Trabalho de Conclusão de Curso

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1 João Cardoso Neto Sandra Helena de Melo Trabalho de Conclusão de Curso Trabalho apresentado para a disciplina de Laboratório de Estatística do Curso de Graduação em Estatística da Universidade Federal do Paraná. Orientação: Professor Doutor Anselmo Chaves Neto. Curitiba 2009

2 Crítica ao atual Ranking da FIFA de Seleções Masculinas de Futebol Profissional João Cardoso Neto Sandra Helena de Melo Curso de Estatística Universidade Federal do Paraná 2009 Resumo O objetivo deste trabalho é num primeiro momento realizar uma análise crítica do atual critério adotado pela FIFA (Federação Internacional de Futebol) com relação às Seleções Masculinas de Futebol Profissional. Por exemplo, numa consulta feita através do site em data de 20 de Agosto de 2009, a Seleção de Gabão ocupa a 31 a. colocação no atual Ranking, enquanto a Seleção da Suécia ocupa a singela 41ª. colocação neste mesmo Ranking. Ocorre, porém, que muitas pessoas com modesto conhecimento sobre futebol, ou não, jamais ouviram falar da Seleção do Gabão, além disso, tal agremiação nunca participou de uma Copa do Mundo, ao contrário disso, a Seleção da Suécia já possui uma maior tradição no mundo do Futebol. Participou de 11 (onze) Copas do Mundo, além de ter alcançado em 1958 a segunda colocação, em 1950 e 1994 a terceira colocação e no ano de 1938 a quarta colocação na Copa do Mundo. A partir disto, será feito um Ranking preliminar de todas as Seleções atualmente filiadas à FIFA, utilizando para este primeiro ranqueamento as seguintes variáveis: quantidade de participações em Copas de Mundo, melhores colocações obtidas nessas Copas do Mundo (apenas serão considerados do 1º ao 4º Lugares), melhores colocações obtidas nas Copas Continentais (apenas serão considerados os 1º e 2º Lugares), número de jogadores registrados, não registrados, de clubes e de árbitros. Em seguida, através de uma Análise de Agrupamento (Cluster), ou outra técnica de reconhecimento de padrões, se dividirá este grupo de Seleções em grupos. E, então, serão agregadas mais variáveis ao estudo. Como ilustração do método pode-se supor que a Seleção Brasileira esteja no 1 o. nível, e então analisa-se o seu rendimento contra as agremiações do seu e dos demais níveis, e isto será feito de forma sucessiva até a última Seleção ser analisada. De posse de todas as variáveis acima nominadas, irá ser feita uma análise multivariada de todos os dados obtidos e se elaborará um novo Ranking das Seleções de Futebol Profissional Masculino filiadas à FIFA. Palavras-Chave: Futebol, Reconhecimento de Padrões, Análise Multivariada. Professor Orientador: Prof. Dr. Anselmo Chaves Neto

3 1. INTRODUÇÃO Que o velho jargão O Brasil é o País do Futebol é a mais pura verdade do povo brasileiro nós estamos cansados de saber, porém com a globalização mundial e o aumento constante dos meios de interação entre pessoas do mundo todo, independente da distância em que uma se encontra da outra, não podemos dizer que apenas o brasileiro é apaixonado por futebol, o futebol é hoje em dia uma paixão mundial. Prova disso são os diversos campeonatos de clubes existentes em todo o mundo, para se ter idéia das dimensões da paixão que o mundo todo está nutrindo pelo futebol, um dos maiores, senão o maior canal de televisão fechada, que exibe programas exclusivamente de cunho esportivo, a ESPN, neste ano está transmitindo jogos do Campeonato Russo e Americano de futebol profissional, além dos já tradicionais Campeonatos Alemão, Holandês, Italiano, Espanhol e Inglês. Engana-se quem acredita que a paixão pelo futebol é exclusividade dos homens, pois se não bastasse o acima exposto, este mesmo canal também neste ano, está realizando a transmissão do Campeonato Americano de futebol profissional feminino. Logicamente que como qualquer empresa, um canal de televisão somente realiza transmissões de eventos em que o custo-benefício seja favorável ao mesmo, pois este possui várias despesas que são pagas com as receitas geradas, sendo que não é segredo para ninguém que grande parte da receita dos canais de televisão é oriunda da venda de horários dos comerciais para empresas interessadas em divulgar suas marcas. Diante deste quadro podemos retirar três afirmações importantes para nosso trabalho, são elas: a transmissão de futebol é rentável para o canal de televisão em virtude do custo benefício, assim como as empresas consideram os comerciais destas transmissões um bom horário para expandir a divulgação de suas marcas e aumentar o número de clientes, e por fim, se as duas afirmativas anteriores são verdadeiras, existe um grande número de pessoas que acompanham tais transmissões, tornando rentável a transmissão destes eventos pelos canais de televisão, bem como a compra de horários de comercial por empresas em geral.

4 Evidentemente que existem um grande número de fãs do futebol pelo mundo todo, estas pessoas acompanham os mais diversos tipos de campeonatos e jogos movidos pela paixão pelo futebol, independente de suas nacionalidades. Mas além destes indivíduos, existem várias outras pessoas que mesmo não nutrindo o mesmo sentimento pelo futebol, em certas ocasiões voltam as suas atenções para tal esporte, sendo a principal destas ocasiões a Copa do Mundo de Futebol Profissional Masculino, evento este que ocorre a cada quatro anos, em países pré-selecionados pela FIFA Federação Internacional de Futebol. Para termos uma idéia da proporção de um evento como a Copa do Mundo de Futebol Profissional Masculino, a última delas, realizada no ano de 2006, na Alemanha e que teve como campeã a Seleção Italiana, segundo dados fornecidos pela própria FIFA, teve uma audiência total de 26,3 bilhões de pessoas, sendo transmitida para 214 países e territórios. Uma curiosidade importante para dimensionarmos a grandiosidade deste evento é que a própria FIFA possuí apenas 207 seleções profissionais filiadas, número este menor do que os países e territórios para os quais foi transmitida a Copa do Mundo. Além disso, é salutar destacarmos as informações da Empresa Reuters do Brasil, filiada à Thomson Reuters, que é a maior agência internacional de notícias e multimídia do mundo, publicadas no site A Copa do Mundo deste ano registrou uma audiência média de 93 milhões de telespectadores por cada jogo, totalizando em um mês o equivalente à audiência de 64 Super Bowls - finais do campeonato de futebol americano dos EUA. O Super Bowl acontece uma vez ao ano nos EUA, o maior mercado publicitário do mundo, com empresas pagando até US$ 2,4 milhões para colocar um comercial de 30 segundos no ar. Mais de 5,9 bilhões de pessoas assistiram ao vivo aos jogos da Copa em 54 mercados globais, de acordo

5 com uma pesquisa divulgada esta semana pelo instituto de análise de mídia Initiative. No último jogo, no dia 9/7, 284 milhões de telespectadores ficaram de olho na telinha para ver a Itália vencer a França nos pênaltis. Já a semifinal, entre Itália e Alemanha, foi assistida por 202 milhões; enquanto a outra semifinal entre Portugal e França teve uma audiência global de 188 milhões. O Mundial da Alemanha também atraiu o dobro do número de telespectadores que assistiram à abertura dos Jogos Olímpicos de Atenas. A competição deste ano foi benefeciada por ter sido realizada em um país europeu, indo ao ar em um horário conveniente para os fãs do esporte na Europa e na América do Sul. Na Copa de 2002, que aconteceu na Coréia do Sul e no Japão, muitos deles não puderam assistir aos jogos devido ao fuso horário. A Copa de 2006 atraiu 10% a mais de telespectadores que em 2002 e teve aproximadamente a mesma audiência da de De todos os telespectadores, 41% eram mulheres - o maior número de fãs femininas de todas as Copas. Mesmo assim, a maior parte dos anúncios foi de produtos destinados a homens. Logicamente que além destas audiências existe outro fator financeiro envolvido em eventos como a Copa do Mundo de Futebol que são as apostas feitas pelas pessoas nas chamadas Casas de Apostas com os palpites sobre os resultados dos jogos deste evento e principalmente sobre os primeiros colocados neste evento.

6 Para se ter uma idéia o site publicou uma notícia em data de 20 de Julho de 2006 uma reportagem com o Senhor Rupert Adams, Porta-voz da Casa de Apostas Willian Hill, em que cita que: Antes do início do Mundial, para cada 5 libras (cerca de R$ 20) que uma pessoa apostava no Brasil, recebia 12 de volta. Esta Copa do Mundo deverá movimentar 1 bilhão de libras ( pouco mais de R$ 4 bilhões) em apostas apenas na Grã-Bretanha. Neste ínterim, devemos ainda destacar o citado por Eduardo Campos, membro da InvestNews, na Gazeta Mercantil, o qual relata em 19 de Maio de 2006 que: Os torcedores que não têm dúvidas quanto ao favoritismo da seleção brasileira para a Copa do Mundo já estão fazendo suas apostas nos sites de jogo da Europa. Antecipando um esperado crescimento na demanda, os sites criaram um mercado futuro de apostas para os jogos da Copa do Mundo, com diversas opções. O torcedor pode escolher qual seleção será a campeã, quem será o artilheiro e até qual rodada cada time irá durar. Como era de se esperar, a seleção brasileira é a favorita nos sites de casas de apostas da Europa. A aposta no Brasil é de 16/5. A segunda colocada é a Inglaterra, que paga 6/1; em terceiro vem a Alemanha, dona da casa, com 7/1; a Argentina vem na seqüência, pagando 8/1; e a Itália, em quinto, com 10/1. Como em qualquer outro jogo, as apostas no azarão pagam muito mais. As apostas para Estados Unidos e Costa do Marfim como campeões estão ambas cotadas em 100/1. Instituição legalizada e regulamentada no

7 continente, o ramo de apostas em esportes - e em qualquer outra coisa - movimenta bilhões de dólares por ano. Não há um número oficial, mas a Betting Office Licensees Association (ironicamente conhecida como Bola, na sigla em inglês) estima que as apostas pela internet movimentem mais de 680 bilhões de libras por ano em todo o mundo. A Bola representa as maiores casas de apostas do Reino Unido e luta pela redução da tributação imposta pelo governo ao jogo. Parlamentares americanos estimam que apenas as apostas online movimentem cerca de US$ 12 bilhões por ano. Devido a recentes escândalos envolvendo casas de apostas na Alemanha e Leste Europeu a Fifa vai acompanhar este mercado durante o período de jogos. Para se ter idéia de como o jogo é coisa séria para os europeus, em particular para os britânicos, há inúmeras publicações como revistas, jornais e sites sobre o assunto. O Sportsman, jornal criado há pouco tempo voltado aos entusiastas das apostas, vendeu cerca de 21,5 mil cópias por dia em abril. A meta é chegar a 40 mil até o final do ano. Atualmente, o jornal de apostas de maior circulação na ilha é o Racing Post, com uma tiragem de 80 mil jornais por dia. Importante enaltecermos ainda que além das Casas Oficiais de apostas, é comum que os grupos de amigos ou colegas de trabalho façam os famosos Bolão antes dos jogos da Copa do Mundo, oportunidades em que os valores em questão são mais simbólicos e o real objetivo deste Bolão é a diversão associada ao esporte. Além disso, devemos salientar ainda que é comum que os técnicos ou managers das várias seleções estudem de forma pormenorizada os seus futuros adversários não só

8 nas Copas do Mundo como em qualquer outro jogo que venha a ser disputado e baseado no nível de seu futuro adversário trace uma estratégia técnica e tática para que venha a obter sucesso nesta partida a ser disputada. Diante de todo o exposto até o momento se torna de grande importância que saibamos quais são as melhores e as piores seleções de futebol, bem como qual o nível das mesmas em um ranqueamento que contemple as várias seleções existentes. Para isto atualmente temos o Ranking com todas as seleções de futebol que são filiadas à FIFA, este Ranking é atualizado mensalmente e fica disponível para consulta através do site Ocorre, porém, que este Ranking possui alguns critérios que são muito discutíveis e geram debates em todo o mundo, principalmente em virtude de que não somente os especialistas, como a maioria dos indivíduos não concordam com os critérios utilizados pela FIFA e consequentemente com o Ranking de seleções. Para termos uma idéia dos critérios utilizados pela FIFA na elaboração de seu Ranking, seguem algumas informações disponibilizadas pela própria FIFA através do seu site oficial: Fórmula básica: P=M*I*T*C*100. O cálculo leva em conta as seguintes definições e condições: M: Pontos - para uma vitória são 3 pontos, para um empate é 1 ponto e para a derrota é 0 pontos. Se uma partida é decidida nos pênaltis, a equipe vencedora ganha 2 pontos e o perdedor 1 ponto. I: Utiliza os seguintes valores: jogo amigável (incluindo também pequenos torneios): I = 1,0; Continental e da qualificação para o Mundial: I = 2,5; Competições continentais finais e Copa das Confederações: I = 3,0; Copa do Mundo da FIFA: I=4,0. T: a força da equipe adversária, calculado pela seguinte fórmula:

9 [200 - Posição do adversário nesta lista] / 100. Somente a equipe no primeiro lugar ganha 2,00 como fator de avaliação e da posição 150 em diante ganha 0,50, que é o mínimo. C: equivalente ao fator de potência de uma confederação. Para realizar o cálculo em jogos intercontinentais deve ser usado para este fator a potência médio da confederação de cada equipe. Como podemos perceber este critério não é de fácil compreensão e, além disso, é alvo de várias críticas, pois não reflete a realidade das seleções mundiais. O próprio presidente da FIFA, Joseph Blatter, em matéria publicada no site em 07 de Julho de 2006 afirmou que: Reconhecemos a necessidade de uma revisão profunda e estou convencido de que nossos especialistas encontraram uma solução satisfatória com o novo método de cálculos da classificação. Diante de todo o exposto até o momento, este trabalho tem como objetivo principal propor um novo sistema de ranqueamento das seleções masculinas de futebol profissional. Para este ranqueamento que será proposto, iremos dividir nosso estudo em três passos principais, da forma como segue: Passo 1: Realizar um pré agrupamento das 207 seleções filiadas à FIFA, utilizando para a realização disso as seguintes variáveis: número de participações em Copas do Mundo, número de primeiros, segundos, terceiros e quarto lugares em Copas do Mundo, número de primeiros e segundos lugares em Copas Continentais. As 207 seleções filiadas à FIFA serão agrupadas em 05 níveis, sendo que a quantidade de seleções em cada nível foi estabelecida em virtude das medidas de

10 similaridade entre as seleções levando-se em conta as variáveis em estudo anteriormente descritas. Passo 2: Após o pré agrupamento das seleções em estudo, iremos incorporar ao nosso estudo outras variáveis, a saber: número de jogadores registrados e não registrados, número de clubes, número de árbitros, aproveitamento contra seleções do nível A, B, C, D e E, considerando os últimos quatro anos. A incorporação destas novas variáveis se faz necessária em virtude de que é extremamente lógico que seleções como Brasil e Camboja apresentam muitas dissimilaridades, da mesma forma que também apresentam dissimilaridades seleções como a do Timor Leste e a da Itália. Diante deste quadro, é de se esperar que em confrontos hipotéticos, a seleção Brasileira saia vencedora em confrontos contra Camboja e Timor Leste, ao passo que num duelo com a seleção Italiana o resultado seja mais imprevisível. Diante disso é importante que o aproveitamento de cada uma das seleções contra as seleções de todos os níveis sejam consideradas, pois é presumível que as melhores seleções apresentem um bom aproveitamento contra todas as seleções, independente do nível, enquanto as seleções mais modestas terão um aproveitamento baixo contra seleções de nível superiores ao seu. Passo 3: Após a inserção destas variáveis, será realizado um novo ranqueamento das seleções, utilizando-se para isto técnicas multivariadas, especificamente a análise fatorial.

11 2. REVISÃO DE LITERATURA 2.1. ANÁLISE DE AGRUPAMENTO Análise de agrupamentos é o nome para um grupo de técnicas multivariadas cuja finalidade primaria é agregar objetos com base nas características que eles possuem. Ela classifica objetos de modo que cada um é muito semelhante aos outros no agrupamento em relação a algum critério de seleção predeterminado. Os agrupamentos resultantes de objetos devem então exibir elevada homogeneidade interna (dentro dos agrupamentos). Assim, se a classificação for bem sucedida, os objetos dentro dos agrupamentos estarão próximos quando representados graficamente e diferentes agrupamentos estarão distantes. Em análise de agrupamentos, o conceito da variável estatística é novamente uma questão central, mas de uma forma bastante diferente de outras técnicas multivariadas. A variável estatística de agrupamento é o conjunto de variáveis que representam as características usadas para comparar objetos na análise de agrupamento. Como a variável estatística de agrupamento inclui apenas as variáveis usadas para comparar objetos, ela determina o caráter dos objetos. A análise de agrupamento é a única técnica multivariada que não estima a variável estatística empiricamente, mas ao invés disso usa a variável estatística como especificada pelo pesquisador. O foco da análise de agrupamento é a comparação de objetos com base na variável estatística, não na estimação da variável estatística em si. Isso torna a definição da variável estatística feita pelo pesquisador um passo crítico na análise. O objetivo principal da analise de agrupamento é definir a estrutura dos dados colocando as observações mais parecidas em grupos. Mas para conseguir isso, devemos abordar três questões básicas. Primeiro como medimos a similaridade? Necessitamos de um método de comparação simultânea de observações sobre as duas variáveis de agrupamento (V 1 e V 2 ). Diversos métodos são possíveis, incluindo a correlação entre objetos, uma medida de associação usada em outras técnicas multivariadas, ou talvez uma medida de sua proximidade em um espaço bidimensional tal que a distância entre observações indique similaridade. Segundo, como formamos os agrupamentos? Não importa como a similaridade é medida, o procedimento deve agregar as observações que

12 são mais similares em um agrupamento. Esse procedimento deve determinar a pertinência a grupo de cada observação. Terceiro, quantos grupos formamos? Várias regras podem ser utilizadas, mas a tarefa fundamental é avaliar a similaridade média entre agrupamentos de forma que quando a média aumenta, os agrupamentos se tornam menos parecidos. O pesquisador então se depara com uma negociação: menos agrupamentos versus menos homogeneidade. A estrutura simples, com vistas à parcimônia, é refletida internamente com o menor número de agrupamentos possível. No entanto, quando o número de agrupamento diminui, a homogeneidade dentro dos grupos necessariamente diminui. Assim, deve haver um equilíbrio entre definir a estrutura mais básica (menos agrupamentos) e ainda conseguir o nível necessário de similaridade dentro dos agrupamentos. Uma vez que temos os procedimentos para tratar de cada questão, podemos executar a análise Medidas de Similaridade O conceito de similaridade é fundamental na análise de agrupamentos. A similaridade entre objetos é uma medida de correspondência ou semelhança entre objetos a serem agrupados. Primeiramente são especificadas as características de similaridade, em seguida, as características são combinadas em uma medida de similaridade calculada para todos os pares de objetos. Desse modo, qualquer objeto pode ser comparado a qualquer outro por meio da medida de similaridade. O procedimento da análise de agrupamento prossegue agregando objetos semelhantes em agrupamentos. A similaridade entre objetos pode ser medida de diversas maneiras, mas três métodos dominam as aplicações de análise de agrupamentos: medidas correlacionais, medidas de distância e medidas de associação. Cada um desses métodos representa uma perspectiva particular da similaridade, dependendo de seus objetivos e do tipo de dados. Tanto as medidas correlacionais quanto as medidas de distância requerem dados métricos, ao passo que as medidas de associação são para dados não-métricos.

13 Medidas de Distância As medidas de distância são, na verdade, uma medida de similaridade, em que os valores maiores denotam menor similaridade. A distância é convertida em uma medida de similaridade pelo uso de uma relação inversa. As medidas de distância se concentram na magnitude dos valores e representam casos similares que estão próximos, mas podem ter padrões muito diferentes ao longo das variáveis Distância Euclidiana Diversas medidas de distância estão disponíveis. A mais comumente usada é a distância euclidiana. Um exemplo de como distância euclidiana pode ser obtida é mostrada geometricamente na Figura X. Suponha que dois pontos em duas dimensões tenham coordenadas (X 1, Y 1 ) e (X 2, Y 2 ), respectivamente. A distância euclidiana entre os pontos é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo, conforme se calcula pela fórmula sob a aludida Figura. Esse conceito é facilmente generalizado para mais de duas variáveis. A distância euclidiana é empregada para calcular medidas específicas, como a distância euclidiana simples (calculada como descrito acima) e a distância euclidiana quadrada ou absoluta, que é a soma do quadrado das diferenças, sem calcular a raiz quadrada.

14 Figura X: Um exemplo de distância euclidiana entre dois objetos medidos sobre duas variáveis X e Y Seleção de um Algoritmo de Agrupamento A seleção de um algoritmo de agrupamento não é uma tarefa simples, pois centenas de programas de computadores utilizam diferentes tipos de algoritmos, além dos já disponíveis vários outros estão em fase de desenvolvimento. O critério primordial para todos estes algoritmos é que eles tentam maximizar as diferenças entre os agrupamentos, diferenças estas relativas à variação dos mesmos. Os algoritmos mais comumente utilizados podem ser classificados em duas grandes categorias gerais, sendo elas: hierárquica e não-hierárquica Procedimento Hierárquico Nesse procedimento, os agrupamentos são formados a partir de uma matriz de parecença. Num primeiro passo, a matriz é utilizada para identificar o par de objetos que mais se parece. A partir desse instante esse par é agrupado e será considerado como sendo um único objeto. Isso requer que se defina uma nova matriz de parecença; em seguida se identifica o par mais semelhante, que formará um novo grupo, e assim sucessivamente até que todos os objetos estejam reunidos num mesmo grupo. Através da análise do histórico do agrupamento, pode-se definir a posteriori número de grupos existentes nos dados. A técnica de agrupamento hierárquico interliga as amostras por suas associações, produzindo um dendrograma onde as amostras semelhantes, segundo as variáveis escolhidas, são agrupadas entre si. A suposição básica de sua interpretação é esta: quanto menor a distância entre os pontos, maior a semelhança entre as amostras. Os dendrogramas são especialmente úteis na visualização de semelhanças entre amostras ou objetos representados por pontos em espaço com dimensão maior do que três, onde a representação de gráficos convencionais não é possível.

15 Existem muitas maneiras de procurar agrupamentos no espaço n-dimensional. A maneira matematicamente mais simples consiste em agrupar os pares de pontos que estão mais próximos, usando a distância euclidiana, e substituí-los por um novo ponto localizado na metade da distância entre eles. Este procedimento, quando repetido até que todos os pontos sejam agrupado em um só ponto, leva a construção do dendrograma, onde, no eixo horizontal são colocadas as amostras e, no eixo vertical, o índice de similaridade, s ij, entre os pontos i e j, calculado segundo a seguinte expressão: onde d ij é a distância entre os pontos i e j e d máx é a distância máxima entre qualquer par de pontos. Os dendrogramas, portanto, consistem em diagramas que representam a similaridade entre pares de amostras (ou grupos de amostras) numa escala que vai de um (identidade) a zero (nenhuma similaridade). Finalmente, importante se faz ressaltar o procedimento hierárquico se divide basicamente em dois tipos: Métodos Aglomerativos e Métodos Divisivos. Importante evidenciarmos que em nosso estudo fizemos a utilização dos Métodos Aglomerativos Métodos Aglomerativos No Método Aglomerativo, cada objeto ou observação começa como seu próprio agrupamento. Em passos seguintes, os dois agrupamentos (observações ou indivíduos) mais próximos são combinados em um novo agregado, reduzindo assim o número de agrupamentos em uma unidade em cada passo. Em alguns casos, um terceiro indivíduo, ou mais, se une aos dois primeiros em um agrupamento. Já em outras situações, dois grupos de indivíduos formados em um passo anterior podem vir a se juntar em um novo agrupamento. Eventualmente, todos os indivíduos são reunidos em um grande agregado, por essa razão, os procedimentos aglomerativos às vezes são chamados de métodos construtivos.

16 Na atualidade podemos destacar cinco Métodos de Ligação Aglomerativos que possuem grande uso, sendo os que seguem: Ligação Individual, Ligação Completa, Ligação Média, Método Centróide e Método de Ward. Em nosso estudo utilizamos o Método de Ward Método de Ward A alocação de um elemento a um grupo é feita de modo a minimizar uma medida de homogeneidade interna. A cada etapa do Método de Ward, busca-se unir objetos que torne cada agrupamento formado o mais homogêneo possível. A medida de homogeneidade utilizada baseia-se na partição da soma de quadrados total de uma análise de variância. O Método de Ward é um método de agrupamento de dados que forma grupos de maneira a atingir sempre o menor erro interno entre os vetores que compõe cada grupo e o vetor médio do grupo. Isto equivale a buscar o mínimo desvio padrão entre os dados de cada grupo. No Método de Ward, os grupos de dados são formados em etapas. No princípio, têm-se m grupos; ou seja, um grupo para cada vetor componente da base de dados. Neste estágio inicial o erro interno é nulo para todos os grupos, pois cada vetor que compõe cada grupo é o próprio vetor médio do grupo. Igualmente o desvio padrão para cada grupo é nulo. Na etapa subseqüente, cada possibilidade de aglutinação entre os grupos, 2 a 2, é verificada, e é escolhido o agrupamento que causa o menor aumento no erro interno do grupo. São m x m verificações. Desta forma, para uma base de dados com m elevado, estas verificações exigem um grande esforço computacional caso o método seja implementado em computador. Nota-se que a cada iteração tem-se m i grupos (i = número de iterações), no entanto, como o número de elementos pertencentes a cada grupo aumenta, é maior o número de cálculos para o erro interno de cada grupo.

17 2.2. ANÁLISE FATORIAL É uma técnica estatística que tem como objetivo descrever a estrutura de dependência de um conjunto de variáveis através da criação de fatores, que são variáveis que, supostamente, medem aspectos comuns. Historicamente, a origem das técnicas de análise fatorial está ligada a estudos da área de psicologia. Sua criação data do início do século, quando Spearman (Spearman, 1904) desenvolveu um método para a criação de um índice geral de inteligência (fator g ) com base nos resultados de vários testes (escalas) que refletiriam esta aptidão. Tratava-se de um primeiro método de Análise Fatorial, adequado para a estimação de um único fator. O desenvolvimento inicial de métodos de Análise Fatorial esteve muito ligado ao problema da avaliação de escalas cognitivas e foi responsabilidade de uma série de pesquisadores da área de psicologia (Spearman, 1904, Thurstone, 1935, 1947 e Burt, 1941, por exemplo). No início, os métodos apresentavam uma característica mais empírica do que inferencial. Em 1940, com Lawley, surge um primeiro trabalho com um maior rigor matemático, o que fez com que se aumentasse a aceitação dessas técnicas, nesse meio (Lawley, 1940). Uma situação comum em várias áreas do conhecimento é aquela na qual se observa, para cada elemento amostral, um grande número de variáveis. Essas variáveis podem ser, por exemplo, características demográficas, um conjunto de itens de uma escala ou mesmo os resultados obtidos por um indivíduo em diferentes escalas de avaliação. Diante de um quadro como este, o pesquisador enfrenta dois problemas: 1) Como caracterizar a amostra levando-se em conta um conjunto eventualmente grande de variáveis. 2) Como descrever a inter-relação existente entre estas variáveis, eventualmente explicitando uma estrutura de interdependência subjacente aos dados. A Análise Fatorial vem resolver esses dois problemas. Reis (1997) define a Análise Fatorial como um conjunto de técnicas estatísticas cujo objetivo é representar ou descrever um número de variáveis iniciais a partir de um menor número de variáveis hipotéticas. Trata-se de uma técnica estatística multivariada que, a partir da estrutura

18 de dependência existente entre as variáveis de interesse (em geral representada pelas correlações ou covariâncias entre essas variáveis), permite a criação de um conjunto menor de variáveis (variáveis latentes, ou fatores), obtidas a partir das originais. Além disso, a técnica possibilita saber o quanto cada fator está associado a cada variável e o quanto o conjunto de fatores explica da variabilidade total dos dados originais. Importante evidenciarmos a existência de dois tipos distintos de Análise Fatorial, o primeiro deles, comumente conhecido como Análise Fatorial do Tipo Q se refere a situações envolvendo casos, e a Análise Fatorial do Tipo R que diz respeito ao agrupamento de variáveis e é a que utilizaremos em nosso estudo Método Fatorial de Variância Total Após as variáveis do estudo estarem especificadas, devemos decidir o método de extração de fatores, existe o método baseado na análise de fatores comuns e o método de análise de componentes, em nosso estudo iremos utilizar o método de análise de componentes. Enquanto o método baseado na análise de fatores comuns apenas utiliza a variância comum, o método de análise de componentes considera além da variância comum, a variância específica e do erro. Desta forma, como escolhemos para utilização o método de análise de componentes, logicamente estamos fazendo uso do método fatorial de variância total, o qual, como já foi dito anteriormente, considera as seguintes variâncias: a) Variância Comum. b) Variância Específica (também conhecida como única). c) Variância do Erro Métodos de Estimação Como já foi dito no item iremos utilizar o método da análise de componentes, o qual também é conhecido como método das componentes principais.

19 Métodos das Componentes Principais O método das componentes principais considerando a variância total determina fatores que contêm pequenas proporções de variância única e, em alguns casos, variância do erro. O método das componentes principais é apropriado quando a preocupação principal é a previsão ou o número mínimo de fatores necessários para explicar a parte máxima da variância representada no conjunto original de variáveis, e quando o conhecimento anterior sugere que as variâncias específicas e do erro representam uma proporção relativamente pequena da variância total Rotação dos Fatores Uma ferramenta importante na interpretação de fatores é a rotação fatorial. Especificamente, os eixos de referência dos fatores são rotacionados em torno da origem até o que alguma outra posição seja alcançada. O primeiro fator tende a ser um fator geral com quase toda a variável com carga significante, e explica a quantia maior de variância. O segundo fator e os seguintes são então baseados na quantia residual de variância. Cada fator explica porções sucessivamente menores de variância. O efeito final de rotacionar a matriz fatorial é redistribuir a variância dos primeiros fatores para os últimos com o objetivo de atingir um padrão fatorial mais simples e teoricamente mais significativo. 90 graus. O caso mais simples de é uma rotação ortogonal, na qual os eixos são mantidos a Critério Varimax O critério Varimax se concentra na simplificação das colunas da matriz fatorial. Com a abordagem rotacional Varimax, a simplificação máxima possível é conseguida se apenas 1s e 0s em uma coluna. Ou seja, o método de Varimax maximiza a soma de variâncias de cargas exigidas da matriz fatorial.

20 Com a abordagem rotacional Varimax, há uma tendência para algumas cargas altas, isto é, próximas de -1 e +1, e algumas cargas próximas de 0 em cada coluna da matriz. A lógica é que a interpretação é mais fácil quando as correlações variável-fator são próximas de +1 ou -1, indicando assim uma clara associação positiva ou negativa entre a variável e o fator; ou próximas de 0, apontando para uma clara falta de associação. O critério Varimax tem sido muito bem sucedido como uma abordagem analítica para a obtenção de uma rotação ortogonal de fatores, sendo ainda um dos mais utilizados na prática e, em modo geral, produz soluções mais simples que outros métodos. Tal critério também foi o escolhido para o nosso estudo Modelo Fatorial Ortogonal Seja a variável aleatória observável X, com p componentes, X ~. (µ,σ). O modelo fatorial postula que X é linearmente dependente sobre algumas variáveis aleatórias não observáveis (latentes) F 1, F 2,..., F m (m < p) chamadas fatores comuns (m fatores extraídos de p existentes) e p fontes de variância aditivas ε 1, ε 2,..., ε p, chamadas erros, ou, algumas vezes, fatores específicos. X 1 - µ 1 = l 11 F 1 + l 12 F l 1m F m + ε 1 X 2 - µ 2 = l 21 F 1 + l 22 F l 2m F m + ε 2 X i - µ i = l i1 F 1 + l i2 F l im F m + ε i X p - µ p = l p1 F 1 + l p2 F l pm F m + ε p Os coeficientes l ij (entradas da Matriz L) são chamados de pesos ou carregamento e, especificamente, l ij é o carregamento na i-ésima variável do j-ésimo fator, tal que a matriz L pxm é a matriz de carregamentos (pesos) dos fatores. Importante destacarmos que o fator específico ou erro ε i é associado somente com a i-ésima variável original X i.

21 Os desvios X 1 - µ 1, X 2 - µ 2,..., X p - µ p são expressos em termos de p+m variáveis aleatórias: F 1, F 2,..., F m, ε 1, ε 2,..., ε p que não são observáveis. Isto distingue o modelo fatorial do modelo de regressão multivariada, cujas variáveis independentes (que tem suas posições ocupadas por F) podem ser observadas. Agora, assumindo que: a) E(F) = 0 mx1, Cov(F) = E(FF ) = I m. b) E(ε) = 0 px1, Cov(ε) = E(εε ) = Ψ pxp. c) F e ε são independentes, assim Cov(ε,F) = E(ε,F ) = 0 pxp, com m=p. Com estas suposições o relacionamento construído em: (X - µ) px1 = l pxm F mx1 + ε px1, é chamado de modelo fatorial ortogonal e pode ser escrito como X px1 = µ px1 + l pxm F mx1 + ε px Escores Fatoriais Os escores fatoriais são medidas compostas de cada fator computadas para cada indivíduo. Conceitualmente, o escore fatorial representa o grau em que cada indivíduo tem escore elevado no grupo de itens que têm cargas elevadas em um fator. Assim, valores mais altos nas variáveis com cargas mais elevadas em um fator resultam em um escore fatorial superior. no fator. O escore fatorial é computado com base nas cargas fatoriais de todas as variáveis Método dos Mínimos Quadrados Quando se utiliza o método das componentes principais para estimar os carregamentos é costume estimar os escores fatoriais utilizando o método dos mínimos quadrados. Desta forma, as variâncias específicas Ψ i são consideradas como iguais ou aproximadamente iguais e os escores são: ƒ j = (L L) -1 L (x j -x), j = 1, 2, 3,...

22 3. RESULTADOS OBTIDOS 3.1. ESTUDO DESCRITIVO EM CONSTRUÇÃO 3.2. ANÁLISE DE CLUSTER Encerrado o breve estudo descritivo dos nossos dados passamos para a Análise de Cluster a que foram submetidas todas as 207 Seleções de Futebol Profissional Masculino filiadas à FIFA foram divididas. As variáveis consideradas nesta Análise foram: a) Número de Participações em Copas do Mundo. b) Número de Títulos da Copa do Mundo. c) Número de Vice-campeonatos da Copa do Mundo. d) Número de Títulos Continentais. e) Número de Vice-campeonatos Continentais. Através da referida Análise de Cluster, e segundo critérios pré-definidos, as 207 Seleções foram divididas em 05 (cinco) agrupamentos, sendo que cada agrupamento teve o seguinte número de seleções integrantes: Agrupamento Número de Membros Porcentagem , , , , ,25 Para que pudéssemos realizar o agrupamento das Seleções em estudo, um importante critério é o centróide, o qual nada mais é que o ponto médio de cada agrupamento em cada uma das variáveis em estudo, para melhor ilustrarmos as diferenciações entre os agrupamentos formados, segue logo abaixo uma tabela contendo

23 nossos 05 (cinco) agrupamentos e os seus respectivos centróides em cada uma de nossas variáveis. Agrupamento Participações em Copa do Mundo 1º Lugar em Copa do Mundo 2º Lugar em Copa do Mundo 1 14,80 3,20 2,00 2 8,22 0,11 0,50 3 5,20 0,00 0,00 4 1,75 0,00 0,00 5 0,16 0,00 0,00 Agrupamento 3º Lugar em Copa do Mundo 4º Lugar em Copa do Mundo 1º Lugar em Copa Continental 1 1,20 1,00 7,80 2 0,55 0,66 0,55 3 0,20 0,00 3,60 4 0,00 0,00 0,80 5 0,00 0,00 0,00 Agrupamento 2º Lugar em Copa Continental 1 6,40 2 0,61 3 3,10 4 0,87 5 0,00 Através de nossa Análise de Cluster, utilizando um procedimento hierárquico com o método aglomerativo chegamos à divisão de nossas Seleções, ressaltando que através dos pontos centrais de cada um de nossos clusters em suas respectivas variáveis, podemos determinar quais dos clusters apresentam resultados mais elevados em suas variáveis, e quais os clusters que apresentam resultados mais baixos nas variáveis em estudo. Diante desta situação, realizamos uma pré-classificação das nossas seleções em 05 (cinco) níveis, sendo que as seleções do nível 01 são as que apresentam os melhores resultados nas variáveis abrangidas pela Análise feita, e assim sucessivamente, até o nível 05 que contempla as seleções que apresentam os piores resultados nas variáveis em questão.

24 a) Primeiro Agrupamento Seleções do 1º Nível: Número Seleção Linha 1 Brasil 1 2 Alemanha 4 3 Itália 5 4 Argentina 8 5 Uruguai 21 b) Segundo Agrupamento Seleções do 2º Nível: Número Seleção Linha 6 Espanha 2 7 Holanda 3 8 Rússia 6 9 Inglaterra 7 10 França 9 11 Croácia Sérvia Portugal República Tcheca Bulgária Turquia Polônia Suécia Eslováquia Hungria República da Coréia Bélgica Áustria 68 c) Terceiro Agrupamento Seleções do 3º Nível: Número Seleção Linha 24 Estados Unidos Austrália Paraguai Chile Camarões México Egito Nigéria Gana Arábia Saudita 64

25 d) Quarto Agrupamento Seleções do 4º Nível: Número Seleção Linha 34 Grécia Suíça Dinamarca Costa do Marfim Escócia Israel Romênia Costa Rica Japão Colômbia Honduras Argélia Tunísia Marrocos Guiné Mali Irã Bolívia África do Sul Uganda Líbia Zâmbia Panamá El Salvador Senegal Peru Congo Sudão República do Congo Nova Zelândia Iraque Guatemala República da China Haiti Kuwait Emirados Árabes Unidos Etiópia Birmânia Índia Ilhas Salomão Tahiti 190

26 e) Quinto Agrupamento Seleções do 5º Nível: Número Seleção Linha 75 Ucrânia Gabão Irlanda do Norte Equador República da Irlanda Bósnia-Herzegovina Noruega Burkina Fasso Finlândia Macedônia Venezuela Letônia Lituânia Eslovênia Bahrein Canadá País de Gales Jamaica Trinidad e Tobago Togo Chipre Bielorrússia Uzbequistão Omã Moçambique Benin Qatar Coréia do Norte Moldávia Cuba Islândia Tanzânia Albânia Síria Montenegro Gâmbia Ilhas Fiji Angola Geórgia Namíbia Quênia Barbados Malauí Antígua e Barbuda Suriname 111

27 120 Estônia Granada Ilha de Cabo Verde Tailândia Ruanda Luxemburgo Zimbábue Guiana Jordânia Armênia Serra Leoa Chad Cingapura Burundi Guiné Equatorial Cazaquistão Botsuana Madagascar Níger Indonésia Hong Kong Azerbaijão Nova Caledônia Nicarágua Libéria Iêmen Vanuatu Bermudas Vietnã Turcomenistão Malta Líbano St. Kitts e Nevis Liechtenstein São Vicente e Granadinas Malásia Suazilândia Maldivas Tadjiquistão Sri Lanka Filipinas Eritréia Quirquistão Mauritânia Ilhas Faroé Lesoto Antilhas Holandesas Porto Rico 166

28 168 Paquistão Somália Bangladesh Ilhas Caimã Laos Taipe Chinês Camboja Samoa Mongólia Nepal Palestina Belize Seychelles Bahamas Turks e Caicos Brunei Durassalam Maurício Tonga República Dominicana Guiné-Bissau Guam Ilhas Cook Djibuti Santa Lúcia Afeganistão Ilhas Virgens Britânicas Macau Andorra Butão Dominica Aruba Timor Leste Ilhas Virgens dos EUA Comores República Centro-africana San Marino Anguila Montserrat Samoa Americana Papua Nova Guiné 207 A partir da definição dos agrupamentos acima descritos, passamos para a segunda terceira de nossa análise que é a análise fatorial da forma como vem a seguir ANÁLISE FATORIAL EM CONSTRUÇÃO

29 4. CONCLUSÕES EM CONSTRUÇÃO 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS EM CONSTRUÇÃO