TÓPICOS. Série de Taylor. Série de Laurent. 5. Funções complexas definidas por séries. =0 n. n 1. n n. R = lim. n n. lim

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1 Not bm, litur dsts potmtos ão disps d modo lgum litur tt d bibliogri pricipl d cdir Chm-s à tção pr importâci do trblho pssol rlir plo luo rsolvdo os problms prstdos bibliogri, sm cosult prévi ds soluçõs proposts, ális comprtiv tr s sus rspost rsposts proposts, postrior xposição juto do doct d tods s dúvids ssocids. Módulo TÓPICOS Fuçõs complxs diids por séris Séri d Tylor. Séri d Lurt. 5. Fuçõs complxs diids por séris. 5.. Cocitos básicos. A séri gométric com C, é bsolutmt covrgt pr, sdo, ss rgião, Di-s séri d potêcis d coicits ctro por, sdo um sucssão d úmros complxos C. Dd um séri d potêcis d coicits, o su rio d covrgêci, R, pod s clculdo com bs o critério d ri, ou com bs o critério d rão R R, sdo séri uiormmt covrgt o círculo R. Pro. José Amrl MAT M - --7

2 Sdo um séri d rio d covrgêci R som S, tão drivd d ordm k d S é dd por pr o msmo rio d covrgêci. k L k k S k 5.. Séri d Tylor. Um ução complx d vriávl complx,, lític um rgião D C, pod sr dsvolvid m séri d Tylor m toro d um poto D, sdo Figur M. com A séri d Tylor covrg uiormmt o itrior d qulqur cotoro circulr C D ctrdo m rio mor ou igul à distâci tr sigulridd mis próxim,,, ou sj, tm um rio d covrgêci R. Qudo séri é dsigd por séri d McLuri. 5.. Séri d Lurt. S ução ão or lític viihç d ão é dsvolvívl m séri d Tylor m toro d, o tto, s or lític um coro circulr D C ctrd m possui um dsvolvimto m séri d potêcis d dsigd por séri d Lurt, qu é covrgt m D : Um ução complx d vriávl complx,, lític um coro circulr D C m toro d um poto, pod sr dsvolvid m séri d Lurt D, sdo com d Figur M. πj C, m qu C é qulqur cotoro cotido o itrior d D. A coro circulr D o itrior d qul séri d Lurt d ução covrg uiormmt, ou sj, o domíio d covrgêci d séri, tm como rotirs itrior xtrior s circurêci qu pssm pls dus sigulridds Pro. José Amrl MAT M - --7

3 mis próxims d,, rspctivmt, C d rio r C d rio R, isto é: D : r R. S o poto or um sigulridd isold d, rgião d covrgêci D é um círculo brto C itdo pl circurêci qu pss pl sigulridd mis próxim, xcluido somt o su ctro. A séri d Lurt pod sr itrprtd como som d dus séris: m qu g g s r g s é chmd prt sigulr ou pricipl d séri, sdo covrgt m > r, g r é chmd prt rgulr ou lític d séri, sdo covrgt m R. Qudo prt pricipl d séri d Lurt é ul st rdu-s à séri d Tylor gr rcord-s qu rsult ds órmuls itgris d Cuchy πj C, plo qu os coicits ds dus séris, s codiçõs d plicção, são idêticos. d Exmplos. A séri d potêcis Tm um rio d covrgêci R, ou sj, covrg pr j. j. A séri d potêcis Tm um rio d covrgêci 4 Pro. José Amrl MAT M - --7

4 Pro. José Amrl MAT M R, ou sj, covrg pr j.. A ução tm um dsvolvimto séri d McLuri qu pod sr obtido d dois modos dirts. Sdo cohcid som d séri gométric, tmos, drivdo mbos os mmbros, O msmo rsultdo pod sr obtido prtir d diição. Sdo M, tmos

5 Pro. José Amrl MAT M Figur M. 4. Cohcdo o dsvolvimto m séri d McLuri d C, podmos dduir qu o dsvolvimto m séri d Tylor m toro d d ução é, C. 5. A ução pod sr dsvolvid m séris d Lurt pr três dirts rgiõs dtrmids pls sigulridds.. A primir rgião, situd tr s sigulridds, é um círculo brto. Nst rgião podmos r

6 Pro. José Amrl MAT M Figur M.4 Figur M.5, sdo primir séri bsolutmt covrgt pr, sgud pr, rsult qu o dsvolvimto m séri cotrdo é covrgt m : C. Podmos id scrvr. A sgud rgião, situd tr s sigulridds, é um coro circulr. Nst rgião podmos r, sdo primir séri bsolutmt covrgt pr, sgud pr, rsult qu o dsvolvimto m séri cotrdo é covrgt m : C. Podmos id scrvr. A trcir rgião corrspod o xtrior do círculo com rotir circurêci qu pss m, >. Nst rgião podmos r

7 Pro. José Amrl MAT M , sdo primir séri bsolutmt covrgt pr, sgud pr, rsult qu o dsvolvimto m séri cotrdo é covrgt m C :. Podmos id scrvr

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