2 - Vetores. Para representar pontos no espaço tridimensional precisamos de três números reais e de três eixos coordenados

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1 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 6 - Vetoes. - Sstems de oodends e tdmensons P epesentção de m ponto no plno são neessáos dos númeos es, qe ssodos dos exos oodendos ets es pependles, onsttem m p odendo qe nd posção do ponto. Se os exos são denomndos x e y, onfome n fg, o ponto A é defndo pelo p odendo,. Fg. P odendo no plno O p odendo, oesponde s oodends do ponto A no plno xy stdo no espço dmensonl R. P epesent pontos no espço tdmensonl pesmos de tês númeos es e de tês exos oodendos R. Gelmente hmmos estes exos de x, y e z e são dspostos pependlmente ente s, x e y n hozontl e z n etl, zndo-se mtmente n ogem. Um ponto P no espço é defndo po m tpl odend,, de númeos es, omo n fg.. Os tês exos oodendos detemnm tês plnos oodendos xy, xz e yz qe ddem o espço em oto otntes. O pmeo otnte é qele defndo pelos exos postos omo mostdo n fg.. Fg.: Ponto P no espço tdmensonl Fg.: Plnos oodendos Pof. Máo Selhost e-ml:

2 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 7 Vemos lgns exemplos: Exemplo A epesentção dos pontos A,, e C-,, é ds fgs. e.: Fg.: Repesentção do ponto A Fg.: Repesentção do ponto C. - Vetoes No nosso d d estmos ostmdos dess stções qe n mo ds ezes pssm despeeds qnto o se sgnfdo. Po exemplo, qndo lgmos telesão e ssstmos os notáos, o onlst nfom qe tempet mínm n dde p o d segnte seá de 7º C e máxm de º C o qndo omos soe pmentção de m odo de om m de extensão, o nd, qe o peço de g de fngo está % ms to. Ns tês stções dests odmos s gndezs tempet, ompmento e mss, qe n fís eeem o nome de gndezs esles. Gndez esl é qel qe f pefetmente tezd po m númeo ssodo m ndde de medd. Vmos go onsde ot stção: Se e dssesse qe e m, poelmente lgém pegnt, p onde?, o se, p qe nfomção fosse deqd deeímos esent, po exemplo, qe mos de Flonópols Jonlle, teímos m deção note-sl, m sentdo de Flonópols Jonlle, e m ntensdde do deslomento de m. Est stção é defnd omo gndez etol, pos só flndo em m nfomção f mto g. Gndez etol é qel qe f tezd qndo onheemos s deção, se sentdo e s ntensdde. Um gndez, qe pes se tezd po m deção, m sentdo e m númeo hmdo módlo o ntensdde é hmd de eto. Veto é ente mtemáto tezdo po m deção, m sentdo e m módlo o ntensdde. Repesentmos eto po m segmento oentdo de et AB, o tmém po m let mnúsl, om m fleh em m AB B A. N fg epesentmos ests teísts. Pof. Máo Selhost e-ml:

3 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 8 Fg.: Cteísts de m eto Ago mos ose s stções epesentds ns fgs 5 e 5. São segmentos oentdos em dfeentes posções. Stção Stção Fg.5: Segmentos oentdos Fg.5: Segmentos oentdos Osee qe ns ds stções, os tês segmentos têm mesmo ompmento, mesm deção e mesmo sentdo, po sso, podemos dze qe estes segmentos são eqüpolentes. Se estes segmentos epesentm etoes, são etoes gs? São sm. Vetoes gs são epesentdos po segmentos eqüpolentes. Assm os segmentos epesentm etoes gs, ssm omo d, e, f.,, Osee go stção, n fg.6, onde tmém epesentmos segmentos oentdos. Os segmentos oentdos têm o mesmo ompmento, mesm deção e sentdos ontáos, e são denomndos etoes opostos. Fg.6: Segmentos oentdos Pof. Máo Selhost e-ml:

4 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 9 N stção, epesentd n fg.7, os segmentos oentdos são somente plelos, epesentndo etoes plelos: // // Fg.7: Vetoes plelos Oseção: Qndo ogem de m eto onde om extemdde, é denomndo eto nlo e epesentdo po o AA, sto é, não poss deção, sentdo o ntensdde. Um eto stnte tlzdo é o hmdo eto ntáo o eso, o módlo é. Em gel, se, então o eto qe tem mesm deção e sentdo de e módlo é o eto ntáo de. Exemplo : N fg.8, epesentmos m eto ntáo de m eto de módlo. Fg.8: Veto ntáo Oseção: Nm eto, ntáo, temos. N fg 8, e. Os etoes podem se epesentdos e tlzdos no espço dmensonl e tdmensonl. Se ogem e extemdde de desos etoes estão stds nm mesmo plno o não, estes são denomndos oplnes não oplnes, omo n fg.9 e.9. o Fg.9: Vetoes oplnes Fg.9: Vetoes não oplnes Pof. Máo Selhost e-ml:

5 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Um poo de Hstó Os Vetoes sgm no nío do sélo XIX om tlhos de Csp Wessel , Jen Roet Agnd e Cl Fedh Gss qe no estdo dos númeos omplexos omo pontos no plno dmensonl os epesentm omo segmentos de et oentdos om epesentção dmensonl. Desos mtemátos e entsts tlhm n mesm épo om este tpo de epesentção, sem denomnção de etoes, ms omo pes odendos de númeos es. Anço sgnfto hoe em 87 om Agst Fednnd Mös qndo plo m peqeno lo, The Byent Clls, no ql ntodz detmente segmentos de et denotdos po lets do lfeto, etoes n essên, ms nd não no nome. No se estdo de entos de gdde e geomet poet, Mös desenole m tmét destes segmentos de et; dono-os e mosto omo mltplá-los po m númeo el. Ses nteesses estm em oto lg, e nngém se mpoto em not mpotân destes állos Ees,, p.9.. Opeções om Vetoes Nest seção estemos ttndo ds opeções om etoes, espefmente, dção e stção, podto de etoes po númeos es e epesentção de etoes no plno e no espço. Qndo opemos gndezs esles, smos pens egs tméts e ndde de medd d gndez. Exemplo : Gndezs omo mss de m opo, dstân ente dos pontos e olme de m líqdo, são gndezs esles e podem se somds tmetmente, mntendo ndde de medd: g 5 g 7 g m m 5 m 5 ml ml 7 ml Qndo ldmos om gndezs etos, o állo tméto em ompnhdo om ntepetção e epesentção gáf, pos lém do módlo, tlhmos tmém om deção e o sentdo do eto qe epesent gndez. Exemplo : Vmos onsde m o qe s d dde A e peoe m em lnh et p o Sl, tngndo dde B; em segd, peoe ms m, pt d dde B, p o Oeste, té heg dde C.. Ql é dstân qe sep dde A d dde C? P esole qestão temos qe onsde s efeêns dds p os deslomentos. N fg., epesentmos estes deslomentos. Fg.: Deslomento do o Aplndo o teoem de Ptágos o tânglo etânglo ABC, temos qe: d AB BC d d 6 9 d 5 d dde A té dde C, é de 5 m, n deção e sentdo pestos. 5, logo dstân d Pof. Máo Selhost e-ml:

6 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Oseção: As gndezs etos exgem tlzção de epesentções gáfs. P esolemos polems qe enolm dção de etoes mos eoe ds egs onheds: eg do polígono e eg do plelogmo. Vmos e omo fnonm... - Adção de Vetoes Reg do polígono A som de dos etoes e, epesentdos n fg. se dá tnspotndo o eto, mntendo s deção, sentdo e ompmento, e, pt d extemdde desse eto, tnspotmos o segndo eto mntendo tmém ss teísts. Lgmos ogem do pmeo eto om extemdde do segndo eto e otemos o eto s, qe é dção de e. Fg.: Som dos etoes e pel eg do polígono. Oseção: P detemn dção de ms etoes poede-se d mesm mne, lgndo d m deles extemdde do nteo, mntendo o módlo, deção e o sentdo, té desenh todos. O eto esltnte d dção se otém lgndo ogem do pmeo om extemdde do últmo eto epesentdo. Reg do plelogmo Est eg tlz epesentção de m plelogmo onstído soe d dos etoes seem somdos. N som de dos etoes e tnspotmos os dos etoes, fzendo qe ss ogens ondm e, pel extemdde de d m dos etoes, tç-se m et plel o oto, onstndo m plelogmo pt de ss extemddes. A som s de e é o eto qe oesponde dgonl desse plelogmo. Fg.: Som dos etoes e pel eg do plelogmo. Oseção: A dfeenç de etoes é defnd tés d opeção som, do pmeo eto om o oposto do segndo eto. Se d é o eto dfeenç ente e temos opeção d d, onfome epesentmos n fg.. Pof. Máo Selhost e-ml:

7 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Fg.: Stção de etoes Logo, p stmos m eto de oto, mos som o oposto desse eto o oto... - Popeddes d Adção de Vetoes A dção de etoes pesent lgms popeddes peles à dção de esles. Sem ddos,, e etoes qsqe, então: omtt ssot elemento neto d elemento sméto.. - Podto de m númeo el po m eto É possíel mltpl m eto po m númeo el. O podto de m númeo el o esl dfeente de zeo po m eto mntém mesm deção do eto ognl, enqnto qe deção e o módlo dependem do númeo el. O noo eto dmn, ment de tmnho e té pode md o sentdo se o númeo te snl negto, pesendo mesm deção. Exemplo Se o eto ddo, podemos mltpl este po númeos es onfome epesentdo n fg.. Fg.: Podto de m eto po m númeo el A mltplção de etoes tmém tem ss popeddes. Se e etoes qsqe e e d númeos es temos: dstt d d dstt d d ssot d elemento neto Pof. Máo Selhost e-ml:

8 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl. - Vetoes omo omnção lne dos etoes d se otogonl, e ; Até go ttmos os etoes exlsmente do ponto de st geométo, omo segmento de et oentdo. Os etoes tmém podem se ssodos om os sstems de oodends do plno R e do espço R. Vetoes no plno R P epesent etoes no plno, podemos tlz omo se os etoes s ogens são ogem do plno tesno xy e extemddes os pontos, e,, onhedos espetmente omo etoes e, s ezes smplesmente epesentdos po e, onfome fg.5. Fg.5: Vetoes d se otogonl e Oseção: A se fomd pelos etoes e é hmd de se nôn qe é ptlmente mpotnte po est ssod à epesentção tesn sl d geomet pln. Os etoes e os pes odendos omptlhm os mesmos pontos do plno tesno. Conhedos os etoes e, de módlo, qlqe eto do plno tesno pode se deomposto segndo s deções de e, o se, temos qe detemn dos etoes s deções sem e, e som se. Consdendo mltplção de m eto po m esl númeo el, podemos nd o eto omo som dos etoes e mltpldos pelos esles e onenentes. Temos então, o eto, qe pode se epesentdo no plno sndo s poeções otogons ds extemddes de soe os exos oodendos x e y, detemnndo l os omponentes esles e, d epesentção etol. A fg.6 lst ess deomposção. Fg.6: Componentes de m eto no plno Pof. Máo Selhost e-ml:

9 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Assm, qlqe eto no plno xy pode se expesso em fnção d se pdão e. Um eto dmensonl pode se epesentdo genemente po m p odendo: pode se epesentdo po, o, Exemplo Vemos epesentção gené de etoes om se otogonl e p os etoes:,,,,,, d,, Exemplo O eto.7: w tem epesentção gáf onfome fg.7 o smplesmente omo n fg Fg.7: Veto no plno Fg.7: Veto no plno Consdendo est modldde de epesentção, dção de dos etoes, omo:, A mltplção de m eto, po m esl defne-se omo:, Exemplo Se e, detemne,,,.,, 6,, o se, 6,,,, o se, e, defne-se Pof. Máo Selhost e-ml:

10 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl,,6, o se, 6 d,,,6, 6,, o se, 6 Oseção: A epesentção gáf de do exemplo pode se osed n fg.8. 5 Fg.8: Som de dos etoes Mtemát e nfomát Algns softwes mtemátos pemtem fze állos om etoes e epesentá-los gfmente. Ente eles estão o Dee, á omentdo, e o GeoGe, m softwe gtto qe elon geomet pln om álge e o állo. O GeoGe pode se otdo fzendo downlod d esão.6 do ste e é onsttído de ds nels plels, m gáf e ot lgé, e m de entd de ddos n pte nfeo d ntefe. É m softwe de geomet dnâm pnpl teíst é possldde de st os oetos onstídos om o ponteo pesendo ss popeddes e tlzndo ss teísts. Com etoes é possíel, ente ots, epesent, don, st e mltpl etoes, ll eto ntáo e etoes pependles. P epesent os etoes é onenente ex os exos oodendos e mlh, p melho slzção. Fç o downlod do pogm, nstle-o, fç exploção ás de ss fnções e tlze-o. Vetoes no espço tdmensonl R Qndo estemos ttndo om etoes no espço tdmensonl, mos tlz omo se os etoes s ogens são ogem do plno tesno xyz e extemddes os pontos,,,,, e,,, onsttndo os etoes, e, denomnd se nôn, epesentdos n fg.. Algns toes tlzm smplesmente, e. Fg.: Vetoes d se otogonl, e Pof. Máo Selhost e-ml:

11 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 6 Assm omo no plno, qlqe eto do espço tdmensonl pode se deomposto segndo s deções de e e, o se, podemos detemn tês etoes s deções sem, e, e som se. Consdendo mltplção de m eto po m esl númeo el, podemos nd o eto omo som dos etoes, e mltpldos pelos esles, e onenentes. Sml os etoes no plno, temos o eto, qe pode se epesentdo no sstem tesno xyz sndo s poeções otogons ds extemddes de soe os exos oodendos x, y e z, detemnndo l os omponentes esles, e, d epesentção etol. A fg. lst ess deomposção. Fg.: Componentes de m eto no espço tdmensonl R Assm, qlqe eto no espço xyz pode se expesso em fnção d se pdão, e. Um eto tdmensonl pode se epesentdo genemente po m tpl odend: pode se epesentdo po,, o,, As opeções om etoes no R são elzds tl omo no plno. Exemplo 5 Ddos os etoes s 6 e w, detemne s w, s w, w. s w s w,,6,,,,5, o se, s w 5 s w s w,,6,,,,7, o se, s w 7 w w,,,,, o se, w Pof. Máo Selhost e-ml:

12 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 7 Oseção: Um eto do plno pode se epesentdo omo m eto w do espço tdmensonl onsdendo omponente gl zeo. Afnl, o plno xy está ontdo no espço xyz. Exemplo 6 Detemne w, w, sendo 5 e w w w,5,,,,6,, o se, w 6 w w,5,,,,5, 6,, 9,,, o se, w 9 No nío dest seção, deseímos qe m eto de ogem A e extemdde B pode se expesso omo m dfeenç: AB B A. Vmos nls m exemplo. Exemplo 7 Se é m eto om ogem no ponto A, e extemdde no ponto B5, 6, detemne o eto omo dfeenç AB B A AB B A 5,6,,, o se, Gfmente, podemos ose n fg. qe o eto AB é o mesmo qe o eto se, oesponde m eto de ogem zeo. O eto é epesentnte do eto AB. AB B A, o Fg.: Veto epesentnte O qe podemos então onl? Ë fál: o eto é o epesentnte n ogem do sstem, de qlqe eto qe poss mesm deção, mesmo sentdo e mesmo ompmento de. Se onsdemos m oto eto CD om ogem no ponto C 5, e extemdde no ponto D 9,5, temos CD D C 9,5 5,,, potnto gl, qe é epesentnte tmém do eto CD. Pof. Máo Selhost e-ml:

13 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Módlo o nom de m eto O módlo, o mgntde, o nom, o ompmento de m eto, epesentdo po é o ompmento de qlqe m dos ses epesentntes e é lldo pel fóml d dstân ente dos pontos no plno, o se, dstân ente ogem e extemdde do eto. Se, é m eto dmensonl omo n fg.5, e plndo o teoem de Ptágos no tânglo etânglo OAB fomdo, tem-se qe:, logo Se,, é m eto tdmensonl, omo n fg.6, tem-se dos tânglos etânglos: OAB e OBC. Aplndo o teoem de Ptágos no tânglo OAB, otém-se qe OB e no tânglo OBC tem-se qe OB. Ssttndo te-se-á: E ssm, Fg.5: Veto dmensonl. Fg.6: Veto tdmensonl Exemplo 8 Se w, e m,,, lle w e m. w 7 m Veto ntáo o eso de m eto Se tommos qlqe eto dfeente do eto nlo, e ddmos pelo se módlo, teemos m noo eto de mesm deção e sentdo, se módlo seá gl. Este eto epesent ndde do eto onsdedo p o polem. Assm p o eto, dfeente do eto nlo, o se eso o eto ntáo seá. Pof. Máo Selhost e-ml:

14 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 9 Exemplo 9: Ddo o eto,,, o se eso pode se otdo llndo pmeo o módlo do eto : 9 Logo:,,,, Podemos ef se o módlo do eto otdo é elmente, llndo : Oseção: Os etoes, e são exemplos de esoes o etoes ntáos. Exemplo Detemne o eso do eto w, O módlo do eto w 7 Sendo w, temos qe w,,. w w Se hoe neessdde de onfe o módlo do eto otdo, fzemos: Podto de Vetoes Nest seção ttemos dos podtos de etoes, denomndos podto esl, podto etol e podto msto, em omo ntepetção geomét destes podtos Podto esl Pof. Máo Selhost e-ml:

15 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Ql é o sgnfdo físo do podto esl? Segndo Hlldy, m foç f onstnte qe t soe m opo e este opo sofe m deslomento d, o podto nteno ente foç f e o deslomento d, e se epesent po w, é o tlho w elzdo p moe o opo. O to exemplf om m stção em qe m opo de mss m se moe so ção de m foç f, qe fom m ânglo α om deção do momento. O opo pte d posção A p posção B, onfome fg.7. Usndo onetos d Fís estelee qe o tlho w d foç f é ddo po w f d osα, qe é tezdo po m podto de dos etoes, denomndo podto esl. Fg.7: Tlho de m foç Mtemtmente o podto esl o nteno de dos etoes e epesent m númeo qe é expesso po: osα, onde α é medd do ânglo fomdo ente os etoes e, e 8 Gfmente pode se epesentdo omo n fg.8. α. Fg.8: Podto esl Podemos ose n fg.5 qe osα é extmente o ompmento d poeção do eto soe. Popeddes do podto esl Qsqe qe sem os etoes,, w e I II w w III m m m m R, temos: P elz o podto esl de dos etoes onsdemos ss omponentes tesns e s popeddes á elonds, onfome pesentmos seg: Pof. Máo Selhost e-ml:

16 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Pof. Máo Selhost e-ml: Expessão tesn do podto esl Sem os etoes e, temos qe: Aplndo popedde II, otemos expessão: Consdendo popedde III podemos ognz o podto gpndo esl om esl e eto om eto: Resolendo os podtos esles om e, sendo etoes ntáos, otemos: os os os e nd os9, onseqentemente pel popedde I, os9, onseqentemente pel popedde I, os9, onseqentemente pel popedde I, Conlímos qe expessão tesn do podto esl é: Exemplo : Ddos os etoes,, e,,, lle. P esole st tlz expessão tesn do podto esl: 6 Exemplo : Ddos os etoes, e 6,, lle o podto esl. Dstân ente dos pontos

17 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl A dstân ente os pontos A,, e B,, do espço pode se defnd omo sendo o ompmento do eto, AB onfome fg.: Fg.: Dstân ente dos pontos O ompmento do eto AB se otém llndo o módlo d dfeenç ente os dos pontos: d AB B A d,, d Exemplo : Clle dstân ente os pontos A,, e B,, d d Ânglo ente dos etoes D defnção de podto esl temos qe osα. Se e são dfeentes do eto nlo podemos sol expessão pemte detemn o ânglo exstente ente os dos etoes. os α e ssm, os α, qe nos Exemplo : Cll o ânglo ente os etoes: m e n 5 e. Pof. Máo Selhost e-ml:

18 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Resolendo: m n Como os α, pesmos ll o podto esl m n, omo no exemplo, e o módlo de m n d m dos etoes m e n : m n 8 m n Se os α m n, então m n 8 osα osα,96 Utlzndo m lldo e llndo o neso d fnção osseno, temos: α tg,96 α 6,5 Como os α, llmos nlmente o podto esl e o módlo de d m dos etoes 5 e Se os α, então 5 osα 8 6 osα, Utlzndo m lldo e llndo o neso d fnção osseno, temos: α tg, α 9, o Oseção: Se dos etoes foem otogons, se podto esl seá gl zeo, pos os 9. Pof. Máo Selhost e-ml:

19 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Exemplo Vefqe se os etoes,, e,,, são otogons? Respost: Deemos ef se..., logo os etoes são otogons. Ânglos detoes Um eto fom ânglos om os exos x, y, e z, hmdos ânglos detoes, onfome fg.. Fg.: Ânglos detoes Utlzndo foml do ânglo ente dos etoes, os α podemos dedz qe o ânglo fomdo pelo eto,, om o exo x, é o mesmo qe o ânglo fomdo ente o eto o eto ntáo, onfome fg..,,,, osα O ânglo fomdo pelo eto om o exo y, é o mesmo qe o ânglo fomdo ente o eto o eto ntáo, onfome fg..,,,, os β O ânglo fomdo pelo eto om o exo z, é o mesmo ânglo fomdo ente o eto o eto ntáo, onfome fg..,,,, osδ Pof. Máo Selhost e-ml:

20 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 5 Exemplo 5. Cll o ânglo qe o eto m fom om os exos oodendos x, y e z. Resolção: Deemos h pmemente o módlo do eto m, p depos ll os ossenos dos ânglos α, β e δ e fnlmente, os ânglos. m 9 x o osα osα,7 α os,7 α 68, m 9 y os β os β,557 β os,557 β,8 m 9 z o osδ osδ,7 δ os,7 δ, m 9 o.7. - Podto etol O qe sgnf podto etol? N fís o podto etol epesent o toqe τ, p os engenheos sgnf momento. Toqe é m pl qe em do ltm e sgnf toe, pode se dentfd omo ção de g o de toe de m foç. Vmos pt d segnte stção: N ho qe smos o s-olh p m gf de nho estmos plndo m foç f soe ele, fzendo-o g p penet n olh onfome fg.. N fg, o ço do s-olh, qe do ento té extemdde, é hmdo de ln e oesponde m eto. Defnmos o módlo do eto toqe τ omo sendo o podto do eto ompmento e ntensdde d foç f pelo seno do ângloα fomdo ente f e, sendo qe f e estão no mesmo plno. Assm sendo τ f senα. O eto toqe τ é pependl f e. É expesso pel eqção τ f, ql defne omo podto etol. N stção nes, de et o s-olh, ção dos etoes se dá onfome fg., o se, τ f. Fg.: Foçs nm s-olh Fg.: Foçs nm s-olh A pt dest dé, podemos defn podto etol o exteno. Pof. Máo Selhost e-ml:

21 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 6 Ddos dos etoes e, não plelos ente s, o podto etol o exteno, é m teeo eto qe pesent s segntes teísts: - A deção do eto é pependl os etoes e ; - Os sentdos dos etoes, e nest odem fomm m tedo posto; o se, se osedo pt de,onfome fg., está stdo det e esqed. - Se módlo é senα, onde α é medd do ânglo ente e. Fg.: Podto etol Podto etol nlo O podto etol é nlo,, qndo m dos etoes fo nlo o qndo os dos etoes foem plelos, sto é sen α, o se, α o 8. Vetoes plelos Podemos tt d ondção de plelsmo de dos etoes Sem e. Os etoes,, e,, são plelos, se ontee ondção m, sto é,,,,, m, o,, m, m, m. Donde em qe: m, m e m é m ondção de plelsmo., onseqentemente, m ; m e m, logo Oseção: Se m ds omponentes do eto fo zeo então p qe os etoes sem plelos omponente oespondente tmém teá qe se gl zeo. Exemplo Vef se os etoes,, e 6,, são plelos? Aplndo ondção, otemos 6. Pof. Máo Selhost e-ml:

22 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 7 Smplfndo, eslt em. Vefd gldde, onlímos qe os etoes são plelos. Exemplo Ql dee se o lo de x p qe os etoes x,, e,, sem plelos? x Aplndo ondção, otemos. Não onsdemos tee omponente dos dos etoes pelo fto de ms seem gs zeo. D gldde otd, podemos esee: x x x 8 x 8 x 8 Popeddes do Podto Vetol I fg.5 II m m m III w w Fg.5: Repesentção geomét de Podto etol dos esoes, e Em ptl os esoes, e, nest odem, fomm m tedo posto, epesentdo n fg.6. E omo oê pode dentf m tedo posto? Pof. Máo Selhost e-ml:

23 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 8 Dgmos qe fosse possíel f em pé n posção do eso, s det est o eso e s esqed o eso. Fg.6: Tedo posto Fg.7: Cnfeên do podto etol N pát, podemos tlz nfeên o eg d mão det p efet o podto exteno de dos desses esoes. N nfeên, fg.7, o esltdo é o eso fltnte, de snl posto se no sentdo nt hoáo, negto se no sentdo hoáo. Exemplo : d Exemplo : Csos ptles Po seem plelos, e. Reg d mão det Podemos tmém pl eg d mão det p detemn o sentdo do podto etol de dos etoes não nlos: olomos mão soe o pmeo eto fehmos p m do eto, o poleg nd o sentdo do eto esltnte do podto de. Confome fg.8: Fg.8: Reg d mão det Pof. Máo Selhost e-ml:

24 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Pof. Máo Selhost e-ml: 9 Expessão tesn do podto etol Sem os etoes e, então: Pel popedde III, do podto etol, temos: Usndo popedde II gpmos esl om esl e eto om eto: Resolendo os podtos esles onfome os exemplos e dest seção: Ftondo otemos: A expessão otd oesponde o detemnnte de m mtz fomd pelos etoes e. Exemplo 5: Sendo ddos os etoes e, lle. Inlmente llmos o detemnnte de. 6 8,, Exemplo 6: Detemn m eto smltnemente otogonl os etoes e, sendo ddos os etoes,, e,,. Inmos esolção llndo os etoes e :,,6,,,,,,,,

25 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 5 Como o podto etol é m eto smltnemente otogonl os etoes qe ompõe o podto, onfome defnção, podemos esee: 6. Resolendo o detemnnte ,,8 Assm, o eto smltnemente otogonl os etoes e é Podto msto Ddos os etoes, e w, tomdos nest odem, hm-se podto msto dos etoes, e w o númeo el w o,, w. Podemos esee qe : w w osα onde o α 8. Note qe, se o ânglo ente e w fo de 9, á qe w é pependl e w, os tês etoes, e w seão oplnes etoes no mesmo plno. Podemos então dedz qe p tês etoes seem oplnes o podto msto w. Fg.9: Podto msto Expessão tesn do podto msto Sem os etoes, e w x y z, então: P detemn w, detemnmos po etps o podto. ª etp: Cllmos o podto etol Pof. Máo Selhost e-ml:

26 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Pof. Máo Selhost e-ml: 5 w w ª etp: Cllmos o podto esl [ ] w w w Qe é eqlente o detemnnte d mtz ompost pelos omponentes dos tês etoes, e w enoldos: w Exemplo Ddos os etoes, e, lle: Resolendo: Deemos ll o detemnnte onfome defnção. Assm sendo, Cllndo o detemnnte: Pmemente llmos,5,,,,, Cllmos o podto msto sndo o detemnnte d expessão tesn do podto msto.

27 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl Pof. Máo Selhost e-ml: 5 5 Cllndo: Vef se os etoes,,,,, e,, w são oplnes. Deemos most qe o podto msto w w Logo, omo w, os etoes não são oplnes. Detemne o lo do omponente x do eto p qe etoes, e sem oplnes, sendo ddos x, e. Se os tês etoes são oplnes o podto msto. Podemos esee: x x x x x x x x x Intepetção Geomét do módlo do podto etol A ntepetção geomét do módlo do podto etol pode se entendd pt de m plelogmo onstído soe dos etoes, onfome fg..

28 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 5 Fg.: Intepetção do módlo do podto etol O plelogmo d fg., tem áe defnd omo o podto d medd d se pel s lt h, o se A p h. A se do plelogmo oesponde o módlo do eto, o se,, ssm, áe pode se: Áe ABCD Ssttndo, temos: Áe ABCD h h, onde senα h senα senα A expessão otd oesponde o podto etol de dos etoes e, defndo nteomente, senα. Conlímos qe o módlo do podto etol de dos etoes oesponde áe do plelogmo otdo pels poeções plels os etoes pt dos ses étes onfome fg.. Logo: Áe ABCD Exemplo : Clle áe do plelogmo os ldos são onstídos om os etoes e, onde,, e,,. Como o módlo do podto etol de dos etoes oesponde áe do plelogmo onstído soe estes etoes, podemos onsde qe: A P Inlmente detemnmos os etoes e.,,,6, 9,,,,,, ,, Como A P, pesmos nd ll o módlo do eto otdo: Pof. Máo Selhost e-ml:

29 A P Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl,, Logo, A nddes qdds P Exemplo : Clle áe do tnglo de étes A,,, B,, e C,,. O tânglo está stdo no espço tdmensonl e pode se epesentdo de modo smplfdo pel fg.. Fg.: Tânglo de étes ABC D geomet element semos qe áe de m tnglo é gl medd d áe de m plelogmo dddo po dos, onfome fg.. Assm podemos popo qe áe do tânglo ABC oesponde à metde do módlo do podto etol dos dos etoes AB e AC qe detemnm o plelogmo. Logo, AB A ABC AC Fg.: Plelogmo e tânglo Como não temos os etoes, temos qe detemná-los pt dos pontos qe detemnm os étes, o se, AB e AC. AB B A,,,,, 6, 6 AC C A,,,,,, AB AC Como A ABC, llmos nlmente o podto etol AB AC. Pof. Máo Selhost e-ml:

30 AB AC ,7, Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 55 Cllndo o módlo do podto etol: AB AC 7 57 Fnlzndo temos qe áe do tânglo é AB AC 57 A ABC. nddes de áe. Intepetção geomét do módlo do podto msto A ntepetção geomét do módlo de m podto msto é desenold pt do állo do olme de m plelepípedo onstído soe os tês etoes qe o ompõem, onfome fg.. Fg.: Intepetção do módlo do podto msto. P ll o olme do plelepípedo V PP tlzmos, d geomet espl, qe V PP A h Vmos nteomente qe áe d se do plelepípedo, qe é m plelogmo, é ddo pelo módlo do podto etol dos etoes e w, o se, A w. N fg. osemos qe osα h h osα Como A h, podemos esee qe w osα o V PP V PP V PP w osα. A expessão otd é gl o podto msto de tês etoes, w w osα, logo: V PP w, qe oesponde o olme do plelepípedo. Pof. Máo Selhost e-ml:

31 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 56 Exemplo : Cll o olme do plelepípedo onstído soe os etoes., e O olme do plelepípedo é ddo pelo módlo do podto msto dos etoes, e, o se, V PP. Inlmente llmos o podto msto Como VPP V PP 9 9. nddes de olme Exeos Ddos os etoes, e, epesentdos n fg xo, pesent m epesentnte de d m tens popostos: Ddos os pontos no A, B,, e C,,, detemn o eto AC BC. R omo,,5 Ddos os etoes,,,,, e w,,, lle s opeções w e w. Sendo qe, lle o lo de m no eto m. 5 Ql dee se o lo de x p qe os etoes x,, e, x, sem otogons? 6 Consdee o tânglo ABC de étes A,,, B,, e C,,. Detemne o ânglo nteno o éte C desse tânglo. Pof. Máo Selhost e-ml:

32 Geomet Anlít Engenh Qím/Qím Indstl 57 7Most qe os α os β os γ, sendo α, β e γ os ânglos detoes de m eto. 8 Os ânglos detoes de m eto podem se 9Um foç f, ntensdde é gl A foç f fz m ânglo de 5, e? N, deslo m nho po 8 m, nm plno hozontl, sem tto. 6 om o deslomento. Ql o tlho elzdo pel foç f? Ddos os etoes,,,,, e w,,, lle os podtos etol e podto msto soltdos em d tem. w Detemn m eto smltnemente otogonl os etoes e. Clle áe do tânglo ABC do exeío 6. Vef se os pontos A,,, B,,, C,, e D,, estão no mesmo plno. Ddos os etoes, m,,,, e,,. Cll o lo de x p qe o olme do plelepípedo detemndo po, e se gl 9.. nddes de olme. 5Cll ntensdde do toqe o momento soe o segmento OA, m d fg seg qndo gmos fement petndo o pfso. Pof. Máo Selhost e-ml:

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