4. CORRELAÇÃO DE IMAGENS

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1 4. CORRELAÇÃO DE IMAGENS 4.1 CONCEITO INICIAL Em várias aplicações no âmbito da fotogrametria digital, faz-se necessária a localização do ponto em uma (ou mais) imagens, que é homólogo a determinado ponto de outra imagem que tenha uma área de superposição com a imagem de referência. Tal fato decorre da necessidade de superposição entre as imagens utilizadas em fotogrametria. Desse modo, o mesmo objeto (ou feição) deverá estar presente em duas ou mais imagens ao mesmo tempo. Mecanismos estereoscópicos e acurada visualização por parte do operador permitem localizar tais pontos manualmente, porém, muito mais interessante, é a idéia de se haver uma localização automática dos mesmos (figura 4.1). 4.2 O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO r O coeficiente de correlação de Pearson pode ser entendido como uma medida do grau de relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias. Logo, o coeficiente de correlação tem ênfase na predição do grau de dependência entre duas variáveis aleatórias. 4.1

2 Figura 4.1 Problema proposto: localização automática de um homólogo (em uma ou mais imagens) a determinado ponto dado em outra imagem. O cálculo da correlação, segundo (Stockburger, 1998) é realizado através da seguinte fórmula: = XY X Y (4.1) onde: XY é a covariância entre as duas variáveis; X é o desvio-padrão da variável X; Y é o desvio-padrão da variável Y. A covariância e os desvios-padrão podem ser estimados estatisticamente através de seus equivalentes amostrais, a saber: a covariância amostral, e os desvios-padrão amostrais, que terão suas fórmulas exibidas ao fim do exemplo literal que se segue. Partindo-se então de duas amostras para X e Y, cada uma 4.2

3 composta de diversos elementos X i e Y i : 1 X=ƒX X n 2 e X 3 X Y Y=ƒY1 n 2 (4.2) Y 3 Y Cada um delas tem uma média amostral composta pela soma dos elementos componentes de cada um dos vetores: m X = n 1 n X i n e my = 1 n Y i (4.3) A covariância amostral cov XY, estimador da covariância XY pode ser definida como: cov XY = n i=1 X i Bm X Y i Bm Y nb1 (4.4) Já os valores dos desvios-padrão amostrais s X e s Y são: s X = n i=1 X i Bm X 2 nb1 e sy = n i=1 Y i Bm Y 2 nb1 (4.5) Por fim, o estimador para o coeficiente de correlação, pode ser definido por ρ, que, analogamente a (4.1) é: = cov XY s X s Y (4.6) O coeficiente de correlação pode levar qualquer valor entre -1 e 1. O sinal do coeficiente de correlação (+, -) define a direção da 4.3

4 relação entre as duas variáveis (positiva ou negativa). Uma correlação positiva indica que, enquanto os valores das componentes de uma variável aumentam, os valores das componentes da outra variável aumentam e vice-versa. Para uma correlação negativa, acontece o oposto: enquanto uns aumentam, os outros diminuem e vice-versa. O valor em módulo do coeficiente de correlação mede a força da relação entre as duas variáveis. Um coeficiente igual a 0,5 indica maior grau de dependência linear que um de 0,4. Um coeficiente de valor zero indica a total ausência de relacionamento linear entre as variáveis e coeficientes de valor 1 e -1 indicam uma perfeita dependência linear entre elas. 4.3 VISUALIZAÇÃO EM GRÁFICOS DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO Uma boa forma de se entender tais variações de correlação é representar os valores de cada variável em um gráfico bidimensional, representando cada X i em relação ao respectivo Y i (figura 4.2). Figura 4.2 Representação da variável X contra a variável Y A reta azul de melhor ajuste dá informações importantes sobre a correlação entre as duas variáveis: quanto mais os pontos se aproximam dela, maior é a correlação em módulo. E mais: quanto mais o ângulo α 4.4

5 estiver próximo a 45 o, mais o coeficiente se aproxima de 1: quanto mais próximo o ângulo estiver de 135 o, mais se aproxima de -1. Utilizando o programa SticiGui (programado pelo Professor Philip B. Stark, da Universidade de Berkeley), no módulo correlação, pode-se verificar a evolução dos coeficientes, desde -1 até 1. Escolhendo 200 pontos (ou seja, 200 valores para a variável X e também 200 para Y), os seguintes gráficos podem ser exibidos: Figura 4.3 Coeficiente igual a -1 Figura 4.4 Coeficiente igual a -0,75 Figura 4.5 Coeficiente igual a -0,5 4.5

6 Figura 4.6 Coeficiente igual a -0,25 Figura 4.7 Coeficiente igual a 0 Figura 4.8 Coeficiente igual a 0,25 Figura 4.9 Coeficiente igual a 0,5 4.6

7 Figura 4.10 Coeficiente igual a 0,75 Figura 4.11 Coeficiente igual a 1 Para correlação de imagens com o intuito de localizar-se pontos homólogos, interessam sobretudo as correlações positivas. Assim, podese presumir que, onde for maior for este coeficiente, localizar-se-á o ponto homólogo desejado. 4.4 DETERMINAÇÃO DAS COORDENADAS DO PONTO HOMÓLOGO Como já definido, o objetivo da correlação de imagens é determinar pontos homólogos nas imagens digitais. Para isso, um recorte (template) é definido na imagem de referência. Tal processo pode ser facilmente implementado computacionalmente: o usuário clica no ponto do qual deseja extrair 4.7

8 homólogos em outras imagens. O programa (ou rotina) que está sendo utilizado grava numa matriz os valores dos números digitais (intensidade de coloração; como exemplo, numa imagem de 256 níveis de cinza, o número digital pode ir de 0 a 255) do pixel central e de vários outros adjacentes a ele. Esses valores são arranjados em uma coluna, e equivalerão à variável X. Devem ser utilizados templates de números ímpares, para que o ponto de interesse esteja no seu centro. Em geral, usam-se matrizes 9X9 ou 11X11 para isto. Na figura 4.12, por simplicidade, utilizou-se uma matriz 3X3. O próximo passo é escolher uma janela de procura na imagem conjugada (da direita). Tal fato pode ser realizado através de interação homem-máquina, na qual o operador clica e arrasta a janela de busca, e o programa salva todos os valores dos números digitais como uma matriz maior, ou automaticamente, sabendo-se a fotobase percentagem de recobrimento entre uma imagem e outra arbitra-se onde deverá estar o ponto homólogo através destes dados e recorta-se em torno dele uma janela razoavelmente grande. A partir daí, dentro da janela de procura, um template equivalente em tamanho ao da primeira imagem corre pixel a pixel, da esquerda para a direita e de cima para baixo. Os valores armazenados neste segundo recorte serão equivalentes à variável Y. Figura 4.12 Imagem esquerda, com template definido pelo usuário, e imagem da direita, mostrando em destaque, a janela de procura e dois templates; um é o inicial e o outro o final. Além desses, vários outros intermediários teriam de ser empregados, para que se selecione o que tem melhor correlação com o da imagem esquerda. Imagem adaptada de (Alberz, Kreiling, 1989 apud Brito, Prado e Augusto, 1999) 4.8

9 Assim, calcula-se o coeficiente de correlação entre X e cada um dos valores assumidos por Y. Aquela combinação que possuir o maior valor para o coeficiente de correlação será equivalente aos pontos homólogos. As coordenadas para este ponto serão as coordenadas do pixel central de ambos os templates (X e Y). 4.5 APLICAÇÕES CALIBRAÇÃO DE SCANNER Para calibrar-se um scanner, deve-se, primeiro, digitalizar uma folha de calibração. O caso mais simples (quadriculado) é descrito a seguir. Neste caso, é importante que os cruzamentos das linhas sejam definidos, de modo que suas coordenadas sejam conhecidas e saiba-se se estão todos a distâncias iguais uns dos outros, para que possa ser realizado um modelo de correção a todas as imagens obtidas com aquele dispositivo. Figura 4.13 Template de um cruzamento e, ao lado, imagem de calibração, que é a janela de procura. Simulando-se para essa figura uma tela do programa em tempo de execução, pode-se dizer que três pontos homólogos já foram encontrados (estão marcados em vermelho). 4.9

10 Utiliza-se, então, um recorte de um desses cruzamentos como template, e a imagem digitalizada como área de procura. O programa de calibração deverá ser capaz de perceber que o coeficiente de correlação atingirá altos valores de forma cíclica, atribuindo a esses valores os pontos homólogos (cruzamentos) da imagem de calibração (Figura 4.13) LOCALIZAÇÃO DOS CENTROS DE MARCAS FIDUCIAIS Uma aplicação inicial da correlação é a localização das marcas fiduciais em uma imagem digital, quando da orientação interior. Neste caso, a janela de procura e o recorte encontrar-se-iam na mesma imagem. A alternativa de implementação utilizada seria, dado o número de marcas fiduciais na imagem e sua posição aproximada (exemplos: quatro cantos, ou metade dos lados) escolher áreas de procuras em torno destas regiões. O recorte pode vir de um banco de imagens de diferentes tipos de marca fiducial já existente ou ser criado quando da definição do centro da primeira marca neste caso, o usuário terá que, ao menos para uma delas, fazer a medição (colimação da marca de referência) precisa no centro. A figura 4.14 ilustra este exemplo: Figura 4.14 Template de uma marca fiducial (ampliado), que pode ser extraído de um banco de dados de diferentes marcas ou determinado na hora; imagem inteira com janelas de procura em torno das marcas fiduciais e resultado final, com centros das marcas localizados sem a intervenção do usuário. 4.10

11 4.5.3 LOCALIZAÇÃO DOS PONTOS DE HOMÓLOGOS DE UM PONTO DO TERRENO EM DIFERENTES IMAGENS Esta é a aplicação clássica da correlação e foi o tema central do texto. Foi proposta na figura 4.1 e, neste ponto, já pode-se enunciar uma solução para a mesma, que encontra-se graficamente descrita na figura Figura 4.15 Nesta figura, estão representados: template na imagem 1, janela de procura na imagem 2 e template de maior correlação contendo em seu centro o ponto homólogo. É utilizada em todas as fases do processo fotogramétrico em que é necessário realizar a medição de coordenadas de pontos, tanto no espaço-imagem, quanto no espaço-objeto. 4.11

12 4.6 CONCLUSÃO Ao fim de mais um capítulo, algumas conclusões podem ser traçadas sobre o importantíssimo coeficiente de correlação: É um método estatístico de implementação relativamente simples e de grande utilidade; Está em função da covariância e desvios-padrão das imagens utilizadas, sendo, portanto, importantíssima a determinação dos estimadores amostrais dos mesmos; Em fotogrametria digital, tais implementações foram necessárias para a automação de diversos processos, tais como: calibração de scanner, localização de centros de marcas homológas, orientação exterior (relativa, absoluta ou monoscópica), além do ajustamento por feixes perspectivos. Também é importante recordar-se a rotina genérica para sua execução, a saber: 1) Define-se um recorte (template) na imagem 1; 2) As coordenadas do pixel central desse template são armazenadas; 3) Os valores dos números digitais dos pixels do recorte são ordenadamente armazenados em um vetor X; 4) Define-se uma janela de procura na imagem 2; 5) Define-se um template nos mesmos moldes que o primeiro dentro desta área de procura (de preferência no canto superior esquerdo), guardando as coordenadas centrais do pixel e armazenando os números digitais em um vetor Y; 6) Realiza-se a correlação entre X e Y; 7) Anda-se com o template 2 um pixel para a direita ou para baixo (se tiver chegado ao limite horizontal da área de procura); 8) Guardam-se novas coordenadas e vetor Y; 9) Realiza-se a correlação entre X e Y; 4.12

13 10) O processo segue até que se chegue ao final da área de procura. A coordenada equivalente ao template 2 que obteve maior correlação com o primeiro é o ponto homólogo. A próxima etapa é a utilização desta e de mais ferramentas no processo de orientação chamado Orientação Exterior, e que terá, ao fim, todas as imagens do mesmo vôo orientadas ao terreno, permitindo que sobre elas sejam executadas medições de coordenadas no espaço objeto, ou seja, no sistema de terreno. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Albertz, J; Kreiling, Walter. Photogrammetric Guide. Karlsruhe. Wichmann, Alemanha: Altan, Orhan; Toz, Gönül; Seker, Dursun. Photogrammetry Lecture Notes. Istanbul Technical University. 1a Ed. Turquia: Andrade, J. Bittencourt de. Fotogrametria. Ed. SBEE. Curitiba, Brasil: Augusto, Eduardo Gurgel Garcia. Determinação Automática dos Parâmetros da Orientação Exterior de uma Imagem Fotogramétrica Digital Trabalho de Tópicos Especiais em Engenharia Cartográfica. Instituto Militar de Engenharia. Rio de Janeiro, Brasil: Brito, Jorge Luís Nunes e Silva; Prado, Walter da Silva; Augusto, Eduardo Gurgel Garcia. Estágio de Fotogrametria Digital para Engenheiros Cartógrafos - Notas de Aula. Instituto Militar de Engenharia. Rio de Janeiro, Brasil: Costa, Felipe André Lima. Medição Automática de Coordenadas em Imagens Fotogramétricas Digitais - Projeto do PIBIC/1998. Instituto Militar de Engenharia. Rio de Janeiro, Brasil: Costa, Felipe André Lima. Geração de Coordenadas Tridimensionais do Terreno a Partir de Imagens Fotogramétricas Digitais - Projeto do PIBIC/1999. Instituto Militar de Engenharia. Rio de Janeiro, Brasil: Coelho F., Luiz C. T. Sistema de Medição Automática de Coordenadas de Pontos em Imagens Fotogramétricas Digitais - Projeto do PIBIC/2000. Instituto Militar de Engenharia. Rio de Janeiro, Brasil: Digital Photogrammetry - An Addendum to the Manual of Photogrammetry. The American Society for Photogrammetry and Remote Sensing. Bethesda, MA, Estados Unidos: Gemael, Camil. Introdução ao Ajustamento de Observações. Ed. UFPR. Curitiba, Brasil: Introduction to Photogrammetry. Universidade de Viena. Viena, Áustria: Jones, Nicole. Photogrammetry Lecture Notes. The University of Melbourne. Melbourne, 4.13

14 Austrália: Kraus, Karl. Photogrammetry - Fundamentals and Processes. Volume 1, 4a Ed. Ferg, Dummler Verlag. Bonn, Alemanha: Schenk, Toni. Digital Photogrammetry Volume I. TerraScience. 1a Ed. Estados Unidos: Stark, Philip B. SticiGui: Statistics Tools for Internet and Classroom Instruction with a Graphical User Interface. Department of Statistics, University of California, Berkeley. California, Estados Unidos: Stockburger, David W. Introductory Statistics: Concepts, Models and Applications. Versão WWW 1.0. Southwest Missouri State University. Missouri, Estados Unidos:

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