UTILIZAÇÃO DE PROGRAMA DE GEOMETRIA DINÂMICA PARA MELHORAR A APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA EM NÍVEL FUNDAMENTAL

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1 UTILIZAÇÃO DE PROGRAMA DE GEOMETRIA DINÂMICA PARA MELHORAR A APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA EM NÍVEL FUNDAMENTAL Yuriko Yamamoto Baldin Departamento de Matemática,UFSCar, yuriko@dm.ufscar.br Thiago Francisco Felix EE São Paulo da Cruz, Osasco,SP, mukanga@gmail.com Resumo: O uso de programas de geometria dinâmica permitiu inovações na metodologia de ensino de geometria em nível de ensino básico, particularmente nos últimos anos. O uso de programas de geometria 2-dimensionais como auxiliar didático nas salas de aula vem sendo popularizado por professores que possuem acesso a laboratórios de informática, de diversas maneiras que vão desde auxiliar na exposição tradicional a aulas interativas, em que os alunos estendem as possibilidades de aprendizagem com metodologias investigativas. Este artigo tem como objetivo principal apresentar algumas considerações sobre as situações que o professor enfrenta na transição para os programas dinâmicos 3-dimensionais, comparadas com os encaminhamentos possíveis dos programas 2-dimensionais. As atividades ilustrativas foram realizadas com Cabri-Géomètre II e Cabri 3-D versão 1.2.1, e com alunos das 6ª e 7ª séries de uma escola pública. INTRODUÇÃO As tecnologias, como auxiliar didático no ensino de Matemática, são cada vez mais adotadas por professores que têm acesso a laboratórios de informática em suas escolas, principalmente como meio de comunicação, e que também utilizam recursos computacionais para ilustrar, com vantagens, exemplos e problemas em suas exposições. Um tema importante de pesquisa sobre o uso de tecnologias no ensino de Matemática vai além de melhorar as atividades ou as apresentações com simulações/ animações, mas investiga o papel da tecnologia na aprendizagem do aluno, quando este é colocado na situação em que a presença de tecnologia faz diferença nos níveis de aquisição de conhecimento específico e desenvolvimento de competências. As pesquisas indicam que um simples contato com a tecnologia não garante uma aprendizagem satisfatória dos alunos, destacando a importância do planejamento cuidadoso das atividades e de professores bem preparados para atuar como mediadores na aprendizagem dos alunos e que sejam cientes da natureza das atividades baseadas em tecnologia (Laborde, 2003), (Lagrange, 2001). Em (Laborde, 2003, p.26) podemos ler que executar tarefas matemáticas em ambiente informático requer dois tipos de conhecimento, o matemático e o instrumental. Isto quer dizer que, na presença da tecnologia em situações de

2 ensino/aprendizagem, devem-se considerar dois aspectos importantes: i) a própria configuração das atividades, que depende essencialmente da compreensão do professor sobre as características instrumentais da tecnologia escolhida, de modo que esta seja adequada para os objetivos matemáticos das atividades; ii) o papel do professor como mediador entre o conteúdo específico e o ambiente de aprendizagem, que inclui o contexto e o conhecimento do professor sobre o nível de aprendizagem de seus alunos. O domínio do professor sobre o conteúdo específico subjacente às atividades é especialmente importante, para que ele possa configurá-las de acordo com os objetivos educacionais e com as especificidades da tecnologia utilizada. Isto quer dizer que existe uma integração do conhecimento matemático próprio da dimensão instrumental da tecnologia escolhida com o conhecimento específico da atividade objeto da aprendizagem. Por outro lado, apenas o conhecimento do conteúdo específico não é suficiente para entender a escolha correta de metodologia de ensino, quer esta inclua, ou não, o uso de tecnologia. Neste sentido, o conceito de conhecimento pedagógico do conteúdo, introduzido em (Schulman, 1986), vem sendo considerado como uma componente importante da formação de professores. Em (Veal-MaKinster) lê-se que o conhecimento pedagógico do conteúdo é formado pela síntese de três bases do conhecimento: o conhecimento específico da disciplina, o conhecimento pedagógico e o conhecimento do contexto. De acordo com (Schulman, 1986, p.9), o conhecimento pedagógico do conteúdo inclui uma compreensão de como tópicos particulares, problemas ou ítens são organizados, apresentados e adaptados a interesses diversos e habilidades dos aprendizes, e apresentados para o ensino. Portanto, o equilíbrio entre o conteúdo e a pedagogia precisa estar presente no planejamento das atividades e no contexto da apresentação das atividades instrucionais. A necessidade de aprofundar conhecimentos de Matemática que vão além do conteúdo específico das atividades de sala de aula, assim como de adaptar suas próprias atitudes frente a determinados ambientes de ensino, foi percebida pelo segundo autor, que desenvolve uma pesquisa sobre os diferentes papéis dos programas de geometria dinâmica na aprendizagem da Matemática, sob orientação da primeira autora. A pesquisa está fundamentada nas considerações acima referidas. O objetivo deste trabalho é apresentar os primeiros resultados da pesquisa dos autores baseados nos estudos do segundo autor. Os estudos iniciais foram conduzidos no sentido de melhorar a compreensão do conceito de conhecimento pedagógico do conteúdo, baseado na exploração do programa Cabri 3D versão , e comparando as diferentes estratégias de ensino quando se utilizam recursos computacionais na geometria plana e espacial.

3 1-DIFERENÇAS NAS ESTRATÉGIAS DE USO DE CABRI-GÉOMÈTRE II E CABRI 3D. Os programas de geometria dinâmica 2-dimensionais são programas que realizam construções geométricas e permitem desenvolver conceitos de geometria, principalmente plana. Estes programas, que iremos denotar como SGD (Sistemas de Geometria Dinâmica), são objetos de pesquisa e de análise como instrumentos didáticos que favorecem o desenvolvimento do raciocínio lógico/organizado pelos alunos, assim como da habilidade de descobrir propriedades geométricas, por abstrações a partir de visualizações e interações manipulativas com objetos geométricos. Neste trabalho usamos o programa Cabri-Géomètre II. Uma das características dos SGD é o recurso de arrasto que pode modificar a atitude dos professores e alunos no ensino/aprendizagem de geometria, dentro do currículo escolar. Ele introduz elementos de teste e validação nas construções geométricas, de descoberta e exploração de propriedades, de conjecturar e explorar novos conceitos, entre outros, permitindo uma aprendizagem da Matemática por meio de experiências. O recurso de arrasto é um elemento chave no planejamento de atividades de geometria desde as mais elementares, quando se introduzem objetos básicos como pontos, retas, ângulos, círculos, triângulos, retângulos, etc. Deste modo, o professor e o aluno podem experimentar juntos a dimensão instrumental de um SGD 2- dimensional, enquanto desenvolvem os primeiros conceitos da geometria plana, e aprendem a abstrair os modelos da vida real por meio de figuras geométricas. Entre várias características do Cabri-Géomètre II está a possibilidade de seguir a lógica dos passos de uma construção geométrica por meio de um diálogo entre os comandos e os resultados desenhados. Como um exemplo de construção elementar com os comandos em diálogo, podemos citar a reta perpendicular a um lado de um triângulo por um ponto dado, quando os passos da construção são acompanhados da frase Perpendicular a este lado do triângulo seguida de por este ponto ao utilizar os comandos do programa. A sintaxe do programa é próxima dos textos de geometria elementar, logo se obtém uma conexão direta entre a execução das construções com os comandos e os textos que descrevem as propriedades geométricas das figuras construídas. O uso de SGD 2-dimensional proporciona ao professor um ambiente de pesquisa para que possa compreender a seqüência de introdução de conceitos e resultados que devem ser trabalhados a partir da 5ª série do Ensino Fundamental. A utilização de programas pode ser feita como apoio na aula expositiva, mas seu maior efeito se produz quando o aluno é o protagonista ativo da sua aprendizagem, em que o aluno constrói pessoalmente os objetos de sua investigação e faz suas

4 descobertas. A adequação das abordagens de conceitos num ambiente informatizado pode indicar a aquisição do conhecimento pedagógico do conteúdo do professor. 1-1 O que ocorre com SGD 3-dimensional? Nesta seção, o SGD a que se refere é o Cabri 3D Não iremos analisar os problemas de geometria analítica 3-dimensional ou de descritiva que são facilitados por SGD que apresentam configuração padrão adaptada para sistema referencial ortogonal com planos coordenados, como é o caso do programa Calques 3D. No Cabri 3D a configuração padrão é um plano horizontal de referência na tela, sem eixos. O domínio de SGD 2-dimensional como ferramenta didática faz o professor ter a expectativa de estender abordagens similares ao ambiente de geometria espacial. Por exemplo, a similaridade procurada pode ser o uso do diálogo entre os comandos e os passos de uma construção geométrica, ou ainda a descoberta de propriedades de figuras por meio do recurso de arrasto. A primeira dificuldade surge na interpretação do papel didático do SGD 3-dimensional comparado com algum SGD 2-dimensional, habituado a usar. No ambiente de geometria plana, a conexão entre os objetos geométricos construídos com material concreto (papel, palitos/ peças de madeira, geoplano, etc.) e suas representações como figuras geométricas na tela de um computador é direta, pois o que se observa no objeto que toca com as mãos é o que se vê na tela. Porém, isto não ocorre com os objetos espaciais, tri-dimensionais. Os objetos concretos feitos com papéis, cartolinas, arames, canudos, acrílicos, etc., são utilizados em abundância como material didático. Mas, o uso de SGD 3-dimensional supõe a habilidade de visualização de imagens 2-dimensionais projetadas na tela dos mesmos objetos. Portanto, a abordagem de ensino de geometria espacial com uso de SGD exige do professor e do aluno uma abstração mental adicional para recompor os objetos reais a partir das imagens produzidas na tela plana, por diferentes projeções. Trata-se de interpretação das imagens 2-dimensionais num contexto 3-dimensional, que difere das atividades de planificação ou de visualização de modelos reais, muito comuns nas salas de aula. O planejamento de atividades de ensino de geometria espacial que se aproveite das vantagens de um SGD exige do professor o conhecimento específico da teoria das projeções (que não faz parte do conteúdo trabalhado no Ensino Fundamental) e da metodologia adequada. A característica instrumental de SGD é um obstáculo real para que as abordagens diretas do ensino de geometria plana sejam estendidas para o ensino de geometria espacial.

5 2- RELATO DE EXPERIÊNCIA: ATIVIDADES DE GEOMETRIA Nesta seção descrevemos as experiências didáticas do segundo autor junto a alunos das 6ª e 7ª séries do Ensino Fundamental da EE São Paulo da Cruz, na cidade de Osasco, SP, a partir do 2º bimestre do ano letivo de 2007, sobre o conteúdo de geometria previsto no planejamento curricular. O professor pôde observar o potencial didático do uso de tecnologias e a necessidade de elaborar estratégias distintas de abordagens do ensino de geometria, adaptando-as ao contexto das turmas e da escola Perfis das turmas trabalhadas Turma 1: 6ª série F, 40 alunos, faixa etária entre 13 e 14 anos. Turma muito indisciplinada e dispersa. Presença de alunos muito deficientes em matemática, mas de outros muito bons na aprendizagem da matemática, participativos e interessados quando cobrados. Turma 2: 7ª série D, 41 alunos, faixa etária entre 14 e 16 anos. Turma boa para se trabalhar, com presença de ótimos alunos e daqueles cujo potencial ainda não foi explorado, e que podem render na aprendizagem da matemática. Muitos alunos apresentam deficiência em matemática e alguns desinteressados no estudo Turma 3: 7ª série E, 39 alunos, faixa etária entre 14 e 16 anos. Turma complicada, com muitos alunos indisciplinados e agitados. Há alunos com rejeição à matemática, e muitos nunca tiveram contato com a geometria. Entretanto, nessa turma estão os melhores alunos em matemática dentre as três turmas. Há alunos com talento para matemática, mas que sofreram grande defasagem em anos anteriores Atividades de Geometria plana Nas Turmas 2 e 3 foram trabalhados conceitos de geometria plana com a metodologia réguacompasso. Os alunos não tinham familiaridade alguma com a geometria, apesar de já estarem cursando a 7ª série. As aulas tiveram três momentos distintos: A preparação para a introdução da metodologia da régua e do compasso: primeiros contatos com tratamento teórico da geometria euclidiana plana e uso de instrumentos de desenho. A metodologia da régua e do compasso: exploração de construções básicas voltadas para as figuras geométricas utilizadas em estudo de teoremas da geometria plana; preparação para uso do SGD Cabri Géomètre baseado em conceitos e procedimentos da geometria.. O uso de computadores e do programa pelos alunos: aplicação das atividades desenvolvidas em aula convencional, com comparação entre as aulas convencionais e as aulas em laboratório, e buscando algumas possibilidades possíveis somente em computadores.

6 Cabe ressaltar que na 1ª etapa, houve constatação da importância de oferecer a manipulação de instrumentos de desenho para a compreensão de conceitos geométricos elementares e de construções básicas. Na oportunidade, foi constatado que muitos alunos não sabiam interpretar os marcos nas réguas para a leitura das medidas de segmentos, outros não sabiam fixar a posição da régua para desenhar segmentos. A prática e as indagações surgidas nas atividades mostraram que o contato com os instrumentos deve preceder as construções no ambiente informatizado. A introdução à geometria plana seguiu a metodologia de construções geométricas como base para verificar e entender fatos e resultados de Axiomas e Teoremas, estes últimos demonstrados quando oportunos, fazendo com que os alunos se acostumem com a idéia de que a matemática não é imposta, mas obtida. Teoremas como dos ângulos alternos internos, dos ângulos opostos pelo vértice e de Tales foram desenvolvidos. As construções básicas tais como transporte de ângulos, da reta mediatriz e de retas paralelas permitiram uma retomada de alguns fatos que os alunos tiveram contato em algum momento anterior. O uso de instrumentos melhora a participação e o interesse. A idéia de construção era uma novidade para os alunos, que freqüentemente apenas reproduziam o que os livros e os professores pediam. Segundo depoimento de um dos alunos, legal, é a primeira vez que eu faço matemática botando a mão na massa, não tenho que ficar só fazendo conta. A metodologia de aula participativa e investigativa que foi adotada nas aulas subseqüentes permitiu que os próprios alunos experimentassem e deduzissem a desigualdade triangular entre os lados de um triângulo. A atividade proposta inicialmente foi construir um triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 10 cm usando régua-compasso. A impossibilidade de solução neste caso foi percebida, debatida, e explorada por alunos, que testaram variações antes de formularem, eles mesmos, a propriedade da desigualdade triangular. O professor sentiu-se gratificado no final quando exercícios de aplicação, propostos como tarefa, foram resolvidos por grande maioria dos alunos. A etapa de utilização do ambiente informatizado nas aulas de geometria foi um desafio para o professor que teve sua aprendizagem em interpretar o contexto da classe e organizar estratégias de trabalho em grupo de alunos que não se sentavam nos computadores, na mesma sala do laboratório que tem apenas 10 computadores compartilhados por 2 alunos cada vez. Tarefas de construções com régua-compasso foram apresentadas a estes grupos que se entusiasmaram com a possibilidade de poder executá-las com computador na sua vez de utilizar. A comparação entre resultados já conseguidos no caderno e as construções no computador trouxe novos significados para os alunos sobre a metodologia da régua e compasso. Algumas opiniões dos alunos a respeito: ficou mais fácil de ter uma noção sobre geometria, é muito mais fácil de entender como se faz! ; eu odiava matemática porque não entendia nada, mas usando computador consigo entender mais as coisas ;

7 na verdade eu nunca gostei de geometria... mas com essa maneira de ensino, no geral, dá pra aprender... A descrição da experiência acima indica a organização e a execução de um planejamento didático que evidenciam um processo de ensino/aprendizagem, em que os objetivos de aquisição de conhecimento específico (no caso, tópicos de geometria plana) foram acompanhados de uma metodologia escolhida e adaptada ao contexto dos alunos, usufruindo das vantagens do ambiente informatizado no momento adequado. As médias de aproveitamento da Turma 2 e da Turma 3 cresceram, respectivamente, de 4 e 5.3 no início do ano para 6.6 e 6.7 no final. 2.3 Atividades de Geometria espacial As aulas de geometria espacial foram realizadas na Turma 1, 6ª série. Foi constatada uma grave defasagem de conhecimentos de matemática dos alunos, e por isso foi proposto aos alunos um trabalho de pesquisa sobre a geometria espacial, enquanto o professor trabalhava outros conteúdos do planejamento curricular. A partir do final do 3º Bimestre trabalhou-se geometria com essa turma, cumprindo a grade curricular prevista. As aulas seguiram as etapas: Aulas convencionais com apresentação e desenvolvimento de conceitos da geometria espacial. Trabalho com modelos concretos de objetos geométricos, para que os alunos possam interpretar as representações no papel ou lousa. Uso estratégico da informática para auxiliar os alunos a fixarem os conteúdos aprendidos em aulas convencionais. O tema da aula convencional foi poliedros convexos e não convexos, sobre o qual os alunos já haviam feito uma pesquisa anterior. O professor utilizou uma régua para desenhar na lousa figuras de alguns poliedros começando com um cubo. As dificuldades dos alunos em interpretar as figuras na lousa como vistas de objetos espaciais deram medida da necessidade de introduzir outras metodologias além da aula convencional. Era preciso preparar os alunos para as interpretações necessárias quando as atividades com modelos construídos em ambiente real fossem realizados com recursos dinâmicos do Cabri 3D. A dificuldade instrumental já citada na seção 1.1 fez com que os recursos de construção de poliedros (convexos) e suas planificações fossem destacados para auxiliar na confecção de diversos modelos em cartolina, assim como com canudos e arames. A montagem de poliedros não convexos foi possibilitada com modelos unidos convenientemente por algumas faces. A comparação entre o modelo concreto construído e sua imagem na tela do computador surtiu efeito no desenvolvimento da capacidade de interpretar as representações planas de objetos tridimensionais. Observemos que a tecnologia foi um instrumento na mão do professor e não utilizada diretamente por alunos, mas sua utilização no momento adequado, que facilitou a

8 confecção de sólidos e suas visualizações, permitiu superar as dificuldades de abstração sentidas na aula convencional com recursos limitados. A manipulação de modelos concretos produziu resultados na construção do conceito de não-convexidade dos poliedros. O Cabri 3D foi utilizado nas aulas subseqüentes como apoio para planificar sólidos obtidos por cortes planos de poliedros, estudados pelos alunos. Também produziu impacto no interesse dos alunos pelas aulas expositivas em que o professor utilizou o programa com uma TV interligado a um computador por cabo S- video, para introduzir estudos de principais poliedros e de corpos redondos. Maior impacto foi junto a alunos com problemas de disciplina e de atenção. O aproveitamento médio da Turma 1 cresceu de 5.1 no 1º bimestre para 6.8 no final do ano. Conclusão A capacidade do professor em decidir o momento e a abordagem adequados na utilização da tecnologia como auxiliar no processo de ensino/aprendizagem está ligado ao seu conhecimento pedagógico do conteúdo da disciplina, que deve ser refletido, analisado e aperfeiçoado continuamente. Basear a pesquisa deste presente trabalho neste conceito permitiu ampliar a visão dos autores sobre os aspectos cruciais da formação continuada de professores, e fez crescer a esperança de resgatar o nível de aprendizagem de estudantes que têm potencial para crescer. Próximos passos da pesquisa prevêem um tratamento mais acurado da avaliação da metodologia adotada. Referências Laborde, C. (2003). Technology used as a Tool for Mediating Knowledge in the Teaching of Mathematics: the Case of Cabri-geometry. Proceedings of the 8 th ATCM, Chung Hua University, Hsinchu, Taiwan, R.O.C. Lagrange, J. -B. et al. (2001). Meta study on IC technologies in education. Towards multidimensional framework to tackle their integration into the teaching of mathematics. Proceedings of the 25 th conference of international roup for psychology of mathematics education, Vol.1 pp , Freudenthal Institute, Utrecht University, Utrecht, Pays Bas. Schulman, L.S. (1986). Those Who Understand Knowledge Growth in Teaching. Educational Researcher, 15 (2), Veal, W.R. and MaKinster, J.G. Pedagogical Content Knowledge Taxonomies, no site //wolfweb.unr.edu/homepage/crowther/ejse/vealmak.html, consultado em Novembro, 2007.