AS CONCEPÇÕES ACERCA DA AVALIAÇÃO PRESENTES NA FORMAÇÃO INICIAL EM MATEMÁTICA: O RIGOR MATEMÁTICO E A CRIATIVIDADE NO ATO DE AVALIAR RESUMO

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1 AS CONCEPÇÕES ACERCA DA AVALIAÇÃO PRESENTES NA FORMAÇÃO INICIAL EM MATEMÁTICA: O RIGOR MATEMÁTICO E A CRIATIVIDADE NO ATO DE AVALIAR Fábio Alexandre Borges, Unespar/Fecilcam, fabioborges.mga@hotmail.com Talita Secorun dos Santos, Unespar/Fecilcam, tsecorun@hotmail.com RESUMO O objetivo principal desse trabalho é promover uma reflexão sobre a formação inicial de professores de Matemática e de suas crenças quanto ao ato de avaliar. Para isso, dezoito graduandos de uma turma de formandos (4 o ano de Matemática) de uma universidade estadual do Paraná foram convidados a analisar as respostas fictícias dadas para um determinado problema que envolve conceitos matemáticos. Os acadêmicos analisaram cinco maneiras diferentes de pensar um mesmo problema, apresentadas em outro trabalho por Jahn, Healy e Coelho (2007), porém, em outra perspectiva de análise. Ao avaliarem essas respostas, os acadêmicos explicitaram suas crenças construídas desde os anos iniciais até a quase conclusão do curso de Licenciatura em Matemática. Apareceram ainda respostas com a demonstração clara de diferentes valorizações acerca da produção matemática de estudantes: ênfase ao formalismo, aceitação da criatividade, bem como de um pluralismo quanto à anuência de resoluções até mesmo divergentes.. Palavras-chave: Educação matemática, formação de professores, avaliação ABSTRACT This work aims at promoting a reflection about the initial education of Mathematics teachers and their beliefs about the act of evaluating. Fot that, eighteen graduation students from the last year of a Mathematics course in a State University from Paraná were invited to analyze the fictional answers given to a specific problem that deals with mathematical concepts. The academic students analyzed five different ways of thinking about the same problem, presented in other work by Jahn, Healy and Coelho (2007), but in a different analysis perspective. Evaluating these answers, the academic students expressed their thoughts build since the first years until the near ending of their Mathematics graduation course. The answers showed different appreciations about the students' mathematical production: emphasis on formalism, acceptance of criativity, and also a prularism of consents about divergent resolutions. Keywords: mathematical education; teachers' education; evaluation INTRODUÇÃO Todos nós, professores dos diversos níveis de escolarização, começamos a nos formar educadores em um momento comum: nosso ingresso como estudantes

2 nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Alguns autores, dentre eles Mizukami (1986), apontam inclusive que, na atuação escolar, apresentamos mais características do período de escolarização do que das discussões acerca do ensino em nossas faculdades de graduação ou pós-graduação. Portanto, constroem-se educadores durante todo o percurso escolar, imprimindo nos alunos nossas ações pedagógicas. No caso específico do ensino de Matemática não poderia ser diferente. As crenças sobre o fazer pedagógico que cabe ao educador matemático estão arraigadas culturalmente. Isso não quer dizer que poderíamos imaginar uma formação total, completa, capaz de dotar graduandos de todas necessidades para o percurso futuro enquanto professores. Talvez possamos, aí sim, justificar com esse fato a ocorrência de um atraso entre as atividades escolares e as inovações pensadas nas academias de educação. Há a necessidade de que as reflexões acerca da escola sejam realizadas em conjunto com as diversas instâncias envolvidas: comunidade escolar, faculdades, famílias etc. Dentre as discussões que focam o aprender matemática nas escolas, o ato de avaliar ganha também um importante espaço de discussão. Somos avaliados desde a mais tenra idade, constantemente assistimos diversas formas de avaliação em matemática, a maioria totalmente desconexa com as atividades dos dias que circundam o temido dia da prova. Avaliar, ainda, apresenta-se como uma ferramenta que contribui para a antidemocratização no qual a escolarização pode se transformar. Como afirma Souza (1993), a avaliação tem sido utilizada como parte de uma ação política que visa a discriminar, através do processo educativo, aqueles que a sociedade já mantém discriminados [...]. Luckesi (2009) convida educadores a refletirem sobre as práticas escolares, bem como para uma reconfiguração do erro dos alunos por parte dos professores, para que tais erros não sejam motivos de castigos e, sim, de um repensar contínuo. A avaliação da aprendizagem, à medida que se foi desvinculando, ao longo do tempo, da efetiva realidade da aprendizagem para tornar-se um instrumento de ameaça e disciplinamento da personalidade do educando, passou a servir de suporte para a imputação da culpabilidade e para a decisão de castigo (LUCKESI, 2009 p.139). No caso particular dos cursos de Licenciatura em Matemática, o graduando se vê diante de duas discussões que caminham em uma pista de mão dupla, em 2

3 sentidos contrários: uma delas, aquela que anuncia a beleza dos rigores matemáticos nas demonstrações, comuns em disciplinas classificadas como de matemática pura, e a outra enfatizando sempre uma formação pedagógica que olhe para os seus efeitos como educadores, dentre eles, o sucesso de seu ensino e, provavelmente, da aprendizagem da maioria de seus alunos. Quando pensamos nas necessidades de nossos educandos, na diversidade presente na sala de aula atualmente, avaliar torna-se uma atividade que precisa, necessariamente, conectar-se com todo o período letivo, e não ser apenas um resultado conclusivo, sem sequer um repensar sobre o trabalho desenvolvido. Ao pensar em avaliação, surgem questões fundamentais que apresentam-se àqueles docentes insatisfeitos com os seus resultados: como avaliar? Com que objetivo? O quê avaliar? Como analisar as respostas dos educandos? A avaliação precisaria ser vista como um dos fios condutores da busca do conhecimento, de modo a dar pistas ao professor sobre qual o caminho já percorrido, onde o aluno se encontra, que práticas ou decisões devem ser revistas ou mantidas para que juntos professor e alunos, possam chegar à construção do resultado satisfatório [...]. (BURIASCO, 2000). Nesse sentido, o presente trabalho nasceu da necessidade de refletirmos sobre a formação inicial de professores de Matemática, bem como de suas crenças quanto ao ato de avaliar. Dezoito graduandos de uma turma de formandos (4 o ano de Matemática) em uma universidade estadual do Paraná 1, foram convidados a analisar as respostas fictícias dadas para um determinado problema que envolve conceitos matemáticos. Tratam-se de cinco maneiras diferentes de pensar um mesmo problema, apresentadas em outro trabalho por Jahn, Healy e Coelho (2007), porém, em outra perspectiva de análise. Acreditamos que, ao avaliarem essas respostas, os acadêmicos poderão explicitar suas crenças construídas desde os anos iniciais até a quase conclusão do curso de Licenciatura em Matemática. 1 A INVESTIGAÇÃO. Abaixo, aparecem as questões e respostas elaboradas por Jahn, Healy e Coelho (2007), e, na sequência, a análise das respostas dos 18 acadêmicos envolvidos na pesquisa. Houve a decisão por utilizarmos tabelas, separando os estudantes fictícios, bem como pelas 1 A característica do curso nesta universidade é a ênfase na formação para atuação docente. 3

4 categorias de respostas que consideravam as resoluções como: satisfatória, parcialmente satisfatória e. Também, realizamos breves comentários junto à excertos das respostas dos acadêmicos. Caro (a) Acadêmico(a), baseado nas afirmações acima, avalie cada uma d as respostas sugeridas pelos alunos e justifique seus critérios. Figura 1 Material entregue aos acadêmicos Após alguns minutos de análise, os alunos fizeram as algumas considerações às quais destacamos algumas nas categorias abaixo: 2. CATEGORIZAÇÕES Apresentaremos as categorias e os excetos de resposta em quadros, para os comentários serem pontuais. 4

5 2.1. Análise da resposta de Arthur: 14 acadêmicos resposta de Arthur satisfatória Nenhum dos acadêmicos considerou a resposta de Arthur totalmente 4 acadêmicos resposta de Arthur parcialmente Tabela 1 Análise da resposta de Arthur Acadêmicos Excertos de respostas A-1; A-8: Arthur faz uma A-2; generalização, deixando a A-3; explicação mais convincente. A-4; Também mostra um maior A-5; entendimento do rigor A-8; matemático, provavelmente sabe A-9; que em matemática fazemos A-11; provas para todas as situações e A-12; não casual. A-13; A-14; A-12: Arthur usou uma A-16; demonstração convincente para A-17; provar a afirmação. Ele A-18. conseguiu se apropriar de conceitos matemáticos importantes, como equações, o significado das incógnitas, abstração, entre outros pontos. A-6; A-7; A-10; A-15 A-6: Arthur, afirmou ser verdadeira. Está correto. Porém, como a afirmação é: quando você soma dois números pares quaisquer, seria mais correto ele mencionar que a é um número inteiro par qualquer. A mesma menção, deveria fazer para b. Nesse caso o conceito seria mais abrangente. A-10: Arthur buscou uma demonstração que fosse genérica, por meio de um processo algébrico que abrangesse todos os números possíveis, no entanto, o processo de Arthur apresenta falhas em alguns números, por exemplo se a=1 e b=-1 2a+2b=0 e zero não é Comentários Alguns termos utilizados pelos formandos (rigor, generalização, demonstração, abstração), bem como o grande número de acadêmicos dentro da amostra, que resposta satisfatória, revelam a valorização destes sujeitos aos termos comuns em disciplinas com caráter formal matemático. A aceitação maior quanto ao uso excessivo de formalizações também fica clara neste momento. A-6 demonstra equívoco quanto ao entendimento da solução dada por Arthur, visto que o formando não atentou para o fato de que o número a não precisa ser necessariamente par para que 2.a seja par. Já A-10 levantou uma importante reflexão quanto à necessidade de esclarecimentos maiores no ensino sobre 5

6 par. alguns conceitos, como é o caso do conceito de número par. Consideramos que existem diferentes definições para tal conceito, a maior parte inconvergente quando se trata da inclusão dos números negativos ou mesmo do zero. 2.2 Análise da resposta de Duda 9 acadêmicos resposta de Duda satisfatória 2 acadêmicos resposta de Duda totalmente 7 acadêmicos resposta de Duda Tabela 2 - Análise da resposta de Duda Acadêmi Excertos de respostas cos A-2; A-2: Interessante. Correta! Ao A-4; fazer algumas somas percebe-se A-6; os resultados que confirmam a A-7; afirmação de Duda. A-10; A-11; A-10: Duda apresenta de uma A-12; forma simples uma resposta que A-14; é aceitável para todo conjunto A-18. dos naturais. A-13; A-15. A-1; A-3; A-5; A-15: No caso de Duda, existem duas possibilidades: a 1º é que ela consegue enxergar a afirmação como verdadeira, mas não sabe como provar matematicamente, e a 2º é que ela tenha feito alguns cálculos como 2+4=6 4+6=10 2+2=4 e supõe que dará certo para todos os pares, no meu ponto de vista, esta resposta não comprova a afirmação. A-1: Verificou a afirmação dada, observando padrões numéricos. Assim, fez uma verificação Comentários A princípio, uma resposta que não garante, ao menos matematicamente, a demonstração de Duda para a questão, agrada boa parte dos pesquisados, provavelmente pela valorização de explicações o mais simples possível. Um pequeno número de entrevistados, neste caso, apela para o rigor matemático, não aceitando a resposta sugerida por Duda. A parcialidade, neste caso, se dá pela valorização 6

7 parcialmente A-8; A-9; A-16; A-17. aritmética desse resultado. Faltou generalizá-lo algebricamente. A-8: Duda usa uma forma de raciocínio lógico bastante direto, de fácil entendimento e clareza, mas não se preocupa com o rigor matemático da escrita matemática. simultânea de duas características antagônicas (nesse caso) observadas na resposta de Duda: simplicidade e falta de rigor. 2.3 Análise da resposta de Beth: Tabela 3 - Análise da resposta de Beth 1 acadêmico considerou a resposta de Beth satisfatória 11 acadêmicos resposta de Beth totalmente 6 acadêmicos resposta de Beth parcialmente Acadêmi Excertos de respostas cos A-8 A-8: Beth faz a soma de sequência de números pares, mostrando de forma aplicada o que está querendo se mostrar. Ela segue também um raciocínio lógico de fácil entendimento, porém não se preocupa em escrever nada que deixe seu raciocínio mais claro. A-2; A-14: Colocou apenas alguns A-3; exemplos, não generalizou. A-4; Mostrou que nos exemplos que A-7; ela fez, deu certo, a soma de dois A-10; números pares é um número par. A-12; Deve ter pensado que sempre dá A-13; certo, mas não consegui A-14; generalizou. A-15; A-16; A-13: A aluna tirou suas A-18; conclusões em apenas alguns cálculos, considero insuficiente para considerar tal afirmação A-1; A-5; A-6; A-9; A-11; A-17. como verdadeira. A-5: A resposta da Beth foi boa, usando exemplos. Mas poderia ser melhorada, com exemplos com mais de duas casas decimais para verificar se é verdadeira ou não a afirmação. A-17: Tentou provar de modo experimental, jogando valores. Há uma chance de Beth não considerar o zero como par, pois se não colocaria também 2+0=2, Comentários O aluno prefere valorizar a simplicidade em detrimento de outras questões importantes na análise de conceitos matemáticos. Mostra-se como a questão com a maior rejeição pelos acadêmicos, que enfatizaram a necessidade da generalização. A-5 demonstra não compreender o conceito de números decimais e pares, afirmando que números decimais poderiam ser pares ou ímpares. A-17 deixa transparecer novamente a 7

8 aí teria todas as terminações de um número par, falta também a sistematização. necessidade de maiores esclarecimentos quanto à inclusão do zero (ou inteiros negativos) como números pares. Também há equívocos quanto à ideia de demonstrações em matemática. 2.4 Análise da resposta de Franklin: Tabela 4 Análise da resposta de Franklin Acadêmi Excertos de respostas Comentários cos 6 acadêmicos A-3; A-10: A prova feita por Franklin Com a pequena A-6; é simples e perfeitamente parcela de resposta de Franklin A-7; aceitável, se também estudantes que satisfatória A-10; A-11; A-17. considerarmos apenas o conjunto dos naturais. Se considerarmos por exemplo, que um número par aceitou a resposta de Franklin como correta, fica clara é 2k com z Z, ficaria difícil a relação representar por meio de intrínseca entre a bolinhas. matemática e o formalismo A-6: A resposta de Franklin e o atribuída pelos conceito também são válidas e corretas. Porém, a maneira como acadêmicos. Novamente, ele esquematizou, se utilizada devemos atentar para um número maior, será para as altamente trabalhosa. interrogações do estudante A-10 quanto à necessidade de tornar mais claras algumas definições, como o caso dos números pares nos livros didáticos. A-6 e A- 10 demonstram não apresentarem bem uma maior familiarização com a ideia de demonstração matemática. 6 acadêmicos A-2; A-18: A resposta de Franklin, A princípio, 8

9 resposta de Franklin totalmente 6 acadêmicos resposta de Franklin parcialmente A-4; A-12; A-13; A-14; A-18; A-1; A-5; A-8; A-9; A-15; A-16; não pode ser considerada como prova, pois ele apenas somou dois números. E para ser verdade, tem que valer para todos os pares. A-8: Franklin mostra apenas com um exemplo o que ele está querendo afirmar, deixando muito vago se a afirmação é realmente verdadeira, por falta de mostrar outros exemplos. A-16: Muito interessante a forma em que ele representa a soma, percebe-se visualmente que sempre será par. Embora não seja a forma mais correta. surpreende o pequeno número de alunos que não aceitaram a resposta de Franklin. Como já ocorrido em outras respostas, A-8 não apresenta a noção de demonstração matemática. Também, mesmo sabendo que Franklin errou, A- 16 busca valorizar a criatividade do pseudo-aluno. 2.5 Análise da resposta de Hanna: Tabela 5 Análise da resposta de Hanna Acadêmi Excertos de respostas Comentários cos 4 acadêmicos A-7; A-11: A resposta de Hanna é Há uma confusão A-11; muito parecida com a de Arthur. no sentido de resposta de Hanna A-15; Porém, ele usou um exemplo em assemelhar as satisfatória A-17. vez de generalizar a situação. No respostas de entanto, na demonstração está bem claro que a afirmação é verdadeira. Eu a avaliaria com Arthur e Hanna, consideradas pelos 95% da nota máxima. pesquisadores a princípio divergentes. 6 acadêmicos A-3; A-8: Hanna utiliza uma Percebe-se a A-8; explicação um pouco confusa, valorização da resposta de Hanna A-9; sem utilizar nenhuma frase que necessidade da totalmente A-13; possa ajudar a esclarecer seu escrita em A-16; A-18. ponto de vista, Também dá somente um exemplo, o que não matemática. A-9, basta para fazermos uma aparentemente, afirmação em matemática. demonstra ter um bom A-9: Errado. Como o aluno pode afirmar que é verdadeira com conhecimento sobre os base nos dados apresentados. Desta forma não podemos provar conjuntos numéricos e que é válida a afirmação para todos os números pares. demonstrações matemáticas. 8 acadêmicos A-1; A-12: Hanna entende bem as Ao afirmar que o 9

10 resposta de Hanna parcialmente A-2; A-4; A-5; A-6; A-10; A-12; A-14. propriedades da soma e da multiplicação, como a distributiva. Ela mostrou que a soma de dois números pares (8 e 6) resulta na multiplicação de um número par (2) por outro (par ou ímpar). Ela poderia ter feito mais testes para validar a resposta. A-10: O processo matemático está certo, porém um pouco superficial para generalizar a afirmação. cansaço de realizar mais testes poderia validar a resposta, novamente vemos a presença da incompreensão da ideia de demonstração matemática. 3. Algumas considerações. A formação superior, da mesma forma que em nível da Educação Básica, apresenta-se como uma característica particular, individual, em relação aos acadêmicos e alunos. Cada um abstrai um conhecimento único, que carrega características inerentes a diversos aspectos, com destaque para o cultural. Por mais próximos que dois estudantes sejam quanto à formação, as impressões que estes irão carregar acerca da formação docente em Matemática certamente serão diferentes. Nas respostas dos acadêmicos aqui analisados, considerando que os mesmos estão há, no mínimo, quatro anos em formação conjunta, aparecem respostas com a demonstração clara de diferentes valorizações acerca da produção matemática de estudantes: ênfase ao formalismo, aceitação da criatividade, bem como de um pluralismo quanto à aceitação de resoluções até mesmo divergentes. A valorização maior ao formalismo nas resoluções de problemas nos leva a pensar até que ponto devemos exigir de nossos alunos, ainda na Educação Básica, que eles sigam privilegiando as resoluções formais, em detrimento, muitas vezes, até mesmo do entendimento do exercício. Também, não parece clara, para a maior parte dos formandos analisados, a ideia de demonstração matemática, o que também complicaria a exigência deste tipo de rigor com alunos mais novos. Alguns casos curiosos merecem ser destacados, como: A-9 foi o único acadêmico a considerar apenas uma resposta satisfatória, sendo que os outros aceitaram duas ou mais respostas. Trata-se, pelo visto, de um aluno avesso à criatividade, que valoriza, apenas, o rigor nas explicações. A partir do mesmo exemplo e, por outro lado, a grande maioria dos analisados valorizou a multiplicidade de resoluções 10

11 diferentes. A-15, por sua vez, considera apenas a resposta de Hanna correta, curiosamente aquela em que a maioria dos alunos questionaram os métodos desta fictícia aluna. Não podemos, com isso, requerer uma única forma de avaliar as questões de nossos educandos. Diversas reflexões podem se originar da análise das respostas neste trabalho. O que deve ficar claro, aí sim, é a necessidade de que os futuros professores procurem uma coerência cada vez maior quanto às aulas comuns e aquelas destinadas à avaliação de aprendizagem em Matemática. Para isso, cursos de Licenciatura em Matemática devem incluir dentre as discussões reflexões acerca dos atos de: avaliar, como avaliar, o quê avaliar. Simulações como esta, acompanhadas de posteriores reflexões, podem auxiliar bastante na formação de ideias acerca da avaliação, bem como de sua função em relação ao ensino e aprendizagem de Matemática. Igualmente à preocupação com a avaliação, não podemos esquecer de garantir a atenção à dicotomia saber matemática x saber ensinar matemática. Percebe-se, no discurso dos entrevistados, uma incompreensão de conceitos considerados fundamentais para a estruturação de qualquer outro tema matemático, como é o caso das definições de conjuntos numéricos, definições de números pares etc. A dúvida gerada acerca dos números pares poderem incluir os negativos e o zero, revela também um caso em que, provavelmente, os livros didáticos em nível básico e também os de nível superior devem discutir melhor, explicitando a real definição, apesar de que não foi nossa intenção aqui analisar os livros. Enfim, fica a crença de que, cada vez mais, precisamos discutir as atividades relacionadas ao ensino de Matemática de forma conjunta, relacionando diferentes momentos do cotidiano escolar para uma reflexão convergente, que busque entender esse todo muitas vezes fragmentado nas discussões acadêmicas. Referências. BURIASCO, R.L.C. Algumas considerações sobre Avaliação Educacional. In: Estudos em Avaliação Educacional. Fundação Carlos Chagas, n.22, jul-dez, São Paulo, JAHN, A.P. HEALY, L. COELHO, S.P. Concepções de professores de Matemática sobre prova e seu ensino: mudanças e contribuições associadas à 11

12 participação em um projeto de pesquisa. In: Reunião Anual da Anped, 30, 2007, Caxambú, Anais...Caxambú: ANPED LUCKESI, C.C. Avaliação da aprendizagem escolar. São Paulo: Cortez, SOUZA, C.P. Avaliação do Rendimento Escolar. Campinas: Papirus,

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