A ESCOLHA CERTA! COMPRAR À VISTA OU À PRAZO?

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1 IDENTIFICAÇÃO DO FOLHAS NRE: Pato Branco Município: Clevelândia Professora: Wlasta Nadieska Hüffner De Gasperi Escola: Colégio Estadual Presidente Castelo Branco EFM (46) Disciplina: MatemáticaSérie: 1ª. Conteúdo da disciplina: Funções Título: A escolha certa Relacionado às disciplinas de: Língua Portuguesa e História Fone: A ESCOLHA CERTA! SITUAÇÃO FINANCEIRA ESTÁVEL! MELHORES ESCOLHAS NA HORA DE APLICAR SEU DINHEIRO! COMPRAR À VISTA OU À PRAZO? Ilustração 1: Celular Z6 Banco de imagens de propagandas Celular Motorola Motorockr Z6 STDN c/ câmera 2.0 m.p. Preço à vista: R$ 799,00 Preço à prazo: Plano A = de R$ 115,00 Plano B = de R$ 85,00 Ilustração 2: Câmera digital 7.1 Banco de imagens de propagandas Câmera Digital Olimpus X 785, 7.1 m.p., zoom óptico 3X, flash integrado Preço à vista: R$ 799,00 Preço à prazo: Plano A = 3 vezes s/ entrada de R$ 282,50 Plano B = 6 vezes s/ entrada de R$ 150,00

2 Ilustração 3: Televisor CCE 29 Banco de imagens de propagandas Televisor CCE 29 HPS 2971, shut off, DSC Preço à vista: R$ 799,00 Preço à prazo: Plano A = 10 vezes s/ entrada de R$ 98,50 Plano B = 15 vezes s/ entrada de R$ 77,00 Plano C = 18 vezes s/ entrada de R$ 74,00 Ilustração 4: Notebook Bitway Banco de imagens de propagandas Notebook Bitway Core Duo T GB, HD 120, Vista SE Preço à vista: R$ 2.599,00 Preço à prazo: Plano A = de R$ 410,70 Plano B = de R$ 308,10 Plano C = de R$ 226,45 O consumismo muitas vezes nos leva a fazer maus negócios e a ter perdas financeiras. Precisamos analisar com cuidado os planos de pagamentos ofertados pelos comerciantes e verificarmos exatamente qual a melhor proposta ao consumidor. Precisamos saber esperar o tempo oportuno para compra. O preço a ser pago depende do plano de pagamento, do número de prestações, da taxa de juros oferecida, entre outros diferenciais. Crie tabelas para analisar os preços de cada um dos itens das propagandas: DISCUSSÃO Após analisar as tabelas pedir aos alunos que exponham suas opiniões sobre os dados e qual a melhor opção de compra.

3 Discutir ainda, se os produtos são realmente necessários ou apenas modismos. Vantagens e desvantagens de se ter esses produtos, necessidade, utilidade, modismo, etc. LEITURA... Em certa época pensava-se que a matemática se ocupava do mundo que nossos sentidos percebem, e foi somente no século XIX que a matemática pura se libertou das limitações sugeridas por observação da natureza. A noção intuitiva de função surgiu de observações constante de fatos que ocorrem na natureza, aos poucos o homem foi percebendo que na natureza existem relações entre certas causas e seus efeitos e isso deu motivo a enunciações de leis que estabeleceram essas relações. Só muito mais tarde se conceituou função de forma matemática. A palavra função, intuitivamente, evoca a idéia de dependência, de relação( relacionado a). É claro que a matemática originalmente surgiu como parte da vida diária do homem, e se há validade no princípio biológico da sobrevivência do mais apto a persistência da raça humana provavelmente tem relação com o desenvolvimento no homem de conceitos matemáticos. Milhares e milhares de anos foram necessários para que o homem fizesse a distinção entre conceitos abstratos e repetidas situações concretas e isso mostra-nos as dificuldades que devem ter sido experimentadas para se estabelecer uma base ainda que muito primitiva para a matemática. Quanto à origem da matemática, há grande número de perguntas ainda não respondidas. Supõe-se que usualmente surgiu em resposta às necessidades práticas do homem, mas estudos antropológicos sugerem outra origem: que a arte de contar surgiu em conexão com rituais religiosos primitivos em ritos cerimoniais representando os mitos da criação pois era necessário chamar os participantes, segundo ordem específica, e talvez a contagem tenha sido inventada para resolver esse problema. Essas afirmações mostram que a origem da matemática e os primórdios do assunto são mais antigos que a arte de escrever.

4 Resumo dos capítulos I e II do livro História da Matemática de Boyer, 1994, p.1 a 17 CURIOSIDADES: Veja o significado das palavras, analisando suas formações: Antropologia: Ciência que estuda o ser humano, sua classificação e seus caracteres físicos. Estudo do homem. ( antropo = homem; logia = tratado, estudo) Matemática: Ciência que tem por fim determinar as grandezas umas pelas outras, segundo as relações que existem entre elas. Arte de calcular. ( Mátema = ordem, disciplina ( radical grego); tica = ciência, técnica ( sufixo)). LEITURA Por que estudar Função? A idéia de função, comum a vários ramos da matemática, é fundamental no cálculo e muito importante nesse nosso mundo em transformação, pelas suas aplicações. Senão, vejamos: Quando um carro se move ao longo de seu caminho, em velocidade constante, a distância que percorre é dada em função do tempo consumido. A área de um terreno é dada em função de suas dimensões. O preço que se paga para enviar uma carta é dado em função do seu peso, isto é, o valor do selo a ser colocado na carta depende do peso da carta. O comprimento de uma barra de ferro, quando aquecida, é dado em função da temperatura, pois o ferro dilata-se ao ser aquecido. O número de jogos de um campeonato em turno e returno é dado em funçaõ do número de times participantes. A necessidade de oxigênio de um astronauta é dada em função do seu esforço físico.

5 O rendimento mensal das cadernetas de poupança é dado em função da inflação. O reajuste salarial de um trabalhador é dado em função do índice de IPC fornecido pelo governo. O valor do Imposto de renda retido na fonte é dado em função da renda líquida de uma pessoa. ATIVIDADE Observe seu dia-a-dia, seu cotidiano e procure relacionar outras situações que envolvem essa relação de dependência. Listar junto com a turma, todas as situações trazidas pelos alunos que representem funções. Em nosso dia-a-dia, encontramos muitas máquinas programadas para resolverem os mais variados cálculos, são máquinas de fazer funções: Ilustração 5: Calculadora científica Banco de imagens de propagandas 1º ) A CALCULADORA, por exemplo, é uma máquina de fazer funções. Veja: 625 tecla x tecla 1/x 0,001 45º tecla tan 1 2 tecla log 0, tecla x 2

6 entre muitas outras y x sin cos... 2º ) O COMPUTADOR é uma máquina de funções, ele pode aceitar valores de entrada ( variáveis independentes) e processá-las de acordo com um conjunto de instruções ( programas de computadores). Os resultados obtidos no computador são um conjunto de valores (variáveis dependentes), que correspondem aos valores de entrada. Ilustração 6: Computador Notebook Banco de imagens de propagandas Veja por exemplo o programa do Excel, que calcula médias, tabelas, gráficos, fórmulas mais variadas. Vamos resolver o seguinte problema no Excel : Um jovem foi contratado por uma grande loja comercial. O gerente diz que ele receberá R$ 300,00 por mês e além disso receberá uma comissão de 15% do total de vendas que fizer no mês. Quanto será seu salário no final do mês? Vamos considerar que ele venda R$ 200, 300, 400, 500, Discutir com os alunos a idéia intuitiva de função, relação de dependência, valores fixos e valores variáveis. NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO Intuitivamente a palavra função evoca a idéia de dependência: a área de um quadrado depende de seu lado, a estatura de uma criança depende de sua idade, a quantidade demandada de mercadoria depende de seu preço, sendo assim, podemos dizer que a área de um quadrado é função de seu lado, a estatura de uma criança é função de sua idade, a quantidade demandada de mercadoria é função de seu preço. Essas sentenças também podem ser escritas com símbolos que, pela comodidade de uso, se tornaram universais.

7 Dizemos ainda que A = f(l) representa a área do quadrado em função do lado. Também, se E = estatura e i = idade, então f(i) e se q = quantidade e p = preço, então q = f(p). Nem todas as sentenças podem seguir o rigor matemático como na área do quadrado, algumas podem obedecer alguma padronização, como, por exemplo, o fato de existirem algumas faixas etárias de crescimento mais rápido e outras de crescimento mais lento. Também características de crescimento de determinadas regiões. A função pode variar de região para região, época para época, consumidor para consumidor, para cada caso há uma função. Enfim, funções que descrevem fenômenos biológicos, sociológicos, estatísticos ou econômicos não obedecem rigorosamente a uma fórmula matemática, mas pode obedecê-la para um pequeno intervalo de valores ou de tempo. Essas sentenças são geralmente apresentadas em tabelas ou gráficos, enquanto as funções matemáticas são geralmente expressas por sentenças matemáticas. PESQUISA Pesquise sobre a história da máquinas, refletir sobre a evolução das máquinas e o papel delas na sociedade: conseqüências positivas e negativas para o homem. SUGESTÃO Passar o filme A Evolução disponíveis nos NRE s. BRINCANDO COM OS NÚMEROS

8 A MÁQUINA ESTÁ PROGRAMADA Ingredientes x 1, 2, 3, 4, 5, 6 Produtos y 5, 7, 9, 11, 13, 15 Qual a programação dessa máquina, para que entrem esses ingredientes e saiam aqueles produtos? Organize os dados em uma tabela e analise. X Y Os alunos em duplas, podem criar outras programações para a máquina: um programa, o outro descobre e vice-versa. LEITURA Alguns historiadores consideram que os babilônios possuíam um instinto de funcionalidade, que precede a idéia mais geral de função, desde cerca de 2000 a. C., seus cálculos com tabelas sexagesimais de quadrados e raízes quadradas, as quais podem ser tomadas como funções tabuladas, e que eram destinadas para um fim prático. As tabelas entre os Gregos, que faziam a conexão entre matemática e astronomia, mostravam evidências de que eles percebiam a idéia de dependência funcional, pelo emprego da interpolação linear. Na Antiguidade, a preocupação de Aristóteles era apenas descrever mudanças e relações que ocorriam na natureza, de uma maneira qualitativa. As descobertas sobre funções, percorreram muitos séculos, desde a noção intuitiva da antiguidade, noções geométricas e mecânica na Idade Média e a Idade moderna, a partir do século XVII. Nicole Oresme ( ), filósofo e matemático francês, e que talvez tenha sido a primeira manifestação do que atualmente chamamos de

9 representação gráfica de uma função, e que no fim do período medieval era conhecida como Latitude de formas. Galileu Galilei ( ) contribuiu para a evolução de idéia de função, ao introduzir o tratamento quantitativo nas suas representações gráficas, no aperfeiçoamento de instrumentos utilizados para experiências e observações. Descartes ( ) utilizou se de equações em x e y para introduzir uma relação de dependência entre quantidades variáveis, de modo a permitir cálculo de valores de uma delas, a partir dos valores da outra. Newton ( ) e Leibniz ( ): Considera-se que com eles surgiram as primeiras contribuições efetivas para o delineamento desse conceito. Newton em seus estudos sobre fluentes, termo que ele usava para descrever suas idéias de funções, estas encontravam-se bastante ligadas à noção de curva e às taxas de mudanças de quantidades variando continuamente. Leibniz, na década de 1670, foi quem usou o termo função, para se referir a certos segmentos de retas cujos comprimentos dependiam de retas relacionadas a curvas. Com Newton e Leibniz, houve uma quebra na visão de ciências e os problemas que ocupavam os matemáticos. Outros matemáticos que com seus estudos voltados para problemas que lhes interessavam foram contribuindo para o desenvolvimento e descobertas no estudo das funções: Jean Bernoulli ( ), Leonard Euler( ), Jean Louis Lagrange ( ), Augustin Cauchy ( ). Com esses matemáticos, os problemas em estudo eram com as funções bem comportadas (funções contínuas e diferenciáveis), com as quais pretendia resolver aspectos quantitativos a eles relacionados. Ainda contribuíram para o desenvolvimento desse conteúdo, os matemáticos: Gauss ( ), Bolzano ( ), Weierstrass ( ), Fourier ( ), Peter Gustav Lejeune-Dirichlet ( ). A necessidade de estender a noção de função para além daquelas expressáveis analiticamente, ou visualizáveis com o recurso de um

10 gráfico, apareceu com na história com a polêmica gerada entre Euler, D Alambert e Bernoulli, sobre o problema das cordas vibrantes. Essa polêmica teve desfecho com os estudos das séries de Fourier, que foram aperfeiçoados por Dirichlet, na busca de condições mais rigorosas para sua convergência. Segundo BOYER (1974),o ano de 1872 foi crucial para aritmetização da análise, com a investigação da natureza das funções e da noção de número ( faltava, à época, uma definição mais precisa para a frase número real ), que se iniciou com a proposta das séries de Fourier. Contribuíram ainda para o estudo das funções: Dedekind ( ), Heine, Cantor, Giuseppe Peano ( ). Na primeira metade do século XX surgem publicações de Bourbaki, que era o pseudônimo de um grupo de matemáticos do qual participavam André Weil e Jean Dieudonné. É de Bourbaki a definição de função usada atualmente nos meios matemáticos e científicos, e que foi proposta em Segundo SIERPINSKA (1992), uma função não se concebe nem como lei, nem como valor, na definição atual, mas como a síntese desses dois aspectos, juntamente com os conceitos de domínio e contradomínio. Observa-se que os problemas que ocupavam os matemáticos, em cada época, exerceram forte influência na elaboração do conceito de função. Muitos foram os matemáticos envolvidos em todo processo até chegarmos nos conceitos que estudamos atualmente. Muitos séculos passaram-se, muitas épocas históricas percorreram todo desenvolvimento, regiões geográficas diferentes abrigavam esses estudiosos, culturas diferenciadas, muitas preocupações sociais e filosóficas diferentes estiveram presentes. Como vemos, a matemática é uma produção humana, que envolve fatores históricos, geográficos, culturais, sociais, filosóficos, entre outros. PESQUISA Separar os alunos em pequenos grupos e solicitar que cada equipe pesquise sobre um matemático citado no texto para que posteriormente apresentem ao grande grupo fornecendo uma gama de

11 informações curiosas e interessantes sobre os grandes nomes da história. SITUAÇÃO PROBLEMA Um professor elaborou uma apostila dos conteúdos da disciplina que leciona. Gastou na digitação do material R$ 20,00 e calculou o preço de custo de montagem das apostilas (tinta e papel) em R$ 4,00 por apostila. Analisando os gastos, o professor resolveu cobrar pela venda da apostila, R$ 5,00. Vamos analisar: O custo do material produzido pelo professor em função da quantidade de apostilas produzidas para venda. a) A receita da venda das apostilas em função da quantidade de apostilas vendidas. b) O lucro que poderia ser obtido em função da quantidade de apostilas vendidas. c) Desenvolva uma conclusão por escrito, para o problema, levando em conta os resultados obtidos e fazendo um paralelo entre eles. Obs.: consideremos a quantidade de apostilas produzidas e vendidas o conjunto X = { 5, 10, 15, 20, 25, 30} Baseados no problema anterior vamos introduzir os conceitos relacionados com o conteúdo matemático a ser estudado. LEITURA A Matemática e o Caipira Luis Márcio Imenes e José Jakubovic Esta história tem dois personagens: o caipira e o advogado e ela me foi contada por um amigo do advogado. Passou-se há sete ou oito anos nas proximidades de São Paulo. Vai lá um dia em que nosso amigo advogado resolve comprar um sítio, de poucos alqueires, com a intenção de construir uma casa e nela passar os fins de semana. Como não há nascente no sítio, resolve mandar cavar um

12 poço, quando fica sabendo que seu vizinho, um caipira que ali mora há muito tempo, tem em sua propriedade uma nascente com água boa e farta. Procura o vizinho e faz a proposta: - Eu instalo um cano de uma polegada de diâmetro na sua nascente, conduzo a água para meu sítio e lhe pago X reais por mês. A proposta é aceita na hora. Passa-se o tempo e o advogado resolve implantar no sítio uma criação racional de porcos e, para isso, vai precisar de mais água. Volta a procurar o caipira e lhe propõe trocar o cano de uma polegada por um de duas polegadas de diâmetro e pagar 2X reais por mês a ele. O caipira escuta a proposta, não dá resposta imediata, pensa, e passados alguns minutos responde que não aceita a proposta. - Mas, como? pergunta o advogado. Tem água sobrando, porque não me vende mais e assim também ganha mais? - É que num tá certo, retruca o caipira, e explica com um gesto. Acontece que o cano que ocê vai ponha é assim: Pois é, quem me paga a água que passa por aqui? E que passa por ali? Interpretando e Discutindo o texto: Consideremos o cálculo da área de um círculo em relação a seu raio e observemos o andamento da função. Utilize para o cálculo da área raio 1, raio 2, em seguida raio 4, etc. Observe o que acontece com sua área. SITUAÇÃO PROBLEMA Uma pessoa colocou um capital de R$ 1000,00, à taxa de juros simples de 3% ao mês, durante certo tempo. Qual será o montante

13 adquirido pela pessoa em função do tempo. Consideremos que o capital ficou aplicado por 1, 2, 3, 4, 5, 6 meses. Construa com os alunos a tabela e o gráfico da função acima. SISTEMATIZAÇÃO DOS CONTEÚDOS MATEMÁTICOS Utilizando a resolução do problema anterior, do cálculo de juros simples, introduza o conceito matemático de função, domínio, imagem, contradomínio, tabela, variáveis dependentes e independentes, gráficos, coeficiente angular e linear. BIBLIOGRAFIA 1. BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, CÂNDIDO, S. L. Uma experiência sobre o ensino e a aprendizagem de funções. Educação Matemática em Revista, nº 8, ano 7. São Paulo, SBEM, CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 4 ed. Lisboa: Gradativa, EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: UNICAMP, GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, Matemática Aplicada CORD/Bom Jesus. Ed. Bom Jesus, apostila unid MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA. Explorando o Ensino da Matemática. Vol 1. e 2. Brasília: Ed.MEC, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede pública do Estado do Paraná - DCE, VERAS, L. L. Matemática Aplicada a Economia. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999.

14 3. ZUFFI, E. M. Alguns aspectos do desenvolvimento histórico de funções. Educação Matemática em Revista, nº 9, ano 8. São Paulo, SBEM, 2001.

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