TECNOLOGIA DE PROJETO - I

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1 Tecnologia de Projetos- I 1 o Ciclo de Mecânica ETE Cel. Fernando Febeliano da Costa TECNOLOGIA DE PROJETO - I 1 o Ciclo de Técnico Mecânica Apostila baseada nas anotações de Professores e do TC 2000 Técnico Distribuição gratuita aos Alunos 1

2 MECÂNICA TÉCNICA parte - 1 ESTÁTICA Estática é uma das partes da mecânica que estuda as forças e as condições necessárias para o seu equilíbrio. COMPOSIÇÃO DE FORÇAS COINCIDENTES Todo sistema de forças coincidentes pode ser substituído por uma única força, chamada resultante, que produz o mesmo efeito das componentes. A resultante terá a mesma reta de ação das componentes, com intensidade e sentido igual à soma algébrica das componentes. FORÇA Caso 1 Caso 2 F 1 F 2 F 1 É qualquer causa capaz de produzir ou modificar o estado de repouso ou de movimento de um corpo. As características de uma força são: a) ponto de aplicação b) direção ou reta de ação c) sentido d) intensidade F 2 PROBLEMAS R F 1 F 2 1-) Calcular a resultante das forças F 1 = 15Kgf e F 2 = 10Kgf de mesmo sentido. R F 1 F 2 A unidade de medida de força é: *No Sistema Técnico é o kilograma-força [ kgf ] *No Sistema Internacional é Newtons [ N ] *Veremos com maior detalhes em Dinâmica na pagina 48 Trabalharemos com força no Sistema Técnico [ kgf ] 2-) Calcular a resultante das forças F 1 = 15Kgf e F 2 = 10Kgf de sentidos contrários. Graficamente é representada por um segmento de reta orientado chamo por vetor. reta de ação intensidade 3-) Calcular a resultante das forças F 1 = 5Kgf, F 2 = 8Kgf e F 3 = 7Kgf aplicadas no bloco em figura. ponto de aplicação sentido F 2 F 1 F kgf escala das forças Temos: Módulo (Intensidade): 8 kgf (a cada um Centímetro corresponde a 1 kgf em escala) Direção: Horizontal Sentido: da esquerda para a direita 4-) Dizer para que lado a corda irá se deslocar ao ser aplicado os pesos P 1 = 8Kgf, P 2 = 4Kgf e P 3 = 6Kgf no sistema abaixo. argola Duas ou mais forças constituem um sistema de forças, sendo que cada uma delas é chamada COMPONETES. No caso em que as forças tem um mesmo ponto de aplicação ou se encontram num mesmo ponto depois de prolongadas, recebem o nome de forças CONCORRENTES. Se agem numa mesma reta de ação são chamadas forças COINCIDENTES. P1 P2 P 3 2

3 PROBLEMAS PROPOSTOS Analiticamente: a intensidade e a direção da resultante podem ser calculadas pelas seguintes fórmulas: 1-) Dizer para que lado o bloco irá se deslocar e calcular a resultante: 1 kgf 2 2 R12 = F1 + F2 + 2.F 1.F2.cosα 2-) Calcular a resultante do sistema cujas forças têm todas a direção norte-sul com as seguintes intensidades e sentidos: (Resp.: 700Kgf para o norte) tgϕ = F 1 F.senα 2 + F.cosα 2 P 1 = 500Kgf P 2 = 400Kgf P 3 = 200Kgf P 4 = 800Kgf (sentido norte) (sentido sul) (sentido sul) (sentido norte) 3-) Num bloco agem as seguintes forças: F 1 = +6Kgf, F 2 = -4Kgf, F 3 = - 5Kgf, F 4 = +1Kgf. Calcular a resultante e dizer o sentido do movimento do bloco. Adotar o sinal positivo como sendo o sentido da direita para a esquerda. (Resp.: R = -2Kgf para a direita) PROBLEMAS 1-) Determinar gráfica e analiticamente a intensidade e a direção da resultante das forças concorrentes F 1 = 40Kgf e F 2 = 60Kgf que formam um ângulo α igual a 45º. 4-) Um balão a gás, que consegue exercer uma força para cima de 100Kgf, está suspendendo uma carga de 40Kgf. Se for acrescentada uma sobre-carga de 75Kgf, qual será o sentido do movimento do balão e com que força se fará este movimento? (Resp.: para baixo, com uma força de 15Kgf) 5-) Calcular a força F para equilibrar as forças aplicadas no bloco da figura abaixo. (Resp. F = 30 kgf) =10kgf F 1 F =15kgf F 2 F 3 = 40kgf = 5kgf F 4 2-) Calcular gráfica e analiticamente a intensidade e a direção da resultante das forças F 1 = 60Kgf e F 2 = 80Kgf, perpendiculares. COMPOSIÇÃO DE FORÇAS CONCORRENTES Todo sistema de forças concorrentes pode ser substituído por uma única resultante que produz o mesmo efeito, se esta substituir aquelas. A resultante pode ser determinada gráfica ou analiticamente. I - RESULTANTE DE DUAS FORÇAS CONCORRENTES 3-) Calcular a resultante das forças F 1 = 70Kgf e F 2 = 40Kgf que formam um ângulo α igual a 130º. Graficamente: é determinada pela diagonal do paralelogramo construído sobre as retas que representam as forças componentes. Esta é a chamada regra do paralelogramo. REGRA DO PARALELOGRAMO F 1 α ϕ R 12 F 2 3

4 PROBLEMAS PROPOSTOS 1-) Calcular, gráfica e analiticamente, a resultante das forças F 1 = 20Kgf e F 2 = 30Kgf nos seguintes casos: 6-) Sabendo-se que cada cabo da figura abaixo resiste uma carga até 400Kgf, calcular o máximo peso P que o conjunto pode suportar. F 2 o 45 F 2 F 1 o 135 F1 F1 F 2 2-) Calcular graficamente a resultante das seguintes forças F 1 = 15Kgf, F 2 = 25Kgf, F 3 = 30Kgf, conforme figuras abaixo: 7-) Calcular a reação de apoio R no suporte da polia em figura. (Resp.: 2,82tf) F 1 o 120 o 120 o 120 F3 F 3 o 60 o 45 F 1 F 2 F 2 3-) Calcular gráfica e analiticamente, a resultante das forças F 1 = 30Kgf e F 2 = 40Kgf aplicadas no bloco em figura e determinar a direção da resultante. ( Resp.: 67,6 kgf e 17 o 12 ) o 75 o 30 F 1 F 2 DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA Sendo dada uma força R, é possível decompô-la em duas outras, F H e F V, de direções dadas. Para isto basta aplicar a regra do paralelogramo. Exemplo: Decompor a força R nas direções das retas dadas em figura. Vertical 4-) Na figura abaixo está representada uma estaca articulada na base e solicitada pelas forças F 1 = 200Kgf e F 2 = 300Kgf. Verificar se ela permanecerá em equilíbrio. Caso contrário, para que lado tombará? Resp.: Tombará para a direita. R F V R F 1 θ θ o 30 o 60 FH Horizontal F 2 F H = R.cos.θ F V = R.sen. θ 5-) No suporte em figura cada pé resiste no máximo 100Kgf. Calcular a máxima carga P quando os pés formam o ângulo α = 70º. (Resp.: 164 kgf) P PROBLEMAS 1-) Decompor o peso P = 20Kgf do bloco em figura, na direção da paralela e na direção da perpendicular ao plano inclinado. o 70 o 30 4

5 2-) Calcular gráfica e analiticamente as forças normais às faces laterais da guia representada em figura Dados: carga P = 400Kgf ângulo do canal 100º 3-) No suporte em figura, calcular a carga na escora. (Resp.: F = 400Kgf) 200kgf o 100 o 30 P 3-) Calcular as componentes H, horizontal, e V, vertical, da força F = 30 Kgf aplicada na viga conforme figura abaixo. 4-) No sistema biela-manivela em figura, calcular a força radial e a força tangencial. Sabendo-se que a biela exerce no pino uma força F = 400Kgf. Resp.: (F r = 200Kgf F t = 346,4Kgf) F o 60 4-) Calcular a carga nos pés do suporte em figura, sabendo-se que P = 40Kgf e α = 60º. P MOMENTO ESTÁTICO Denomina-se momento estático M o da força F em relação ao ponto 0, ao produto da força F pela mínima distância d entre a força e o ponto 0. É medido em [ Kgf.cm ]. Exemplo: o 60 Sentido de Giro + - F d Anti Horário Horário O PROBLEMAS PROPOSTOS 1-) Na cunha abaixo, calcular a força V. (Resp.: V = 280Kgf) o 30 V H = 400 kgf 2-) No suporte em figura, calcular a carga no tirante. (Resp.: F = 400Kgf) M F = ±F.d No caso da manivela, o momento é o produto da força F pelo raio r. Será positivo se a manivela girar no sentido anti-horário e negativo no sentido horário. Problemas: Calcular o momento da força F em relação ao ponto 0, nos seguintes casos: F= 80 kgf d= 5 cm d= 8 cm F= 200 kgf o 30 O O 200kgf 5

6 VÍNCULOS Um corpo qualquer, situado numa superfície plana, possui três liberdades de movimento: deslocamento vertical deslocamento horizontal rotação Vincular este corpo significa impedir uma ou todas as possibilidades de movimento. O engastamento reage com uma força R e um momento M. F M R Para que um corpo fique em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças é necessário que sejam eliminadas as possibilidades de movimento, o que poderá ser obtido por meio de vínculos. Logo, existem três tipos de vínculos: 1-) Vínculos simples (apoio simples, tirante): impede o deslocamento numa determinada direção. Os corpos que apresentam os vínculos necessários e suficientes para o seu equilíbrio, são chamados isostáticos. Se possuem um número insuficiente de vínculos, são ditos hipostáticos. 2-) Vínculo duplo (apoio fixo, articulação): impede qualquer deslocamento, mas permite a rotação. No caso em que o número de vínculos é superior ao necessário, são ditos hiperestáticos. Simbologia ISOSTÁTICO HIPOSTÁTICO 3-) Vínculo triplo (engastamento): impede qualquer possibilidade de movimento. HIPERESTÁTICO EQUILÍBRIO DOS CORPOS Os vínculos, impedindo determinados movimentos, se opõem às forças externas aplicadas no corpo e, pelo 3 o.princípio da Dinâmica, originam reações iguais e contrárias às forças que sobre eles atuam. O apoio simples reage com uma força R perpendicular ao vínculo. Para que um corpo permanece em EQUILIBRIO é necessário que a somatórias das forças e momentos destas forças que atuam sobre este corpo sejam NULAS. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO No caso em que o sistema é coplanar, o problema pode ser resolvido decompondo-se as forças em duas direções H e V perpendiculares, obtendo-se dessa maneira, 3 condições de equilíbrio: R = V A articulação reage com uma força R que passa pelo seu centro e cuja direção depende das forças externas. F2 F1 θ θ 2 1 H F V2 F F2 F1 V1 FH1 FH2 H a b c V 1 a b c V 2 R V 6

7 1 a. condição: impede a rotação. Para que um corpo não entre em rotação é necessário que a soma algébrica dos momentos de todas as forças, em relação a um ponto qualquer, seja nula (em relação ao ponto 0, por exemplo). M i = 0 Tipos de alavanca: F Q a b a F b Q PROBLEMAS Pôr convenção + (sentido Anti-horário) V 2. (a+b+c) - F V1.a - F V1. (a+b) = 0 1-) Calcular a reação de apoio R e a força F para levantar a carga Q com auxilio da alavanca em figura. F Q = 500 kgf 2 a. condição: impede deslocamento vertical. Para que um corpo não seja deslocado verticalmente é necessário que a soma algébrica de todas as forças verticais seja nula. F Vi = 0 40 cm 10cm 2-) Determinar a posição do cursor para que a balança romana em figura equilibre um peso de 2Kgf, sabendo-se que o contra-peso tem 0,5Kgf. Por convenção + (de baixo para cima) X 5 cm V 1 + V 2 - F V1 - F V2 = 0 3 a. condição: impede deslocamento horizontal 0,5 kgf Para que um corpo não seja deslocado horizontalmente é necessário que a soma algébrica de todas as forças horizontais seja nula. F Hi = 0 2,0 kgf 3-) Calcular a força F necessária para equilibrar a alavanca em figura. Q = 200 kgf Por convenção + (da direita para a esquerda) F H - F H1 - F H2 = 0 21cm 35cm ALAVANCAS Alavanca é uma barra rígida, reta ou curva, móvel em torno de um eixo denominado ponto de apoio. Para resolver problemas sobre alavanca, aplica-se as condições de equilíbrio. 4-) Na alavanca em figura, calcular a força F capaz de suspender o peso Q. F = Força R = reação de apoio Q = carga a, b = braços de alavanca Q = 270 kgf F F Q 20cm 34cm F. a = Q. b a b 7

8 5-) Calcular a reação de apoio e a força F para equilibrar a alavanca em figura. 4-) O motor em figura pesa 30Kgf. Calcular a força exercida pelo esticador quando a correia tende a levantar o motor com uma força de 10Kgf. ( Resp.: 9 kgf ) Q = 600 kgf 500 kgf F 30cm 20cm 40cm 50cm 100 kgf 45 cm 55 cm 5-) Calcular o máximo peso P que pode ser levantado por um operador, com auxílio das roldanas em figura. r = 24 cm R = 48 cm F P 6-) Calcular o máximo peso P que pode ser levantado pelo operador, com auxílio do sarilho em figura, em trabalho normal. PROBLEMAS 1-) Na tesoura mecânica em figura, foi necessário uma força F = 50Kgf para cortar o ferro redondo. Calcular a resistência oferecida pelo ferro. ( Resp.: 375 kgf) a = 20 cm b = 130 cm a b R F D = 16cm P REAÇÕES DE APOIO r = 30cm 2-) Para freiar o eixo da figura abaixo foi necessário uma força F N = 40Kgf. Calcular a força F. (Resp.: 12 kgf) F A determinação das reações de apoio de um corpo é feita aplicando-se as três condições de equilíbrio como já foi visto na pagina 39 desta apostila. Para casos de reações de apoio em eixos podemos resolver analiticamente. L = 100cm 30cm FN PROBELMAS 1-) Calcular as reações R 1 e R 2 dos mancais do eixo em figura. 100 kgf 150 kgf 200 kgf 3-) Se disponho de uma força F = 10Kgf, calcular o novo comprimento L que deverá ter o braço do freio de sapata do problema 2. Resp.: L = 120cm 20 cm 10 cm 25 cm 15 cm 8

9 2-) Calcular a reação no pino abaixo sabendo que o peso da barra é de P B = 200 kgf Gráfico de Momento Fletor (Cargas Concentradas) 10 kgf 20 kgf pino o R 1 = 22 kgf 2 cm R 1 = 8 kgf Q = 1,0 tf 2,0 m Mf 2 + Mf 4 Mf 1 - Mf 3 MOMENTO FLETOR ( Mf ) A seção ( x ) da barra em figura está solicitada parte à compressão e parte a tração, isto é, as fibras superiores da barra são comprimidas e as fibras inferiores são tracionadas. compressão tração Denomina-se momento fletor (M f) da seção ( x ), a soma algébrica dos momentos, em relação a ( x ), de todas as forças P i que precedem ou seguem a seção. Exemplo: momento fletor na seção ( x ): P Linha Neutra M f1 = 0 M f2 = = 20 kgf.cm M f3 = = -16 kgf.cm M f4 = 0 Observações: 1-) Neste exemplo foi considerado as forças que precedem a seção. Se forem tomadas as forças que seguem as seções, os momentos terão os mesmos valores, a menos do sinal. 2-) Notar que, no caso em questão (forças concentradas), o momento fletor varia linearmente ao longo dos trechos descarregados. Concluise daí que, para traçar o diagrama basta calcular apenas o momentos fletores nas seções em que são aplicados as forças e unir os valores por meio de retas. 3-) A seção mais solicitada é aquela que o momento fletor é máximo. Convenção: M f + Problemas Propostos: P 1 P 1 x 1-) kgf c R 1 a b R 2 2,5 1,5 3,0 2,0 m M f = P 1.a R 1. b + P 2. c Desse modo calcula-se o momento fletor de cada seção do eixo e com valores obtidos traça-se o diagrama como nos exemplos que se seguem. 9

10 2-) 4-) kgf 600 kgf 2,0 2,5 3,0 2,0 m 2,0 4,0 m ) kgf CINEMÁTICA A Cinemática é uma das partes da Mecânica que estuda o movimento em si, classifica-o e descreve-o matematicamente, sem levar em conta as causas e os seus efeitos. Dizemos que um corpo está em movimento quando em tempos sucessivos varia de posição. Se ocupa constantemente a mesma posição, dizemos que ele está em equilíbrio ou em repouso. 2,0 4,0 m MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Dizemos que o movimento de um móvel é circular uniforme, quando sua trajetória é uma circunferência e percorre arcos iguais em tempos iguais. Rotação por minuto [ n ]: é o numero de voltas dadas em 1 minuto. Medimos em [ rpm ]. O arco percorrido na unidade de tempo é a velocidade. Podemos medir o arco pelo seu comprimento ou pelo ângulo compreendido, logo, temos dois tipos de velocidade: R a C. v n 10

11 Velocidade tangencial ou periférica [v]: é o comprimento do arco percorrido na unidade de tempo. Medimos em [ m/s ]. Fórmula: 2. π. R.n v = 60 3 Calcular a velocidade periférica, a velocidade angular, o período, a freqüência e aceleração centrípeta de um disco de 6m de diâmetro a 20 rpm. R = raio da circunferência em metros [ m ] Velocidade angular [ ]: é a medida do ângulo varrido na unidade de tempo. Medimos em [rad/s]. Fórmula: v 2. π. n 60 = [ rad/s ] O radiano (rad) é o ângulo Central do arco de comprimento igual ao raio. 4 No volante dado, calcular as velocidades periférica e angular do ponto A na coroa e do ponto B no cubo, sabendo-se que o eixo gira a 50 rpm. A 360º equivale a 2 π rad. Período T: é o tampo gasto para o móvel dar volta na circunferência. Fórmula: 60 T = [ s ] n B φ50 φ200 Freqüência f: é o número de voltas por segundo. Medimos em hertz [ Hz ]. Fórmula: n f = [ s -1 ] ou [ Hz ] 60 5 No conjunto de engrenagens dadas calcular as velocidades tangenciais de cada uma sabendo-se que o eixo fira a 240 rpm. Podemos escrever: f = 1 T 1 T = f 100 mm 80 mm Aceleração centrípeta a c: medimos em [ m/s 2 ] Fórmula: a c = 2 v R PROBLEMAS RESOLVIDOS 6 Calcular a rpm de uma engrenagem, cuja velocidade tangencial é de 6,28 m/s com diâmetro de 120 mm. 1 Transformar 30º em rad. 2 Transformar 4π rad em grau. 3 7 Que raio deverá ter um volante para uma velocidade periférica de 9,42 m/s a 300 rpm? 11

12 8 Na figura abaixo calcular a rotação da polia maior. n 1 = 1000rpm D 1 = 120 mm n 2 =? D 2 = 200 mm PROBLEMAS PROPOSTOS 1 A velocidade de corte da ferramenta do torno é de 0,6 m/s. Calcular o número de rotações por minuto da árvore para tornear uma peça de 10 cm de diâmetro. Resp. 114,6 rpm n d 2 Qual será a velocidade de corte de uma ferramenta quando se pretende tornear uma peça de 3 cm de diâmetro, com a placa do torno girando a 250 rpm? Resp: 0,39 m/s 3 Calcular o diâmetro ideal de uma peça a ser torneada num torno que da 120 rpm na árvore e com velocidade de corte de 0,5 m/s. Resp: 0,5 m/s 9 No par de engrenagens dadas em figura, calcular o diâmetro primitivo do pinhão. dp 2 =100mm n 2 =60 rpm dp 1 =? 4 A velocidade média de corte de uma serra mecânica é de 1,2 m/s. No sistema biela-manivela que movimenta a serra, a manivela tem 12 cm de raio. Qual é a rpm da manivela? Resp: 95,5rpm 5 Calcular as rpm da broca para abrir um furo de 1 de diâmetro, sabendo-se que a velocidade de corte da broca é de 0,254 m/s. Resp: 191 rpm 6 Calcular os diâmetros das polias e das engrenagens da prensa excêntrica esquematizada em figura para dar 36 golpes por minuto. Resp. Depende dos valores adotados d 4 n 1 =120 rpm d 2 d 3 d 1 10 Projetar um câmbio, conforme esquema em figura, para se obter na saída 150 rpm, quando acionado por um motor de 1400 rpm. d 2 d 3 d 4 7 Projetar as engrenagens e polias para a serra mecânica esquematizada em figura. Motor de 1400rpm Resp. Depende dos valores adotados d 3 d 4 d 2 d 1 d 1 12

13 DINÂMICA A Dinâmica é uma das partes da Mecânica que estuda a relação entre o movimento e a sua causa. AS TRÊS LEIS DA DINÂMICA Newton, sábio e físico inglês, enunciou as três leis básicas da Dinâmica: 1ª LEI (princípio de inércia): toda ação instantânea exercida sobre um corpo comunica-lhe um movimento retilíneo uniforme. De acordo com o princípio de inércia, um corpo não pode, por si mesmo, produzir ou modificar seu estado de repouso ou de movimento. A mudança de qualquer um destes estados se faz somente pela intervenção de uma causa: esta causa recebe o nome de FORÇA. Assim, um carro inicia seu movimento somente quando estiver sob a ação de uma força. Depois de cessada a aplicação desta força, ele continuaria sempre em movimento se não houvesse alguma causa externa que lhe oferecesse resistência, tal como o atrito, resistência do ar, freios, etc. v = constante v = 0 (repouso) 2ª LEI ( lei da proporcionalidade): variação do movimento de um corpo é proporcional à ação aplicada. A segunda lei relaciona a força aplicada e o movimento adquirido. Se a força aplicada no carro não fosse removida e se continuasse agindo com intensidade constante, a velocidade estaria sempre aumentando de maneira constante e uniforme. O movimento adquirido seria retilíneo uniformemente acelerado. Logo, uma força constante aplicada num corpo, imprime neste uma aceleração que será tanto maior quanto maior for a força aplicada. Há, assim, uma proporcionalidade entre força e aceleração: o coeficiente de proporcionalidade é a MASSA do corpo. a = aceleração [ m/s 2 ] [ F ] = [ m ]. [ a ] = kg. m/s 2 = N = newton Verifica-se também esta lei na queda dos corpos. Sabe-se pela Cinemática que uma pedra em queda livre adquire movimento acelerado com aceleração constante e igual a 9,8 m/s 2, chamada aceleração da gravidade. A força com que a pedra é atraída para a Terra recebe o nome de PESO. Aplicando neste caso a equação fundamental, tem-se: P = m. g P = peso m = massa g = aceleração da gravidade Desta fórmula deduz-se que formula de peso P m = g Levando este valor de m na equação fundamental da Dinâmica, resulta: P F =.a g Sistema Técnico de Medidas MK*S: M = metros [ m ] K* = quilograma-força [ kgf ou kp ] S = segundos [ s ] P e F medidos em kgf ou kp Aceleração a em m/s 2. Esta é uma outra forma de se representar a equação fundamental da Dinâmica. Além do kgf, a força pode ser medida com as seguintes unidades: tonelada-forca ( tf ), Newton ( N ) e libra-força ( lbf ). Tal dependência se exprime pela seguinte fórmula: Equivalências: 1 tf = 1000 kgf ou kp1 lbf = 0,454 kgf ou kp F = m. a F = força m = massa a = aceleração 1 kgf ou kp = 9,8 N a = constante F m Esta é a EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA. 3ª LEI ( lei da igualdade entre ação e reação): a toda ação se opõe uma reação igual e contrária. N m T T Polia T No S.I. (Sistema Internacional) temos a seguinte unidade para a força: M = comprimento [ m ] metros K = massa [ kg ] quilograma S = tempo [ s ] segundos P m P m = massa [ kg ] quilograma 13

14 PROBLEMAS PROPOSTOS: 1 Calcular a força capaz de imprimir uma aceleração de 0,3 m/s 2 em um automóvel de peso igual a 2000 kgf. 5 Um bloco de 700kgf oferece uma resistência de 300kgf devido ao atrito com a superfície horizontal em que está apoiado. Calcular a força necessária para empurrá-lo com velocidade constante. 6 No problema 5, calcular a nova força aplicada quando se deseja imprimir ao bloco uma aceleração 1,4 m/s 2. 2 Qual é a intensidade da força aplicada nas rodas de um caminhão de 6000 kgf cujo motorista deseja freiá-lo com uma desaceleração de 0,5 m/s 2? 3 Qual é o peso de um carro que para obter uma aceleração de 4,9 m/s 2 requer uma força de 300 kgf? 7 O jato expelido por um foguete de 600 kgf de peso age com uma resultante vertical de 100kgf. Calcular a velocidade adquirida 12s após o lançamento. 8 O elevador de um edifício pesa 1 tf. Calcular a tensão nos cabos quando: a encontra-se parado; b sobe com aceleração de 0,49 m/s 2 ; c continua subindo com velocidade constante de 2 m/s; d é freiado no seu movimento de ascenção com uma desaceleração 2,45m/s 2 ; e desce com movimento acelerado de 1,96 m/s 2 ; f continua descendo com velocidade constante dde 2 m/s; g é freiado com desaceleração de 4,9 m/s 2. 9 Uma bala de 24,5g sai do cano de um fuzil com a velocidade de 500 m/s. Pede-se a força aplicada pelo explosivo sabendo-se que levou 0,001 seg para percorrer o cano. 4 Um edifício tem um elevador de 500 kgf. Calcular a tensão nos cabos para uma aceleração de 0,5 m/s 2, no movimento de ascenção. 10 Calcular a força tangencial necessária para fazer girar a 50 rpm um volante com diâmetro 1m e peso 980kgf em 10s. 5 Um carro de 1,5 tf está parado. Calcular a força necessária para que em 30s adquira a velocidade de 54 km/h. 11 O elevador de uma mina é empregado no transporte vertical de minério num poço de 40 m de profundidade. Sabendo-se que o seu peso mais a carga transportada perfazem juntos 5 tf, e que não é aconselhável sobrecarregar o cabo com uma carga superior a 7,5tf, pede-se determinar qual o menor tempo em que pode ser feita, com segurança, a ascenção. Observações: A aceleração da gravidade depende do lugar. Em Paris, g = 9,81 m/seg 2, no Equador g = 9,78 m/seg 2 e nos Pólos g = 9,83 m/seg 2. 6 O projétil de um canhão pesa 25kgf. É lançado com velocidade de 400 m/s. Qual a aceleração e a força aplicada pelos gases em expansão no seu trajeto dentro do cano cujo comprimento é de 2 m? Esta variação da aceleração influi no peso, pois P = m. g Isto já não acontece com a massa que se conserva constante independentemente da localidade. Já foi visto no MK*S que a massa de um corpo pode ser calculada pela seguinte fórmula: PROBLEMAS PROPOSTOS: 1 Calcular a força necessária par imprimir uma aceleração de 4,9 m/s 2 num carro de corrida de 800kgf de peso. 2 Um carro de 980kgf está em movimento. Calcular a força aplicada na rodas para freia-lo com uma desaceleração de 2 m/s 2. P kg m = = g 9,8m/s = u.t.m. (unidade técnica de massa) Enquanto o peso é medido em kgf, a massa é medida em u.t.m. Nos cálculos técnicos costuma-se adotar g = 9,8 m/s 2. 3 Qual o peso de um corpo que para adquirir uma aceleração de 2,45 m/s 2 requer uma força de 30kgf? 4 No problema 3, calcular a aceleração do corpo quando a força aplicada for 40 kgf. 14

15 FORÇA DE ATRITO A força de atrito entre dois corpos em contato é tangente à superfície de contato e possui sentido oposto ao movimento relativo entre as superfícies. Estudaremos dois tipos de atrito; Atrito de Escorregamento; Atrito de Rolamento. Atrito de Escorregamento: Manifesta-se quando uma superfície escorrega sobre a outra, é dirigida em sentido oposto ao movimento e, é devida a inevitável rugosidade das superfícies em contato. N Sentido do Movimento Estático: de repouso ou de saída; Dinâmico: de movimento ou de regime. O Coeficiente de atrito ( µ ) depende do material, do estado de polimento e lubrificação da superfície em contato, mas não depende da área de contato. Vejamos a seguir a tabela de atritos entre algumas superfícies em contato: Tabela de coeficiente de atrito Materiais em Contato µ e (estático) µ d (dinâmico) seco lubrif. seco lubrif. Aço e aço 0,15 0,10 0,12 0,09 F A P Aço e ferro fundido ou bronze 0,18 0,10 0,16 0,015 Bronze e bronze - - 0,20 0,15 F A = µ. N µ = coeficiente de atrito N = força normal [kgf ] Bronze ferro fundido Ferro fundido e ferro fundido Aço e metal patente - - 0, ,22 0,15 0,23 0,10 0,22 0,015 O deslocamento de um corpo é mais difícil no inicio que durante o movimento. Observação: Desejando valores mais precisos, deveremos fazer experimentos em condições o mais possível ao caso real. N Tendência do Movimento F A Atrito de Rolamento O atrito de rolamento é a resistência que se opõe ao rolamento de um corpo cilíndrico ou esférico sobre uma superfície. P H α α P V As causas que originam esta resistência não são bem definidas. Parecem provir do seguinte: Quando uma esfera ou cilindro roda sobre uma superfície, a força atuante sobre eles produz uma depressão na superfície, geralmente muito pequena, eu faz com que o contato não se dê mais por um ponto (esfera) ou uma reta (cilindro) e, sim, por uma zona de contato. N N = P V = P. cos α F A = P H = P. sen α µ.n = P. sen α µ. P. cos α = P. sen α F r µ = tg α δ Podemos classificar o coeficiente de atrito em: 15

16 Durante o rolamento, a resultante das reações do plano, se desloca, para frente, de δ, formando com N um binário de momento [ N. δ ] a que se deve opor o momento [ F. r ]. 2-) Uma embalagem de madeira de 200kgf desliza sobre roletes com diâmetro de 11cm e estes rolam sobre um plano de concreto. Determine a força F de rolamento. Logo, temos a seguinte fórmula: N F = δ. r A condição para que o cilindro role se escorregar: 200kgf F r δ µ Valores práticos de δ Aço/aço 0,005 Aço/concreto ou asfalto 1,0 Aço/madeira 0,1 Aço/terra batida 4,0 Esferas /anéis(rolamento) 0,001 Exercício: 1-) Um prisma de aço de 800kgf desliza sobre roletes de aço com diâmetro de 30mm e estes rolam sobre um plano também de aço. Determinar: a-) a força de rolamento; b-) a força de escorregamento; c-) o diâmetro mínimo dos roletes para que haja rolamento e não escorregamento. 800kgf F FORÇAS CENTRÍPETA E CENTRÍFUGA Uma esfera de aço em movimento circular, presa a um fio, está sujeita a uma força radial que tende atraí-la para o centro da circunferência descrita. Esta força recebe o nome de força centrípeta. F Centrifuga R n a C F Centrípeta. v Pelo princípio da ação e reação, a esfera reage com uma força da mesma intensidade, mas que tende afasta-la do centro da trajetória. Esta é a força centrífuga. 16

17 Sabe-se pela Cinemática que a aceleração centrípeta é dada pela seguinte fórmula: a C = v r Substituindo-se este valor da aceleração na equação fundamental da Dinâmica, tem-se: 2 3 Quando o raio da circunferência descrita pela esfera do problema 1 for reduzido para 0,5 m, calcular a nova força centrífuga. 5 A coroa de um volante de diâmetro 2m pesa 800kgf. Calcular a soma total da força centrífuga quando gira a 120 rpm. F C = P.v g.r 2 P = peso v = velocidade r = raio da circunferência Que fornece o valor da força centrífuga F c A força centrífuga é muito importante em certos aparelhos, tais como: bombas centrífugas, reguladores Watt, centrífugadoras, etc. 6 Calcular a inclinação interna que deve ter uma estrada numa curva de 80 m de raio, de modo que um veículo possa percorrê-la com segurança à velocidade de 20 m/s. α PROBLEMAS PROPOSTOS: PROBLEMAS PROPOSTOS: 1 Calcular a força centrífuga na esfera de 5 kgf quando gira com velocidade tangencial de 6 m/s conforme figura abaixo. 1 Calcular a força centrífuga que age sobre uma esfera de 2kgf, amarrada a um fio de 0,5 m de comprimento e animada de movimento circular uniforme de 60 rpm. 2 No problema 1, calcular a máxima rotação que pode ser dada ao movimento se a resistência do fio à tração é de 60kgf. 3 Um carro de 2tf percorre uma estrada com a velocidade de 7 m/s. Calcular a força centrífuga quando o carro percorre uma curva de raio 100m. 4 Um volante de 1 m de diâmetro médio está ligado ao seu cubo por intermédio de 6 braços. Qual o esforço de tração em cada braço, sabendo-se que o volante gira a 60 rpm e que a coroa pesa 600kgf? 2 Calcular a nova força centrífuga do problema 1 quando o peso da esfera é aumentado para 8 kgf. 5 Um patinador realiza as revoluções sobre uma pista de gelo, plana e horizontal, descrevendo uma circunferência de raio 15m com uma velocidade de 16 m/s. Determinar o ângulo por ele formado com a vertical. 6 Por meio de uma corda de 2dm de comprimento, faz-se girar um pequeno vaso aberto, contendo água. Efetuando-se a rotação num plano vertical, pergunta-se a velocidade periférica mínima de modo a não haver queda d água. 17

18 7 Cada esfera do regulador watt em figura pesa 2kgf. Calcular o raio r e a força centrífuga na rotação máxima de 240 rpm. No caso dos líquidos, vale o Princípio de Pascal, que diz o seguinte: A pressão exercida sobre cera região de um líquido se transmite integralmente em todos os pontos desse líquido. 8 Determinar com que velocidade uma esfera, suspensa por um fio de comprimento l = 0,25 m, deve girar em torno do eixo x de modo a formar um ângulo de 45º com este eixo. Área do pistão menor: s = π.d 2 /4 Área do pistão maior S = π.d 2 /4 Pelo Princípio de Pascal, a pressão no pistão menor é igual à pressão no pistão maior; são as forças f e F que diferem. Pressão no pistão menor: f f p = = s 2 πd /4 Pressão no pistão maior: F F P = = S 2 πd /4 PRESSÃO Um bloco apoiado sobre um plano horizontal tem seu peso distribuído uniformemente ao longo da superfície de contato. Logo: f F = 2 2 πd /4 πd /4 Donde se deduz a fórmula da pressão hidráulica: A força em cada unidade de área recebe o nome de pressão e pode ser calculada pela seguinte fórmula: F p = A f d 2 F = D 2 p = pressão em [ kgf/cm 2 ] F = força em [ kgf ] A = área em [ cm 2 ] PROBLEMAS PROPOSTOS: 1 Qual a pressão exercida por um peso de 50 kgf sobre uma superfície de 25 cm 2? Além de kgf/cm 2 existem outras unidade de pressão: atmosfera (atm), centímetro de mercúrio (cm Hg), bária (bar), libra por polegada quadrada (lib/inch), com as seguintes equivalências: 1 atm = 1,033 kgf/cm 2 1 bar = 75,01 cm Hg 1 atm = 76 cm Hg 1 kgf/cm 2 = 14,22 lib/inch = 14,22psi O cálculo de pressão é muito importante quando se quer saber a força exercida por um líquido ou gás sobre uma certa superfície, tal como a pressão da água num cano, a pressão no fundo do recipiente que contém um líquido, a força aplicada no êmbolo pelo gás numa máquina a vapor, etc. 2 Calcular a força na haste do êmbolo em figura sabendo-se que a pressão exercida pelo vapor é de 15 kgf/cm 2. (d = 30 cm) 18

19 3 Um recipiente cilíndrico contém gasolina até à altura de 500 cm. Calcular a pressão exercida no fundo do recipiente. Peso específico da gasolina: γ = 800 kgf/m 3 3 Na prensa hidráulica em figura, o diâmetro da bomba é de 1,6 cm e do êmbolo da prensa 32 cm; a alavanca que serve ao manobrador da prensa tem por braços 60 cm e 10 cm. Na extremidade da alavanca é exercida uma força de 12 kgf. Pede-se a força que a prensa pode exercer. 4 A válvula de segurança de uma caldeira tem diâmetro de 8 cm e seu centro dista 10 cm do apoio. Calcular a distância x para que a pressão máxima da caldeira seja de 5 atm sabendo-se que o peso P é 50 kgf. 4 Um depósito de água tem uma válvula na parte ascendente de um tubo lateral de 2 cm de diâmetro conforme figura. Esta válvula deve levantar quando h for igual a 180 cm. Calcular o peso da válvula. 5 Uma coluna de 12,4 tf tem um alicerce de concreto de 2 tf com base quadrada. Calcular o lado deste quadrado sabendo-se que o solo suporta uma pressão admissível de 1 kgf/cm 2. 5 Calcular a força f no pistão menor da prensa hidráulica em figura sabendo-se que o bloco A requer uma força F = 3 tf para ser esmagado. Dados: d= 5 cm e D = 20 cm. TRABALHO O trabalho T de uma força F é o produto da intensidade desta força pelo deslocamento s do seu ponto de aplicação e pelo coseno do ângulo formado entre a força e a direção do deslocamento. T = F. d. cos α O bloco em figura é puxado por uma força F que forma um ângulo α com a direção do deslocamento. PROBLEMAS PROPOSTOS: α F F 1 O peso total de uma máquina operatriz é de 2 tf. Calcular a pressão exercida sobre o solo sabendo-se que sua base de apoio tem 500 cm 2 de área. 2 Na máquina a vapor em figura, calcular a pressão do vapor para se ter uma força F = kgf na haste do êmbolo. d Quando a força atua na própria direção do deslocamento, isto é, quando = 0, a fórmula se torna mais simples pois cos 0 = 1. T = F. d 19

20 Quando a direção da força é perpendicular ao deslocamento o ângulo = 90 0 e cos 90 0 = 0, resultando: T = 0. Logo, força perpendicular ao deslocamento não realiza trabalho. 5 O martelo de um bate-estaca pesa 500 kgf. Calcular o trabalho necessário para levantá-lo à altura de 4m. Examinando a fórmula, nota-se que o trabalho não depende da velocidade ou do tempo em que a força é aplicada. A força é medida em kgf e o deslocamento em metros. Dessa forma o trabalho será expresso em quilogrâmetro (kgf.m). Além desta unidade existem as seguintes: erg e joule. Equivalências: 1 kgf.m = erg 1 kgf.m = 9,8 joule PROBLEMAS PROPOSTOS: 1 Calcular o trabalho realizado pela força F = 50 kgf para puxar o bloco em figura a uma distância de 6 m. 6 Uma cidade consome 500 mil litros de água por dia. Esta água é recalcada de uma empresa a um reservatório, cujo desnível é de 15 m. Qual é o trabalho realizado pelo motor da bomba durante um dia? F F 6m 2 O bloco da figura abaixo requer uma força F = 60 kgf para ser conduzido sobre o plano inclinado. Qual o trabalho desenvolvido pela força ao longo de 6 m? 7 Calcular o trabalho de um elevador para transportar 50 tijolos a uma altura de 20 m. Considerar que cada tijolo pesa mais ou menos 1,3 kgf. 3 Calcular o trabalho realizado pela força F = 70 kgf para deslocar o bloco da figura abaixo a uma distância de 10 m. A força forma um ângulo de 30º com a direção do deslocamento. 30 o F 10m F RENDIMENTO Parte do trabalho fornecida a uma máquina se dissipa devido às resistências passivas (atrito, forças que se opõem ao movimento etc.) e o restante é aproveitado para satisfazer a finalidade da máquina. Trabalho fornecido é chamado trabalho motor e o trabalho aproveitado é chamado trabalho útil. Chama-se rendimento η (eta) a relação entre o trabalho útil (T u) e o trabalho motor (T m). 4 Qual o trabalho realizado pela força F para deslocar o bloco ao longo do plano inclinado até à posição indicada na figura? η = T T U M 20

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