regra : + ( ) ) ( l ) Σ ' Σ ' ( ) ( ' X X X : p c p c k R µ µ (.53) e < + ( ) ) ( l ) Σ ' Σ ' ( ) ( ' X X X : p c p c k R µ µ (.54) ode ) Σ ' Σ ' ( l µ µ µ µ + = k (.55) Lembrado mais uma vez que os parâmetros populacioais a realidade são descohecidos, com os estimadores a regra fica : Alocar X 0 em π se + ' 0 ' 0 ' ' 0 ' 0 ( ) ) ( l ˆ ) ( ) ( p c p c k X S X S X X S S X (.56) e em π caso cotrário. Sedo:

44 33 ˆ k = l S S + ( X ' S X X ' S X ) (.57) Essa regra é uma fução quadrática de X, cohecida como discrimiate quadrática. Caso as matrizes de covariâcias sejam iguais, os primeiros elemetos das relações (.53), (.54) seriam ulos e, coseqüetemete : c( ) p R + : ( µ µ )' Σ X ( µ µ )' Σ ( µ µ ) l (.58) c( ) p e c( ) p R + < : ( µ µ )' Σ X ( µ µ )' Σ ( µ µ ) l (.59) c( ) p e que, com os estimadores, se tora: Alocar X 0 em π se c( ) p R + )'S )'S ( ) : ( X X X 0 ( X X X X l (.60) c( ) p e em π caso cotrário. Com (.) e (.) (otação de Fisher) a regra fica: Alocar X 0 em π se c( ) p Y m + l 0 c( ) p (.6)

45 34 e em π se c( ) p Y < m + l 0 c( ) p (.6) A quatidade l c( ) p c( ) p represeta o quato se desloca o limite de Fisher levado-se em cota os custos de classificação e as probabilidades a priori. Se os custos e as probabilidades são iguais, a regra é igual a de Fisher; se c( ) > c( ) e as probabilidades a priori são iguais, o limite é deslocada para a esquerda (m + logaritmo dimiuem); se p >p e os custos forem iguais, o limite é deslocado para a direita (m + logaritmo aumetam)..5.5 Método de Fisher para diversas populações O método de Fisher tratado em (.5.) pode ser estedido para diversas populações. O método suprime a ecessidade de que as diversas populações sejam ormais, etretato é assumido que as matrizes de covariâcias populacioais Σ s sejam iguais, isto é, Σ = Σ =... Σ g = Σ Assim, seja µ o vetor médio das diversas populações: µ = g g µ i i = (.63) O vetor médio das diversas populações fucioa como um cetro de gravidade coforme a figura (.6). Seja B 0 a matriz soma de produtos cruzados etre grupos populacioais tal que: g B = ( )( )' 0 µ µ µ µ i = i i (.64)

46 35 FIGURA.6 - VETOR MÉDIO DAS DIVERSAS POPULAÇÕES Há de se otar que se os vetores de média das populações forem iguais, ão há difereça etre as populações e B 0 =0. A combiação liear Y = c ' X tem esperaça dada por E(Y) c ' E( X π ) = c' µ i i = (.65) para i =,,..., g, e variâcia dada por: σ Y = V ( Y ) = V ( c' X ) = c' V ( X ) c = c' Σc (.66) para todas as populações. Desta forma o valor esperado µ = c'µ iy i se altera quado a população da qual X é selecioado é outra. Tem-se etão uma média global dada por:

47 36 g g µ µ Y = µ = ' c' µ g i iy c = i = g i= (.67) e coseqüetemete a razão etre a soma dos quadrados das distâcias das populações para a média global de Y e a variâcia de Y é: g g g (µ µ ) (c' c' ) [c'( )( ) ' c] i iy Y µ µ µ µ µ µ = i = i i = i i σ = = c' Σc c' Σc Y g c'[ ( µ µ )( µ µ ) c i i ' ] c' B c = i = = 0 c' Σc c' Σc (.68) que é uma geeralização multi-grupal do caso de duas populações. Esta razão mede a variabilidade etre os grupos de valores Y relativamete à variabilidade comum etre os grupos. Aalogamete ao problema de duas populações pode-se selecioar c que maimiza esta razão. É coveiete escaloar c tal que c ' Σc =. Sejam λ λ... λ s > 0 os s mí(g, p) autovalores ão-ulos (g = º de populações, p = º de variáveis) de Σ - B 0 e e, e,..., e s os correspodetes autovalores escaloados tal que e ' Σe =. Etão o vetor de coeficiete c que maimiza a razão c' B 0 c' Σc dado por c = e. Deomia-se primeiro discrimiate a combiação liear c ' X e' = X, segudo discrimiate codição c ' X,c ' X) 0 obtidos. c ' X e' = X, com c = e maimizado c' B c 0 c' Σ c c é sujeito à Cov( = e assim sucessivamete, os vários discrimiates são Geralmete Σ e µ i ão são cohecidas e suas estimativas são obtidas a partir de amostras aleatórias de tamahos i das populações π i (i =,,..., g). Etão:

48 37 X i = i i j= X ij estima µ i, (.69) X g i i i i= i= j= = = g g i= X i g i= X i ij estima µ (média global). (.70) e a matriz soma de produtos cruzados etre grupos populacioais é dada por (.7): Bˆ 0 g = i= ( X X )( X X ) ' i i (.7) Um estimador da matriz Σ pode ser obtido com base a matriz W, variação detro dos grupos amostrais : Coseqüetemete: W = g i i= j= ( )( ) ' X X X X ij i ij i (.7) + W g = g ( )S + ( )S ( g g g )S g = S p (.73) Demostra-se que o vetor c ) que maimiza a razão )' ) c Bˆ c 0 )' ) c S p c também maimiza ) c ' Bˆ 0 ' W ) c ) c ) c porque se. Este c ) apreseta-se, a forma mais usual, como autovetor êi da matriz W Bˆ, 0 ) ) ) ) ) Bˆ ) ) W e = λe etão S B e g e 0 p 0 = λ ( g ), portato, cocluido

49 38 que sejam λ λ... λ s > 0 os autovalores ão ulos de W Bˆ ) ) ) ) e e e e e 0,,,..., os 3 s correspodetes autovetores, sedo s mi(g-,p) e e ) ) ) ormalizado tal que e = i is p e i ; etão o vetor de coeficietes que maimiza a razão citada ateriormete é c ) = ê e a combiação liear c ) X é chamada primeiro discrimiate amostral. Cotiuado, da mesma forma que o caso populacioal, temos o passo k, c ) k = êk (k s) e c ) k X o k-ésimo discrimiate amostral..5.6 O problema geral da classificação com várias populações Cosidere: f i (X ) a fução desidade de probabilidade associada à população π i com i=,,3...g ; pi a probabilidade a priori da observação pertecer à população π i ; R k o cojuto dos X classificados em π k ; c ( k i) o custo de classificação de uma observação em π k quado a verdade pertece a π i, com k=,,3...g e c( i i) = 0 e P ( k i) a probabilidade de se classificar uma observação de π i em π k sedo: P ( k i) = fi ( X ) d R k (.74) i =,, 3...g. com O Custo Esperado de Recohecimeto Errado (ECM) ao se classificar X de π em π k, k =,3,4... g é dado por (.75) : ECM( ) = P( ) c( ) + P(3 ) c(3 ) P( g ) c( g ) = P( k ) c( k ) (.75) g k= De maeira aáloga, obtém-se o ECM ( ), ECM (3)... ECM ( g).

50 39 Cosiderado que ECM (k) ocorre com probabilidade p k com k =,, 3, 4... g etão: ECM = pecm( ) + pecm () pg ECM( g) logo, ECM = g p ( P( k ) c( k )) + p( P( k ) c( k )) p ( ( ) ( )) g P k g c k g k= g k= k g k= etão, ECM = g i= p ( i g k= k i P( k i) c( k i)) (.76) A regra de classificação cosiste em se determiar R k (com k =,,3,4... g ) que torem o ECM míimo tato quato possível, isto sigifica alocar X a população π k de forma que: g i= i k p f ( X ) c( k i) i (.77) é meor e, um caso de empate, X pode ser classificado em qualquer uma das populações para as quais o empate ocorre. No caso de todos os custos serem iguais, é suficiete alocar X a população π k em que: g i= i k p f ( X ) i i (.78) é meor. Mas essa quatidade será meor quado o termo ecluído p f (X ) for maior. Assim, a regra de classificação do ECM míimo com custos iguais por falhas a classificação é k k

51 40 alocar X em π k se pk fk ( X ) > pi fi( X ) para todo i k (.79) ou, alterativamete, alocar X em π k se l pk fk ( X ) > l pi fi ( X ) para todo i k (.80).5.7 O Escore Quadrático de Classificação Cosidere os vetores de variáveis aleatórias X de populações com distribuição ormal multivariada com média µ i e matriz de covariâcia i, ou seja, f ( X ) = i ep ( X )' i ( X ), i =,,3..., g p / i i ( ) µ µ π i (.8) em que µ é vetor das médias e i i é matriz covariâcia. Tem-se aida que c(i i)=0 e c(k i)=, k i, k=,, 3,...,g e de (.76), a regra de classificação fica: alocar X em π k se l p k f = ma l p i k ( X ) = l p i f ( X ) i k p l(π ) l k ( X µ )' k k ( X µ ) k (.8) p Na equação pode-se igorar a costate l(π ) já que é a mesma para todas as populações. Defie-se etão o escore discrimiate quadrático de classificação d Q i para a população π i como d Q i ( X ) = l i ( X µ )' i i ( X µ ) + l p i i (.83) i=,,...g

52 4 π k se Com várias populações ormais, a regra de classificação cosiste em classificar X em Q Q d k ( X ) = ma di ( X ), i =,,3... g (.84) i Cosiderado que os parâmetros populacioais em geral ão são cohecidos, as equações com os estimadores serão: ode: X i é o vetor médio do grupo i, D l ( )' i = Si X X i Si ( X X i ) + l( Pi ) Si é a matriz de covariâcia do grupo i, i=,... Pi é a probabilidade predetermiada de um idivíduo ser classificado o grupo i, (.85) ou aida: (.86) D l ' ' ' i = Si X Si X + X i Si X X i Si X i + l( Pi ) Seja Y i a matriz iversa da matriz covariâcia S i, ou seja, Y i =S - i etão (.86) fica (.87) D i = l Si X ' Yi X + X i ' Yi X X i ' Yi X i + l( Pi ) Cosidere o vetor colua: 3 X =... respectivamete de cada uma das variáveis do problema para este vetor. ode i, com i=... são os valores Etão o elemeto X ' Yi X de (.87) pode ser assim represetado:

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